勾股定理的三种验证方法

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勾股定理的三种验证方法

1．赵爽“弦图”验证法

三国时期的数学家赵爽，利用图1验证了勾股定理，这个图形被称为“弦图”．在边

长为c 的正方形中有四个斜边为c 的全等直角三角形，已知它们的直角边长分别为a ，b ．你

能利用这个图形验证勾股定理吗？

验证：大正方形可以看成边长为c 的正方形；也可以看成4个全等的直角三角形与一

个小正方形的和，且小正方形的边长为(a －b )．

S 大正方形=21ab ×4＋(a －b )2，同时也有S 大正方形=c 2，所以2

1ab ×4＋(a －b )2＝c 2 ． 整理得a 2＋b 2＝c 2．

2．火柴盒推倒验证法

一个直立的火柴盒在桌面倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.

如图2，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到D C B A '''的位置，连接C C '，设AB = a ，

BC = b ，AC = c ，请利用四边形D C BC ''的面积验证勾股定理：a 2 + b 2 = c 2.

验证：因为四边形D C BC ''为直角梯形，所以S 梯形BCC ′D ′ =2

1(BC +2)()2

b a D B D C +='⋅''. 因为Rt △ABC ≌ Rt △AB ′C ′，所以∠BAC =∠B ′AC ′.

所以∠CAC ′ = ∠CAB ′ +∠B ′AC ′ =∠CAB ′ +∠BAC = 90°. 所以S 梯形BCC ′D ′ = S △ABC + S △CAC ′ + S △D ′AC ′ =21ab +21c 2 +2

1ab =222ab c +. 所以2

22)(22ab c b a +=+，所以a 2 + b 2 = c 2. 3．面积割补验证法

如图3，可以用面积割补法来验证勾股定理．

因为S 正方形CDEF ＝S 正方形MNOP ，而S 正方形CDEF ＝2142c ab +⨯，S 正方形MNOP ＝

22142

a b ab ++⨯，所以222=a b c +．

b 图1

a c 图2

图3