数认识讲座(吴正宪)

1.自然数含义的不断丰富
自然数5的含义有哪些？请大家想一想
自然数(0除外)的意义
在下面不同的情景中，自然数5的意义有何区别？
⑴
⑵ ⑶ ⑷
桌子上放着5个苹果。
他坐在前排左起第5个座位上。 这根铁丝长5cm。
小棒的长度是铁丝的5倍。 +5 ⑸ 2 ⑹ 8－3＝5。 ⑺ 0 5
2.对于分数多维多元的认识
从2个人、2头牛、2个樱桃、2个车轮、2棵树、2 本书等等，抽象出2这个数，这时用一个数字也是一
个特殊的符号来表示数量，已经把具体的单位和这个
数量的具体含义去掉，抽象为数“2”。反过来，2可
以表示任何具有2这样数量特征的事物，这时可以让
学生说一说生活中你还见到哪些数量是2的事物？
《100以内各数的认识》
国通用的十进制，即重要的“满十进一”的方法。
位值制 所谓“位值制”，是指相同的计数符号由于所 处的位置不同，所表示数目的大小也不同。有了位 值制，就可以用有限的数字表示出无限的自然数， 这是计数历史上的一个创造，一个奇迹。因此马克 思在他的《数学手稿》一书中称十进位值制计数法 为“最妙的发明之一”。
（米、分米、厘米）来帮助学生学习。并不涉及到小数的计
数单位和数位；到了第二学段学习小数的意义时，才抽象出 小数的计数单位和数位，以及完善数位顺序表……两个学段 的重点不同，呈现的方式和学习的方式也应当有区别。要根 据学生的实际选择合适的学习方法，帮助学生理解小数的意
义。
“数起源于数，量产生于量” 在整数、小数 的学习中充分利用“数数”教给学生系统地数， 引导学生总结“计数法”的规则。 在数分数的过程中，让学生体会分数单位的 重要性，不断感受度量在分数建立过程中，与 整数的一致性。
多种学具通过动手操作，来帮助学生理解数的意义，建 立数的概念。比如：可以借助计数器、数位桶，小棒、 方块模型、方格图、数位顺序表等学具，逐渐建立起抽 象的数和现实中的数量之间的关系。教学中可以让学生
借助学具通过亲自数一数、摆一摆、圈一圈、画一画等
活动，经历抽象的数与具体的事物一一对应的过程，感 受具体的数量，理解自然数的实际意义。
三、注重借助多种模型理解数的意义 多种模型的表征：在数的认识过程中，我们要注意 运用多种模型帮助学生理解数的意义建立数的概念， 比如说：计数器、数位桶，方格图、数位顺序表等，
这样逐渐建立起抽象的数和现实中的数量之间的关系， 并且能够知道这个大小和现实中的多少之间的关系，
这也是数感很重要的本质问题。以自然数的认识为例：
分数都发挥着重要的作用。它们相辅相成，共同
承担着学生对于分数内涵丰富性认识的建构。
把握好每一阶段完成的任务
在教学中老师们还有一个困惑，在小学阶
段，对于分数意义的学习，教材一般分为两个
阶段：第一学段分数的初步认识和第二阶段分 数的意义。
对于分数意义的学习，教材中设计了两次的学 习，其实我们要理解分数的意义从平均分的学习已经 开始了。 第一阶段：认识平均分； 第二阶段：在分数的初步认识教学中，帮助学生初步 建立部分与整体关系的认识，感受分数。 第三阶段：分数意义的学习 第四阶段：在分数与除法关系的教学中，重点使学 生 发展对于分数理解的运作
1亿张纸摞起来大约有多高？ 大约是1万米，比珠穆朗玛峰 8848米还高。参照物的选择， 有助于学生理解1亿的大小， 易于形成数感。逐步将有形的 数，扩展到无形的数。
二、注重把握核心概念理解数的意义
数位、计数单位、位值制、十进制记数
法等核心概念对学生理解自然数的意义起着
至关重要的作用，因此教师在教学中要给予
数到逐步理解掌握自然数的实际意义，由只会认数到开
始学习运用数，所以这一过程是十分有必要的、也是十 分重要的。当然在一个一个地数的基础上，还可以引导 学生几个几个地数，如：可以两个两个地数、五个五个 地数、十个十个地数，以此来不断丰富学生的学习经验。
五、注重在循序渐进中理解数的意义
学生对于数概念的理解需要多层次、多角度、 多阶段的渐进学习，希望老师们能够整体把握好 各部分内容的要求与各部分之间的相互关联，使 学生通过小学阶段的学习对自然数能够有一个较 为全面深刻的认识和理解。
助学生理解分数的意义。
1．分数的面积模型： 用面积的“部分—整体”
表示分数
2.分数的集合模型
用集合的“子集—全集”
来表示分数
3.分数的“数线模型”：数线上的点表示分数
分数墙
四、注重借助动手操作理解数的意义
认识自然数的重点在于使学生能够从数量抽象到数，
