群表示理论
数学中的群论与表示论
数学中的群论与表示论数学是一门极其复杂的学科，其中涉及到各种各样的理论与定理。
群论与表示论是其中的两个重要的分支，广泛应用于各个领域。
本文将介绍这两个分支的基本概念和应用。
一、群论群论是一种研究变换性质的数学理论，研究的东西是所有在一定条件下的变化，这些变化之间具有某种相似的结构和规律。
群论不仅仅是一个抽象的概念，还深刻地影响到了其他学科，如物理、化学和计算机科学等领域。
群论的基本概念就是群。
群是一个集合，其中包含了一系列元素，而群论研究的就是这些元素之间的相互关系。
在群中，有一个二元运算，通常是乘法或加法运算，来定义元素之间的组合。
这个二元运算需要满足以下四个条件才能构成一个群：1. 封闭性：群中的任意两个元素进行操作后得到的结果还是群中的元素；2. 结合律：群中的元素进行操作的顺序不影响最终结果；3. 存在恒等元素：群中存在一个元素，与其进行操作不影响任何元素，这个元素就是恒等元素；4. 存在逆元素：群中的任意一个元素都有一个逆元素，它们的乘积（或和）等于恒等元素。
通过上述定义，我们可以得到一些简单的群，比如整数加法构成的群Z, 或者是非零实数乘法构成的群R*等等。
群论的应用非常广泛，不仅仅是数学领域，还涉及到了其他各个方面。
例如，在物理学中，群论被广泛地应用于研究对称性和宇称等问题。
在计算机科学中，群论可以用于解决密码学中的一些问题。
二、表示论表示论是与群论有密切关系的一个分支学科，它研究的是群的作用。
如果存在一个给定的群，我们可以将其作用于一些向量空间上，从而获得这个向量空间的一个表示。
表示论的目标是研究这些表示的性质和分类。
在表示论中，我们关注的是群G的一组表示，通常是一个线性变换T，可以写成T(g)，其中g是群G的元素。
这个线性变换通常是在一个向量空间V上进行的，我们可以将T(g)写成一个矩阵，表示矩阵的形式就是这个表示在数学上的表述。
一个重要的问题是，如何确定这些表示的性质和分类。
群表示论解决同调代数的例子
群表示论解决同调代数的例子同调代数是代数学中的一个重要分支，主要研究代数结构中的同调对象及其性质。
群表示论是同调代数的一个重要工具，可以帮助我们研究群的结构和性质。
在本文中，我们将列举一些群表示论解决同调代数问题的例子，以帮助读者更好地理解这个领域的研究方法。
1. 置换群的表示论：置换群是一类重要的群结构，它由有限个元素的置换构成。
通过群表示论，我们可以将置换群表示为矩阵群，从而更好地研究置换群的性质。
2. 对称群的不可约表示：对称群是置换群中最重要的一类群，它由n个元素的全排列构成。
通过群表示论，我们可以将对称群表示为一系列矩阵群，从而研究对称群的结构和性质。
3. 紧致Lie群的表示论：Lie群是具有光滑流形结构的群，紧致Lie 群是其中一类重要的子群。
通过群表示论，我们可以将紧致Lie群表示为一系列矩阵群，从而研究紧致Lie群的性质和表示。
4. 简单有限群的表示论：简单有限群是群论中非常重要的一类群，它们的结构非常复杂。
通过群表示论，我们可以将简单有限群表示为一系列矩阵群，从而更好地理解和研究这些群的性质。
5. 群环的同调代数：群环是一种特殊的环结构，它由一个群和一个环构成。
通过群表示论，我们可以将群环的同调代数表示为一系列矩阵代数，从而研究群环的同调性质。
6. 集合的对称群的表示论：集合的对称群是由集合上的所有置换构成的群。
通过群表示论，我们可以将集合的对称群表示为一系列矩阵群，从而研究集合的对称群的性质和结构。
7. 群的单位表示：群的单位表示是群的一个重要概念，它将群的元素表示为矩阵。
通过群表示论，我们可以将群的单位表示表示为一系列矩阵群，从而更好地研究群的结构和性质。
8. 有限群的不可约表示：有限群的不可约表示是群表示论中的一个重要概念，它将有限群表示为一系列不可约矩阵群。
通过群表示论，我们可以研究有限群的不可约表示及其性质。
9. 群的特征标理论：特征标是群表示论中的一个重要概念，它将群的单位表示的迹表示为一系列数值。
群论课件
可约性的判定
2 2 2 2
16
第四节 群表示的特征标
1.定义：设群G={E,A,B,C,…},它的一个表示 D={D(E),D(A),D(B),D(C),…},则群元R的特征标 为D(R)的对角元之和（迹） X(R)=TrD(R)= Daa ( R)
a 1 n
式中，R表示G的任一元 Daa是对角元，n是表示空间的维数。 特征标系：群G中所有的g个群元在D中的特征标 注：对可约表示和不可约表示同样适用， 第a个不可约表示Da(R)的特征标写成Xa(R)
8
第二节 舒尔（Schur）引理
1.舒尔引理一 D是群G的一个表示，若存在一个矩阵A，与D中所 有矩阵都对易，即 D(R)A=AD(R) R∈G 则有： (1)若D是不可约的，A必为常数矩阵 A=λ E 式中,λ为标量，E为单位矩阵 (2)若A不是常数矩阵，则D必为可约表示。若A为厄 米矩阵，则约化矩阵就是使A对角化的矩阵。 注：厄米矩阵—矩阵与其共轭矩阵相等 R+=R
21
3.不等价不可约表示的符号
(1)Mulliken符号
符号 A、A1、A2 B（B1，B2，…）
E，T
表示含义 适用情况 +1（对称）、恒等表示、 一维 其他表示 -1（反对称）、其他表 示
二维、三维
脚标加 g，u
有中心反演
(2)Bethe符号
1，2，3， ...
