高中数学校本课程(整理)

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竞赛讲座一 函数的性质

第一讲 函数的单调性

一.学习目标

会判断较复杂的函数的单调区间,能利用函数的单调性解决最值问题及解不等式、解方程。

二.知识要点

单调性的定义,复合函数的单调性,抽象函数的单调性

三.例题讲解

例1.已知⎩⎨⎧>≤+-=1)(x

log )1( 4)13()(x x a x a x f a 是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是 (A )(0,1)

(B )1(0,)3 (C )11[,)73

(D )1[,1)7 【答案】C

【解析】由题意知)1(log )(>=x x x f a 在),1(+∞上为减函数,所以10<

)1(4)13()(<+-=x a x a x f 在)1,(-∞上为减函数,所以013<-a ②,且当1=x 时,1log 41)13(a a a ≥-⨯- ③,由①②③得答案为C.

例2 已知函数x x x f -+=

1)(,判断该函数在区间[),0∞+上的单调性,并说明理由.

【讲解】用定义判断。 设0≤1x <2x ,)()(21x f x f -=11+x −1x −12+x +2x

=11212

1+++-x x x x +1

212x x x x +- =(1x −2x )(11121+++x x −1

21x x +) ∵1121+++x x >12x x +>0,∴11121+++x x <1

21x x + 又∵1x <2x ∴(1x −2x )(11121+++x x −1

21x x +)>0 ∴)()(21x f x f > ∴该函数在区间[),0∞+上的单调递增。

例3. 已知f ( x )=-x 2 + 2x + 8,g ( x ) = f ( 2-x 2 ),求g ( x )的单调增区间.

【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题,所以应“分层剥离”为两个函数

t =-x 2+2 ① y = f ( t ) =-t 2 + 2t + 8 ②

对于②f ( t ) =2)1(--t +9,可知当)1,(-∞∈t 时是增函数,当),1(+∞∈t 时是减函数。

对于①由t =-x 2+2>1得11<<-x ,当)0,1(-∈x 时是增函数,当)1,0(∈x 时是减函数。

由t =-x 2+2<1得1>x 或1-

例 4. 已知函数a y x x =+有如下性质:如果常数0a >

,那么该函数在(

上是减函数,在

)+∞上是增函数。 (1)如果函数2(0)b

y x x x

=+>在(]0,4上是减函数,在[)4,+∞上是增函数,求b 的值。 (2)设常数[]1,4c ∈,求函数()(12)c f x x x x

=+≤≤的最大值和最小值; (3)当n 是正整数时,研究函数()(0)n n

c g x x c x =+

>的单调性,并说明理由。 【讲解】: (1) 由已知得b 2=4, ∴b=4. (2) ∵c ∈[1,4], ∴c ∈[1,2],

于是,当x=c 时, 函数f(x)=x+

x c 取得最小值2c . f(1)-f(2)=2

2-c , 当1≤c ≤2时, 函数f(x)的最大值是f(2)=2+

2c ; 当2≤c ≤4时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.

(3)设0

1121122n n n n n n n n x x c x x x c x x c x --=--+. 当n c 2g(x 1), 函数g(x)在[n c 2,+∞)上是增函数; 当0g(x 1), 函数g(x)在(0,

n c 2]上是减函数.

当n 是奇数时,g(x)是奇函数, 函数g(x) 在(-∞,-n a 2]上是增函数, 在[-n a 2,0)上是减函数.

当n 是偶数时, g(x)是偶函数,

函数g(x)在(-∞,-n a 2)上是减函数, 在[-n a 2,0]上是增函数.

例5 设x , y ∈R ,且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=-+-1

)1(1997)1(1)1(1997)1(33y y x x ,求x +y . 【讲解】 设f (t )=t 3+1997t ,先证f (t )在(-∞,+∞)上递增。事实上,若a

f (b )-f (a )=b 3-a 3+1997(b -a )=(b -a )(b 2+ba +a 2+1997)>0,所以f (t )递增。

由题设f (x -1)=-1=f (1-y ),所以x -1=1-y ,所以x +y =2.

例6. 已知函数()y f x =的定义域为R ,且对任意12,x x ∈R 都有1212()()()f x x f x f x +=+,当0x >时,()0f x <,(1)f a =,试判断在区间[-3,3]上()f x 是否有最大值或最小值,若有,求出其最大值或最小值,若没有,说明理由.

【讲解】: 设12,x x ∈R 且12x x <,则210x x ->,所以21()0f x x -<.

∴212111()()[()]()f x f x f x x x f x -=-+-=2111()()()f x x f x f x -+-

=21()0f x x -<. ∴21()()f x f x <

所以()f x 在R 上为减函数,在[-3,3]上,max min (3),(3)y f y f =-=.