高一新生分班考试数学试卷含答案)

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2024年湖南长沙新高一入学分班考数学模拟练习卷含答案

高一入学暨分班检测模拟试卷数学一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.1. 已知 aa 是 √13 的小数部分,则 aa (aa +6) 的值为A.√13B.4C.4−√13D.3√13−62.如果一个多边形的内角和是它外角和的 4 倍, 那么这个多边形的边数为A.6B.8C.9D.103.已知点()3,2P a a −−在第二象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.4.如果外切的两圆1O 和2O 的半径分别为2和4，则半径为6，且与1O 和2O 都相切的圆有（）A.4个B.5个C.6个D.7个5.122022,,x x x …是2022个由1和1−组成的数，122022.202x x x ++…+=，则()()()22212202211.1x x x −+−+…+−=（）A.2021 B.4042 C.3640 D.48426.某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏"是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成.某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ；圆柱体底面半径是3cm ，液体高是7cm .计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏"中液体的高度为（）的A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm7.如果不等式组�4xx −aa ≥03xx −bb <0 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的组合情况(aa ,bb )共有（）种．A ．12B ．7C ．9D ．168.定义：平面直角坐标系中，点(),P x y 的横坐标x 的绝对值表示为x ，纵坐标y 的绝对值表示为y ，我们把点(),P x y 的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点(,)P x y 的折线距离，记为M x y =+（其中的“+”是四则运算中的加法）.若拋物线21y ax bx =++与直线y x =只有一个交点M ，已知点M 在第一象限，且24M ≤≤，令2242022t b a =−+，则t 的取值范围为（）A.20182019t ≤≤B.20192020t ≤≤C.20202021t ≤≤D.20212022t ≤≤二､填空题：本题共44分，共16分.9. 设点 PP (xx ,yy ) 在第二象限内,且 |xx |=3,|yy |=2 ,则点 PP 关于原点的对称点为___.10.若关于 xx 的分式方程 xx xx−2+2mm 2−xx =2mm 无解,则m 的值为___________. 11.正比例函数12y x =−与反比例函数2k y x=的图像相交于A B ､两点，已知点A 的横坐标为1，当12y y >时，x 的取值范围是___________.12.如图，ABC 中，10,8,6AB BC AC ===，点P 在线段AC 上，以P 为圆心，PA 长为半径的圆与边AB 相交于另一点D ，点Q 在直线BC 上，且DQ 是P 的切线，则PQ 的最小值为___________.三､解答题：本题共4小题，共52分.应写出文字说明､证明过程或演算步骤.13.如图，在同一坐标系中，直线1:1l y x =−+交x 轴于点P ，直线2:3l y ax =−过点P .（1）求a 的值；（2）点M N ､分别在直线12,l l 上，且关于原点对称，说明：点(),A x y 关于原点对称的点A ′的坐标为(),x y −−，求点M N ､的坐标和PMN 的面积.14.如图，在△ABC 中，D 在边AC 上，圆O 为锐角△BCD 的外接圆，连结CO 并延长交AB 于点E ．（1）若∠DBC ＝α，请用含α的代数式表示∠DCE ；（2）如图2，作BF ⊥AC ，垂足为F ，BF 与CE 交于点G ，已知∠ABD ＝∠CBF ．①求证：EB ＝EG ；②若CE ＝5，AC ＝8，求FG +FB 的值．15.）如图，将两个全等的直角三角形△ABD 、△ACE 拼在一起（图1），△ABD 不动．（1）若将△ACE 绕点A 逆时针旋转，连接DE ，M 是DE 的中点，连接MB 、MC （图2），证明：MB ＝MC ．（2）若将图1中的CE 向上平移，∠CAE 不变，连接DE ，M 是DE 的中点，连接MB 、MC （图3），判断并直接写出MB 、MC 的数量关系．（3）在（2）中，若∠CAE 的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB 、MC 的数量关系还成立吗？说明理由．16.在平面直角坐标系中，抛物线2:22(0)l y x mx m m =−−−>与x 轴分别相交于A B ､两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，设抛物线l 的对称轴与x 轴相交于点N ，且3OC ON =.（1）求m 的值；（2）将抛物线l 向上平移3个单位，得到抛物线l ′，设点P Q ､是抛物线l ′上在第一象限内不同的两点，射线PO QO ､分别交直线2y =−于点P Q ′′､，设P Q ′′､的横坐标分别为P Q x x ′′､，且4P Q x x ′′⋅=，求证：直线PQ 经过定点.常考答案一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 【答案】：B2 【答案】D.3. 【答案】C4. 【答案】B5 【答案】C6. 【答案】B7 【答案】A ．8. 【答案】C二､填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.9.【答案】(3,-2)10.【答案】m 的值为1或1/211.【答案】{1x x <−或}01x <<12.【答案】4.8三､解答题：本题共4小题，共52分.应写出文字说明､证明过程或演算步骤.13.【答案】（1）3（2）1313,,,2222M N −− ，32PMN S = 【解析】【分析】（1）由直线1l 求出点P 的坐标，再将点P 的坐标代入2l 方程中可求出a 的值；（2）由题意设(),1M x x −+ ，则(),1N x x −−，再将点N 的坐标代入直线2l 中可求出x ，从而可求得,M N 两点的坐标，进而可求出PMN 的面积.【小问1详解】对于直线1:1l y x =−+，当0y =时，1x =，所以()1,0P因为直线2:3l y ax =−过点()1,0P ，所以03a =−，得3a =，【小问2详解】由3a =得，2:33l y x =−设(),1M x x −+ ，则(),1N x x −−.又(),1N x x −−在2:33l y x =−上，所以133x x −=−−，解得12x =−，则1313,,,2222M N −−所以1313322222PMN S OP OP =⋅+⋅= . 14.【答案】【分析】（1）根据圆周角定理即可解决问题；（2）①结合（1）利用三角形内角和定理即可解决问题；②作EM ⊥BE ，EN ⊥AC ，证明四边形EMFN 为矩形，再根据线段的和差即可解决问题．【解答】（1）解：如图，连结OD ，∵∠DOC ＝2∠DBC ＝2α，又∵OD ＝OC ，∴∠DCE＝90°﹣α；（2）①证明：∵∠ABD＝∠CBF，∴∠EBG＝∠ABD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC，设∠DBC＝α，由（1）得：∠DCE＝90°﹣α，∵BF⊥AC，∴∠FGC＝∠BGE＝α，∴∠EBG＝∠EGB，∴EB＝EG；②解：如图，作EM⊥BE，EN⊥AC，由①得：∠EBG＝α，∠ACE＝90°﹣α，∵BF⊥AC∴∠A＝90°﹣α，∴AE＝CE＝5，∵EN⊥AC，AC＝8，∴CN＝4，∴EN＝3，∵EM⊥BF，NF⊥BF，EN⊥AC，∴四边形EMFN为矩形，∴EN＝MF＝3，∵EB＝EG，EM⊥BG，∴BM＝GM，∴FG+FB＝FM﹣MG+FM+BM＝2FM＝6．15.【分析】（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD＝AE，AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD＝∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD＝∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD＝BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC＝∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM ＝∠BAD ，然后求出∠MBC ＝∠BCM ，再根据等角对等边即可得证；（3）延长BM 交CE 于F ，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB ＝∠MEF ，∠MBD ＝∠MFE ，然后利用“角角边”证明△MDB 和△MEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得MB ＝MF ，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．【解答】证明：（1）如图2，连接AM ，由已知得△ABD ≌△ACE ，∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，∵MD ＝ME ，∴∠MAD ＝∠MAE ，∴∠MAD ﹣∠BAD ＝∠MAE ﹣∠CAE ，即∠BAM ＝∠CAM ，在△ABM 和△ACM 中，�AAAA =AAAA ∠AAAABB =∠AAAABB AABB =AABB ，∴△ABM ≌△ACM （SAS ），∴MB ＝MC ；（2）MB ＝MC ．理由如下：如图3，延长DB 、AE 相交于E ′，延长EC 交AD 于F ，∴BD ＝BE ′，CE ＝CF ，∵M 是ED 的中点，B 是DE ′的中点，∴MB ∥AE ′，∴∠MBC ＝∠CAE ，同理：MC ∥AD ，∴∠BCM ＝∠BAD ，∵∠BAD ＝∠CAE ，∴∠MBC ＝∠BCM ，∴MB ＝MC ；解法二：如图3中，延长CM 交BD 于点T ．∵EC ∥DT ，∴∠CEM ＝∠TDM ，在△ECM 和△DTM 中，�∠AACCBB =∠TTTTBB CCBB =TTBB ∠CCBBAA =∠TTBBTT ， ∴△ECM ≌△DTM （ASA ），∴CM ＝MT ，∵∠CBT ＝90°，∴BM ＝CM ＝MT ．（3）MB ＝MC 还成立．如图4，延长BM 交CE 于F ，∵CE ∥BD ，∴∠MDB ＝∠MEF ，∠MBD ＝∠MFE ，又∵M 是DE 的中点，∴MD ＝ME ，在△MDB 和△MEF 中，�∠BBTTAA =∠BBCCMM ∠BBAATT =∠BBMMCC BBTT =BBCC，∴△MDB ≌△MEF （AAS ）， ∴MB ＝MF ，∵∠ACE ＝90°，∴∠BCF ＝90°，∴MB ＝MC ．16.【答案】（1）1m =；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由顶点式求得对称轴，由0x =处函数值求得C 点坐标，根据3OC ON =列方程求解即可；（2）设点,P Q ，结合原点可得直线PO QO ､的解析式，再由2y =−可得点Q P ′′､横坐标，由4P Q x x ′′⋅=可得()1212230x x x x −++=；设直线PQ 的解析式为y mx n =+，与l ′联立之后可得122x x m +=+，12x x n =−，代入()1212230x x x x −++=求得21n m =−−，继而求出答案【小问1详解】解：依题意得：22()2y x m m m =−−−−， ∴抛物线的对称轴为直线x m =，ON m m ∴==，在222y x mx m =−−−中，令0x =，则2y m =−−， ()0,2C m ∴−−，22OC m m ∴=−−=+， 3OC ON = ，23m m ∴+=，解得1m =；【小问2详解】将1m =代入抛物线l 得223y x x =−−，如图，将抛物线l 向上平移3个单位后得到拋物线2:2l y x x ′=−，点P Q ､是拋物线l ′上在第一象限内不同的两点，∴设点()()22111222,2,,2P x x x Q x x x −−，由()()22111222,2,,2P x x x Q x x x −−分别可求得：()()122,2OP OQ y x x y x x =−=− 点P Q ′′､在直线2y =−上，∴点1222,2,,222P Q x x −−−−′′ −−， 4p Q x x ′′⋅=1222422x x −−∴⋅=−−，即()()12221x x −−=，整理得()1212230x x x x −++=，设直线PQ 的解析式为y mx n =+，与l ′联立得： 222,2,y x x x x mx n y mx n=−−=+ =+ ，整理得()220x m x n −+−=，由根与系数的关系可得：12122,x x m x x n +=+=−， ()1212230x x x x −++= ，()2230n m ∴−−++=， 21n m ∴=−−，11∴直线PQ 的解析式为()21,21y mx m y m x =−−=−−， ∴当2x =时，1y =−，∴直线PQ 经过定点()2,1−。

2022新高一入学分班考数学试卷12套(含答案)

D．不能确定
α
β
B
D
C
10．如图为由一些边长为 1cm 正方体堆积在桌面形成的立方体的三视图，则该立方体露在外面部分的表面积是
________ cm2。
正视图 A． 11 B．15
左视图 C．18
俯视图 D．22
第Ⅱ卷（答卷）
二. 填空题（本大题共 5 小题，小题 4 分，共 20 分）
11．函数 y
形 S3 ，以此类推，则 S2006 为（
A．是矩形但不是菱形； C.既是菱形又是矩形；
） B. 是菱形但不是矩形； D.既非矩形又非菱形.
9．如图 ,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD= ,∠ABC= .若 10 ，则的度数是 (
)
A
A．40
B． 50
C． 60
W＝
20 30
2x 1 x
8
1 x 82
82
12
14
8
1 8
x
82
2x
40
1 x 6 6 x 11 12 x 16
化简得
W＝
1 18
x2 x2
14 2x
1
26
x 6 6 x
11
………………10
分
8
1 8
x2
4x
48
12 x 16
①当 W＝ 1 x 2 14 时，∵ x ≥0，函数 y 随着 x 增大而增大，∵1≤ x ≤6 8
4
1
5
2
x
①
2 x 1 6 x
②
由①得：x>-1
由②得： x 4
所以原不等式组的解集为： 1 x 4

高一新生入学分班考试数学模拟试卷(附答案)

高一新生入学分班考试数学模拟试卷(附答案)高一新生入学分班考试数学模拟试题（试题满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分。

在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）1.下列计算：① (-2006) = 1；② 2m-5 ÷ 4m = -4；③ x^4+x^3=x^7；④ (ab^2)^3=a^3b^6；42m-35 ÷ (-35)^2 = 35。

正确的选项为（）A。

①B。

①②③C。

①③④D。

①④⑤2.一次函数 y=kx+b 满足 kb>0，且 y 随 x 的增大而减小，则此函数的图像不经过（）A。

第一象限B。

第二象限C。

第三象限D。

第四象限3.一个底面半径为5cm，母线长为16cm的圆锥，它的侧面展开图的面积是（）A。

80πcm^2B。

40πcm^2C。

80cm^2D。

40cm^24.以下五个图形中，既是轴对称又是中心对称的图形共有（）A。

1个B。

2个C。

3个D。

4个5.在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=1/3，则 BC 等于（）A。

45B。

5C。

11D。

45/46.如图，已知 PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P=40°，则∠BAC 的大小是（）A。

70°B。

40°C。

50°D。

20°7.若不等式组的解集为空集，则 a 的取值范围是（）x。

a4(x-2)+2>x-5答案：A。

a>38.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，掷得正面朝上的点数为奇数的概率为（）答案：B。

