乐课力七年级数学秋季班 第6讲因式分解(四)
乐课力七年级数学秋季班 第6讲因式分解(四)
第六讲 因式分解（四）
知识要点：
关于整式的除法，我们已学过单项式除以单项式，多项式除以单 项式. 对于多项式除以多项式，需要用长除法（竖式）来计算. <一>长除法的运算步骤： ⑴被除式与除式按同一字母的降幂排列，若有缺项用补齐； ⑵用竖式进行运算； ⑶当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式.
例题7
（3） 2x4 x3 6x2 x 2
例题7
（4） x3 9x2 26x 24
例题7
（5）x3 3x2 3x 26
例题7
（6） x4 x3 7x2 x 6
例题7
（7） 3x3 5x2 y xy2 y3
例题7
（8） 6x3 5x2 y 3xy2 2y3
⑵试根法：对整系数多项式f(x)进行因式分解时，根据因式定理，
若能找到方程
f
x
0的根
x
q（或 x
q ），即找到了f(x)的一个 p
因式 x q或 px q . 剩余部分可用长除法或综合除法来求得.
例题7
分解因式:（1）x3 4x2 6x 4
例题7
（2）x4 2x3 5x2 4x 12
知识要点：
<二>综合除法： 综合除法是一种简便的除法，指通过乘、加两种运算便可计算到
一元多项式除以 x a的 商式与余式.综合除法的注意事项：
⑴被除式按降幂排列，若有缺项用0补齐；
⑵综合除法仅适用于除式为 x a形 式的整式除法.
七年级l上册数学第六章知识点
七年级l上册数学第六章知识点七年级数学第六章知识点随着学期的推进，七年级学生即将进入到数学第六章的学习中。
本章内容主要是以方程式为核心，介绍线性方程的具体内容。
下面，我将对第六章的知识点进行详细的阐述和解释，希望能够对同学们的学习有所帮助。
一、方程方程是用于描述数学关系的一种方法。
一般而言，方程式是由两个数学表达式或一个表达式和一个数值之间以等号相连的。
我们可以将方程式简单地归纳为以下几种：1.一元一次方程式：形如ax+b= 0 的式子，其中x为未知数，a和b为已知数。
2.一元二次方程式：形如ax²+bx+c= 0 的式子，其中x为未知数，a、b和c为已知数。
3.二元一次方程式：形如ax+by=c 和 dx+ey=f的式子，其中x和y 都为未知数，a、b、c、d、e和f为已知数。
二、一元一次方程式的解法1.移项法：移项法是解决一元一次方程的最主要方法之一。
它的核心思想是将一个未知数的项移至等号的另一边，以便求解未知数的值。
2.因式分解法：当一元一次方程式中未知数项无法直接移项时，我们可以考虑通过因式分解把未知数的项和常数项分开，进而解方程。
三、一元二次方程式的解法1.配方法：设ax²+bx+c=(ax+m)(x+n)，通过比较系数，解出m和n的值，从而求得方程的根。
2.公式法：通过b²-4ac来计算根的情况。
4.两个二元一次方程式的解法通过消元法，将多个方程式中未知数的系数进行调整，从而求出未知数的值。
以上便是七年级数学第六章的主要知识点。
希望同学们能够认真学习，掌握方程的解法和具体应用。
在未来的学习和生活中，方程会是我们必不可少的工具之一。
数学人教版《因式分解》上课课件
竖分两端交叉验，交叉相乘和中间，横写因式不能乱。
2 a b 2 9 a b 9 (ab3)2ab3
ab
3 (ab3)2a2b3
2ab
3
3 a b 6 a b 9 a b
数学人教版《因式分解》上课课件1
数学人教版《因式分解》上课课件1
将下列多项式因式分解
(1)x2+3x-4
5 x2 – 6 xy – 8 y2
x–2y
1x
–2y
5x 5x+4y
4y
4xy – 10xy = –6xy ∴5x2–6xy–8y2 =(x–
2y)(5x+4y)
简记口诀：
竖分两端交叉验， 交叉相乘和中间， 横写因式不能乱
十字相乘法②随堂练习：
1）4a2–9a+2 2）7a2–19a–6 3）2(x2+y2)+5xy
（5）6x2+7x+2
