锐角三角函数的应用
锐角三角函数有哪些实际应用场景
锐角三角函数有哪些实际应用场景锐角三角函数在咱们的日常生活中那可是有着超级多的实际应用场景呢，简直无处不在！先来说说建筑领域吧。
你知道吗，建筑工人在盖房子的时候，可离不开锐角三角函数的知识。
比如说，要建造一个有特定倾斜角度的屋顶，这就需要计算出屋顶的角度以及所需材料的长度和数量。
想象一下，工人们站在高高的脚手架上，拿着测量工具，认真地计算着角度和长度。
他们的眼神专注，手中的工具就像是神奇的魔法棒，通过锐角三角函数，把一堆堆的建筑材料变成了坚固又美观的房子。
再讲讲导航和地图。
当我们使用手机导航去一个陌生的地方时，导航软件会根据我们的位置和目的地，计算出最佳的路线。
这背后可就有锐角三角函数的功劳啦！它帮助确定我们与目的地之间的直线距离和实际行走的路程。
就像有一次我自己出门旅行，在一个完全陌生的城市里，靠着导航找到了一家特别棒的小吃店。
那个时候我就在想，要是没有这些数学知识的支撑，我可能还在街头瞎转悠，找不到美食的方向呢。
还有测量山峰的高度。
测量人员没办法直接爬到山顶去测量，那怎么办呢？这时候就轮到锐角三角函数登场啦！他们在山脚下选好测量点，测量出观测点与山顶的角度，再结合测量点与山底的距离，就能算出山峰的高度。
这就像是解开了一个神秘的谜题，让人充满了成就感。
在航海中，锐角三角函数也发挥着重要作用。
船员们需要根据星星的位置和角度来确定船只的方向和位置。
想象一下，在浩瀚的大海上，满天繁星闪烁，船员们依靠着锐角三角函数的知识，勇敢地驶向目的地，是不是特别酷？在日常生活中，我们装修房子的时候，如果想要在墙上挂一幅画，而且要保证画是水平的，那就得用到锐角三角函数来测量和计算。
又比如，我们要搭建一个秋千，要确定秋千的绳子长度和角度，让秋千荡起来既安全又有趣，这也需要锐角三角函数的帮忙。
甚至在体育比赛中也有它的身影。
比如滑雪运动员在从山坡上滑下来的时候，他们需要根据山坡的角度和自己的速度来调整姿势和控制方向，以确保安全和取得好成绩。
锐角三角函数及应用
锐角三角函数及应用
锐角三角函数是指在直角三角形中，角度小于90度的三角函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
正弦函数是指一个角的对边与斜边的比值，即sinθ=对边/斜边。
在三角函数中，正弦函数是最基本的函数之一，它在三角形的计算中有着重要的作用。
例如，在测量高度时，可以利用正弦函数计算出物体的高度。
余弦函数是指一个角的邻边与斜边的比值，即cosθ=邻边/斜边。
余弦函数也是三角函数中的基本函数之一，它在计算角度时有着重要的作用。
例如，在计算机图形学中，可以利用余弦函数计算出两个向量之间的夹角。
正切函数是指一个角的对边与邻边的比值，即tanθ=对边/邻边。
正切函数在三角形的计算中也有着重要的作用。
例如，在测量斜率时，可以利用正切函数计算出斜率的大小。
除了在三角形的计算中，锐角三角函数还有着广泛的应用。
在物理学中，正弦函数和余弦函数可以用来描述波的运动，例如声波和光波。
在工程学中，正弦函数和余弦函数可以用来描述交流电的变化，例如电压和电流的变化。
在计算机科学中，正切函数可以用来计算图像的旋转和缩放。
锐角三角函数是数学中的重要概念，它们在各个领域中都有着广泛的应用。
掌握锐角三角函数的概念和应用，对于学习数学、物理、工程和计算机科学等领域都有着重要的意义。
锐角三角函数应用.pptx
变式2：
若例题中，点C处的仰角为α度，从C点向塔底B走m米到达D 点，点D处的仰角为β度，则塔AB的高h为多少米？（用α，β， m来表示）
h
m tanα tanβ tanβ- tanα
变式3：
若变式2中，C,D分别位于塔AB的两侧，其他条件不变， 则塔AB的高h为多少米？（用α，β，m来表示）
二.走进生活
三.例题讲解
例：如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出塔顶的仰角为30º， 从C点向塔底B走100米到达D点，测出塔顶的仰角为45º，则塔AB的 高为多少米？（结果保留根号）
举一反三：
变式1： 若例题中，C,D分别位于塔AB的两侧，其他条件不变，则 塔AB的高为多少米？（结果保留根号）
h
m tanα tanβ tanβ tanα
四.思维发散
思考: 如图，一架飞机在高度为n千米的点A时，测得前方山顶D
的俯角为α度，水平向前飞行m千米到达点B时，又测得山 顶D的俯角为β度．则这座山的高度DN为多少千米？
分析:可先求CD，方法与求变式2中塔高的方法一样
CD mtatnaβ nα - tatnaα nβ. 则DN n - mtatnaβnα- tatnaα nβ.
