第七章自旋与全同粒子-1资料
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自旋与全同粒子
√
电子自旋(1/2)
斯特恩-革拉赫实验
照相片 PP ，不均匀磁场，狭缝 BB ，s 态的氢原子源 K s 态的氢原子束通过狭缝 BB 和不均匀磁场， 射到照相片 PP 上，出现两条分立线 分立线：氢原子具有磁矩 两条线：磁矩只有两种取向 s 态的氢原子：角量子数 l = 0，没有轨道角 动量，磁矩是固有的(自旋磁矩)
√
小结(1/3)
电子的自旋 自旋算符： 对易关系： 平方算符：
泡利矩阵： 自旋算符函数 自旋算符函数 对自旋求平均： 对坐标和自旋求平均：
自旋波函数：
无自旋与轨道相互作用的电子波函数：
的本征函数：
√
小结(2/3)
两电子体系的自旋函数：
算符
和
在
中的本征值
简单塞曼效应：
的共同本征函数
耦合表象的基矢：
的共同本征函数
)
有自旋与轨道相互作用的哈密顿量(
√
光谱的精细结构(2/4)
微扰的自旋与轨道相互作用
耦合表象的基矢 零级近似波函数(简并情况) 矩阵元、久期方程和能量的一级修正 用到的公式
矩阵元
久期方程
√
光谱的精细结构(3/4)
能量的一级修正
对易关系
本征值
自旋角动量算符的矩阵形式 态矢量(自旋的表象)
√
电子的自旋算符和自旋函数(3/3)
自旋角动量算符的矩阵形式
(
、 和
称泡利矩阵)
其它关系 正交归一关系：
第七章 自旋与全同粒子c
第七章 自旋与全同粒子§1.1 学习指导本章的目的是将量子力学基本理论向两个方面扩展，一是将电子自旋纳入量子力学理论体系，并讨论与其相关的问题；二是由单粒子量子力学扩展到多粒子体系，建立起完整的非相对论量子力学的理论体系。
根据光谱的精细结构和Stern —Gerlach 等实验，人们发现电子还具有的一种无经典对应的新的运动自由度。
通过对实验事实的分析，人们提出了电子自旋的假设，引入了自旋角动量，并进一步扩展成包括空间运动和自旋运动在内的完整的状态描述和力学量的算符表示，并将薛定谔方程扩展到包含自旋的情况，建立非相对论的含自旋的运动方程。
真实的物理系统是多个微观粒子共存的，与经典力学不同，量子化的全同粒子具有不可分辨性，全同粒子体系的微观状态只能是对称的（对应于玻色子）或者反对称的（对应于费米子）。
因此，还需要将单粒子非相对论量子力学扩展到全同粒子系统。
本章的主要知识点有 1．电子自旋 1）泡利算符泡利算符是描写电子自旋运动力学量的矢量厄密算符，定义为ˆˆˆˆx y z i i k σσσσ=++rr r r（7-1） 其分量z y x σσσˆ,ˆ,ˆ满足下列对易关系和反对易关系 [,]2,{,}2i j ijk k i j ij i σσεσσσδ== （7-2）由此可以推出i j ijk k ij i σσεσδ=+ （7-3）由于2ˆ1z σ=，因此ˆz σ的本征值为1±，对应的本征态记为()z χσ±。
取χ±为基矢，建立z σ表象，可以得到泡利算符的矩阵表示，即泡利矩阵01010ˆˆˆ,,10001x y z i i σσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（7-4）2）电子自旋角动量借助泡利算符，电子自旋角动量S v可以表示为12ˆˆˆˆˆx y z S S i S j S k σ=++=v v v v v h （7-5）自旋角动量S v满足对易关系ˆˆˆS S i S ⨯=r r r h ，自旋角动量平方为3224ˆS =h ，自旋角量子数为12s =；自旋在z 轴方向的投影为ˆz S ，本征值为s m h ，其中12s m =±称为自旋磁量子数，对应的本征函数为12()()z z s χχσ±±=。
7第七章自旋与全同粒子
2
，所以ˆi 的本征
2 i
2 x
2 y
2 z
1
(22)
泡利矩阵：
ˆx பைடு நூலகம்10 10
ˆ y
0 i
i 0
ˆ z
1 0
01
(23)
• 考虑到自旋后，归一化形式为：
d
(1 *
2
*)
（空间量子化）
3）实验解释：
， 氢原子处于S态时，l＝0，轨道角动
量平方 L2 l(l 1) 2 0
Lz m 0(m 0,1,2,....., l)
M
e
L0
2
在此状态下，原子轨道角动量基轨道磁距均为0。 如果仍发现有磁距，必为其他磁矩。
2. 碱金属原子光谱的双向结构 钠原子光谱，2P 1S线波长589.3nm,
r
e2a
r2
(0 x 1)
这时
仍为本征波函数，但能级本征值E
nlm
nl不仅与n有
关，而且与l有关.
