机械振动5多自由度系统10-11有阻尼共19页
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多自由度系统振动
= ……
φn(i )
(i ) xn
第 i 阶特征向量φ(i ) 中的一列元素，就是系统做第 i 阶主振动时 各个坐标上位移（或振幅）的相对比值
φ(i ) 描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，称为第 i 阶
主振型，或第 i 阶模态 虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动 形态已确定 主振动仅取决于系统的 M 阵，K 阵等物理参数。
2 φ=0 或直接用 ( K − ω M )
令主振动：
⎡ x1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢φ ⎥ sin(ωt + ϕ ) ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦
得：
2006年5月4日 《振动力学》
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣
−k 2 k − mω 2 −1
⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0 −k
24
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣ −k 2k − mω 2 −1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ − k ⎥⎢ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0
m 令α = ω2 k
⎡3 − α ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎣ 0
− 2 −α −1
0 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢φ ⎥ = ⎢0⎥ −1 ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ 3 −α ⎥ ⎦⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦
令特征矩阵的行列式＝0
2 ( 3 − α )( α − 5α + 4) = 0 特征方程：
《多自由度系统振动》课件
多自由度系统振动涉及到多个自由度的运动，其动力学行为 比单自由度系统更为复杂。掌握多自由度系统振动的基本原 理和方法，对于解决实际工程问题、提高设备性能和安全性 具有重要意义。
课程目的
理解多自由度系统振动的 特性，包括固有频率、模 态振型等。
掌握多自由度系统振动的 基本原理和数学模型。
学习多自由度系统振动的 分析方法，包括直接法、 模态法和传递矩阵法等。
控制算法则是实现控制策略的具体计算方法。常见的控制算法包 括PID控制、状态反馈控制、最优反馈控制等。这些算法可以根 据系统的特性和要求进行选择和优化。
05
多自由度系统振动应用
机械系统振动控制
机械系统中的多自由度振动问题广泛存在，如旋转机械、往复机械和柔性机械等 。控制这些振动可以提高机械系统的稳定性和可靠性，减少磨损和疲劳，延长使 用寿命。
多自由度系统振动
CONTENTS
• 引言 • 多自由度系统振动基础 • 多自由度系统振动特性 • 多自由度系统振动控制 • 多自由度系统振动应用 • 课程总结与展望
01
引言
课程背景
机械系统振动是工程领域中常见的问题，多自由度系统振动 更是其中的重要分支。随着科技的发展，多自由度系统在许 多领域如航空航天、交通运输、能源等都得到了广泛应用， 因此对多自由度系统振动的研究具有重要意义。
多自由度系统振动与多个学科领域密切相关，如结构力学、流体力学 和声学等，需要加强这些交叉学科领域的应用研究。
多自由度系统振动实验平台的搭建与验证
为了验证多自由度系统振动理论和方法的有效性，需要搭建更加先进 的实验平台，并开展更加系统的实验研究。
谢谢您的聆听
THANKS
被动控制技术
被动控制技术是通过改变系 统的刚度、阻尼和/或质量分 布来减小系统的振动。被动 控制技术不需要外部能源， 而是利用自然现象或物理效 应来减小系统的振动。
课程目的
理解多自由度系统振动的 特性，包括固有频率、模 态振型等。
掌握多自由度系统振动的 基本原理和数学模型。
学习多自由度系统振动的 分析方法，包括直接法、 模态法和传递矩阵法等。
控制算法则是实现控制策略的具体计算方法。常见的控制算法包 括PID控制、状态反馈控制、最优反馈控制等。这些算法可以根 据系统的特性和要求进行选择和优化。
05
多自由度系统振动应用
机械系统振动控制
机械系统中的多自由度振动问题广泛存在，如旋转机械、往复机械和柔性机械等 。控制这些振动可以提高机械系统的稳定性和可靠性，减少磨损和疲劳，延长使 用寿命。
多自由度系统振动
CONTENTS
• 引言 • 多自由度系统振动基础 • 多自由度系统振动特性 • 多自由度系统振动控制 • 多自由度系统振动应用 • 课程总结与展望
01
引言
课程背景
机械系统振动是工程领域中常见的问题，多自由度系统振动 更是其中的重要分支。随着科技的发展，多自由度系统在许 多领域如航空航天、交通运输、能源等都得到了广泛应用， 因此对多自由度系统振动的研究具有重要意义。
多自由度系统振动与多个学科领域密切相关，如结构力学、流体力学 和声学等，需要加强这些交叉学科领域的应用研究。