一.复习回顾
1.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，
5
A= 13 ，tan B= 5 。
2.如图所示，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，CD⊥AB，且 CD=1，则AB= 3 1。
3.热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角（视 线在水平线上方）为30°,看这栋高楼底部的俯角（视线在水 平线下方）为60°,热气球与高楼的水平距离AD为120m,这栋 高楼高度为 160 3 m 。（结果保留根号）
锐角三角形函数及应用
锐角三角形函数及应用锐角三角形是指三个内角都小于90的三角形。
在锐角三角形中，我们可以应用一些函数来求解各种问题。
以下是一些锐角三角形函数及其应用的例子：1. 正弦函数：在锐角三角形ABC中，以角A为锐角，边BC为斜边，则正弦函数可以定义为sin A = BC / AC。
我们可以利用正弦函数来求解各种问题，如求解角度、边长等。
例如，已知角度A和边长BC，可以通过sin A = BC / AC来求解边长AC。
2. 余弦函数：在锐角三角形ABC中，以角A为锐角，边BC为斜边，则余弦函数可以定义为cos A = AC / BC。
我们可以利用余弦函数来求解各种问题，如求解角度、边长等。
例如，已知角度A和边长AC，可以通过cos A = AC / BC来求解边长BC。
3. 正切函数：在锐角三角形ABC中，以角A为锐角，边BC为斜边，则正切函数可以定义为tan A = BC / AC。
我们可以利用正切函数来求解各种问题，如求解角度、边长等。
例如，已知角度A和边长BC，可以通过tan A = BC / AC来求解边长AC。
4. 余切函数：在锐角三角形ABC中，以角A为锐角，边BC为斜边，则余切函数可以定义为cot A = AC / BC。
我们可以利用余切函数来求解各种问题，如求解角度、边长等。
例如，已知角度A和边长AC，可以通过cot A = AC / BC来求解边长BC。
通过这些函数，我们可以在求解锐角三角形问题时进行角度和边长之间的转换。
例如，已知一个锐角三角形的两边和一个角度，我们可以利用正弦、余弦、正切函数来求解其余的角度和边长。
此外，锐角三角形函数还可以应用于实际生活中的一些问题。
例如，在建筑设计中，我们需要计算一座斜塔的高度。
我们可以通过测量角度和斜塔与地面的距离，利用正切函数来求解其高度。
同样，在地理测量中，我们可以利用正弦、余弦、正切函数来计算两地之间的距离和方位角。
总之，锐角三角形函数是求解锐角三角形问题的重要工具，其应用广泛且实用。
初中锐角三角函数及应用
初中锐角三角函数及应用锐角三角函数是指角度小于90度的三角函数，包括正弦、余弦和正切。
这些函数在数学和物理学中有着广泛的应用。
首先，我们来介绍一下锐角三角函数的定义和性质。
在一个直角坐标系中，对于一个锐角ABC（角A小于90度）, 我们可以定义正弦函数sinA 为点B的纵坐标除以斜边AC的长度，余弦函数cosA 为点B的横坐标除以斜边AC的长度，正切函数tanA 为点B的纵坐标除以横坐标。
其中，sinA、cosA和tanA都是角A的函数。
这些函数有许多重要的性质。
首先，它们的定义域都是锐角的正数集合，即(0,90)。
其次，它们的值域都是(-1,1)，即在定义域内，这些函数的值都在-1到1之间变化。
此外，正弦函数和余弦函数还具有周期性，周期为360度或2π弧度。
也就是说，对于一个锐角A，sin(A+360k) = sinA，cos(A+360k) = cosA，其中k 为整数。
在应用方面，锐角三角函数有着广泛的作用。
首先，它们被广泛应用于三角计算。
例如，我们可以利用正弦定理或余弦定理，通过已知边和角来求解三角形的其他未知边和角。
这在测量、建筑、工程等领域都有着重要的应用。
其次，锐角三角函数在物理学中也有着重要的应用。
例如，对于一个斜抛运动的物体，我们可以利用正弦函数和余弦函数来分析其垂直和水平方向上的运动。
它们可以帮助我们计算物体的落点、飞行时间、最大高度等。
另外，锐角三角函数还与周期函数和图像有着密切的关系。
它们的图像可以通过函数的周期性来得到。
