分类计数原理与分步计数原理教学设计
高中数学《分类计数原理与分步计数原理》说课稿教案模板2篇
高中数学《分类计数原理与分步计数原理》说课稿教案模板2篇High school mathematics "classified counting principle and step by step counting principle" lesson manuscript teaching plan template高中数学《分类计数原理与分步计数原理》说课稿教案模板2篇前言：小泰温馨提醒，说课稿是为进行说课准备的文稿，教师在吃透教材、简析教材内容、教学目的、教学重点、难点的基础上，遵循整体构思、融为一体、综合论述的原则，分块写清，分步阐述教学内容，以进一步提高教学效果。
本教案根据幼儿园说课稿标准的要求和针对教学对象是高中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划。
便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。
本文简要目录如下：【下载该文档后使用Word打开，按住键盘Ctrl键且鼠标单击目录内容即可跳转到对应篇章】1、篇章1：高中数学《分类计数原理与分步计数原理》说课稿教案模板2、篇章2：高中数学《分类计数原理与分步计数原理》说课稿教案模板篇章1:高中数学《分类计数原理与分步计数原理》说课稿教案模板一、本节内容的地位与重要性“分类计数原理与分步计数原理”是《高中数学》一节独特内容。
这一节课与排列、组合的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解分类计数原理与分步计数原理，还为日后排列、组合和二项式定理的教学做好准备,起到奠基的重要作用。
二、关于教学目标的确定根据两个基本原理的地位和作用，我认为本节课的教学目标是：（1）使学生正确理解两个基本原理的概念;（2）使学生能够正确运用两个基本原理分析、解决一些简单问题;（3）提高分析、解决问题的能力（4）使学生树立“由个别到一般，由一般到个别”的认识事物的辩证唯物主义哲学思想观点。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案一、教学目标1. 让学生理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。
2. 让学生学会运用分类加法计数原理和分步乘法计法原理解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 分类加法计数原理：（1）概念介绍：同一类对象的数量相加得到总数。
（2）实例讲解：学校举办运动会，参加跑步的有20人，参加跳高的有15人，参加跳远的有10人，请问参加运动会的总人数是多少？a. 班级里有男生30人，女生20人，请问班级里总共有多少人？b. 图书馆里有小说50本，科普书籍30本，请问图书馆里总共有多少本书？2. 分步乘法计数原理：（1）概念介绍：完成一项任务需要多个步骤，每个步骤的数量相乘得到总数量。
（2）实例讲解：做一份报纸，需要先排版（10分钟），印刷（20分钟），装订（10分钟），请问完成这份报纸需要多长时间？a. 制作一个蛋糕，需要打发鸡蛋（10分钟），加入面粉和糖（5分钟），烘烤（20分钟），请问制作一个蛋糕需要多长时间？b. 工厂生产一批玩具，每台机器每小时可以生产10个玩具，共有3台机器工作，请问每小时可以生产多少个玩具？三、教学方法1. 采用讲授法，讲解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念及应用。
2. 利用实例讲解，让学生更好地理解计数原理。
3. 设计练习题，让学生动手实践，巩固所学知识。
四、教学评价1. 课堂问答：检查学生对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解。
2. 练习题解答：评价学生运用计数原理解决问题的能力。
3. 课后作业：布置相关题目，让学生进一步巩固所学知识。
五、教学资源1. PPT课件：展示分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念及实例。
2. 练习题：提供丰富的练习题，让学生动手实践。
3. 教学视频：可选用的相关教学视频，辅助学生理解计数原理。
4. 黑板、粉笔：用于板书关键词和讲解实例。
六、教学步骤1. 引入新课：通过一个简单的实例，让学生感受分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用。
高中数学_分类计数原理与分步计数原理教学设计学情分析教材分析课后反思
《分类计数原理与分步计数原理》教学设计课题：分类计数原理与分步计数原理课型：新授课一、教材分析1、教材的地位与作用《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》，是高中数学人教A版选修2-3第一章第一节课。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列、组合的基础，学生对这两个原理的理解，掌握和运用，成为学好本章的一个关键。
2、教学目标（1）知识目标掌握计数的两个基本原理,并能正确的用它们分析和解决一些简单的问题.（2）能力目标通过计数基本原理的理解和运用,提高学生分析问题和解决问题的能力,开发学生的逻辑思维能力.（3）情感目标培养学生勇于探索、勇于创新的精神，面对现实生活中复杂的事物和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，提高实际的应变能力。
3、重点、难点重点：分类计数原理与分步计数原理难点：正确运用分类计数原理与分步计数原理二、学情分析1、认知水平：已有使用计数原理的生活经验，但缺少思维上升，将通过再现生活情境帮助自我建构；2、心理特点：他们热爱数学，但缺少数学自信，让他们在体验生活应用和实践的成功乐趣，从而爱上数学，爱上学习；3、能力水平：动手操作能力强，但抽象思维能力弱，将通过体验性，过程性来实现。
三、教法分析科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍，达到教与学的和谐完美统一。
基于此，我准备采用的教法：是启发引导，学生讨论相结合的方法，这样可以充分调动学生的积极性，增强同学们的参与机会，让学生在学中思，在思中学，培养学生的数学观察猜想能力，启迪学生的探索灵感。
让学生有一个直观的感受，然后在教师的引导下让学生形成感性认识。
通过设问，让学生充分进行讨论，逐步引导学生形成概念。
四、学法指导“授人与鱼，不如授人与渔”。
教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，运用观察分析讨论总结的学习方法。
五、教学过程设计（一）提出课题――引入新课首先,提出本节课的课题：分类加法计数原理与分步乘法计数原理。
分类计数原理与分步计数原理教案
