一题多解专题十二：求最值常用的基本方法

一题多解专题十二：求最值常用的基本方法
例：已知 x y 1 ，求 x y 的最小值。
2 2
分析 1
虽然所求函数的结构式具有两个字母 x、y ，但已知条件恰有 x、y 的关系
式，可用代入法消掉一个字母，从而转换为普通的二次函数求最值问题。 解法 1 x y 1, y 1 x. 设 z x y ，则 z x (1 x) 2 x 2 x 1.
分析 4 因为已知条件和所求函数式都具有解析几何常见方程的特点，故可得到用解析 法求解的启发。 y 2 2 解法 4 如图 4－2－2， x y 1 表示直线 l , x y
l
表示原点到直线 l 上的点 P ( x, y ) 的距离的平方。
1
P ( x, Leabharlann Baidu )
O 1 x
图 4－2－2
显然其中以原点到直线 l 的距离最短。 此时， d
所求的最小值可由等式转换成不等式而求得。 解法 2 x y 1, ( x y ) 1, 即 x y 1 2 xy.
2 2 2

即
2 xy x 2 y 2 , x 2 y 2 1 ( x 2 y 2 ).
1 1 , 当且仅当 x y 时取等号。 2 2 1 x 2 y 2 的最小值为 . 2 x2 y2

分析 3 配方法是解决求最值问题的一种常用手段，利用已知条件结合所求式子，配方 后得两个实数平方和的形式，从而达到求最值的目的。 解法 3 设z x y .
2 2
1 1 1 1 x y 1, z x 2 y 2 x y 1 ( x ) 2 ( y ) 2 . 2 2 2 2 1 1 1 当 x y 时， z 最小＝ . 即 x 2 y 2 的最小值为 . 2 2 2
2
| 0 0 1| 2
2

2 2 , 即 ( x 2 y 2 ) 最小＝ . 2 2
1 . 2
2 2
所以 x y 的最小值为 注 时，半径
2
如果设 x y z , 则问题还可转化为直线 x y 1 与圆 x y z 有交点
2
z 的最小值。
简评 几种解法都有特点和代表性。解法 1 是基本方法，解法 2、3、4 都紧紧地抓住题设 条件的特点，与相关知识联系起来，所以具有灵巧简捷的优点，特别是解法 4，形象直 观，值得效仿。
2 2 2 2 2
二次项系数为 2 0, 故 z 有最小值。 当x
分析 2
2 2 1 4 2 1－（－2） 1 时， z 最小值＝ ＝ . 2 2 2 4 2 2
1 x 2 y 2 的最小值为 . 2
2 2
已知的一次式 x y 1 两边平方后与所求的二次式 x y 有密切关联，于是