2
- 2 2 nlm U r nlm Enl nlm （7）
当B=0： nlm是lz的本征函数：
Lz nlm m nlm
(8)
nlm仍为方程（5）(6）的解：
第七章 自旋与全同粒子
7.1 电子自旋
一、电子自旋的实验现象 1.斯特恩-盖拉赫实验
1）
N
z
ko
S
p
N-S磁铁之间为不均匀磁场 k0:氢原子 源,H原子束经狭缝准直后,穿过不均匀B,屏 上两条黑线。
量子力学 自旋和全同粒子
可证： 但是：
ˆ2, J ˆ 2 ] 0 ，[ J ˆ2, J ˆ 2 ] 0， [J 1 2 r r ˆ ˆ2, J ˆ2 ˆ [J 1 ] 0 ，[ J , J 2 ] 0 ， ˆ ,J ˆ 2 ] 0 ，[ J ˆ ,J ˆ2] 0。 [J z 1 z 2
另，容易证明，
| j1 , j2 , j, m 组成了正交归一的完全系，以它们为基矢的表
ˆ2, J ˆ ,J ˆ2, J ˆ 2 都是对角矩阵。 象称为耦合表象， 在这个表象中 J z 1 2
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
7.4.3、 耦合表象和非耦合表象的变换
7.4.3、 耦合表象和非耦合表象的变换 将 | j1 , j2 , j, m 按照完全系 | j1 , m1 , j2 , m2 展开，
m1 ,m2
(m m )h
1 2
m2m2 m1m1
j1 , m1 , j2 , m2 | j1 , j2 , j, m
; m2 m2 m2 时， m m1 m2 m1 当 m1 m1
所以展开式中只需对一个量子数求和即可，
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
Hale Waihona Puke ˆ2, J ˆ 的共同本征矢，则 以 | j2 , m2 表示 J 2 2z
ˆ 2 | j , m j ( j 1)h 2 | j , m J 2 2 2 2 2 2 2 。 ˆ J 2z | j2 , m2 m2 h | j2 , m2
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
| j1 , j2 , j, m
m1 ,m2
ˆ2, J ˆ 2 ] 0 ，[ J ˆ2, J ˆ 2 ] 0， [J 1 2 r r ˆ ˆ2, J ˆ2 ˆ [J 1 ] 0 ，[ J , J 2 ] 0 ， ˆ ,J ˆ 2 ] 0 ，[ J ˆ ,J ˆ2] 0。 [J z 1 z 2
另，容易证明，
| j1 , j2 , j, m 组成了正交归一的完全系，以它们为基矢的表
ˆ2, J ˆ ,J ˆ2, J ˆ 2 都是对角矩阵。 象称为耦合表象， 在这个表象中 J z 1 2
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
7.4.3、 耦合表象和非耦合表象的变换
7.4.3、 耦合表象和非耦合表象的变换 将 | j1 , j2 , j, m 按照完全系 | j1 , m1 , j2 , m2 展开，
m1 ,m2
(m m )h
1 2
m2m2 m1m1
j1 , m1 , j2 , m2 | j1 , j2 , j, m
; m2 m2 m2 时， m m1 m2 m1 当 m1 m1
所以展开式中只需对一个量子数求和即可，
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
Hale Waihona Puke ˆ2, J ˆ 的共同本征矢，则 以 | j2 , m2 表示 J 2 2z
ˆ 2 | j , m j ( j 1)h 2 | j , m J 2 2 2 2 2 2 2 。 ˆ J 2z | j2 , m2 m2 h | j2 , m2
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
| j1 , j2 , j, m
m1 ,m2
量子力学---课件 《第七章》
第七章自旋与全同粒子Spin and Identical Particales第七章自旋与全同粒子第七章自旋与全同粒子自旋是粒子的一种运动形式，以角动量形式表现出来。
如果把电子绕原子核的运动称作“轨道运动”，则自旋类似与经典物体的自转。
然而自旋又区别于经典物体的自转，它有着独特的规律。
因此，自旋是微观粒子特有的概念。
提出的依据是实验：全同粒子是指具有相同内禀属性（静质量、电荷、自旋、磁矩和寿命等）的粒子。
全同粒子具有区别于宏观粒子而独有的特性，即微观粒子的不可分辨性。
这正是不确定关系所要求的。
碱金属原子光谱的双线结构复杂Zeeman 效应——弱磁场中光谱线分裂成偶数条。
本章主要内容§7.1电子的自旋§7.2自旋算符和自旋波函数§7.3简单Zeeman 效应§7.4两个角动量的耦合§7.5光谱的精细结构§7.6全同粒子的特性§7.7全同粒子体系的波函数Pauli 原理§7.8两个电子的自旋波函数§7.9氦原子（微扰法）§7.10氢分子共价键§7.1 电子的自旋Spin of an Electron§7.1 电子的自旋（2）复杂Zeeman 效应（1912）：在弱磁场中光谱线分裂成偶数条。
如D 1→4条，D 2→6条（1）碱金属原子光谱的双线结构：λ≈589.3μm →D 1: 589.6μm ，D 2: 589.0μmÀ电子自旋提出的实验基础（3）Stern-Gerlach 实验（1922）：银原子束通过非均匀磁场分裂为两束——证实角动量的空间量子化。
无磁场加磁场D 1D 2简单Zeeman 效应谱线分裂成奇数条S S NNPP O§7.1 电子的自旋Stern-Gerlach 实验（1922）说明了中性的原子具有磁矩，磁矩在外磁场中受磁场的作用（∝dB /dz ）。
量子力学第七章自旋和全同粒子
3．了解简单塞曼效应的物理机制
4．了解 耦合的概念及碱金属原子光谱双线结构的物理解释。
5．全同粒子的基本概念，全同性质理，波函数的交换对称性。
6．全同粒子的分类
7．全同粒子体系的波函数，包括两个全同粒子体系的波函数，N个全同粒子体系的波函数。
8．两个电子的自旋函数
教
学
重
点
重点：电子自旋的描述；包括自旋函数、自旋算符及其矩阵形式，泡利算符及泡利矩阵形式，它们的对易关系和反对易关系，本征值和本征函数
6．全同粒子体系的波函数和泡利不相容原理；
