24等边三角形教学案(含答案)

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小学四年级数学第三单元《三角形》教案

小学四年级数学第三单元《三角形》教案本单元系统地教学三角形的知识，内容分成五部分编排。

第22～２５页教学三角形的差不多特点，三角形的高和底。

第26～２７页教学三角形的分类。

按角分，三角形分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。

第28～２９页教学三角形的内角和。

第30～３２页教学等腰三角形、等边三角形及其特点。

第33～３４页单元练习。

全面整理知识，突出三角形的分类以及关于边和角的性质。

教材中的摸索题有较大的思维容量，能促进学生进一步明白得并应用三角形的知识。

编写的三篇你明白吗介绍三角形的稳固性、制作雪花图案的方法和埃及的金字塔，能激发学生学习三角形的爱好，丰富对三角形的认识。

1? 让学生在做图形的活动中感受三角形的形状特点和结构特点。

学生在第一学段直观认识了三角形，本单元连续教学三角形的知识，教材经常采纳活动体验的教学策略，即组织学生做图形，让他们在做的过程中体会图形的特点，主动构建对图形的比较深入的认识。

（1）做三角形，感受边、角和顶点。

第22页例题教学三角形的边、角和顶点，分三个层次编写：第一出现一幅宜昌长江大桥的照片，引起学生对三角形的回忆；然后安排学生每人至少做一个三角形并相互交流；最后讲解三角形的边、角和顶点。

学生做三角形并不难，做的方法必定是多样的。

用小棒摆、在钉子板上围、在方格纸上画三角形在第一学段都曾经做过，现在学生还可能剪、折、拼做三角形的目的不在结果，要注重学生在做的过程中是如何样想的、如何样做的，把精力放在建立边、角和顶点等概念上。

因此，交流的时候要分析各种做法的共同点，如用三根小棒、三段细绳、三条线段才能做成三角形，三角形有三条边；小棒、细绳、线段必须两两相连，三角形有三个顶点和三个角。

（2）围三角形，体会两条边的长度和必须大于第三边。

《标准》要求：通过观看、操作，了解三角形的两边之和大于第三边。

这是新课程里增加的教学内容，第23页例题教学那个知识。

第一，为学生提供四根长度分别是10cm、6cm、5cm、4cm的小棒，向学生提出问题：任意选三根小棒，能围成一个三角形吗?然后让学生在操作中发觉有时能围成三角形，有时围不成三角形，并直觉感受这是什么缘故。

部编数学八年级上册专题03等边三角形(解析版)含答案

2022-2023学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）专题03 等边三角形【题型1】等边三角形的性质1．（2022·全国·八年级课时练习）下列条件中，不能判断ABC V 是等边三角形的是（）．A ．AB AC =，60B Ð=oB ．AB AC =，B A Ð=ÐC ．60A B Ð=Ð=oD ．2A B CÐ+Ð=Ð【答案】D【分析】根据等边三角形的定义和判定定理判断即可．【详解】解：A 选项：∵AB =AC ．∠B =60°．∴△ABC 是等边三角形，故A 选项不符合题意；B 选项：∵∠B =∠A ，∴AC =BC ，∵AB =AC ，∴AB =AC =BC ，∴△ABC 是等边三角形，故B 选项不符合题意；C 选项：∵∠A =∠B =60°，∠C =180°−∠A −∠B =60°，∴∠A =∠B =∠C ，∴AB =AC =BC ，∴△ABC 是等边三角形，故C 选项不符合题意；D 选项：∵∠A +∠B =2∠C ，∠A +∠B +∠C =180°，∴∠C =60°，不能判断△ABC 是等边三角形，故D 选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟悉等边三角形的定义及等边三角形的判定定理．注意：等边三角形的判定定理有：①三边都相等的三角形是等边三角形，②三角都相等的三角形是等边三角形，③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．【变式1-1】2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC 是等边三角形，且BD ＝CE ，∠1＝15°，则∠2的度数为____°．【答案】60【分析】根据等边三角形的性质可得AB BC =，A ABC CB =Ð∠，证明△ABD ≌△BCE （SAS ），根据全等三角形的性质可得∠1＝∠CBE ，根据三角形外角的性质可得∠2＝∠1+∠ABE ，继而根据等量代换可得∠2＝∠CBE +∠ABE ＝∠ABC ，即可求解．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB BC =，A ABC CB =Ð∠，在△ABD 和△BCE 中，AB BC ABC ACB BD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∴∠1＝∠CBE ，∵∠2＝∠1+∠ABE ，∴∠2＝∠CBE +∠ABE ＝∠ABC ＝60°．故答案为：60．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质是解题的关键．【题型2】等边三角形的判定1．（2021·辽宁·辽河油田实验中学八年级阶段练习）如图，已知P 、Q 是△ABC 的BC 边上的两点，BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠BAC 的大小为（）A ．120°B ．110°C ．100°D ．90°【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质，得∠PAQ =∠APQ =∠AQP =60°，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得∠BAP =∠CAQ =30°，从而求解．【详解】解：∵PQ =AP =AQ ，∴△APQ 是等边三角形，∴∠PAQ =∠APQ =∠AQP =60°，∵BP ＝AP ， QC ＝AQ∴∠B =∠BAP ，∠C =∠CAQ ．又∵∠BAP +∠ABP =∠APQ =60°，∠C +∠CAQ =∠AQP =60°，∴∠BAP =∠CAQ =30°．∴120BAC BAP PAQ CAQ Ð=Ð+Ð+Ð=°．故∠BAC 的度数是120°．故选：A ．【点睛】此题主要考查了运用等边三角形的性质与判定、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质．【变式2-1】2．（2021·辽宁·辽河油田实验中学八年级阶段练习）如图，在等边△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，点E 在线段AD上，且2ED＝BC，则∠ACE＝_______【题型3】等边三角形的判定和性质1．（2022·山东·济南市济阳区垛石街道办事处中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm．若AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN=_________．【答案】2cm【分析】作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可．【详解】连接AM，AN，∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，∴BM=AM，CN=AN，∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∴∠MAB=∠B=∠CAN=∠C=30°∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，∵BC=6cm，∴MN=2cm．故答案为：2cm．【点睛】本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．【变式3-1】2．（2022·福建·莆田哲理中学八年级期末）如图，AB ＝AC ，AE ＝EC ＝CD ，∠A ＝60°，延长DE 交于AB 于F ，若EF ＝2，则DF ＝_________．【答案】6【分析】由AB AC =，60A Ð=°得到△ABC 是等边三角形，由等边三角形的性质和AE EC CD ==，推出BE =4，再由∠DBE =∠CDE =30°，推出ED =BE =4，从而求出DF 的长度．【详解】解：∵AB AC =，60A Ð=°，∴△ABC 是等边三角形，又∵AE EC =，∴∠AEB =90°，∠ABE =∠DBE =30°，∵∠ACB =60°，EC CD =，∴∠CED =∠CDE =30°，∴∠AEF=30°，∴∠FEB =60°，∴∠BFE =90°，∵2EF =，∴BE =4，∵∠DBE=∠CDE =30°，∴ED=BE =4，∴DF = ED+EF =6．故答案为6．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是根据已知条件推出△BEF 是直角三角形．【题型4】含30度角的直角三角形1．（2020·湖北·公安县教学研究中心八年级期中）如图，∠B =∠D =90°，AB =AD ，∠2=60°，BC =5，则AC =（）A ．5B ．10C ．15D ．2.5【答案】B 【分析】利用HL 证明Rt △ACB ≌Rt △ACD ，推出∠1=30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解：∵∠B =∠D =90°，AB =AD ，AC =AC ，∴Rt △ACB ≌Rt △ACD （HL ），∴∠ACB =∠ACD =60°，∴∠1=30°，∵BC =5，∴AC =2BC =10，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是证明Rt △ACB ≌Rt △ACD ．【变式4-1】2．（2022·湖南·澧县教育局张公庙镇中学八年级期末）如图，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，BE 平分ABC Ð，ED 垂直平分AB 于D ．若9AC =，则AE 的值是______．【答案】6【分析】先根据角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质可得,AE BE ABE CBE A =Ð=Ð=Ð，再根据三角形的内角和定理可得30CBE Ð=°，设AE BE x ==，则9CE x =-，在Rt BCE V 中，根据含30度角的直角三角形的性质即可得．【详解】解：BE Q 平分ABC Ð，ABE CBE \Ð=Ð，ED Q 垂直平分AB ，AE BE \=，ABE A \Ð=Ð，ABE CBE A \Ð=Ð=Ð，又90C Ð=°Q ，90ABE CBE A \Ð+Ð+Ð=°，解得30CBE Ð=°，设AE BE x ==，则9CE AC AE x =-=-，Q 在Rt BCE V 中，90C Ð=°，30CBE Ð=°，2BE CE \=，即()29x x =-，解得6x =，即6AE =，故答案为：6．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．一．选择题1．（2020·全国·九年级专题练习）如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若12AB cm =，则阴影部分的面积是（）A ．12B ．18C ．24D ．362．（2022·广东清远·八年级期中）如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，1BC =，则AB =（）A ．2B C D ．1.5【答案】A 【分析】根据含30°角的直角三角形的性质定理得出AB ＝2BC ，代入求出即可．【详解】解：Q 在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，2AB BC \=，1BC =Q ，2AB \=，故选：A ．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质定理，能根据含30°角的直角三角形的性质定理得出AB ＝2BC 是解此题的关键．3．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在等边△ABC 中，AB ＝4cm ，BD 平分∠ABC ，点E 在BC 的延长线上，且30E Ð=o ，则CE 的长是（）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm4．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB 的平分线交BC 于D ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E ．若BC ＝6，则DE 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2021·贵州·铜仁市第十一中学八年级期中）如图，D 是等边ABC V 的边AC 上的一点，E 是等边ABC V外一点，若BD CE =，12Ð=Ð，则对ADE V 的形状最准确的是（）．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不等边三角形【答案】C 【分析】先根据已知利用SAS 判定△ABD ≌△ACE 得出AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°，从而推出△ADE 是等边三角形．