例如，正弦函数的图像是一个周期为2π的曲线，具有对称性和单调性，而余弦函数的图像是一个周期为2π的曲线，也具有对称性和反单调性。
此外，锐角三角函数还与三角恒等式有着重要的联系。
三角恒等式是指对于锐角A和B，成立的恒等关系。
利用三角恒等式，我们可以化简复杂的三角函数表达式，简化计算过程。
总的来说，锐角三角函数是数学中一类重要的函数，具有广泛的应用。
它们不仅在三角计算和几何题目中有着重要作用，还与物理学、周期函数和三角恒等式等有着紧密的联系。
锐角三角函数的简单运用
锐角三角函数的计算方法包括直接计算、利用三角恒等式化简、利用同角关系式化简等。 掌握这些计算方法是解决三角函数问题的基本技能。
对未来学习锐角三角函数的建议
01
深入理解概念
在学习锐角三角函数的过程中，要深入理解其概念，掌握其性质和定理，
这样才能更好地运用它们解决实际问题。
02 03
利用三角函数求长度
在直角三角形中，已知角度和一边长度，可以利用正弦、余弦、正切等三角函数 求出另一边的长度。
利用三角函Байду номын сангаас求距离
在平面几何问题中，可以利用三角函数求两点之间的距离，或者点到直线的距离 。
判断三角形形状问题
利用三角函数判断三角形形状
通过比较三角形的三个内角的三角函数值，可以判断三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角 形。
正弦函数的性质
01
02
03
定义域
正弦函数在第一象限和第 二象限有定义，即角度范 围在0到180度之间。
值域
正弦函数的值域为[-1,1]， 表示角度的正弦值永远不 会超过1或小于-1。
单调性
正弦函数在第一象限和第 二象限内是单调递增的， 随着角度的增加，正弦值 也会增加。
余弦函数的性质
定义域
余弦函数在第一象限和第 四象限有定义，即角度范 围在0到180度之间。
锐角三角函数的 简单运用
目录
• 引言 • 锐角三角函数的性质 • 锐角三角函数的计算方法 • 锐角三角函数在几何问题中的应
用 • 锐角三角函数在实际问题中的应
用 • 总结与展望
01
引言
锐角三角函数的定义
锐角三角函数是三角函数中的一种， 主要研究锐角的角度与其边长之间的 关系。常见的锐角三角函数有正弦、 余弦和正切。
锐角三角函数及应用经典例题
锐角三角函数及应用经典例题锐角三角函数是指在单位圆上，从原点出发，与 x 轴正半轴之间的夹角小于90° 的角的三角函数。
其中包括正弦函数sinα、余弦函数cosα、正切函数tanα，以及它们的倒数函数cscα、secα、cotα。
锐角三角函数在数学中有广泛的应用，尤其在几何、物理以及工程学中涉及到角度测量、距离计算等方面经常用到。
下面我们来看一些经典的例题，以加深对锐角三角函数的理解：例题1：已知在锐角 ABC 中，边长 BC = 5, AC = 13、求角 A 的正弦值 sinA、余弦值 cosA 和正切值 tanA。
解答：由于边长BC=5,AC=13，我们可以根据勾股定理求得边长AB=√(AC^2-BC^2)=12角 A 的正弦值 sinA = BC / AC = 5 / 13，余弦值 cosA = AB / AC = 12 / 13，正切值 tanA = BC / AB = 5 / 12例题2：已知在锐角 ABC 中，角B = 35°，边长 BC = 8、求角 A 的正弦值 sinA、余弦值 cosA 和正切值 tanA。
解答：由于已知角B = 35°，边长 BC = 8，我们可以根据正弦函数的定义求得角 A 的正弦值为 sinA = BC / AC。
由于 sinA = BC / AC，我们可以得到 AC = BC / sinA = 8 /sin(180° - A - B)。
根据余弦定理，可以计算出边长AC = √(AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cosB)。
代入已知的B = 55° 和 BC = 8，我们可以求得AC = √(AB^2 +8^2 - 2 * AB * 8 * cos35°)。
我们可以进一步根据余弦函数的定义计算 AB 的值，即 cosA = AB / AC，所以 AB = AC * cosA。
锐角三角函数及应用