而抽象离不开直观的支撑和操作，因此我们要注意运用
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在数概念建立的过程中要注意的问题：
一、注重借助具体情境理解数的意义
二、注重把握核心概念理解数的意义
三、注重借助多种模型理解数的意义 四、注重借助动手操作理解数的意义 五、注重在循序渐进中理解数的意义
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对如何建立数概念的教学建议：
1. 要注重培养学生的数感
2. 要整体把握内容之间的联系
3. 要鼓励学生进行数学交流和数学应用
在数概念建立的过程中要注意的问题：
一、注重借助具体情境理解数的意义
二、注重把握核心概念理解数的意义
三、注重借助多种模型理解数的意义 四、注重借助动手操作理解数的意义 五、注重在循序渐进中理解数的意义
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一、注重借助具体情境理解数的意义 小学生抽象思维较差，尤其是一、二年级的学 生更是以形象思维为主，而对自然数的认识则是 从一年级一入学就开始了，所以在教学中我们应 该紧密联系生活实际，借助直观形象的事物帮助 学生经历由具体—抽象—具体的认识过程，进而 帮助学生理解自然数的含义。
结合具体情境进一步理解数的意义
具体、形象
7
《100以内各数的认识》
结合具体情境进一步理解数的意义
具体、半形象
8
《100以内各数的认识》 结合具体情境进一步理解数的意义
模型、半抽象
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《100以内各数的认识》
结合具体情境进一步理解数的意义
完全抽象
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如果1秒钟数一张1元钱，每天24小时不 间断地数，要数完一亿元钱，大家猜猜用多 长时间？ （3年2个月）
沟通分数和小数的关系： 小数和分数上的沟通，主要是意义上的沟通，使 学生理解小数是十进分数。
沟通分数、整数、小数之间的关系。 小数和整数、分数有着密切的联系，整数 可以数，一个一个地， 一十一十地数，一百 一百地数，小数可以数：0.1、0.2、0.3、0.4、 0.5、0.6、0.7…分数可以数：八分之一 、八
分之一。又例如，一个正方形面积是整个正方形的三
分之一 ，整体图形的面积应该是多少？显然，整体图
形的面积应该是这样的三份。
“度量”指的是可以将分数理解为分数单位的 累积。例如 五分之二里面有2个五个之一 ，就 是用分数 作为单位度量2次的结果。度量维度 的体验也可以直接作用于分数加（减）法的学 习中。
第五阶段：在分数的运算及解决问题的教学中，鼓 励学生综合运用对于分数意义理解的多个维度。 这五个阶段在完成对分数意义丰富认识方面各有侧 重，相互渗透，相互补充，共同帮助学生实现对分数意 义理解的不断发展和整体建构。
总之分数的认识是一个循序渐进的过程，需要系 统的进行教学设计，才能使学生真正理解熟练运用。
“运作”主要指的是将对分数的认识转化为一个
运算的过程。例如，想知道8个苹果的四分之三 是多
少个苹果，即将8个苹果这个整体平均分成4份，取其
中的3份，列出算式就是8÷4×3。
“商” 主要是指分数转化为除法之后运算的结
果，让学生体会分数也可以和其他数一样进行运
算。
以上这四个方面的理解，对学生多角度认识
“自右向左”
0
1
2
新课标中关于“数的认识”的要求与以往有 何主要不同？
内容 学段 《标准》 第 知道用算盘可以表示多位数 一 学 在现实情境中理解万以内数的意义 段 第二学段的要求虽然课程内容总的条目数没有变 数的 认识 第 化，但具体的内容还是有一些重要的调整。主要 包括：小数、分数、百分数重点强调了理解他 二 们的意义，以及会进行小数、分数和百分数的转 学 化。在这个转化的过程中，学生必然需要了解它 段 们之间的关系，所以不再要求探索小数、分数和 百分数之间的关系。
1.重视10的概念的建立
教学10的认识要让学生亲自感受到由9再加1变
成十的过程，可以数、摆、捆、拨、说等，让学生感
受10个一是一个十。建立10的概念，在认识11-20各数
的认识中仍然要关注10的概念的建立，体会满十进一