分类计数原理与分步计数原理教案●教学目标（一）教学知识点1.分类计数原理.2.分步计数原理.（二）能力训练要求1.正确理解分类计数原理与分步计数原理的内容.2.正确运用两个基本原理分析、解决一些简单问题.3.了解基本原理在实际生产、生活中的应用.4.提高分析问题、解决问题的能力.（三）德育渗透目标要求学生在现实生活中面对复杂的事物和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，提高实际的应变能力，从而认识数学知识与现实生活的内在联系及不可分割性.●教学重点分类计数原理与分步计数原理.●教学难点正确运用分类计数原理与分步计数原理.●教学方法启发引导式在两个基本原理的教学过程中，应启发学生由特殊情形归纳出一般原理，这一过程遵循由简单到复杂的认知规律，而且在基本原理的语言叙述上，也采用了生活化的语言，使学生易于理解.其次，要引导学生通过寻求两个原理的区别来理解原理.其一，认识到理解分类计数原理的关键是分类标准的确定，然后在确定的标准下分类，而完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法.其二，分步计数原理应根据问题的特点先确定一个分步的标准，还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成这n个步骤后这件事才算完成.●教学准备投影片三张第一张：问题一及图示（记作§10.1.1 A）第二张：问题二及图示（记作§10.1.1 B）第三张：本节例题（记作§10.1.1 C）●教学过程Ⅰ.课题导入［师］从引言部分大家了解到，排列组合是完成某项工作的方法种数的知识，在实际生产生活中有着十分广泛的应用，而学习排列组合知识，首先要熟悉分类计数原理与分步计数原理这两个关于计数的基本原理，它们是在人们大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律.它们不仅是指导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法贯穿在解决本章应用问题的始终.下面，我们将通过实例给出两个基本原理，并结合实例进一步熟悉两个原理.Ⅱ.讲授新课［师］首先，我们来看问题一.（给出投影片§10.1.1 A）问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天中，火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？图示：［师生共析］要完成从甲地到乙地这件事，从交通工具上可以有两类选择，即乘火车或者乘汽车，无论乘坐哪一类都可达到目的.若乘火车有3种走法，若乘汽车有2种走法.由于每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有3+2=5种不同的走法，如图所示.［师］在上述的分析过程中，就体现了分类计数原理.（板书原理内容）分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+m2+…+m n种不同的方法.1［师］对于分类计数原理，我们应注意以下几点.（1）从分类计数原理中可以看出，各类之间相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，所以分类计数原理又称加法原理；（2）分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类；（3）完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法.［师］接下来，我们再看问题二.（给出投影片§10.1.1 B）问题二：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地.一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？［师］问题二与问题一同是研究从甲地到乙地的不同走法，但是，我们要注意找出这两个问题的不同之处.［生］在前一问题中，采用乘火车或乘汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地.而在这个问题中，必须经过先乘火车，后乘汽车两个步骤，才能从甲地到达乙地.［师］很好，下面我们就按照上述思路来完成问题二的解答.［师生共析］要完成从甲地到乙地这件事，需要分成两个步骤，即第一步乘火车，第二步乘汽车.因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，并且两步依次完成后才能达到目的，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有3×2=6种不同的走法.［师］从如下的图示中，我们可以具体地看到这6种走法.图示：所有走法火车1——汽车1火车1——汽车2火车2——汽车1火车2——汽车2火车3——汽车1火车3——汽车2［师］在问题二的分析过程中，就体现了分步计数原理.（板书原理内容）分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m×m2×…×m n种不同的方法.1［师］对于分步计数原理，我们还应注意以下几点.（1）分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤完成了，这件事才算完成；（2）分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；（3）分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成n个步骤后这件事才算完成.［师］下面，我们结合例题来一起体会两个基本原理的正确运用.［例1］电视台在“欢乐大本营”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多种不同的结果？分析：抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑.解：分两大类：（1）幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有：30×29×20=17400种结果；（2）幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30=11400种结果，因此共有不同结果17400+11400=28800种.［师］大家在综合运用两个原理时，既要会合理分类，又能合理分步，一般情形是先分类后分步.［例2］4张卡片的正、反面分别有0与1，2与3，4与5，6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？分析：分三步确定百位、十位、个位，注意到首位不能为0，且正反两面可用.解：分三个步骤：第一步：首位可放8－1=7个数；第二步：十位可放6个数；第三步：个位可放4个数.根据分步计数原理，可以组成N=7×6×4=168个数.［师］分类计数原理和分步计数原理是排列组合的理论基础，这两个原理的本质区别在于分类与分步，分类用分类计数原理，分步用分步计数原理.用分类计数原理的关键在于恰当分类，分类要做到“不重不漏”，应用分步计数原理的关键在于分步，要正确设计分步程序.［师］下面我们通过课堂练习来进一步熟悉基本原理的应用.Ⅲ.课堂练习练习：课本P861.