数列j经典大题讲解与训练(详细答案)

数列——大题训练

1．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足：a 2a 4＝64，a 1＋a 5＝18. (1)若1

(2)设b n ＝n

(2n ＋1)S n ，是否存在一个最小的常数m 使得b 1＋b 2＋…＋b n

n 均成立，若存在，求出常数m ；若不存在，请说明理由． 解 (1)数列{a n }为等差数列，因为a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18， 又a 2a 4＝65，所以a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根， 又公差d >0，所以a 2

所以⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，①

所以a 1＝1，d ＝4.所以a n ＝4n －3.

由1

即1×81＝(4i －3)2，解得i ＝3.

(2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ，

所以b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－1

2n ＋1)，②

所以b 1＋b 2＋…＋b n

＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1， 因为n 2n ＋1＝12－12(2n ＋1)<12

，③

所以存在m ＝1

2使b 1＋b 2＋…＋b n

2．设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *. (1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和．

解 (1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 21，即a 1＝a 21.

因为a 1≠0，所以a 1＝1.

令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2. 当n ≥2时，由2a n －1＝S n,2a n －1－1＝S n －1， 两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1.

于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列． 因此，a n ＝2n －

1.

所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －

1.

(2)由(1)知，na n ＝n ·2n －

1.

记数列{n ·2n －

1}的前n 项和为B n ，于是

B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －

1.①

2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .② ①－②，得

－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －

1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n .

从而B n ＝1＋(n －1)·2n .

即数列{na n }的前n 项和为1＋(n －1)·2n .

3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋

1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设数列{b n }满

足b n ＝a n ＋2n .

(1)求证数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式； (2)若数列c n ＝6n －3b n

，T n 是数列{c n }的前n 项和，证明：T n <3.

(1)解 当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪

⎧

2S n ＝a n ＋1－2n ＋

1＋1，2S n －1＝a n

－2n

＋1 ⇒2a n ＝a n ＋1－a n －2n ⇒a n ＋1＝3a n ＋2n ，

从而b n ＋1＝a n ＋1＋2n ＋

1＝3(a n ＋2n )＝3b n ，

故{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列， b n ＝a n ＋2n ＝3×3n －

1＝3n ，

a n ＝3n －2n (n ≥2)，

因为a 1＝1也满足，于是a n ＝3n －2n . (2)证明 c n ＝6n －3b n ＝2n －1

3

n －1，

则T n ＝130＋331＋5

32＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，①

13T n ＝131＋332＋5

33＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②，得23T n ＝130＋231＋232＋…＋2

3n －1－2n －13n

＝1＋2

3·1－13n －1

1－

13

－2n －13n

＝2－1

3n －1－2n －13n

＝2－2(n ＋1)

3n ，

故T n ＝3－n ＋1

3

n －1<3.

4．已知单调递增数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝12(a 2

n ＋n )．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

1a 2n ＋1－1，n 为奇数，

3×2a n －1＋1，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n .

解 (1)n ＝1时，a 1＝1

2(a 21＋1)，得a 1＝1，

由S n ＝12

(a 2

n ＋n )，①

则当n ≥2时，S n －1＝1

2(a 2n －1＋n －1)，②

①－②得a n ＝S n －S n －1＝12

(a 2n －a 2

n －1＋1)， 化简得(a n －1)2－a 2n －1＝0，

a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝1(n ≥2)， 又{a n }是单调递增数列，故a n －a n －1＝1，

所以{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n . (2)c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

1a 2n ＋1－1，n 为奇数，3×2a n －1＋1，n 为偶数，

当n 为偶数时，

T n ＝(c 1＋c 3＋…＋c n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c n ) ＝(

122

－1＋142－1＋…＋1n 2－1

)＋3×(21＋23＋…＋2n －

1)＋n 2

＝11×3＋13×5＋…＋1

(n －1)×(n ＋1)＋3×2(1－4n

2)

1－4＋n 2

＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1)＋2×(4n 2－1)＋n

2 ＝2

n ＋1

＋n 2－2n －4

2(n ＋1)

.

当n 为奇数时，