22
4.可约表示的约化（特征标的应用）
19
证明：
(i ( X (i )* ( R) X ( j ) ( R) Duu)* ( R) Daaj ) ( R) R R u a (i ( Duu)* ( R)Daaj ) ( R) ua R
第二章_群表示理论
第二章 群表示理论基础§2.1 群表示【定义2.1】 （线性空间）数域K （实数域R 或复数域C ）上的线性空间V 是一个向量集合，}{x V=；该集合定义了加法和数乘两种二元运算，且集合V 在加法运算下构成交换群，满足：，唯一逆元）（）（唯一单位元，有o x x x x o x x o o x z y x z y x x y y x V z y x=+-=-+=+=+++=+++=+∈∀,)()(,, 数乘运算KV →V 满足：x x x b x a x b a ya x a y x a xb a x ab K b a=+=++=+=∈∀1)()()()(,,【定义2.2】 （线性无关和维数）线性空间V 中，任意n 个向量n x x x,,,21，其线性组合02211=+++n n x a x a x a当且仅当021====n a a a 时成立，则称此n 个向量线性无关，否则它们线性相关。
线性空间中线性无关向量的最大个数m ，称为空间V 的维数，记为dim V = m 。
【定义2.3】 （基矢）设V 是n 维线性空间，则V 中任意一组n 个线性无关的向量，称为空间V 的基矢，记为),,,(21n e e e 。
空间中任意矢量均可表示为n 个基矢的线性组合，∑=n ii i e x x。
矩阵形式：n i i i e e e e e e 0000121+++++=+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0100][,0100),,(21i n i e e e e e⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∑=n n n i ni i x x x x x x x e e e e x x 2121211][,),,,(【定义2.4】 （线性变换）线性变换A 是将V 映入V 的线性映射，满足：)()()(,)(,:,,,y A x aA y x a A V x A V V A K a V y x+=+∈→∈∈∀线性变换的矩阵形式：采用列矢量记法⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=='====∑∑∑∑∑∑∑∑n n n nn n n n i j ij j i iiij jj jj j nj j j n ii ij j j jjj j j j y y e e e x x A A A A e e e x a e e a x e x A x A a a a e e e e a e e A e y y e x x y x A 12111111212121),,,(),,,())()(),,,()(,,)(故有矩阵形式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n nn n n y y x x A A A A y x A 111111],[]][[ 若0]det[≠A ，则称线性变换A 非奇异，A 有逆变换A -1，[A -1]=[A ]-1。
北京大学群论-习题第二章群表示理论
第二章习题1．设A(g)是群G＝{g}的一个表示，证明：复共轭矩阵A*(g)也是G的一个表示。
当A(g)是不可约的或幺正的，则*A(g)也是不可约的或幺正的。
2．设A(g)是G＝{g}的一个表示，证明：转置逆矩阵[A t(g)]－1、厄密共轭逆矩阵[A＋(g)]－1也是G的表示，并且当A(g)是不可约的或幺正的，则它们分别也是不可约的或幺正的。
试问[A t(g)]、[A＋(g)]也是G的表示吗？3．设A(g)是有限群G的一个不可约表示，C是G中一个共轭类，λ为常数，E为单位矩阵，证明：Σg∈C A(g)＝λE。
4．证明群G中属于同一类的各元的表示矩阵之和，必与群G的一切元的表示矩阵对易。
5．求三阶群的所有不等价不可约表示。
6．设A(g)是有限群G的一个不可约表示，B(g)是G的一个一维非恒等表示，证明：A(g)⊗B(g)也是G的一个不可约表示。
7．V的所有不等价不可约表示。