多自由度系统振动实验平台的搭建与验证
为了验证多自由度系统振动理论和方法的有效性，需要搭建更加先进 的实验平台，并开展更加系统的实验研究。
谢谢您的聆听
THANKS
被动控制技术
被动控制技术是通过改变系 统的刚度、阻尼和/或质量分 布来减小系统的振动。被动 控制技术不需要外部能源， 而是利用自然现象或物理效 应来减小系统的振动。
理论力学 第十章振动
k2
k1
δ st
r F1
k eq = k1 + k 2
δ st r
r mg
keq k1 + k 2 = m m
m
r F2
mg = k eqδ st
keq称为等效弹簧刚性系数 并联系统的固有频率为
mg k2
ωn =
当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度等于两个弹簧刚度的和。 这一结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。
O
δ st
x
r F r P
则解为：
x = A sin(ω nt + θ )
表明：无阻尼自由振动是简谐振动。 其运动图线为：
x
A
x
x0
θ ωn
O
t
t+T
x
2.无阻尼自由振动的特点 无阻尼自由振动的特点
（1）固有频率 ）
无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，任何瞬时t， 无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，任何瞬时 ，其 运动规律x（t）总可以写为: 运动规律 （ ）总可以写为: x（t）= x（t+T） （） （ ） T为常数，称为周期，单位符号为s。 为常数， 周期， 符号为 为常数 称为周期 单位符号 。 这种振动经过时间T后又重复原来的运动 后又重复原来的运动。 这种振动经过时间 后又重复原来的运动。 考虑无阻尼自由振动微分方程 考虑无阻尼自由振动微分方程
r F r P
x
两个根为： r1 = +iω n 方程解表示为：
r2 = −iω n
x = C1 cos ω nt + C2 sin ω nt
x = C1 cos ω nt + C2 sin ω nt
多自由度系统振动
系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。
（2）半正定系统
可能出现形如 的同步运动。
也可能出现形如 的同步运动
主振动
首先讨论正定系统的主振动：
M 正定，K 正定
主振动：
正定系统：
或
当 不是重特征根时，可以通过 B 的伴随矩阵 求得相应的主振型 。
根据逆矩阵定义 ：
两边左乘 ：
当 时 ：
或
的任一非零列都是第 i 阶主振动
主振动的伴随矩阵求法：
伴随矩阵：矩阵A中的元素都用它们在行列式A中的代数余子式替换后得到的矩阵再转置，这个矩阵叫A的伴随矩阵。 A与A的伴随矩阵左乘、右乘结果都是主对角线上的元素全为A的行列式的对角阵。
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。
第一阶主振动:
m
2m
两个质量以w1为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相同，而且每一时刻的位移量都相同。
同向运动
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值
m
2m
第二阶主振动:
两个质量以w2为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。
设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端.
当 不是特征多项式的重根时，上式 n 个方程中有且只有一个是不独立的 。 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端 。 若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用 表示的 否则应把含 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态 n -1个方程 非奇次方程组
（2）半正定系统
可能出现形如 的同步运动。
也可能出现形如 的同步运动
主振动
首先讨论正定系统的主振动：
M 正定，K 正定
主振动：
正定系统：
或
当 不是重特征根时，可以通过 B 的伴随矩阵 求得相应的主振型 。
根据逆矩阵定义 ：
两边左乘 ：
当 时 ：
或
的任一非零列都是第 i 阶主振动
主振动的伴随矩阵求法：
伴随矩阵：矩阵A中的元素都用它们在行列式A中的代数余子式替换后得到的矩阵再转置，这个矩阵叫A的伴随矩阵。 A与A的伴随矩阵左乘、右乘结果都是主对角线上的元素全为A的行列式的对角阵。
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。
第一阶主振动:
m
2m
两个质量以w1为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相同，而且每一时刻的位移量都相同。
同向运动
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值
m
2m
第二阶主振动:
两个质量以w2为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。
设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端.
