2020年内蒙古包头中考数学试题及答案
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A.主视图改变，左视图改变B.俯视图不变，左视图改变
C.俯视图改变，左视图改变D.主视图不变，左视图不变
7.两组数据：3，a，b，5与a，4， 的平均数都是3．若将这两组数据合并为一组新数据，则这组新数据的众数为（）
A.2B.3C.4D.5
8.如图，在 中， ，D是 的中点， ，交 的延长线于点E．若 ， ，则 的长为（）
∴k=-4，
∴直线DH的解析式为y=2x-4.
解方程组 ，得 ，
∴H（1，-2）.
∵D(2，0)，H(1，-2)，
∴DH= ，
∵M(3，-3)，D（2,0）,
∴DM= ，
∴sin∠DMH= ，
∴∠DMH=45°，
∵∠ACM+∠DMH=∠ADM，
∴ ；
（3）存在点E，
过点G作GP⊥x轴，过点E作EQ⊥x轴，
∴FP= a，
∴OP=PG= ，
∴ + a+ a=6,
解得a= ，
∴AQ= ,
∴OQ= ，
将x= 代入 中，得y= ，
∴当 时，存在点E，使得 ，此时点E的坐标为（ ， ）.
(1)过点E作EH⊥OC，交OC的延长线于点H，
∵直线l为 的切线，A是切点，
∴OA⊥AE，
∵OC⊥AB，
∴∠EHO=∠OAE=∠AOH=90°，
∴四边形AOHE是矩形，
∴EH=OA=3，AE=OH，
∵ ,
∴ ,
∴AE=OH=CH-OC=2；
(2)∵∠OAE=∠AOC=90°，
∴OC∥AE，
∴△ADE∽△OCD，
A. B. C. D.
9.如图， 是 的直径， 是弦，点 在直径 的两侧．若 ， ，则 的长为（）
A. B. C. D.
10.下列命题正确的是（）
A.若分式 的值为0，则x的值为±2．
B.一个正数的算术平方根一定比这个数小．
C.若 ，则 ．
D.若 ，则一元二次方程 有实数根．
11.如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交于点A和点 是线段 上一点，过点C作 轴，垂足为D， 轴，垂足为E， ．若双曲线 经过点C，则k的值为（）
（1）设A种商品和B种商品的销售单价分别为x元和y元，
根据题意可得 ，
解得 ，
∴A种商品和B种商品的销售单价分别为140元和180元．
（2）设购进A商品m件，则购进B商品 件，
根据题意可得： ，
解得： ，
令总利润为w，则 ，
，
∴当 时，获得利润最大，此时 ，
∴A进20件，B进40件时获得利润最大．
24.（1）AE=2；（2）CG= ，cos∠CAG=
17.一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3．随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为_____．
18.如图，在平行四边形 中， 的平分线与 的平分线交于点E，若点E恰好在边 上，则 的值为______．
19.在平面直角坐标系中，已知 和 是抛物线 上的两点，将抛物线 的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为_____．
2020年内蒙古包头中考数学试题及答案
一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项．请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
1. 的计算结果是（）
A.5B. C. D.
2.2020年初，国家统计局发布数据，按现行国家农村贫困标准测算，截至2019年末，全国农村贫困人口减少至551万人，累计减少9348万人．将9348万用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