【详解】解：∵三角形ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∵BD ＝CE ，∠1＝∠2，在△ABD 和△ACE 中，12AB AC BD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形．故选：C ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和全等三角形的判定方法，掌握等边三角形的判定和全等三角形的判定是本题的关键，做题时要对这些知识点灵活运用．6．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，一块三角形空地上种草皮绿化，已知AB ＝20米，AC ＝30米，∠A ＝150°，草皮的售价为a 元/米2，则购买草皮至少需要（）A ．450a 元B ．225a 元C ．150a 元D ．300a 元【答案】C 【详解】如图，过点C 作CD ⊥BA 交BA 的延长线于点D ，∵∠BAC=150°，∴∠DAC=30°，∵CD⊥BD，AC=30m，∴CD=15m，∵AB=20m，∴S△ABC=AB×CD÷2=×20×15÷2=150m2，∵草皮的售价为a元/米2，∴购买这种草皮的价格：150a元．故选C．二、填空题7．（2022·广东·平洲一中八年级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8cm，则BC＝_____cm．8．（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知O是等边△ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且Ð=_____．Ð=120°，那么BDC=，AOBOD OA【答案】60°【分析】由AOB Ð的度数利用邻补角互补可得出60AOD Ð=°，结合OD OA =可得出AOD D 为等边三角形，而根据旋转全等模型由SAS 易证出BAO CAD D @D ，根据全等三角形的性质可得出120ADC AOB Ð=Ð=°，再根据BDC ADC ADO Ð=Ð-Ð即可求出BDC ∠的度数．【详解】解：ABC D Q 为等边三角形，AB AC \=，60BAC Ð=°．120AOB Ð=°Q ，180AOD AOB Ð+Ð=°，60AOD \=°∠．又OD OA =Q ，AOD \D 为等边三角形，AO AD \=，60OAD Ð=°，60ADO Ð=°．60BAO OAC OAC CAD Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，BAO CAD \Ð=Ð．在BAO D 和CAD D 中，AB AC BAO CAD AO AD =ìïÐ=Ðíï=î，()BAO CAD SAS \D @D ，120ADC AOB \Ð=Ð=°，60BDC ADC ADO \Ð=Ð-Ð=°．故答案为：60．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及角的计算，通过证明BAO CAD D @D ，找出120ADC AOB Ð=Ð=°是解题的关键．9．（2022·山东临沂·八年级期末）已知等腰ABC V 的一底角∠B =15°，且斜边AB ＝6cm ，则ABC V 的面积为__10．（2020·辽宁阜新·中考真题）如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且//a b，142Ð=°，则2Ð的度数为________．【答案】102°【分析】根据题意可求出BACÐ的度数，再根据两直线平行内错角相等即可得出答案．【详解】Q三角形ABC为等边三角形\Ð=°BAC60//Qa b\Ð=Ð+Ð=°+°=°BAC214260102故答案为：102°．【点睛】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．11．（2022·内蒙古·呼和浩特市回民区秋实学校八年级阶段练习）如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE = ，则BC =________．12．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，AB AC =，点D 在BC 上，AD DE =，如果20BAD Ð=o ，∠AED ＝60o ，那么∠EDC 的度数为___度．【答案】10【分析】先证明△ADE 是等边三角形，从而得到∠ADE =∠AED =60°，再根据等腰三角形的性质与三角形外角的性质得到∠EDC =∠AED -∠C =60°-∠C ，∠EDC =∠ADC -∠ADE =∠B +∠BAD -∠ADE =∠B -40°，据此求解即可．【详解】解：∵AD =DE ，∠AED =60°，∴△ADE 是等边三角形，∴∠ADE =∠AED =60°，∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∵∠ADC =∠B +∠BAD ，∠AED =∠C +∠EDC ，∴∠EDC =∠AED -∠C =60°-∠C ，∠EDC =∠ADC -∠ADE =∠B +∠BAD -∠ADE =∠B -40°，∴2∠EDC =60°-∠C +∠B -40°，∴∠EDC =10°，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，证明△ADE 是等边三角形是解题的关键．三、解答题13．（2021·辽宁营口·九年级期中）ABC V 与CDE △都是等边三角形，连接AD 、BE ．（1）如图①，当点B 、C 、D 在同一条直线上时，则BCE Ð=______度；（2）将图①中的CDE △绕着点C 逆时针旋转到如图②的位置，求证：AD BE =．【答案】（1）120；（2）证明见解析．【分析】（1）根据CDE △是等边三角形及点B 、C 、D 在同一条直线上即可求解；（2）证明BCE ACD D D ≌即可求解．【详解】解：（1）∵CDE △是等边三角形，∴60DCE Ð=°，∵点B 、C 、D 在同一条直线上，∴180BCE DCE ÐÐ+=°，∴180120BCE DCE ÐÐ=°-=°（2）∵ABC V 与CDE △都是等边三角形，∴BC =AC ，CE =CD ，∠ACB =∠DCE =60°，∴∠ACB +∠ACE =∠DCE +∠ACE ，∴∠BCE =∠ACD ，在BCE V 与ACD △中，BC AC BCE ACD CE CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()BCE ACD SAS D D ≌，∴BE =AD ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．14．（2021·江苏·南通田家炳中学一模）如图，已知点D 、E 在ABC V 的边BC 上，AB AC =，AD AE =．（1）求证：BD CE =；（2）若AD BD DE CE ===，求BAE Ð的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）90o．【分析】（1）作AF BC ^于点F ，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF CF =，DF EF =，相减后即可得到正确的结论；（2）根据等边三角形的判定得到ADE V 是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点A 作AF BC ^于F ．Q AB AC =，AD AE =，\BF CF =，DF EF =，15．（2021·江西·信丰县第七中学八年级阶段练习）如图，△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，BC的垂直平分线交BC与点D，交AC于点E．求证：（1）AE=DE；（2）若AE=6，求CE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）12．【分析】（1）由垂直平分线可得EB=EC，则得∠EBC=∠C=30°=∠ABE，由角平分线性质可得AE=DE；（2）根据直角三角形中，30°所对直角边为斜边的一半．即可得到答案．【详解】（1）证明：连接BE，∵∠A=90°，∠B=60°，∴∠C=30°．∵DE垂直平分BC，16．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，点C 为线段AB 上一点，ACM V ，CBN V 是等边三角形，直线AN MC 、交于点E ，直线BM CN 、交于点F ．（1）求证：AN BM =；（2）求证：EC FC =；（3）求证：//AB EF ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）只需要证明△CAN ≌△CMB 即可得到答案；（2）根据△CAN ≌△CMB 得到∠EAC =∠FNC ，再由AC =MC ，∠ACE =∠MCF =60°，即可证明△AEC ≌△MFC ，得到CE =CF ；（3）根据CE =CF ，∠ECF =60°，推出△ECF 是等边三角形，则∠CEF =∠ACE =60°，即可得证．【详解】解：（1）∵△ACM 和△CBN 都是等边三角形，∴AC =MC ，CN =CB ，∠ACM =∠BCN =60°，∴∠MCN =180°-∠ACM -∠BCN =60°，∴∠CAN =∠ACM +∠MCN =∠MCN +∠BCN =∠BCM =120°，∴△CAN ≌△CMB （SAS ），∴AN =BM ；（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠EAC=∠FNC，∵AC=MC，∠ACE=∠MCF=60°，∴△AEC≌△MFC（ASA），∴CE=CF；（3）∵CE=CF，∠ECF=60°，∴△ECF是等边三角形，∴∠CEF=∠ACE=60°，∴EF∥AB．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．17．（2022·全国·八年级课时练习）已知△ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E．（1）如图1，连接AD，AE，DE，当BC＝2BD时，根据边的关系，可判定△ADE的形状是_____三角形；（2）如图2，当点D在BC延长线上时，连接AD，AE，CE，BE，延长AB到点G，使BG＝CD，连接CG，交BE于点F，F为BE的中点，若AE＝12，则CF的长为_____．【答案】等边 6【分析】（1）由等边三角形的性质得出AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，证出∠DAE＝60°，由等边三角形的判定可得出结论；（2）证明△ACE≌△CBG（S A S），由全等三角形的性质得出AE＝CG，证△CEF≌△GBF（AA S），由全等三角形的性质得出CF＝GF，则可得出答案．【详解】解：（1）∵BC＝2BD，∴BD＝CD，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAD＝∠DAC＝30°，∵点D关于直线AC的对称点为点E，∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形．故答案为：等边；（2）∵点D关于直线AC的对称点为点E．∴△ACD≌△ACE，∴CE＝CD，∠ACD＝∠ACE，∵BG＝CD，∴CE＝BG，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝CB，∴∠ACD＝∠GBC＝120°，∴∠ACE＝∠GBC＝120°，∴△ACE≌△CBG（S A S），∴AE＝CG，∵∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝60°，∴∠BCE+∠BGC＝180°，∴BG∥CE，∴∠G＝∠FCE，∵F为BE的中点，∴BF＝EF，∵∠BFG＝∠CFE，∴△CEF≌△GBF（AA S），∴CF＝GF，18．（2021·河北唐山·八年级期末）在三角形纸片ABC 中，90ABC Ð=°，30A Ð=°，4AC =，点E 在AC 上，3AE =．将三角形纸片ABC 按图中方式折叠，使点A 的对应点A ¢落在AB 的延长线上，折痕为ED ，A E ¢交BC 于点F ．（1）求CFE Ð的度数；（2）求BF 的长度．【答案】（1）60°；（2）1．【分析】（1）先根据折叠的性质可得30A A ¢Ð=Ð=°，再根据邻补角的定义可得90A BF =¢Ð°，然后根据直角三角形的性质可得60A FB ¢Ð=°，最后根据对顶角相等即可得；（2）先根据线段的和差可得1CE =，再根据等边三角形的判定与性质可得1EF CE ==，然后根据折叠的性质可得3A E AE ¢==，从而可得2A F ¢=，最后利用直角三角形的性质即可得．【详解】（1）由折叠的性质得：30A A ¢Ð=Ð=°，90ABC Ð=°Q ，点A ¢落在AB 的延长线上，18090ABC A BF ¢Ð=°Ð=-\°，9060A FB A ¢¢\Ð=°-Ð=°，由对顶角相等得：60CFE A FB ¢Ð=Ð=°；（2）4,3C E A A ==Q ，1CE AC AE \=-=，Q 在ABC V 中，90ABC Ð=°，30A Ð=°，9060C A \Ð=°-Ð=°，由（1）知，60CFE Ð=°，。