当 不是特征多项式的重根时，上式 n 个方程中有且只有一个是不独立的 。 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端 。 若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用 表示的 否则应把含 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态 n -1个方程 非奇次方程组
机械振动基础 第四章 多自由度系统
{x} {u} coswt
其中，{u}和w是待求的振型和固有频率。
将
{x} {u} coswt
} [ K ]{x} 0 [M ]{ x
2
代入方程
2 ( w [M ]{u} [ K ]{u}) coswt 0 得到
(w [M ] [ K ]){u} 0
kij w 2 mij 0
1 T } [ M ]{x } ET {x 2 1 T } [C ]{x } D {x 2 1 T U {x} [ K ]{x} 2
2D 2 ET cij mij i x j x i x j x
2U kij xi x j
2) 求偏导
2 ET 2 ET mij m ji xi x j x j xi 2D 2D cij c ji xi x j x j xi 2U 2U kij k ji xi x j x j xi
设有可逆线性变换[u]，使得
{x} [u ]{y}
因而有
} [u]{y }, { } [u]{ } {x x y
称{x}为旧坐标系，{y}为新坐标系。
系统的动能、势能和能量耗散函数与坐标系选择无关， 也就是说，它们是坐标变换下的不变量, 因此有：
1 T 1 })T [ M ]([u ]{y }) ET {x} [ M ]{x} ([u ]{y 2 2 1 1 }T [u ]T [ M ][u ]{y } { y }T [ M 1 ]{y } {y 2 2
} [C ]{x } [ K ]{x} {F (t )} [M ]{ x
本章内容：
1) 多自由度系统振动的基本理论，多自由度系统的固有 频率和振型的理论；
机械振动5多自由度系统10-11有阻尼
2018年9月20日 《振动力学》 12
原坐标的系统稳态响应：
q(t ) u(i ) ηi (t )
i 1
n
u(i ) ai 0 2 H ij ( j ) [aij cos( jt ij ) bij sin( jt ij )] i 1 i 2 j 1
并令：cPi 2 ii
则n 自由度系统运动方程变为：
i 2 ii η i i2ηi Ni (t ), i 1 ~ n η
这一方法有很大的实用价值 ，一般适用于振型比例阻尼 ζ i 不 大于0.2的弱阻尼系统。
若系统阻尼较大，不能用振型矩阵超出本课程范围。
其中， i u
(i )T
Cu (i )
2i (i )T N i (t ) u F (t ) (i 1,2, , n)
9
(i 1,2,, n)
下面对几种激励分别讨论 2018年9月20日
《振动力学》
1. 有阻尼系统对简谐激励的响应
假设激励为 F (t ) F sin t 0 将运动方程写成复数形式：
《振动力学》
i2
H i ( ) ei (t i ) , (i 1 ~ n)
1
10
正弦激励下正则坐标的稳态响应：
N 0i i (t i ) ηi (t ) Im 2 H i ( ) e i N 0i sin(t i ) i2 (1 i2 ) 2 (2 i i ) 2
有： uT Muη uT Cuη uT Kuη uT F (t )
即：
C pη Λη N (t ) η
其中：
C p uT Cu
模态阻尼矩阵
原坐标的系统稳态响应：
q(t ) u(i ) ηi (t )
i 1
n
u(i ) ai 0 2 H ij ( j ) [aij cos( jt ij ) bij sin( jt ij )] i 1 i 2 j 1
并令：cPi 2 ii
则n 自由度系统运动方程变为：
i 2 ii η i i2ηi Ni (t ), i 1 ~ n η
这一方法有很大的实用价值 ，一般适用于振型比例阻尼 ζ i 不 大于0.2的弱阻尼系统。
若系统阻尼较大，不能用振型矩阵超出本课程范围。
其中， i u
(i )T
Cu (i )
2i (i )T N i (t ) u F (t ) (i 1,2, , n)
9
(i 1,2,, n)
下面对几种激励分别讨论 2018年9月20日
《振动力学》
1. 有阻尼系统对简谐激励的响应
假设激励为 F (t ) F sin t 0 将运动方程写成复数形式：
《振动力学》
i2
H i ( ) ei (t i ) , (i 1 ~ n)
1
10
正弦激励下正则坐标的稳态响应：
N 0i i (t i ) ηi (t ) Im 2 H i ( ) e i N 0i sin(t i ) i2 (1 i2 ) 2 (2 i i ) 2
有： uT Muη uT Cuη uT Kuη uT F (t )
即：
C pη Λη N (t ) η
其中：
C p uT Cu
模态阻尼矩阵
机械振动5多自由度系统10-11有阻尼