解：（1）分两类：第一类：从5人中选1人，有5种选法；第二类：从4人中选1人，有4种选法；根据分类计数原理，共有不同选法：N=5+4=9种.（2）分两步：第一步：从A村去B村，有3种走法；第二步：从B村去C村，有2种走法；根据分步计数原理，共有不同走法：N=3×2=6种.2.解：（1）分三类：第一类：从高一学生中选，有3种选法；第二类：从高二学生中选，有5种选法；第三类：从高三学生中选，有4种选法.根据分类计数原理，共有：N=3+5+4=12种.（2）分三步：第一步：从高一学生中选，有3种选法；第二步：从高二学生中选，有5种选法；第三步：从高三学生中选，有4种选法.根据分步计数原理，共有：N=3×5×4=60种.3.解：分三步：第一步：从第一个括号中选，有3种选法；第二步：从第二个括号中选，有4种选法；第三步：从第三个括号中选，有5种选法；根据分步计数原理，共有：N=3×4×5=60种不同项.Ⅳ.课时小结［师］通过本节学习，要求大家正确理解分类计数原理与分步计数原理，并能正确运用两个基本原理分析、解决生产、生活中的实际应用.Ⅴ.课后作业（一）课本习题10.11.解：分两类：第一类：选本地产品有4种选法；第二类：选外地产品有7种选法；根据分类计数原理有：N=4+7=11种选法.2.解：分两大类：第一大类：由甲地经乙地到丁地，又可分为两步：第一步：甲到乙有2种走法；第二步：由乙到丁有3种走法；由分步计数原理，第一类共有2×3=6种走法；第二大类：由甲地经丙地到丁地，又可分为两步：第一步：甲到丙有4种走法；第二步：由丙到丁有2种走法；由分步计数原理，第二类共有4×2=8种走法；再根据分类计数原理，从甲到丁共有：N=6+8=14种不同走法.3.解：构造分数分两步：第一步：分子从1，5，9，13中选取，有4种选法；第二步：从4，8，12，16中选分母，有4种选法.由分步计数原理，有不同分数N=4×4=16种.构造真分数分四类：第一类：1作分子，分母有4种选法；第二类：5作分子，分母有3种选法；第三类：9作分子，分母有2种选法；第四类：13作分子，分母有1种选法.由分类计数原理，共有N=4+3+2+1=10个不同真分数.（二）1.预习课本P例1～例3.852.预习题纲：（1）熟悉基本原理应用；（2）各例题中分类或分步的标准是什么.。
教案(分类计数原理与分步计数原理)
1.分类计数原理如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.2.分步计数原理如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法.3.分类计数原理与分步计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数.它们的区别在于：分类计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.(×)(2)在分类计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.(√)(3)在分步计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成.(√)(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法m i(i＝1,2,3，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…m n种方法.(√)(5)在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(√)1.(教材改编)三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过3次传递后，毽子又被踢回给甲.则不同的传递方式共有________种.答案 2解析传递方式有甲→乙→丙→甲；甲→丙→乙→甲.2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为________.答案 5解析5个人中每一个都可主持，所以共有5种选法.3.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________种.答案48解析按A→B→C→D顺序分四步涂色，共有4×3×2×2＝48种.4.用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，则这样的四位数共有________个.(用数字作答)答案14解析数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C14＝4个四位数.“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C24＝6个四位数.“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C34＝4个四位数.综上所述，共可组成14个这样的四位数.5.(教材改编)5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有________种.答案32解析每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名同学报名，由分步计数原理，总的报名方法共2×2×2×2×2＝32(种).题型一分类计数原理的应用例1高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人.(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？解(1)完成这件事有三类方法：第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法.根据分类计数原理，任选一名学生任学生会主席共有50＋60＋55＝165种选法.(2)完成这件事有三类方法：第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法.综上知，共有30＋30＋20＝80种选法.思维升华分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置.首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类.(2015·四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有________个.答案120解析由题意知，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3×A34＝72个；若万位是4，则有2×A34＝48个，故比40 000大的偶数共有72＋48＝120个.题型二分步计数原理的应用例2(1)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有________种.(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法.