1/29.已知两圆的半径分别为 6cm 和 8cm，圆心距为 2cm，那么这两圆的公切线有（）答案：C。

3条10.设 a。

b。

c。

d 都是非零实数，则四个数：-ab。

ac。

bd。

cd（）A。

都是正数B。

XXX高一分班考试数学试题及答案

XXX高一分班考试数学试题及答案XXX高一上数学分班考试卷一、填空题（每题4分）1.x=1/2.y=1/2.则x^2-3xy+y^2=1/4.2.方程x^2-3x+m=0的两根为α，β，如2α+3β=5，则m=1.3.记1×2×3×。

×n=n。

则20!的末尾共有4个0.4.化简(1-x)·(1+x^2+x^4+x^6)=1-x^8.5.化简(1-x)^(-1)=1+x+x^2+x^3+。

+x^2011+x^2012.6.数据1,1,2,a,b,4,4,6的众数是4，中位数是3，则平均数是(1+1+2+a+b+4+4+6)/8=(18+a+b)/8.7.方程组{x^2-y^2=22a+1,y=1}有实数解，则a的范围是a≥0.8.一直线上自左到右依次有点A、B、C、D、E，AB=1,BC=CD=2,DF=3，在直线上存在点M，使AM+BM+CM+DM+EM最小，则这个最小值是5+2√5.9.学生甲在文具店买了4本数学簿、10本作文簿，1本外语簿，共花了16元钱，学生乙在文具店买了3本数学簿、7本作文簿，1本外语簿共花了14元钱，学生丙在文具店买了2本数学簿、2本作文簿，2本外语簿共花了12元钱.10.1/2<x<1，则代数式x^2.x^(1/2)。

3x。

(-x)的和是11/2.11.(1/3.2/3.1/9.1/27)中最大的是2/3.12.ABC中，∠B=40°，将ABC绕A旋转到ADE，使D 在BC的延长线上，那么旋转角的度数为80°.13.y=f(n)满足f(n+1)=2f(n)-1，且f(1)=2，则f(5)=15.14.按照这个规律填空，(1+x+x^2+。

+x^(3n-3))(1-x)=1-x^(3n).二、解答题5.b=ac。

x=(a+c)/(2√bc)。

y=1/2√bc。

则x+y=√a/b.6.设AE=x。

高一新生分班考试数学试卷含答案

CB高一新生分班考试数学试卷（含答案）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（每题5分，共40分） 1．化简=-2aa （）A ．aB ．a -C ．aD ．2a2．分式1||22---x x x 的值为0，则x 的值为（）A ．21或-B ．2C ．1-D ．2-3．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点。

若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tan C 等于（）A ．43 B ．35 C ．34 D ．45 4．如图，P A 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，AC 是直径，∠P = 40°，则∠BAC =（）A ．040 B ．080 C ．020 D ．0105．在两个袋内，分别装着写有1、2、3、4四个数字的4张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则所取两卡片上数字之积为偶数的概率是（）A ．21 B ．165 C ．167 D ．436．如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为( ) A . 6B.4C .5D . 37．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动B CD CB A 路线是A →D →C →B →A ,设P 点经过的路程为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y .则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是 ( )8.若直角坐标系内两点P 、Q 满足条件①P 、Q 都在函数y 的图象上②P 、Q 关于原点对称，则称点对（P ，Q ）是函数y 的一个“友好点对”（点对（P ，Q ）与（Q ，P ）看作同一个“友好点对”）。

已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤++=02101422x xx x x y ，，,则函数y 的“友好点对”有（）个A ．0 B.1 C. 2 D.3注意：请将选择题的答案填入表格中。

2023-2024学年北京牛栏山一中高一分班考数学试题及答案

2023北京牛栏山一中高一分班考数学本试卷共100分.考试时90分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 一、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）1. 2299x x +−等于（） A. ()()911x x −+ B. ()()911x x +− C. ()()911x x −−D. ()()911x x ++2. 已知110x y x y −−+=+≠，则xy 的值为（） A. 1− B. 0C. 1D. 23. 一次函数33y x b ，0b ≠的图象分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，则ABO ∠=（） A. 45︒B. 60︒C. 120︒D. 150︒4. 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实根1x ，2x ，且12x x <，则1x 是（）A. 22b a a−−B. 22b a a−+C. 22b a a −−D. 22b a a−−二、填空题（本题共10小题，每小题4分，共40分）5. 已知关于x 的一元二次方程214x x m −=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______. 6. 将抛物线24y x x =+向右平移2个单位，所得抛物线的表达式是______.7. 计算4sin 60︒+______.8. 设0x <，0y <，则化简为______. 9. 已知点()2,0A ，O 为坐标原点，点B 在第一象限且在反比例函数的图象上，若OAB 为等边三角形，则此反比例函数的解析式是______.10. 对任意两个实数a ，b ，规定一种新运算“*”：()*a b a a b b =++，若已知*2.528.5a =，则实数a 的值是______.11. 若多项式3231x kx −+的一个因式为31x −，则k =______.12. 若方程210x bx ++=与20x x b −−=，有一个公共根，则b =______. 13. 已知关于x 的方程22222x x a x x x x x−−+=−−，只有一个实根，则=a ______. 14. 对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为x ，即当n 为非负整数时，若1122n x n −≤<+，则x n =（如0=0.480=，0.64 1.4931==）. 给出下列关于x 的结论：①若x ，y 为非负实数，则 x y x y +=+； ②若213x −=，则实数x 的取值范围为7944x ≤<； ③当0x ≥，m 为非负整数时，有 x m m x +=+. 其中，正确的结论有______（填写所有正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 如图，已知平面直角坐标系xoy ，抛物线2y x bx c =−++过点()4,0A 、()1,3B（1）求该抛物线的表达式；（2）画出该抛物线的图像；（3）根据抛物线图像写出0y <时x 的取值范围. 16. 设函数2y x =与4y x=的两个交点为11(,)A x y ，()22,B x y ()12x x >，点C −.求ABC 的面积.17. （1）已知222x x −=，求()()()()()213331x x x x x −++−+−−的值；（2）已知1x =，求221121x x x x x x x+⎛⎫−÷⎪−−+⎝⎭的值. 18. 满足关于x 的不等式组261540x xmx m +⎧>+⎪⎨⎪+>⎩的x 的取值范围是4x <，求m 的取值范围.19.已知平面直角坐标系xoy ，抛物线224y ax ax =−+（0a >）（1）求证：抛物线经过两个定点；（2）若()11,A m y −，()2,B m y ，()323,C m y −为抛物线上三点，且满足123y y y <<，求实数m 的取值范围.20. 在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“＋”“－”号，如果可以使其代数和为n ，就称数n 是“可被表出的数”，否则，就称数n 是“不可被表出的数”（如1是可被表出的数，这是因为123456789++−−++−−+是1的一种可能被表出的方法）.（1）求证：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数；（2）求25可被表出的不同的方法种数.参考答案一、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）1. 【答案】A【分析】直接因式分解即可.【详解】()()2299911x x x x +−=−+.故选：A 2. 【答案】C【分析】变换11x yx y x y xy−−++=+=，0x y +≠，得到答案. 【详解】11x yx y x y xy−−++=+=，0x y +≠，故1xy =. 故选：C 3. 【答案】B【分析】确定()0,B b ，),0A，计算得到tan OA ABO OB∠==.【详解】33yx b ，取0x =，则y b =，即()0,B b ，取0y =，则x =，即),0A .tan OA ABO OB∠===，90ABO ︒<∠<︒，故60ABO ∠=︒.故选：B 4. 【答案】C【分析】确定240b ac ∆=−>，得到222424b b ac x a a −⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得答案. 【详解】一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实根1x ，2x ，故240b ac ∆=−>，20ax bx c ++=，即20b c x x a a ++=，即222424b b ac x a a −⎛⎫+= ⎪⎝⎭，12x x <，故12b a x −=. 故选：C二、填空题（本题共10小题，每小题4分，共40分）5. 【答案】1m >−【分析】确定2104x x m −−=，计算10m ∆=+>得到答案. 【详解】214x x m −=，即2104x x m −−=，10m ∆=+>，解得1m >−. 故答案为：1m >−. 6. 【答案】24y x =−【分析】配方得到顶点式，利用左加右减得到答案. 【详解】()22424y x x x =+=+−，向右平移2个单位得到()222244y x x =+−−=−. 故答案为：24y x =− 7. 【答案】3−【分析】直接计算得到答案.【详解】4sin 60433︒=+=−.故答案为：3−.8. 【答案】−【分析】根据根式的性质即可求解. 【详解】由于0x <，0y <，所以((1y x y=−−==−故答案为：−9. 【答案】()f x x=【分析】设反比例函数为()kf x x=，确定(B ，代入计算得到答案.【详解】设反比例函数为()kf x x=，0k >，()2,0A ，OAB 为等边三角形，故(B ，()1f k ==()f x =.故答案为：()f x x=. 10. 【答案】4或132−【分析】直接根据公式计算即可.【详解】()*2.5 2.5 2.528.5a a a =++=，解得4a =或132a =−. 故答案为：4或132−. 11. 【答案】10【分析】设()323131x kx x A −+=−，取13x =计算得到答案. 【详解】()323131x kx x A −+=−，其中A 是一个二次多项式，取13x =得到11099k −+=，解得10k =.故答案为：10 12. 【答案】2【分析】联立方程即可求解.【详解】()()22101110x bx bx x b b x b x x b ⎧++=⇒+=−−⇒+=−+⎨−−=⎩，若10b +=，则两个方程均为210x x −+=，而该方程无解，与题设矛盾，所以10b +≠，所以=1x −，进而将=1x −代入20x x b −−=可得2b =，故答案为：2 13. 【答案】72，4或8 【分析】变换得到22240x x a −+−=，考虑Δ0=和0∆>两种情况，考虑方程两个根中有一个是增根，计算得到答案. 【详解】22222x x a x x x x x−−+=−−，即()2222x x a x +−=−，整理得到22240x x a −+−=， ①若()4840a ∆=−−=，解得72a =，此时方程的解为12x =，满足； ②若()4840a ∆=−−>，解得72a >，此时方程有解0或者2，若有解0x =，则4a =，此时方程的解为0x =（增根）或1x =，满足；若有解2x =，则8a =，此时方程的解为2x =（增根）或=1x −，满足；综上所述：72a =，4a =或8a =. 故答案为：72，4或8. 14. 【答案】②③【分析】取0.5x y ==验证①错误，根据定义确定572122x ≤−<，解得②正确，m 为非负整数时，不影响四舍五入，③正确，得到答案.【详解】对①：取0.5x y ==，则 1x y +=，2x y +=，错误；对②：213x −=，则572122x ≤−<，解得7944x ≤<，正确；对③：0x ≥，m 为非负整数时，不影响四舍五入，正确；故答案为：②③三、解答题：本大题共6小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 【答案】（1）24y x x =−+ （2）图像见解析（3）0x <或>4x【分析】（1）将点代入抛物线方程，解得答案；（2）直接画出函数图像即可；（3）根据图像直接得到答案. 【小问1详解】抛物线2y x bx c =−++过点()4,0A 、()1,3B ，故0164b c =−++，31b c =−++，解得4b =，0c ，故24y x x =−+；【小问2详解】函数图像如图所示：【小问3详解】根据图像知：当0x <或>4x 时，0y <. 16.【答案】8【分析】计算交点得到A，(B −，再计算面积得到答案.【详解】24y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=−⎪⎩，故A，(B −，C−，画出函数图像，如图所示：11822ABC S BC AC =⨯⨯=⨯=△.17. 【答案】（1）1；（2）12−. 【分析】（1）根据题意，化简原式2365x x =−−，代入即可求解；（2）先化简原式21(1)x =−−，代入即可求解. 【详解】解：（1）由()()()()()2213331365x x x x x x x −++−+−−=−−，因为222x x −=，所以()223653253251x x x x −−=−−=⨯−=，即()()()()213311x x x x x −++−+−−=.（2）由2222222111111[]21(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++−−⎛⎫−÷=−÷=⋅=− ⎪−−+−−−−⎝⎭，因为1x =，可得211(1)2x −==−−，即22111212x x x x x x x+⎛⎫−÷=−⎪−−+⎝⎭ 18. 【答案】4m ≤− 【分析】解不等式6154x x+>+得到4x <，确定0m <且4m −≥，解得答案. 【详解】6154x x+>+，故()46520x x +>+，解得4x <，不等式组261540x xmx m +⎧>+⎪⎨⎪+>⎩的x 的取值范围是4x <，故0m <，20mx m +>得到x m <−，且4m −≥，解得4m ≤−，综上所述：m 的取值范围为4m ≤−. 19. 【答案】（1）()()0,4,2,4 （2）35,23m <<或3m > 【分析】（1）根据题意得到()224044,y a x x a =−+=⋅+=从而确定定点;（2）利用绝对值的几何意义，离对称轴的距离越远，函数值越大,从而得到不等式，解出即可. 【小问1详解】结合题意：()222424,y ax ax a x x =−+=−+当220x x −=时，即0,x =或2x =，此时()224044,y a x x a =−+=⋅+= 所以抛物线经过两个定点()()0,4,2,4. 【小问2详解】()()2222242414,y ax ax a x x a x a =−+=−+=−−+0a >所以对称轴1x =，因为()11,A m y −，()2,B m y ，()323,C m y −为抛物线上三点，且满足123y y y <<，所以111231m m m −−<−<−−，即1231111m m m m ⎧−<−−⎪⎨−−<−⎪⎩，将上式用平方法解得：3523m <<3m >. 20. 【答案】（1）证明见解析（2）9【分析】（1）直接列举1234567897++−+++−+−=，再考虑计算结果为奇数，得到证明. （2）计算12345678945++++++++=，故减号后的数和为10，列举得到答案. 【小问1详解】1234567897++−+++−+−=，故7是可被表出的数，5个奇数和4个偶数相加减，结果为奇数，故结果不可能为8，即8是不可被表出的数. 【小问2详解】12345678945++++++++=，要使结果为25，则加号后的数和为35，减号后的数和为10，考虑减号，不同的方法有9种：()1,9，()2,8，()3,7，()4,6，()1,2,7，()1,3,6，()1,4,5，()2,3,5，()1,2,3,4，故25可被表出的不同的方法种数为9.。