简记口诀： 竖分两端交叉验， 交叉相乘和中间， 横写因式不能乱
数学人教版《因式分解》上课课件1
数学人教版《因式分解》上课课件1
把下列各式分解因式
（1）4x2 + 11x + 6 （2）3x2 + 10x + 8 ( 3 ) 6x2 - 7xy – 5y2
（5）2x2 + 13x + 15 （6）3x2 － 15x － 18
6 x2 + 7 x + 2
①竖分二次项与常数项
2x+1
2x
1பைடு நூலகம்
3x
2
3x+2
②交叉乘，和相加 ③检验确定，横写因式
方法规律：
浙教版七下第六章《因式分解》教案
浙教版七下第六章《因式分解》教案一、教学内容本节课选自浙教版七年级下册第六章《因式分解》的第一课时。
主要内容包括：因式分解的意义，提取公因式法，以及应用举例。
具体涉及的教材章节为6.1节。
二、教学目标1. 理解因式分解的概念，掌握提取公因式法进行因式分解的方法。
2. 能够运用因式分解解决一些实际问题，提高数学思维能力。
3. 培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点教学重点：提取公因式法进行因式分解。
教学难点：理解因式分解的意义，以及如何找出多项式中的公因式。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、草稿纸、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何求解一个多项式的值。
如：计算长方形的面积和周长，引导学生将面积和周长公式中的多项式进行因式分解。
2. 知识讲解（1）因式分解的意义：将一个多项式表示成几个整式的乘积的形式。
（2）提取公因式法：找出多项式中的公因式，并将其提取出来。
3. 例题讲解讲解两道例题，一道为提取公因式的简单例子，另一道为稍微复杂的多项式因式分解。
4. 随堂练习让学生独立完成两道练习题，巩固因式分解的方法。
5. 答疑解惑针对学生在练习中遇到的问题，进行解答和讲解。
六、板书设计1. 因式分解的概念及意义。
2. 提取公因式法进行因式分解的步骤。
3. 两道例题的解答过程。
4. 练习题目及答案。
七、作业设计1. 作业题目：（1）分解因式：6x^2 9x。
（2）分解因式：5a^2 + 10a。
2. 答案：（1）3x(2x 3)。
（2）5a(a + 2)。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生掌握了因式分解的基本方法，但部分学生在提取公因式时仍存在困难，需要在今后的教学中加强练习。
2. 拓展延伸：引导学生思考，除了提取公因式法，还有哪些方法可以进行因式分解？为学生学习下一节课的内容做好准备。
重点和难点解析1. 教学难点与重点的明确。
数学浙教版七下-第六章因式分解 课件1
1.隧道的横截面如图,用关于h,r的多项式表示 隧道横截面的面积.这个多项式能分解因式吗?
若r=7米,h=2 米,计算这个隧道的横截面积.
r h
2020/4/24
探究学习
2. 已知一块纸板形状如图，要把它 剪拼成一个面积与之相等的长方形纸板， 这个长方形纸板的长与宽是多少？
2020/4/24
2b
45°
2a
2020/4/24
4.将4x2 1再加上一项,使它成为完全平方式,
你有几种方法?
5.如图,现有正方形纸片3张,长方形纸片3张, 请你将它们拼成一个长方形,并运用面积之
间的关系,将多项式 2a23a bb2因式分解.
a
2020/4/24
b
b
b
a
b
a
a
a
6.利用因式分解的方法,试说明 913324
2020/4/24
4.因式分解的方法:
(1)提取公因式法. am+an=a(m+n)
(2)公式法: a 2 b 2 a b a b
a 2 2 a b b 2 a b 2
5.因式分解的应用:
(1)利用因式分解进行简单的多项式除以多项式 的运算.
(2)利用因式分解解方程:若A×B=0,则
A=0 或 B=0 .