8.9求出D3群在二次齐次函数空间中的群表示，求出它所包含的不可约表示。
10.写出4阶循环群的左正则表示和右正则表示。
11．设A p(g)和A r(g)是群G的两个不等价不可约表示，证明：直积表示A p(g) ⊗A r*(g)不包含恒等表示，而A p(g) ⊗ A p*(g)包含恒等表示一次且仅一次。
12．求正三角形对称群D3的群表示，表示空间为三维线性函数空间，其基底为：φ1(θ)=cos2θ, φ2(θ)=sin2θ, φ3(θ)=√2cosθsinθ，并将其约化为不可约表示。
13．求正三角形对称群D3的子群{e, a}的恒等表示所诱导的表示，它包含哪些不可约表示。
14. 求出D3群所有不可约表示的直积，并把它们约化为不可约表示的直和。
第二章 群表示理论
群的封闭线性空间：只有当函数空间（线性空 间）在算符群中所有算符的作用下都不变时， 算符群才能给出群的表示。
11
问题：群的表示有多少种？ 设矩阵群D是G的表示， Dg 对应于群元g的矩 阵。有一个非奇异矩阵S，有 D g S 1D g S 。对 于所有 g G ， g 构成一个矩阵群，也是G的一 D 个表示。
定理1. 如果有限群G有一个非单位矩阵表示， 则必能通过相似变换将其变为幺正矩阵表示。 （对任一g∈G,有表示矩阵D(g),可找到一个矩 阵S，使 D g S 1D g S ，并且 D g D g 1 。）
13
D 证明：群G的一个矩阵表示， : A1 , A2 ,, Ai ,, Ag ， H A A ,H 对应于各个群元的表示矩阵。定义 G 是厄米阵（ H H ）。对于任一g∈G，一定存在 D g S 1D g S 成为D的等价表示。 非奇异矩阵S，使
对于厄米阵H ，存在一个幺正阵V使其对角化，即
V 1 HV H，H是对角化的。 V是H的特征矩阵排列构成的。 H A A V AVV AV
1 1
H
kk
A kj A
j
jk
Akj
j
2
,（k任意）
14
则H kk 0。若等于0，则A阵是奇异的，而群表示 H 矩阵是非奇异的。因此， kk 均是大于0的实数。
T 矩阵群 M A M g | g G ， A M A , M A ~ G ；
选取不同基矢组， TA有不同的矩阵群。
群表示的另一种定义：设G是群，M是一个n维方矩阵，如果 G 与M同态 ，则称M是G的一个n维表示。
2-4分子对称性群表示理论
轴且过交点的平面内必有n个
C2
轴。进而可推得，一个
Cn
2
轴与垂直于它的
C2
轴组合，在垂直于
Cn
轴的平面内有n个 C
轴，相邻两轴的夹角为
2
2n
。
（3）
x 1 0 0 1 0 0 x ˆ ˆ yz xz y 0 1 0 0 1 0 y z 0 0 1 0 0 1 z 1 0 0 x x 0 1 0 y y 0 0 1 z z
（3）
证明：（1）
ˆ ˆ yz xz
ˆ1 C 2( z )
x 1 0 0 1 0 0 x ˆ 1 y 0 1 0 0 1 0 y C 2 ( z ) ˆ xy z 0 0 1 0 0 1 z
所以：
ˆ 1 C1 C1 ˆ C 2( x ) ˆ 2( y ) 2( z )
这说明，若分子中存在两个互相垂直的 C 轴，则在其交点上必定出现垂直于这两个 2
C 2 轴的第三个 C 2
轴。推广之，交角为
2
2n
的两个
C2
Cn
，在垂直于
轴组合，在其交点上必定出现一个垂直于这两个 C 2 轴的
Cn
0 0 1
1 0 0 ' V 0 1 0 0 0 1
1 2 ' V' 3 2 0
3 1
2
2 0
0 0 1
3 1 2 0
群论-第二章_群表示理论_2011.12.7
j
C3v： e,c3 ,c32 ,1 , 2 , 3
c3eˆ1
1 2
eˆ1
3 2
eˆ 2
0
eˆ 3
c3eˆ 2
3 2
eˆ1
1 2
eˆ 2
0
eˆ 3
c3eˆ3 eˆ3
6
c3 M
c3
1 2
3 2
3 2
1 2
0
1 2
0
，也可写成
19
定理2.若D1和D2是群G的等价幺正表示，则有
幺正矩阵U，使得
。
证明：D1和D2等价，必存在一非奇异矩阵S， 对∀g∈G，有
D2 g S 1D1 g S 并有D2 g 1 S 1D1 g 1 S D2 g 1 S D1 g 1 S 1 D21 g 1 S D11 g 1 S 1 D2 g S D1g S 1
y
1 2
x
3 2
y eˆ1
3 2
x
1 2
y
eˆ 2
x
11
T c3 u1r
eˆ1 c31r 2
eˆ2
c31r