高一入学分班考数学试题含答案

高一入学分班考试一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.下列运算正确的是(）A 、932=-B、()842=-C 、()932-=-D、16214=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2.函数x y 2=与xy 18=的的图象相交于A 、B 两点(其中A 在第一象限)，过A 作AC 垂直于x 轴，垂足为C ，则△ABC 的面积等于()A 、18B、9C、12D、63.若a，b 为实数，满足b b a a +-=-+1111，则(1+a +b）（2-a-b)的值是(）A 、-1B、0C、1D、24.如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是()5.如图，己知直角三角形ABC 中，斜边AB=35，一个边长为12的正方形CDEF 内接于△ABC，则△ABC 的周长为(）A 、81B、84C、85D、886.有20个同学排成一行，若从左往右隔1人报数，小李报8号，若从右往左隔2人报数，小陈报6号，那么，小陈开始向小李逐一报数，小李报的号数是()A 、11B、12C、13D 、147.图中不是正方形的侧面展开图的个数为（）A 、l B、2C、3D、48.张华同学从家里去学校，开始选匀速步行，走了一段路后，发觉照这样走下去会迟到，于是匀速跑完余下的路程，下面坐标系中，横轴表示该同学从家出发后的时间t ，纵轴表示张华离学校的路程S ，则S 与t 之间函数关系的图像大致是(）9.令a=0.12345678910111213……998999，其中的数字是由依次写下正整数1至999得到的，则小数点右边第2008位数字是(）A、0B、5C、7D、910.若不等式ax2+7x -1>2x +5对11≤≤-a 恒成立，则x 的取值范围是(）A 、-1＜x＜1B、-1≤x≤1C、2＜x＜3D、2≤x≤3二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.把答案填在题中横线上.11.计算：()()202260tan 13321---+-=。

区高一新生入学分班考试数学试题及答案

区高一新生入学分班考试数学试题及答案高一新生入学分班考试数学试题总分：150分，时长：120分钟第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.下列运算正确的是（）。

A。

a·a=aB。

a÷a4=a2C。

a3+a3=2a6D。

(a3)2=a62.一元二次方程2x2-7x+k=0的一个根是x1=2，则另一个根和k的值是()A。

x2=1，k=4B。

x2=-1，k=-4C。

x2=2/3，k=6D。

x2=-2/3，k=-63.如果关于x的一元二次方程x-kx+2=0中，k是投掷骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则该二次方程有两个不等实数根的概率P=()A。

2/3B。

1/2C。

1/3D。

1/64.二次函数y=-x2-4x+2的顶点坐标、对称轴分别是()A。

(-2,6)，x=-2B。

(2,6)，x=2C。

(2,-6)，x=-2D。

(-2,-6)，x=25.已知关于x的方程5x-4+a=0无解，4x-3+b=0有两个解，3x-2+c=0只有一个解，则化简a-c+c-b-a-b的结果是（）A。

2aB。

2bC。

2cD。

06.在物理实验课上，XXX用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（）见原图）7.下列图中阴影部分的面积与算式|3/1|+(4/2)+2-1的结果相同的是（见原图）8.已知四边形S1的两条对角线相等，但不垂直，顺次连结S1各边中点得四边形S2，顺次连结S2各边中点得四边形S3，以此类推，则S2006为（）A。

是矩形但不是菱形；B。

是菱形但不是矩形；C。

既是菱形又是矩形；D。

既非矩形又非菱形。

9.如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=α，∠ABC=β。

高一分班考试数学试卷(含答案)

高一数学预科清北班入学考试试卷（时量：60分钟）学校姓名得分一、每题20分，共100分1、设,αβ是方程24420,()x mx m x R -++=∈的两实根,当m 为何值时, 22αβ+有最小值?求出这个最小值2、已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值3、将圆心角为0120，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积4、（07资阳）一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图7所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形. 现需将其整修并进行美化，方案如下：① 将背水坡AB 的坡度由1∶0.75改为1∶3；② 用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花． ⑴ 求整修后背水坡面的面积；⑵ 如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？图75、在三角形ABC 中, 60,24,16B BA cm BC cm ∠===.现有动点P 从点A 出发, 沿射线AB 向点 B 方向运动; 动点Q 从点C 出发, 沿射线CB 也向点B 方向运动. 如果点P 的速度是4cm /秒, 点 Q 的速度是2cm /秒, 它们同时出发, 求:（1）几秒钟以后, PBQ ∆的面积是ABC ∆的面积的一半?（2）这时, ,P Q 两点之间的距离是多少？二、附加题（20分）6、（荆门市）某校初中三年级270名师生计划集体外出一日游，乘车往返，经与客运公司联系，他们有座位数不同的中巴车和大客车两种车型可供选择，每辆大客车比中巴车多15个座位，学校根据中巴车和大客车的座位数计算后得知，如果租用中巴车若干辆，师生刚好坐满全部座位；如果租用大客车，不仅少用一辆，而且师生坐完后还多30个座位．⑴求中巴车和大客车各有多少个座位？⑵客运公司为学校这次活动提供的报价是：租用中巴车每辆往返费用350元，租用大客车每辆往返费用400元，学校在研究租车方案时发现，同时租用两种车，其中大客车比中巴车多租一辆，所需租车费比单独租用一种车型都要便宜，按这种方案需要中巴车和大客车各多少辆？租车费比单独租用中巴车或大客车各少多少元？高一数学预科清北班入学考试参考答案一、1、解：21616(2)0,21,m m m m ∆=-+≥≥≤-或 222222min 1()21211,()2m m m αβαβαβαβ+=+-=--=-+=当时 2、解：对称轴1x =，[]1,3是()f x 的递增区间，max ()(3)5,335f x f a b ==-+=即min ()(1)2,32,f x f a b ==--+=即 ∴3231,.144a b a b a b -=⎧==⎨--=-⎩得 3、解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的半径为r ，则 21203,3360l l ππ==；232,13r r ππ⨯==； 24,S S S rl r πππ=+=+=侧面表面积底面2111333V Sh π==⨯⨯⨯= 4、解：⑴ 作AE ⊥BC 于E ．∵ 原来的坡度是1∶0.75，∴ 10.75AE EB ＝43．设AE ＝4k ，BE ＝3k ，∴ AB ＝5k ，又 ∵ AB ＝5米，∴k ＝1，则AE ＝4米．设整修后的斜坡为AB ，由整修后坡度为13AE EB ，∴∠AB E ＝30°． ∴ 2AB AE 8米 . ∴ 整修后背水坡面面积为90×8＝720米2 ．⑵ 将整修后的背水坡面分为9块相同的矩形，则每一区域的面积为80米2 ．解法一：∵ 要依次相间地种植花草，有两种方案：第一种是种草5块，种花4块，需要20×5×80＋25×4×80＝16000元；第二种是种花5块，种草4块，需要20×4×80＋25×5×80＝16400元．∴ 应选择种草5块、种花4块的方案，需要花费16000元．解法二：∵ 要依次相间地种植花草，则必然有一种是5块，有一种是4块，而栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，∴ 两种方案中，选择种草5块、种花4块的方案花费较少．即：需要花费20×5×80＋25×4×80＝16000元．5、解：(1) 设t 秒后, PBQ ∆的面积是ABC ∆的面积的一半,则2,4CQ t AP t ==, 根据题意, 列出方程11222(162)(244)sin 601624sin 60t t ⨯--⋅=⨯⨯⨯,化简, 得214240t t -+=,解得122,12t t ==. 所以2秒和12秒均符合题意;(2) 当2t =时, 12,16,BQ BP ==在PBQ ∆中,作/QQ BP ⊥于/Q ,在/Rt QQ B ∆和/Rt QQ P ∆中, //6QQ BQ ==,所以/10,PQ PQ ==当12t =时, 18,24,BQ BP == 同理可求得11PQ =二、6、解：⑴设每辆中巴车有座位x 个，每辆大客车有座位（x ＋15）个，依题意有11530270270+++=x x 解之得：x 1＝45，x 2＝－90（不合题意，舍去）答：每辆中巴车有座位45个，每辆大客车有座位60个．⑵解法一：①若单独租用中巴车，租车费用为45270×350＝2100（元） ②若单独租用大客车，租车费用为（6－1）×400＝2000（元）③设租用中巴车y 辆，大客车（y ＋1）辆，则有45y ＋60（y ＋1）≥270解得y ≥2，当y ＝2时，y ＋1＝3，运送人数为45×2＋60×3＝270合要求这时租车费用为350×2＋400×3＝1900（元）故租用中巴车2辆和大客车3辆，比单独租用中巴车的租车费少200元，比单独租用大客车的租车费少100元．解法二：①、②同解法一③设租用中巴车y 辆，大客车（y ＋1）辆，则有350y ＋400（y ＋1）＜2000解得：1532<y ．故y ＝1或y ＝2 以下同解法一.（解法二的评分标准参照解法一酌定）。

2024-2025学年第一学期杭州学军中学新高一分班考数学卷(含答案)

学军中学新高一分班考数学卷一、选择题：本大题有8个小题，每小题3分，共24分。

1. 下列四个命题：①平分弦的直径垂直于弦；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧。

其中真命题的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 如图，在2014年的体育中年高考中，某校6名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位数、方差依次是（）A. 28，28，1B. 28，27.5，3C. 28，28，3D. 28，27.5，13. 已知方程组{3x−2y=3a−42x−3y=2a−1的解满足x＞y，则a的取值范围是（）A. a＞1B. a＜1C. a＞5D. a＜54. 如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使BD=2DC，连接AC，tanB=53，则tan∠CAD的值是（）A. 33B. 35C. 13D. 155. 如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，∠ACB=90°，四边形DEFG、GHIJ均为正方形，点E在AC上，点I在BC上，J为边DG的中点，则GH的长为（）A. 1921B. 1 C. 6077D. 1802596. 如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且BP⊥PQ，BP=PQ，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（）A. 线段B. 圆弧C. 抛物线的一部分D. 不同于以上的不规则曲线7. 如图，以点M（-5，0）为圆心，4为半径的圆与x轴交于A,B两点，P是☉M上异于A，B的一动点，直线PA，PB分别交y轴于点C，D，以CD为直径的☉N与x轴交于点E，F则EF的长为（）A. 42B. 43C. 6D. 随P点位置而变化8. 已知二次函数图象的对称轴为x=1，且过点A（3，0）与B（0，1.5），则下列说法中正确的是（）①当0≤x≤22+1时，函数有最大值2；②当0≤x≤22+1时，函数有最小值-2；③P是第一象限内抛物线上的一个动点，则△PAB面积的最大值为32；④对于非零实数m，当x>1+1m 时，y都随着x 的增大而减小。

2024年秋季高一入学分班考试数学试题与答案

（考试时间：120分钟试卷满分：1502024年秋季高一入学分班考试数学试题分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B = （） A ．{}1,2,3,4 B ．{}1,4C ．{}2,3D ．∅22x =−，则x 的值可以是（）A ．2−B ．1−C ．1D ．23．“2x =”是“24x =”的（） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知二次函数2y ax bx c ++的图象的顶点坐标为(2,1)−，与y 轴的交点为(0,11)，则（）A ．3,12,11a b c ==−=B ．3,12,11a b c === C ．3,6,11a b c ==−= D ．1,4,11a b c ==−= 5．把2212x xy y −++分解因式的结果是（） A ．()()()112x x y x y +−++ B ．()()11x y x y ++−− C ．()()11x y x y −+−−D ．()()11x y x y +++−6．已知命题p ：1x ∃>，210x ，则p ¬是（） A ．1x ∀>，210x B ．1x ∀>，210x +≤ C ．1x ∃>，210x +≤ D ．1x ∃≤，210x +≤7．函数y =） A ．[]3,3−B ．()3,1(1,3)−∪C ．()3,3−D ．()(),33,−∞−+∞8．若实数a b ，且a ，b 满足2850a a −+=，2850b b −+=，则代数式1111b a a b −−+−−的值为（） A ．-20B ．2C ．2或-20D ．2或20二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数()y f x =的图象的是（）A ．B ．C ．D ．10．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（） A ．x ∀∈R ，2210x x ++≥ B ．x ∃∈N ，2x 为偶数 C ．所有菱形的四条边都相等 D ．π是无理数11．下列结论中，错误的结论有（）A ．()43y x x =−取得最大值时x 的值为1 B ．若1x <−，则11x x ++的最大值为－2C ．函数()f x =的最小值为2D ．若0a >，0b >，且2a b +=，那么12a b+的最小值为3+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若多项式3x x m ++含有因式22x x −+，则m 的值是．13．不等式20ax bx c ++>的解集是(1,2)，则不等式20cx bx a ++>的解集是（用集合表示）． 14．对于每个x ，函数y 是16y x =−+，22246y x x =−++这两个函数的较小值，则函数y 的最大值是 .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）解下列不等式：(1)2320x x −+−≥； (2)134x x −+−≥； (3)11.21x x −≤+16．（15分）设全集R U =，集合{}|15Ax x =≤≤，集合{|122}B x a x a =−−≤≤−．(1)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围； (2)若命题“x B ∀∈，则x A ∈”是真命题，求实数a 的取值范围．17．（15分）已知集合{}{}210,20A x ax B x x x b =−==−+=.(1)若{}3A B ∩=，求实数,a b 的值及集合,A B ； (2)若A ≠∅且A B B ∪=，求实数a 和b 满足的关系式.18．（17分）已知22y x ax a =−+.(1)设0a >，若关于x 的不等式23y a a <+的解集为{},12|A Bx x =−≤≤，且x A ∈的充分不必要条件是x B ∈，求a 的取值范围；(2)方程0y =有两个实数根12,x x ， ①若12,x x 均大于0，试求a 的取值范围；②若22121263x x x x +=−，求实数a 的值．19．（17分）我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的14．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过20立方米，则水价为每立方米3元；第二档，若每户每月用水超过20立方米，但不超过30立方米，则超过部分水价为每立方米4元；第三档，若每户每月用水超过30立方米，则超过部分水价为每立方米7元，同时征收其全月水费20%的用水调节税．设某户某月用水x立方米，水费为y元．(1)试求y关于x的函数；(2)若该用户当月水费为80元，试求该年度的用水量；(3)设某月甲用户用水a立方米，乙用户用水b立方米，若,a b之间符合函数关系：247530=−+−．则当b a a两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共402024年秋季高一入学分班考试数学答案分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1 2 3 4 5 6 7 8 CDBADBCA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9 10 11 BDACABCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．2 13．1|12x x <<6四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（13分）【解析】（1）2320x x −+−≥可化为2320,(1)(2)0x x x x −+≤∴−−≤，所以解为1 2.x ≤≤（3分）（2）当1x <时，不等式可化为134x x −+−+≥，此时不等式解为0x ≤；当13x ≤≤时，不等式可化为134x x −−+≥，此时不等式无解；当3x >时，不等式可化为134x x −+−≥，此时不等式解为4x ≥；综上：原不等式的解为0x ≤或4x ≥.（9分）（3）原不等式可化为211021x x x +−+≥+，（11分）与()()2120210x x x ++≥+≠同解，所以不等式的解为：2x ≤−或12x >−.（13分）16．（15分）【解析】（1）由“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，得A B ，（2分）又{}|15Ax x =≤≤，{|122}B x a x a =−−≤≤−，因此12125a a −−< −≥ 或12125a a −−≤ −> ，解得7a ≥，所以实数a 的取值范围为7a ≥.（7分）（2）命题“x B ∀∈，则x A ∈”是真命题，则有B A ⊆，（9分）当B =∅时，122a a −−>−，解得13a <，符合题意，因此13a <；（11分）当B ≠∅时，而{}|15{|122}A x x B x a x a =≤≤=−−≤≤−，，则11225a a ≤−−≤−≤，无解，（14分）所以实数a 的取值范围13a <.（15分）17．（15分）【解析】（1）若{}3∩=A B ，则{}{}2310,320x ax x x x b ∈−=∈−+=，（2分）所以310,960a b −=−+=，解得1,33a b ==−，（4分）所以{}{}{}{}2110103,2301,33A x ax x x B x xx =−==−===−−==−，综上：1,33a b ==−，{}{}3,1,3A B ==−；（7分）（2）若A ≠∅，则0a ≠，此时{}110A x ax a=−==，（9分）又A B B ∪=，所以A B ⊆，即{}2120x x x b a ∈−+=，（12分）所以2120440b a ab −+= ∆=−≥ ，所以实数a 和b 满足的关系式为212b a a=−+.（15分）18．（17分）【解析】（1）由23y a a <+，得2223x ax a a a −+<+，即22230x ax a −−<，即()()30x a x a −+<，又0a >，∴3a x a −<<，即{}|3A x a x a =−<<，（3分）∵x A ∈的充分不必要条件是x B ∈，∴B 是A 的真子集，则0132a a a >−<− > ，解得0123a a a> > >，则1a >，即实数a 的取值范围是1a >.（6分）（2）方程为220y x ax a =−+=， ①若12,x x 均大于0则满足21212440200a a x x a x x a ∆=−≥ +=> => ，解得10a a a a ≥≤> > 或，故1a ≥，即a 的取值范围为1a ≥.（10分）②若22121263x x x x +=−，则()2121212263x x x x x x +−=−，则()21212830x x x x +−+=，即24830a a −+=，（13分）即()()21230a a −−=，解得12a =或32a =，由0∆≥，得1a ≥或0a ≤. 所以32a =，即实数a 的值是32.（17分）19．（17分）【解析】（1）因为某户该月用水x 立方米，按收费标准可知，当020x <≤时，3y x =；当2030x <≤时，()203420420y x x ×+−−；当30x >时，[2034(3020)7(30)] 1.28.4132y x x =×+×−+−×=−．（5分）所以3,020420,20308.4132,30x x y x x x x <≤=−<≤ −>（6分）（2）由题可得，当该用户水费为80元时，处于第二档，所以42080x −=，解得25x =．所以该月的用水量为25立方米．（10分）（3）因为247530b a a =−+−，所以()2248530244646a b a a a +=−+−=−−+≤．（13分）当24a =时，()46max a b +=，此时22b =．（15分）所以此时两户一共需要支付的水费是4242042220144y =×−+×−=元．（17分）。

