近五年高考文科数学试卷及答案解析(1卷)(含全国1卷共5套)

近五年高考文科数学试卷及答案解析(全国1卷)（2016年—2020年）说明：含有2016年—2020年的全国1卷高考文科数学试题以及答案详细解析（客观题也有答案详解）目录2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（I卷）答案详解 (3)2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（I卷） (19)2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷 (29)2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷答案详解 (39)2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷 (50)2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷答案详解 (60)2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷 (71)2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学I卷答案详解 (81)2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷 (93)2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷答案详解 (103)2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（I 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（集合）已知合集{}2340A x x x =--<，{}4,1,3,5B =-，则A B = A.{}4,1- B.{}1,5C.{}3,5 D.{}1,3【解析】∵{}14A x x =-<<，∴{1,3}A B = .【答案】D2.（复数）若312z i i =++，则z =A.0 B.1C. D.2【解析】∵3i i =-，∴1z i =+，∴z 【答案】C3.（立体几何）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.514- B.512C.514+ D.512【解析】如图A3所示，设正四棱锥底面的边长为a ，则有22221212h am a h m ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩整理得22420m am a --=，令mt a=，则有24210t t --=，∴114t +=，214t -=（舍去），即14m a +=.图A3【答案】C4.（概率统计）设O 为正方形ABCD 的中心，在O,A ,B,C,D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为A.15B.25C.12D.45【解析】如图A4所示，从O,A ,B,C,D 中任取3点的所有情况数为35C =10，取到的3点共线的情况有：AOC 、BOD ，共2种情况，所以所求的概率为51102==P.图A4【答案】A5.（概率统计）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据,)(i i x y i =（1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A.y a bx=+ B.2y a bx =+ C.xy a be =+ D.ln y a b x=+【解析】根据散点图的趋势和已学函数图象可知，本题的回归方程类型为对数函数，故选D选项.【答案】D6.（解析几何）已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A.1B.2C.3D.4【解析】222(3)3x y -+=，设直线方程为2(1)y k x -=-，∴20kx y k -+-=，∴圆心(3,0)到该直线的距离为d ==，∴2max 8d =，故弦的长度的最小值为2==.【答案】B7.（三角函数）设函数()cos()6f x x πω=+在[]ππ-，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109π B.76π C.43π D.32π【解析】∵函数过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴4ππcos()=096x ω-+，∴4πππ=962x ω-+-，解得23=ω，∴()f x 的最小正周期为3π4π2==ωT .【答案】C8.（函数）设3log 42a =，则4a -A.116B.19C.18D.16【解析】∵33log 4log 42a a ==，∴2439a ==，∴11449a a -==.【答案】B9.（算法框图）执行右面的程序框图，则输出的n =A.17B.19C.21D.23【解析】①输入10n S ==，，得1S S n =+=，100S ≤成立，继续；②输入31n S ==，，得4S S n =+=，100S ≤成立，继续；③输入54n S ==，，得9S S n =+=，100S ≤成立，继续；……由上述规律可以看出，S 是一个以a 1=1为首项，d =2为公差的等差数列的前m 项和，且21n m =-，故有21(1)2m m m S ma d m -=+=.当2100m S m =>，即11n >时，程序退出循环，此时2121n m =-=.【答案】C10.（数列）设{}n a 是等比数列，且123+1a a a +=，2342a a a ++=，则678+a a a +=A.12B.24C.30D.32【解析】设{}n a 的公比为q ，∵234123(+)2a a a q a a a ++=+=，∴2q =，∴55678123+(+)232a a a q a a a +=+==．【答案】D11.（解析几何）设1F ，2F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |=2，则∆12PF F 的面积为A.72B.3C.52D.2【解析】由题可知1,2a b c ===，12(2,0),(2,0)F F -，解法一：设(,)P m n ，∵||2OP =，故有224m n +=，又∵点P 在C 上，故有2213n m -=，联立方程2222413m n n m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得3||2n =，故∆12PF F 的面积为12113||||43222n F F ⋅=⨯⨯=．