7．两自旋体系的波函数；氢原子；促氦和正氦。
学
生
作
业
课后第212-213页第1、6题
教
书
育
人
方பைடு நூலகம்
式
讲授与课堂讨论相结合
备
注
难点：用电子自旋的理论解释原子光谱现象
教
学
方
法
在采用的教学
手段中：打（√）
课堂讲授
√
使用教模（具）
挂图
参观
现代化手段
幻灯机
投影仪
电视录像
多媒体
√
CAI情况
软件名称
上机学时
教
学
内
容
1．电子自旋的实验事实；
2．自旋算符和自旋波函数；
3．简单塞曼效应及其解释；
4． 耦合和精细结构的物理机制。
5．全同粒子的不可区分性原理，玻色子和费米子概念；
南华大学课程教案
课程名称：量子力学与电动力学授课教师：路兴强
量子力学部分
章次名称
第七章自旋和全同粒子
授课学时
总学时：6课堂讲授：6实验：上机：
4．了解 耦合的概念及碱金属原子光谱双线结构的物理解释。
5．全同粒子的基本概念，全同性质理，波函数的交换对称性。
6．全同粒子的分类
7．全同粒子体系的波函数，包括两个全同粒子体系的波函数，N个全同粒子体系的波函数。
8．两个电子的自旋函数
教
学
重
点
重点：电子自旋的描述；包括自旋函数、自旋算符及其矩阵形式，泡利算符及泡利矩阵形式，它们的对易关系和反对易关系，本征值和本征函数
6．全同粒子体系的波函数和泡利不相容原理；
7．两自旋体系的波函数；氢原子；促氦和正氦。
学
生
作
业
课后第212-213页第1、6题
教
书
育
人
方பைடு நூலகம்
式
讲授与课堂讨论相结合
备
注
难点：用电子自旋的理论解释原子光谱现象
教
学
方
法
在采用的教学
手段中：打（√）
课堂讲授
√
使用教模（具）
挂图
参观
现代化手段
幻灯机
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√
CAI情况
软件名称
上机学时
教
学
内
容
1．电子自旋的实验事实；
2．自旋算符和自旋波函数；
3．简单塞曼效应及其解释；
4． 耦合和精细结构的物理机制。
5．全同粒子的不可区分性原理，玻色子和费米子概念；
南华大学课程教案
课程名称：量子力学与电动力学授课教师：路兴强
量子力学部分
章次名称
第七章自旋和全同粒子
授课学时
总学时：6课堂讲授：6实验：上机：
7 自旋与全同粒子
A. 电子自旋算符表示：
h 自旋角动量与轨道角动比较：方向投影值是 ，而不是 h ； 2
与电子坐标、动量无关；满足相同的对易关系。 用 S 表示自旋角动量，则有
∧
S × S = ih S
∧
∧
∧
（7.1.7）
S x S y S y S x = ih S z ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ S y S z S z S y = ih S x ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ S z S x S x S z = ih S y ∧ ∧ 泡利算符：引入算符 σ ，它与 S 的关系是
+ 1 2
(7.1.24)
几率密度是：
w( x, y , z, t ) = Ψ Ψ = Ψ 1 + Ψ 2 = w1 ( x, y , z, t ) + w2 ( x, y , z, t )
+
2
2
当电子的自旋和轨道运动的相互作用可忽略： 一般情况下电子的自旋和轨道运动的相互作用由 Ψ 中的 Ψ 1 , Ψ 2 是x,y,z的不同函数来表示。当电子的自旋和轨道运动的相互作 用可忽略时， 1 , Ψ 2 对x,y,z的依赖关系是相同的，于是 Ψ
θ 为外磁场与原子磁矩之间的夹角。
则原子 z 方向所受到的力为
Fz = U H =M cos θ z z
实验证明，这时分裂出来两条谱线分别对应于 cos θ = +1 和 cos θ = 1两个值。
电子的自旋和磁矩是电子的内禀属性，也称为内禀角动量和 内禀磁矩，标志电子的一个新的自由度。斯特恩与革拉赫实验直 接证实了这一属性。 无数实验表明，各种基本粒子也具有这一属性。
∧
0 i σy = i 0
∧
E. 平均值问题
19第7章概念4-全同性原理
七、全同粒子 1.全同粒子 所有固有（内禀）性质（静止质量、电荷、寿命、自旋、 所有固有（内禀）性质（静止质量、电荷、寿命、自旋、同位 内禀磁矩等）完全相同。 旋、内禀磁矩等）完全相同。 全同粒子体系：由全同粒子组成的体系。如金属中的电子； 全同粒子体系：由全同粒子组成的体系。如金属中的电子；氦 原子中的电子；核中的质子；中子的集合。 原子中的电子；核中的质子；中子的集合。 经典力学中两个全同粒子的固有性质完全相同，但仍可区分这 经典力学中两个全同粒子的固有性质完全相同， 两个粒子。因为都有自己确定的位置和轨道， 两个粒子。因为都有自己确定的位置和轨道，即任一时刻它们都有 确定的坐标和速度，可判定哪个是第一粒子，哪个是第二个粒子。 确定的坐标和速度，可判定哪个是第一粒子，哪个是第二个粒子。 例如同一牌子的解放牌汽车，它们不能在同一时刻处于同一位置， 例如同一牌子的解放牌汽车，它们不能在同一时刻处于同一位置， 由初始状态和运行轨道的记录可以区分它们（建立档案） 由初始状态和运行轨道的记录可以区分它们（建立档案）。 微观全同粒子不可区分，同一时刻它们可以处于同一位置。 微观全同粒子不可区分，同一时刻它们可以处于同一位置。两 个全同粒子可用两个波函数表示，在运动过程中，空间中发生重叠， 个全同粒子可用两个波函数表示，在运动过程中，空间中发生重叠， 此区域无法区分。只有当波函数完全不重叠时，才可区分。 此区域无法区分。只有当波函数完全不重叠时，才可区分。 2.全同性原理 全同粒子组成的体系中，任意交换两个全同粒子， 全同粒子组成的体系中，任意交换两个全同粒子，体系的物理 状态保持不变。 状态保持不变。
1 2 0 1 0 2 1 2 1 2
令
Φ(q1 , q 2 ) = ϕ (q1 )ϕ (q 2 )
设第一个粒子处于第i态 第二个粒子处于第 态 设第一个粒子处于第 态，第二个粒子处于第j态，有
1 2 0 1 0 2 1 2 1 2
令
Φ(q1 , q 2 ) = ϕ (q1 )ϕ (q 2 )
设第一个粒子处于第i态 第二个粒子处于第 态 设第一个粒子处于第 态，第二个粒子处于第j态，有
第七章自旋与全同粒子1
（一）自旋角动量