锐角三角函数1. 锐角三角函数的定义：如图所示：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边。
（1）∠A 的正弦：sinA ＝a cA ∠的对边＝斜边； （2）∠A 的余弦：b cA ∠的邻边＝斜边； （3）∠A 的正切：a bA A ∠∠的对边＝的邻边； （4）∠A 的余切：A b A a ∠∠的邻边＝的对边 （是正切的倒数）。
2.30°，45°，60°角的三角函数值：1sin 302︒=，2sin 452︒=，3sin 602︒=； 3cos302︒=，2cos 452︒=，1cos 602︒=； 3tan 303︒=，tan 451︒=，tan 603︒=。
例题1：求下列各式的值：（1）22cos 60sin 60︒+︒ （2）cos 45tan 45sin 45︒-︒︒3.锐角三角函数之间的关系：（1）平方的关系：22sin cos 1A A +=；（2）商的关系： sin tan cos A A A=; （3）互余两角的三角函数关系：sin(90)cos A A ︒-=，cos(90)sin A A ︒-=。
注意：锐角的正弦和正切值随着角度的增大而增大；锐角的余弦值随着角度的增大而减小；对于锐角A 有0sin 1,0cos 1,tan 0,A A A <<<<>且他们都没有单位。
4.直角三角形的有关性质及判定：（1）直角三角形的性质：①直角三角形两个锐角互余；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③在直角三角形中，如果有一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半；④在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的锐角等于30︒；⑤在直角三角形中，两条直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222a b c +=；⑥1122Rt S ch ab ==（h 为斜边上的高），外接圆半径R ＝2c ＝斜边上的中线，内切圆半径r ＝2a b c +-。
锐角三角函数的简单应用课件
在建筑施工过程中，锐角三角函数可 以用于测量角度、高度等参数，以确 保施工的准确性和安全性。
航海问题
航向计算
在航海中，锐角三角函数可以用于计算船只的航向、风向等参数，以确保航行 的安全和准确。
距离计算
通过锐角三角函数，可以计算出船只之间的距离，以及船只与目的地之间的距 离。
物理问题
力的合成与分解
tan(60°)=√3
02
锐角三角函数的应用场景
测量问题
计算角度
在测量问题中，锐角三角函数可 以用于计算角度，例如在测量地 形、建筑物的角度等。
距离测量
通过锐角三角函数，可以计算出 两点之间的距离，例如在地图测 量、卫星定位等领域。
建筑问题
结构设计
在建筑设计过程中，锐角三角函数可 以用于计算建筑物的角度、高度等参 数，以确保建筑物的稳定性和美观性 。
设计斜坡的长度
总结词
利用三角函数优化斜坡长度
详细描述
在设计斜坡时，我们可以利用三角函数来优化斜坡的长度。首先，确定斜坡的角度和起点、终点的位 置，然后利用三角函数计算斜坡的长度。这样可以确保斜坡的长度符合设计要求，并且能够满足车辆 和行人的通行需求。
计算太阳的角度
总结词
利用三角函数确定太阳位置
VS
角度，值域为R。
特殊角的三角函数值
0°
sin(0°)=0，cos(0°)=1 ，tan(0°)=0
30°
sin(30°)=1/2， cos(30°)=√3/2，
tan(30°)=1/√3
45°
sin(45°)=cos(45°)=√2/ 2，tan(45°)=1
60°
sin(60°)=√3/2， cos(60°)=1/2，
初中数学教学课例《锐角三角函数应用》教学设计及总结反思
学科
初中数学
教学课例名 《锐角三角函数应用》
称
三角函数是初中数学最难的知识，也是中考数学必考
教材分析 的基础知识。在这里呢，我们学大教育专家为同学们带来
了，初中数学锐角三角函数教学案例分析整理。
知识与技能目标：
1、通过复习使学生将有关锐角三角函数基础知识条
知识．进一步体会三角函数在解决实际问题中的作用，从
而发展数学的应用意识和解决问题的能力.