解法二：∵||2OP =，故点P 在以F 1、F 2为直径的圆上，故PF 1⊥PF 2，则22212||||(2)16PF PF c +==，又∵12||||22PF PF a -==，即222121212||||||||2||||4PF PF PF PF PF PF -=+-=，∴12||||6PF PF =，∴∆12PF F 的面积为1211||||6322PF PF =⨯=．图A11【答案】B12.（立体几何）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点， 1O 为△ABC 的外接圆.若 1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【解析】由题意可知， 1O 为的半径r =2，由正弦定理可知，2sin =ABr C，则12sin 2sin 6023==== OO AB r C r O 的半径2214R r OO =+=，∴球O 的表面积为24π64πR =．图A12【答案】A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（线性规划）若x ，y 满足约束条件2201010x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩，则z =x ＋7y 的最大值为_____.【解析】由约束条件，作出可行域如图A13所示.化目标函数z =x +7y 为1177=-+y x z ，由图可知，当直线1177=-+y x z 过点A (1,0)时，直线在y 轴上的截距最大，即z 有最大值，所以z max =1.图A13【答案】114.（平面向量）设向量a =(1,－1)，b =(m ＋1,2m －4)，若a ⊥b ，则m =______.【解析】∵⊥a b ，∴11(1)(24)0⨯++-⨯-=（）m m ，解得5=m .【答案】515.（函数）曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____.【解析】11'=+y x ，令112'=+=y x，得1=x ，故题中的这条切线过点(1,2)，∴该切线的方程为22(1)-=-y x ，化简为2=y x .【答案】2=y x16.（数列）数列{}n a 满足()2131nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a =____.【解析】当n 为偶数时，有231++=-n n a a n ，故246810121416517294192a a a a a a a a +++++++=+++=，∵16540=S ，∴1357911131548092448+++++++=-=a a a a a a a a ①，解法一：当n 为奇数时，有231+-=-n n a a n ，∴132a a -=-，358a a -=-，5714a a -=-，7920a a -=-，91126a a -=-，111332a a -=-，131538a a -=-，∴13579111315214263880a a a a a a a a -+-+-+-=----=-②，①+②得15913184a a a a +++=③，1591313359111113()()28263268a a a a a a a a a a a a -+-=-+-+-+-=----=-④，③+④得1958a a +=⑤，1913355779()28142044a a a a a a a a a a -=-+-+-+-=----=-⑥，⑤+⑥得17a =.解法二：当n 为奇数时，有231+-=-n n a a n ，由叠加法可得2211313(135)244n n a a n n n ++-=++++=++ ，∴2213144+=+++n a n n a ，∴①式=2221111313131(11(33)(1313448444444a a a a ++⨯++++⨯+++++⨯++= ，化简得2221318(1313)(1313)744844a +++++++++⨯= ，13784554944844a +⨯++=，解得17a =.【答案】7三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个考题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分17.（12分）（概率统计）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A,B,C ，D 四个等级，加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D 级品，厂家每件赔偿原料损失费50元，该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件，厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级A B C D 频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应该选哪个分厂承接加工业务？【解析】（1）由试加工产品等级的频数分布表可知，甲分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为400.4100=；乙分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为280.28100=.（2）由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润6525−5−75频数40202020因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为65402520520752015100⨯+⨯-⨯-⨯=.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润70300−70频数28173421因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为70283017034702110100⨯+⨯+⨯-⨯=.比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.18.（12分）（三角函数）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知150B =.（1）若a =，b =，求△ABC 的面积；（2）若2sin 2A C +=，求C .【解析】（1）由余弦定理得2222222cos 3()282b ac ac B c c =+-=+-⨯-=，化简为24c =，解得2c =-（舍去），2c =，从而a =.ABC △的面积为11sin 2sin15022S ac B ==⨯⨯︒=.