c c c C P u T Cu c c c c c c
非对角矩阵
5
若 C P非对角，则前面在无阻尼系统中介绍的主坐标方法或 正则坐标方法都不再适用，振动分析将变得十分复杂。
为了能沿用无阻尼系统中的分析方法，工程中常采用下列 近似处理方法 。
有： uT Muη uT Cuη uT Kuη uT F (t )
即：
C pη Λη N (t ) η
其中：
C p uT Cu
模态阻尼矩阵
虽然模态质量矩阵与模态刚度矩阵是对角阵，但模态阻尼矩 阵一般非对角阵，因而正则坐标η 下的强迫振动方程仍然存 在耦合。 2016年1月11日
《振动力学》
i2
H i ( ) ei (t i ) , (i 1 ~ n)
1
10
正弦激励下正则坐标的稳态响应：
N 0i i (t i ) ηi (t ) Im 2 H i ( ) e i N 0i sin(t i ) i2 (1 i2 ) 2 (2 i i ) 2
c
c
c
1 2 1 q 1 2 1 q1 F1 1 0 q m c k sin t 2 1 2 q 2 1 2 q2 F2 0 1 q
i 2 ii η i i2ηi N0i eit , (i 1 ~ n) η
式中， N 0i u ( i ) F0
T
(i 1,2,, n)
则正则坐标的稳态响应：
ηi (t )
式中， H i ( )
N 0i
, arctan2 i i , , i i (1 i2 ) 2 (2 i i ) 2 1 i2 i 频率比 相位角 正则坐标的放大因子 2016 年1月11日
多自由度系统振动(第11讲,11月05日)
2 φ 或直接用 ( K M ) 0
令主振动：
x1 1 x sin(t ) 2 2 x3 3
得：
3k m 2 k 0
k 2k m 2 1
1 0 k 2 0 2 3k m 3 0 0
1 ci m pi
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
正则模态的正交性条件：
(i )T Mφ( j ) φ N ij N (i )T ( φ N KφN j ) iji2
主模态的正交性条件：
( i ) T Mφ( j ) ij m pi φ (i )T φ Kφ( j ) ij k pi
3 (3 )(2 ) 1 1
1 1, 2 3, 3 4
选上式右端矩阵的第一列，分别代入 1、 2、3 的值
得： (1)
1 1 1 2, ( 2 ) 0 , ( 3) 1 1 1 1
X Rn
记为 B
M、K R nn
特征矩阵 应的主振型 (i )
或 B ( )
i2不是重特征根时，可以通过 B 的伴随矩阵 adjB求得相 当
根据逆矩阵定义 ： 两边左乘 B B ：
B 1 1 adjB B
B I BadjB
当 i 时 ： B(i )adjB(i ) 0
模态关于刚度的正交性
(i )T
φ
Mφ(i ) m pi 第 i 阶模态主质量
φ
(i )T
Kφ(i ) k pi
第 i 阶模态主刚度
φ(i ) 第 i 阶主模态
令主振动：
x1 1 x sin(t ) 2 2 x3 3
得：
3k m 2 k 0
k 2k m 2 1
1 0 k 2 0 2 3k m 3 0 0
1 ci m pi
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
正则模态的正交性条件：
(i )T Mφ( j ) φ N ij N (i )T ( φ N KφN j ) iji2
主模态的正交性条件：
( i ) T Mφ( j ) ij m pi φ (i )T φ Kφ( j ) ij k pi
3 (3 )(2 ) 1 1
1 1, 2 3, 3 4
选上式右端矩阵的第一列，分别代入 1、 2、3 的值
得： (1)
1 1 1 2, ( 2 ) 0 , ( 3) 1 1 1 1
X Rn
记为 B
M、K R nn
特征矩阵 应的主振型 (i )
或 B ( )
i2不是重特征根时，可以通过 B 的伴随矩阵 adjB求得相 当
根据逆矩阵定义 ： 两边左乘 B B ：
B 1 1 adjB B
B I BadjB
当 i 时 ： B(i )adjB(i ) 0
模态关于刚度的正交性
(i )T
φ
Mφ(i ) m pi 第 i 阶模态主质量
φ
(i )T
Kφ(i ) k pi
第 i 阶模态主刚度
φ(i ) 第 i 阶主模态
机械振动-第五章多自由度系统的振动
5-2 多自由度系统振动方程式
1）质量弹簧系统
根据牛顿运动定律，列出各质点的运动方程式
1 P m1 x 1 K1 x1 K 2 x2 x1 2 P2 K 2 x2 x1 K 3 x3 x2 m2 x 3 P3 K 3 x3 x2 m3 x
列向量
系数矩阵
x1 x x 2 , x 3
1 x 2 , x x x 3
P 1 P P 2 P 3
m1 0 M 0 m2 0 0
矩阵形式表达式
K A p 2 M A 0
其中
A1 A2 A An
有非零解的条件是系数行列式等于零
k11 m11 p 2 k 21 m21 p 2 k n1 mn1 p 2