轨道角动量 r ˆ L r r r ˆ ˆ ˆ L × L = ih L ˆ ˆ ˆ [ L x , L y ] = ih L z ˆ ˆ ˆ [ L y , L z ] = ih L ˆ ˆ ˆ [ L z , L x ] = ih L
x y
自旋角动量 r ˆ S r r r ˆ ˆ ˆ S × S = ih S ˆ [S ˆ ˆ , S y ] = ih S ˆ ] = ih S
h 2 h 2
,t) ,t)
写成列矩阵
r ψ 1 ( r , t ) Φ= r ψ ( r , t ) 2
若已知电子处于S 若已知电子处于 Sz = h/2 或 Sz = -h/2 的自旋态，则波函数可分别写为： 的自旋态，则波函数可分别写为： r 0 ψ 1 ( r , t ) Φ1 = Φ−1 = r 2 2 0 ψ 2 ( r , t )
处于 S 态的 氢原子
（3）讨论
r r 设原子磁矩为 M，外磁场为 B， 则原子在 Z 向外场 v B 中的势能为： 中的势能为：
r v U = − M • B = − MB z cos θ
原子 Z 向受力
磁矩与磁 场之夹角
∂Bz ∂U Fz = − cos θ =M ∂z ∂z
分析
若原子磁矩可任意取向， +1） 若原子磁矩可任意取向，则 cos θ 可在 （-1，+1） 之间连续变化， 之间连续变化，感光板将呈现连续带
最后得 SZ 的 矩阵形式
h 1 0 Sz = 2 0 − 1
是对角矩阵， SZ 是对角矩阵，对角矩阵 元是其本征值± /2。 元是其本征值±h/2。
（2）Pauli 算符
全同粒子体系的波函数泡利原理
§ 7.1 电子的自旋
一、提出电子自旋的依据 1、1912年反常塞曼效应，特别是氢原子的偶数重磁场谱线 分裂 ，无法用轨道磁矩与外磁场相互作用来解释 ，因 为这只能分裂谱线为 （2n+1）重，即奇数重。
2、原子光谱的精细结构 。比如，对应于氢原子2p→1s的跃 迁存在两条彼此很靠近的两条谱线，碱金属原子光谱也 存在双线结构等
4
S
2 x
S
2 y
S
2 z
2 4
.
(7.2 3)
所以，
Sˆ
2
Sˆx2
Sˆy2
Sˆz2
3 4
2
(7.2 4)
令 S 2 s(s 1)2 (7.2 5)
将上式与轨道角动量平方算符的本征值L2 l (l 1) 2
比较，可知s与角量子数 l 相当，我们称s为自旋量子数。但
这里s只能取一个数值，即s=1/2.
nlm 也是Hˆ Hˆ 0 Hˆ B 的本征函数。在强磁场中，
因为外磁场很强，可以略去自旋轨道耦合。波函 数中自旋和空间部分可以分离变量。哈密顿量H 的本征态可选为守恒量完全集（H, L2, Lz , Sz)的共 同本征态。能量的本征值为：
当 Sz
时， 2
nlm 1 2
RnlYlm 1
二、泡利算符
为简便起见，引进一个算符ˆ
，它和
Sˆ
的关系是
Sˆ
ˆ
2
Sˆ
x
Sˆ y
Sˆ
z
2
ˆ
x
2
ˆ
y
2
ˆ
z
(7.2 6)
将（7.2-6）式代入（7.2-1）式，得到ˆ 所满足的对易关系：
ˆ
第七章 自旋与全同粒子 十九讲 ppt 量子力学教学课件
由上式变成
| J , m - m , J m
1 2 2 m2
| J1 , J 2 , J, m =
2
J, m - m 2 , J 2 , m 2 | J1 , J 2, J, m 2
1 2
（5）求量子数 J和J ， J 的关系。 ①由 m=0,±1，±2…±J , 所以 m 的最大值 J max 又∵m= m1 +
对易 ∴J， m，l 是好量子数。
ˆ 不对易。 H (r ) (r ) H ˆ 和H 4） H 0 0 0
ˆ 的本征值和本征函数 ∴H
ˆ H ˆ ) E ˆ 是简并的，所以可用简并情况微 (H ，→由 H 0 0
扰理论求解。用解久期方程求。由 7.5－6 可知 H′在耦 合表象中是对角阵， 所以利用
ˆ ˆ ，L ˆ 2，L ˆ ，S H z z 有共同的本征函数： 则 0
n,l,ml,ms R nl (r)Y lm ( , ) ms
lLeabharlann 由四个量子数决定 n,l, ml , ms ,
其中 ms
2
（2）耦合表象 ˆ →电子的总角动量 ˆ＝L ˆ ＋S 令J
ˆ 2，J ˆ 2，J ˆ ，H ˆ L z 0 相互对易有共同的本征函 同样可证：
2 ˆ 2 ˆ ˆ J ˆ J J J 利用上式和[ 1 ， 1 ]＝0， [ 2 ， 2 ]＝0 得
2 2 2 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ J J J [ ， 1 ]＝0，[ J ， 2 ]＝0， 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ]≠0 J J J [ ， 1 ]≠0，[ ， J 2
ˆ J ˆ ˆ ˆ J ˆ ˆ ˆ ˆ J J J J J J 2y 1y 因为 1 ＝ ＋ ＋ 1z 2z 2x 2 1x
| J , m - m , J m
1 2 2 m2
| J1 , J 2 , J, m =
2
J, m - m 2 , J 2 , m 2 | J1 , J 2, J, m 2
1 2
（5）求量子数 J和J ， J 的关系。 ①由 m=0,±1，±2…±J , 所以 m 的最大值 J max 又∵m= m1 +
对易 ∴J， m，l 是好量子数。
ˆ 不对易。 H (r ) (r ) H ˆ 和H 4） H 0 0 0
ˆ 的本征值和本征函数 ∴H
ˆ H ˆ ) E ˆ 是简并的，所以可用简并情况微 (H ，→由 H 0 0
扰理论求解。用解久期方程求。由 7.5－6 可知 H′在耦 合表象中是对角阵， 所以利用
ˆ ˆ ，L ˆ 2，L ˆ ，S H z z 有共同的本征函数： 则 0
n,l,ml,ms R nl (r)Y lm ( , ) ms
lLeabharlann 由四个量子数决定 n,l, ml , ms ,
其中 ms
2
（2）耦合表象 ˆ →电子的总角动量 ˆ＝L ˆ ＋S 令J
ˆ 2，J ˆ 2，J ˆ ，H ˆ L z 0 相互对易有共同的本征函 同样可证：
2 ˆ 2 ˆ ˆ J ˆ J J J 利用上式和[ 1 ， 1 ]＝0， [ 2 ， 2 ]＝0 得
2 2 2 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ J J J [ ， 1 ]＝0，[ J ， 2 ]＝0， 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ]≠0 J J J [ ， 1 ]≠0，[ ， J 2