《等边三角形的性质与判定》教案、导学案、同步练习

《第1课时等边三角形的性质和判定》教案教学目标（一）教学知识点经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程．（二）能力训练要求1．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．2．经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．（三）情感与价值观要求1．积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．教学重点等边三角形判定定理的发现与证明．教学难点1．等边三角形判定定理的发现与证明．2．引导学生全面、周到地思考问题．教学方法探索发现法．教具准备多媒体课件，投影仪．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]我们在前两节课研究证明了等腰三角形的性质和判定定理，我们知道，在等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形──三条边都相等的三角形，叫等边三角形．回答下面的三个问题．（演示课件）1．把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？2．一个三角形满足什么条件就是等边三角形？3．你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？•你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴交流．（教师应给学生自主探索、思考的时间）[生甲]由等边对等角的性质可知，等边三角形的三个角相等，又由三角形三内角和定理可知，等边三角形的三个角相等，并且都等于60°．[生乙]等腰三角形已有两边分别相等，所以我认为只要腰和底边相等，等腰三角形就是等边三角形了．[生丙]等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于60°，我认为等腰三角形的三个内角都等于60°，也就是说这个等腰三角形就是等边三角形了．（此时，部分同学同意此生看法，部分同学不同意此生看法，引起激烈的争论，•教师可让同学代表发表自己的看法）[生丁]我不同意这个同学的看法，•因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形．根据等角对等边，三个内角都是60°，所以它们所对的边一定相等，但这一问题中“已知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”，•我觉得他给的条件太多，浪费![师]给三个角都是60°，这个条件确实有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？•下面同学们可以在小组内交流自己的看法．Ⅱ．导入新课探索等腰三角形成等边三角形的条件．[生]如果等腰三角形的顶角是60°，那么这个三角形是等边三角形．[师]你能给大家陈述一下理由吗？[生]根据三角形的内角和定理，顶角是60•°，•等腰三角形的两个底角的和就是180°-60°=120°，再根据等腰三角形两个底角是相等的，•所以每个底角分别是120°÷2=60°，则三个内角分别相等，根据等角对等边，•则此时等腰三角形的三条边是相等的，即顶角为60°的等腰三角形为等边三角形．[生]等腰三角形的底角是60°，那么这个三角形也是等边三角形，同样根据三角形内角和定理和等角对等边、等边对等角的性质．[师]从同学们自主探索和讨论的结果可以发现：•在等腰三角形中，•不论底角是60°，还是顶角是60°，那么这个等腰三角形都是等边三角形．•你能用更简洁的语言描述这个结论吗？[生]有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．（这个结论的证明对学生来说可能有一定的难点，难点是意识到分别讨论60°的角是底角和顶角两种情况．这是一种分类讨论的思想，教师要关注学生得出证明思路的过程，引导学生全面、周到地思考问题，并有意识地向学生渗透分类的思想方法）[师]你在与同伴的交流过程中，发现了什么或受到了何种启示？[生]我发现我的证明过程没有意识到“有一个角是60°”，在等腰三角形中有两种情况：（1）这个角是底角；（2）这个角是顶角．也就是说我们思考问题要全面、周到．[师]我们来看有多少同学意识到分别讨论60°的角是底角和顶角的情况，•我们鼓掌表示对他们的鼓励．今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，我们在证明这个定理的过程中，还得出了三角形为等边三角形的条件，是什么呢？[生]三个角都相等的三角形是等边三角形． [师]下面就请同学们来证明这个结论．（投影仪演示学生证明过程）已知：如图，在△ABC 中，∠A=∠B=∠C ．求证：△ABC 是等边三角形．证明：∵∠A=∠B ， ∴BC=AC （等角对等边）．又∵∠A=∠C ，∴BC=AC （等角对等边）．∴AB=BC=AC ，即△ABC 是等边三角形．[师]这样，我们由等腰三角形的性质和判定方法就可以得到．（演示课件）AB等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；三个角都相等的三角形是等边三角形．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．[师]有了上述结论，我们来学习下面的例题，体会上述定理．（演示课件）[例4]如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，测得∠APB=60°，AP=BP=200m ，•他们便得出一个结论：A 、B 之间距离不少于200m ，他们的结论对吗？分析：我们从该问题中抽象出△APB ，由已知条件∠APB=60°且AP=BP ，•由本节课探究结论知△APB 为等边三角形．解：在△APB 中，AP=BP ，∠APB=60°，所以∠PAB=∠PBA=（180°-∠APB ）=（180°-60°）=60°．于是∠PAB=∠PBA=∠APB ．从而△APB 为等边三角形，AB 的长是200m ，•由此可以得出兴趣小组的结论是正确的．Ⅲ．随堂练习（一）课本P54练习 1、2．1．等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？它们分别是什么线段？答案：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它们分别是三个角的平分线（或是三条边上的中线或三条边上的高线）．2．如图，等边三角形ABC 中，AD 是BC 上的高，∠BDE=∠CDF=60°，•图中有哪些与BD 相等的线段？答案：BD=DC=BE=EA=CF=FA=DE=DF ．（二）补充练习1212E DCA BF如图，△ABC 是等边三角形，∠B 和∠C 的平分线相交于D ，BD 、CD•的垂直平分线分别交BC 于E 、F ，求证：BE=CF ．证明：连结DE 、DF ，则BE=D E ，DF=CF ．由△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC ，得∠1=30°，故∠2=30°，从而∠DEF=60°．同理∠DFE=60°，故△DEF 是等边三角形． DE=DF ，因而BE=CF ． Ⅳ．课时小结这节课，我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件，•并对这个结论的证明有意识地渗透分类讨论的思想方法．这节课我们学的定理非常重要，在我们今后的学习中起着非常重要的作用．Ⅴ．课后作业（一）课本P56─5、6、7、10题．（二）预习P55～P56． Ⅵ．活动与探究探究：如图，在等边三角形ABC 的边AB 、AC 上分别截取AD=AE ．△ADE 是等边三角形吗？试说明理由．过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解等边三角形的性质及判定．结果：已知：三角形ABC 为等边三角形．D 、E 为边AB 、AC 上两点，且AD=AE ．判断△A DE•是否是等边三角形，并说明理由．解：△ADE 是等边三角形，21E DCABFE DCAB∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°．又∵AD=AE，∴△ADE是等腰三角形．∴△ADE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．板书设计§12．3．2 等边三角形（一）一、探索等边三角形的性质及判定问题：一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形二、等边三角形的性质及判定三、应用例题讲解四、随堂练习五、课时小结六、课后作业备课资料等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定．等腰三角形（含等边三角形）参考例题1．已知，如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC．屋椽AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．解：在△ABC中，∵AB=AC（已知），DA B∴∠B=∠C （等边对等角）． ∴∠B=∠C=（180°-∠BAC ）=40°（三角形内角和定理）．又∵AD ⊥BC （已知），∴∠BAD=∠CAD （等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）． ∴∠BAD=∠CAD=50°．2．已知：如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 到E ，使CE=CD ．求证：DB=DE ．证明：∵△ABC 是等边三角形，且BD 是中线， ∴BD ⊥AC ，∠ACB=60°，∠DBC=30°．又∵CD=CE ， ∴∠CDE=∠E=∠ACB=30°． ∴∠DBC=∠E ． ∴DB=DE ．3．已知：如图，△ABC 是等边三角形，DE ∥BC ，交AB 、AC 于D 、E ．求证：△ADE 是等边三角形．证明：∵△ABC 是等边三角形（已知）， ∴∠A=∠B=∠C （等边三角形各角相等）． ∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C （两直线平行，同位角相等）． ∴∠A=∠ADE=∠AED ．∴△ADE 是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）．§12．3．2 等边三角形（二）教学目标（一）教学知识点1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质． 2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．1212ED ABDCAE B（二）能力训练要求1．经历“探索──发现──猜想──证明”的过程，•引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．2．培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．（三）情感与价值观要求1．鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．2．体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性．教学重点含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．教学难点1．含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．2．引导学生全面、周到地思考问题．教学方法探索发现法．教具准备两个全等的含30°角的三角尺；多媒体课件；投影仪．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质．大家可能已猜到，我让大家准备好的含30°角的直角三角形，•它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？•能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？Ⅱ．导入新课（让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明）[生]用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD ≌△ACD ，所以AB=AC ，又因为Rt △ABD 中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．[生]图（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC 是等边三角形．[师]同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？[生]在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半． [师]我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？[生]可以，在图（1）中，我们已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC ．•而∠ADB=90°，即AD ⊥BC ．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=BC ．所以BD=AB ，•即在Rt △ABD 中，∠BAD=30°，它所对的边BD 是斜边AB 的一半．[师生共析]这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起．•下面我们一同来完成这个定理的证明过程．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB ． (1)D C AB(2)D CAB121212分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD ．证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°．延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD （如下图） ∵∠ACB=60°， ∴∠ACD=90°． ∵AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC （SAS ）．∴AB=AD （全等三角形的对应边相等）．∴△ABD 是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）． ∴BC=BD=AB ． [师]这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看一个例题．（演示课件）[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m ，∠A=30°，立柱BD 、DE 要多长？分析：观察图形可以发现在Rt △AED 与Rt △ACB 中，由于∠A=30°，所以DE=AD ，BC=AB ，又由D 是AB 的中点，所以DE=AB ．解：因为DE ⊥AC ，BC ⊥AC ，∠A=30°，由定理知BC=AB ，DE=AD ，所以BD=×7.4=3.7（m ）．又AD=AB ，所以DE=AD=×3.7=1.85（m ）．答：立柱BC 的长是3.7m ，DE 的长是1.85m ．ABDC A1212121214121212121212D C AEB[师]再看下面的例题．[例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．求：CD 的长．分析：观察图形可以发现，在Rt △ADC 中，AC=2a ，而∠DAC 是△ABC 的一个外角，•则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，•可求出CD ．解：∵∠ABC=∠ACB=15°， ∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°． ∴CD=AC=a （在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．[师]下面我们来做练习． Ⅲ．随堂练习（一）课本P56练习Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=2∠A ，∠B 和∠A 各是多少度？边AB 与BC•之间有什么关系？答案：∠B=60°，∠A=30°，AB=2BC ．（二）补充练习1．已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°．求证：BD=AB ．证明：在Rt △ABC 中，∠A=30°， ∴BC=AB ．在Rt △BCD 中，∠B=60°， ∴∠B CD=30°．∴BD=BC ． ∴BD=AB ．2．已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把1214121214DC AD CAB对边分成两条线段．求证：其中一条是另一条的2倍．已知：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，BD 是∠ABC 的平分线．求证：CD=2AD ．证明：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ， ∴∠ABC=60°，∠C=30°．又∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠DBC=30°． ∴AD=BD ，BD=CD ． ∴CD=2AD ． Ⅳ．课时小结这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．Ⅴ．课后作业（一）课本P58─11、12、13、14题．（二）预习P60～P61，并准备活动课．1．找出若干个成轴对称的汉字、英文字母、阿拉伯数字． 2．思考镜子对实物的改变． Ⅵ．活动与探究在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．过程：可以从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”．从辅助线的作法中得到启示．结果：已知：如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AB ．求证：∠B AC=30°．证明：延长BC 到D ，使CD=BC ，连结AD ． ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD=90°．1212DCAB(1)C AB又∵AC=AC ，∴△ACB ≌△ACD （SAS ）． ∴AB=AD ． ∵CD=BC ，∴BC=BD ．又∵BC=AB ，∴AB=BD ． ∴AB=AD=BD ，即△ABD 为等边三角形． ∴∠B=60°．在Rt △ABC 中，∠BAC=30°．板书设计§12．3．2 等边三角形（二）一、定理的探究定理：在直角三角形中，有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、范例分析三、随堂练习四、课时小结五、课后作业备课资料参考例题1．已知，如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形．求证：AN=BM ．证明：△ACM 与△CBN 是等边三角形． ∴∠ACM=∠BCN ．∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠NCM ，即∠ACN=∠MCB ．在△ACN 和△MCB 中，1212(2)DC ABCBMN∴△ACN≌△MCB（SAS）．∴AN=BM．2．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10cm，•CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少？解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10cm．∴BC=AB=5cm．∵CB1⊥AB，∴∠B+∠BCB1=90°．又∵∠A+∠B=90°，∴∠BCB1=∠A=30°．在Rt△ACB1中，BB1=BC=2.5cm．∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5（cm）．∴在Rt△AB1C1中，∠A=30°．∴B1C1=AB1=×7.5=3.75（cm）．13.3.2 等边三角形《第1课时等边三角形的性质和判定》教案教学目的1．使学生熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度。

北师大版小学四年级下册数学《三角形分类》教案（精选6篇）

北师大版小学四年级下册数学《三角形分类》教案（精选6篇）北师大版小学四年级下册数学《三角形分类》篇1教学目标：知识与技能：通过分类认识直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形和等边三角形，体会每种三角形的特点。

过程与方法：在分类中体会分类标准的严密。

情感态度与价值观：在三角形的分类中感受各类三角形之间的关系。

教学准备：多媒体,各种三角形纸片。

教学过程：一、创设情境1、欢欢和笑笑给同学们发来请贴,邀请大家到数学王国做客.但路上有两道关卡,只有顺利通过才能得到通行证.第一关:准确地认出他们,并说出他们的特征.(课件出示锐角、直角和钝角)第二关:给他们取个形象又合适的名字.(出示锐角三角形、直角三角形和钝角三角形)二、探究新知:同学们顺利过关,来到了数学王国.它们非常好客，派了很多代表来迎接我们。

(课件出示各种三角形)1、哟，它们长得很相似的，找找它们有哪些共同点？2、有这么多共同点，老师眼都看花了，但定睛一看，还是有区别的，你们发现了吗？3、看着这些长得相似，但实际上大大小小、形状各异、零零乱乱的三角形，你想研究些什么？板书：三角形分类。

4、学生自由讨论,给三角形分类.谁愿意上来展示一下你的研究成果？5、学生展示分类结果:从角分：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。

讲解直角三角形的直角边、斜边。

从学具中找出直角三角形,说说你是怎么知道它是直角三角形的?从边分：等腰三角形和没有相等的边的三角形。

讲解：等腰三角形的各部分名称。

从你们的学具中找出等腰三角形,你怎么知道它是等腰三角形的?在等腰三角形中有没有三条边都相等的？（等边三角形）找出等边三角形并证明.三、实践应用1、画三角形。

选择你最喜欢的三角形画下来,并向同学们介绍你的三角形.2、猜三角形:出示一个直角出示一个钝角出示一个锐角(能不能正确猜出是什么三角形?为什么?3、填一填4、找一找：在孔雀图中找出你喜欢的三角形说一说。

四、总结，拓展在这节课的探秘中你了解到了什么？你还想研究些什么？北师大版小学四年级下册数学《三角形分类》教案篇2教学目标：1.让每位学生通过动手操作，经历给三角形分类的过程，认识并识别锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形和等边三角形，了解各种类型三角形的特点。

等腰三角形和等边三角形教案、全解、试题全集(附答案)

等腰三角形和等边三角形教案、全解、试题全集（附答案）一. 教学内容：等腰三角形和等边三角形二. 教学目标：1、了解等腰三角形和等边三角形的概念；2、加深理解等腰三角形的性质，并能够用其解决相关问题；3、掌握有一个30°的直角三角形的性质，并能运用它解决相关问题；4、会用尺规作角平分线；5、掌握角平分线的两个相关性质，能够运用性质解决问题；三. 重点、难点：1、等腰三角形与等边三角形的判定与性质；2、角平分线的两个定理的运用；四. 知识要点与学习目标：1、等腰三角形的概念定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

相等的两条边叫做腰；另一条边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角；腰与底边的夹角叫做底角；2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等；（简称：等边对等角）（2）等腰三角形的性质2：等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；（三线合一）（3）等腰三角形判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等；（简称：等角对等边）3、等边三角形的性质：（1）等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形4、角平分线性质定理与判定定理：（1）角平分线上任意一点到角两边的距离相等；（2）在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上【典型例题】例1已知：在△ABC中，AB＝AC（1）若∠A＝70°，则∠B＝___________，∠C＝___________（2）若一个角为30°，则它的另外两内角分别为__________（3）若一个角为100°，则它的另外两内角分别为_________解：（1）55°；55°（2）另外两内角分别为：75°，75°；30°，120°（3）40°，40°小结：渗透分类思想，培养思维的严密性.例2已知：如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE求证：BD＝CE证明：作AF⊥BC，垂足为F，则AF⊥DE∵AB＝AC，AD＝AE（已知）AF⊥BC，AF⊥DE（辅助线作法）∴BF＝CF，DF＝EF（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）∴BD＝CE强调说明：等腰三角形中的“三线合一”常常作为解决等腰三角形问题的辅助线，添加辅助线时，有时作顶角的平分线，有时作底边中线，有时作底边的高，有时作哪条线都可以，有时却不能，还要根据实际情况来定.例3已知：如图，D是等边△ABC内一点，DB＝DA，BP＝AB，∠DBP＝∠DBC。

初中数学教学课件：13.3.2 等边三角形(人教版八年级上)

通过本课时的学习，需要我们掌握：
一.等边三角形的判定 1.三条边都相等的三角形是等边三角形. 2. 三个角都相等的三角形是等边三角形. 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
二.定理：如果在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么，它所对的直角边等于斜边的一半.