k12 m12 p 2 k1n m1n p 2 k 22 m22 p 2 k 2 n m2 n p 2 k n 2 mn 2 p 2 k nn mnn p 2
或
K x 0 M x
列向量
0 0 0 0
2）梁上具有集中质量的横向振动系统
梁上具有任意n个集中质量，系统运动时各质量的横向位移 为y1、y2、…yn，作用在各质量上的外力为P1、P2…Pn，惯性 1 , m2 2 , mn n ，由柔度影响系数的定义及力 y y y 力为 m1 的叠加原理，可列出下述关系式
当外力不存在时，得到系统自由振动方程式
y M y
或
0 y M y K y 0 M y
当系统存在阻尼时，如果是粘性阻尼，引入一个n阶正定 的阻尼方阵，使具有阻尼的多自由度系统的振动方程式具有 下述一般形式。
第4章-多自由度系统振动(d)
ΦN
(1) ,
m p1
(2) ,
mp2
(3)
mp3
1
1 6m
2 1
3 0 3
2
2
2
正则模态和主模态之间的关系：
φ( i ) N
1 φ(i)
mpi
15
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
小结：模态的正交性，主质量和主刚度
若 i j 时， φ(i)T Mφ( j) 0
φ(i)T Kφ( j) 0
模态关于质量的正交性 模态关于刚度的正交性
当 i＝j 时，
φ(i)T Mφ(i) mpi
φ(i)T Kφ(i) k pi
第 i 阶模态主质量 第 i 阶模态主刚度
第 i 阶固有频率：
i
k pi m pi
mpi φ(i)T Mφ(i)
第 i 阶模态主质量
k pi φ(i)T Kφ(i)
第 i 阶模态主刚度
正则模态：i 1~ n
φ(i) N
φ φ M (i)T
(i)
N
N
1
第 i 阶正则模态
主质量为1
2019年7月8日 《振动力学》
φ φ K (i)T
(i)
N
N
i2
固有频率的平方
9
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
模态矩阵： 1 1 1
Φ (1) , (2) , (3) 2 0 1
1 1 1
《机械振动》张义民—第5章第9、10、11节ppt
例5.9-1 考虑图5.9-1所示系统，在系统上作用 有激励向量F(t)=[0 F0u(t)]T，u(t)为单位阶跃函数。 求在零初始条件下系统的响应。
解：系统的运动微分方程
1 m 0
0 2
q1 q2
k
2 1
1 q1
2
q2
0
F0u
t
为了用振型分析方法求解，
首先要解特征值问题，得
N t uTF t
F0 m
0.627963 0.325057
u
t
将上式代入方程(5.9-14)，得
1t
0.627963
F0 1
m 1
t 0
u
sin
1
t
d
0.62796312F0 m 1 cos1t
2t 0.325057
F0 1
m 2
t 0
u
sin
2
t
d
0.325057
F0
22
m
F0 1
m 2
t 0
sin
sin
1
t
d
0.325057
F0
22
m
sin
t
2
sin
2t
1
1
2
22
最后，得
q1t
F0 m
0.455295112
sin
t
1
sin
1t
1
1
2
12
0.122009
1
22
sin
t
2
sin
2t
1
1
2
22
q2t
F0 m
0.621945
机械振动5多自由度系统10-11有阻尼.
i 2 i n) η
式中， N 0i u ( i ) F0
T
(i 1,2,, n)
则正则坐标的稳态响应：
ηi (t )
式中， H i ( )
N 0i
, arctan2 i i , , i i (1 i2 ) 2 (2 i i ) 2 1 i2 i 频率比 相位角 正则坐标的放大因子 2018 年12月2日
《振动力学》
4
例如：三自由度系统
2k
m
x1
k
x2 m
k
x3 m
2k
c
m 0 0 M 0 m 0 0 0 m
3k K k 0
k 2k k
0 k 3k
c 0 0 C 0 0 0 0 0 0
一般情况下，可将各种类型的阻尼化作等效粘性阻尼。
2018年12月2日 《振动力学》
2
有阻尼的 n 自由度系统的强迫振动方程为：
Cq Kq F (t ) Mq
阻尼矩阵 元素 cij 阻尼影响系数
q Rn
物理意义：是使系统仅在第 j 个广义坐标上产生单位速度而 相应于第 i 个坐标上所需施加的力 阻尼力为广义速度的线性函数 表示为：
6 k u T Ku 0 0 0 6k 0 0 12k 0
1 1 1 u 2 0 1 1 1 1
0 6 m 0 uT Mu 0 2 m 0 0 3m 0
2018年12月2日 《振动力学》
5.10 多自由度系统的阻尼
2018年12月2日 《振动力学》
1
任何实际的机械系统都不可避免的存在着阻尼因素 材料的结构阻尼，介质的粘性阻尼等 由于各种阻尼力机理复杂，难以给出恰当的数学表达。 在阻尼力较小时，或激励远离系统的固有频率时，可以忽略 阻尼力的存在，近似地当作无阻尼系统。 当激励的频率接近系统的固有频率，激励时间又不是很短暂 的情况下，阻尼的影响是不能忽略的。
自由度系统阻尼自由振动 ppt课件