教学策略选 通过本节课的复习，使学生进一步体会知识之间的相
择与设计 互联系，能够很好地运用知识．通过复习锐角三角函数，
进一步体会它在解决实际问题中的作用．充分发挥学生的 积极性，让学生从实际运用中得到锻炼和发展．
的，兴趣也比较容易转移，因此，越是生动形象的语言， 越是宽松活泼的气氛，越容易被他们接受。如何找到适合 自己适合学生的教学风格？或严谨有序，或生动活泼，或 诙谐幽默，或诗情画意，或春风细雨润物细无声，或激情 飞扬，每一种都是教学魅生的角度上思考问题，设 计好教学的每一个细节，上课前多揣摩。让学生更多地参 与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成 功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，让学生做 课堂这个小小舞台的主角。而我将尽我最大可能在课堂上 投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活， 充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结 得失，不断进步。只有这样，才能真正提高课堂教学效率。
3、解直角三角形： 由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的过 程，叫做解直角三角形。 4、特殊角的三角函数值 三角函数 锐角 AsinAcosAtanA 30° 45° 60° 5、锐角三角函数值的变化： （1）当 A 为锐角时,各三角函数值均为正数,且 0＜ sinA＜1；0＜cosA＜1。 （2）当 A 为锐角时，sinA、tanA 随角度的增大而增 大，cosA 随角度的增大而减小. 例题解析 例 1：在⊿ABC 中，AD 是 BC 边上的高，E 是 AC 的中 点，BC=14，AD=12，sinB=0.8，求 DC 及 tan∠CDE。 解题反思：通过本题让学生明白： 1、必须在直角三角形中求锐角的三角函数； 2、等角代换间接求解. 课例研究综 （1）还要多下点工夫在如何调动课堂气氛，使语言 述 和教态更加生动上。初中学生的注意力还是比较容易分散
锐角三角函数的应用举例
03 锐角三角函数在物理问题 中应用
力学中角度与力关系问题
斜面问题
在斜面问题中，锐角三角函数可以用 来描述物体在斜面上的重力分量、摩 擦力等，从而解决物体在斜面上的运 动问题。
矢量合成与分解
在力学中，锐角三角函数可以用来进 行矢量的合成与分解，例如求解两个 力的合力或分力。
运动学中速度与加速度关系问题
运动轨迹计算
研究星体的运动轨迹是天文学的重要任务之一。利用锐角三角函数和相关物理原理，可 以计算出星体的运动速度、方向以及轨迹形状等信息，有助于深入了解宇宙的运行规律
和星体的性质。
06 总结与展望
回顾本次课程重点内容
锐角三角函数的基本概念
本次课程详细讲解了锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、 性质以及基本关系式，为后续应用打下了坚实基础。
锐角三角函数的应用举例
目 录
• 锐角三角函数基本概念 • 锐角三角函数在几何问题中应用 • 锐角三角函数在物理问题中应用 • 锐角三角函数在优化问题中应用 • 锐角三角函数在实际问题中应用举例 • 总结与展望
01 锐角三角函数基本概念
锐角三角函数定义
正弦函数（sine）
在直角三角形中，锐角的正弦值等于对边长 度除以斜边长度。
已知两边和夹角求第三边
利用余弦定理或正弦定理可以求出第三边。
面积与体积计算问题
三角形面积计算
已知三角形的两边和夹角，可以利用正弦定理求出面 积。
多边形面积计算
将多边形划分为多个三角形，分别求出每个三角形的 面积后相加。
立体几何体积计算
在立体几何中，锐角三角函数可以用于计算一些特殊 几何体的体积，如圆锥、式进行求解，避 免了计算二阶导数的复杂性。
05 锐角三角函数在实际问题 中应用举例
锐角三角函数的实际应用
锐角三角函数的实际应用一、仰角、俯角问题例1. 某数学课外活动小组利用课余时间，测量了安装在一幢楼房顶部的公益广告牌的高度．如图，矩形CDEF 为公益广告牌，CD为公益广告牌的高，DM为楼房的高，且C、D、M三点共线．在楼房的侧面A处，测得点C与点D的仰角分别为45°和37.3°，BM＝15米．根据以上测得的相关数据，求这个广告牌的高(CD的长)．(结果精确到0.1米，参考数据：sin37.3°≈0.6060，cos37.3°≈0.7955，tan37.3°≈0.7618)例2.如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面成57.5°角，在离电线杆6米处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5米，求拉线CE的长．(结果精确到0.01米，参考数据：sin57.5°≈0.843，cos57.5°≈0.537，tan57.5°≈1.570，3≈1.732，2≈1.414)二、坡度、坡角问题例3. 如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE＝20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度．(结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)例4. 如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB，BC表示连接缆车站的钢缆，已知A，B，C 三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米，310米，710米，钢缆AB的坡度i1＝1∶2，钢缆BC的坡度i2＝1∶1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)三、测量问题例5、为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥．建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB与MN之间的距离)．