即在Rt△ABC 中，
Ａ
如果∠ＡＣB ＝９0° ∠A＝30°
那么ＢＣ＝
.
Ｂ
Ｃ
右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱 BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m, ∠A＝30°,立柱BC、DE 要多长？
B D
A EC
【解析】∵DE⊥AC，BC⊥AC， ∠A＝ 30° 由上述定理可得： BC=1/2 AB，DE=1/2 AD， ∴BC=1/2×7.4=3.7m 又AD=1/2 AB=3.7m ∴DE=1/2 AD=1/2×3.7=1.85m 答：立柱BC、DE分别要3.7m、1.85m.
13.3.2 等边三角形
1.理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法； 2.能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题.
你发现了什么？这就是今天我们要学的等边三角形.
A
想想看，等边三角形有什么性质？
B
C
⑴三边之间 AB＿＝AC＿＝BC
⑵三角之间∠A＿＝∠B＿＝∠C
等边三角形的性质 A
如图，将两个含有30°角的三角形放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC与斜边AB之间的数量关系吗？
∵△ABC与△ADC关于AC轴对称
A
∴AB＝AD
又∵∠B=60°
∴ △ABD是等边三角形
又∵AC⊥BD
∴BC＝DC＝ AB

“等边三角形”教学设计(第二课时)

“等边三角形”教学设计（第二课时）
【教学目标】 1. 知识与技能：使学生理解含 30°角的直角三角形的性质。 2. 过程与方法：（1）通过探究含 30°角的直角三角形的性质，使学生进一步认识到数学来源于生活实践。（2）体验用操作、归纳得出数学结论的过程。（3）会用这一性质解决相关数学问题。 3. 情感、态度与价值观：（1）通过拼等边三角形这一探究活动，培养学生的合作交流、乐于探究、大胆猜想等良好品质。
生的符号感；另一方面让学生通过图形来深入理解所发现的规律，而
不是停留在字面意义上，从而达到理解记忆，使学生见其形，知其意，
人教社数学室李海东研究员曾说 “‘理解数学’ 是教好数学的前提” ，
我们可以说“‘理解数学’是学好数学的前提”。第三方面，
发展
学生的逻辑
（2）使学生经历观察、探究、归纳、推理和证明的全过程，培养学生科学、严谨、求真的学习态度。
【教学重点：】
理解含 30°角的直角三角形的性质及应用。
【教学难点：】
含 30°角的直角三角形性质的探究。
【教学过程】
活动一：旧知准备
问题：
已知△ ABC ，∠ A=60 °，（件，使△ ABC 能成为等边三角形。
活动二：探究直角三角形的性质
１. 拼一拼：
你能用两个含有 30°角的三角板摆放在一起构成一个等边三角形吗？你能借助这个图形，找到 30°角所对的直角边与斜边之间的数量关系吗？组内交流自己的想法。（如图 1）
图（ 1）学生活动：
学生两人一组拼并观察图形，分析数量关系，发现∠ BAD＝60°, 而∠ B＝∠ D＝60°，所以△ ABD 是等边三角形，所以 AB=BD ＝2BC，进而得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2020年人教版数学八年级上册学案13.3.2《等边三角形》(含答案)

13．3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定学习目标理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法．预习阅读教材“思考及例4”，完成预习内容．知识探究1．等边三角形的性质：(1)定义：等边三角形的________都相等；(2)等边三角形的三个内角都________，并且每一个角都等于________．2．等边三角形的判定：(1)定义：________都相等的三角形为等边三角形；(2)三个角都________的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60°的____________为等边三角形．自学反馈1．在等边三角形ABC中，∠______=∠______=∠______=______.2．在三角形ABC中，AB=AC=2，∠A=60°，则BC=________.3．课本练习第1、2小题．活动1小组讨论如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BFD的度数．解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形∴∠BAE=∠DCA=60°，AB=AC.在△ABE与△CAD中，∵AB=AC，∠BAE=∠ACD，AE=CD，∴△ABE≌△CAD.(2)∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠DAC.∵∠BAF＋∠DAC=∠BAC=60°，∠BFD=∠ABE＋∠BAF，∴∠BFD=∠BAF＋∠DAC=60°.点拨：由等边三角形的性质，根据SAS证全等，然后利用全等的性质求∠BFD的度数．课堂小结对于等边三角形，它属于特殊的等腰三角形，特殊到三条边相等，三个角都等于60°，“三线合一”的性质就更能不受限制，淋漓尽致地发挥了．第2课时含30°角的直角三角形的性质学习目标掌握含30°角的直角三角形的性质，并会运用．预习阅读教材P80～81“探究及例5”，完成预习内容．知识探究在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的________等于________________．自学反馈1．在Rt △ABC 中，若∠BCA=90°，∠A=30°，AB=4，则BC=________.2．Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=2∠A ，∠B 和∠A 各是多少度？边AB 与BC 之间有什么关系？活动1 小组讨论如图，∠ACB=90°，∠B=30°，CD ⊥AB.求证：AD=14AB.证明：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=12AB.∵CD ⊥AB ，∴∠CDB=90°.∴∠DCB=60°. ∵∠ACB=90°，∴∠ACD=30°.在Rt △ACD 中，∠ACD=30°.∴AD=12AC=14AB. 课堂小结含30°角的直角三角形中存在线段的比例关系，是证明线段倍数关系的重要途径．课堂小练一、选择题1.如图，在△ABC 中，D 、E 在BC 上，且BD=DE=AD=AE=EC ，则∠BAC 的度数是（）A.30°B.45°C.120°D.15°2.已知∠AOB=30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点所构成的三角形是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形3.如图，在△ABC 中，∠B=30°，BC 的垂直平分线交AB 于E ，垂足为D.若ED=5，则CE 的长为（）A.10B.8C.5D.2.54.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB的长为2cm，则AC长为（）A.4cmB.2cmC.1cmD.0.5m5.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，则BD与AB的关系是（）A.BD=ABB.BD=ABC.BD=ABD.BD=AB6.如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB=10m，∠A=30°，则立柱BC的长度是（）A.5mB.8mC.10mD.20m7.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）A.6米B.9米C.12米D.15米8.等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为( )A.60°B.90°C.120°D.150°9.如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1=20°，则∠2的度数是( )A.100°B.80°C.60°D.40°10.下列推理错误的是( )A.在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC为等边三角形B.在△ABC中，∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC为等边三角形C.在△ABC中，∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC为等边三角形D.在△ABC中，∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC为等边三角形二、填空题11.如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB=8 cm，BD=________，BE=________.12.等腰三角形的底角为15°，腰长是2 cm，则腰上的高为________.13.等腰三角形一底角是30°，底边上的高为9 cm，则其腰长为________，顶角为________.14.在Rt△ACB中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，则BC=________.15.如图，将边长为5 cm的等边△ABC，沿BC向右平移3 cm，得到△DEF，DE交AC于M，则△MEC是________三角形，DM=________cm.参考答案1.答案为：C2.答案为：D3.答案为：A4.答案为：C5.答案为：C6.答案为：A7.答案为：B8.答案为：A9.答案为：A10.答案为：B.11.答案为：4 cm 2 cm12.答案为：1 cm13.答案为：18 cm 120°14.答案为：515.答案为：等边 3。

中考数学复习----《等边三角形》知识点总结与练习题(含答案解)

中考数学复习----《等边三角形》知识点总结与练习题（含答案解）知识点总结1. 等边三角形的概念：三条边都相等的三角形是等边三角形。

2. 等边三角形的性质：①等边三角形的三条边都相等，三个角也相等，且三个角都等于60°。

②等边三角形三条边都存在“三线合一”③等腰三角形是一个轴对称图形，有三条对称轴。

④等腰三角形的面积等于243a （a 为等腰三角形的边长）。

3. 等腰三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形。

②三个角都相等（两个角是60°）的三角形是等腰三角形。

③底和腰相等的等腰三角形是等边三角形。

④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

练习题1、（2022•鞍山）如图，直线a ∥b ，等边三角形ABC 的顶点C 在直线b 上，∠2＝40°，则∠1的度数为（）A ．80°B ．70°C ．60°D ．50°【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A ＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数．【解答】解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝60°，∵∠A +∠3+∠2＝180°，∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝80°．故选：A．2、（2022•绵阳）下列关于等边三角形的描述不正确的是（）A．是轴对称图形B．对称轴的交点是其重心C．是中心对称图形D．绕重心顺时针旋转120°能与自身重合【分析】根据等边三角形的性质，轴对称图形的定义，中心对称图形的定义进行判断即可．【解答】解：等边三角形是轴对称图形，每条边的高线所在的直线是其对称轴，故A选项不符合题意；三条高线的交点为等边三角形的重心，∴对称轴的交点是其重心，故B选项不符合题意；等边三角形不是中心对称图形，故C选项符合题意；等边三角形绕重心顺时针旋转120°能与自身重合，故D选项不符合题意，故选：C．3、（2022•海南）如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．80°B．100°C．120°D．140°【分析】先根据等边三角形的性质可得∠A＝∠B＝∠C＝60°，由三角形外角的性质可得∠AEF的度数，由平行线的性质可得同旁内角互补，可得结论．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°．对于△AEF，∵∠1＝∠A+∠AEF＝140°，∴∠AEF＝140°﹣60°＝80°，∴∠DEB＝∠AEF＝80°，∵m∥n，∴∠2+∠DEB＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°，故选：B．4、（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝3，则△AOB与△BOC的面积之和为（）A ．43B ．23C ．433D ．3【分析】将△AOB 绕点B 顺时针旋转60°得△CDB ，连接OD ，可得△BOD 是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得∠COD ＝90°，从而解决问题．【解答】解：将△AOB 绕点B 顺时针旋转60°得△CDB ，连接OD ，∴OB ＝BD ，∠OBD ＝60°，CD ＝OA ＝2，∴△BOD 是等边三角形，∴OD ＝OB ＝1，∵OD 2+OC 2＝12+（）2＝4，CD 2＝22＝4，∴OD 2+OC 2＝CD 2，∴∠DOC ＝90°，∴△AOB 与△BOC 的面积之和为S △BOC +S △BCD ＝S △BOD +S △COD ＝×12+＝，故选：C ．。

七年级(下)数学第15讲等边三角形 (解析版)