tan1 x0 n x0 d x0
ppt课件
23
小阻尼的运动曲线
如图所示的为衰减振 5
动。在 cos(dt ) 1 4
的时候，物体的运动 3
2
曲线和曲线：
1
振幅
x Aent
相切， 0 -1
在切点的x值的绝对 -2
值 Aent
称为振幅。 -3 -4
ppt课件
10
方程求解
由于方程为齐次的，因此，方程的解具有 如下形式：
x est
将解的形式带入微分方程：
s
2
c m
s
k m
e
st
0
ppt课件
11
特征方程及其解
由于est 0 ，因此，要想方程成立；
必须： s2 c s k 0 称为微分方程 的特 征方程 m m
19
临界阻尼系统的运动特点
可见：临界阻尼下的系统的运动也不是振动；
但在相同的条件下，临界阻尼的系统的自由 运动最先停止；
因此，仪表都将系统的阻尼设置为临界阻尼。
ppt课件
20
作业3
有粘性阻尼的弹簧质量系统，无阻尼振动的
固有频率为n ，从平衡位置拉开 x0 后释放，
初速度为零。
（1）求 1.25 和 1 时的系统运动情况。
所以，当时 0.3 ，通常忽略阻尼对固 有频率和周期的影响。
ppt课件
28
阻尼对振幅的影响
阻尼对振幅的影响却非常大。设 x1 和 x2分别
是相邻两次的振幅，对应的时间分别为：t1 和 t2 ，则：t2 t1T d
机械振动基础知识培训
按振动产生原因
自由振动 无阻尼自由振动
有阻尼自由振动
强迫振动 无阻尼的强迫振动
有阻尼的强迫振动
自激振动
本章只研究单自由度系统和两自由度系统的振动。
2
第四章 机械振动基础
1 单自由度系统的自由振动 2 计算固有频率的能量法 3 单自由度系统的有阻尼自由振动 4 单自由度系统的无阻尼受迫振动 5 单自由度系统的有阻尼受迫振动 6 转子的临界转速
物块沿x轴的运动微分方程
m
d2x dt 2
mg
sin
k ( 0
x)
0
mg
sin k
m
d2x dt 2
kx
固有频率与斜面倾角β无关
固有频率 n
k m
0.8 1000 0.5
40rad / s
系统的通解 x Asin(nt ) x
0
x
F
O
mg
mg FN
h
16
§4-1 单自由度系统的自由振动
h
17
§4-1 单自由度系统的自由振动
x0 3.06103 m; v0 1.4m / s;n 40rad / s
系统的通解 x Asin(nt )
0
x
h
得振幅及初相位
2
x v A
2
0
0 2
35.1mm
n
x
F
mg
O
FN
arctan n x0 0.087rad
v0
此物块的运动方程为 x 35.1sin(40t 0.087)mm
动的固有频率和振幅，并给出物块的运动方程。
解:⑴ 取质量弹簧系统为研究对象
物块在平衡位置时，弹簧变形量
多自由度(线性)阻尼系统振动讲义
第3章 多自由度线性系统的振动 3. 1 振动微分方程 3 多自由度线性系统的振动
例3.2 建立三自由度系统的振动微分方程
柔度系数：单位外力所引起的系统位移 ，定 义系统第j个坐标上作用的单位力在第i个广 义坐标上所引起的位移为柔度系数 h 。 ij
三自由度系统
在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， x =1/k ， 1 1 2 3 1 1 2 1 x =1/k ，即h = h = k = 1/k ； 3 1 11 21 31 1 在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， 2 1 2 3 1 1 x =1/k +1/k ， x = 1/k +1/k ，即柔度系数h = 1/k ， h = k = 1/k +1/k ，； 2 1 2 3 1 2 12 1 22 32 1 2 在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， 3 1 2 3 1 1 x =1/k +1/k ， x =1/k +1/k +1/k 。即柔度系数x =1/k ， x =1/k +1/k ， x = 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 3 1/k +1/k +1/k 。 1 2 é1 3 ù 1 1 振动 ê k m x ü k k ú é 1 0 0 ùì &&1 ü ì x ü ì 0 1 1 1 1 ï ê ú ê 0 m 0 ú ï && ï +ï x ï =ï0 1 1 + 1 x ý í 2 ý í ý 微分 ê 1 k 1 k + k 2 ú í 2 úê k k 1 1 2 1 2 ï ï ï ï ï ï 1 + 1 1 +1 + 1 ú ê 0 0 m ú î&&3 þ îx þ î0 3 û x 3 ë þ 方程 ê 1 ê k k k k k k ú 1 2 1 2 3 û ë 1
第4章多自由度系统的振动
m1 m 2 m 3 m , l1 l 2 l 3 l
解：我们用Lagrange方程来建立振 动方程。
