抛物线焦点弦专题_经典

二、抛物线 y 2 px ( p 0) 的焦点弦性质
2
下记AB为焦点弦， H1 H 2为通径 1. 若H1、H 2的纵坐标为 y1、y2，则 y1 y2 p 2 2. 若A、B的纵坐标为 y1、y2，则 y1 y2 ？ p2
2 y y p 1) 若AB x轴，则由1.知 1 2
已知 AB 是过抛物线 y 2 2 px( x 0) 焦点 F 的弦，求证：
p2 2 （1） x1 x 2 ， y1 y2 p 4
（2） AB x1 x2 p 特别的，通径长 2p
2p AB （ 为直线 AB 与 y 轴的夹角） 2 sin
（3） S AOB
2p , 2 tan
的倾斜角） 对称轴的夹角） p p x 当 90 时， l AB : y ( x ) tan 2
2
x1 x2
p 4
2p 2 p2 2 | AB | 1 tan ( p ) 4 2 tan 4
tan 2 1 2p 2p 2 tan sin 2
2. 若直线与抛物线 y 2 2 px ( p 0)的两个交点的纵坐标y1、y2， 满足 y1 y2 p 2，则该直线是否经过焦 点F ？
设交点为A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 ) p 1) 若 x1 x2，则| y1 | | y2 | p x1 x2
课本P119习题 8.5的第7题
p 设 l AB : y k ( x ) 2) 若AB不垂直于 x轴，则 2 p y k( x 2 ) y 由 2 y 2 px 2p 2 消x，得 : y y p2 0 F k O
B
y1 y2 p
2
x
A
二、抛物线 y 2 px ( p 0) 的焦点弦性质
y
B
通径 | H1 H 2 | 2 p
2p 焦点弦长 | AB | 2 sin
(其中为直线AB与
O
F A
x
x1 x2 p
2 p 消 y，得：x 2 tan 2 ( p tan 2 2 p) x tan 2 0 4 2
p y ( x ) tan 2 由 2 y 2 px
2
2p 焦点弦长 | AB | sin2
(其中为直线AB与对称轴的夹角）
m
2p y k ( x p) 2 由 2 y y 2 p 2 0 y1 y2 2 p 2 k y 2 px
2 y 2 px 的一条弦，O为坐标原点， 4.若AB是抛物线 则OA OB 的充要条件是弦AB过点（2p，0） 。
3 3
2
3 12 x的焦点作倾斜角为 的弦，则此弦长 4
焦点弦长| AB | x1 x2 p
⒊过抛物线 y 2 px ( p 0) 的对称轴上有一点M (p, 0)， 作一条直线与抛物线交于 A 、 B 两点，若 A 点纵坐标为 p ，则B点纵坐标为 ________ 4p 2
y
B
k AB k AF 直线AB过焦点F
2
F
O
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若A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 )在抛物线 y 2 px ( p A 0)上， 则 y1 y2 p 2 直线AB过焦点F
x
p 焦半径 | AF | x A 2 焦点弦长 | AB | x A xB p
直线AB过焦点F
2） 若 x1 x2 , 则k AB
k AF y1 p x1 2
y1
2
2p 2 py1 2 py 1 2 2 y1 p 2 2 y1 y1 y2 y1 y2 y1 p 2p 2
y2 y1 x2 x1

y2 y1 2p 2 2 y2 y1 y1 y2 2p 2p
1) 焦点弦长 | AB | x1 x2 p
2p 2) 焦点弦长 | AB | sin 2 (其中为直线AB与 对称轴的夹角）
⒈过抛物线 y 2 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 )， B( x2 , y2 ) 两点．若 x1 x2 6 ，则|AB|= ___________ 8 ⒉过抛物线 y 24 为________ ；一条焦点弦长为16，则弦所在的直线倾斜 2 角为 _________ 或 ．
二、抛物线 y 2 px ( p 0) 的焦点弦性质
2
下记AB为焦点弦， H1 H 2为通径 若A、B的纵坐标为 y1、y2，则 y1 y2 p 2 p2 1. 若A、B的横坐标为 x1、x2，则x1 x2 4 2. 若A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 )在抛物线 y 2 2 px ( p 0)上， 则 y1 y2 p 2 直线AB过焦点F
p2 2 sin
已知 AB 是过抛物线 y 2 px( x 0) 焦点 F 的弦，求证：
2
1 1 2 （4） = （定值） 。 AF BF p
（5）以 AB 为直径的圆与抛物线准线 l 相切。 （6）以 AF 为直径的圆与 y 轴相切。
（7）过 A、B 分别作准线 l 的垂线，垂足分别为 C、D ， 则 CF DF （8） A 、O、D 共线
一、复习 ⒈焦点弦的定义 ⒉焦半径公式 若M ( x0 , y0 )在焦点为F的抛物线 y 2 2 px ( p 0) 上， ⒊通径
p 则|MF| = x0 2
| H1 H 2 | 2 p
y y
M
H2 O O
F F
H1
x x
p x 2
你还记得焦点弦的 相关知识吗？
1、连接抛物线任意一 点与焦点的线段叫做抛 物线的 焦半径
p 如图设P( x1, y1 )则 PF x1 2
y
P ( x1 , y1 )
O
F Q ( x2 , y2 )
x
焦点弦 2、过焦点的弦称为： 如图设Q( x2 , y2 )则 PQ x1 x2 p
2
p 2 y1 y2 p 3、x1 x2 4 2 1 1 关于焦点弦的结论 4、 PF QF 你还记得哪些？ p
2
下记AB为焦点弦， H1 H 2为通径 若A、B的纵坐标为 y1、y2，则 y1 y2 p 2 p2 1. 若A、B的横坐标为 x1、x2，则x1 x2 4 2. 若直线与抛物线 y 2 2 px ( p 0)的两个交点的纵坐标 y1、y2，满足 y1 y2 p 2，则该直线是否经过焦 点F ？
5.过抛物线 焦点的一条直线，与它交于P、Q两点， 经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证直 线MQ平行于抛物线的对称轴。
本节课，我们主要从代数（方程）的角度研究抛物线 的焦点弦的一些性质。而对于从几何观点去研究它的
性质，希望同学们课后完成。
探究抛物线焦点弦的其它性质