等边三角形是七年级数学下学期第三章第三节的内容，本讲主要讲解等边三角形的性质和判定定理；重点是理清性质和判定之间的区别和联系，难点是灵活运用等边三角形的性质解决综合题目，综合性更强．1、等边三角形的性质等边三角形的每个内角都等于60°．2、等边三角形的判定（1）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．等边三角形内容分析知识结构模块一：等边三角形性质与判定知识精讲2 / 24【例1】下列说法中错误的是（）A ．等边三角形是等腰三角形B ．等边三角形是锐角三角形C ．等边三角形的高、中线、角平分线共有3条D ．含有60°角的三角形是等边三角形【答案】D【解析】含有60°角的三角形不一定是等边三角形．【总结】本题主要考查了等边三角形的定义和性质．【例2】（1）等腰三角形的一个外角等于120°，则它是三角形；（2）等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_______________．【答案】（1）等边三角形；（2）三，三边的垂直平分线．【解析】（1）当一个外角等于120︒时，与这个外角相邻的内角为60︒，因为是等腰三角形，所以另外两个角也为60︒，则这个三角形为等边三角形；（2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三边的垂直平分线．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质．【例3】（1）已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F ，则∠AFE =_____________；（2）△ABC 是等边三角形，AD ∥BC ，CD ⊥AD ，则∠ACD = ．【答案】（1）60︒；（2）30︒．【解析】（1）ABC ∆是等边三角形， 601303BAC AD BC CAD BAC ︒︒∴∠=∴∠=∠=，是边上的高，，90BE AC BE AC AEF ︒∴⊥∴∠=是边上的中线，，，903060AFE AEF CAD ︒︒︒∴∠=∠-∠=-=；ACDBFE 例题解析（2）ABC ∆是等边三角形，60ACB ︒∴∠=． //90AD BC CD AD BCD ︒⊥∴∠=，，，906030ACD ︒︒︒∴∠=-=．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质．【例4】已知三角形的一个外角等于与它不相邻的一个内角的2倍，且有一个内角为60°则这个三角形是（） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形【答案】A【解析】因为三角形一个外角等于与它不相邻的一个内角的2倍，且同时等于与它不相邻的两个内角之和，所以与它不相邻的两个内角相等，因为有一个内角为60︒，所以三个内角均为60︒，所以为等边三角形．【总结】本题主要考查三角形外角的性质及三角形内角和定理．【例5】已知△ABC 是等边三角形，点D 在AC 上，点E 在AB 上，BD 与CE 相交于点F ，且BF=CF ，说明△ADE 是等边三角形．【解析】BF CF =，FBC FCB ∴∠=∠．60()ABC AB AC ABC ACB A ABD ACE ABD ACE ASA ︒∆∴=∠=∠∠=∴∠=∠∴∆≅∆为等边三角形，，，，AE AD ADE ∴=∴∆，是等边三角形．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和判定及全等三角形的判定．A B CDEFDCBA4 / 24【例6】如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，△ADB 和△ACE 都是等边三角形，且∠DAE =∠DBC ，求∠BAC 的度数．【答案】20°．【解析】AB AC =，ABC ∴∆是等腰三角形．60ADB ACE ABD BAD CAE ︒∆∆∴∠=∠=∠=和是等边三角形，．606060DAE DBC ABC BAC ︒︒︒∠=∠∴∠+=∠++，，60ABC BAC ︒∠=∠+即．2180ABC ABC BAC ︒∆∠+∠=在中，，)260180BAC BAC ︒︒∴∠++∠=（，即2120180BAC BAC ︒︒∠++∠=，36020BAC BAC ︒︒∴∠=∴∠=，．【总结】本题主要考查等边三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．【例7】如图，ABC ∆是等边三角形，90CBD BD BC ∠==，，则1∠的度数是________．【答案】75︒．【解析】ABC ∆是等边三角形，60ABC AB BC ︒∴∠==，．906090150CBD ABD ︒︒︒︒∠=∴∠=+=，，23BD BC BD AB =∴=∴∠=∠，，，18015021516015752︒︒︒︒︒︒-∴∠==∴∠=+=，．【总结】本题主要考查的是等边三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用．【例8】如图，在等边三角形ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 上的动点，且AD =BE =CF ，说明△DEF 是等边三角形的理由．【解析】60ABC A B C AB BC AC ∆∴∠=∠=∠=︒==是等边三角形，，．AD BE CF BD CE AF ==∴==，．A BCDEFAB CDE321ABCDADF BED ∆∆在和中，()AD BE A B ADF BED SAS AF BD ⎧⎪∠∠∴∆≅∆⎨⎪⎩＝＝，＝ DF DE DE EF ∴==，同理可证：，DE DF EF DEF ∴==∴∆，是等边三角形．【总结】本题主要考查等边三角形的性质和判定的综合运用．【例9】如图，在等边三角形ABC 的边BC 上任取一点D ，以CD 为边向外作等边三角形CDE ，连接AD ，BE ，试说明BE =AD 的理由．【解析】ABC ∆是等边三角形，60AC BC ACD ︒∴=∠=，．60CDE CD CE BCE ︒∆∴=∠=是等边三角形，，ACD BCE ∆∆在和中，AC BC ACD BCE ACD BCESAS CD CE =⎧⎪∠=∠∴∆≅∆⎨⎪=⎩，（） BE AD ∴=．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定．【例10】如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M ．求证：M 是BE 的中点．【解析】BD 连接601160302230ABC ACB ABC D AC DBC ABC CE CD CDE EACB CDE E E DBC E BD ED ︒︒︒︒∆∴∠=∠=∴∠=∠=⨯==∴∠=∠∠=∠+∠∴∠=∴∠=∠∴=为等边三角形，是边的中点，，，，，DM BC M BE ⊥∴，是的中点．【总结】本题主要考查了等边三角形性质和等腰三角形性质的运用．ABCDEABCDEM6 / 24【例11】（1）如图所示，已知：△ABC 是等边三角形，M 、N 分别是边BC 、AC 的中点，AM 、BN 相交于点P ，求∠BPM 的大小；（2）如果点M 、N 分别在BC 、AC 的延长线上，且BM =CN ．∠BPM 的大小会发生变化吗?【答案】（1）60︒；（2）不会．【解析】（1）ABC ∆为等边三角形，60ABC ︒∴∠=． 90M BC AM BC PMB ︒∴⊥∴∠=是的中点，，N AC BN ABC ∴∠是的中点，平分，30MBP ︒∴∠=，180180903060BPM PMB MBP ︒︒︒︒︒∴∠=-∠-∠=--=．（2）ABC ∆是等边三角形，60BAC ACB AC BC AB ︒∴∠=∠===，， 120BAN ACM ︒∴∠=∠=，BM CN AN CM =∴=，，()ABN CAM SAS ∴∆≅∆， N M ∴∠=∠．60BPM N PAN M CAM ACB ︒∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，故∠BPM 的大小会不会发生变化．【总结】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理的综合运用．【例12】如图，已知：在等边△ABC 中，D 在BC 边上，E 在△ABC 外，∠BAD =15°，∠DAE =70°，AD =AE ，求∠CAE ，∠EDC ，∠EFC 的度数．【答案】255080CAE EDC EFC ︒︒︒∠=∠=∠=；；．【解析】ABC ∆是等边三角形，60BAC B ︒∴∠=∠=．1570BAD DAE ︒︒∠=∠=，，15706025CAE BAE BAC ︒︒︒︒∴∠=∠-∠=+-=．AD AE =，118070552ADE E ︒︒︒∴∠=∠=-=（）， 255580EFC CAE E ︒︒︒∴∠=∠+∠=+=． 156075ADC BAD B ︒︒︒∠=∠+∠=+=， 755520EDC ADC ADE ︒︒︒∴∠=∠-∠=-=．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．ABCNPMABCPMN ABCDEF【例13】下列说法中正确的个数有（）①有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有三个外角都相等的三角形是等边三角形；④有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；⑤△ABC中三边为a、b、c，满足()()()0a b b c c a---=，则这个三角形是等边三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形，所以①正确；有两个外角相等的等腰三角形是不一定是等边三角形，所以②不正确；有三个外角都相等的三角形三个内角是相等的，是等边三角形，所以③是正确；有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等腰三角形但不一定是等边三角形，所以④不正确；△ABC中三边为a、b、c，满足()()()0a b b c c a---=，则这个三角形是等腰三角形但不一定是等边三角形，所以⑤不正确．故选B．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质的综合运用．【例14】等边△ABC中，AD=BE=CF，D、E、F不是各边的中点，AE、BF、CD分别交于点P、M、N在每一组全等三角形中有三个三角形两两全等，那么在图中全等的三角形的组数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】CFB BEA ADC∆≅∆≅∆；CAE BCD ABF∆≅∆≅∆；CMB BPA ANC∆≅∆≅∆；CFM BEP ADN∆≅∆≅∆；CNE BMD APF∆≅∆≅∆，共5组．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定和性质．A BCDEFMN P8 / 24【例15】如图，在等边ABC △中，点D E ，分别在边BC AB ，上，且BD AE =，AD 与CE交于点F ．（1）求证：AD CE =；（2）求DFC ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）60︒．【解析】（1）ABC ∆是等边三角形， 60BAC B AB AC ∴∠=∠=︒=，，()AE BD AEC BDA SAS =∴∆≅，，AD CE ∴=；（2）AEC BDA ∆≅∆，ACE BAD ∴∠=∠，60DFC FAC ACF FAC BAD BAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形外角的性质的综合运用．【例16】已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC 的距离分别为h 1，h 2，h 3， △ABC 的高为h ．“若点P 在一边BC 上［如图（1）］，此时h 3＝0．可得结论： h 1＋h 2＋h 3＝h ．”请直接应用上述信息解决下列问题：当点P 在△ABC 内［如图（2）］，以及点P 在△ABC 外［如图（3）］这两种情况时，上述结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，h 1，h 2，h 3与h 之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需要证明．【解析】（1）P ABC ∆当在内部时，结论仍成立． PA PB PC 连接、、， ABC AB PC APC B P S S S S ∆∆∆∆=++， 12311112222BC h AB h AC h BC h ∴=++．ABC ∆是等边三角形，AB BC AC ∴==，123h h h h ∴=++．（2）P ABC ∆当在外部时，不成立，123.h h h h +-=此时【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形面积的综合应用．DA EFBCAB C DM FP ABCD E F AB CDEM P M F P图1 图2 图3【例17】如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC =1200的等腰三角形，以D 为顶点作一个600角，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连结MN ，形成一个三角形．求证：△AMN 的周长等于2．【解析】AC P CP BM DP =延长到点，使，连接．1203060909090()60BDC BD CD BDC DBC DCB ABC ABC ACB MBD ABC DBC NCD PCD MBD PCDBM CP BDM CDP SAS MD PD MDB PDC MDN MDB NDC PDC NDC BDC MD ∆∴=∠=︒∴∠=∠=︒∆∴∠=∠=︒∴∠=∠+∠=︒∠=︒∴∠=︒∴∠=∠=∴∆≅∆∴=∠=∠∠=︒∴∠+∠=∠+∠=∠-∠是等腰三角形，，等边三角形，，，同理可得；，，，，，60,60112AMN N MDN PDN NMD NPD SAS MN PN NC CP NC BM C AM AN MN AM AN NC BM AB AC ∆=︒∴∠=∠=︒∴∆≅∆∴==+=+∴=++=+++=+=+=的周长，（），，2AMN ∴∆的周长为．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定和性质的综合运用，注意辅助线的添加．【例18】如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A =200，在边AB 上取点D ，使AD =BC ，求∠BDC 的度数．【答案】30︒．【解析】AC ABC ACE DE ∆∆以为一边在外侧作正三角形，连接2080608080()8020,40AB AC A ABC ACE AC AE CE EAC EAD AB AC AC AE CE AB AEAB AE ABC EAD ABC EAD ABC EAD SAS BC AD ACB EDA BAC AED ED AC DEC DE EC EDC =∠=︒∴∠=︒∆∴==∠=︒∴∠=︒===∴==⎧⎪∆∆∠=∠=︒∴∆≅∆⎨⎪=⎩∴∠=∠=︒∠=∠=︒=∴∠=︒=∴∠=∠，，是等边三角形，，，，，在和中，，，，，，70180180807030ECD BDC ADE EDC =︒∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒【总结】本题考查了等腰三角形、全等三角形和等边三角形性质的综合运用，综合性较强．BCA DEPBAC DN M10 / 24将等边三角形的性质作为一直条件，运用到解题中．【例19】如图，已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得△CDE是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，求证：△CMN 是等边三角形．【解析】ABC CDE ∆∆和是等边三角形60()(ACB ECD AC BC CD CE ACB BCD ECD BCD ACD BCE AC BCACD BCE ACD BCECD CE ACD BCE SAS AD BE CAD CBE M AD N BE AM BN AC BC AMC BNC CAD CBEAM BN AMC BNC S ∴∠=∠=︒==∴∠+∠=∠+∠∴∠=∠=⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴=∠=∠∴==⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆，，，在和中，，，是线段的中点，是线段的中点，在和中，)60AS CM CN ACM BCN NCM BCN BCM ACB ACM BCM NCM ACB CMN ∴=∠=∠∠=∠-∠∠=∠-∠∴∠=∠=︒∴∆，，，，是等边三角形.【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．模块二：等边三角形综合知识精讲例题解析 AC ENMBD【例20】如图，已知D 是等边三角形ABC 的边AB 边延长线上一点，BD 的垂直平分线HE交AC 延长线于点E ，那么CE 与AD 相等吗?试说明理由．【答案】相等，见解析．【解析】//H HG BC AE G 过点作，交于点．60//6060,903018030,22ABC A ABC AB AC HG BC AHG ABC AHG A AHG HG AG AHHE BD AHE BH DHGHE AHE AHG GEH AHE A GHE GEH EG HG AG AHCE AE AC AG AC AH ∆∴∠=∠==∴∠=∠=︒∴∠=∠=︒∴∆∴==∴∠=︒=∴∠=∠-∠=︒∠=︒-∠-∠=︒∴∠=∠∴===∴=-=-=-是等边三角形，，，，为等边三角形，为的垂直平分线，，，，222.AC AB BH ACAB BH AB BH DH AD =+-=+=++=【总结】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，注意辅助线的添加．【例21】如图，已知：等边三角形ABC ，在AB 上取点D ，在AC 上取一点E ，使AD =AE ，作等边三角形PCD 、QAE 和RAB ，则P 、Q 、R 为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由．【解析】BP 连接60()ABC PCD AC BC DC PC ACB BAC ABC DCP ACD BCP AC BCADC BPC DC PC ADC BPC SAS ACD BCP ∆∆∴==∠=∠=∠=∠=︒∴∠=∠=⎧⎪∆∆=∴∆≅∆⎨⎪∠=∠⎩和为等边三角形在和中，，，，，，6060606060180606060180.60AD BP DAC PBC RAB QAE RAB RBA R QAE RA RB AQ AERAB BAC QAE R A Q RBA ABC PBC R B P AQ AE AD BP RQ RA AQ RB BP RP R P ∴=∠=∠=︒∆∆∴∠=∠=∠=∠=︒==∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒∴∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒∴===∴=+=+=∠=︒∴，和为等边三角形、、三点共线、、三点共线，，，，，以，、Q R 、为顶点的三角形是等边三角形.【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质的综合性运用，难度较大．GA B C DEHABCD ERP Q12 / 24【例22】如图，已知：在等边三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，且BD =AE ，EB 与CD 相交于点O ．EF 与CD 垂直于点F ，试说明OE =2OF ．【解析】60F OFG OE G ∠=︒过点作，交于点60(..)60609030ABC A ABC AB BC AB BCABE BCD A ABC AE BD ABE BCD S A S ABE BCDADO ABC BCD ADO BOD ABE BOD ABC EOF OFG OG OF GFEF CD OFE OEF ∆∴∠=∠=︒==⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠=︒∴∠=︒∴∆∴==⊥∴∠=︒∴∠=︒∠是等边三角形，，在与中，，，又为等，，，，边三，角，形，，302.GFE OEF GFE GE GF OF OE OG GE OF =︒∴∠=∠∴==∴=+=，，，【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质的综合运用，注意对方法的选择．