2
1 2
x
3 2
y 2
3 2
x
1 2
y 2
1 2
u1
r
13
一个群有多少种表示？
群论-3群的表示理论
利用基矢的正交归一条件(ei,ej来自 = δij（也可写为<ei|ej> = δij）， 可得：
Aij = <ei|Â|ej> ≡ (ei, Âej)，i,j = 1, 2, …,n
n×n阶的矩阵A ——算符Â在基{e1, e2, …,en}中的矩阵表示。
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
，将Hd写成
H
2 d
H
2 d
并代入前式，两边
同时左乘和右乘
1
Hd 2
，可得：
E
H
d
1 2
D'
g
D'
†
g
Hd
1 2
1
Hd 2 D'
gi g
D' †
gi g
1
Hd 2
gG
gG
H
d
1 2
D'
gi
D'
g
D'
†
g
D'
†
gi
H
d
1 2
gG
H
1 2
d
D'
gi
D'
g
D'
†
g
D'
†
gi
H
d
Dij (g) ei Dˆ g e j
群论-群的表示理论-群的线性表示
如果一个表示存在不变子空间：
设Vn是群G的表示空间，Vm是其不变子空间 {e1, e2,…,em, em+1,…,en}是Vn的一组正交归一基矢
其中前m个基矢是子空间Vm的基矢， 则当j = 1，2，…m，i = m+1，…，n时，Dij (g) = 0。
群表示理论
M
(C ' 2
)
0
1
0
0 0 1
M
(C
''
2
)
1 2
3
2
3 2
1 2
0 0001M(C32)
1 2
3 2
3 2
1 2
0
0
0
0 1
1
M
(C ''' 2
)
2
3 2
3 2
1 2
0
0
0
0 1
7
作业：写出C3v群在三维空间的表示矩阵。
例2. D3 群在以 u1r x2 y2,u2r 2xy为基矢的二
任意一个有限群都存在单位表示。
3. 如何确定群的表示（非单位表示）
例1. D3 群在三维实空间的表示。
D3 :
E,
C3
,
C32
,
C2'
,
C2''
,
C ''' 2
空间基矢 eˆ1, eˆ2, eˆ3 ，任意矢量
r xeˆ1 yeˆ2 zeˆ3
群元 R ↔ 算符T(R) ，T Rui u jM ji R
j
则M(R) 是群元R的一个表示。
4
C3作用在三维空间基矢上得到其矩阵表示。
M
(C3
)
1 2
3
2
3 2
1 2
0
0
0
0 1
C' 作用在三维空间基矢上得到其矩阵表示。 2
1 0 0
M
(C ' 2
)
0
1
0
群论-3 群的表示理论
群论-群的表示理论-群的线性表示
如果一个表示存在不变子空间：
设Vn是群G的表示空间，Vm是其不变子空间 {e1, e2,…,em, em+1,…,en}是Vn的一组正交归一基矢
其中前m个基矢是子空间Vm的基矢， 则当j = 1，2，…m，i = m+1，…，n时，Dij (g) = 0。
内积，内积空间
线性空间Vn上的任一矢量x，当选择{e1, e2, …,en}为基矢组 时，也可展开为
x = x1e1 + x2e2 + …+ xnen x1, x2,…, xn即为矢量x在基矢e1, e2, …,en上的坐标
x可以用它的坐标来表示： x = (x1, x2,…, xn)
常把(x1, x2,…, xn)写成单列矩阵，称之为 矢量x的列向量表示
且F中存在单位元1，k(lx)=(kl)x； 加法与数乘满足分配律；
那么V称为数域F上的线性空间
F中元素称为标量或数量，V中元素称为向量
当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时， V称为复线性空间。
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
基矢 线性空间Vn上的任意n个线性无关的矢量都可以构成Vn的一 组基矢 一般取e1, e2, …,en为空间Vn上的一组正交归一基矢
3 / 2 1/ 2
2 等价表示
群论-群的表示理论-群的线性表示
矩阵的相似变换： M' = S -1MS
等价表示：两个以相似变换联系起来的表示称为等价表示 记作D(G) ~ D'(G) 。
相似变换实际上可认为是坐标系的变换（基矢变换）
——故可认为一切等价表示都是相同的表示。
数学中的群表示和代数表示理论
数学中的群表示和代数表示理论在数学中，表示理论是一个重要的研究领域。