在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB＝30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA＝60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73；结果保留整数)例6、如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN、DM、CB为三根垂直于A B的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于F，∠CDF＝45°.求DM和BC的水平距离BM的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)四、方向角问题例7：某海域有A、B两个港口，B港口在A港口北偏西30°的方向上，距A港口60海里．有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处．求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号)．例8：如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M）位于海滨城市（记作点A）的南偏西15°，距离为612千米，且位于临海市（记作点B）正西方向603千米处．台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭．（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由．（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？巩固练习：1、如图，线段AB，CD表示甲、乙两幢居民楼的高，两楼间的距离BD是60米．某人站在A处测得C点的俯角为37°，D点的俯角为48°(人的身高忽略不计)，求乙楼的高度CD.(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin48°≈710，tan48°≈1110)2. 张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30°角(即∠MAN＝30°)，在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得树顶端点C的仰角为60°(图中各点均在同一平面内)，求这棵大树CD的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732)3.如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD.(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)4、如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:3，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．5、如图，某军港有一雷达站，军舰停泊在雷达站的南偏东方向36海里处，另一艘军舰位于军舰的正西方向，与雷达站相距海里．求：（1）军舰在雷达站的什么方向？（2）两军舰的距离．（结果保留根号）6、（某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A的仰角为45°。
第二十八章《锐角三角函数》教材分析(教案)
1.教学重点
（1）锐角三角函数的定义：正弦、余弦、正切的定义及其在直角三角形中的应用是本节课的核心内容。重点讲解三个函数的概念，使学生理解并掌握其在直角三角形中的表示方法。
举例：在直角三角形中，当锐角A的对边为a，邻边为b，斜边为c时，正弦（sin）为a/c，余弦（cos）为b/c，正切（tan）为a/b。
针对以上教学难点，教师应采取以下措施：
1.通过直观的图形演示，帮助学生理解锐角三角函数的互化关系。
2.结合实际案例，引导学生学会将现实问题抽象为数学模型，并运用锐角三角函数求解。
3.开展跨学科教学活动，让学生在实际情境中体会数学知识的应用，提高跨学科综合应用能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
第二十八章《锐角三角函数》教材分析（教案）
一、教学内容
第二十八章《锐角三角函数》教材分析（教案）：
本章节内容依据人教版八年级数学教材，主要包括以下部分：
1.锐角三角函数的定义：正弦、余弦、正切的定义及其在直角三角形中的应用。
2.锐角三角函数的图像与性质：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质。
3.锐角三角函数的简单应用：利用锐角三角函数解决直角三角形中的实际问题，如测量物体的高度等。
同学们，今天我们将要学习的是《锐角三角函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量物体高度或距离的情况？”（如测量旗杆的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索锐角三角函数的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
五、教学反思
在本次《锐角三角函数》的教学过程中，我注意到了几个值得反思的方面。首先，学生在理解锐角三角函数定义时，普遍感到概念较为抽象。为此，我通过引入生活实例，如测量物体高度等，帮助学生将抽象的数学概念与具体实际相结合，降低理解难度。但在这一过程中，我也发现部分学生对实际问题的提炼和数学化处理能力较弱，需要在今后的教学中加强这方面的训练。
锐角三角函数及其应用