【例23】如图，点O 是等边△ABC 内的一点，∠AOB =110°，∠BOC =135°，试问：（1）以OA 、OB 、OC 为边，能否构成一个三角形，若能，求出该三角形各角的度数；若不能，说明理由；（2）如果∠AOB 的大小保持不变，那么当∠BOC 等于多少度时，以OA 、OB 、OC 为边的三角形是一个直角三角形．【解析】（1）OC OCD AD ∆以为边作等边，连， 60OCD OC CD ∠=︒=则，．60 60 (..) 110135 115 1156055 135 1356075 ABC ACB AC BCBCO ACO ACD BCO ACD S A S OB AD ADC BOC OAD OA OB OC AOB BOC AOC AOD ADC ADO O ∆∴∠=︒=∴∠=︒-∠=∠∴∆≅∆∴=∠=∠∴∆∠=︒∠=︒∴∠=︒∴∠=︒-︒=︒∠=︒∴∠=︒-︒=︒∴∠是等边三角形，，，，，是以线段、、为边构成的三角形，，，，，180557550.505575.AD OA OB OC =︒-︒-︒=︒∴︒︒︒以线段、、为边构成的三角形的各角是、、（2）AOB AOC BOC ∠+∠+∠AOB AOC ADC =∠+∠+∠ ()()AOB AOD DOC ADO CDO =∠+∠+∠+∠+∠G ABCD EFO DABCO()()1106060 360AOD ADO =∠︒+∠+︒+∠+︒=︒，130AOD ADO ∴∠+∠=︒， 50OAD ∴∠=︒．AOD ∠当是直角时，90AOD ∴∠=︒，9060150AOC ∴∠=︒+︒=︒， 100BOC ∴∠=︒； ADO ∠当是直角时，90ADO ∴∠=︒，9060150ADC ∴∠=︒+︒=︒，150BOC ∴∠=︒，综上，当∠BOC 等于100°或150°时，以OA 、OB 、OC 为边的三角形是一个直角三角形．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，注意利用旋转的思想去解题．【例24】 △CAB 与△CDE 是有公共顶点C 的两个等边三角形，△CDE 绕点C 顺时针旋转至以下各位置：（1）当E 在BC 下方时，说明AD =BE ；（2）当E 在BC 边上如图2、当E 在△ABC 内如图3、当E 在AC 边上如图4，当 CE ∥AB 时，如图5，AD =BE 还成立吗?请一一说明理由．【解析】（1）ABC ∆是等边三角形， 60AC BC ACB ∴=∠=︒，．6060().CDE CD CE DCE BCE BCD ACD BCE ACD SAS AD BE ∆∴=∠=︒∴∠=︒-∠=∠∴∆≅∆∴=是等边三角形，，，，（2）成立．方法同（1），可证ACD BCE ∆≅∆，所以AD BE =．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质的综合运用．【例25】已知A 、B 、C 三点共线，分别AC 、BC 为边，在直线AB 同侧作等边△CAN 和等边△BCM ，易得AM =BN ．（1）将△CAN 绕点C 旋转一定的度数，得到图（2），试问：AM =BN 吗?ABCDE 图1ABCDE图2CDA B C DE BAECEABD图3图4 图514 / 24（2）将（1）中等边△CAN 再绕点C 旋转一定角度，得到图（3），上述AM =CN 还成立吗?请说明理由；（3）在旋转过程中，直线AM 和直线BN 所夹的锐角的大小随着旋转角的改变而改变吗?说说你的理由．【解析】（1）CAN ∆为等边三角形，60CA CN ACN ∴=∠=︒，．6060(..).BCM CM CB BCM ACM NCM NCBACM NCB S A S AM BN ∆∴=∠=︒∴∠=︒+∠=∠∴∆≅∆∴=为等边三角形，，，（2）成立．方法同（1）．（3）不变．AM BN αβ令直线和直线所夹锐角为，所夹钝角为，606012060.ACM NCB AMC NBCNBM AMB NBM AMC BMCNBM NBC BMC CBM BMC βα∆≅∆∴∠=∠∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒∴∠=︒，【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质的综合运用．A BC 图1N M ABC 图2MNABCN 图3MABCDA ′B ′C ′【例26】如图，△ABC 中，已知∠C =600，AC ＞BC ，又△ABC ′、△A ′BC 、△AB ′C 都是 △ABC 外的等边三角形，而点D 在AC 上，且BC =DC ．（1）说明△C ′BD ≌△B ′DC 的理由；（2）说明△AC ′D ≌△DB ′A 的理由；（3）对△ABC 、△ABC ′、△A ′BC 、△AB ′C ，从面积大小关系上，你能得出什么结论? 直接写出来．【解析】（1）60ACB BC CD ∠=︒=，60'''6060'().BCD CBD ABC AB BC ABC ABC ABD C BD C BD ABC SAS C D ACBCA DCB DB BA C BD B DC ∴∆∴∠=︒∆∴=∠=︒∴∠=︒+∠=∴∆'≅∆∴'=∆≅∆'∴'=∴∆'≅∆'是等边三角形，是等边三角形，，，同理可证：，，（2）C D B C AB B D BC AC '='=''='='由(1)的结论知:，，().AC D DB A SAS ∴∆'≅∆' （3）.AB C ABC ABC A BC S S S S ∆'∆'∆∆'＞＞＞【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质，注意总结等边三角形的面积与边长的关系．【习题1】三个内角都相等的三角形是_________三角形，每个内角都等于______．【答案】等边；60︒．【解析】略．【总结】本题主要考查了等边三角形的定义和性质．随堂检测16 / 24【习题2】在等腰三角形中，已知两底角之和等于顶角的2倍，则这个三角形是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．锐角三角形但不等边【答案】C【解析】2αα设等腰三角形的顶角为，则底角和为， 218060ααα∴+=︒∴=︒，．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故选C ．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定及三角形内角和定理的运用．【习题3】如图，△ABC 中，AB =AC ，∠A =60°，BD ⊥AC 于点D ，DG ∥AB 交BC 于点G ，E 在BC 的延长线上，CE =CD ．（1）∠E =________；（2）∠BDE =_______；（3）图中的等腰三角形有________个；（4）图中的等边三角形有_______个．【答案】（1）30︒；（2）120︒；（3）5；（4）2．【解析】（1）60AB AC A =∠=︒，60309030120.ABC ACB BD AC ABD BDC CD CE E CDE BDE ∴∆∴∠=︒⊥∴∠=︒∠=︒=∴∠=∠=︒∴∠=︒是等边三角形，，，，，（3）等腰三角形有：ABC CDG CDE BGD BDE ∆∆∆∆∆，，，，；（4）等边三角形有：ABC CDG ∆∆，．【总结】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定及等边三角形的性质和判定．【习题4】下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（） A ． ①②③ B ．①②④C ．①③D ．①②③④【答案】D【解析】①、②正确，是等边三角形的判定定理，③三个外角相等则三个内角必相等，则一定是等边三角形，故正确；④利用等腰三角形的三线合一，可知，该三角形也是等边三角形，正确，故选D ．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定．AB CDEG【习题5】如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD =BE =CF ，则△DEF 的形状是（）A ．等边三角形B ．腰和底边不相等的等腰三角形C ．直角三角形D ．不等边三角形【答案】A【解析】ABC ∆为等边三角形，60A B AB AC ∴∠=∠=︒=，．(..)..AD CF AF BD ADF BED S A S DF ED DF FE DF ED FE DEF =∴=∴∆≅∆∴==∴==∴∆，，，同理可证：，是一个等边三角形【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和判定的综合运用．【习题6】已知Rt △ABC 中，∠C =900，∠A =300，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△P AB是等腰三角形，则符合条件的P 点有（） A ． 2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个【答案】C【解析】1AC AB AC P PA PB =第个点在上，作线段的垂直平分线，交于点，则有； 2A AB AP AB AC P =第个点是以为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点；34566A AB AP AB CA P B BA BP BA AC P B BA BP BA BC P A AB AP AB BC P P ====第个点是以为圆心，以长为半径截取，在上边于延长线上交于点；第个点是以为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点；第个点是以为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点；第个点是以为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点；故符合条件的点有个点.【总结】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，注意利用 “两圆一线”的方法确定等腰三角形．A BCDEF18 / 24【习题7】如图，等边△ABC 中，AD =CE ，CD 于BE 相交于点P ，求∠BPC 的度数．【答案】120︒【解析】ABC ∆是等边三角形，60(..)6060120.AC CB A ACB AD CE ACD CBE S A S ACD CBE ACD BCD ABC CBE BCD BPC ∴=∠=∠=︒=∴∆≅∆∴∠=∠∠+∠=∠=︒∴∠+∠=︒∴∠=︒，，，，，，【总结】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质．【习题8】如图，△ABC 和△DBE 都是等边三角形，说明AB ∥CE 的理由．【解析】ABC DBE ∆∆和是等边三角形6060(..)6060//.AB BC BD BE A ABC DBE ABD CBE DBCABD CBE S A S BCE A ABC BCE AB CE ∴==∠=∠=∠=︒∴∠=∠=︒-∠∴∆≅∆∴∠=∠=︒∴∠=∠=︒∴，，，，，【总结】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质的运用．【习题9】如图，△ABC 为等边三角形，E 是BC 延长线上一点，CD 平分∠ACE ，CD =BE ，试说明△ADE 为等边三角形的理由．【解析】ABC ∆为等边三角形，6012060(..)6060B ACB AB AC ACE CD ACE ACD B ACD AB ACABE ACD B ACDBE CD ABE ACD S A S AD AE BAE CAD BAC DAE ADE ∴∠=∠=︒=∴∠=︒∠∴∠=︒∴∠=∠=∆∆∠=∠=∴∆≅∆∴=∠=∠∠⎧⎪=︒∴∠=︒∆⎨⎪⎩∴，，平分，，在和中，，，，，为等边三角形.【总结】本题主要考查等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质的综合运用．A BC EDPABCDEAB C DE【习题10】如图，△ABC 中，BA =BC =a ，∠B =60°，在BC 的延长线上取一点D ，使CD =b ，在BA 延长线上取一点E ，使AE =a +b ，试判断△ECD 是什么三角形，并说明理由．【答案】等腰三角形．【解析】//DF AC BE F 作交于60//60(..).ABC BAC B BA BC DF AC EFD CAE BFD BAC BDF DF BD BF a b AF BF BA BD BC CD bAE a b FE a AC AE BD FD EFD CAE S A S ED EC ECD ∆∴∠=∠=︒=∴∠=∠∠=∠=︒∴∆∴===+∴=-=-===+∴====∴∆≅∆∴=∴∆是等边三角形，，，，是等边三角形，，，，，，是等腰三角形【总结】本题主要考查等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质的综合运用，注意平行线的添加，将问题进行转化．【作业1】已知一个三角形的任意一个角的平分线都垂直于这个角的对边，则这个三角形是（） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形．【答案】D【解析】只有在等边三角形中任意一个角的平分线是垂线并且是中线．【总结】本题主要考查全等三角形的判定．课后作业ABCDEF20 / 24【作业2】等边△ABC 的两条角平分线BD 和CE 交于点I ，则∠BIC 等于（）A ． 60°B ．90°C ．120°D ．150°【答案】C【解析】ABC ∆是等边三角形，60ABC ACB ∴∠=∠=︒．113030221803030120.BI ABC CI ACB IBC ABC ICB ACB BIC ∠∠∴∠=∠=︒∠=∠=︒∴∠=︒-︒-︒=︒平分，平分，，，【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和角平分线的性质的综合运用．【作业3】如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠ABE =∠ACD ，BE =CD ，则△ADE 的形状是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．不能确定形状【答案】B【解析】ABC ∆为等边三角形，AB AC ∴=．(..)60ABE ACD BE CD ABE ACD S A S AE AD BAE CAD ADE ∠=∠=∴∆≅∆∴=∠=∠=︒∴∆，，，，是等边三角形.【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和判定．【作业4】如图，△ABC 中，AB =AC ，∠B =360，D 、E 是BC 上两点，使∠ADE =∠AED =2∠BAD ，则图中等腰三角形共有（） A ．3个B ．4个C ． 5个D ．6个【答案】D【解析】 AB AC =， ABC ∴∆是等腰三角形， 36C B ∴∠=∠=︒，180 180 36 36 108BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．2 36 ADE BAD B BAD ABD ∠=∠∴∠=∠=︒∴∆，，是等腰三角形．ACE ∆同理可得是等腰三角形．ADE AED ADE ∠=∠∴∆，是等腰三角形．A BCDEAB CD E108 36 72CAD BAC BAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒， ADE CAD CAD ∴∠=∠∴∆，是等腰三角形．BAE ∆同理可得是等腰三角形．6 ABC ADE ABD ACE ABE ACD ∴∆∆∆∆∆∆有个等腰三角形，分别为：、、、、、．【总结】本题主要考查了等腰三角形的判定．【作业5】如图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：BD +DC =AD ．【解析】ABC ∆是等边三角形，60BA BC ABC ∴=∠=︒，．6060(),.BDE BE BD DE DBE ABE CBD CBE ABE CBD SAS AE CD BD DC DE AE AD ∆∴==∠=︒∴∠=∠=︒-∠∴∆≅∆∴=∴+=+=是等边三角形，，，，，【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定．【作业6】如图，已知△ABC 、△ADE 是等边三角形，点E 恰在CB 的延长线上，说明∠ABD =∠AED 的理由．【解析】ABC ADE ∆∆、为等边三角形，60AD AE AB AC DAE AED BAC C ∴==∠=∠=∠=∠=︒，，．60DAB EAC BAE ∴∠=∠=︒+∠， DAB EAC ∴∆≅∆，60ABD C AED ∴∠=∠=︒=∠．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定．ABCDEABCDE22 / 24【作业7】试说明等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于这个三角形一边上的高．【解析】a 如图，设等边三角形的边长为， 11••22ABC S BC AH a AH ∆∴==，111•••222111•••2221)2ABCSAB PD BC PE AC PF a PD a PE a PFa PD PE PF =++=++=++( PD PE PF AH ∴++=，即得证．【总结】本题主要考查了三角形面积公式的应用及等边三角形的性质的综合运用．【作业8】如图，D 是等边△ABC 内一点，DA =BD ，PB =AC ，且∠DBP =∠DBC ，则∠BPD的度数是．【答案】30︒．【解析】CD 连接．60(..)1302,(..)30.ABC AB BC AC ACB DB DA DC DC ACD BCD S S S BCD ACD ACB PB AC PB BC DBP DBC BD BD BPD BCD S A S BPD BCD ∆∴==∠=︒==∴∆≅∆∴∠=∠=∠=︒=∴=∠=∠=∴∆≅∆∴∠=∠=︒是等边三角形，，，，，，，，，【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质的运用．【作业9】如图，点O 是等边ABC △内一点，110AOB BOC α∠=∠=，．将BOC △绕点C按顺时针方向旋转60得ADC △，连接OD ．（1）试说明COD △是等边三角形；（2）当150α=时，试判断AOD △的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，AOD △是等腰三角形?ABCDPABCDO110α【解析】（1）60BOC C ADC ∆︒∆将绕点按顺时针方向旋转得60.CO CD OCD COD ∴=∠=︒∴∆，，是等边三角形（2）150AOD α=︒∆当时，是直角三角形，1506090BOC ADC ADC BOC COD ODC ADO ADC ODC AOD ∆≅∆∴∠=∠=︒∆∴∠=︒∴∠=∠-∠=︒∴∆，是等边三角形，，是直角三角形.（3）AO AD =①要使，AOD ADO ∠=∠需． 360110601906019060125AOD ADO αααααα∠=︒-︒-︒-=︒-∠=-︒∴︒-=-︒∴=︒，又，，；OA OD OAD ADO =∠=∠②要使，需，1801801906050OAD AOD ADO αα∠=︒-∠+∠=︒-︒-+-︒=︒（）（），6050110αα∴-︒=︒∴=︒，；OD AD OAD AOD =∠=∠③要使，需，19050140αα∴︒-=︒∴=︒，．125110140AOD α︒︒︒∆综上所述：当的度数为或或时，是等腰三角形．【总结】本题综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定，注意进行角度的计算，综合性较强，第（3）问注意要分类讨论．【作业10】如图，△ABC 是等边三角形，延长BC 至D ，延长BA 至E ，并使AE =BD ，连接CE 、DE ，说明CE =DE 的理由．【解析】BD F DF BC EF =延长至，使，连接．6060(..).AE BD AE CFABC BA BC B BE BF BEF BE EF B F BC DF ECB EDF S A S CE DE =∴=∆∴=∠=︒∴=∴∆∴=∠=∠=︒=∴∆≅∆∴=，为等边三角形，，，为等边三角形，，，【总结】本题主要考查了等边三角形的性质与判定及全等三角形的判定，注意辅助线的添加．A BC D EF【作业11】在等边△ABC所在平面内求一点P，使△P AB、△PBC、△P AC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有_________个．【答案】10．【解析】（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点；（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的P点，每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．故具有这种性质的点P共有10个．【总结】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，注意利用“两圆一线”去画等腰三角形．24/ 24。