co s i sin j ) v1 l ( 1 1 1 1 v 2 l [(1 c o s 1 2 c o s 2 ) i s in s in ) j ] ( 1 1 2 2 v 3 l [(1 c o s 1 2 c o s 2 3 c o s 3 ) i s in s in s in ) j ] ( 1 1 2 2 3 3
qj 1
其余广义坐标的加速度为 0 ，为此而需要在各个广义坐标 方向上施加的广义力向量就是质量矩阵的第 j 列。
《振动力学》讲义 第4章 多自由度系统的振动 对于直梁，经常用几个位置的挠度作为广义坐标，来近似 描述直梁的振动。这时，采用影响系数法，建立梁的柔度矩 阵更方便的，因而需要用到简单边界条件下梁的挠度公式。 简支梁在横向集中力作用下的挠度公式为 P
第四章 多自由度系统的振动
大部分实际系统都是多自由度系统，其中的一类， 系统本身为近似的集中参数系统，可以简化为多自由度 系统，另一类是将分布参数系统通过一定的建模方法简 化得到的。本章只学习线性多自由度系统的分析方法和 基本规律，解决问题的基本方法是模态叠加法，就是将 n自由度系统分解成 n 个单自由度系统，每个单自由度 系统对应于原系统的一种特定的振动形态（即模态）， 将各个单自由度系统的振动叠加便得到原系统的振动。 因此，本章的学习重点是要理解和掌握模态的求解和使 用。
系统的动能为
m1 1 1 2 2 2 1 m 2 y 2 m 3 y 3 ) { y1 , y 2 , y 3 } 0 T ( m1 y 2 2 0 0 m2 0 0 0 m3 y1 y2 y 3
解：我们用Lagrange方程来建立振 动方程。
co s i sin j ) v1 l ( 1 1 1 1 v 2 l [(1 c o s 1 2 c o s 2 ) i s in s in ) j ] ( 1 1 2 2 v 3 l [(1 c o s 1 2 c o s 2 3 c o s 3 ) i s in s in s in ) j ] ( 1 1 2 2 3 3
qj 1
其余广义坐标的加速度为 0 ，为此而需要在各个广义坐标 方向上施加的广义力向量就是质量矩阵的第 j 列。
《振动力学》讲义 第4章 多自由度系统的振动 对于直梁，经常用几个位置的挠度作为广义坐标，来近似 描述直梁的振动。这时，采用影响系数法，建立梁的柔度矩 阵更方便的，因而需要用到简单边界条件下梁的挠度公式。 简支梁在横向集中力作用下的挠度公式为 P
第四章 多自由度系统的振动
大部分实际系统都是多自由度系统，其中的一类， 系统本身为近似的集中参数系统，可以简化为多自由度 系统，另一类是将分布参数系统通过一定的建模方法简 化得到的。本章只学习线性多自由度系统的分析方法和 基本规律，解决问题的基本方法是模态叠加法，就是将 n自由度系统分解成 n 个单自由度系统，每个单自由度 系统对应于原系统的一种特定的振动形态（即模态）， 将各个单自由度系统的振动叠加便得到原系统的振动。 因此，本章的学习重点是要理解和掌握模态的求解和使 用。
系统的动能为
m1 1 1 2 2 2 1 m 2 y 2 m 3 y 3 ) { y1 , y 2 , y 3 } 0 T ( m1 y 2 2 0 0 m2 0 0 0 m3 y1 y2 y 3
机械振动培训课件
吸振技术
通过在结构上附加振动吸收器，产生反向振动，抵消结构的振动。包 括动力吸振器、主动吸振器等。
主动控制技术
主动隔振技术
通过实时监测结构的振动，向振动源施加反向力，抑制结 构的振动。包括主动隔振支座、主动振动控制器等。
主动阻尼技术
通过实时监测结构的振动，向结构施加阻尼材料或阻尼结 构，消耗振动能量，降低结构的振动响应。包括主动阻尼 材料、主动阻尼结构等。
实验数据处理与分析
数据处理包括对实验数据进行滤波、去噪等，分析包括提取特征 、进行频谱分析等。
04
机械振动的控制技术
被动控制技术
隔振技术
通过在振动源和结构之间添加隔振装置，减少振动向结构的传递。 包括橡胶隔振支座、空气弹簧隔振器等。
缓冲技术
通过在结构上添加缓冲材料，吸收和分散振动能量，减少结构的振 动响应。包括橡胶缓冲支座、阻尼材料等。
有限元分析的步骤和方法
01
02
03
04
05
建立有限元模型 单元类型选择
整体刚度矩阵的 组集
外力计算
位移边界条件的 应用和求解
根据实际问题，建立合适 的有限元模型，包括定义 网格、定义材料属性、建 立边界条件等。
根据问题的特点，选择适 合的单元类型，如三角形 单元、四面体单元等。
通过单元刚度矩阵的集成 ，得到整体刚度矩阵。
通过建立有限元模型，可以模拟机械振动问题中的物理现象，如弹性体的振动、结构的动 力响应等。
有限元方法在机械振动分析中的优势
有限元方法可以解决许多复杂的机械振动问题，如复杂结构的振动特性分析、机械故障的 预测等。
有限元方法在机械振动分析中的局限性
有限元方法也存在一些局限性，如对网格划分的要求较高、计算量大等。
通过在结构上附加振动吸收器，产生反向振动，抵消结构的振动。包 括动力吸振器、主动吸振器等。
主动控制技术
主动隔振技术
通过实时监测结构的振动，向振动源施加反向力，抑制结 构的振动。包括主动隔振支座、主动振动控制器等。
主动阻尼技术
通过实时监测结构的振动，向结构施加阻尼材料或阻尼结 构，消耗振动能量，降低结构的振动响应。包括主动阻尼 材料、主动阻尼结构等。