高一分班数学试题及答案

高一分班数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2-6x+8，下列哪个选项是f(x)的对称轴？A. x=-2B. x=3C. x=1D. x=-32. 已知集合A={x|x<0}，B={x|x>1}，则A∩B为：A. {x|x<0}B. {x|x>1}C. {x|0<x<1}D. 空集3. 若a，b，c是等差数列，且a+c=10，b=4，则a+b+c的值为：A. 14B. 16C. 18D. 204. 函数y=f(x)=x^3+1的导数f'(x)为：A. 3x^2+1B. 3x^2C. x^2+1D. 3x^2-15. 已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的渐近线方程为y=±(b/a)x，则a和b的关系为：A. a=bB. a=-bC. a=2bD. a=-b/26. 已知向量a=(3,-2)，b=(-1,4)，则向量a+b的坐标为：A. (2,2)B. (2,-2)C. (4,2)D. (-4,2)7. 已知等比数列{an}的公比为q，且a1=2，a4=16，则q的值为：A. 2B. 4C. 1/2D. -1/28. 函数y=f(x)=x^2-4x+3的最小值出现在x=：A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a^2+b^2=c^2，三角形ABC的形状为：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定10. 已知函数f(x)=x^3-3x，求f'(1)的值为：A. 0B. -2C. 2D. -6二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(2)的值为______。

12. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，求a5的值为______。

13. 已知向量a=(1,2)，b=(3,-1)，求向量a·b的值为______。

2024年浙江重点高中高一分班考试数学试卷含答案解析

浙江重点高中高一分班考试数学试卷注意：（1）试卷共有三大题21小题，满分150分，考试时间100分钟.（2）请把解答写在答题卷的对应题次上，做在试题卷上无效.一、选择题（5×8=40分）1.如图， ABC 中，D 、E 是BC 边上点，BD :DE :EC =3:2:1，M 在AC 边上，CM :MA =1:2，BM 交AD 、AE 于H 、G ，则BH :HG :GM 等于（）A.3:2:1B.5:3:1C.25:12:5D.51:24:10【答案】D【解析】【分析】连接EM ，根据已知可得,~BHD BME CEM CDA △△△△，根据相似比从而不难得到答案．【详解】连接EM ，::1:3CE CD CM CA ==，EM ∴平行于AD .,~BHD BME CEM CDA ∴ △△△△.:3:5,:1:3HD ME ME AD ∴==.335AH ME ∴=−，:12:5AH ME ∴=， ::12:5HG GM AH EM ∴==，::3:5BH BM BD BE ∴==，::51:24:10BH HG GM ∴=.故选：D2.已知ABC 是O 的内接正三角形，ABC 的面积等于a ，DEFG 是半圆O 的内接正方形，面积等于的b ，a b的值为（）A. 2B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】根据圆内接正三角形的性质以及正方形的性质分别用圆的半径表示出两图形面积，即可得出答案.【详解】如图所示，连接OG ，CO ，过点O 作OM BC ⊥于点M ，设O 的半径为r ，ABC 是O 的内接正三角形，30OCM °∴∠=，1122OM CO r ∴==，CM =，ABC ∴ 的高的长度为32r ，且BC =，21322a r ∴=×=，设正方形DEFG 的边长为x ，则2xOF =，2222x r x∴=+，解得：2245x r =，245b r ∴=，45a b ∴==. 故选：D.3. 抛物线2y ax =与直线1x =，2x =，1y =，2y =围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（） A. 114a ≤≤ B. 122a ≤≤ C. 112a ≤≤ D. 124a ≤≤ 【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，画出四条直线围成的正方形，进一步判定其开口方向，再代入点的坐标即可解答．【详解】由下图可知：(1,2),(2,1)A B ，再根据抛物线的性质，||a 越大开口越小，把A 点代入2y ax =得2a =，把B 点代入2y ax =得14a =，则a 的范围介于两者之间，故 124a ≤≤．故选：D.4. 若1x >，0y >，且满足y xy x =，3y x x y=，则x y +的值为（）. A. 1 B. 2 C. 92 D. 112【答案】C【解析】【分析】由已知可得24y x x =，解得12y =，再代回已知等式求出x ，可得x y +的值. 【详解】由y xy x =，3y x x y =，得3y y x xy x x y ⋅=⋅，即24y x x =，解得12y =，把12y =代入y xy x =，得1212x x =，即x =24x x =，由1x >得4x =，则19422x y +=+=. 故选：C5. 设3333111112399S =++++ ，则4S 的整数部分等于（） A. 4B. 5C. 6D. 7 【答案】A【解析】【分析】由()()()32111112111k k k k k k k <=− −+− ，由此可以得到3331111115111239922991004S <=+++…+<+−< × ，然后即可求出4S 的整数部分. 【详解】当2,3,99k = ，因()()()32111112111k k k k k k k <=− −+− ，所以331111151112322991004S <=+++…++−< × ，即445S <<，故4S 的整数部分等于4故选：A .6. 如图，正方形ABCD 的边1AB =， BD 和 AC 都是以1为半径的圆弧，则无阴影部分的两部分的面积之差是（）A. 12π− B. 14π− C. 13π− D. 16π− 【答案】A【解析】【分析】图中1,2,3,4图形的面积和为正方形的面积,1,2和两个3的面积和是两个扇形的面积,因此两个扇形的面积的和减去正方形的面积等于无阴影两部分的面积之差.求解即可.详解】如图所示，1234S S S S S =+++正方形，31222S S S S =++扇形，两式相减，得到3490π12π213602S S S S ××−=−=−正方形扇形-1= 故选：A. 7. 在等边ABC 所在平面内有一点P ，使得,,PBC PAC PAB 都是等腰三角形，则具有该性质的点有（）A. 1个B. 7个C. 10个D. 无数个【答案】C【解析】【分析】过B 点作ABC 的中垂线，可知在三角形内有一点P 满足PBC 、PAC △、PAB 都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可以做两个圆，圆B 和圆A ，从而可以得出一条中垂线上有四个点满足PBC 、PAC △、PAB 都是等腰三角形，而三角形内部的一点是重合的，所以可以得出共有10个点.【详解】作三边的中垂线，交点P 肯定是其中之一，以B 为圆心，BA 为半径画圆，交AC 的中垂线于1P 、2P 两点，作2P AB △、2P BC △、2P AC △，如图，【则2P AB △、2P BC △、2P AC △都是等腰三角形，同理1P 具有题目所说的性质的点，以A 为圆心，BA 为半径画圆，交AC 的中垂线于点3P ，该点也必具有题目所说的性质. 依此类推，在ABC 的其余两条中垂线上也存在这样性质的点，所以这些点一共有：33110×+=个. 故选：C8. 某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了%x ，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了%x ，则第三季度的产值比第一季度增长了（）A. 2%xB. 12%x +C. ()1%%x x +⋅D. ()2%%x x +⋅【答案】D【解析】【分析】平均增长率问题，可直接用公式解题即可．【详解】假设第一季度产值为a ，则第二季度产值为(1%)a x +，第二季度产值为2(1%)a x +. 第三季度的产值比第一季度增长了2(1%)(2%)%a x a x x a+−=+⋅. 故选：D ．二、填空题（5×8=40分）9.方程226x y =+=的解是__________. 【答案】11260x y == 或22228x y =− = 【解析】【分析】利用换元法，借助立方和公式展开，求解方程组可得答案.a b ，则33 2,26a b a b +=+=，因为()()()()233223a b a b a ab b a b a b ab +=+−+=++−，【所以2(43)26ab −=，即3ab =−，与2a b +=联立可得31a b = =− 或13a b =− =; 当31a b = =−1==−，解得260x y = =；当13a b =− =3=−=，解得22228x y =− = . 故答案为：11260x y = = 或22228x y =− = 10. 若对任意实数x 不等式ax b >都成立，那么a 、b 的取值范围为__________.【答案】0a =，0b <【解析】【分析】分情况讨论不等式恒成立的条件.【详解】当0x =时，0b <，R a ∈；当0x ≠时，若0a =，则0b <；若0a >，则b x a>，不能恒成立；若a<0，则b x a<，不能恒成立；即当0x ≠时，若0a =，0b <综上所述，若使不等式恒成立，则0a =，0b <.11. 设12x −≤≤，则1222x x x −−++的最大值与最小值之差为__________. 【答案】1【解析】【分析】根据自变量的范围先去绝对值再求出最大值及最小值即可.【详解】因为12x −≤≤，所以11122224222x x x x x x x −−++=−−++=−，因为02x ≤≤，所以当0x =时，1222x x x −−++取最大值为4，当2x =时，1222x x x −−++取最小值3，所以1222x x x −−++的最大值与最小值之差为431−=. 故答案为：1.12. 两个反比例函数3y x =，6y x=在第一象限内的图象点1232007,,,,P P P P 在反比例函数6y x =上，它们的横坐标分别为1232007,,,,x x x x ，纵坐标分别是1、3、5 共2007个连续奇数，过1232007,,,,P P P P 分别作y 轴的平行线，与3y x =的图象交点依次为()()()'''111222200720072007,,,,,,Q x y Q x y Q x y ，则20072007P Q =__________. 【答案】40132##2006.5 【解析】【分析】由点2007P 的纵坐标结合6y x=得出其横坐标，进而由3y x =得出点2007Q 纵坐标，从而得出20072007P Q .【详解】由题可知()20072007,4013P x ，因为点2007P 在6y x =的图象上，所以200764013x =，又()200720072007,Q x y 在3y x =的图象上，所以200740136240313y ==，所以20072007P Q =40134013401322−=. 故答案为：40132. 13. 如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是__________.【答案】【解析】【分析】沿过A 点母线把圆锥侧面剪开摊平，得出圆锥侧面展开图，如图．线段1AA 的长就是所求最短距离．【详解】如图所示，在圆锥的侧面展开图中，1AA 的长就是所求最短距离.过点S 作1SB AA ⊥，则12AA AB =.因为 1AA 为圆锥底面圆的周长，即2π，由弧长公式得12π3ASA ∠=，.所以1π22sin,3AA AB AS ==⋅=，故答案为：14. 有一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是__________. 【答案】454【解析】【分析】首先由勾股定理求出AC 的长，设AC 的中点为E ，折线FG 与AB 交于F ，然后求证AEF △∽ABC ，求出EF 的长．【详解】如图，由勾股定理易得15AC ===，设AC 的中点为E ，折线FG 与AB 交于F ，（折线垂直平分对角线AC ），7.5AE =．由AEF △∽ABC ，得912EFBC AE AB ==，22.54EF ∴=∴折线长22.522.54522424EF ==×==, 故答案为:45415. 已知3、a 、4、b 、5这五个数据，其中a 、b 是方程2320x x −+=的两个根，则这五个数据的标准差是__________.【解析】【分析】先解方程得到a ，b 的值，计算出平均数和方差后，再计算方差的算术平方根，即为标准差．【详解】2320x x −+=，解得1,2a b ==或2,1a b ==，这组数据为14253,,,,. 平均值()13142535x =++++=；方差()()()()()2222221[3313432353]25S =−+−+−+−+−=；..16. 若抛物线2241y x px p =−++中不管p 取何值时都通过定点，则定点坐标为___________.【答案】()4,33【解析】【分析】若抛物线2241y x px p =−++中不管p 取何值时都通过定点，则含p 的项的系数为0，由此求出x 的值，再求y 的值，得出定点坐标.【详解】2241y x px p =−++可化为()2241y x p x =−−+，当4x =时，33y =，且与p 的取值无关，所以不管p 取何值时都通过定点()4,33. 故答案为：()4,33三、解答题17. 设m 是不小于1−的实数，使得关于x 的方程222(2)330x m x m m +−+−+=有两个不相等的实数根1x 、2x ．（1）若22126x x +=，求m 的值．（2）求22121211mx mx x x +−−的最大值．【答案】（1）m =（2）10. 【解析】【分析】（1）根据判别式可得11m −≤<，再利用韦达定理代入即可得答案；（2）将问题转化为关于m 的一元二次函数，再利用函数的性质求最值；【详解】∵方程有两个不相等的实数根，()22244(2)433440,1b ac m m m m m ∴∆=−=−−−+=−+>∴<结合题意知：11m −≤<（1）()()22222212121224(2)233210106x x x x x x m m m m m +=+−=−−−+=−+=11,m m m ∴=−≤<∴= （2）()()()()322222121212122121228821111m m m m m x x x x x x mx mx x x x x m m −+−+−+ +==−−−−− ()()2222(1)31352312(11)(1)22m m m m m m m m m m −−+ ==−+=−−−< − ∴当1m =−时，式子取最大值为10．【点睛】本题考查一元二次方程中韦达定理、一元二次函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18. 如图，开口向下的抛物线2812y ax ax a =−+与x 轴交于A 、B 两点，抛物线上另有一点C 在第一象限，且使OCA OBC ∽△△，（1）求OC的长及BC AC的值；（2）设直线BC 与y 轴交于P 点，点C 是BP 的中点时，求直线BP 和抛物线的解析式.【答案】（1）（2）y x −+，2y x x −【解析】【分析】（1）首先求出抛物线与x 轴交点的坐标，再由三角形相似计算可得；（2）首先求出C 点坐标，利用待定系数法求出BP 的解析式，再将C 点坐标代入抛物线方程，求出a ，即可得解.【小问1详解】由题设知a<0，且方程28120ax ax a −+=有两实数根12x =，26x =，即()2,0A ，()6,0B ，所以2OA =，6OB =， OCA OBC ∽，OC OA AC OB OC BC∴==， 212OC OA OB ∴=⋅=，则OC =，所以BCOB AC OC ==；【小问2详解】因为C 是BP 的中点，所以C 点的横坐标为3，又OC =，解得C y =或C y =（舍去），(C ∴，设直线BP 的解析式为y kx b =+，因其过点()6,0B，(C ，则有063k b k b =+ +，解得k b = =，所以y x −+；又点(C在抛物线上，92412a a a =−+，解得a =， ∴抛物线解析式为2y x x +−19. 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表家电名称空调彩电冰箱问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？【答案】空调30，彩电270，冰箱30，最高产值1050.【解析】【分析】设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x 台、y 台、z 台,建立三元一次方程组,则总产值432A x y z =++．由于每周冰箱至少生产60台,即60z ≥,所以300x y +≤.又生产空调器、彩电、冰箱共360台,故有30x ≥台,即可求得,具体的x ,y ,z 的值．【详解】解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x 台、y 台、z 台，则有()36011111209032341260x y z x y z x y z ++= ++==++ ≥ 总产值()()()4322272031080A x y z x y z x y x y x x ++++++++−−60,300z x y ≥∴+≤ ,而3360x y +=, 3603300,30x x x ∴+−≤∴≥ 1050A ∴≤ 即30,27060x y z ===,. 故每周生产空调30，彩电270，冰箱30，最高产值1050.20. 一个家庭有3个孩子，（1）求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；（2）求这个家庭至少有一个男孩概率.【答案】（1）38；（2）78. 【解析】【分析】（1）用树状图列出所有结果，再根据古典概型计算所求；（2）根据（1）树状图列出的所有结果，再根据计算所求；【小问1详解】用B 和G 分别代表男孩和女孩，用“树状图”列出所有结果为：,的∴这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率为38【小问2详解】由（1）可知，这个家庭至少有一个男孩的概率78. 21. 如图，已知O 和O 相交于A 、B 两点，过点A 作O 的切线交O 点C ，过点B 作两圆的割线分别交O 、O 于E 、F ，EF 与AC 相交于点P ，（1）求证：PA PE PC PF ⋅=⋅；（2）求证：22PE PF PC PB=；（3）当O 与O 为等圆时，且::3:4:5PC CE EP =时，求PEC 与FAP 的面积的比值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）49625. 【解析】【分析】（1）利用切线角与同弧所对角的性质得到CEB F ∠=∠，从而得到//AF CE ，由此得证；（2）结合（1）中结论，利用切割线定理即可得证；（3）利用三角形相似与勾股定理证得90C CAF ∠=∠=°，从而得到,x y 的比值，再利用面积比与相似比的关系即可得解.【小问1详解】连接AB ，CA 切O ′于A ，CAB F ∴∠=∠，又CAB CEB ∠=∠，CEB F ∴∠=∠， //AF CE ∴，PE PC PF PA∴=， PA PE PC PF ∴⋅=⋅.【小问2详解】由（1）得2222,PE PC PE PC PF PA PF PA=∴=，则2222PE PF PC PA =，再根据切割线定理，得2PA PB PF =⋅，22PE PF PC PB ∴=. 【小问3详解】连接AE ，由（1）知//AF CE PEC PFA ，而::3:4:5PC CE EP =，::3:4:5PA FA PF ∴=，不妨设3=PC x ，3PA y =，则4,5CE x EP x ==，4,5FA y PF y ==， 222222,EP PC CE PF PA FA ∴=+=+，90C CAF °∴∠=∠=， AE ∴为O 的直径，AF 为O ′的直径，因为O 与O ′ 为等圆，4AE AF y ∴==，222AC CE AE += ，222(33)(4)(4)x y x y ∴++=，22251870x xy y +−=， 7(257)()0,25x x y x y y ∴−+=∴=，222249:625ECP FAP x PC PA S S y ∴=== .。