ˆ J ˆ ˆ ˆ J ˆ ˆ ˆ ˆ J J J J J J 2y 1y 因为 1 ＝ ＋ ＋ 1z 2z 2x 2 1x
量子力学 第七章 自旋与全同粒子
7.5 光谱的精细结构
Fine structure of the spectrum
7.6 全同粒子的性质
The characterization of similar particles
7.7 全同粒子系统的波函数 泡利原理
The wave function of similar particle system Pauli principle
2 ˆ ˆ x2 y2 z2
ˆ ,2 x ] 0 ˆ [ ˆ ,2 y ] 0 ˆ [ ˆ ˆ [ ,2 z ] 0
12
ˆ ˆ [ ] 0
2 ,
§7.2 电子的自旋算符和自旋函数 （续 5）
Ch.7 Spin and undistinguished similar particles
7.1 电子自旋
Electron spin
7.2 电子自旋算符与自旋波函数
Electron spin operator and spin wave function
7.3 简单塞曼效应
Simple Zeeman effect
7.4 两个角动量的耦合
Coupling of two angular momentum
1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x y y x ( y z z y ) y y ( y z z y ) 2i 2i 1 ˆ y z y z y y z y z y ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2i
S ，它在空间任意方
（2）每个电子具有自旋磁矩 M S ，它与自旋角动量的
e MS S
（SI）
lz4自旋与全同粒子
将两个粒子互换后,H 不变 H (q1 , q2 qi q j q N , t ) = H (q1 , q2 q j qi q N , t )
(2)
由 s q 方程
i Φ (q1q2 qi q j q N , t ) t = H (q1q2 qi q j q N , t )Φ (q1q2 qi q j q N , t )
+ * 1 * 2
点周围单位体积内找到电子 ( S z = ± ) 的几率. 2
∫ψ3; ψ 2 )dτ = 1
2 2
自旋算符应该是二行二列的矩阵
= a b Sz c d 2 ψ = ψ 1 Sz 1 2 2 2 ψ 1 ( x, y, z , t ) ψ1 = 0 2
将这两个分量排成一个二行一列的矩阵
ψ 1 ( x, y, z , t ) ψ = ψ ( x, y, z, t ) 2
ψ 1 :电子S z = 的几率
2
2
ψ 2 : S z = 的几率
2
2
ψ1 2 2 = ψ 1 + ψ 2 表示在 t 时刻在( x, y, z ) ψ ψ = (ψ ψ ) ψ 2
第七章 自旋与全同粒子
§7.1
一,Stern-Gerlach实验 Z
电子自旋
S
B
N
P
U = M B = MB cosθ U B Fz = =M cosθ z z
M:原子的磁矩
1,原子具有磁矩,对于处于S态的原子 l = 0, L = 0 l ML = L = 0 没有轨道磁矩,所以原子所具有的磁矩是 2 电子固有的磁矩,称为自旋磁矩. 2,自旋磁矩在磁场中只有两种取向. 1925年,Vhlenbeck 和 Goudsmit 假设: (1)每个电子具有自旋角动量 S ,它在空间任何方
(2)
由 s q 方程
i Φ (q1q2 qi q j q N , t ) t = H (q1q2 qi q j q N , t )Φ (q1q2 qi q j q N , t )
+ * 1 * 2
点周围单位体积内找到电子 ( S z = ± ) 的几率. 2
∫ψ3; ψ 2 )dτ = 1
2 2
自旋算符应该是二行二列的矩阵
= a b Sz c d 2 ψ = ψ 1 Sz 1 2 2 2 ψ 1 ( x, y, z , t ) ψ1 = 0 2
将这两个分量排成一个二行一列的矩阵
ψ 1 ( x, y, z , t ) ψ = ψ ( x, y, z, t ) 2
ψ 1 :电子S z = 的几率
2
2
ψ 2 : S z = 的几率
2
2
ψ1 2 2 = ψ 1 + ψ 2 表示在 t 时刻在( x, y, z ) ψ ψ = (ψ ψ ) ψ 2
第七章 自旋与全同粒子
§7.1
一,Stern-Gerlach实验 Z
电子自旋
S
B
N
P
U = M B = MB cosθ U B Fz = =M cosθ z z
M:原子的磁矩
1,原子具有磁矩,对于处于S态的原子 l = 0, L = 0 l ML = L = 0 没有轨道磁矩,所以原子所具有的磁矩是 2 电子固有的磁矩,称为自旋磁矩. 2,自旋磁矩在磁场中只有两种取向. 1925年,Vhlenbeck 和 Goudsmit 假设: (1)每个电子具有自旋角动量 S ,它在空间任何方
自旋与全同粒子
(7.1 3)
由（7.1-2）式，电子自旋磁矩和自旋角动量之比是
M Sz M Sz e e , ( SI ); , (CGS ) sz sz c
e e ML L, ( SI ); M L L, (CGS ) 2 2c
即轨道运动的回转磁比率是
0 b ˆx 于是， c 0
* 0 c ˆ * b 0
ˆ x为厄米矩阵： * ˆx ˆx b c
则
0 b ˆx b * 0
(7.2 16)
而
2 ˆ x 1 亦即
ˆ 的本征 S z
1 0 ˆz 0 1
值是 2
1 1 0 2
1 2
0 sz 的 本 征 矢 量 。 1 分别是 2
令
由
a ˆx c
b d
即
ˆ z ˆ x ˆ x ˆz
1 0 a b a b 1 0 0 1 c d c d 0 1
b a b a c d c d 可得出 a d 0
得到的泡利矩阵是
（7.2-20）
泡利矩阵
ˆx 0 1 1 0 ˆy 0 i i 0 1 ˆz 0 0 1
ˆx s
0 2 1
1 0
ˆy s
0 2 i
i 0
ˆz s
1 2 0
0 1
自旋算符
（7.2-21）
(2)电子自旋角量子数 S=1/2
