山东省烟台市2013届高三上学期期中考试 文科数学

烟台市2012-2013学年度第一学期模块检测高三数学（文科）注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．2．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔．要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效．3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上． 1.设集合A=2{|11},{|log 0}x x x B x x <->=>或，则A B =A. |1}x x >{ B . }0|>x x ｛ C. }1|-<x x ｛ D. }11|>-<x x x 或｛ 【答案】A【解析】}1|{},1|{>=>=x x B A x x B ，故选A. 2．下列四个图像中，是函数图像的是【答案】B【解析】由函数定义知（2）不符合，故选B.3．若非空集合2{|11},{|log 0}x x x B x x <->=>或，且若a S ∈，则必有6a S -∈，则所有满足上述条件的集合S 共有A.6个B.7个C.8个D.9个 【答案】B【解析】由题意知，集合S 中包含的元素可以是3，1和5，2和4中的一组、两组、三组即S={3},{1,5},{2,4},{3,1,5},{3,2,4},{1,5,2,4},{3,1,5,2,4},故选B.4.某公司在甲乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为21 5.060.15L x x =-和22L x =，其中x 为销售量（单位：辆）。

若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为A.45.606B.45.6C.45.56D.45.51 【答案】B【解析】设在甲地销售x 辆车，则在乙地销售15-x 辆车.获得的利润为,3006.315.0)15(215.006.522++-=-+-=x x x x x y 当.2.10)15.0(206.3=-⨯-=x 时，y最大，但N x ∈，所以当10=x 时，.6.45306.3015max =++-=y 故选B. 5．若向量)6,12(),2,4(),6,3(--==-=w v u ,则下列结论中错误的是 A ．v u ⊥ B ．w v //C ．v u w 3-=D ．对任一向量AB ，存在实数b a ,，使v b u a AB +=【答案】C【解析】因为0=⋅v u ，所以v u ⊥；又因0)12(2)6(4=---⨯，所以w v //；u 与v 为不共线向量，所以对任一向量AB ，存在实数b a ,，使v b u a AB +=. 故选C. 6．下列命题中，正确的是A ．若d c b a >>,，则bc ac >B ．若bc ac >，则b a >C ．若22cb ca <，则b a < D ．若d c b a >>,，则d b c a ->-【答案】C【解析】由不等式的性质知C 正确.故选C.7.已知向量),sin ,(cos θθ=a 向量),1,3(-=b 则|2|b a -的最大值、最小值分别是A ．24 ，0B ．4， 24C ．16，0D ．4，0 【答案】D【解析】)6cos(88)sin cos 3(44444|2|222πθθθ+-=--+=⋅-+=-b a b a b a ，故|2|b a -的最大值为4，最小值为0.故选D.8．已知函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象经过点（-1，3）和（1，1）两点，若0<c<1,则a的取值范围是A. （1，3）B. （1，2）C.)3,2[D. [1,3] 【答案】B【解析】由题意知21,120,10,2,13<<∴<-<∴<<=+⎩⎨⎧=++=+-a a c c a c b a c b a ，故选B.9．设动直线m x =与函数x x g x x f ln )(,)(2==的图象分别交于点M 、N ，则|MN|的最小值为A ．2ln 2121+ B ．2ln 2121- C ． 2ln 1+ D ．12ln -【答案】A【解析】x x MN ln ||2-=，令x x x f ln )(2-=xx xx x f 1212)('2-=-=，当220<<x 时，0)('<x f ；当22>x 时，0)('>x f ；∴当22=x 时，)(x f 有极小值也有极大值，即.2ln 212121ln21)22()(min +=-==f x f 故选A10．已知()()()2,lo g 0,1x a fx ag x x a a -==>≠，若()()440f g ⋅-<，则y=()f x ，y=()g x 在同一坐标系内的大致图象是【答案】B【解析】由()()440f g ⋅-<知04log2<⋅aa ，04log<∴a，10<<∴a ，)(x f ∴为减函数，因此可排除A 、C ，而)(x g 在0>x 时也为减函数，故选B11. 某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时,原油温度（单位：℃）为),50(831)(23≤≤+-=x x x x f ，那么原油温度的瞬时变化率的最小值为 A ．