新高一入学分班考数学卷(参考答案)

新高一入学分班考数学卷（名校版）参考答案一、选择题1．当m＜﹣1时，方程（m3+1）x2+（m2+1）x=m+1的根的情况是（）A．两负根B．两异号根，且正根的绝对值较大C．两正根D．两异号根，且负根的绝对值较大【分析】首先将方程整理为一般形式，进而利用根据根与系数的关系以及因式分解的应用，分析各式子的符号，进而得出答案．【解答】解：∵（m3+1）x2+（m2+1）x=m+1，∴（m3+1）x2+（m2+1）x﹣（m+1）=0，∴x1x2====，∵m＜﹣1，∴m2﹣m+1＞0，∴x1x2＜0，∴方程由两异号根，∵x1+x2=﹣=，∵m＜﹣1，∴m2﹣m+1＞0，m+1＜0，﹣（m2+1）＜0，∴x1+x2＞0，∴正根的绝对值较大．故选：B．2．对于数x，符号[x]表示不大于x的最大整数例如[3.14]=3，[﹣7.59]=﹣8，则关于x的方程[]=4的整数根有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据取整函数的定义可知，4≤＜5，解此方程组即可．【解答】解：∵[]=4，∴4≤＜5，∴，∴，即7≤x＜，故x的正数值为7，8，9．故选B．3．+的最小值为（）A．B． C． D．均不是【分析】根据题意结合两点之间距离求法，利用轴对称求出最短路线进而得出答案．【解答】解：原式=+，即x轴上的点到（﹣1，1）和（2，4）的距离之和的最小值画图可知，点（4，2）关于x轴的对称点（4，﹣2）与（﹣1，1）连线与x轴的交点即为所求，此时最小值为：=．故选：B．4．在下列图形中，各有一边长为4cm的正方形与一个8cm×2cm的长方形相重叠．问哪一个重叠的面积最大（）A．B．C．D．【分析】A、阴影部分是长方形，所以长方形的面积等于长和宽的乘积；B、如图，设阴影部分等腰直角的腰为x，根据勾股定理求出x的值，所以，阴影部分的面积等于正方形的面积减去俩个空白三角形的面积；C、图C，逆时针旋转90°从后面看，可与图D对比，因为图C阴影部分的倾斜度比图D阴影部分的倾斜度小，所以，图C中四边形的底比图D中四边形的底小，两图为等高不等底，所以图C阴影部分的面积小于图D阴影部分的面积；D、图D，设阴影部分平行四边形的底为x，根据正方形的面积=阴影部分的面积+两个空白三角形的面积，求出x的值，再得出阴影部分的面积；图A、图C、图D中阴影部分四边形为等高不等底，因为倾斜度不同，所以图D中阴影部分的底最大，面积也就最大；因此，只要比较图B和图D阴影的面积大小，可得到图B阴影部分的面积最大．【解答】解：A、S阴影=2×4=8（cm2）；5．（2016•衡水校级模拟）设全集U=R，集合A={x|}，B={x|1＜2x＜8}，则（C U A）∩B等于（）A．[﹣1，3）B．（0，2]C．（1，2]D．（2，3）【分析】分别解出集合A，B，然后根据集合的运算求解即可．【解答】解：因为集合A={x|}=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），B={x|1＜2x＜8}=（0，3），又全集U=R，∴C U A=（﹣1，2]，∴（C U A）∩B=（0，2]，故选B．6．已知函数f（x）=，则f（f（2））等于（）A．B．2 C．﹣1 D．1【分析】先由解析式求得f（2），再求f（f（2））．【解答】解：f（2）=，f（﹣1）=2﹣1=，所以f（f（2））=f（﹣1）=，故选A．7．设a，b是常数，不等式+＞0的解集为x＜，则关于x的不等式bx﹣a＞0的解集是（）A．x＞B．x＜﹣C．x＞﹣D．x＜8．对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定：①（a，b）=（c，d），当且仅当a=c，b=d；②运算“⊗”为：（a，b）⊗（c，d）=（ac+bd，bc﹣ad）；③运算“θ”为：（a，b）θ（c，d）=（a﹣c，b﹣d）．设p，q∈R，若（1，2）⊗（p，q）=（11，2），则（1，2）θ（p，q）（）A．（﹣2，﹣2）B．（3，4）C．（2，1）D．（﹣1，﹣2）【分析】先根据（1，2）⊗（p，q）=（11，2），列方程组求p、q的值，再由规定运算“θ”求（1，2）θ（p，q）的结果．【解答】解：由规定②，得（1，2）⊗（p，q）=（p+2q，2p﹣q），∵（1，2）⊗（p，q）=（11，2），∴（p+2q，2p﹣q）=（11，2），由规定①，得，解得，由规定③，可知（1，2）θ（p，q）=（1，2）θ（3，4）=（1﹣3，2﹣4）=（﹣2，﹣2）．故选A．二、填空题9．已知a2+4a+1=0，且，则m=．【分析】由a2+4a+1=0，得a2=﹣4a﹣1，代入所求的式子化简即可．【解答】解：∵a2+4a+1=0，∴a2=﹣4a﹣1，=====5，∴（16+m）（﹣4a﹣1）+8a+2=5（m﹣12）（﹣4a﹣1），原式可化为（16+m）（﹣4a﹣1）﹣5（m﹣12）（﹣4a﹣1）=﹣8a﹣2，即[（16+m）﹣5（m﹣12）]（﹣4a﹣1）=﹣8a﹣2，∵a≠0，∴（16+m）﹣5（m﹣12）=2，解得m=．故答案为．10．已知（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，则x2+y2的最大值为49．【分析】运用几何意义解答，x2+y2的最大值就是方程（x﹣3）2+（y﹣4）2=4所代表的圆周上的点到坐标原点的距离最大值的平方，从而可得出答案．【解答】解：x2+y2的最大值就是方程（x﹣3）2+（y﹣4）2=4所代表的圆周上的点到坐标原点的距离最大值的平方，连接坐标原点与圆心（3，4）所得的直线与圆的交点，则（x2+y2）min时，|ON|取最小，（x2+y2）max时，|OM|取最大，∵原点与圆心（3，4）的距离+半径（PM）=+2=7，∴（x2+y2）max=72=49．故答案为：49．11．如图正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，△DEF的面积是1，那么正方形ABCD的面积是6．【分析】先设△BEF的面积是x，由于E是BC中点，那么S△DBE=S△DCE，易求S正方形=4（1+x），又四边形ABCD是正方形，那么AD∥BC，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得△BEF∽△DAF，于是S△BEF：S△DAF=（）2，E是BC中点可知BE：AD=1：2，于是S△DAF=4x，进而可得S正方形=S△ABF+S△BEF+S△ADF+S△DEF+S△DCE=1+x+4x+1+1+x，等量代换可得4（1+x）=1+x+4x+1+1+x，解可求x，进而可求正方形的面积．【解答】解：如右图，设△BEF的面积是x，∵E是BC中点，∴S△DBE=S△DCE，∴S△BCD=2（1+x），∴S正方形=4（1+x），∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△BEF∽△DAF，∴S△BEF：S△DAF=（）2，∵E是BC中点，∴BE=CE，∴BE：AD=1：2，∴S△DAF=4x，∵S△ABE=S△BED，∴S△ABF=S△DEF=1，∴S正方形=S△ABF+S△BEF+S△ADF+S△DEF+S△DCE=1+x+4x+1+1+x，∴4（1+x）=1+x+4x+1+1+x，解得x=0.5，∴S正方形=4（1+x）=4（1+0.5）=6．12．如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，且BE平分∠DBC，O是BD中点，直线BE、DG交于H．BD，AH交于M，连接OH，则OH=AB，BM=AB．【分析】易得△BCE≌△DCG，得到∠1=∠2，B，C，H，D四点共圆，得出OH=BD=AB，由E关于BD的对称E′，得到△BEE′是等腰三角形，BM⊥E′E于M，由角平分线到角两边的距离相等得出BM=AB．【解答】解：如图，设EE′与BD交于点M′，∵AD=CD∴AE′=CE=EF，∵∠E′AM′=∠EFM′，∠AM′E′=∠FM′F，∴△AM′E′≌△FM′E（AAS），∴EM′=E′M′，∵ME′=ME∴M与M′重合，∵BC=DC，EC=CG，∠BCE=∠DCG，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴∠1=∠2，∴B，C，H，D四点共圆，∴OH=BD=AB，∵E关于BD的对称E′，∵∠3=∠4，BE=BE′，∴△BEE′是等腰三角形，∴BM⊥E′E于M，∴BM=AB．故答案为：AB，AB．13．函数f（x）=λx2+（λ﹣3）x+1对于任意实数x都有f（x）≤f（λ），则函数f（x）的最大值是．【分析】根据函数有最值，首先判断出λ＜0，进而利用二次函数的最值得出f（x）的最大值，使这个最大值与f（λ）相等，解方程即可得出λ的值，进而代入求出f（x）最大值．【解答】解：由题意得，f（x）有最大值，则可得λ＜0，又∵f（x）=λ（x+）2+1﹣，∴f（x）的最大值为1﹣，又∵f（x）≤f（λ），∴f（λ）=λ3+（λ﹣3）λ+1=1﹣，解得：λ=1（舍去）或λ=﹣，将λ=﹣，代入可得f（x）的最大值为．故答案为：．三、解答题14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．【分析】（1）根据待定系数法即可解决问题．（2）求出直线BC与对称轴的交点H，根据S△BDC=S△BDH+S△DHC即可解决问题．（3）由，当方程组只有一组解时求出b的值，当直线y=﹣x+b经过点C时，求出b的值，当直线y=﹣x+b经过点B时，求出b的值，由此即可解决问题．【解答】解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2．（2）∵y=x2﹣x+2=（x﹣1）2+．∴顶点坐标（1，），∵直线BC为y=﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H（1，3），∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=•3+•1=3．（3）由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0，当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0，∴b=，当直线y=﹣x+b经过点C时，b=3，当直线y=﹣x+b经过点B时，b=5，∵直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，∴＜b≤3．15．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PD的长．【分析】（1）由圆周角定理可知∠ABC=∠BAC=60°，从而可证得△ABC是等边三角形；（2）由△ABC是等边三角形可得出“AC=BC=AB=2，∠ACB=60°”，在直角三角形PAC 和DAC通过特殊角的正、余切值即可求出线段AP、AD的长度，二者作差即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠ABC=∠APC，∠BAC=∠BPC，∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形．（2）解：∵△ABC是等边三角形，AB=2，∴AC=BC=AB=2，∠ACB=60°．在Rt△PAC中，∠PAC=90°，∠APC=60°，AC=2，∴AP==2．在Rt△DAC中，∠DAC=90°，AC=2，∠ACD=60°，∴AD=AC•tan∠ACD=6．∴PD=AD﹣AP=6﹣2=4．2．（2013•济宁）阅读材料：若a，b都是非负实数，则a+b≥．当且仅当a=b时，“=”成立．证明：∵（）2≥0，∴a﹣+b≥0．∴a+b≥．当且仅当a=b时，“=”成立．举例应用：已知x＞0，求函数y=2x+的最小值．解：y=2x+≥=4．当且仅当2x=，即x=1时，“=”成立．当x=1时，函数取得最小值，y最小=4．16问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升．（1）求y关于x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．【分析】（1）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可；（2）经济时速就是耗油量最小的形式速度．【解答】解：（1）∵汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．∴y=x×（+）=（70≤x≤110）；（2）根据材料得：当时有最小值，解得：x=90∴该汽车的经济时速为90千米/小时；当x=90时百公里耗油量为100×（+）≈11.1升．17．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH．（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是CH=AB；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．【分析】（1）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF≌△CBE，即可判断出∠1=∠2；然后根据EH⊥BF，∠BCE=90°，可得C、H两点都在以BE为直径的圆上，判断出∠4=∠HBC，即可判断出CH=BC，最后根据AB=BC，判断出CH=AB即可．（2）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF≌△CBE，即可判断出∠1=∠2；然后根据EH⊥BF，∠BCE=90°，可得C、H两点都在以BE为直径的圆上，判断出∠4=∠HBC，即可判断出CH=BC，最后根据AB=BC，判断出CH=AB即可．（3）首先根据三角形三边的关系，可得CK＜AC+AK，据此判断出当C、A、K三点共线时，CK的长最大；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△DFK≌△DEH，即可判断出DK=DH，再根据全等三角形判定的方法，判断出△DAK≌△DCH，即可判断出AK=CH=AB；最后根据CK=AC+AK=AC+AB，求出线段CK长的最大值是多少即可．【解答】解：（1）如图1，连接BE，，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，∵点E是DC的中点，DE=DF，∴点F是AD的中点，∴AF=CE，在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE，∴∠1=∠2，∵EH⊥BF，∠BCE=90°，∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴∠4=∠HBC，∴CH=BC，又∵AB=BC，∴CH=AB．故答案为：CH=AB．（2）当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论CH=AB仍然成立．如图2，连接BE，，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，∵AD=CD，DE=DF，∴AF=CE，在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE，∴∠1=∠2，∵EH⊥BF，∠BCE=90°，∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴∠4=∠HBC，∴CH=BC，又∵AB=BC，∴CH=AB．（3）如图3，，∵CK≤AC+AK，∴当C、A、K三点共线时，CK的长最大，∵∠KDF+∠ADH=90°，∠HDE+∠ADH=90°，∴∠KDF=∠HDE，∵∠DEH+∠DFH=360°﹣∠ADC﹣∠EHF=360°﹣90°﹣90°=180°，∠DFK+∠DFH=180°，∴∠DFK=∠DEH，在△DFK和△DEH中，∴△DFK≌△DEH，∴DK=DH，在△DAK和△DCH中，∴△DAK≌△DCH，∴AK=CH又∵CH=AB，∴AK=CH=AB，∵AB=3，∴AK=3，AC=3，∴CK=AC+AK=AC+AB=，即线段CK长的最大值是．。