的过程。
2.重视数计数单位
为帮助学生了解十进制计数法和位值制。还要重 视数计数单位， 通过数计数单位帮助学生逐步建立新 的计数单位， 10个一是一个十，10个十是一百，10 个百是一千，在一个单位、一个单位地数的活动中， 学生充分体会每数满10个单位就产生一个新的计数单 位! 感受了两个相邻计数单位间的进率是十
作为老师要深入理解分数丰富的意义，才有
可能引导学生对分数意义的深刻认识。
首先 把握理解分数的两个主线：比和数。
“比”是一种关系；“数表现的是一个结果。
分数意义
比
数
比率
度量
运作
商
其次要注意从四个层面理解分数意义
“比率”是指部分与整体的关系和部分与部分的
关系。例如一个圆平均分成4份，每一份是整体的 四
在小数的认识要注意的问题
在分数初步认识学习的基础上，教材安排了小
数的初步认识。小数的出现标志着十进制记数法从整
数（自然数）扩展到了分数，使分数与整数在形式上
获得了统一。在教学中我们要注意
建议一：.利用知识迁移建立小数概念
建议二： 沟通整数、小数、分数之间的关系
沟通整数和小数的关系。 整数与小数的计数方法是一致的! 相邻两个计数 单位间的进率都是10，教学中要设计相应的教学环 节将整数的计数方法迁移到小数，还要利用这些活 动帮助学生整理认数系统! 把原来认识的整数数位 表扩充到小数!
如何在“数的认识”教学 中帮助学生建立“数”的概念？
北京教科院
吴正宪
1
数的认识：
一上：20以内数的认识（含0的认识） “自左向右”， 一下：100以内数的认识 数级拓展 二下：万以内数的认识 三上：分数的初步认识 三下：小数的初步认识 “向微观”， 四上：大数的认识（亿以内数的认识） 数域拓展 四下：小数的意义和性质 五下：分数的意义和性质 改变方向， 六下：负数的认识
分之二 、八分之三 、
以此类推。这列数是按照一个单位进行数
数的，无论是整数、小数、分数它们的数都是
计数单位的累加。
把握好小数认识教学的两个阶段
关于 “小数的认识”教材也分成了两段，一段是小数的 初步的认识，一段是小数的意义，我们知道关于小数的初步 认识可以从学生熟悉的计量单位：元、角、分和米制系统
充分的重视，通过这些核心概念的建立，帮
助学生更好地理解掌握自然数的意义。
第一学段完成整数万级的认识，第二学段认识
万以上的数，进而整理十进制计数法。我国的计数
单位是每四位一级，在国际上普遍使用的是三位一
级，在学习时可以让学生了解。
在历史上，曾经出现五进制、二十进制、六十
进制等。当然，最多的是以10为数基，现在世界各
3.重视数位顺序表的使用
随着认识的数越来越大教师应不断扩充完善数位
顺序表! 比如：20以内 的数起就让学生了解个位和十
位! 百以内数时补充认识百位! 在 认识万以内数的时
候认识万位!，在大数的认识时里学生将认识万级和亿 级的数以及比亿更大的数! 数位顺序表有助于学生了 解十进制计数法，理解数的意义并掌握读数写数的方 法。
《百以内数的认识》
22
《百以内数的认识》
23
《百以内数的认识》
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《百以内数的认识》
百数表
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《百以内数的认识》
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《百以内数的认识》
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《万以内数的认识》
《万以内数的认识》
10个一是十，10个十是一百，10个一百是一千， 10个一千是一万……
利用多种模型帮助学生理解分数的意义 在实际教学中我们还要 关注多种模型的运用，帮
在教学“11～20各数的认识”一课时，许多教师都非常注重 让学生利用小棒，通过动手数一数、捆一捆、摆一摆，借助 直观形象的学具来理解11～20各数的组成，进而加深对每个
源自文库数意义的理解。
有的教师在教学“100以内数的认识”时，就为学生准
备了充足的学具，让学生先估一估大约有多少根小棒或 小方块（如下图），再让学生亲自动手数一数，经历由1 一一点数到100的过程。这种一一点数是学生认识自然数 必须要经历的实践过程，这一过程使学生由无意识的唱