第七章全同粒子
• 1.2 全同性原理： 由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系 中，任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理 状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称 为量子力学中的全同性原理。这是量子力学基本原理之一。 • 1.3 哈密顿算符的交换对称性 q i 表示第i个粒子的空 考虑 N 个全同粒子组成的体系， 间坐标 ri 与自旋变量 S i ，u(qi , t) 表示 第i个粒子在外场中 的能量，w(qi , qj ) 表示第i、j粒子的相互作用能量，则体系的 哈密顿算符 H 写为
1 ( q , q , q ) P ( 1 ) ( 2 ) ( N ) （19） S 1 2 N i j k N ! P
但若单粒子态的个数小于粒子数，譬如有n 1个粒子处于 I态，n 2 个粒子处于j 态， n l 个粒子处于k态，且 n n n N 则因相同单粒子态的交换不会产生新的 1 2 l 结果，故所有可能排列的总项数等于下列组合数
（2）三粒子中有两个处于相同态，而另一个处于不同态， 2 , n 1 , n 0 ! /2 ! 1 ! 3 如n 则3 （共3项），有 1 2 3
1 [ ( q ) ( q ) ( q ) ( q ) ( q ) ( q ) ( q ) ( q ) ( q )] S 1 1 1 2 2 3 1 1 1 3 2 2 1 3 1 2 2 1 3 2 , n 0 , n 1 0 , n 2 , n 1 也可以是 n 或 n 等 1 2 3 1 2 3
ˆ
当第一个粒子处于j态，第二个粒子处于i态时，波函数为 （12） ( q , q ) ( q ) ( q ) 1 2 j 1 i 2 它也是满足（10）式的解， 具有同样的本征能量 Ei j
全同粒子
ˆ s H s t s 是对称的。 t
证
因为等式两边对称性应 是一样的，所以 Shrodinger方程 i 中式右的
在 t+dt 时刻，波函数变化为
s
二对称波函 数之和仍是 对称的
对称
s dt t
对称
依次类推，在以后任何时刻，波函数都是对称的。
同理可证：t 时刻是反对称的波函数a，在t以后任何时刻都是反对称的。
ˆ (q ) H ˆ (q )]（q , q ) [ H ˆ (q ) H ˆ (q )] (q ) (q ) [H 0 1 0 2 1 2 0 1 0 2 i 1 j 2
ˆ (q ) (q )] (q ) (q )[ H ˆ (q ) (q )] [H 0 1 i 1 j 2 i 1 0 2 j 2
服从 用
微观粒子运动
量子力学
波函数描写
在波函数重叠区 粒子是不可区分的
（4）全同性原理
全同粒子所组成的体系中，二全同粒子 互相代换不引起体系物理状态的改变。 全同性原理是量子力学的基本原理之一。
（二）波函数的对称性质
（1）Hamilton 算符的对称性 调换第 i 和第 j 粒子， 体系 Hamilton 量不变。
(q1 , q2 , qi q j q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t )
所以
1
2 1
1
对称波函数
二粒子互换后波函数不 变，即
(q1 , q2 , qi q j q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t ) 反对称波函数 1 二粒子互换后波函数变 号，即 (q1 , q2 , qi q j q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t )
证
因为等式两边对称性应 是一样的，所以 Shrodinger方程 i 中式右的
在 t+dt 时刻，波函数变化为
s
二对称波函 数之和仍是 对称的
对称
s dt t
对称
依次类推，在以后任何时刻，波函数都是对称的。
同理可证：t 时刻是反对称的波函数a，在t以后任何时刻都是反对称的。
ˆ (q ) H ˆ (q )]（q , q ) [ H ˆ (q ) H ˆ (q )] (q ) (q ) [H 0 1 0 2 1 2 0 1 0 2 i 1 j 2
ˆ (q ) (q )] (q ) (q )[ H ˆ (q ) (q )] [H 0 1 i 1 j 2 i 1 0 2 j 2
服从 用
微观粒子运动
量子力学
波函数描写
在波函数重叠区 粒子是不可区分的
（4）全同性原理
全同粒子所组成的体系中，二全同粒子 互相代换不引起体系物理状态的改变。 全同性原理是量子力学的基本原理之一。
（二）波函数的对称性质
（1）Hamilton 算符的对称性 调换第 i 和第 j 粒子， 体系 Hamilton 量不变。
(q1 , q2 , qi q j q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t )
所以
1
2 1
1
对称波函数
二粒子互换后波函数不 变，即
(q1 , q2 , qi q j q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t ) 反对称波函数 1 二粒子互换后波函数变 号，即 (q1 , q2 , qi q j q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t )
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自旋量子数 s 只有一个数值
s 1 2
（二）含自旋的状态波函数
因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动 除了用 (x, y, z) 三个坐标变量外，还需要一个自 旋变量 (SZ），于是电子的含自旋的波函数需写为：
( x, y, z, Sz , t )
由于 SZ 只取 ±/2 两个值， 所以上式可写为两个分量：
则，轨道回转磁比率为：
e 2 c
可见电子回转磁比率是轨道 回转磁比率的二倍
§7.2 电子的自旋算符和自旋波函数
（一）自旋算符 （二）含自旋的状态波函数 （三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵 （四）含自旋波函数的归一化和几率密度 （五）自旋波函数 （六）力学量平均值