1.把一个多项式化成几个整式的积的形式 , 叫做因式分解，也叫分解因式。2、因式分解与整式乘法Fra bibliotek关系： 因式分解
结合： a2 b2 ========（a+b）（a-b）
整式乘法
因式分解和整式乘法具有 互逆 的关 系.
2020/4/24
1.下列等式从左边到右边的变形,哪些是因式 分解?
七年级下册因式分解
（2）、运用公式法
①a2－b2＝（a＋b）（a－b）[平方差公式]
②a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2[完全平方和公式]
a2－2ab－b2＝（a－b）2[完全平方差公式]
3、因式分解பைடு நூலகம்一般步骤
①先看有无公因式，对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。（提）
②再看能否套公式，考虑应用平方差公式或完全平方公式分解。（套）
③因式分解要彻底！（查）
课堂练习
1、把下列各式分解因式：
（3）- 2xy - y2- x2（4）-1 + p4
（5）x2- 2xy + y2+ 2x - 2y + 1（6）( a - b)2n- (b - a)2n+1
2、已知x +mx+n = (x-1)(x+2),求m和n的值。
3、把a2- 4ab +3 b2+ 2bc - c2因式分解
4、已知：| x + y + 1| +| xy - 3 | = 0求代数式xy3+ x3y的值。
5、若5 x2－4xy＋y2－2x＋1=0，求x、y的值。
完成情况：好良好差
巨人用心教育教学课件日期2019年9月7日星期六
授课老师：学生姓名：专用
教学内容：因式分解
1、因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式
即：一个多项式→几个整式的积
2、因式分解的方法
（1）、提取公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提取公因式。
6.1因式分解
2
2－992= (1)101 2+87×13= (2)87 × 2－2×51+1= (3)51 × 2－1= (4)50
（1） ） x
+ m x n能分解成 ( x 2 )( x 5) 则 m = ______, n = ______.
2
（2） 某沿江风景带修建了三块长方形的绿化草坪， ） 某沿江风景带修建了三块长方形的绿化草坪，
他们的宽都是８㎝，长分别是５５．５㎝，２ 他们的宽都是８㎝，长分别是５５． ㎝，２ 长分别是５５ ４．４㎝，２０．１㎝，那么这些绿化带的面积 ㎝，２０． ㎝，那么这些绿化带的面积 ２０ 之和是__________ 之和是
8 55.5 24.4 20.1
你知道因式分解的定义吗? 你知道因式分解的定义吗 你会判别哪些代数式的变形是因式分解吗 你知道因式分解与整式的乘法的关系吗? 你知道因式分解与整式的乘法的关系吗? 你会验证因式分解是否正确吗? 你会验证因式分解是否正确吗 你会利用因式分解快速解决某些问题吗? 你会利用因式分解快速解决某些问题吗
整式乘法
因式分解
一般地， 一般地，把一个多项式转化成几个 整式的积的形式，叫做因式分解 因式分解， 整式的积的形式，叫做因式分解，有时 我们也把这一过程叫做分解因式。 我们也把这一过程叫做分解因式 分解因式。
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？ 下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？
+ a = a ( a + 1) 2 （2）( a + 3)( a 3) = a 9 ） （3） 4 x 2 4 x + 1 = (2 x + 1) 2 ）
浙教版七(下)第六章因式分解 浙教版七 下 第六章因式分解 《6.1因式分解》
8.因式分解-----公式法课件数学沪科版七年级下册
解：（1）原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b)
（2）原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝(2m＋4n)(4m＋2n) ＝4(m＋2n)(2m＋n)．
分解后的结果中若出现公因 式，一定要再用提公因式法 继续分解.
2.把下列多项式因式分解.
（1）x2－12x+36；
（1）ab2-ac2;
(2)3ax2+24axy+48ay2. 48a=3a×16
(1)解：ab2-ac2 =a(b2-c2) （提取公因式） =a(b+c)(b-c).（用平方差公式）
(2)解：3ax2+24axy+48ay2 =3a(x2+8xy+16y2) （提取公因式） =3a[x2+2·x·4y+(4y)2] =3a(x+4y)2. （用完全平方公式）
（2）原式=－ 3（x2 -2xy +y2） =－3(x－y )2.