它涉及到许多不同的数学对象，如群、李群、 Lie 代数等等。
其中，群表示和代数表示理论是其中最为重要的两个分支。
群表示理论是研究群在线性变换空间上的表示的理论。
群表示可以用来描述群在不同对象上的对称性，比如在几何或物理学中描述对称性操作、化学中的对称性等。
群表示的关键是研究群元素作用于向量空间上的线性变换。
给定一个群$G$ 和一个域$k$，我们可以找到一个向量空间 $V$ 和群 $G$ 的一个表示 $\rho$，满足 $\rho(g)$ 对于任意 $g\in G$ 都是 $V$ 中的线性变换。
群表示是$G$ 的一个表示矩阵的集合，每个矩阵对应于群 $G$ 中的一个元素 $g$。
代数表示理论是研究代数对象在线性变换空间上的表示的理论。
代数表示和群表示的区别是，代数表示通常涉及到无限维向量空间，而群表示涉及到有限维向量空间。
代数表示理论主要研究 Lie 代数在向量空间上的表示。
Lie 代数是一种特殊的代数结构，它的元素是向量空间上的线性变换，满足某些限制条件。
代数表示能够描述 Lie 代数在不同向量空间上的对称性，这对于研究几何、物理学、量子场论等领域非常重要。
群表示和代数表示的理论基础是一个叫做Schur引理的定理。
Schur定理告诉我们，对于有限群和有限维表示，每个不等于恒等变换的群元 $g$ 在该表示下的矩阵都是不可约矩阵。
简单来说就是，不可约表示是群表示的最简单的形式之一。
这个定理对于代数表示也同样适用。
在表示理论中，不可约表示是非常重要的。
一个表示是可约的就表示它可以写成几个不可约表示的直和形式。
不可约表示是表示矩阵不可同时具有两个以上不变子空间的表示，这个定义等价于表示矩阵在某个极小不变子空间上的限制表示不可约。
通俗地说，正如素数是整数的最基本构造块，不可约表示是表示的最基本构造块。
可以发现，表示理论不仅在数学上非常重要，而且在物理和工程学科中也占有重要地位。
第二章 群表示理论5-7 彩色
59
第七节 直积群的表示
1 1 1
1
1
1 1
1 -1
60
； 如何构造直积群G的表示？
矩阵直积的定义： 矩阵直积
la维矩阵与lb维矩阵的直积是la×lb 维的。 m×n维矩阵与p×q维矩阵的直积是mp×nq 维的。
61
⑴ 直积群的表示就是直因子相应群元的表示的直积。 证明：只需证对于 定有：
即
※直因子群表示的直积构成直积群的表示。
22
23
根据不可约表示的判据：
所以此表示为可约表示。
24
1. 有限的Abel群，其所有不可约表示都是一 维的； 2. 除单位表示外，有限群的任一不可约表 示的特征标对所有群元求和等于零。 由 令 为单位表示，有
25
例3. 确定C4v群的所有不可约表示的特征标系。
σv 2
my
σu 1 mx
3
4
34
定理1. f1…fN是空间V 的基矢， N个 矢量中必有且仅有aj个线性独立的矢量，这aj个矢量 可作为E j子空间的基矢。 证明：欲证 中有aj个线性独立的矢量，只需 证：任意属于E j的矢量均可用N个矢量 线性 组合表示。
35
定理2. E j子空间中有一个归一化的矢量 ，必 可由该矢量生成lj个正交归一矢量，构成不可约表 示D j的基矢。
36
可作为第j个不可约表示的正交归 。 一基矢，生成不可约表示D j的一个不变子空间 证毕。 ※ 这组矢量就是不可约表示D j的约化基矢 约化基矢。 约化基矢
37
类似地，共可构造 个不同的基矢组： 类似地，共可构造aj个不同的基矢组 生成 aj个按D j变换的不变子空间 它们彼此正交。 ，
38
群论中的群表示和特征标理论
群论是数学中的一个分支学科，研究的是集合中存在一种二元运算，满足封闭性、结合律、单位元、逆元等性质的代数结构。
群论中的一个重要概念是群表示，而特征标理论则是群表示中的重要工具。
群表示是将一个给定的群元素映射到一个线性算子上，即将群的元素表示为线性变换。
群表示可以理解为对称变换的一种代数描述，通过这种方式可以研究和分析群的性质。
对于一个给定的群，我们可以考虑将其表示为各种线性算子组成的矩阵，这样就可以通过矩阵的性质来研究群本身的性质。
特征标理论是群表示中非常重要的一个概念。
对于一个给定的群表示，我们可以计算其特征标，特征标是一个标量值，描述了对应于群元素的线性算子的特征向量的性质。
特征标具有一些非常重要的性质，比如与表示的维度相等、与特征向量的模相等等。
通过特征标理论，我们可以研究表示的等价性、不可约表示等性质。