3.点A在数轴上，点A所对应的数用 表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（）
A. 或1B. 或2C. D.1
4.下列计算结果正确的是（）
A. B. C. D.
5.如图， 是 的外角， ．若 ， ，则 的度数为（）
A. B. C. D.
6.如图，将小立方块①从6个大小相同的小立方块所搭的几何体中移走后，所得几何体（）
（3）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分
低于60分
60分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计使用该公司这款 产品 1500个用户中，满意度等级为“非常满意”的人数．
22.如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地当他由A地出发时，发现他 北偏东 方向有一电视塔P，他由A地向正北方向骑行了 到达B地，发现电视塔P在他北偏东 方向，然后他由B地向北偏东 方向骑行了 到达C地．
（3）根据题意，
，
∴在1500个用户中满意度等级为“非常满意”的人数大约为200人．
22.（1）AP= ；（2）6
（1）由题意知：∠A=45°，∠NBC=15°，∠NBP=75°，
过点B作BE⊥AP于Biblioteka BaiduE，如图，
在Rt△ABE中，∠ABE=90°-45°=45°，
∴AE=BE，
∵ ，
∴AE=BE=3，
∴ ，
∴AD=1.2，OD=1.8，
∵ ，
∴BF=2，
∴OF=1，
∴AF=4，CF= ，
连接BG，
∵∠ACF=∠B，∠AFC=∠GFB，
∴△AFC∽△GFB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴CG=CF+GF= ，
设CO延长线交 于点N，连接GN，则∠CNG=∠CAG，
在Rt△CGN中，∠CGN=90°，CN=6，CG= ,
①求证： ；
②求 的值；
（2）如图，当 时，过点D作 ，交 于点N，交 的延长线于点M，求 的值．
26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线 经过点A，与y轴交于点B，连接 ．
（1）求b的值及点M的坐标；
（2）将直线 向下平移，得到过点M的直线 ，且与x轴负半轴交于点C，取点 ，连接 ，求证： ：
24.如图， 是 直径，半径 ，垂足为O，直线l为 的切线，A是切点，D是 上一点， 的延长线交直线l于点 是 上一点， 的延长线交 于点G，连接 ，已知 的半径为3， ， ．
（1）求 的长；
（2）求 的值及 的长．
25.如图，在 中， ， ， 绕点C按顺时针方向旋转得到 ， 与 交于点D．
（1）如图，当 时，过点B作 ，垂足为E，连接 ．
（1）∵ = ，
∴顶点M的坐标为（3，-3）.
令 中y=0，得x1=0，x2=6，
∴A（6,0），
将点A的坐标代入 中，得-3+b=0，
∴b=3；
（2）∵ 由 平移得来，
∴m=- ，
∵过点M(3，-3),
∴ ，解得n= ，
∴平移后的直线CM的解析式为y=- x .
过点D作DH⊥直线y=- x ，
∴设直线DH的解析式为y=2x+k，将点D（2,0）的坐标代入，得4+k=0，
（1）求A地与电视塔P的距离；
（2）求C地与电视塔P 距离．
23.某商店销售 两种商品，A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元，2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元．
（1）求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元？
（2）该商店计划购进 两种商品共60件，且 两种商品的进价总额不超过7800元，已知A种商品和B种商品的每件进价分别为110元和140元，应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多？
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．请把答案填在答题卡上对应的横线上．
13.在函数 中，自变量 的取值范围是________________．
14.分式方程 的解是_____．
15.计算： ______．
16.如图，在正方形 ，E是对角线 上一点， 延长线交 于点F，连接 ．若 ，则 ______ ．
20.如图，在矩形 中， 是对角线， ，垂足为E，连接 ．若 ，则如 的值为_____．
三、解答题：本大题共有6小题，共60分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．
21.我国 技术发展迅速，全球领先．某公司最新推出一款 产品，为了解用户对该产品的满意度，随机调查了30个用户，得到用户对该产品的满意度评分如下（单位：分）：
∵A(6，0)，B（0,3）,
∴AB= .
∵ ，∠BEF=∠BAO+∠AFE，
∴∠BAO=∠AFE，
∴AE=EF，
∵ ，
∴ ，
设GF=4a，则AE=EF=3a，
∵EQ⊥x轴，
∴EQ∥OB，
∴△AEQ∽△ABO，
∴ ，
∴ ，
∴AQ= a，
∴AF= a.
∵∠AFE=∠PFG，
∴△FGP∽△AEQ，
∴ ,
∴NG= ，
∴cos∠CAG=cos∠CNG= .
25.（1）①见解析；② ；（2）3
（1）①∵ 绕点C按顺时针方向旋转得到 ，
∴∠A=∠A´，
∵
∴∠ACA´=∠A´，
∴∠ACA´=∠A，
∴AD=CD，
∵∠ACD+∠BCD=90°，∠A+∠ABC=90°
∴∠BCD=∠ABC
∴BD=CD
∴AD=BD，
在Rt△BEP中，∠EBP=180°-∠ABE-∠NBP=60°，
∴PE= ，
∴AP=AE+PE= ；
（2）∵BE=3，∠BEP=90°，∠EBP=60°，
∴BP= ，
又∵∠CBP=∠NBP-∠NBC=75°-15°=60°，BC=6，
∴△BCP是等边三角形，
∴CP=BP=6．
23.（1）A种商品和B种商品的销售单价分别为140元和180元．（2）A进20件，B进40件时获得利润最大．
（2）在Rt△ABC中，BC=2，AC=4，
则AB=
∴
解得：CD=
∵∠A=∠BCD，∠ADC=∠BDC
∴△ADC∽△BDC
∴CD2=BD·AD
即
解得：AD=
∵DM∥A´B´∴∠A´=∠CDM，∠A´CB´=∠DAN
∴△CDN∽△CA´B´
∴ ，即
∵∠ADC=∠A´CB´=90°
∴CN∥AB
∴
∴
∴
26.（1）b=3，M（3，-3）；（2）详见解析；（3）点E的坐标为（ ， ）.