锐角三角函数的实际应用中的常见概念(1)铅垂线：重力线方向的直线；(2)水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线；(3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角；(4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角；(5)坡角：坡面与水平面的夹角；(6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h 表示坡的铅直高度，用l 表示坡的水平宽度，用i 表示坡度，即αtan ==lh i ，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡；(7)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角．注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东.1.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．2.如图，AD是△ABC的中线，tanB＝13，cosC＝22，AC＝ 2.求：(1)BC的长；(2)sin∠ADC的值．1.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）A. B. C. D.2.如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC值为3.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝3m，坝高AE＝DF＝6m，坡角α＝45°，β＝30°，求BC的长．1.已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=2.四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，AD=13，求线段CD长.12月31日作业1.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=．2.已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于．3.如图，已知，在△ABC中，AB＝AC＝25，sinB＝255，D为边BC的中点，E为边BC的延长线上一点，且CE＝BC.连接AE，F为线段AE的中点．求：(1)线段DE的长；(2)∠CAE的正切值．。
第七章 锐角三角函数的简单应用(3)
苏科版九年级上 盐中网校第9课时 锐角三角函数的简单应用（3）班级 学号 姓名[学习目标]1、能把实际问题转化为数学（三角函数）问题，从而用三角函数的知识解决问题．2、坡度＝斜坡的水平距离斜坡的垂直高度，一般地，我们将坡度i 写成1:m 的形式．坡度i 与坡角α之间的关系为：i ＝tan α． [学习过程]问题1、 如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6m ，测得斜坡的倾斜角是30°，求斜坡上相邻两树的坡面距离．问题2、同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD 的坡度i=1∶2.5，求坝底宽AD 和斜坡AB 的长(精确到0.1m)．问题3、某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC ∥AD ，斜坡AB 长22m ，坡角∠BAD=600，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过450时，可确保山体不滑坡．(1)求改造前坡顶与地面的距离BE 的长；(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A 不动， 坡顶B 沿BC 削进到F 点处，问BF 至少是多少米？问题4、一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形. 现需将其整修并进行美化，方案如下：① 将背水坡AB 的坡度由1∶0.75改为1用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花 .⑴ 求整修后背水坡面的面积；⑵ 如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元， 那么种植花草至少需要多少元？问题5、 如图，城市规划期间，要拆除一电线杆AB ，已知距电线杆水平距离14米的D 处有一大坝，背水坡的坡度i ＝1: 0.5，坝高CF 为2米，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽为2米的人行道．请问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域)。
锐角三角函数在军 事情报分析中的应用有哪些
锐角三角函数在军事情报分析中的应用有哪些锐角三角函数这玩意儿，在咱们平常的数学学习里可能会让一些同学感到头疼，但你要是知道它在军事情报分析中的神奇应用，说不定会对它刮目相看！先来说说什么是锐角三角函数。
简单来讲，就是在一个直角三角形中，角的正弦、余弦、正切这些比值关系。
可别小瞧了这些比值，在军事情报分析里，那可是能发挥大作用的。
比如说，在侦察敌方阵地的时候，咱们的侦察兵通过望远镜观察到了敌方一个碉堡的位置和角度。
这时候锐角三角函数就派上用场啦！假设侦察兵观察到碉堡顶部与底部形成的仰角是一个锐角，通过测量自己与碉堡的距离，再利用三角函数，就能大致算出碉堡的高度。
这对于制定攻击计划，可太重要了！要是不知道碉堡多高，炮弹都不知道该打多远呢。
我给你讲个真实的事儿吧。
有一次，我方在执行一项重要的侦察任务。
侦察小组发现了敌方的一处隐藏火炮阵地，但由于敌方隐藏得很好，无法直接测量其关键数据。
这可急坏了大家。
就在这时，一位数学特别好的侦察兵想到了锐角三角函数。
他迅速找到几个合适的观测点，测量出相应的角度和距离。
经过一番紧张的计算，终于算出了敌方火炮阵地的大致位置和规模。
根据这些情报，我方成功制定了作战计划，打了敌人一个措手不及。
再比如，在分析敌方舰艇的运动轨迹时，我们也能用到锐角三角函数。
通过雷达监测到舰艇与我方观测点的角度变化，以及舰艇在一段时间内角度变化的速率，结合已知的距离信息，就能推测出舰艇的行驶速度和方向。
这就好像我们手里有了一个能预测敌人动向的魔法工具，让我方能够提前做好应对准备。
还有啊，在分析敌方飞机的飞行高度和航线时，锐角三角函数同样能帮上大忙。
通过地面多个观测点获取的飞机仰角和俯角等数据，进行综合计算，就能较为准确地确定飞机的飞行参数。
这对于防空作战来说，意义非凡。