3.分解因式： （3）5m2a4－5m2b4； （4）a2－4b2－a－2b.
解：（3）原式＝5m2(a4－b4) ＝5m2(a2＋b2)(a2－b2) ＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b).
（4）原式＝(a2－4b2)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b－1).
整式乘法
( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
类比平方差公式，把整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2
2021年《因式分解》七年级数学说课稿
Saying that they have all left, I want them to come back one by one when I am the loneliest.通用参考模板（页眉可删）《因式分解》七年级数学说课稿作为一位杰出的老师，有必要进行细致的说课稿准备工作，说课稿有利于教学水平的提高，有助于教研活动的开展。
那么什么样的说课稿才是好的呢？以下是精心整理的《因式分解》七年级数学说课稿，仅供参考，大家一起来看看吧。
一、说教材1、说教材的地位与作用。
我今天说课的内容是浙教版数学七年级下册第六章第一节内容《因式分解》。
因式分解就整个数学而言，它是打开整个代数宝库的一把钥匙。
就本节课而言，着重阐述了两个方面，一是因式分解的概念，二是与整式乘法的相互关系。
它是在学生掌握了因数分解、整式乘法的基础上来讨论因式分解概念，通过这节课的学习，不仅使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为后面学习分式、解方程及代数式的恒等变形作铺垫。
因此，它起到了承上启下的作用。
二、说目标1、教学目标。
《新课标》指出“初中数学的教学，不仅要使学生学好基础知识，发展能力，还要注意培养学生初步的辩证唯物主义观点。
”因此，根据本节内容所处的地位，我定如下教学目标：知识目标：理解因式分解的概念和意义，掌握因式分解与整式乘法之间的关系。
能力目标：①经历从分解因数到分解因式的类比过程，培养学生的观察、发现、类比、化归、概括等能力；②通过对因式分解与整式乘法的关系的理解，克服学生的思维定势，培养他们的逆向思维能力；情感目标：培养学生乐于探究，合作的习惯，体验探索成功，感受到成功的乐趣。
2、教重点与难点。
重点是因式分解的概念。
理由是理解因式分解的概念的本质属性是学习整章因式分解的灵魂。
难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，理由是学生由整式乘法到因式分解的变形是一个逆向思维。
在前面学了较长时间的整式乘法，造成思维定势，学生容易产生“倒摄抑制”作用，阻碍学生新概念的形成。
七年级数学下册 11.1 分解因式教案 (新版)冀教版
《分解因式》
【教材与学情分析】
分解因式是代数式的一种重要恒等变形。
它是学习分式的基础,又在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用。
就本节课而言，着重阐述两个方面的内容，一是因式分解的概念，二是与整式乘法的相互关系。
通过本节课的学习，使学生掌握因式分解的概念和原理，为后面学习因式分解做好充分的准备。
【教学目标】
1、通过观察类比、归纳概括等数学活动，经历新概念的建立过程。
2、了解分解因式的意义以及分解因式与整式乘法是互逆变形的关系。
3、感受分解因式在解决相关问题中的作用．
【重点难点】
重点：经历建立“分解因式”这一概念的过程，让学生体会、学习建立概念的方法。
难点：认识分解因式与整式乘法的关系，并能意识到可以运用整式乘法的一系列法则来解决分解因式的各种问题。
【教法设计】从学生生活经验出发，提出问题，在解决问题的过程中，进行观察、类比、归纳、概括，揭示新概念的本质属性。