解：（1）根据题意，满意度在70~80之间的有：77、71、73、73、72、71、75、79、77、77，共10个；
满意度在90~100之间的有：92、95、92、94，共4个；
补全条形图，如下：
（2）把数据从小到大进行重新排列，则
第15个数为：73，
第16个数为：75，
∴中位数为： ；
故答案为：74．
A. B. C. D.
12.如图，在 中， ， ，按以下步骤作图：（1）分别以点 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于 两点（点M在 的上方）；（2）作直线 交 于点O，交 于点D；（3）用圆规在射线 上截取 ．连接 ，过点O作 ，垂足为F，交 于点G．下列结论：
① ；② ；③ ；④若 ，则四边形 的周长为25．其中正确的结论有（）
83 92 68 55 77 71 73 62 73 95 92 94 72 64 59
66 71 75 69 86 87 79 81 77 68 82 62 77 61 88
整理上面的数据得到尚不完整的频数直方图（如图）．请根据所给信息，解答下列问题：
（1）补全频数直方图；
（2）参与调查的一个用户说：“我的满意度评分在这30个用户中是中位数”，该用户的满意度评分是_____分；
（3）点E是线段 上一动点，点F是线段 上一动点，连接 ，线段 的延长线与线段 交于点G．当 时，是否存在点E，使得 ？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1-12CBADB CBADD AD
13. 14.x= 15. 16. 17. 18.1619.4
20.
21.（1）见详解；（2）74；（3）200人
②∵∠BCD=∠ABC=∠CEM，∠ACB=∠BEC=∠EMC=90°
∴△ACB∽△BEC∽△CME，BC=2，AC=4
∴
设CE=x，在Rt△CEB中，BE=2x，BC=2，
则
解得 即 ，BE=
同理可得：EM=
∴S△BEC=
S△ACE=
S△ABC=
S△ABE= S△ABC-S△ACE-S△BEC=
∴ =
C.俯视图改变，左视图改变D.主视图不变，左视图不变
7.两组数据：3，a，b，5与a，4， 的平均数都是3．若将这两组数据合并为一组新数据，则这组新数据的众数为（）
A.2B.3C.4D.5
8.如图，在 中， ，D是 的中点， ，交 的延长线于点E．若 ， ，则 的长为（）
∴k=-4，
∴直线DH的解析式为y=2x-4.
解方程组 ，得 ，
∴H（1，-2）.
∵D(2，0)，H(1，-2)，
∴DH= ，
∵M(3，-3)，D（2,0）,
∴DM= ，
∴sin∠DMH= ，
∴∠DMH=45°，
∵∠ACM+∠DMH=∠ADM，
∴ ；
（3）存在点E，
过点G作GP⊥x轴，过点E作EQ⊥x轴，
∴FP= a，
∴OP=PG= ，
∴ + a+ a=6,
解得a= ，
∴AQ= ,
∴OQ= ，
将x= 代入 中，得y= ，
∴当 时，存在点E，使得 ，此时点E的坐标为（ ， ）.