人教版八年级数学上等边三角形教案导学案教学案教学设计课时作业试卷同步练习含答案解析

等边三角形（1）【目标导航】1.了解等边三角形的性质和判定；2．理解如何用轴对称性质解释等边三角形的有关性质．【要点梳理】活动1 复习旧知1．等腰三角形的定义：．答案：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2．等腰三角形的性质：⑴；⑵．答案：（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.3．等腰三角形的判定：．答案：如果一个三角形有两个底角相等，那么这两个角所对的边也相等.活动2 等边三角形的性质与判定1．等边三角形的定义：．答案：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2．等边三角形的性质：⑴；⑵．答案：（1）等边三角形的三条边都相等；（2）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；3．等边三角形的判定：⑴；⑵．答案：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.指出：1．等边三角形是特殊的等腰三角形，除有本身的性质外，还具有等腰三角形的所有性质．2．等边三角形的定义既是等边三角形的性质，又是它的判定．在证明等边三角形时，若已知三边关系，则先选用定义法；若已知三角关系，则先选用判定1；若已知等腰三角形，则先选用判定2．活动3 等边三角形的性质与判定的应用1．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB，AC于D，E．求证：△ADE是等边三角形．AD EB C答案：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴∠A =∠ADE =∠AED .∴△ADE 是等边三角形．2．如图，在等边三角形ABC 的三边上，分别取点D ，E ，F ，使AD ＝BE ＝CF ．求证：△DEF 是等边三角形．FAB CDE答案：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B=∠C ，AB =BC =AC .∵AD ＝BE ＝CF ，∴BD ＝CE ＝AF ．∴△DBE ≌△ECF ≌△FAD ．∴DE =EF =DF .∴△DEF 是等边三角形．3．如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 延长线上一点，CE 平分∠ACD ，且CE ＝BD ．求证：△DAE 为等边三角形．AB C ED答案：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠B =∠ACB =60°，∴∠ACD =120°．∵CE 平分∠ACD ，∴∠ACE =∠DCE =60°．在△ABD 和△ACE 中，∵AB =AC ，∠B =∠ACE ，BD =CE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，∴∠DAE =∠BAC =60°，∴△ADE 为等边三角形．4．如图，△ABD ，△AEC 都是等边三角形，BE ，CD 相交于O ．⑴求证：BE ＝DC ；⑵求∠BOC 的度数．O AB CDE答案：（1）∵△ABD ，△AEC 都是等边三角形，∴AD =AB ，AC =AE ，∠DAB =∠CAE =60°.∴∠DAC =∠BAE .∴△DAC ≌△BAE (SAS ).∴BE ＝DC ；（2）∠BOC =∠DBO +∠BDO =∠ABO +∠ABD+∠BDO =∠ADC +∠ABD +∠BDO =∠ABD +∠ADB =60°+60°=120°.5．如图1，点A 是线段BC 上一点，△ABD ，△AEC 都是等边三角形，BE 交AD 于点M ，CD 交AE 于N ． ⑴求证：BE ＝DC ；⑵求证：△AMN 是等边三角形；⑶将△ACE 绕点A 按顺时针方向旋转90°，其它条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断⑴、⑵两小题结论是否仍然成立，并加以证明．图1答案：（1）∵△ABD ，△AEC 都是等边三角形，∴AD =AB ，AC =AE ，∠DAB =∠CAE =60°.∴∠DAC =∠BAE .∴△DAC ≌△BAE (SAS ).∴BE ＝DC ；（2）∵△DAC ≌△BAE ，∴∠ABM=∠ADN.∵∠BAD=∠EAC=60°，∴∠DAN=60°.又∵AB=AD ，∴△ABM ≌△ADN (ASA ).∴AM=AN.又∵∠MAN=60°，∴△AMN 是等边三角形；（3）图略，⑴小题结论仍然成立，过程同（1）；（2）小题结论不成立，因为此时∠MAN 并不等于60°.6．如图，△ABC 是等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，使AE ＝BD ，连结CE ，DE ．求证：EC ＝ED ．AB C ED答案：延长CD 到F ，使DF =BC ，连结EF ，∵AE =BD ，∴AE =CF . ∵△ABC 为等边三角形，∴BE =BF ，∠B =60°. ∴△EBF 为等边三角形，∴∠F =60°，EF =EB . 在△EBC 和△EFD 中，EB =EF ，∠B=∠F ，BC =DF ，∴△EBC ≌△EFD ，∴EC =ED （SAS ）.【课堂操练】1．在△ABC 中∠A ＝60°，要使△ABC 是等边三角形，则需添加的一个条件是：．答案：AB =AC ，或∠B =60°等2. （2011年广东茂名中考）如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则∠E ＝度．答案：15 ABC D E F G图2A BD CE N M A B CD E3．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有( )A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④答案：D4．如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形．求证：BE ＝CD ．A B C ED答案：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AB =AC ，AE =AD ，∠BAE =∠CAD =60°．∴△BAE ≌△CAD .∴BE ＝CD ．5．如图，在等边△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，DC ＝AE ，AD 、BE 交于点F ，求∠BFD 的度数．FABCE D答案：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =∠C =60°.又∵DC ＝AE ，∴△BAE ≌△ACD .∴∠ABE ＝∠DAC ．∴∠BFD =∠ABE +∠BAD =∠DAC +∠BAD =∠BAC =60°．6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是CB 延长线上一点，∠D ＝60°，E 是AD 上一点，且有DE ＝DB ，求证：AE ＝BE ＋BC ．A B C ED答案：过点A 作AF ⊥BC 于F ．∵AF 是等腰△ABC 底边上的高，∴BC = 2BF ．∵∠D ＝60°，DE ＝DB ，∴△BDE 是等边三角形，BE = DE = DB ．在Rt △ADF 中，∠AFD = 90°，∠ADF = 60°，可得AD = 2DF ．所以，AE = AD -DE = 2DF -DB = 2(DB +BF )-DB = DB +2BF = BE +BC ．【课后巩固】1．等边三角形是轴对称图形，它有条对称轴，对称轴是所在的直线．答案：3，各边中线2．已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F ，则∠AFE ＝______．答案：60°3. （2011年广西梧州中考）如图，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A ．△ACE ≌△BCDB ．△BGC ≌△AFCC ．△DCG ≌△ECFD ．△ADB ≌△CEA答案：D4．如图1，在等边△ABC 中，AD 是BC 上的高，∠BDE ＝∠CDF ＝60°，图中与BD 相等的线段有：．答案：BE ,DE ,CD ,CF ,DF ,AE ,AF图1FA BC E D5．如图2，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1＝∠2，BE ＝CD ，则对△ADE 的形状最准确的判断是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．不能确定形状答案：B6．如图3，△ABC 是等边三角形，AD 是角平分线，△ADE 是等边三角形，下列结论：①AD ⊥BC ；②EF ＝FD ；③BE ＝BD ．其中正确的有（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个答案：A7．如图4，已知点D 是BC 上一点，且满足AB ＝AC ＝BD ，那么∠1与∠2的关系是（）图3图4AB CDFABC E D答案：相等8．下列说法正确的是（）A ．有一个角相等的两个等腰三角形全等B ．有一条边对应相等两个等腰三角形全等C ．有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等D ．有一条边对应相等的两个等边三角形不一定全等 AB C D E 12图2A B C E G F D答案：C9．如图△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至E ，使CE ＝CD ，求证：DB ＝DE ．答案：∵BD 是等边△ABC 的中线，∴∠DBC =21∠ABC =21×60°=30°．∠DCE =180°－∠ACB =120°，又∵CE =CD ，所以∠E =∠CDE =30°．∴∠E =∠DBE ，∴BD =DE ．10．已知：AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝60°，BC ＝4．把△ADC 沿直线AD 折叠后，点C 落在点C ′的位置上，求BC ′的长．AB CD C '答案：连接BC ′.∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =DC.又∵DC =DC ′，∴BD =DC ′.∵∠ADC ＝60°，∴∠ADC ′=60°，∴∠BDC ′=60°，∴△BDC ′是等边三角形，∴BC ′= BD =BC 21=2.11．如图，△ABC 是等边三角形，延长BC 至E ，延长BA 至F ，使AF ＝BE ，连结CF 、EF ，过点F 作直线FD ⊥CE 于D ，试发现∠FCE 与∠FEC 的数量关系，并说明理由．答案：∠FCE =∠FEC.∵△ABC 是等边三角形，∴AB =BC ，∠B =60°．∵FD ⊥CE ，∴∠BFD =30°，∴BD =21BF ，又∵BC =AB ，∴CD +BC =21(AF +BC )，∵AF =BE ，CD =21(AF -BC )=21(BE -BC )，∴CD =21CE ．又∵FD ⊥CE ，∴FC =FE ，∴∠FCE =∠FEC.12．如图，点D 是等边△ABC 内一点，DB ＝DA ，BP ＝AB ，∠DBP ＝∠DBC ．求∠BPD 的度数．AB C D EAPDB C答案：作AB的垂直平分线，∵DA=DB，CA=CB，∴AB的垂直平分线必过C、D两点，∴∠BCD=30°．∵AB=BP=BC，∠DBP=∠DBC，BD=BD，∴△BDC≌△BDP，∴∠BPD=∠BCD=30°．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝∠ACD＝60°．求证：BD＋DC＝AB．ADB C答案：延长BD至F，使得AF=AB，连结CF.∵AB=AF，∠ABF=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠AFB=60°，AB=BF，∴∠AFB=∠ACD.∵AB=AC，∴AC=AF.∴∠ACF=∠AFC.∴∠ACF-∠ACD=∠AFC-∠AFB.∴∠DCF=∠DFC.∴DC=DF.∴DC+BD=DF+BD=BF，又∵AB=BF，∴DC+BD=AB.【课外拓展】14.等边三角形给人以“稳如泰山”的视觉感受，它具有独特的对称性，请你至少用三种不同的方法，将以下三个等边三角形分割成四个等腰三角形（在图中画出分割线，并标出必要的角的度数）．答案：如图所示：15.如图，点D 是等边△ABC 内一点，将△BOC 绕点C 顺时针旋转60°得△ADC ，连接OD ． ⑴求证：△DOC 是等边三角形；⑵当α=150°时，判断△AOD 的形状，并说明理由；⑶探究：当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形．答案：（1）证明：∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，∴△BOC ≌△ADC ，∠OCD =60°，∴CO =CD ．∴△COD 是等边三角形；（2）∵△ADC ≌△BO C ，∴DA =OB ．∵△COD 是等边三角形，∴OD =OC ，且∠ADC =∠α=150°，即可得∠ADO =90°，∴△AOD 为直角三角形．（3）若△AOD 是等腰三角形，所以分三种情况：①∠AOD =∠ADO ；②∠ODA =∠OAD ；③∠AOD =∠DAO ．∵∠AOB =110°，∠COD =60°，∴∠BOC =190°-∠AOD ，而∠BOC =∠ADC =∠ADO +∠CDO ，由①∠AOD =∠ADO 可得∠BOC=∠AOD +60°，求得α=125°；由②∠ODA =∠OAD 可得∠BOC =150°- ∠AOD ，求得α=110°；由③∠AOD =∠DAO 可得∠BOC =240°-2∠AOD ，求得α=140°；综上可知α=125°，或α=110°或α=140°．16. （2011年浙江绍兴中考）数学课上，李老师出示了如下框中的题目.小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： αA B C D O 110°（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“>”,“<”或“＝”）.AEDB C图1图2（2）特例启发，解答题目【答案】解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“>”,“<”或“＝”）.理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F.（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC.若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）.答案：（1）＝；（2）＝.证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，∴AE=AF=EF，∴AB-AE=AC-AF，即BE=CF．∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，∵ED=EC，∴∠EDB=∠ECB，∴∠BED=∠FCE，∴△DBE≌△EFC，∴DB=EF，∴AE=BD．(3)1或3.。