（2）在ABC △中，∵150B =︒，∴30A C +=︒，即30A C =︒-，∴1sin sin(30)cos sin 22A C C C =︒-=-，∴1sin cos sin =sin(30)222A C C C C +=+︒+=，而030C <<︒，所以3045C ︒+=︒，故15C =︒.19.（12分）（立体几何）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，△ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，90APC ∠= .（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO =，求三棱锥P ABC -的体积.【解析】（1）由已知可知，PA =PB =PC ．∵△ABC 是正三角形，∴△PAC ≌△PAB ，△PAC ≌△PBC ．又∵∠APC =90°，∴∠APB =90°，∠BPC =90°．即PB ⊥PA ，PB ⊥PC ，∴PB ⊥平面PAC ，∴平面PAB ⊥平面PAC ．（2）设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ．∵DO =，∴222l r -=①，，即πS rl ==侧，∴rl =②，由①②得，1r =，l =.∴o 2cos30AB r ==．由（1）可得222PA PB AB +=，故2PA PB PC ===．∴三棱锥P -ABC 的体积为31111)323228V PA PB PC =⨯⨯⨯⨯=⨯=．20.（12分）（函数）已知函数()(2).x f x e a x =-+（1）当a =1时，讨论()f x 的单调性;（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【解析】（1）当a =1时，()2x f x e x =--，则()1x f x e '=-．当x <0时，()0f x '<；当x >0时，()0f x '>．所以()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．（2）()x f x e a '=-．①当a ≤0时，()0f x '>恒成立，()f x 在(,)-∞+∞单调递增，()f x 至多存在1个零点，不合题意．②当a >0时，由()0f x '=，得In x a =．当(,In )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(In ,)x a ∈+∞时，()0f x '>．所以()f x 在(,In )a -∞单调递减，在(In ,)a +∞单调递增，故当In x a =时，()f x 取得最小值，最小值为(In )(1In )f a a a =-+．(i)若10a e -≤≤，则(In )0f a ≥，()f x 在(,)-∞+∞至多存在1个零点，不合题意．(ii)若1a e ->，则(In )0f a <．因20a -<<且2(2)0f e --=>，所以()f x 在(,In )a -∞存在唯一零点．由(1)知，当2x >时，22220-->-->x e x e ，即2>+x e x .因此当22>x 且In(2)2>xa 时，即4>x 且2In(2)>x a 时，有ln(2)22()(2)(2)(2)202=⋅-+>+⋅-+=>x x a xf x e e a x e a x a ．故()f x 在(In ,)a +∞存在唯一零点，从而()f x 在(,)-∞+∞有两个零点．综上，a 的取值范围是1(,)-+∞e ．21.（12分）（解析几何）已知A,B 分别为椭圆E :222+1=x y a (a >1)的左右顶点，G 为E 的上顶点，8⋅= AG GB ，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D .（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）由题设得(,0),(,0),(0,1)-A a B a G ，则(,1)= AG a ，(,1)=-GB a ．因8⋅=AG GB ，所以218-=a ，解得3=a ．所以E 的方程为2219+=x y ．（2）设1122(,),(,),(6,)C x y D x y P t ．解法一：若0≠t ，设直线CD 的方程为=+x my n ，由题意可知33-<<n ．由于直线PA 的方程为(3)9=+t y x ，所以11(3)9=+ty x ．直线PB 的方程为(3)3=-t y x ，所以22(3)3=-ty x ．因此有12213(3)(3)-=+y x y x ．①由于222219+=x y ，故2222(3)(3)90+-+=x x y ，②由①②消掉2(3)-x ，得1212(3)(3)270+++=x x y y ，即221212(27)(3)()(3)0++++++=m y y m n y y n ．③将=+x my n 代入2219+=x y 得222(9)290+++-=m y mny n ．所以212122229,99-+=-=-++mn n y y y y m m ．代入③式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0+--++++=m n m n mn n m ．解得3=-n （舍去），32=n ．故直线CD 的方程为32=+x my ，即直线CD 过定点3(,0)2．若0=t ，则直线CD 的方程为0=y ，过点3(,0)2．综上，直线CD 过定点3(,0)2．图A21解法二：若0≠t ，直线PA 的方程为(3)9=+ty x ，将其代入E 的方程中，得222(3)1981++=x t x ，整理得2222(9)6(981)0+++-=t x t x t ，因此有212639-+=-+t x t ，即221226273399-=-=++t t x t t ，将x 1代入直线方程得1269=+y t ，所以22222736,99⎛⎫- ⎪++⎝⎭t t C t t .同理可得222332,11⎛⎫-- ⎪++⎝⎭t t D t t ，所以直线CD 的方程为22222222222733326233911911⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭t t t t t t y x t t t t t t 整理得2433(3)2⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭t y x t 故直线CD 过定点3(,0)2．若0=t ，则直线CD 的方程为0=y ，过点3(,0)2．综上，直线CD 过定点3(,0)2．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。