数字信号处理试卷解析

重庆大学《数字信号处理》课程期中试卷

2012 ~2013学年 第 一 学期

开课学院： 光电工程学院

考试日期： 2012.10

考试方式：

考试时间： 45 分钟

1．什么是数字信号，数字信号处理有什么优点？

答：数字信号就是幅值量化的离散时间信号；数字信号处理具有处理精度高、可靠性强、灵活性好和易于大规模集成等优点。

2．什么是离散的因果稳定系统？

答：系统的稳定性是指任意一个有界的输入，其对应的输出都是有界的。

系统的因果性是指当前时刻的输出()y n 只与当前时刻的输入()x n 以及过去时刻的输入()1x n -，()2x n -，……和输出()1y n -，()2y n -，……有关，而与未来时刻的输入()1x n +，()2x n +，……和输出()1y n +，()2y n +，……无关。

3．线性非时变系统的频率响应的物理意义是什么？ 答：线性时不变系统的频率响应特性()j H e ω

的物理意义是它决定了系统对正弦信号传

输的能力以及对正弦信号的稳态响应能力。

4．简述线性非时变系统因果稳定性与其单位取样响应()n h 和传递函数()z H 的关系？ 答：一个线性移不变系统稳定性的时域判据为：

()n S h n ∞

=-∞

=

<+∞∑；

一个线性移不变系统具有因果性的时域判据为：

()0h n =，0n <

既稳定又因果的系统其()z H 的收敛域为z r >（1r <），即系统函数()z H 的全部极点必落在单位圆之内。 二、计算题（20分）

计算()n x 1和()n x 2的线性卷积，其中

()()n x n x 21==⎩⎨⎧-≤≤ 其他

,,

0101N n

解：121

2

()()()()()m y n x n x n x m x n m +∞

=-∞

=*=

-∑

分情况讨论：

①0()0n y n <≥=或n 2N-1时， （6分） ②01()1n N y n n ≤≤-=+时， （7分） ③121()21N n N y n N n -<<-=--时， （7分）

三、判断分析题（30分） 指出系统()[]()∑==

n

k k x n x T 0

是否为稳定、因果、线性和非时变系统，并说明理由。

解：①若输入()x n 有界，则对于0k n ≤≤，有()x k M ≤，则()()0

n

k T x n x k n M ==≤⎡⎤⎣⎦∑

有界，所以系统为稳定系统；

②系统()[]()∑==n

k k x n x T 0

的输出只与当前时刻的输入()x n 以及过去时刻的输入

()1x n -，()2x n -，……和输出()1y n -，()2y n -，……有关，而与未来时刻的输入()1x n +，()2x n +，……和输出()1y n +，()2y n +，……无关，所以系统为因果系统；

③设()()110

n

k T x n x k ==⎡⎤⎣⎦∑，()()220

n

k T x n x k ==⎡⎤⎣⎦∑

则()()()()12120

n n

k k aT x n bT x n a x k b x k ==+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑

()()()()12120

n

k ax k bx k T ax n bx n ==+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑

所以系统为线性系统；

○4设()()()0

n k y n T x n x k ===⎡⎤⎣⎦∑，则()()000

n n k y n n x k -=-=

∑

设()10()x n x n n =-，则()()()()1100

n

k y n T x n T x n n x k n ===-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑

()()00T x n n y n n -≠-⎡⎤⎣⎦，所以系统为时变系统；

四、已知一个线性非时变因果系统，用差分方程描述如下：（30分）

()()()()121-+-+-=n x n y n y n y

（1） 求系统的传递函数()z H ，指出其收敛域，并画出零极点图。（12分） （2） 利用()z H 的极零点分布粗略画出系统的幅频响应曲线()

ωj e H 。（6分） （3） 求系统的单位取样响应。（12分）

解：(1) ()()()()121-+-+-=n x n y n y n y

对方程两边同时取Z 变换得: 121()()()()Y z z Y z z Y z z X z ---=++ 则有 12()1()()11

Y z z

H z X z z z z z -=

==-+--- 则()H z 有两个极点

:112p z =

, 212

p z =.一个零点：0o z =

因为系统是因果系统，所以收敛域为：12

z +>

(2)

由差分方程得：2()()()1Y z z H z X z z z =

==

--⎝⎭⎝⎭

所以系统的幅频响应曲线()

ωj e H 为：

(3) 由差分方程得：

1

212

11 ()55 ()

22

()1111

Y z z z

H z

X z z z z z z z

-

--

--====-

----

所以系统的频率响应特性是：

(

)()

()

n n

h n u n u n

⎫

⎪

=-

⎪

⎝⎭⎝⎭

⎝⎭