要是没有这些准确的情报，咱们的防空武器可能就像没头的苍蝇，找不到目标啦。
总之，锐角三角函数在军事情报分析中就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开敌人隐藏的秘密之门，为战争的胜利提供有力的支持。
应用锐角三角函数解实际问题
应用锐角三角函数解实际问题锐角三角函数是数学中一个重要的概念，它能够帮助我们解决日常生活中的实际问题。
本文将从四个方面来讨论锐角三角函数在实际问题中的应用。
首先，锐角三角函数可以解决根据两条边求三角形面积的问题。
设有一个三角形ABC，其中AB=2，BC=3，则可以使用锐角三角函数求解这个三角形的面积。
首先，我们需要根据已知条件计算出三角形ABC的内角度数，即α=60°，可以由两条边求出其它边的长度AC=2.5。
然后，我们可以使用锐角三角函数中的S=1/2absinα公式，来求出三角形ABC的面积，即S=1/2*2*3*sin60°=3.464。
其次，锐角三角函数可以解决根据两个内角和外角求三角形面积的问题。
设有一个三角形ABC，其中A=60°，B=30°，C=90°，则可以使用锐角三角函数求解这个三角形的面积。
首先，我们需要根据已知条件计算出三角形ABC的边长，即AB=2，BC=2，可以由两个内角求出外角的长度AC=3。
然后，我们可以使用锐角三角函数中的S=1/2a bsinα公式，来求出三角形ABC的面积，即S=1/2*2*2*sin90°=2.000。
此外，锐角三角函数还可以用来解决求抛物线焦点距离中心点的问题。
假设有一个抛物线y=-1/4x^2，其中x为横坐标，y为纵坐标，则可以使用锐角三角函数求出抛物线的焦点距离中心点的距离为2。
首先，我们需要根据抛物线的模型求出抛物线的焦点坐标(0,1/2)，然后通过三角函数来求出焦点距离中心点的距离，即a=√(0-1/2)^2+(1/2)^2=√2。
最后，锐角三角函数还可以应用于光学中，用来求解折射率等问题。
假设有一个简单的透镜系统，镜片一边入射面和出射面之间有n条光线，可以使用锐角三角函数求出透镜系统的折射率。
这里，我们可以先分别求出入射面和出射面的角度α1、α2，再用反射率的定义，即n1sinα1=n2sinα2，求出折射率n2。
锐角三角函数在日常生活中有哪些用途
锐角三角函数在日常生活中有哪些用途锐角三角函数在日常生活中的用途那可真是不少！咱们先来说说建筑方面。
就拿盖房子来说吧，建筑工人师傅们在搭建脚手架的时候，可就得用到锐角三角函数的知识。
我之前亲眼见过一个建筑工人师傅，他站在地上，拿着测量工具，眼睛专注地盯着上面的架子，嘴里还念念有词。
我好奇凑过去一听，原来他在计算架子与地面形成的角度，用的就是锐角三角函数。
他跟我说，如果角度算不对，这脚手架搭得不稳当，那可就危险啦！再说说装修的时候，要安装一个斜着的窗户。
这时候就得算出窗户与墙面的夹角，才能保证窗户安装得既美观又实用。
工人师傅们会拿着尺子和量角器，在那比划来比划去，其实就是在运用锐角三角函数的原理呢。
还有测量山的高度。
有一次我去爬山，碰到一群搞测量的人。
他们站在山脚下，拿着各种仪器。
其中一个人拿着望远镜看向山顶，另外几个人在本子上记录着数据。
我好奇地问他们在干啥，他们说在测量这座山的高度。
原来他们是通过测量山脚下到山顶的角度，还有他们与山之间的距离，利用锐角三角函数来算出山的高度。
这可真神奇，我当时就在想，这小小的锐角三角函数居然有这么大的本事！在航海中，锐角三角函数也起着重要作用。
船长要确定船只的位置和航向，就得依靠对角度的测量和计算。
比如说，通过测量灯塔与船只的夹角，结合已知的距离，就能准确判断出船只的位置，避免触礁或者迷路。
在日常生活里，如果你想在墙上挂一幅画，要挂得正又好看，也得用到锐角三角函数。
你得先测量画框与墙面的角度，还有画框的长度和高度，这样才能确定钉子应该钉在哪个位置，画才能挂得稳稳当当，不会歪歪斜斜的。
还有啊，比如你想在院子里搭一个滑梯给小朋友玩。
滑梯的坡度太陡，小朋友滑下来速度太快不安全；坡度太缓，又滑得不痛快。
这时候就得通过锐角三角函数来计算出最合适的角度，让小朋友既能玩得开心又能保证安全。
甚至在拍照的时候，有时候为了拍出特别的效果，摄影师也会考虑角度的问题。
通过计算拍摄角度和距离，来达到想要的构图和视觉效果。
【素材3】锐角三角函数之间的关系及其应用
锐角三角函数之间的关系及其应用锐角三角函数在初中阶段只学习三种：正弦、余弦和正切。
同一个锐角的三角函数，它们之间存在着一些关系，并且每一个关系还可以以其他不同的形式出现和使用。
一、利用上述关系求锐角三角函数值 例题1、设α为锐角，已知53sin =α，求αcos 和αtan 的值。
分析：本道题目既可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用它们之间的关系求解。
解：∵α为锐角，∴1cos sin 22=+αα∴54)53(1sin1cos 22=-=-=αα，435453cos sin tan ===ααα。
例题2、设α为锐角，已知43tan =α，求αsin 和αcos 的值。
分析：本道题目应用的公式较多，使用过程中一定要准确。
解：∵43tan =α， ∴43cos sin =αα， ∴ααcos 43sin =。
又∵1cos sin 22=+αα，∴1cos )cos 43(22=+αα，∵α为锐角， ∴54cos =α，∴535443cos 43sin =⨯==αα。
二、利用上述关系求代数式的值例题1、已知α为锐角，已知2tan =α，求ααααsin 5cos 4cos sin 3-+的值。
分析：可以充分利用AAA cos sin tan =这个关系进行计算。
代数式可以有两种变形形式：一是把代数式两边都除以αcos ，变形为ααtan 541tan 3-+；二是根据公式2cos sin =αα，所以ααcos 2sin =，然后代入进行约分即可。
解：第一种方法：分子和分母两边都除以αcos ，得ααααααααααααααααααααtan 541tan 3cos sin 5cos cos 4cos cos cos sin 3cos sin 5cos 4cos cos sin 3sin 5cos 4cos sin 3-+=-+=-+=-+ ∵2tan =α，∴原式=67254123tan 541tan 3-=⨯-+⨯=-+αα。
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