8 B ．320 C ．-1 D ．-8【答案】C【解析】原油温度的瞬时变化率为),50(1)1(2)('22≤≤--=-=x x x x x f 故最小值为-1.因此选C.12．函数x y sin =的定义域为],[b a ，值域为]21,1[-，则a b -的最大值与最小值之差等于A. π4B.38π C. π2 D.34π【答案】C【解析】由正弦函数的图象知32)2(6)(min πππ=--=-a b ，,3465613)(max πππ=-=-a b 所以和为π2.故选C.二、填空题.本大题共有4个小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在答题卡的相应位置. 13. 在ABC ∆中，若π32,3,1=∠==C c b ，则._____________=∆ABC S【答案】【解析】由余弦定理222cos 2c C ab b a =-+知1,022==-+a a a ，所以.4332sin 1121=⨯⨯⨯=∆πABC S14． 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥++≤-030101y x y x x ，则目标函数y x z +=23的最小值是__.【答案】【解析】可行域如图，显然当直线y x u +=2过M(-2,1)时，2713,33m i n m i n ==-=-z u .15．已知函数1|1|2+-=x x y 的图象与函数2+=kx y 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是______________. 【答案】140≠<<k k 且 【解析】函数2(1)(1)11|1|=1+11,11x xx x x x y x x xx +--><-⎧-==⎨+--<≤⎩，或，作出函数图象，直线2+=kx y 过定点A （0,2），其中(1,2)B --,4A B k =，根据图象可知要使两个函数的交点个数有两个，则直线斜率满足140≠<<k k 且。

16.下列命题： ①若函数)lg()(2a x x x f ++=为奇函数，则a =1;②函数|sin |)(x x f =的周期；π=T ③方程x x sin lg =有且只有三个实数根； ④对于函数x x f =)(，若210x x <<，则2)()()2(2121x f x f x x f +<+.以上命题为真命题的是 ．（写出所有真命题的序号） 【答案】①②③【解析】由函数为奇函数知0)0(=f 即10lg =∴=a a .故①正确，易知②也正确，由图象可知③正确，④错误.三、解答题.本大题共6个小题，共74分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.17．（本小题满分12分） 已知向量）（θθθsin 2cos ,sin -=a ，)2,1(=b ，(1) 若b a //,求θtan 的值；(2)若||||b a =，πθ<<0,求θ的值.18．（本小题满分12分）已知a 是实数，试解关于x 的不等式：122---≥x ax x x19．（本小题满分12分）已知函数a R a a x x x x f ,(1cos 2cos sin 32)(2∈-++=是常数）.（1）求)35(πf 的值;(2) 若函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,4-ππ上的最大值与最小值之和为3,求实数a 的值. 20.（本小题满分12分）已知函数x e x f x -=)(（e 为自然对数的底数） （1）求)(x f 的最小值;(2)设不等式ax x f >)(的解集为P ，且P x x ⊆≤≤}20|{,求实数a 的取值范围.21. (本小题满分12分)为方便游客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金x （元）只取整数，并且要求出租自行车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用y （元）表示出租自行车的日净收入（即一日出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）（1） 求函数)(x f y =的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？22．（本小题满分14分）函数c bx ax x x f +++=23)(，过曲线)(x f y =上的点P ))1(1f ，（的切线方程为.13+=x y .（1）若)(x f y =在2-=x 时有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求)(x f y =在[-3,1]上的最大值；（3）若函数)(x f y =在区间[-2,1]上单调递增，求实数b 的取值范围.高三数学（文科）答案一、选择题：1. A2. B3.B4.B5.C6.C7.D8.B9.A 10.B 11.C 12.C 二、填空题: 13.43 14.271 15.140≠<<k k 且 16. ①②③17．