北京市海淀区高一新生入学分班考试数学试题及答案

高一新生入学分班考试数学试题总分：150分时量：120分钟第Ⅰ卷一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．下列运算正确的是（）。

A 、a 2·a 3=a 6B 、a 8÷a 4=a 2 C 、a 3+a 3=2a 6 D 、(a 3)2=a 62．一元二次方程2x 2-7x+k=0的一个根是x 1=2,则另一个根和k 的值是 ( )A ．x 2=1 ，k=4B ．x 2= - 1, k= -4C ．x 2=32,k=6 D ．x 2= 32-,k=-6 3．如果关于x 的一元二次方程220x kx -+=中，k 是投掷骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则该二次方程有两个不等实数根的概率P= ( ) A ．23B ．12C ．13D ．164．二次函数y=-x 2-4x+2的顶点坐标、对称轴分别是( )A.(-2,6)，x=-2B.(2,6)，x=2C.(2,6)，x=-2D.(-2,6)，x=25．已知关于023,034,045=+-=+-=+-c x b x a x x 有两个解无解的方程只有一个解，则化简b a bc c a ---+-的结果是（）A 、2aB 、2bC 、2cD 、06. 在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y （单位N ）与铁块被提起的高度x （单位cm ）之间的函数关系的大致图象是（）A BC B 7．下列图中阴影部分的面积与算式12221(|43|-++-的结果相同的是（）8．已知四边形1S 2S ，顺次连结2S 各边中点得四边形3S ，以此类推，则2006S 为（）A ．是矩形但不是菱形； B. 是菱形但不是矩形； C.既是菱形又是矩形； D.既非矩形又非菱形.9．如图 ,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β. 若10,αβ=︒则的度数是 A ．40︒B ． 50︒C ． 60︒D ．不能确定10．如图为由一些边长为1cm 正方体堆积在桌面形成的立方体的三视图，则该立方体露在外面部分的表面积是________ cm 2。

长郡中学2024-2025学年高一上学期综合能力检测(入学分班考试)数学试卷(解析版)