【教学过程】。
浙江省七年级数学下册第六讲因式分解常用方法讲义(基础提高班,)(新版)浙教版【含解析】
第六讲因式分解的常用方法一、什么是因式分解。
把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
例：x2+2x+1=(x+1)2多项式-------------（x+1）与（x+1）的乘积。
在这个过程中等式两边是恒等的，且是从几个单项式和的形式化成几个整式积的形式，因此，因式分解的本质：恒等变形，化和为积。
（必须同时满足这八个字）二、因式分解的基本方法1、提公因式法公因式：多项式中每一项都含有的相同的因式。
所谓的提公因式：即把所有相同的部分提取出来。
例：ma+mb+mc = m(a+b+c)ab3−a2bc2=ab(b−ac2)。
−2a2c2+6abc−4ac=−2ac(ac−3b+2)2、公式法（本质上乘法公式的逆用）平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)；完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2−2ab+b2=(a−b)2；例：（1）4a2−9b2=(2a+3b)(2a−3b)（2）x4−1=(x2+1)(x2−1)=(x2+1)(x+1)(x−1)(分解到不能分解为止)3、分组分解法既不能直接提公因式又不能直接用公式法的，考虑将几个单项式分组，每组组内先进行因式分解，然后再整个的进行因式分解。
（1）ax−by−bx+ay=(ax−bx)+(ay−by)=x(a−b)+y(a−b)=(a−b)(x+y)思路一：组合的时候可以考虑组合含有相同部分的几个单项式。
思考：组合ax+ay, -(bx+by)是否也可以呢？（2）a2+a−b2−b=(a2−b2)+(a−b)=(a+b)(a−b)+(a−b)=(a+b+1)(a−b)思路二：可以先组合可以构成公式的几个单项式。
三、因式分解的要求：1、每个因式必须为整式：)如：(x+2)不能写成（1+2x2.分解要彻底。
如：(1) x4−1=(x2+1)(x2−1)(错误)x4−1=(x2+1)(x2−1)=(x2+1)(x+1)(x−1)（正确）(2)3x3+18x2+27x=3x(x2+6x+9)（错误）3x3+18x2+27x=3x(x2+6x+9)=3x(x+3)2 (正确）3、单项式写在多项式之前。
乐课力七年级数学秋季班第4讲因式分解(二)
例题1
6、 x5 x 1
知识要点：
⑴定义：在代数式中，利用添项的方法，将原多项式配上某些需 要的缺项，使添项后的多项式的一部分成为一个完全平方式， 这种方法叫做配方法．
⑵方法：配方主要是配中项2ab，或配一个平方项 b（2 或 a2）．如 何配方依赖于对题目特点的观察和分析．应用配方法进行因式分 解时，常将多项式配成平方差公式的形式 A2 B2，使多项式可分
例题7
（1）已知n是正整数，且 n4 16n2 100 是质数，求n.
例题7
（2）若a为自然数，则 a4 3a2 9 为质数还是合数？并 证明你的结论.
例题8
分解因式（1） a3 b3 c3 3abc
例题8
（2） (x 1)3 (x 2)3 (3 2x)3
例题8
（3） ax by3 by cz3 ax cz3
练习3
（6） x6 y6 2x3 1
练习3
（7） x2 y2 9 2 4x2 y2
练习4
（1）求方程 x2 xy 5x 5y 1 0 的整数解
练习4
（2）求方程 xy x y 4 的整数解
练习5
求证：对任意自然数n，3n2 2n2 3n 2n 能被10整除
例题6
（1）已知 a2 b2 2c2 2ac 2bc 0 ，求 a b 的值.
例题6
（2）已知 a 1 m 1,b 1 m 2,c m 1 ，求
2
2
a2 2ab b2 2ac 2bc c2 的值.
例题6
（3）已知a，b，c均为实数，且满足 b c 7 4a 3a2， c b 5 4a a2 ，试比较a，b，c的大小.