（一）自旋算符
•自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。 •自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根 本的差别 通常的力学量都可 以表示为坐标和动 量的函数
e MS S c
自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
MSz
e MB 2 c
Bohr 磁子
(CGS )
（四）回转磁比率
（1）电子自旋回转磁比率
MSz Sz e c
（2）轨道回转磁比率 我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：
ML e 2 c L
§7.1
电子的自旋
（一）Stern-Gerlach 实验 (二）光谱线精细结构 （三）电子自旋假设 （四）回转磁比率
（一）Stern-Gerlach 实验 （1）实验描述 S 态的氢原子束流，经 非均匀磁场发生偏转，在感 光板上呈现两条分立线。 （2）结论
I。氢原子有磁矩 因在非均匀磁场中发生偏转 II。氢原子磁矩只有两种取向 即空间量子化的
同是角动量
满足同样的角动量对易 关系
轨道角动量 ˆ L ˆ ˆ ˆ L L iL ˆ ,L ˆ ] iL ˆ [L x y z ˆ ,L ˆ ] iL ˆ [L y z x ˆ ,L ˆ ] iL ˆ [L z ˆ ˆ S S iS ˆ ,S ˆ ] iS ˆ [S x y z ˆ ,S ˆ ] iS ˆ [S y z x ˆ ,S ˆ ] iS ˆ [S z x y
• 在较强的磁场下（∽），我们发现一些类氢离子 或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁 矩的存在，能很好的解释它 • 但是，当这些原子或离子置入弱磁场（∽）的环 境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那 么简单，这就要求人们进一步探索。大量实验事 实证明，认为电子仅用三个自由度来描述并不是 完全的。 • 我们将引入一个新的自由度—自旋，它是粒子固 有的。 • 当然，自旋是Dirac电子的相对论性理论的自然结 果。现在我们从实验事实来引入。
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 ±/2 两个值
ˆ S x
ˆ S y
ˆ S z
的本征值都是±/2，其平方为[/2]2
ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 S ˆ 2 3 2 S x y z 4
ˆ2 S
仿照
算符的本征值是
L2 l (l 1)2
2 S 2 s(s 1) 2 3 4
处于 S 态的 氢原子
Z
N
S
设原子磁矩为 M，外磁 场为B， 则原子在Z向外场B中的势的势能
U M B MBz cos
原子 Z 向受力
分析
Bz U Fz M cos z z
（3）讨论
磁矩与磁 场之夹角
若原子磁矩可任意取向，则 cos 可在 （-1，+1）之间连续变化，感光板将呈现连续带 但是实验结果是：出现的两条分立线对应 cos = -1 和 +1 ，处于 S 态的氢原子 =0，没有 轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即 自旋磁矩。
第七章 自旋与全同粒子
赵 永 林
瞬时强激光脉冲技术拍摄到电子运动图像
• 瑞典伦德大学工程学院的科学家研发出 一种瞬时强激光脉冲，称为“阿秒脉 冲”(attosecond)，这使得人类第一次 可以拍摄到电子的运动图像。瑞典伦德 大学工程学院的原子物理学副教授约翰马里茨逊说，电子围绕原子核转一周大 约需要150阿秒的时间(1阿秒=10< sup> 18< /sup> 秒) 。 在另一束激光的帮忙下， 科学家们还成功引导一个电子与原子核 进行碰撞，并拍下图像。
58 96 Å
3p1/2 D2
58 90 Å
3s
3s1/2
（三）电子自旋假设
Uhlenbeck 和 Goudsmit 1925年根据上述现 象提出了电子自旋假设
（1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任 何方向上的投影只能取两个数值：
S Sz 2
（2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为：
不同的电子自旋方向导致 单个钴原子具有不同的形状
• 美国俄亥俄大学和德国汉堡大学的科学家 们展示了他们首次获得的，电子不同自旋 状态下单个钴原子的图像。 • 该研究表明，通过对单个金属原子的操控， 科学家具有了探测和操纵单原子中电子自 旋方向的能力，这将极大的影响纳米级存 储器、量子计算机和自旋电子器件的未来 发展。 • 萨瓦· 拉（美国俄亥俄大学） • 安德烈· 库柏兹卡（德国汉堡大学）
ˆ) ˆ ˆ F F (r , p
而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状 态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。 与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算符描写，记为 自旋角动 量 与轨道 角动量的 异同点
与坐标、动量无关
ˆ S ˆ rp
不适用
（二）光谱线精细结构
钠原子光谱中的一条亮 黄线 5893Å，用高分辨 率的光谱仪观测，可以看到该 谱线其实是由靠的很近的两条 谱线组成。 其他原子光谱中也可以发 现这种谱线由更细的一些线组 成的现象，称之为光谱线的精 细结构。该现象只有考虑了电 子的自旋才能得到解释
3p
58 93 Å
3p3/2 D1
s 1 2
（二）含自旋的状态波函数
因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动 除了用 (x, y, z) 三个坐标变量外，还需要一个自 旋变量 (SZ），于是电子的含自旋的波函数需写为：
( x, y, z, Sz , t )