答案(1)12(2)120解析(1)先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有6种不同排法；再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法.因此共有6×2×1＝12种不同的排列方法.(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120种.引申探究1.本例(2)中将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？解每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有36＝729种.2.本例(2)中将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？解每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有63＝216种.(1)某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花________元.(2)用0,1,2,3,4,5可组成无重复数字的三位数的个数为________.答案(1)8 640(2)100解析(1)从01至10中选3个连续的号共有8种选法；从11至20中选2个连续的号共有9种选法；从21至30中选1个号有10种选法；从31至36中选1个号有6种选法，根据分步计数原理，得共有8×9×10×6＝4 320种，所以至少需花4 320×2＝8 640(元).(2)可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数字有5种放法；第二步：十位数字有5种放法；第三步：个位数字有4种放法.根据分步计数原理，三位数的个数为5×5×4＝100. 题型三两个计数原理的综合应用例3如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数.解方法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步计数原理即可得出结论.由题设，四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法.当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法.可见，当S、A、B已染好时，C、D还有3＋2＋2＝7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420种.方法二以S、A、B、C、D顺序分步染色.第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法.由分步、分类计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420种.方法三按所用颜色种数分类.第一类，5种颜色全用，共有A55种不同的方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A45种不同的方法；第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A35种不同的方法.由分类计数原理，得不同的染色方法种数为A55＋2×A45＋A35＝420.思维升华(1)应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.(2)分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键.(3)分步要做到“步骤完整”，步步相连能将事件完成.(4)较复杂的问题可借助图表完成.如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有________种.答案30解析由题意知本题需要分类来解答，首先A选取一种颜色，有3种情况.如果A的两个相邻点颜色相同，有2种情况；这时最后两个点也有2种情况；如果A的两个相邻点颜色不同，有2种情况；这时最后两个点有3种情况.所以方法共有3×(2×2＋2×3)＝30种.13.对两个基本计数原理认识不清致误典例(1)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有________种.(2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可有________种.易错分析解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后应用加法原理和乘法原理来计算.解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误，对于(1)，选择的标准不同，误认为每个信箱有三种选择，所以可能的投法有34种，没有注意到一封信只能投在一个信箱中；对于(2)，易混淆“类”与“步”，误认为到达乙地先坐火车后坐轮船，使用乘法原理计算.解析(1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法.只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步计数原理可得共有43种方法，即64种.(2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类计数原理，可得此人的走法可有4＋3＝7种.答案(1)64(2)7温馨提醒(1)每封信只能投到一个信箱里，而每个信箱可以装1封信，也可以装2封信，其选择不是唯一的，所以应注意由信来选择信箱，每封信有4种选择.(2)在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.[方法与技巧]1.分类和分步计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.2.分类标准要明确，做到不重复不遗漏.3.混合问题一般是先分类再分步.4.要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.[失误与防范]1.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行.2.分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步.3.确定题目中是否有特殊条件限制.A组专项基础训练(时间：40分钟)1.从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为________.答案18解析三位数可分成两种情况：(1)奇偶奇；(2)偶奇奇.对于(1)，个位(3种选择)，十位(2种选择)，百位(2种选择)，共12种；对于(2)，个位(3种选择)，十位(2种选择)，百位(1种选择)，共6种，即12＋6＝18.2.小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有________种.