长郡中学2024级高一综合能力检测试卷数学时量：90分钟满分100分一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符题目要求的.1.《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿1=万1万，1兆1=万1×万1×亿．若1兆10m=，则m 的值为（） A.4 B.8C.12D.16【答案】D 【解析】【分析】由指数幂的运算性质即可求解. 【详解】1万=410，所以1亿=810，所以1兆=8816101010×=，所以16m =. 故选：D2.二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒大寒），若从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（）A.12B.112C.16D.14【答案】D 【解析】【分析】根据概率的计算公式即可求解.【详解】从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为61244=，故选：D3.如图，矩形ABCD 中，3AB =，1AD =，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 所表示的数为（）A. 2B.1−C.D.1【答案】B 【解析】【分析】利用勾股定理和数轴的知识求得正确答案.【详解】由于AC =，所以点M所表示的数为)231+−=−.故选：B4. 若关于x 的不等式组()532223x x x x a + ≥−+<+恰好只有四个整数解，则a 的取值范围是（）A. 53a <−B. 5433a −≤<− C. 523a −<−≤D. 523a −<<−【答案】C 【解析】【分析】化简不等式组，由条件列不等式求a 的取值范围. 【详解】解不等式532x x +≥−，得11x ≤，解不等式()223x x a +<+，得23x a >−，由已知可得7238a ≤−<，所以523a −<−≤.故选：C.5. 在ABC ，3AC =，4BC =，5AB =，点P 在ABC 内，分别以A ，B ，P 为圆心画圆，圆A 的半径为1，圆B 的半径为2，圆P 的半径为3，圆A 与圆P 内切，圆P 与圆B 的关系是（） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 相离【答案】B 【解析】【分析】由题意条件分析两圆圆心距与两半径和差的大小关系即可得. 【详解】由圆A 与圆P 内切，则312PA =−=，5AB =，又点P 在ABC 内，则PA PB AB +>，且PB AB <，所以523PB AB PA >−=−=，且5PB <，则3232PB −<<+，由圆B 的半径为2，圆P 的半径为3，所以圆P 与圆B 相交. 故选：B.6. 对于正整数k 定义一种运算：1()[][]44k k f k +=−，例：313(3)[][]44f +=−，[]x 表示不超过x 的最大整数，例：[3.9]3=，[ 1.8]2−=−．则下列结论错误的是（） A. ()10f =B. ()0f k =或1C. ()()4f k f k +=D. ()()1f k f k +≥【答案】D 【解析】【分析】根据给定的定义，逐项计算判断即可.【详解】对于A ，11(1)[][]00024f =−=−=，A 正确；对于B ，取4,1,2,3,4k n i i =+=，n 为自然数，当4i =时，1()[1][1][1]044f k n n ++−+，当3i =时，33()[1][]1([])144f k n n n n =+−+=+−+=，当1,2i =时，11()[][][]([])04444i i i if k n n n n ++=+−+=+−+=，B 正确；对于C ，11(4)[1][1]1[](1[])()4444k k k kf k f k +++=+−+=+−+=，C 正确；对于D ，414313(31)[][]0,(3)[][]14444f f +++=−==−=，即(31)(3)f f +<，D 错误.故选：D7. 如图，点A 为反比例函数()10y x x=−<图象上的一点，连接AO ，过点O 作OA 的垂线与反比例函数()40yx x=>的图象交于点B ，则AO BO 的值（）A.12B.14C.D.13【答案】A 【解析】【分析】设121214,,,A x B x x x −，由,A B 两点分别做x 轴的垂线，垂足分别为,E F ，由AO BO ⊥，得∽∠ AOE OBF ，由==AEEO AO OFBF BO，可得答案. 【详解】设AA �xx 1,−1xx 1�,BB �xx 2,4xx 2�(xx <0,xx 2>0)，由,A B 两点分别做x 轴的垂线，垂足分别为,E F ，且()()12,0,,0E x F x ，因为AO BO ⊥，所以,∠=∠∠=∠AOE OBF OAE BOF ，所以∽∠ AOE OBF ，所以AE EO OF BF =，可得112214−−=x x x x ，即22124x x =，所以122x x =−，所以12121211==−==−=A Ex x x OA BO OFx.故选：A.8. 若二次函数的解析式为()()()2215y x m x m =−−≤≤，且函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，则q 的取值范围是（） A. 124q −≤≤ B. 50q −≤≤C. 54q −≤≤D. 123q −≤≤【答案】A 【解析】【分析】由二次函数解析式可求得对称轴为1x m =+，进而可得412p p m ++=+，由函数图象过点(),p q ，可得2(1)4q m =−−+，可求q 的取值范围.【详解】因为二次函数解析式为()()()2215y x m x m =−−≤≤，所以二次函数的对称轴为1x m =+，函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，故点(),p q 和点()4,p q +关于直线1x m =+对称，所以412p p m ++=+，所以1[0,4]p m −∈，又()()()()2222121223(1)4q p m p m m m m m m =−−=−−−−=−++=−−+，当1m =，max 4q =，当5m =，min 12q =−，所以124q −≤≤. 故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．9. 分解因式：432449a a a −+−=______．【答案】2(23)(1)(3)a a a a −++− 【解析】【分析】根据给定条件，利用公式法及十字相乘法分解因式即可得解.【详解】43222222449(2)9(23)(23)(23)(1)(3)a a a a a a a a a a a a a −+−=−−=−+−−=−++−. 故答案为：2(23)(1)(3)a a a a −++−的10. 直线1:1l y x =−与x 轴交于点A ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转15°，得到直线2l ，则直线2l 对应的函数表达式是______．【答案】y =【解析】【分析】先求得2l 的倾斜角，进而求得直线2l 对应的函数表达式. 【详解】直线1:1l y x =−与x 轴交于点 1,0A ，直线1:1l y x =−的斜率为1，倾斜角为45°，所以2l 的倾斜角为60°所以直线2l 对应的函数表达式是)1y x =−=.故答案为：y=−11. 若关于x 的分式方程22411x a x ax x −−+−=−+的解为整数，则整数a =______．【答案】1± 【解析】【分析】由分式方程有意义可知1x ≠且1x ≠−，再化简方程求解2x a=，由,a x 均为整数可求.【详解】则方程241x a x −−−1x ≠且1x ≠−. 方程可化为222211x a x ax x −−+−=+−+，即2211a a x x −+=−+，解得2x a=，由1x ≠且1x ≠−，所以2a ≠且2a ≠−.由a 为整数，且x 为整数，则当1a =−，2x =−，或当1a =，2x =时满足题意. 所以1a =±. 故答案为：1±.12. 如图，已知两条平行线1l ，2l ，点A 是1l 上的定点，2AB l ⊥于点B ，点C ，D 分别是1l ，2l 上的动点，且满足AC BD =，连接CD 交线段AB 于点E ，BH CD ⊥于点H ，则当BAH ∠最大时，sin BAH ∠的值为______．【答案】13【解析】【分析】因为BH CD ⊥于点H ，所以点 H 在以BE 为直径的圆上运动, 当 AH 与圆 O 相切时, BAH ∠ 最大，据此在OHA 求解即可. 【详解】12//,//,AC BD l l∴ 四边形 ACBD 是平行四边形 12AE BE AB ∴==A 为定点, 且 2//AB l AE ∴ 为定值,BH CD ⊥ 90BHE ∠∴=, 如图，取BE 的中点O ,则点 H 在以BE 为直径的圆上运动,此时 1123OE BE OA ==, 当 AH 与圆 O 相切时, BAH ∠ 最大1sin 3OH BAH OA ∠∴==故答案为：13.三、解答题：本题共4小题，共52分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息.a .教师评委打分：86 88 90 91 91 91 91 92 92 98b .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组8285x ≤<，第2组8588x ≤<，第3组8891x ≤<，第4组9194x ≤<，第5组9497x ≤<，第6组97100x ≤≤）；平均数中位数众数教师评委 91 91 m 学生评委90.8n93c .评委打分的平均数、中位数、众数如上：根据以上信息，回答下列问题：①m 的值为______，n 的值位于学生评委打分数据分组的第______组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ，则x ______91（填“>”“=”或“<”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评1评委2评委3评委4评委5甲 93 90 92 93 92 乙9192929292丙 90 94 90 94 k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k （k 为整数）的值为______.【答案】（1）①91；4；②< （2）甲；92 【解析】【分析】（1）①根据众数以及中位数的定义解答即可；②根据算术平均数的定义求出8名教师评委打分的平均数，即可得出答案；（2）根据方差的定义和平均数的意义求解即可. 【小问1详解】①由题意得，教师评委打分中91出现次数最多，故众数91m =；45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n 的值位于学生评委打分数据分组的第4组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ，则1(8890919191919292)90.758x =×+++++++=，91x ∴<.【小问2详解】甲选手的平均数为1(9390929392)925×+++=，乙选手的平均数为1(9192929292)91.85×++++=，因为丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，所以三位选手中排序最靠前的是甲，且丙的平均数大于或等于乙的平均数，因为5名专业评委给乙选手的打分为91,92,92,92,92，乙选手的方差2221[4(9291.8)(9191.8)]0.165S =××−+−=乙， 5名专业评委给丙选手的打分为90,94,90,94,k ，所以乙选手的方差小于丙选手的方差，所以丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，∴9390929392909490949192929292k ++++≥++++>++++，9291k ∴≥>， k 为整数，的k ∴的值为92.14. 根据以下素材，探索完成任务——如何设计摇椅的椅背和坐垫长度？素材一：某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图，其中FC 为椅背，EC 为坐垫，C ，D 为焊接点，且CD 与AB 平行，支架AC ，BD 所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心O ．设计方案中，要求A ，B 两点离地面高度均为5厘米，A ，B 两点之间距离为70厘米；素材二：经研究，53OCF ∠=°时，舒适感最佳．现用来制作椅背FC 和坐垫EC 的材料总长度为160厘米，设计时有以下要求：（1）椅背长度小于坐垫长度；（2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A 时（如图3），F 点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米．（sin530.8°≈，cos530.6°≈，tan53 1.3°≈）任务：（1）根据素材求底座半径OA ；（2）计算图3中点B 距离地面的高度；（3）①求椅背FC 的长度范围；（结果精确到0.1m ） ②设计一种符合要求的方案．【答案】（1）125厘米；（2）19.6厘米（3）①64.580FC ≤<；②70cm ，90cm （答案不唯一）．【解析】【分析】（1）根据四边形AHNB 为矩形，35AG BG ==厘米，5AH GM ==厘米，设底座半径OA r =厘米，则OM OA r ==厘米，由勾股定理求出r 即可得出答案；（2）由四边形ANBK 为矩形，进而得AK BN h ==，()125cm,125cm OK h OB =−=，然后在直角三角形中由勾股定理列出关于h 的方程，解方程求出h 即可得出答案；（3）①过F 作FP OA ⊥于P ，过点E 作EQ OA ⊥于Q ，先求出cos cos 0.28QCD OAB ∠=∠=，设椅背FC x =厘米，则坐垫(160)EC x =−，即可得0.60.28(160)12x x −−≥，由此解得64.5x ≥，据此可得椅背FC 的长度范围；②在①中椅背FC 的长度范围任取一个FC 的值，再计算出EC 的值即可，例如取70FC =厘米，则1607090EC =−=（厘米）；（答案不唯一，只要在FC 的长度范围内即可）．【小问1详解】过点A 作AH 垂直地面于H ，过点O 作OG AB ⊥于G ，OG 的延长线于地面交于点M ，如图所示：AB 平行于地面，∴四边形AHNB 为矩形，1352AG BG AB ===厘米， 5AH GM ==厘米，设底座半径OA r =厘米，则OM OA r ==厘米，(5)OG OM GM r ∴=−=−厘米，在Rt OAG ∆中，OA r =厘米，35AG =厘米，(5)OGr =−厘米，由勾股定理得：222OA OG AG =+，即：222(5)35r r =−+，解得：125r =，∴底座半径OA 的长度为125厘米；【小问2详解】过点B 作BN 垂直地面于N ，BK OA ⊥于K ，如图所示：设BN h =，底座与地面相切于点A ，OA ∴垂直地面于点A ，∴四边形ANBK 为矩形，AK BN h ∴==，由任务一可知：125cm,125OA OB OK OA AK h ==∴==--，在Rt ABK △中，cm,=70cm AK h AB =，由勾股定理得：2222270BK AB AK h =−=−，在Rt OBK 中，()125cm,125cm OK h OB =−=，由勾股定理得：22222125(125)BK OB OK h =−=−−，222270125(125)h h ∴−=−−，解得：19.6h =，∴点B 距离地面的高度为19.6厘米；【小问3详解】①过F 作FP OA ⊥于P ，过点E 作EQ OA ⊥于Q ，如图所示：//CD AB ，QCD OAB ∴∠=∠，由任务②可知：19.6AK h ==厘米，70AB =厘米，在Rt ABK △中，19.6cos 0.2870AK OAB AB ∠===， cos cos 0.28QCD OAB ∴∠=∠=，椅背FC 和坐垫EC 的材料总长度为160厘米， ∴设椅背FC x =厘米，则坐垫(160)EC x =−，椅背长度小于坐垫长度，160x x ∴<−，解得：80x <，在Rt CQE △中，cos 0.28CQQCD CE∠==， 0.280.28(160)CQ CE x ∴==−厘米，在Rt CFP △中，cos CPOCF CF∠=， cos cos530.6CP CF OCF x x ∴=⋅∠=⋅°≈（厘米）， F 点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米，12AP AN ∴−≥，即：()12AC CP AC CQ +−+≥，12CP CQ ∴−≥，0.60.28(160)12x x ∴−−≥，解得：64.5x ≥，又80x < ，64.580x ∴≤≤，即：64.580FC ≤≤，∴椅背FC 的长度范围是：64.580FC ≤<；②由于64.580FC ≤<，故取70cm FC =，则1607090cm EC ==-．15. 定义：在平面直角坐标系中，直线x m =与某函数图象交点记为点P ，作该函数图象中点P 及点P 右侧部分关于直线x m =的轴对称图形，与原函数图象上的点P 及点P 右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线x m =的“迭代函数”．例如：图1是函数1y x =+的图象，则它关于直线0x =的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为()()10,10.x x y x x +≥ =−+<（1）函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为______．（2）若函数243y x x =−++关于直线x m =的“迭代函数”图象经过()1,0−，则m =______．（3）已知正方形ABCD 的顶点分别为：(),A a a ，(),B a a −，(),C a a −−，(),D a a −，其中0a >．①若函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，求a 的值； ②若6a =，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，求n 的取值范围．【答案】（1）1,13,1x x y x x +≥ =−+<（2）m =m =，（3）①3；②()5,1,12−∞−∪−. 【解析】【分析】（1）取点()2,3M ，()3,4N ，求两点关于1x =的对称点，利用待定系数法求左侧图象的解析式，由此可得结论；（2）判断点()1,0−与函数243y x x =−++的图象的关系，再求()1,0−关于直线x m =的对称点，由条件列方程求m 即可；（3）①求函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的解析式，作函数图象，观察图象确定a 的值； ②分别在0n >，0n =，0n <时求函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”解析式，讨论n ，由条件确定n 的范围.小问1详解】在函数1y x =+的图象上位于1x =右侧的部分上取点()2,3M ，()3,4N ，点()2,3M 关于直线1x =对称点为(0,3)，点()3,4N 关于直线1x =的对称点为()1,4−，设函数1y x =+，1x >的图象关于1x =对称的图象的解析式为,1y kx b x =+<，则34b k b = −+=，解得13k b =− = ，所以函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为1,13,1x x y x x +≥ =−+<；【的【小问2详解】取1x =−可得，2431432y x x =−++=−−+=−，故函数243y x x =−++的图象不过点()1,0−，又点()1,0−关于直线x m =的对称点为()21,0m +，由已知可得()()20214213m m =−++++，1m >−，所以m =或m =，【小问3详解】①当0x >或20x −≤<时，函数6y x =关于直线2x =−的“迭代函数”的图象的解析式为6y x =，当2x <−时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象上，则点()4,x y −−在函数6y x=的图象上，所以64y x=−−，所以函数6y x =关于直线2x =−的“迭代函数”的解析式为[)()()6,2,00,6,,24x xy x x∞∞ ∈−∪+ =∈−− −− ，作函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象如下：观察图象可得3a =时，函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，②若0n >，当x n ≥时，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象的解析式为6y x=，当0x <或0x n <<时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象上，则点()2,n x y −在函数6y x=的图象上，所以62y n x=−，所以函数6y x =关于直线x n =“迭代函数”的解析式为()()()6,,6,,00,2x n xy x n n x∞∞ ∈+ =∈−∪ − ，当6n >时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，的当6n =时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，当16n <<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，当1n =时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有3个公共点，当01n <<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当0n =时，函数6y x =关于直线xx =0的“迭代函数”的解析式为6,06,0x xy x x> =−< ，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，若0n <，当0n x ≤<或0x >时，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象的解析式为6y x=，当x n <时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象上，则点()2,n x y −在函数6y x=的图象上，所以62y n x=−，所以函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的解析式为[)()()6,,00,6,,2x n xy x n n x ∞∞ ∈∪+ = ∈− −，当10n −<<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当1n =−时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有5个公共点，当512n−<<−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有6个公共点，当52n=−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有5个公共点，当7522n−<<−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当72n=−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当762n −<<−时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当6n =−时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当6n <−时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，综上，n 的取值范围为()51,12∞−−∪−，. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.16. 已知抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于点()1,0A −，()3,0B ．（1）如图1，抛物线与y 轴交于点C ，点P 为线段OC 上一点（不与端点重合），直线PA ，PB 分别交抛物线于点E ，D ，设PAD △面积为1S ，PBE △面积为2S ，求12S S 的值；（2）如图2，点K 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，过点K 的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M ，N ，过抛物线顶点G 作直线//l x 轴，点Q 是直线l 上一动点求QM QN +的最小值．【答案】（1）19（2）【解析】【分析】（1）把点()1,0A −，()3,0B 代入抛物线方程，解出抛物线的解析式，设(0,)P p ，求出直线AP 解析式为y px p =+，联立方程223y px p y x x =+ =−++，可得2(3,4)E p p p −−+，同理可得234(,)393p p p D −−+，即可得1S ，2S ，化简可得结果；（2）作点N 关于直线l 的对称点N ′，连接MN ′，过M 点作MF NN ′⊥于F ，求出(1,0)K ，设直线MN解析式为y kx d =+，把点K 坐标代入即可知直线MN 的解析式y kx k =−，设2(,23)M m m m −++，2(,23)N n n n −++，求出2(,25)N n n n ′−+，可得QM QN QM QN MN ′′+=+≥，结合2(,23)F n m m −++，可得222421780MN MF N F k k =+=++′′，从而得到QM QN +的最小值. 【小问1详解】把点()1,0A −，()3,0B 代入抛物线方程2y x bx c =−++得：10930b c b c −−+= −++=，解得：23b c = =，所以抛物线方程为：223y x x =−++，设(0,)P p ，直线AP 解析式为11y k x b =+，把点()1,0A −，(0,)P p 代入得：1110k b b p −+= = ，所以线AP 解析式为y px p =+，联立223y px p y x x =+ =−++ ，解得：10x y =−=或234x p y p p =− =−+ ，所以2(3,4)E p p p −−+，设直线BP 解析式为22y k x b =+ 把点()3,0B ，(0,)P p 代入得：22230k b b p+= = ，直线BP 解析式为3py x p =−+ 联立2323p y x p y x x =−+ =−++ ，解得：30x y = = 或233493p x p p y − = =−+可得234(,)393p p p D −−+，所以221142()2(3)2939ABD ABP D P p p S S S AB y y p p p =−=⋅−=−+−=− ， ()2221()242(3)2ABE ABP E P S S S AB y y p p p p p =−=⋅−=−+−=− ，所以2122192(3)92(3)S p p S p p −=−= 【小问2详解】作点N 关于直线l 的对称点N ′，连接MN ′，过M 点作MF NN ′⊥于F ，如图：因为2223(1)4y x x x =−++=−−+，所以抛物线223y x x =−++的对称轴为1x =，所以(1,0)K ，设直线MN 解析式为y kx d =+，把点(1,0)K 代入得：=0k d +，所以=d k −，所以直线MN 的解析式为y kx k =− 设2(,23)M m m m −++，2(,23)N n n n −++，联立223y x x y kx k =−++ =−，可得2(2)30x k x k +−−−= 则2m n k +=−，3mn k =−−，因为N ，N ′关于直线l ：4y =对称，所以2(,25)N n n n ′−+，则QM QN QM QN MN ′′+=+≥，又2(,23)F n m m −++，所以222()2N F m n m n +−++′，FM m n =−，在Rt MFN ′ 中，2222222()2()2MN MF N F m n m n m n =+=−++−++ ′ ′，222()4()22()2m n mn m n mn m n =+−++−−++222(2)4(3)(2)2(3)2(2)2k k k k k =−−−−+−−−−−−+ 421780k k =++所以当0k =时，2MN ′最小为80，此时MN ′=所以QM QN +≥，即QM QN +的最小值为。