解：（1）因为b a //，所以θθθsin 2cos sin 2-=, ………2分于是θθcos sin 4= ，故 41tan =θ ………4分（2） 由||||b a =知, ,5)sin 2(cos sin 22=-+θθθ所以,5sin 42sin 212=+-θθ ………6分 从而 4)2cos 1(22sin 2=-+-θθ即 12cos 2sin -=+θθ于是.22)42sin(-=+πθ ………9分又由πθ<<0知，,49424ππθπ<+<所以4542ππθ=+或.4742ππθ=+因此2πθ=或34πθ= ………12分18.解：原不等式同解为⎩⎨⎧≠≥-+10)1)((x x a x ………3分当1->a 时，原不等式的解集为，),1(],(+∞--∞ a ………6分 当1-=a 时，原不等式的解集为}1|R x x x ∈≠，｛ ………9分 当1-<a 时，原不等式的解集为，),[)1,(+∞--∞a ………12分19.解：（1）a x x f ++=)62sin(2)(π………3分 2)6310sin(2)35(-=++=a a f πππ ………5分]1,23[)62sin(],32,3[62],4,4[)2(-=+-∈+∴-∈ππππππx x x ………7分ax f a +≤≤+-∴2)(3，即,2,3max min a y a y +=+-=………10分由已知得1,323=∴=+++-a a a ………12分20.解:（1）,1)('-=x e x f 令0)('>x f ，解得0>x ；令0)('<x f ，解得0<x………3分从而在)0,(-∞内单调递减，),0(+∞内单调递增.所以，当0=x 时)(x f 取得最小值1. ………5分（2） 因为不等式ax x f >)(的解集为P ，且P x x ⊆≤≤}20|{， 所以，对任意的]2,0[∈x ，不等式ax x f >)(恒成立， ………6分由ax x f >)(得xe x a <+)1(.当0=x 时， 上述不等式显然成立，故只需考虑]2,0(∈x 的情况. ………7分将xe x a <+)1(变形得1-<xea x………8分令1)(-=xex g x，2)1()('xex x g x-=令0)('>x g ，解得1>x ；令0)('<x g ，解得.1<x ………10分从而)(x g 在（0,1）内单调递减，在（1，2）内单调递增.所以，当1=x 时，)(x g 取得最小值1-e ，从而所求实数的取值范围是)1,(--∞e . ………12分21.解：（1）当6≤x 时，11550-=x y 令011550>-x ，解得3.2>x*,,63,3*,N x x x N x ∈≤≤∴≥∴∈ ………2分当6>x 时， ,115)]6(350[---=x x y 0115683,0115)]6(350[2<+->---x x x x 令 上述不等式的整数解为*),(202N x x ∈≤≤ *)(206N x x ∈≤<∴故⎩⎨⎧∈≤<-+-∈≤≤-=*),206(115683*),63(115502N x x x x N x x x y 定义域为*),203|{N x x x ∈≤≤ ………6分（2）对于*),63(11550N x x x y ∈≤≤-=，显然当6=x 时，185max =y （元） ………8分 对于*),206(3811)334(311568322N x x x x x y ∈≤<+--=-+-=当11=x 时，270max =y （元） ………10分185270> ，∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多. ………12分22. 解：（1）由c bx ax x x f +++=23)(得b ax x x f ++=23)('2，过)(x f y =上点))1(,1(f P 的切线方程为)1)(1(')1(-=-x f f y ， 即)1)(23()1(-++=+++-x b a c b a y .而过)(x f y =上点))1(,1(f P 的切线方程为13+=x y ，故⎩⎨⎧=++=+⎩⎨⎧=+++=++30241323c b a b a c b a b a 即 ………3分∵)(x f y =在2-=x 处有极值，故.124-02-'-=+∴=b a f ，）（ 联立解得542)(,5,4,223+-+=∴=-==x x x x f c b a . ………5分(2) )2)(23(443)('2+-=-+=x x x x x f ，令0)('=x f 得.232-==x x 或………7分 列下表：因此，)(x f 的极大值为13)2(=-f ，极小值为2795)32(=f ， 又)(,4)1(,8)3(x f f f ∴==- 在]1,3[-上的最大值为13.……10分（3）)(x f y =在]1,3[-上单调递增，又b ax x x f ++=23)('2，由（1）知b bx x x f b a +-=∴=+23)('.02，依题意在]1,2[-上恒有0)('≥x f ，即032≥+-b bx x 即23)1(x x b ≤-在]1,2[-上恒成立.当1=x 时恒成立；当)1,2[-∈x 时，)0,3[1-∈-x ，此时613)1(3132+-+-=-≥x x x xb ……12分而))0,3[1(613)1(3-∈--≤-+-x x x 当且仅当0=x 时成立0613)1(3≤+-+-∴x x 要使613)1(3+-+-≥x x b 恒成立，只须0≥b .……14分。