练习1
（7） 4mx2 8m2x 4m3
3.1 多项式的因式分解
在数学中也经常要寻找那些“基本建筑块”， 例如，在正整数集中，像2，3，5，7，11，13， 17，…这些大于1的数，它的因数只有1和它自身， 称这样的正整数为质数或素数，素数就是正整数集 中的“基本建筑块”：每一个正整数都能表示成若 干素数的乘积的形式．
例如 12 223 ① 30 235 ②
有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公
因数为 23 6
进而很容易把分数12 约分：分子与分母同除以6，
得 12 2
30
30 5
同样地，我们应用因式分解的办法将多项式表示成
若干个这种多项式的乘积的形式，这将为以后学习分式
的约分，解一元二次方程等问题的解决架起了桥梁．
例2 检验下列因式分解是否正确？
① am+bm+c=m(a+b)+c 最后不是积的运算
② 24x2y=3x ·8xy 因式分解的对象是多项式，
③ x2-1=(x+1)(x-1) ④ (2x+1)2=4x2+4x+1 是整式乘法
1
⑤ x2+x=x2(1+ x ) 每个因式必须是整式 ⑥ 2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
想一想：为什么要把一个多项式因式分解？ 万里长城是由砖砌成的，不少房子也是用砖砌
对于整数 6 与 2，有整数 3 使得 6＝2×3， 我们把2叫作6的一个因数．同理，3也是6的一 个因数．
对于多项式 x2 1与x 1 ，有多项式 x－1使
得 x2 1 x 1 x 1 ，我们把x+1叫作 x2－1的
一个因式，同理，x－1也是 x2－1 的一个因式．
七年级数学下学期课件第6讲：因式分解的其他方法
(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2
(86年初中数学竞赛题)
3、换元法-相同部分换元法
1).分解因式：
(x2+7x-5)(x2+7x+3)-33
(93年黑龙江省初中数学竞赛题)
3、换元法-对称式子换元法
2).分解因式：
(xy-1)2-(x+y-2xy)(2-x-y)
(98年长春市初二数学：
x4+1987x2+1986x+1987
(86年江苏省初中数学竞赛题)
3、换元法-部分式子换元法
4).分解因式：
(1+x+x2+x3)2-x3
3、换元法-和差换元法
5)、分解因式：
(a+b-2ab)(a+b-2)+(1-ab)2
(第三届部分省市初中数学通讯赛题)
因式分解其他方法
2019-3-4
因式分解其他方法
● 拆项添项法 ● 配方法 ● 换元法 ● 待定系数法
1、拆项添项法
1)分解因式：
a2+2b2+3c2+3ab+4ac+5bc．
(91年“希望杯”全国数学邀请赛初二试 题)
2)分解因式:
x4+x3-4x2+x+1．
(91年贵州省初中数学竞赛题)
2、配方法
3、换元法-算术平均值换元法
6)、分解因式：
(x2+5x+9)(x2-3x+7)-3(4x+1)2 (91年山东省初中数学竞赛题)
4、待定系数法
已知多项式：2x37x21x 960
有因式 2x5 ， 把它因式分解。
乐课力七年级数学春季班第六讲等腰三角形
（1）在 △ABC 中，AB AC ，7cm平分 ABC 交 AC 于 D 点 ，如果 A 40 ，那么 BDC 的度数是_______； （2）等腰三角形的两条边长分别 3cm 为 7cm 和 ，那 么它的周长是_______ cm .
例题1
（3）在 △ABC 中，AB AC ，它的周长为24 ，过点A 作 AD BC ，垂足为 D ，△ABC 的周长为 20，则 AD 的长为_____ （4）等腰三角形的底边长 5cm，一腰上的中线把这 个三角形分成两部分，这两部分的周长之差为3cm ， 那么这个等腰三角形的腰长是_____ cm.
例题5
⑸如图⑸，BD、CD 为外角CBM 、BCN 的平分线， . DE ∥ BC交 AB 延长线于 E，交 AC 延长线于 F，线 段 EF 与BE 、CF 有什么关系?
例题6 【基础】如图，在 △ABC 中, AB AC ，直线 l 经过点 . A 且 l / /BC , B 的平分线 AC 与 l 和 分别交于 D, E ， .C 的平分线与 AB 和 l 分别交于 F,G .BE 与 CG 交 于点 O . 求证：① DE FG. ② AG AE .