(1)过点E作EH⊥OC，交OC的延长线于点H，
∵直线l为 的切线，A是切点，
∴OA⊥AE，
∵OC⊥AB，
∴∠EHO=∠OAE=∠AOH=90°，
∴四边形AOHE是矩形，
∴EH=OA=3，AE=OH，
∵ ,
∴ ,
∴AE=OH=CH-OC=2；
(2)∵∠OAE=∠AOC=90°，
∴OC∥AE，
∴△ADE∽△OCD，
A. B. C. D.
9.如图， 是 的直径， 是弦，点 在直径 的两侧．若 ， ，则 的长为（）
A. B. C. D.
10.下列命题正确的是（）
A.若分式 的值为0，则x的值为±2．
B.一个正数的算术平方根一定比这个数小．
C.若 ，则 ．
D.若 ，则一元二次方程 有实数根．
11.如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交于点A和点 是线段 上一点，过点C作 轴，垂足为D， 轴，垂足为E， ．若双曲线 经过点C，则k的值为（）
（1）设A种商品和B种商品的销售单价分别为x元和y元，
根据题意可得 ，
解得 ，
∴A种商品和B种商品的销售单价分别为140元和180元．
（2）设购进A商品m件，则购进B商品 件，
根据题意可得： ，
解得： ，
令总利润为w，则 ，
，
∴当 时，获得利润最大，此时 ，
∴A进20件，B进40件时获得利润最大．
24.（1）AE=2；（2）CG= ，cos∠CAG=
17.一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3．随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为_____．
18.如图，在平行四边形 中， 的平分线与 的平分线交于点E，若点E恰好在边 上，则 的值为______．
19.在平面直角坐标系中，已知 和 是抛物线 上的两点，将抛物线 的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为_____．
2020年内蒙古包头中考数学试题及答案
一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项．请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
1. 的计算结果是（）
A.5B. C. D.
2.2020年初，国家统计局发布数据，按现行国家农村贫困标准测算，截至2019年末，全国农村贫困人口减少至551万人，累计减少9348万人．将9348万用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
3.点A在数轴上，点A所对应的数用 表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（）
A. 或1B. 或2C. D.1
4.下列计算结果正确的是（）
A. B. C. D.
5.如图， 是 的外角， ．若 ， ，则 的度数为（）
A. B. C. D.
6.如图，将小立方块①从6个大小相同的小立方块所搭的几何体中移走后，所得几何体（）
（3）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分
低于60分
60分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计使用该公司这款 产品 1500个用户中，满意度等级为“非常满意”的人数．
22.如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地当他由A地出发时，发现他 北偏东 方向有一电视塔P，他由A地向正北方向骑行了 到达B地，发现电视塔P在他北偏东 方向，然后他由B地向北偏东 方向骑行了 到达C地．
（3）根据题意，
，
∴在1500个用户中满意度等级为“非常满意”的人数大约为200人．
22.（1）AP= ；（2）6
（1）由题意知：∠A=45°，∠NBC=15°，∠NBP=75°，
过点B作BE⊥AP于Biblioteka BaiduE，如图，
在Rt△ABE中，∠ABE=90°-45°=45°，
∴AE=BE，
∵ ，
∴AE=BE=3，
∴ ，
∴AD=1.2，OD=1.8，
∵ ，
∴BF=2，
∴OF=1，
∴AF=4，CF= ，
连接BG，
∵∠ACF=∠B，∠AFC=∠GFB，
∴△AFC∽△GFB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴CG=CF+GF= ，
设CO延长线交 于点N，连接GN，则∠CNG=∠CAG，
在Rt△CGN中，∠CGN=90°，CN=6，CG= ,
①求证： ；
②求 的值；
（2）如图，当 时，过点D作 ，交 于点N，交 的延长线于点M，求 的值．
26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线 经过点A，与y轴交于点B，连接 ．
（1）求b的值及点M的坐标；
（2）将直线 向下平移，得到过点M的直线 ，且与x轴负半轴交于点C，取点 ，连接 ，求证： ：
24.如图， 是 直径，半径 ，垂足为O，直线l为 的切线，A是切点，D是 上一点， 的延长线交直线l于点 是 上一点， 的延长线交 于点G，连接 ，已知 的半径为3， ， ．
（1）求 的长；
（2）求 的值及 的长．
25.如图，在 中， ， ， 绕点C按顺时针方向旋转得到 ， 与 交于点D．
（1）如图，当 时，过点B作 ，垂足为E，连接 ．
（1）∵ = ，
∴顶点M的坐标为（3，-3）.
令 中y=0，得x1=0，x2=6，
∴A（6,0），
将点A的坐标代入 中，得-3+b=0，
∴b=3；
（2）∵ 由 平移得来，
∴m=- ，
∵过点M(3，-3),
∴ ，解得n= ，
∴平移后的直线CM的解析式为y=- x .
过点D作DH⊥直线y=- x ，
∴设直线DH的解析式为y=2x+k，将点D（2,0）的坐标代入，得4+k=0，
（1）求A地与电视塔P的距离；
（2）求C地与电视塔P 距离．
23.某商店销售 两种商品，A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元，2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元．
（1）求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元？
（2）该商店计划购进 两种商品共60件，且 两种商品的进价总额不超过7800元，已知A种商品和B种商品的每件进价分别为110元和140元，应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多？
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．请把答案填在答题卡上对应的横线上．
13.在函数 中，自变量 的取值范围是________________．
14.分式方程 的解是_____．
15.计算： ______．
16.如图，在正方形 ，E是对角线 上一点， 延长线交 于点F，连接 ．若 ，则 ______ ．
20.如图，在矩形 中， 是对角线， ，垂足为E，连接 ．若 ，则如 的值为_____．
三、解答题：本大题共有6小题，共60分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．
21.我国 技术发展迅速，全球领先．某公司最新推出一款 产品，为了解用户对该产品的满意度，随机调查了30个用户，得到用户对该产品的满意度评分如下（单位：分）：
∵A(6，0)，B（0,3）,
∴AB= .