实验数据处理与分析
数据处理包括对实验数据进行滤波、去噪等，分析包括提取特征 、进行频谱分析等。
04
机械振动的控制技术
被动控制技术
隔振技术
通过在振动源和结构之间添加隔振装置，减少振动向结构的传递。 包括橡胶隔振支座、空气弹簧隔振器等。
缓冲技术
通过在结构上添加缓冲材料，吸收和分散振动能量，减少结构的振 动响应。包括橡胶缓冲支座、阻尼材料等。
有限元分析的步骤和方法
01
02
03
04
05
建立有限元模型 单元类型选择
整体刚度矩阵的 组集
外力计算
位移边界条件的 应用和求解
根据实际问题，建立合适 的有限元模型，包括定义 网格、定义材料属性、建 立边界条件等。
根据问题的特点，选择适 合的单元类型，如三角形 单元、四面体单元等。
通过单元刚度矩阵的集成 ，得到整体刚度矩阵。
通过建立有限元模型，可以模拟机械振动问题中的物理现象，如弹性体的振动、结构的动 力响应等。
有限元方法在机械振动分析中的优势
有限元方法可以解决许多复杂的机械振动问题，如复杂结构的振动特性分析、机械故障的 预测等。
有限元方法在机械振动分析中的局限性
有限元方法也存在一些局限性，如对网格划分的要求较高、计算量大等。
多自由度系统振动
I1 0 k 1 k 2 0 1 I 2 2 k 2
k2 x1 P 1 (t ) k2 k3 x2 P2 (t )
k 2 1 M 1 (t ) k 2 k 3 2 M 2 (t )
准静态外力列向量
15
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
KX P (t ) 作用力方程： MX
KX P (t )
X Rn
假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第 j 个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移.
T T X [ x ,..., x , x , x ,..., x ] [ 0 ,..., 0 , 1 , 0 ,..., 0 ] 即： 1 j 1 j j 1 n
k11...k1 j ...k1n k 21...k 2 j ...k 2 n K .......... .......... . k n1...k nj ...k nn n n
刚度矩阵第 j 列
P 1 (t ) P (t ) P (t ) 2 Pn (t )
14
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 刚度矩阵和质量矩阵
KX P (t ) 作用力方程： MX
X Rn
当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定
M、K 该如何确定？ 先讨论 K 假设外力是以准静态方式施加于系统
KX P (t )
0 加速度为零 X
静力平衡
多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 。 如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
k2 x1 P 1 (t ) k2 k3 x2 P2 (t )
k 2 1 M 1 (t ) k 2 k 3 2 M 2 (t )
准静态外力列向量
15
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
KX P (t ) 作用力方程： MX
KX P (t )
X Rn
假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第 j 个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移.
T T X [ x ,..., x , x , x ,..., x ] [ 0 ,..., 0 , 1 , 0 ,..., 0 ] 即： 1 j 1 j j 1 n
k11...k1 j ...k1n k 21...k 2 j ...k 2 n K .......... .......... . k n1...k nj ...k nn n n
刚度矩阵第 j 列
P 1 (t ) P (t ) P (t ) 2 Pn (t )
14
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 刚度矩阵和质量矩阵
KX P (t ) 作用力方程： MX
X Rn
当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定
M、K 该如何确定？ 先讨论 K 假设外力是以准静态方式施加于系统
KX P (t )
0 加速度为零 X
静力平衡
多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 。 如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。