由于 SZ 只取 ±/2 两个值， 所以上式可写为两个分量：
则，轨道回转磁比率为：
e 2 c
可见电子回转磁比率是轨道 回转磁比率的二倍
§7.2 电子的自旋算符和自旋波函数
（一）自旋算符 （二）含自旋的状态波函数 （三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵 （四）含自旋波函数的归一化和几率密度 （五）自旋波函数 （六）力学量平均值
（一）自旋算符
•自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。 •自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根 本的差别 通常的力学量都可 以表示为坐标和动 量的函数
e MS S c
自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
MSz
e MB 2 c
Bohr 磁子
(CGS )
（四）回转磁比率
（1）电子自旋回转磁比率
MSz Sz e c
（2）轨道回转磁比率 我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：
ML e 2 c L
§7.1
电子的自旋
（一）Stern-Gerlach 实验 (二）光谱线精细结构 （三）电子自旋假设 （四）回转磁比率
（一）Stern-Gerlach 实验 （1）实验描述 S 态的氢原子束流，经 非均匀磁场发生偏转，在感 光板上呈现两条分立线。 （2）结论
I。氢原子有磁矩 因在非均匀磁场中发生偏转 II。氢原子磁矩只有两种取向 即空间量子化的
同是角动量
满足同样的角动量对易 关系
轨道角动量 ˆ L ˆ ˆ ˆ L L iL ˆ ,L ˆ ] iL ˆ [L x y z ˆ ,L ˆ ] iL ˆ [L y z x ˆ ,L ˆ ] iL ˆ [L z ˆ ˆ S S iS ˆ ,S ˆ ] iS ˆ [S x y z ˆ ,S ˆ ] iS ˆ [S y z x ˆ ,S ˆ ] iS ˆ [S z x y
• 在较强的磁场下（∽），我们发现一些类氢离子 或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁 矩的存在，能很好的解释它 • 但是，当这些原子或离子置入弱磁场（∽）的环 境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那 么简单，这就要求人们进一步探索。大量实验事 实证明，认为电子仅用三个自由度来描述并不是 完全的。 • 我们将引入一个新的自由度—自旋，它是粒子固 有的。 • 当然，自旋是Dirac电子的相对论性理论的自然结 果。现在我们从实验事实来引入。
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 ±/2 两个值
ˆ S x
ˆ S y
ˆ S z
的本征值都是±/2，其平方为[/2]2
ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 S ˆ 2 3 2 S x y z 4
ˆ2 S
仿照
算符的本征值是
L2 l (l 1)2
2 S 2 s(s 1) 2 3 4
处于 S 态的 氢原子
Z
N
S
设原子磁矩为 M，外磁 场为B， 则原子在Z向外场B中的势的势能
U M B MBz cos
原子 Z 向受力
分析
Bz U Fz M cos z z
（3）讨论
磁矩与磁 场之夹角
若原子磁矩可任意取向，则 cos 可在 （-1，+1）之间连续变化，感光板将呈现连续带 但是实验结果是：出现的两条分立线对应 cos = -1 和 +1 ，处于 S 态的氢原子 =0，没有 轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即 自旋磁矩。
第七章 自旋与全同粒子
赵 永 林
瞬时强激光脉冲技术拍摄到电子运动图像
• 瑞典伦德大学工程学院的科学家研发出 一种瞬时强激光脉冲，称为“阿秒脉 冲”(attosecond)，这使得人类第一次 可以拍摄到电子的运动图像。瑞典伦德 大学工程学院的原子物理学副教授约翰马里茨逊说，电子围绕原子核转一周大 约需要150阿秒的时间(1阿秒=10< sup> 18< /sup> 秒) 。 在另一束激光的帮忙下， 科学家们还成功引导一个电子与原子核 进行碰撞，并拍下图像。
58 96 Å
3p1/2 D2
58 90 Å
3s
3s1/2
（三）电子自旋假设
Uhlenbeck 和 Goudsmit 1925年根据上述现 象提出了电子自旋假设
（1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任 何方向上的投影只能取两个数值：
S Sz 2
（2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为：
不同的电子自旋方向导致 单个钴原子具有不同的形状
• 美国俄亥俄大学和德国汉堡大学的科学家 们展示了他们首次获得的，电子不同自旋 状态下单个钴原子的图像。 • 该研究表明，通过对单个金属原子的操控， 科学家具有了探测和操纵单原子中电子自 旋方向的能力，这将极大的影响纳米级存 储器、量子计算机和自旋电子器件的未来 发展。 • 萨瓦· 拉（美国俄亥俄大学） • 安德烈· 库柏兹卡（德国汉堡大学）
ˆ) ˆ ˆ F F (r , p
而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状 态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。 与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算符描写，记为 自旋角动 量 与轨道 角动量的 异同点
与坐标、动量无关
ˆ S ˆ rp
不适用
（二）光谱线精细结构
钠原子光谱中的一条亮 黄线 5893Å，用高分辨 率的光谱仪观测，可以看到该 谱线其实是由靠的很近的两条 谱线组成。 其他原子光谱中也可以发 现这种谱线由更细的一些线组 成的现象，称之为光谱线的精 细结构。该现象只有考虑了电 子的自旋才能得到解释
3p
58 93 Å
3p3/2 D1