特征标理论在许多领域中都有广泛的应用。
在量子力学中，特征标理论可以用来描述粒子的自旋，通过不同的群表示和特征标来描述不同的粒子类型。
在凝聚态物理中，特征标理论可以用来描述晶体的对称性和激发态，进而研究物质的性质。
在密码学中，特征标理论可以应用于构造密码系统，保护通信数据的安全。
特征标理论的研究也带来了一些深刻的数学发现。
例如，推导特征标在群操作下的变换规律可以导出一些非常有用的等式，如Burnside引理、Frobenius定理等。
这些等式不仅在群论中有重要的应用，而且在其他数学分支中也有广泛的应用。
总体而言，群论中的群表示和特征标理论是非常重要的概念和工具。
它们在数学、物理、密码学等领域中都有广泛的应用，不仅帮助我们理解和分析问题，而且为我们创造新的数学和物理知识。
通过深入研究群论中的群表示和特征标理论，我们可以更好地理解这个世界的对称性和变换，为人类的发展做出更大的贡献。
群论-3 群的表示理论
群表示的编程实现
Python实现
利用Python编程语言实现群表示 的算法，可以使用NumPy等库进 行矩阵运算和线性代数计算。
Java实现
利用Java编程语言实现群表示的 算法，可以使用Java的矩阵库和 线性代数库进行计算。
C实现
利用C编程语言实现群表示的算法， 可以使用STL等库进行矩阵运算和 线性代数计算。
在粒子物理学中，对称性是理解基本 粒子行为的关键。群论用于描述这些 对称性，例如SU(3)群用于描述强相 互作用中的同位旋对称性。
03
相对论
在广义相对论中，群表示用于描述时 空的对称性，如洛伦兹群用于描述狭 义相对论中的时空变换。
化学系统中的群表示
01
分子的对称性
在化学中，分子具有特定的对称性，这些对称性可以用群论来描述。例
数据压缩
在数据压缩中，信息可以用群来表示和编码。例如，文本文件可以用字符集的群来表示和 压缩。
图像处理
图像可以看作是二维像素阵列，这些像素阵列具有平移、旋转和缩放等对称性。群论用于 描述这些对称性，并用于图像处理和识别。
密码学
在密码学中，信息可以用群来表示和加密。例如，RSA算法使用模数n的乘法群来加密和 解密信息。
无限群表示的应用
无限群表示在数学、物理和工程等领域有广泛的应用，如 调和分析、量子场论和偏微分方程等。
群表示的性质
群表示的同态与同构
同态和同构是群表示的重要性质，它们描述了不同群表示之间的 关系和等价性。
群表示的分解
通过分解群表示，可以将复杂的问题简化为简单的问题，有助于 深入了解群的结构和性质。
Part
05
群表示的算法与实现
群表示论中的特征标与不可约表示
群表示论中的特征标与不可约表示一、引言群表示论是数学中重要的分支之一，研究了群的表示以及群表示的相关性质。
在群表示论中，特征标与不可约表示是重要的概念和工具。
本文将介绍特征标和不可约表示，并探讨它们在群表示论中的应用。
二、特征标的定义特征标是群表示论中一种与表示有关的函数，它是特征多项式的系数。
对于有限群G的一个表示ρ，特征标χ(ρ)定义为：χ(ρ)(g) = Tr(ρ(g))， g∈G其中，Tr(ρ(g))表示表示矩阵ρ(g)的迹。
特征标与表示矩阵的不同选择无关，只与表示本身相关。
特征标具有一些重要的性质，比如：1. 特征标是复数域上的函数；2. 特征标对于标量乘法保持不变，即χ(ρ)(g) = χ(ρ̄)(g)，其中ρ̄是ρ的复共轭表示；3. 特征标对于逆运算保持不变，即χ(ρ)(g^{-1}) = χ(ρ)(g)；4. 特征标的平方和等于群G的元素个数，即∑χ(ρ)(g)^2 = |G|。
三、不可约表示的定义不可约表示是群表示论中的重要概念，它刻画了群的表示的最简单形式。
对于有限群G，如果表示ρ 满足以下条件，那么称ρ 是G的一个不可约表示：1. ρ 是线性表示，即对于任意的 a, b ∈ G 和α, β ∈ C，有ρ(αa + βb) = αρ(a) + βρ(b)；2. ρ 是非平凡表示，即存在矩阵非零；3. ρ 在任何非平凡子空间上都没有不变子空间。
不可约表示具有一些重要的性质，比如：1. 不可约表示的特征标是幂函数，即χ(ρ)(g) = χ(ρ)(g)^k，其中 k 是正整数；2. 不可约表示的特征标是复数域上的多项式函数；3. 不可约表示的维数（矩阵的阶数）是有限的；4. 对于给定的素数 p，有限群G的不可约 p-表示存在且唯一。
四、特征标与不可约表示的关系特征标与不可约表示之间存在着紧密的联系。
根据群表示定理，任何有限群G的表示都可以分解成不可约表示的直和。