浙江宁波市效实中学2024-2025学年新高一上学期分班考试数学试卷(解析版)

效实中学新高一数学能力测试试题卷一、填空题1. 已知 0x 是关于 x 的方程 210x ax −−=的根. 当 32a =− 时， 0x = ___; 当2a =时，3001x x −=_______ 【答案】 ①. 12或2− ②. 8+或8− 【解析】【分析】直接解方程可得第一空，利用整体的思想及方程的思想可先化简代数式，并代入方程的根计算即可得第二空.【详解】显然32a =−时，方程可化为()()22320212x x x x +−==−+，解之得012x =或02x =−； 2a =时，有202101x x x −−=⇒=+01x =，且20021x x =+，对于()()()()2200030000011222141xx x x x x x x x −++−===+，当01x =+时，0448x +=+当01x =时，0448x +=−. 故答案为：12或2−；8+8−. 2. 已知实数a ，b ，c 满足2221a b c ++=，则ab bc ca ++的最小值为___，此时 22a b ab ++=______ 【答案】 ①. 12−##0.5− ②. 12##0.5 【解析】【分析】由()20a b c ++≥求出ab bc ca ++的最小值，此时()c a b =−+，再将两边平方，代入2221a b c ++=求出22a b ab ++. 【详解】因为()()222220a b c ab bc ca a b c +++++=++≥，所以()2221122ab bc ca a b c ++≥−++=−，当且仅当0a b c ++=时取等号，所以ab bc ca ++的最小值为12−，此时()c a b =−+，则()()2222212c a b a ab b =−×+=++，则222222212a ab b b a b c a +++++=+=，所以2212a b ab ++=.故答案为：12−；123. 对实数m ，n .定义运算 “⊗”为: m n mn n ⊗=+. 已知关于x 的方程()14x a x ⊗⊗=−.若该方程有两个相等的实数根，则实数a 的值是___，若该方程有两个不等负根，则实数a 的取值范围是___. 【答案】 ①. 0 ②. 0a > 【解析】【分析】首先化简()x a x ⊗⊗，即可得到方程()()2414110a x a x ++++=，再根据()410Δ0a +≠= 计算第一空，由根判别式及韦达定理得到不等式组，即可得到第二空. 【详解】因为a x ax x ⊗=+，所以()()()()()()211x a x x ax x x ax x ax x a x a x ⊗⊗=⊗+=+++=+++，又()14x a x ⊗⊗=−，所以()()211104a x a x ++++=，即()()2414110a x a x ++++=，若该方程有两个相等的实数根，则()()()2410Δ1611610a a a +≠ =+−+= ，解得0a =；若该方程有两个不等负根，则()()()()2410Δ16116101041a a a a+≠=+−+> >+ ，解得0a >，所以实数a 的取值范围是0a >. 故答案为：0；0a >4. 如图，AB 是半圆O 的直径，弦AD ，BC 相交于点P ， 60DPB ∠= ，D 是弧BC 的中点. 则ACAB的值为_______的【答案】12##0.5 【解析】【分析】依题意可得90ACB ∠= ，即可求出30CAD ∠= ，再由D 是弧BC 的中点，得到CAD BAD ∠=∠，即可求出CAB ∠【详解】∵AB 是半圆O 的直径， ∴90ACB ∠= ，∵60APC DPB ∠=∠= ， ∴30CAD ∠= ，∵D 是 BC的中点， ∴30∠=∠= CAD BAD ， ∴60CAB ∠= ， ∴1cos cos 602AC CAB AB ∠===．故答案为：12． 5. 记()()2211xyx y A xy−−=. 若a b c abc ++=，则abbc ca A A A A =++的值为_________【答案】4 【解析】【分析】依题意a 、b 、c 均不为0，根据所给定义表示出ab A ，bc A ，ca A ，再通分计算可得. 【详解】依题意a 、b 、c 均不0，又()()222222111aba b a b a b A abab−−−−+==，为()()222222111bcb c c b c cb A bcb −−−−=+=，()()222222111cac a c a c ca A caa −−−−=+=，且a b c abc ++=，所以222222222222111ab bc ca bc ac a b a b c b c b c a c a A A A A ab −−−+++−−−=++=++222222222222a a a b b babc abc c a c b c a b c a c b c b b c a c a abc −−+−−−+−+++= 222222222222a a cc a c b c a b c a c b c b b c a c a a b b ab b−−++−−−−=+++ ()()()222222a a cabc a c b c ab a b c c b cb a b c c a ca b b a b c a b −−+++−−+++−−+++=222222222222abc a c b c a b ab abc c b abc b c c b c a ca abc c aabca ab b −−+++−−=++++−−++ 44abcabc=. 故答案为：46. 若一条直线过ABC 的内心，且平分ABC 的周长. 则该直线分ABC 所成的两个图形的面积之比为_______ 【答案】1:1 【解析】【分析】设ABC 的内心为O ，内切圆的半径为r ，作出图形，再由面积公式计算可得. 【详解】设ABC 的内心为O ，内切圆的半径为r ，内切圆与三边的切点分别为D 、E 、F ，则OE OF OD r ===，且OE BC ⊥，OF AC ⊥，OD AB ⊥，过ABC 的内心，且平分ABC 的周长的直线m ，与BC 交于点M ，AC 交于点N ，则AB AN BM CN CM ++=+，又()12ABMN ANO ABO BMO S S S S AN AB BM r =++=++ ， ()12CMN CNO CMO S S S CN CM r =+=+ ，所以ABMN CMN S S = ，即该直线分ABC 所成的两个图形的面积之比为1:1. 故答案为：1:17. 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大. 则称甲不亚于乙. 在 100 个小伙子中，如果某人不亚于其他 99 人，就称他为棒小伙子，那么 100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有 _________人. 【答案】100 【解析】【分析】先讨论有两个、三个小伙子时棒小伙子的最多个数，再设想100个人时的极端情况，分类讨论即可. 【详解】先考虑两个小伙子的情形，如果甲的身高＞乙的身高，且乙的体重＞甲的体重，可知“棒小伙子”最多有2人．再考虑三个小伙子的情形，如果甲的身高＞乙的身高＞丙的身高，且丙的体重＞乙的体重＞甲的体重，可知“棒小伙子”最多有3人．由此可以设想，当有100个小伙子时，设每个小伙子为()1,2,,100i A i = ，其身高为i x ，体重为i y ，当121100i i x x x x x +>>>>>> 且1009911 i i y y y y y +>>…>>…>> 时，由身高看，i A 不亚于12100,,i i A A A ++ ，由体重看，i A 不亚于1121,,,i i A A A − ，所以，i A 不亚于其他99人，i A 为“棒小伙子”，因此，100个小伙子中的“棒小伙子”最多可能有100个．故答案为：100．8. 如果直角三角形的三边都是 200 以内的正整数，且较长的两边长相差 1 . 那么这样的直角三角形有____________个. 【答案】9 【解析】【分析】利用勾股定理及数的性质计算即可.【详解】不妨设该直角三角形的是三边长依次为,,1x y y +，其中200,N x y x y ∗≤<∈、，由勾股定理知()2222121x y y x y +=+⇒=+，显然21y +为大于1且小于401的奇数，所以x 为大于1且小于20的奇数，则3,5,7,9,11,13,15,17,19x =，即满足题意的直角三角形有9个. 故答案为：99. 用()S n 表示自然数n 的数字和. 例如: ()10101S =+=，()90990918S =++=.若对任意自然数n ，都有()n S n x +≠. 则满足这个条件的最大的两位整数x 的值是_________. 【答案】97 【解析】【分析】列出90,,80n = 时()n S n +的值，再判断80n <且n 为自然数时()n S n +的取值情况，即可得解.【详解】因()909099S +=，()8989106S +=，()8888104S +=， ()8787102S +=，()8686100S +=，()858598S +=，()848496S +=， ()838394S +=，()828292S +=，()818190S +=，()808088S +=，当80n <且n 为自然数时，()797995n S n +≤++=，当90n >且n 为自然数时，nn +SS (nn )>99，所以若对任意自然数n ，都有()n S n x +≠， x 的值为97. 故答案为：9710. 把一副扑克牌从上到下按照大王、小王、黑桃 A 、红桃 A 、方块 A 、梅花 A 、黑桃 2 、红桃 2、方块 2、梅花 2、...、黑桃 K 、红桃 K 、方块 K 、梅花 K 的顺序依次叠成一叠，然后执行步骤①: 把整叠牌最上面一张丢掉，再执行步骤②: 把整叠牌最上面一张移到整叠牌的最下面，再执行步骤①，再执行步骤②， ...... 步骤①和步骤②依次执行直至整叠牌只剩下一张，请问：最后剩下的这张牌是_________. 【答案】红桃J 【解析】【分析】根据规律分析每轮丢掉的牌与剩下的牌，即可分析出最后剩下的牌. 【详解】不妨将54张牌按照上述顺序依次标号为1，2，，54，第一轮将丢掉1，3，5，，53；第二轮将丢掉2，6，10，，54，此时需将4号移到整叠牌的最下面，剩下的牌从上到下按顺序依次为8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，4；第三轮将丢掉：8，16，24，32，40，48，4，此时需将12号移到整叠牌的最下面，为剩下的牌从上到下按顺序依次为20，28，36， 44，52，12；第四轮将丢掉：20，36， 52，剩下的牌从上到下按顺序依次为28，44，12；第五轮将丢掉：28，12，故最后剩下的为44；又241042+×=，所以第44张为红桃J ，故最后剩下的这张牌是红桃J . 故答案为：红桃J11. 若实数 a b ，满足a b +=，则 a 的取值范围为_________. 【答案】0a ≥ 【解析】【分析】利用根式的意义先确定0a ≥，再利用换元法及反比例函数、二次函数的性质计算即可.【详解】由题意易知00a b a b +≥ −≥ ，所以0a ≥，①显然0a =时，0b =，②当0a >时，不妨设b ta =，此时()()101110a b t a t a b t a +=+≥⇒−≤≤−=−≥，则()()()21141t a t a t +=⇒+=−若1t =，则00a b a b −=⇒== 若1t =−，则00a b a b +=⇒==，也不符合题意，所以11t −<<，即()()()()()2222418418411181142111t t a t t t t t −−+ ===−=−− ++ +++，易知11t −<<时1101221t t<+<⇒<+，令11m t =+，则211842a m =−− ，由二次函数的性质可知211180242a >−−= ，综上，0a ≥. 故答案为：0a ≥.12. 已知()()21R f x ax x =−∈，若关于 x 的方程 ()f x x = 与 ()()f f x x = 都有解，且两个方程的解完全相同，则实数 a 的取值范围是_________. 【答案】1344a −≤≤ 【解析】【分析】分0a =与0a ≠进行讨论，当0a ≠时结合一元二次方程的根的判别式与条件两个方程可知2210a x ax a +−+=要么没有实根，要么实根是方程210ax x −−=的根，计算即可得. 【详解】由已知()210f x x ax x =⇒−−=，()()()22110f f x x a ax x =⇒−−−= ()()342222221110a x a x x a axx a x ax a ⇒−−+−=−−+−+=，由题意可知210ax x −−=有实根， ①当0a =时，有()1f x =−，即1x =−，令()()f f x x =，即()11f x −=−=，符合要求；②当0a ≠时，()f x x =有解，则140a ∆=+≥，解得14a ≥−，要满足题意，此时2210a x ax a +−+=要么没有实根，要么实根是方程210ax x −−=的根，若2210a x ax a +−+=没有实根，则()22410a a a ∆=−−<，解得34a <；若2210a x ax a +−+=有实根且实根是方程210ax x −−=的根，则由方程210ax x −−=，得22a x ax a +，代入2210a x ax a +−+=，有210ax +=．由此解得12x a =−，再代入得111042a a +−=，由此34a =，综上所述， a 的取值范围是1344a −≤≤．故答案为：1344a −≤≤.二、解答题13. 已知函数()22f x x bx c =−++在1x =时有最大值1. （1）求实数⋅b c 的值；（2）设0m n <<，若当m x n ≤≤时，()f x 最小值为1n ，最大值为1m，求m ，n 的值. 【答案】（1）4− （2）1m =，n =【解析】的【分析】（1）依题意可得()1411b f = =，即可求出b 、c 的值；（2）由（1）可得()()2211f x x =−−+，即可得到1m ≥，从而得到()1f m m =且()1f n n=，从而得到m ，n 是关于x 的方程()21211x x−−+=的两个解，即可求出m 、n 的值.【小问1详解】因()22f x x bx c =−++在1x =时有最大值1，则()14121bf b c = =−++=，解得41b c = =− ，所以4b c ⋅=−；【小问2详解】由（1）可得()()22241211f x x x x =−+−=−−+，则()1f x ≤，又0m n <<，所以11m≤，则1m ≥，所以当m x n ≤≤时()f x 单调递减，所以()()21211f m m m=−−+=，且()()21211f n n n=−−+=，所以m ，n 是关于x 的方程()21211x x−−+=的两个解，即()()212210x x x −−−=，解方程得11x =，2x =3x =，又1m n ≤<，所以1m =，n =.为。

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