以得到什么结论？
例题11 【基础】如图，B，C，E三点共线，且△ABC与 △DCE 是等边三角形，连结BD、AE，分别交AC、 DC于M 、N 点．求证：⑴AE=BD，⑵CM=CN ．
例题11 【提高】已知：如图，分别以 ABC 的三边为基准，
向外侧作等边三角形 ABD 、BCE、ACF ，连结 AE, BF,CD .求证：AE BF CD .
求 A 的大小。
BE 平分 ABC
。求证：
BC / / AE
例题3 【尖子】如图，△ABC 中，B C , D在BC上，
2021-2022学年七年级数学下册同步精品课件之因式分解——提公因式法和公式法的综合运用(沪科版)
巩固练习
1、把下列各式分解因式
(1) 2x3-32x
(2) 9a3b3-ab
(3) mx2-8mx+16m (4) -x4+256
(5) -a+2a2-a3
(6) 27x2y2-18x2y+3x2
巩固练习
2、把下列各式分解因式
(1) (x-1)+b2(1-x) (2) -2x4+32x2 (3) x3y3-2x2y2+xy
分解因式的一般步骤： ① 分解因式时，如果多项式各项中含有公因式，应先
考虑用提公因式法； ② 对于没有公因式的多项式考虑用公式法分解，如果
多项式有三项，则考虑用完全平方公式分解；如果多项 式有二项，则考虑用平方差公式分解；
简记： 一提 二套 注意： 因式分解必须彻底，要把一个多项式分解到每 一个因式都不能分解为止.
归纳总结
通过上面的练习，你是如何选择适当的方法进行因式 分解呢？ 分解因式的一般步骤：
① 分解因式时，如果多项式各项中含有公因式，应先 考虑用提公因式法；
② 对于没有公因式的多项式考虑用公式法分解，如果 多项式有三项，则考虑用完全平方公式分解；如果多项 式有二项，则考虑用平方差公式分解；
简记： 一提 二套 注意： 因式分解必须彻底，要把一个多项式分解到每 一个因式都不能分解为止.
8.4.3 综合运用提公因式法 与公式法分解因式
知识回顾
1、目前为止，我们已学过几种因式分解的方法？
① 提公因式法
② 公式法
2、什么是提公因式法？ 一般地，如果多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提
出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分
解因式的方法叫做提公因式法.
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特别地，当除式g(x)为一次式(x-a)时，则余式r(x)只能为常数.此时，
余式也可以叫做余数，记作r ，则可写成 f x x a q x r
⑴余数定理：多项式除以所得的余数等于. ⑵因式定理：若多项式f(x)有一个因式(x-a) ，则f(a) =0；反之，如 果f(a) =0 ，则(x-a)必为多项式f(x)的一个因式. 可以看出，因式定理只是余数定理在r=0时的一种特殊情况.
如用f(x)表示代数式 2x2 5x 6，记作 f x 2x2 5x 6 ．
则f(3)表示当x=3时，代数式 2x2 5x 6 的值，
f 3 2 32 5 3 6 3
因式定理与余数定理
二、余数定理与因式定理： 多项式f(x)除以多项式g(x)的商式为q(x) ，余式为r(x).
例题6
（2）已知 f x x2 mx n ，（m、n均为整数） 既是 多项式 g x x4 3x3 3x2 7x 6 的因式，又是多项式 h x 4x4 12x3 19x2 42x 45的因式，求 f 2 。
试根法
利用因式定理和综合除法，可以得到因式分解的又一种方法——试
例题4
（1）求多项式 f (x) 7x5 4x4 6x2 5 除以 x 1
所得的余数．
例题4
（2）求多项式 f (x) 7x5 4x4 6x2 5 除以 2x 2
所得的余数．
例题4
（3）试确定m的值，使多项式f (x) x5 3x4 8x3 11x m
能够被整除 x 1 .