12.3.2 等边三角形(含答案)-

12.3.2 等边三角形◆课堂测控测试点等边三角形的性质与判定1．等边三角形是轴对称图形，它有_____条对称轴．2．△ABC中，AB=BC，∠B=∠C，则∠A=_____度．3．三角形三内角度数之比为1：2：3，最大边长是8cm，则最小边的长是______．4．下面给出的几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上中线的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．•其中是等边三角形的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE=CD，求证：（1）BD=DE．（2）如果把BD改为△ABC的角平分线或高，能否得出同样的结论？◆课后测控6．等腰三角形的顶角为60°，底边为8cm，则腰长为_____．7．等腰三角形顶角为30°，腰长是4cm，则三角形的面积是______．8．等腰三角形的底角为15°，腰长是2cm，则腰上的高为_______．9．（1）按下列要求画图：画等边三角形ABC和它的两条中线BD，•CE，•BD，CE相交于点O，连结DE．（2）说出图中有哪几个三角形是等边三角形？哪几个三角形是等腰三角形？10．如图，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AB ，AE ⊥AC ．（1）图中，等于30°的角有：_______；等于60°的角有：_______；（2）△ADE 是等边三角形吗？为什么？（3）在Rt △ABD 中，∠B=_______°，AD=______BD ；在Rt △ACE 中，•有类似的结论吗？11．如图，C 是线段AB 上的一点，△ACD 和△BCE 是等边三角形，连结AE ，BD ．求证：AE=BD ．12．如图，△ABC 为等边三角形，AE=CD ，AD ，BE 相交于点P ，BQ•⊥AD 于Q ，PQ=3，PE=1．（1）求证：AD=BE ．（2）求AD 的长．13．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，EF 是AB•的垂直平分线，EF 交BC 于F ，交AB于E ，求证：BF=12FC ．◆拓展测控14．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高为h．（1）如图①，点P在△ABC内，h1，h2，h3之间有什么等量关系？（2）如图②，点P在△ABC外，h1，h2，h3之间有怎样的关系，请写出你的猜想并证明．[提示：从面积角度思考]参考答案1．3 （点拨：每边的中垂线是它的对称轴）2．60 （点拨：由已知条件知△ABC是等边三角形）3．4cm （点拨：三角形三内角分别为30°，60°，90°，最小边为最大边长的一半） 4．B （点拨：③不是等边三角形）5．（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，∵CE=CD，BD⊥AC，∴∠E=30°，∠DBC=30°，∴∠E=∠DBC，∴DB=DE．（2）能得出同样的结论，因为等边三角形的三线合一．[总结反思]等边三角形的每一个角都等于60°，有一个角为60•°的等腰三角形是等边三角形．6．8cm （点拨：该等腰三角形为等边三角形）7．4cm2（点拨：腰上的高为2cm）8．1cm （点拨：高在形外，由30°角性质可求）9．（1）图略（2）图中△ABC和△ADE是等边三角形，△BOC，△DOE，△BDE，△CDE是等腰三角形． 10．（1）∠B，∠BAE，∠C，∠DAC ∠AED，∠ADE，∠EAD（2）△ADE是等边三角形，因为△ADE的三个角都等于60°．（3）30，12；在Rt△ACE中，∠C=30°，AE=12CE．11．证明：∵△ACD和△BCE是等边三角形．∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△DCB中,,.AC DCACE BCD CE CB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD．[解题规律]充分利用等边三角形的边角性质解题 12．（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC．又AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE=∠CAD，BE=AD．（2）∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠PAE=∠BAC=60°，∴∠PBQ=30°，又BQ⊥PQ，∴PB=2PQ=6，∴BE=PB+PE=7，∴AD=BE=7．[解题规律]由已知条件PQ=3及BQ⊥PQ联想直角三角形30°角的性质是解题关键．13．证明：连结AF．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵EF垂直平分AB，∴FA=FB．∴∠BAF=∠B=30°，∴∠FAC=90°．在△ACF中，AF=12CF，∴BF=12CF．[方法技巧]分析结论可知需利用30°角的性质，•同时结合垂直平分线的性质过渡搭桥．14．解：（1）连结PA，PB，PC．∵S△ABC=S△PAB +S△PBC +S△PCA=12AB·PD+12BC·PF+12CA·PE=12BC·h1+12BC·h2+12BC·h3=12BC·（h1+h2+h3）又S△ABC =12 BC·h，∴12BC（h1+h2+h3）=12BC·h．∴h1+h2+h3=h．（2）S△ABC=S△PAB +S△PAC -S△PBC=12BC·h1+12BC·h2-12BC·h3=12BC（h1+h2-h3）．∴12BC·（h1+h2-h3）=12BC·h，∴h1+h2-h3=h．[方法技巧]由于等边三角形的三边相等，已知条件中又有各边上的垂线，故联想用面积法来证明结论更简捷．。

等边三角形答案

每日一题《等边三角形》10月28日如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P．求∠BPD的度数．解：∵AE=CD，∴CE=BD，∵∠ABD=∠BCE，AB=BC，∴△ABD≌△CBE，故∠BAD=∠CBE，∵∠ABD+∠BAD+∠ADB=180°，∠CBE+∠ADB+∠BPD=180°，∴∠BPD=∠ABD，∵∠ABD=60°，∴∠BPD=60°．10月29日如图，等边三角形ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形EDC，连接AE．求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AE∥BC．证明：（1）∵△ABC与△EDC是等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC．又∵∠BCD=∠ACB-∠ACD，∠ACE=∠DCE-∠ACD，∴∠BCD=∠ACE．∴△ACE≌△BCD．（2）∵ACE≌△BCD，∴∠ABC=∠CAE=60°，又∵∠ACB=60°，如图所示，已知△ABC中，∠ACB=60°，分别以AB、BC、CA为边向外作等边三角形ABD、等边三角形BCE、等边三角形ACF；用“S”表示面积．（1）求证：△ABF≌△ADC；（2）求证：S△ABF=S△ACF；（3）试判断：S四边形ACBD是否等于S△BCE与S△ACF的和？并说明理由．证明：（1）∵AF=AC，AD=AB，∠DAC=∠BAC+∠DAB，∠BAF=∠BAC+∠CAF，而∠DAB=∠CAF=60°∴∠DAC=∠BAF，∴△ABF≌△ADC（SAS）；（2）∵∠ACB=∠CAF=60°，∴AF∥BC，平行线间垂线段处处相等∵△ABF与△ACF是同底AF等高的，∴S△ABF=S△ACF；（3）判定：S四边形ACBD=S△BCE+S△ACF．作DM⊥BC交BC延长线于点M，作BN⊥EC交EC于点N，∵△ABF≌△ADC，∴CD=BF，∠1=∠2，∠1+∠3=∠2+∠4=60°，∴∠3=∠4，而∠DMC=∠BNF=90°，∴△DMC≌△BNF，∴DM=BN，∵△BCD与△BCE的底EC、BC相等，高DM=BN，∴S△BCD=S△BCE∴S四边形ACBD=S△BCE+S△ACF．图（1）中，C点为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？说明理由；如图（2）C点为线段AB上一点，等边三角形ACM和等边三角形CBN在AB的异侧，此时AN与BM 相等吗？说明理由；如图（3）C点为线段AB外一点，△ACM，△CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？说明理由．解：（1）相等．证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC=CM，CN=BC，又∠ACN=∠MCN+60°∠MCB=∠MCN+60°，∴∠ACN=∠MCB，∴△ACN≌△MCB，∴AN=BM．（2）相等．证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC=CM，CN=BC又∠ACN=∠MCB，∴△ACN≌△MCB，∴AN=BM．（3）相等．证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC=CM，CN=BC，又∠ACN=∠MCN+60°∠MCB=∠MCN+60°，∴∠ACN=∠MCB，∴△ACN≌△MCB，∴AN=BM．已知如图，△ABC是等边三角形，P是三角形外的一点，且∠ABP+∠ACP=180°．求证：AP平分∠BPC．如图，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，CD与BE相交于点O，判断∠AOD与∠AOE的数量关系，并证明．。

等边三角形的性质教学案

等边三角形的性质教学案一、引言等边三角形是初中数学中重要的概念之一，掌握等边三角形的性质对于帮助学生深入理解三角形的特性至关重要。

本文将根据教学的需要，详细介绍等边三角形的性质，并设计相应的教学案例，以帮助学生更好地掌握这一概念。

二、等边三角形的定义与性质1. 等边三角形的定义等边三角形是指三条边都相等的三角形。

在等边三角形中，三个角度也都相等，每个角度为60度。

2. 等边三角形的性质（1）等边三角形的三边相等，即AB = BC = AC。

（2）等边三角形的三个角度均为60度。

（3）等边三角形的三条高线、中位线、角平分线重合于同一条线段，同时也是等边三角形的对称轴。

三、教学案例设计1. 直观感受等边三角形（教学目标：培养学生对等边三角形的视觉感知能力）（教学步骤）a. 准备一张等边三角形的图片或模型，让学生观察并描述这个图形的特点。

b. 引导学生发现等边三角形的边长相等以及角度均为60度的特点。

c. 让学生用直尺和量角器测量等边三角形的边长和角度，进一步验证等边三角形的性质。

（教学要点）通过观察和测量等边三角形的边长和角度来培养学生对等边三角形的直观认识。

2. 探索等边三角形的性质（教学目标：引导学生通过实际操作和推理探索等边三角形的性质）（教学步骤）a. 准备三个等边三角形的图形卡片，每个图形卡片上都有一些问题，例如：“在等边三角形中，AB与BC的关系是什么？”、“等边三角形的角度和为多少度？”等等。

b. 将学生分成小组，发放图形卡片，并要求学生在小组内讨论并回答问题。

c. 每个小组派一名代表回答问题，并与其他小组进行讨论和比较。

（教学要点）通过小组讨论和比较，引导学生自主探索等边三角形的性质，并学会归纳总结。

3. 运用等边三角形的性质解决问题（教学目标：引导学生运用等边三角形的性质解决实际问题）（教学步骤）a. 给学生提供一些实际问题，要求他们利用等边三角形的性质来解决。

例如：“在一个等边三角形ABC中，BC的长度为5cm，求BC的中位线长度。

等边三角形教学案ywm

等边三角形学习目标：1、了解等边三角形的定义，领会等边三角形是特殊的等腰三角形；2、理解等边三角形的性质与判定，理解等边三角形的轴对称性。

重点：等边三角形的性质与判定。

难点：等边三角形的轴对称变换与旋转变换。

学习过程：一、知识回顾（1）什么是等腰三角形？（2）等腰三角形有什么性质？从边看：等腰三角形的两腰相等。

从角看：等腰三角形的两底角相等。

从对称性看：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。

从重要线段看：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合。

二）探索新知（一）、问题阅读教材P136，思考下列问题：1、什么是等边三角形？等边三角形与等腰三角形有什么关系？2、等边三角形的三个内角有什么关系？3、等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？4、等边三角形有哪些性质？这些性质从哪几个方面体现？5、直角三角形中，若有一个内角为30°，那么它所对的直角边与斜边有什么关系？（二）探究定义：三边都相等的三角形叫等边三角形。

等边三角形也叫作正三角形。

即：△ABC 中，AB=BC=CA ，那么△ABC 是等边三角形注意：① 等边三角形是特殊的等腰三角形。

② 等边三角形具有等腰三角形的所有性质。

提示：根据等腰三角形的性质去探讨等边三角形的性质：① 从边看； ② 从角看； ③ 从对称性看； ④ 从重要线段看；对②的说明：如图,已知AB ＝BC ＝CA ，那么∠A ＝∠B ＝∠C ,为什么?解：∵AB ＝AC(已知）∴∠C ＝∠B （在同一个三角形中，等边对等角）又∵AB ＝BC (已知）∴ ∠C ＝∠A.（在同一个三角形中，等边对等角） ∴∠A ＝∠B ＝∠C.结论：等边三角形的三个内角都相等，每个内角都是60°。

小结1：等边三角形的性质： 1、等边三角形的三条边都相等。

2、等边三角形的三个内角都相等，且等于60°。

CB3、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴。