直线和圆相切

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圆和直线相切的公式

圆和直线相切的公式当直线与圆相切时，直线的方程和圆的方程存在以下几个关系：1.直线与圆的切点在直线上。

2.直线与圆的切点的切线与直线垂直。

3.直线与圆的切点的切线斜率等于直线的斜率。

现在，我们将分别介绍这些条件，并推导得出相切的公式。

1.直线与圆的切点在直线上：设直线的方程为 y = mx + c，圆的方程为 (x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆的圆心坐标，r为半径长度。

为了找到直线与圆的切点，我们将方程代入圆的方程，得到：(x-a)² + (mx + c - b)² = r²将方程展开，得到:x² - 2ax + a² + m²x² + 2mcx + c² + b² - 2bmx = r²整理后，得到方程：(1 + m²)x² + 2(mc - am - bm)x + a² + c² + b² - 2ab - r² = 0如果直线与圆相切，方程只有一个根，也就是说，二次方程的判别式为零。

因此，判别式为：(2(mc - am - bm))² - 4(1 + m²)(a² + c² + b² - 2ab - r²) = 02.直线与圆的切点的切线与直线垂直：通过求得的切点，我们可以获得切线的斜率。

与直线垂直意味着切线的斜率的乘积与直线的斜率为-1、设直线的斜率为m，切线的斜率为k。

通过求导数得到切线的斜率k=-1/m。

3.直线与圆的切点的切线斜率等于直线的斜率：这个条件可以由上述条件推导得出。

当直线与圆相切时，直线的斜率等于切线的斜率。

现在，我们通过一个例子来解释这些公式的应用。

假设有一个以坐标原点为中心的圆，半径为r。

直线通过点(0,h)，与圆相切。

圆与直线的切点与切线计算方法

圆与直线的切点与切线计算方法在几何学中，圆与直线的切点与切线是一个重要的概念。

切点是指直线与圆相交的点，而切线则是从切点出发与圆相切的直线。

本文将介绍如何计算圆与直线的切点以及相应的切线方程。

一、圆与直线的切点计算要计算圆与直线的切点，我们首先需要知道圆的方程和直线的方程。

圆的方程通常表示为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示半径的长度。

直线的方程一般表示为y = mx + c，其中m为直线的斜率，c为常数。

下面我们来讲解两种情况下的切点计算方法。

1. 直线与圆相交（两个切点）当直线与圆相交时，即存在两个切点。

这种情况下，我们可以通过解方程组来求解切点的坐标。

首先，将直线方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。

然后，通过求解二次方程可以得到x的两个解。

将这两个解带入直线方程，即可求得对应的y坐标，得到两个切点的坐标。

2. 直线与圆相切（一个切点）当直线与圆相切时，即只存在一个切点。

这种情况下，我们可以通过判断直线到圆心的距离是否等于半径来确定切点的坐标。

首先，计算直线的斜率m。

然后，利用圆心坐标(a, b)和直线方程可以得到直线上过圆心的一条直线的方程。

接着，通过计算直线到圆心的距离（可以用点到直线的距离公式）和圆的半径的比较，确定是否存在切点。

如果直线到圆心的距离等于半径，那么切点即为圆心的坐标，否则不存在切点。

二、切线的计算方法切线是从切点出发与圆相切的直线。

切线的斜率可以通过切点处的圆的切线是圆上切点的切线垂直的来计算。

切线的斜率等于直线与圆的切点处切线的斜率的负倒数，即m = -1/m_t，其中m是直线的斜率，m_t是切点处切线的斜率。

知道切点的坐标和切线的斜率后，我们可以利用点斜式或一般式来表示切线的方程。

总结：圆与直线的切点计算方法可以通过解方程组或计算直线到圆心的距离来确定。

切线的斜率可以通过切点处切线的斜率的负倒数得到。

圆与直线的位置关系与判定

圆与直线的位置关系与判定圆与直线是几何学中最基本的图形，它们之间的位置关系和判定方法在数学问题中有着广泛的应用。

本文将从不同角度探讨圆与直线之间的位置关系，并介绍几种常用的判定方法。

一、圆与直线的位置关系1. 直线经过圆心：当一条直线穿过圆心时，我们称其为圆的直径线或直径。

直径线是圆的特殊位置关系，它将圆分成两个相等的半圆，且直径线的长度等于圆的直径。

2. 直线在圆内部：当一条直线完全位于圆的内部时，我们称之为直线在圆内部。

在这种情况下，直线与圆相交于两个不同的点。

例如，图中的直线AB位于圆O的内部。

3. 直线切圆：当一条直线与圆相切时，我们称之为直线切圆。

直线与圆相切于圆上的一点，此点既属于圆，又属于直线。

例如，图中的直线AB切圆O于点C。

4. 直线在圆外：当一条直线完全位于圆的外部时，我们称之为直线在圆外部。

在这种情况下，直线与圆没有交点。

例如，图中的直线AB位于圆O的外部。

二、圆与直线的位置判定方法1. 判断直线是否经过圆心：通过直线的方程可以判断该直线是否经过圆心。

直线的方程一般可以表示为y = kx + b的形式，其中k为斜率，b为截距。

如果圆的圆心坐标为(x0, y0)，则当直线方程中的x0和y0满足方程y = kx + b时，直线经过圆心。

2. 判断直线与圆的位置关系：通过直线与圆的方程可以判断它们的位置关系。

设圆的方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，直线的方程为y =kx + c。

将直线的方程代入圆的方程中，可得一个关于x的一元二次方程。

通过求解该方程，可以得到方程的解，从而判断直线与圆的位置关系。

3. 判断直线是否切圆：通过直线与圆的切点个数可以判断直线是否切圆。

直线与圆相切时，方程的解只有一个，此时直线切圆。

当方程有两个不相等的解或者无解时，直线与圆没有交点。

4. 判断直线是否在圆内部或外部：通过圆的半径和圆心到直线的距离可以判断直线是否在圆的内部或外部。

12.2直线与圆相切

此时切线方程为：21x 20 y 145 0
(2)当过点 B(5, 2) 的切线斜率不存在时，结合图形可知 x 5 也是符合题意的切线方程．
小结
过一点求圆的切线的方程
1、求经过圆上一点M( x0 ,y0 )的切线的方程 : 法一：点法向式方程常用方法
法二：斜率关系
法三：平面向量求点的轨迹方程的方法
例2.已知 M ( x0 , y0 ) 为圆 C : x 2 y 2 r 2 上一点.
求: 过这点与圆相切的切线方程. 解: 设P(x,y)为轨迹上任意一点，由题意： OM MP 即 OM MP 0
y
P ( x, y )
l
M ( x0 , y0 )
法3：设点法向式方程，避免斜率存在性问题，用点到直线的距离等于半径。
【回顾练习】
练习1
当 0 a 1 时，判断原点与圆
x 2 y 2 2ax 2 y a 2 4a 1 0 的位置关系。
2. 求证：不论 k 为何值，直线 kx y 4k 3 0 与曲线
r O
x
P
过圆外一点的直线与圆相切
例1.求过点 M (2, 2 3) 且与圆 x2 y 2 4 相切的直线方程.
求: 过这点与圆相切的直线的方程. 方法一设点斜式方程，注意k存在，不存在，利用圆心与切线的距离等于半径求出k
y
l1
M (2,2 3)
l2
O
xபைடு நூலகம்
方法二点斜式方程，k存在，不存在，利用直线与元相交于一点，用 0来求出k
即：l : ax by 2a 2 3b 0 由题意，得圆心(0,0)与切线的距离

直线和圆相切

24.2.2(2)直线和圆相切一、内容和内容解析1.内容切线的判定定理2.内容解析直线和圆相切是直线和圆中的一种特殊并且重要的位置关系，圆的切线是连接直线与曲线的重要桥梁，是研究三角形内切圆、切线长定理和正多边形与圆的关系的基础。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：切线的判定定理，并能运用它解决与圆的切线相关的证明问题。

二、目标和目标解析1.目标（1）能用数量关系确定位置关系的方法推导切线的判定定理。

（2）会用切线的判定定理解决简单问题。

2．目标解析达成目标（1）的标志是：能够理解切线判定定理中的两个要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径。

达成目标（2）的标志是：知道切线的判定定理，能够分清每个定理的条件和结论，并能解决简单问题；明确运用定理时常用的添加辅助线的方法。

三、教学问题诊断分析1.由于是抽班教学，教师和学生之间不是很熟悉，所以首先要营造一个良好的轻松的学习气氛，学生才能不紧张，进而很快的和老师融合进入学习状态，所以最好用轻松地情景教学给学生带入课堂。

2.学生之前已经学习过直线和圆相切的定义及“圆心到直线的距离等于半径时直线和圆相切”，但是不容易理解切线的判定定理。

所以让学生自己经历画图感知和交流悟理”垂直于半径”表示出了圆心到直线的距离d，”经过半径外端”说明距离d等于半径，理解切线判定定理的两个条件。

3.教师要帮助学生明确定理的题设和结论正确理解定理，所以借助几个判断分析感受两个条件的重要性。

4.借助层次分明的证明题反复体会切线定理的两个要素，明确运用定理时常用的添加辅助线的方法。

给予以上分析，本节课的教学重点是：探索切线的判定定理，并能运用它解决与圆的切线相关的证明问题。

教学难点是：探索圆的切线的判定方法和解决相关问题是怎么添加辅助线。

四、教学过程设计1.情境引入，感知直线和圆相切问题1让老师带着同学们到生活中找一找我们今天要学习的内容，它们共同体现了两种图形的哪一种位置关系?师生活动：共同欣赏后学生回答直线和圆相切。

直线与圆重要的位置关系——相切

\中考链接责任编辑:彭深2020748334@直线与圆重要的位置关系相切画封霞霖直线与圆的位置关系有三种:相离、相切、相交，其中相切是中考的高频考点。

我们对直线与圆的位置关系的研究,反映了图形的位置关系与相应的数量关系之间的内在联系：由图形的位置关系决定数量关系，由数量关系判定图形的位置关系。

这里的数形结合，既是重要的知识内容,又是重要的思想方法。

一、切线与函数例1(2019-荷泽)如图1,直线y=交兀轴于点4,交y轴于点点P 是尤轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作O p,当O p与直线佃相切时，点、p的坐标是y图1【分析】考点:一次函数、切线性质。

对于运动问题，要考虑多解。

对圆心位置分类讨论,圆心在4点左侧和右侧，直线都会与圆相切。

根据相切时圆心到直线的距离等于半径,结合相似或者三角函数，找到圆心P的位置。

•解：•.•直线y=-扌％-3交％轴于点A,交y轴于点B,令％=0,得y=-3,令y=0,得x=~4,/.4(-4,0),5(0,-3),..OA=4,OB=3,:.AB=5O设O p与直线ab相切于d,连接PD,如图2,P在A点左侧时为R,在4点右侧时为匕。

j图2则PD1AB,PD=1,Z-ADP=/-AOB=90°,"AD=ABAO,.-.AAPD^/^ABO,•PD_4P••OB AB5•1=4P•Ap=d•-35^3，.-.OP=OA+AP或OA-4P,0P=孑或孕，.•.P.（-^,0）,P2（-j,0）o【点评】这道题目中有圆，但要做到心中无圆。

如果抓住切线的本质,C>Pi 和OP2不画出来亦可。

我们要抓住的关键是直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径。

另外，利用相似求ap的这部分，用三角函数也可以解决。

二、切线与角度例2（2019-天津）已知PA,PB分别与O0相切于点A.B,乙4加=80。

,C为Oo上一点。

（I）如图3-①，求厶1CB的大小；（n）如图3-②,也为00的直径,4E与相交于点D,若AB=AD,求AEAC的大小。

直线和圆的位置关系

直线和圆的位置关系介绍直线和圆是几何中常见的元素，它们在空间中的相对位置关系对于多个学科领域都具有重要意义。

本文将介绍直线和圆的四种基本位置关系：相离、相切、相交和包含。

相离相离是指直线和圆没有任何交点，它们在空间中完全没有重叠部分。

如果一条直线与一个圆都是无限延伸的，直线与圆的位置关系就可以通过它们的公式来确定。

设直线方程为Ax + By + C = 0，圆心坐标为(h, k)，半径为r，则直线与圆的位置关系可以通过以下公式判断：d = |Ah + Bk + C| / sqrt(A^2 + B^2)if d > r：相离else：其他位置关系其中，d为直线到圆心的距离。

相切相切是指直线与圆只有一个交点，这个交点同时位于直线上和圆上。

相切的情况可以进一步分为两种：外切和内切。

外切外切是指直线与圆相切，且直线在圆的外部。

对于直线方程Ax + By + C = 0和圆心坐标(h, k)，半径r，判断直线与圆是否外切的公式如下：d = |Ah + Bk + C| / sqrt(A^2 + B^2)if d = r：外切else：其他位置关系内切内切是指直线与圆相切，且直线在圆的内部。

同样，可以通过直线方程和圆的参数来判断直线与圆是否内切：d = |Ah + Bk + C| / sqrt(A^2 + B^2)if d = -r：内切else：其他位置关系相交相交是指直线与圆有两个不重复的交点。

如果直线方程和圆的参数已知，可以通过以下公式来判断直线与圆是否相交：d = |Ah + Bk + C| / sqrt(A^2 + B^2)if d < r：相交else：其他位置关系包含包含是指直线经过圆的中心，这是一种特殊的位置关系。

如果直线方程和圆心坐标已知，可以通过以下公式判断直线是否包含圆：Ah + Bk + C = 0结论直线与圆的位置关系可以通过直线方程和圆的参数来判断。

相离、相切、相交和包含是直线和圆的四种基本位置关系。

极坐标中直线与圆相切

极坐标中直线与圆相切在坐标几何中，我们常常使用直角坐标系来描述平面中的几何问题。

而在极坐标系中，我们可以通过极径和极角的组合来表示平面中的点。

在本文中，我们将讨论直线和圆在极坐标系中的表示，并研究直线和圆之间的相切关系。

首先，我们来简要介绍极坐标系的基本概念。

极坐标系是一种由极轴和极角组成的二维坐标系统。

极轴是坐标原点到点的连线所在的直线，通常沿着水平方向，而极角是极轴与连线之间的夹角。

在极坐标系中，点的位置由极径和极角两个坐标值确定。

接下来，我们将探讨直线在极坐标系中的表示。

在直角坐标系中，一条直线可以用斜率和截距来表示。

然而，这种表示方法在极坐标系中并不适用。

相反，我们可以使用极坐标方程来表示一条直线。

极坐标方程的一般形式为：r = m·θ + c其中，r代表点到原点的距离（即极径），θ代表点的极角，m是直线的斜率，c是直线与极轴的截距。

通过给定m和c的值，我们可以确定一条直线在极坐标系中的表达式。

那么在极坐标系中，圆的表示又是怎样的呢？与直线不同，圆不能简单地通过一条方程来表示。

而是需要使用圆心的极坐标和圆的半径来确定。

圆心的极坐标由极径和极角确定，而半径则是圆心到圆上任意一点的距离。

因此，我们可以将圆的表示写为：r = R其中，R是圆的半径。

通过给定半径R的值，我们可以确定一个圆在极坐标系中的表达式。

现在，让我们来研究直线和圆相切的情况。

在极坐标系中，直线和圆相切意味着直线与圆的切点只有一个。

换句话说，直线与圆的根部重合。

要判断直线和圆是否相切，我们可以将直线的极坐标方程代入圆的极坐标方程，然后解方程组来求解。

假设我们有一条直线的极坐标方程为r = m·θ + c，一个圆的极坐标方程为r= R。

我们将直线的方程代入圆的方程中，得到m·θ + c = R。

此方程表示了直线和圆相切的条件。

通过解这个方程，我们可以求解出θ的值，并进一步确定直线与圆的相切点的位置。

直线与圆的位置关系题型归纳

直线与圆的位置关系题型归纳引言在几何学中，直线和圆是基本的几何元素。

研究直线与圆的位置关系不仅有助于理解几何学基本原理，还可以应用到实际问题中。

本文将归纳总结几种常见的直线与圆的位置关系题型，并给出相应的解题方法。

一、直线与圆相交直线与圆相交通常有三种情况：直线与圆相切、直线穿过圆、直线既与圆相切又穿过圆。

1. 直线与圆相切当直线与圆只有一个交点时，称直线与圆相切。

这种情况下，直线与圆的位置关系相对简单。

求解这类问题时，可以利用以下方法： - 根据已知条件确定直线方程和圆的方程。

- 将直线方程和圆的方程联立，求解交点的坐标。

- 判断交点是否满足直线方程和圆的方程，从而确定直线与圆相切。

2. 直线穿过圆当直线与圆有两个交点时，称直线穿过圆。

这种情况下，需要进一步确定直线与圆的具体位置关系。

求解这类问题时，可以按照以下步骤进行： - 利用已知条件确定直线方程和圆的方程。

- 将直线方程和圆的方程联立，求解交点的坐标。

- 判断交点的坐标与圆心的位置关系，从而确定直线与圆的位置关系。

3. 直线既与圆相切又穿过圆当直线与圆既有一个交点又有两个交点时，称直线既与圆相切又穿过圆。

这种情况下，需要进一步确定直线与圆的具体位置关系。

求解这类问题时，可以按照以下步骤进行： - 利用已知条件确定直线方程和圆的方程。

- 将直线方程和圆的方程联立，求解交点的坐标。

- 判断交点的坐标与圆心的位置关系，从而确定直线与圆的位置关系。

二、直线与圆相离直线与圆相离是指直线与圆没有交点。

这种情况下，直线与圆的位置关系相对简单。

求解这类问题时，可以按照以下步骤进行： - 利用已知条件确定直线方程和圆的方程。

- 求解直线方程和圆的方程的解集。

- 判断解集是否为空集，从而确定直线与圆相离。

三、总结与应用对于直线与圆的位置关系题型，我们可以通过确定直线方程和圆的方程，求解交点的坐标，判断交点的坐标与圆心的位置关系来确定直线与圆的位置关系。

切线的五个性质

切线的五个性质
直线与圆相切是直线与圆的三种位置关系中最重要的一种，也是初三数学的重要内容，它是在点与圆的位置关系之后学习的，它有五个性质，下文将逐一证明。

直线与圆相切指的是直线和圆只有1个交点这种情况。

它有以下五个性质：
（1）切线和圆只有1个交点；
（2）直线垂直于过切点的半径；
（3）圆心到直线的距离（通常用d表示）d=r；
（4）经过圆心且垂直与切线的直线一定经过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必须过圆心。

以上五条性质中，第（2）（3）两条性质最重要，第（2）条性质经常在解题时使用。

性质（1）可以由直线与圆相切的定义得到。

性质（2）可由性质（1）推出。

因为直线与圆相切，所以直线与圆只有一个交点，即切点。

把切点和圆心连接起来，等到一条半径，现在只需证明这条半径与直线垂直即可。

因为直线与圆只有一个交点，所以出了切点以外，直线上的点都在圆外，由点与圆的位置关系的知识可知，这些点到圆心的距离都大于半径r，所以切点是直线上到圆心距离最短的点。

又由连接直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短可知：该半径与直线垂直。

故直线垂直于过切点的半径。

这条性质的证明，笔者在其它文献中尚未见过，证明的关键是使用了“垂线段最短”这个结论，利用这条结论完成几何证明也较少见。

由性质（2）立刻就可以得到性质（3）。

根据性质（2）和过平面上一点有且只有一条直线与已知直线的垂直，可得性质（4）（5）。

三直线与圆相切问题

三、直线与圆相切问题一、知识储备性质1：直线与圆相切，则圆心到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2=r ；性质2：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程的判别式Δ=0；性质3：过圆外一点M 作圆C 的切线，切点为P 点，设圆的半径为r ，则有MP 2＋r 2＝MC 2，二、典例练习[例1] 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，过点P (2，－1)作圆C 的切线，切点为A ，B .(1)求直线P A ，PB 的方程；(2)过P 点的圆C 的切线长．解析：（1）(2)[例2] 直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m相切，则m 的值为________．解析： [练习1]已知圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1.求： (1)过A (3,4)的圆C 的切线方程；(2)在两坐标轴上的截距相等的圆C 的切线方程．解析：（1） (2) [练习2]圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为解析： [练习3]过点A (－1,4)作圆(x －2)2＋(y －3)2＝1的切线l ，求切线l 的方程．解析：三、类题通法1．求过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法：先求切点与圆心连线的斜率k ，再由垂直关系得切线的斜率为－1k ，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y ＝y 0或x ＝x 0. 2．过圆外一点(x 0，y 0)的切线方程的求法设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k ，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x ＝x 0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．三、直线与圆相切问题一、知识储备性质1：直线与圆相切，则圆心到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2=r ；性质2：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程的判别式Δ=0；性质3：过圆外一点M 作圆C 的切线，切点为P 点，设圆的半径为r ，则有MP 2＋r2＝MC 2，二、典例练习[例1] 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，过点P (2，－1)作圆C 的切线，切点为A ，B .(1)求直线P A ，PB 的方程；(2)过P 点的圆C 的切线长．解：(1)切线的斜率存在，设切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.圆心到直线的距离等于2，即|－k －3|k 2＋1＝2，∴k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1，故所求的切线方程为y ＋1＝7(x －2)或y ＋1＝－(x －2)，即7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0. (2)在Rt △P AC 中，P A 2＝PC 2－AC 2＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝8，∴过P 点的圆C 的切线长为2 2.[例2] 直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 相切，则m 的值为________．解析：选B 由于直线与圆相切，故m ＝|m |12＋12，解得m ＝0(舍去)或m ＝2. [练习1]已知圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1.求： (1)过A (3,4)的圆C 的切线方程；(2)在两坐标轴上的截距相等的圆C 的切线方程．解：(1)当所求直线的斜率存在时，设过A (3,4)的直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由|2k －1＋4－3k |1＋k 2＝1，得k ＝43.所以切线方程为y －4＝43(x －3)，即4x －3y ＝0.当所求直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝3，也符合题意．故所求直线方程为4x －3y ＝0或x ＝3.(2)设在两坐标轴上的截距相等的直线方程为x a ＋ya ＝1或y ＝kx ，于是由圆心(2,1)到切线距离为1，得|3－a |2＝1或|2k －1|1＋k 2＝1.解得a ＝3±2，k ＝0或k ＝43.故所求切线方程为x ＋y ＝3±2或y ＝0或y ＝43x .[练习2]圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为解析：点P 在圆上，圆x 2＋y 2－4x ＝0化为(x －2)2＋y 2＝4，圆心M (2,0)，半径为2.k MP ＝3－01－2＝－3，切线l 的斜率k l ＝33，因此切线l 的方程为y －3＝33(x －1)，整理得x －3y ＋2＝0.[练习3] 过点A (－1,4)作圆(x －2)2＋(y －3)2＝1的切线l ，求切线l 的方程． [解] ∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A 在圆外．当直线l 的斜率不存在时，l 的方程是x ＝－1，不满足题意．设直线l 的斜率为k ，则方程为y －4＝k (x ＋1)即kx －y ＋4＋k ＝0.圆心(2,3)到切线l 的距离为|2k －3＋4＋k |k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，因此，所求直线l 的方程y ＝4或3x ＋4y －13＝0. 三、类题通法1．求过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法：先求切点与圆心连线的斜率k ，再由垂直关系得切线的斜率为－1k ，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y ＝y 0或x ＝x 0.2．过圆外一点(x 0，y 0)的切线方程的求法设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k ，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x ＝x 0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．。

证明直线与圆相切的两种方法-学习文档

证明直线与圆相切的两种方法证明直线与圆相切主要有以下两种：一、根据切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线证明直线与圆相切的两种方法。

当已知直线与圆有公共点时，常用此法。

辅助线是连结公共点和圆心，只要设法证明直线与半径垂直即可。

例1. （2019年江苏省淮安市题）已知：如图1，在△ABC中，&ang;BAC的平分线AD交△ABC 的外接圆⊙O于点D，交BC于点G。

图1（1）连结CD，若AG＝4，DG＝2，求CD的长；（解略）（2）过点D作EF∥BC，分别交AB、AC的延长线于点E、F。

求证：EF与⊙O相切。

证明：（2）连结OD，由&ang;1＝&ang;2，得，则OD&perp;BC所以因为EF∥BC，所以&ang;BCD＝&ang;CDF从而即EF&perp;OD，所以EF与⊙O相切。

例2. （2019年湖北省黄冈市中考题）如图2，BE是⊙O的直径，点A在BE的延长线上，弦PD&perp;BE，垂足为C，连结OD，且&ang;AOD＝&ang;APC。

（1）求证：AP是⊙O的切线。

（2）略。

图2证明：连结OP，因为PD&perp;BE，OP＝OD所以&ang;POB＝&ang;DOB，而&ang;APD＝&ang;DOB所以&ang;POB＝&ang;APD由PD&perp;BE得：&ang;POB＋&ang;OPC＝90°即&ang;APD＋&ang;OPC＝90°所以AP是⊙O的切线二、根据直线与圆的位置关系若圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切。

当题设中不能肯定直线与圆有公共点时，常用此法。

辅助线是过圆心作该直线的垂线段，只要设法证明垂线段等于半径即可。

直线与圆的位置关系知识点总结

直线与圆的位置关系知识点总结直线与圆的位置关系是几何学中一个重要的概念，涉及到直线和圆的交点、相切等不同情况。

本文将对直线与圆的位置关系进行总结，包括直线与圆的相交、相切以及不相交三种情况。

一、直线与圆的相交关系1. 直线与圆相交于两个交点：当直线与圆的位置关系是相交时，直线将穿过圆的两个交点。

这种情况通常出现在直线与圆的直径、弦或切线相交的情况下。

2. 直线与圆相交于一个交点：当直线与圆的位置关系是相切时，直线与圆仅有一个交点。

这种情况通常出现在直线是圆的切线的情况下。

二、直线与圆的相切关系1. 切线：当直线与圆的位置关系是相切时，直线与圆仅有一个交点，并且直线与圆的切点处的切线垂直于半径。

切线是圆上某一点的切线，它与半径的长度相等。

2. 外切线：当一条直线与圆的位置关系为外切时，直线与圆仅有一个交点，并且切点处的切线垂直于半径。

外切线的一个特点是切点处的切线与直线的延长线垂直。

3. 内切线：当一条直线与圆的位置关系为内切时，直线与圆仅有一个交点，并且切点处的切线垂直于半径。

内切线的一个特点是切点处的切线与直线的延长线垂直。

三、直线与圆的不相交关系当直线与圆的位置关系不相交时，即直线与圆没有交点。

总结：直线与圆的位置关系可以分为相交、相切以及不相交三种情况。

在相交的情况下，直线与圆相交于两个交点或一个交点。

在相切的情况下，直线与圆仅有一个交点，并且切点处的切线垂直于半径。

而不相交的情况下，直线与圆没有交点。

以上是对直线与圆的位置关系知识点的总结。

了解并掌握这些知识点对于解决相关几何问题非常重要。

希望本文能够帮助您更好地理解和应用直线与圆的位置关系。

直线与圆相切的几何特征

y-3=k(x-2),即kx-y-2k+3=0.
由 3k-2k+3 =1,得k =- 4 .
k2 1
3
∴直o线的方程为4x+3y-173=0.
x
从而所求直线的方程为
x=2或4x+3y-17=0.
例题分析探究解法
反思解题
开窍点在哪里
1.求直线方程
利用几何特征求切线方程
2.直线与圆相切
优化思维线路
PM
MC
2
PC 1
M
P
当 PC 2时，S min 3.
O
1
C
x
N
课堂练习熟化技能
利用几何特征求切线长
练习2：4.过直线L上一点P向圆C:(x-2)2+y2=1引切线PM
与PN,若点P与原点重合时四边形PMCN的面积最小，则直线L的方程为_X__=_0_.
y
析：直线L为过原点且与
直线OC垂直的直线
M
P
所以直线L的方程为x=0.
O
1
C
x
N
课堂小结强化认知
题型一，利用几何特征求切线方程
1.将切线方程化（注意直线斜率不存在的情形） 2.利用距离解题,已知切点可利用垂直解题
题型二，利用几何特征求切线长
运用勾股定理——实现长度转化距离与垂直是解析几何中两几何元素间的最基本关系，熟练地将解析几何中的距离关系与垂直关系转化为数量关系是我们必备的能力.
书少成天才功山壮就=有是艰不百路苦分努的勤之力劳为一动的，径+灵老，正感学确大，的百海徒方分无之法伤崖九+悲少十苦九说！作的空汗舟话水. ！
金堂县竹篙中学校数学组

圆与直线相切求圆的方程

圆与直线相切求圆的方程好嘞，今天咱们就来聊聊圆和直线相切的事儿。

说到圆，你肯定想到了那种完美无瑕的形状，像个大雪球似的，真是让人爱不释手。

它的边缘光滑，转个身就能引起一阵风。

而直线呢，嘿，它可真是个“横行霸道”的角色，直来直去，没啥弯弯绕绕，简直就是个行走的数学教科书。

咱们先来捋捋，什么叫做“相切”呢？其实说白了，就是这两个家伙在某个点上打了个照面，但只是在那一点上碰个头，其他地方可没交集。

这就像两个朋友在街上偶遇，互相点了个头，就各自忙各自的去了。

这种关系，既亲密又保持着适当的距离，真是妙不可言。

好了，接下来咱们就得捋清楚如何求圆的方程。

圆的方程长得很简单，像个大大的“O”，一般情况下我们用这个公式：((x a)^2 + (y b)^2 = r^2)。

这里的 (a) 和 (b) 是圆心的坐标，而 (r) 是半径。

这就像是在告诉你，圆心在那儿，半径多大，别忘了，都是写得明明白白的。

再来说说直线，直线的方程一般是这样的：(y = mx + c)，其中 (m) 是斜率，(c) 是截距。

说白了，直线就像是条又直又长的面条，从某个地方开始，一路向前延伸，永不停息。

看着就让人觉得干脆利落，真是个干劲十足的小伙子。

接下来咱们就要让这两位“亲密朋友”相遇。

要知道，圆和直线想要相切，得满足一些条件。

你可以先把直线的方程代入圆的方程，简单点说，就是把直线的 (y) 值换成圆的方程里去，然后解方程。

听上去好像复杂，其实就是一场方程的游戏，谁先找到结果，谁就赢。

这个过程就像是参加了一场“谁是数学王”的比赛，首先你得把直线的方程代入进去，然后整理一下，变成一个二次方程。

这个时候，你可能会冒出一头冷汗，毕竟二次方程就像是个调皮的孩子，可能会有两个解、一个解，甚至是没有解。

哎，别急，咱们要看一下判别式，看看这个方程的根到底有多少。

如果判别式等于零，嘿，这可就意味着它们正好在某个点上相切，完美无瑕，真是太好了！想象一下，圆和直线在这条数学路上翩翩起舞，跳着一曲优雅的华尔兹，彼此相依却又保持着自己的风格。

直线和圆相切公式

直线和圆相切公式此题要求撰写一篇3000字的中文文章，以“直线与圆相切公式”为标题。

直线与圆相切是微积分中非常重要的概念，它们之间涉及到许多有趣的概念。

本文将通过讨论这些概念来说明直线与圆相切的公式。

首先，要理解直线与圆相切，我们必须了解它们之间的数学关系。

圆形可以定义为平面上以给定点为中心，并具有给定半径的图形。

直线则可以定义为两个点（A和B）之间的连线面上的一条线。

它们之间的关系是：当直线穿过圆形的中心点时，它们相交。

当直线穿过圆形的圆周时，它们连接在一起。

因此，根据以上的数学定义，我们可以推出圆与直线相切的公式：设P为圆的圆心，R为圆的半径，M（x，y）为圆的一点。

则圆（P，R）与直线L：ax+by+c=0相切的条件为：（x-Px）2+(y-Py)2=R2以上就是直线与圆相切的数学公式。

让我们来看一个实际的例子，更好地了解这个公式。

假设我们有一个圆的半径为2，圆心位于点（2，3）。

我们需要求一条直线，使得它与这个圆相切。

为此，我们采用前面提到的公式，其中Px = 2，Py = 3，R = 2。

因此，（x-2）2+(y-3)2=4以上就是直线与圆相切的数学公式。

下面我们来看一些有关直线与圆相切的数学概念。

首先，要了解圆与直线相切，我们首先要掌握圆心和极坐标系的关系，即极坐标系可以定义圆形在空间中的位置，这是其它坐标系所无法替代的。

其次，当直线穿过圆的圆心时，它们之间的关系是：直线和圆相交。

当曲线穿过圆的圆周时，它们之间的关系是：直线和圆相切。

再次，我们还可以讨论直线与圆来讨论关于直线与圆的派生性质，比如说，我们可以讨论圆上一点到直线的距离，或者求解直线的切线。

最后，还有一些非常有趣的概念，可以用来讨论直线与圆的相交或相切情况，比如说，单位圆的概念就是一个非常有趣的概念，它表示圆的半径为1，相当于一个以半径为1的圆。

通过结合上述概念，我们可以更好地理解直线与圆相切的公式。

总之，以《直线与圆相切公式》为标题，本文首先阐述了圆与直线之间的数学关系，并通过计算一个实际的例子，推导出了圆与直线相切的公式。

圆与直线相切求切线方程

圆与直线相切求切线方程以圆与直线相切求切线方程为标题，我们来探讨一下这个问题。

在平面几何中，圆与直线的相切问题是一个经典的几何问题。

相切意味着圆与直线只有一个公共点，并且在这个点处圆的切线与直线重合。

我们将通过推理和求解来找到切线方程。

让我们考虑一个简单情况。

假设我们有一个圆心为O、半径为r的圆和一条直线l。

我们希望找到与这个圆相切的直线。

为了方便分析，我们可以将圆的圆心O移到坐标原点，这样问题就转化为了求解过原点的切线方程。

设直线l的方程为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线的截距。

由于直线l与圆相切，所以直线l与圆有且只有一个交点，即切点。

我们设切点的坐标为(x0, y0)。

根据圆的定义，切点到圆心的距离等于圆的半径，即√(x0^2 + y0^2) = r。

由于切点在直线l上，所以切点的坐标(x0, y0)满足直线l的方程，即y0 = kx0 + b。

现在我们有两个方程，分别是√(x0^2 + y0^2) = r和y0 = kx0 + b，我们将这两个方程联立求解。

我们可以将第一个方程改写为x0^2 + y0^2 = r^2，然后将第二个方程中的y0用kx0 + b代替，得到x0^2 + (kx0 + b)^2 = r^2。

展开并整理上述方程，得到(k^2 + 1)x0^2 + 2kbx0 + b^2 - r^2 = 0。

这是一个关于x0的二次方程，我们可以使用判别式来判断其有无解。

判别式D = (2kb)^2 - 4(k^2 + 1)(b^2 - r^2)。

如果判别式D大于等于0，则方程有实数解，也就是说直线l与圆相切。

此时，我们可以求解出x0的值。

然后，我们将求得的x0带入直线l的方程y = kx + b中，就可以得到切点的纵坐标y0。

我们可以得到与给定圆相切的直线方程y = kx + b，其中k和b是通过上述求解过程获得的。

需要注意的是，以上推导过程是在圆心位于坐标原点的情况下进行的。