例题7
（9）x3 a b c x2 ab bc ca x abc
练习1
分解因式：
（1）x2 2xy 15y2 x 19y 6
a
1 2
b
2
练习1
（2） a2 3c2 2b2 3ab 4ac 5bc
a
1 2
b
2
练习1
（3） xy y2 x y 2
a
a
1 2
b
2
练习1
（8） x 1 x 2 x 3 x 4 24
a
1 2
b
2
练习1
（9） x 1 x 2 x 3 x 6 x2
a
1 2
b
2
练习1
（10）
a2 1 2
a2 5
2
4
a2 3
2
a
1 2
b
2
例题7
（3） 2x4 x3 6x2 x 2
例题7
（4） x3 9x2 26x 24
例题7
（5）x3 3x2 3x 26
例题7
（6） x4 x3 7x2 x 6
例题7
（7） 3x3 5x2 y xy2 y3
例题7
（8） 6x3 5x2 y 3xy2 2y3
根法.
⑴对于整系数多项式： f x a0 xn a1xn1 L an1x an 性质①：若首项系数 a0 1 ，且它有因式 x q（ q为整数），则q一
定是常数项 an 的因数.
性质②：若首项系数 a0 1，且它有因式 px q（ p、q为两个互素
的整数），则p一定是首项系数 a0 的因数，q一定是常数项 an 的因 数.
例题3
用综合除法计算下列各式的商式和余式：
（1） 3x3 5x2 2 x 3
例题3
（2） 8x2 2x x4 14 x 1
例题3
（3） 3x3 10x2 23x 16 3x 2
因式定理与余数定理
一、关于的代数式： 研究关于x的代数式时常常可用记号f(x)或者g(x)等简单地表示．这 里的f表示对括号内的字母施行的一系列的运算. f(x)表示当x=a时， 代数式f(x)的值.
第六讲 因式分解（四）
知识要点：
关于整式的除法，我们已学过单项式除以单项式，多项式除以单 项式. 对于多项式除以多项式，需要用长除法（竖式）来计算. <一>长除法的运算步骤： ⑴被除式与除式按同一字母的降幂排列，若有缺项用补齐； ⑵用竖式进行运算； ⑶当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式.
例题5
（1）一个关于x的二次多项式f(x)，它被(x-1)除余2，它被 (x-3) 除时余28， 它还可被(x+1)整除，求f(x).
例题5
（2）求一个关于x的二次多项式，它的二次项系数为1， 它被(x-3)除余1，且它被除(x-1) 和(x-2)被除所得的余数相 同.
例题6
(1)试确定a与b，使 x4 ax2 bx 2 能被 x2 3x 2 整除.
例题1
（2） (3x3 4x2 5x 1) (x2 3x 1)
例题1
（3） 3x4 4x2 2x 4 x 2
例题1
（4） 3x4 5x3 7x2 2x 5 x2 1
例题1
（5） 11x4 5x2 4x 8 x2 3
例题2
已知 x3 5x 3， 求 x7 2x6 4x5 9x4 6x3 13x2 29x 13 的值.
1 2
b
2
练习1
（4） 15x2 20xy x 8y 2
a
1 2
b
2
练习1
（5）2x2 3xy 2y2 3xz yz z2
பைடு நூலகம்
a
1 2
b
2
练习1
（6） 6x2 5xy 6y2 2xz 23yz 20z2
a
1 2
b
2
练习1
（7） x2 7x 6 x2 x 6 56
⑵试根法：对整系数多项式f(x)进行因式分解时，根据因式定理，
若能找到方程
f
x
0的根
x
q（或 x
q ），即找到了f(x)的一个 p
因式 x q或 px q . 剩余部分可用长除法或综合除法来求得.
例题7
分解因式:（1）x3 4x2 6x 4
例题7
（2）x4 2x3 5x2 4x 12
知识要点：
<二>综合除法： 综合除法是一种简便的除法，指通过乘、加两种运算便可计算到
一元多项式除以 x a的 商式与余式.综合除法的注意事项：
⑴被除式按降幂排列，若有缺项用0补齐；
⑵综合除法仅适用于除式为 x a形 式的整式除法.
例题1
用长除法求下列各式的商式与余式：
（1） (2x3 3x 4) (x 3)