这意味着，特征标可以分解成不可约表示的特征标的线性组合。
群论第3章
3.1 群的矩阵表示 1 定义 设 G ( E, A, B, C , , ) 为 g 阶群，而
T (T ( E),T ( A),T ( B),T (C ), , )
为一组阶数相同的非奇异方阵，且满足： 若 AB C 则 T ( A)T ( B) T (C ) 且方矩阵组与群同态，即对 G 的每一个元 A ，对应着 方矩阵群的一个矩阵 T ( A), 则称矩阵组 T 是群 G 的一个 矩阵表示。
(3) 镜面反映 ( 镜面通过 e3 轴, 且与 e1, e3 平面成 角 ) 基矢的变换: e1’ = e1 = cos2 e1 + sin2 e2 + 0 e3 e2’ = e2 = sin2 e1 - cos2 e2 + 0 e3 e3 ’ = e1 = 0 e1 + 0 e 2 + 1 e3 则 ┌ e1 ’ ┐ ┌ e1 ┐ ┌ cos2 sin2 0 ┐ ┌ e1 ┐ ∣ e2’ ∣=D’( )∣e2 ∣=∣ sin2 -cos2 0 ∣∣ e2 ∣ └ e3 ’ ┘ └ e3 ┘ └ 0 0 1┘ └ e3 ┘ 因此有 ┌ cos2 sin2 0 ┐ D ( ) = D’ ( ) = ∣ sin2 -cos2 0∣ └ 0 0 1┘
例：H2O分子对称操作群的表示矩阵.
(1) 基矢的选取 (基矢不同, 表矢矩阵也不同)
v’ C2 v
(2) 群元: E , C2 , v , v
(3) 表示矩阵
1 0 0 D( E ) D( E ) 0 1 0 0 0 1
1 0 0 D( C 2 ) D ( C 2 ) 0 1 0 0 0 1
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(4) 广义正交定理（关键定理，Great Orthogonality Theorem）：
对于群G的每个操作R，G和Gn是具有矩阵 D (R ) 和 Dv (R )
（维数分别为n和nn)的两个不可约表示，那么矩阵元素具有下列方程所表述的
一. 群的表示
1.群的各种表示
群的表示的定义：任意一组集合,如果它的乘法关系与群的相同,那么这组集合就是群 的一个表示。群的表示就是群的一个同构或同态的群 。
群的矩阵表示：通常总是选择一组矩阵(矩阵群)作为群的表示(这样,就将群的对称性 变换化为矩阵运算,便于解析),称为群的矩阵表示。
基的选择：可以是坐标、向量,也可以是一组线性独立的函数 。 因为基的选择是随意的,因而产生的表示也有无数多；但是对一个特定群,不等价不可 约表示是固定的有限个。
1
k (E ) 2 g 1(C i ) 1 (第1列和第1行)
1
ab
c
d
（2）不可约表示的数目r等于类的数目k
(3)各行必须满足 (4)各列必须满足
k
gi (C i )n (C i )* g n
i 1
k
n 1
n
(C i)nຫໍສະໝຸດ (Cj )*(
g
gi )ij
1 2a 3b 0
2
Oˆ R
A1
f
2
A1Oˆ R
f2
A1D
f
(R
)
f
2
A1D
f
(R
)
A
g2
g
n
f
n
f
n
f
n
g
n
与右上式比较，
D g (R ) A1D f (R ) A
以g为基表示的矩阵与以f为基表示的矩阵，可由一个相似变换简单地联系起来，这
两个表示被称为等价
2. 举例 p轨道函数空间 f基 px
R
Dik (R
)
D
jm
(R
)*
0,
if
i j
or / and
km
R
R
Dik (R
) Dik
(R
)*
g n
表 6-5.1 p129 =A1
=E
（还有一个 一维不等价 不可约表示， 见后面）
举例验证广义正交定理：见上页表
例1：
验证
R
Dik
(R
)Dik (R
)*
g n
右端: C3v群的阶g为6，只有当=n,i=j, 且 k=m时不为0。
g基 p1
py
P-1
pz
p0
用前面定义的A，
A=
A-1=
A为酉阵
对于绕e3轴顺时针转q,求得
（详见p122-123）
D g (R ) A1D f (R ) A
等价表示— n维线性空间中,两组(线性独立的)基｛ f i ｝、｛ g j ｝的表示矩阵 D f 、Dg 在相似变换下有
可见,一方面,等价表示相当于基组变换,判定为等价表示的两组基属于同类,同类表示研 究一个即可.群中有意义的是那些不能通过相似变换联系起来的不等价表示.