∵ ，∠BEF=∠BAO+∠AFE，
∴∠BAO=∠AFE，
∴AE=EF，
∵ ，
∴ ，
设GF=4a，则AE=EF=3a，
∵EQ⊥x轴，
∴EQ∥OB，
∴△AEQ∽△ABO，
∴ ，
∴ ，
∴AQ= a，
∴AF= a.
∵∠AFE=∠PFG，
∴△FGP∽△AEQ，
∴ ,
∴NG= ，
∴cos∠CAG=cos∠CNG= .
25.（1）①见解析；② ；（2）3
（1）①∵ 绕点C按顺时针方向旋转得到 ，
∴∠A=∠A´，
∵
∴∠ACA´=∠A´，
∴∠ACA´=∠A，
∴AD=CD，
∵∠ACD+∠BCD=90°，∠A+∠ABC=90°
∴∠BCD=∠ABC
∴BD=CD
∴AD=BD，
在Rt△BEP中，∠EBP=180°-∠ABE-∠NBP=60°，
∴PE= ，
∴AP=AE+PE= ；
（2）∵BE=3，∠BEP=90°，∠EBP=60°，
∴BP= ，
又∵∠CBP=∠NBP-∠NBC=75°-15°=60°，BC=6，
∴△BCP是等边三角形，
∴CP=BP=6．
23.（1）A种商品和B种商品的销售单价分别为140元和180元．（2）A进20件，B进40件时获得利润最大．
（2）在Rt△ABC中，BC=2，AC=4，
则AB=
∴
解得：CD=
∵∠A=∠BCD，∠ADC=∠BDC
∴△ADC∽△BDC
∴CD2=BD·AD
即
解得：AD=
∵DM∥A´B´∴∠A´=∠CDM，∠A´CB´=∠DAN
∴△CDN∽△CA´B´
∴ ，即
∵∠ADC=∠A´CB´=90°
∴CN∥AB
∴
∴
∴
26.（1）b=3，M（3，-3）；（2）详见解析；（3）点E的坐标为（ ， ）.
解：（1）根据题意，满意度在70~80之间的有：77、71、73、73、72、71、75、79、77、77，共10个；
满意度在90~100之间的有：92、95、92、94，共4个；
补全条形图，如下：
（2）把数据从小到大进行重新排列，则
第15个数为：73，
第16个数为：75，
∴中位数为： ；
故答案为：74．
A. B. C. D.
12.如图，在 中， ， ，按以下步骤作图：（1）分别以点 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于 两点（点M在 的上方）；（2）作直线 交 于点O，交 于点D；（3）用圆规在射线 上截取 ．连接 ，过点O作 ，垂足为F，交 于点G．下列结论：
① ；② ；③ ；④若 ，则四边形 的周长为25．其中正确的结论有（）
83 92 68 55 77 71 73 62 73 95 92 94 72 64 59
66 71 75 69 86 87 79 81 77 68 82 62 77 61 88
整理上面的数据得到尚不完整的频数直方图（如图）．请根据所给信息，解答下列问题：
（1）补全频数直方图；
（2）参与调查的一个用户说：“我的满意度评分在这30个用户中是中位数”，该用户的满意度评分是_____分；
（3）点E是线段 上一动点，点F是线段 上一动点，连接 ，线段 的延长线与线段 交于点G．当 时，是否存在点E，使得 ？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1-12CBADB CBADD AD
13. 14.x= 15. 16. 17. 18.1619.4
20.
21.（1）见详解；（2）74；（3）200人
②∵∠BCD=∠ABC=∠CEM，∠ACB=∠BEC=∠EMC=90°
∴△ACB∽△BEC∽△CME，BC=2，AC=4
∴
设CE=x，在Rt△CEB中，BE=2x，BC=2，
则
解得 即 ，BE=
同理可得：EM=
∴S△BEC=
S△ACE=
S△ABC=
S△ABE= S△ABC-S△ACE-S△BEC=
∴ =