k=i, m=j
R Dii (R )Dnjj (R -1 ) ( g n ) nijij
对i和j加和
i, j R Dii (R )Dnjj (R -1 ) ( g n ) n i, j ijij
R
n i1
Dii
(R
)
nn j 1
Dnjj
(R
-1
)
(
g
n
) n
n i1
nn
ij
j 1
( g n )n n
1.以直角坐标为基
2. 以分子内坐标为基
Oˆ R
f2
D
f
(R
)
f2
f
n
f
n
g1
g1
Oˆ R
g2
D
g
(R
)
g2
gn
g
n
What is the relationship between D f (R ) and D g (R ) ?
g1
f1
f1
f1
g1
Oˆ R
g
若以两个 键为基,则得到两个2维的矩阵表示：
什么是等价表示 不同线性独立的函数集合
f1, f2 ,, fn , g1, g2 ,, gn ,
f1 g1
f2
A
g2
f
n
g
n
左乘A-1,得
g1
f1
g
2
A1
f2
g
n
f
n
f1
f1
x (R )xn (R - 1 ) g n
R
酉矩阵
x (R )xn (R )* g n
R
k
gi (C i )n (C i )* g n
i 1
k
1 gi2
(C i
)
1
gi2
n
(C
i
)*
g n
i1
例：求某一不可约表示的特征标 （1）各个不可约表示的维数的平方和等于群的阶
k
n2 g
取二维表示，则右端=6/2=3
取i=1, j=2，则:
左端= R
D1E2 (R )D1E2 (R ) 02 (
3)2 ( 2
3 )2 02 ( 2
3)2 ( 2
3)2 3 2
E C3
C32
v’ v”
v’”
试验证i=2, j=1的情况和
DiEk (R
)
D
E jm
(R
)*
0,
if
i j
P X -1QX
D(X 1)D(X ) D(X 1X ) D(E ) D1(X )D(X ) D(X 1) D1(X )
D(P) D(X -1QX) D1(X )D(Q )D(X )
D(P)和D(Q)靠相似变换联系起来
27
3. 不可约表示的性质
特征标的广义正交定理
R Dik (R )Dnmj (R -1 ) ( g n )nijkm
(3) 可约表示与不可约表示
可约(化)表示:如果有一相似变换可以将一个表示的所有矩阵都对角化,或变成式样相同 的准对角(分块)矩阵,那么,这个表示就是可约(化)表示. 于是,相似变换又是约化表示的工具. 约化后的可约表示等于各子块表示矩阵的直和. 不可约表示(IR):若子块表示矩阵不能再约化了,则称为不可约表示。
or / and
km
R
例2：
取n=nn=1, 即1维不可约表示A1
D A1 (R )D A1 (R ) (11) 6
R
R
例3：
R Dik (R )Dnjm (R )* ( g n )nijkm
取n=1, nn=2, 即A1和E不可约表示。
∵ n,则右端=0
对A1只有一个元素1，对E,如取j=1, m=2
(1) 忠实表示与不忠实表示
以x,y,z为基得到的一组3维矩阵：
有与C2V群相同的乘法关系，构成C2V群的一个矩阵表示。像这样，一个对称操 作对应一个矩阵的表示,即为忠实表示.
(2) 等价表示与不等价表示
实际上,O原子在构成H2O分子时,3个实p轨道与2s轨道经sp3不等性杂化,形成两对孤对电 子(未成键)和两个与H结合键.
左端=
R
DA1 (R )D1E2 (R ) 0 (
3) 2
3 0 ( 2
3) 2
3 0 2
E
C3 C32 v’ v”
v’”
2. 特征标与特征标表
特征标定义：
特征标性质： （1）等价表示的特征标相等（逆命题也成立）
（2）同类操作的特征标相等
如果： P X -1QX
则： (P ) Q
证明：
关系
R Dik (R )D *njm (R ) ( g n )nijkm
g为群的阶,加和遍及所有的操作R. 证明见附录A.7-1
对称操作R的逆矩阵 对称操作R的逆操作
假定不可约表示是酉群
R Dik (R )Dnjm (R )* ( g n )nijkm
（理解更重要）
可分为三个等式理解
Dik (R )Dnjm (R )* 0, if n
1 2a2 3b2 6
2 2c 3d
0
4 2c2 3d 2 6
35
二. 群表示的基
一个分子的所属点群确定之后,在分子对称(群)框架下,可以选任何事件为基；
直角坐标、基向量(分子内坐标)和(波)函数 特别是以波函数(AO、MO)为基,因为对称操作使分子进入等价构型,分子的能量不变, 分子整体以及分子哈密顿算符一定属于分子所属点群的全对称表示.