答案 5解析记反面为1，正面为2，则正反依次相对有12121212,21212121两种；有两枚反面相对有21121212,21211212,21212112三种，共5种摆法.3.如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<a2且a3<a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个数为________.答案240解析分8类，当中间数为2时，有1×2＝2个；当中间数为3时，有2×3＝6个；当中间数为4时，有3×4＝12个；当中间数为5时，有4×5＝20个；当中间数为6时，有5×6＝30个；当中间数为7时，有6×7＝42个；当中间数为8时，有7×8＝56个；当中间数为9时，有8×9＝72个.故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个.4.集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________.答案14解析当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7，则共有14个点.5.从－2、－1、0、1、2、3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c 的系数a、b、c，则可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线条数为________.答案 6解析分三步：第一步c＝0只有1种方法；第二步确定a，a从－2、－1中选一个，有2种不同方法；第三步确定b，b从1、2、3中选一个，有3种不同的方法.根据分步计数原理得1×2×3＝6种不同的方法.6.2015北京世界田径锦标赛上，8名女运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种. 答案 2 880解析分两步安排这8名运动员.第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排.所以安排方式有4×3×2＝24种.第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120种.所以安排这8人的方式有24×120＝2 880种.7.如图，将网格中的三条线段沿网格线上下或左右平移，组成一个首尾相接的三角形，则三条线段一共至少需要移动________格.答案9解析如图，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形，根据平移的基本性质知：左边的线段向右平移3格，中间的线段向下平移2格，最右边的线段先向左平移2格，再向上平移2格，此时平移的格数最少为3＋2＋2＋2＝9，其他平移方法都超过9格，∴至少需要移动9格.8.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有________种.答案9解析编号为1的方格内填数字2，共有3种不同填法；编号为1的方格内填数字3，共有3种不同填法；编号为1的方格内填数字4，共有3种不同填法.于是由分类计数原理，得共有3＋3＋3＝9种不同的填法.9.有一项活动需在3名老师，6名男同学和8名女同学中选人参加，(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？(2)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？(3)若需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同选法？解(1)只需一人参加，可按老师，男同学，女同学分三类各自有3,6,8种方法，总方法数为3＋6＋8＝17种.(2)分两步，先选教师共3种选法，再选学生共6＋8＝14种选法，由分步计数原理知，总方法数为3×14＝42种.(3)教师，男同学，女同学各一人可分三步，每步方法依次为3,6,8种.由分步计数原理知总方法数为3×6×8＝144种.10.为了做好阅兵人员的运输，从某运输公司抽调车辆支援，该运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？解 在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车.可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C 17种抽调方法；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A 27种抽调方法；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C 37种抽调方法.故共有C 17＋A 27＋C 37＝84种抽调方法.B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有________种.答案 12解析 分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C 12＝2种选派方法； 第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C 24＝6种选派方法.由分步计数原理，不同选派方案共有2×6＝12种.12.已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1,2,3,4}，定义函数f ：M →N .若点A (1，f (1))、B (2，f (2))、C (3，f (3))，△ABC 的外接圆圆心为D ，且 DA →＋DC →＝λDB →(λ∈R )，则满足条件的函数f (x )有________种.答案 12解析 由DA →＋DC →＝λDB →(λ∈R )，说明△ABC 是等腰三角形，且BA ＝BC ，必有f (1)＝f (3)，f (1)≠f (2).当f (1)＝f (3)＝1时，f (2)＝2、3、4，有三种情况；f (1)＝f (3)＝2，f (2)＝1、3、4，有三种情况；f (1)＝f (3)＝3，f (2)＝2、1、4，有三种情况；f (1)＝f (3)＝4，f (2)＝2、3、1，有三种情况.因而满足条件的函数f (x )有12种.13.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3 443,94 249等.显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个.答案(1)90(2)9×10n解析(1)4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，中间两位一样，有10种填法，共计9×10＝90种填法，即4位回文数有90个.(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格.结合分步计数原理，知有9×10n种填法.14.某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法，则说日语的有2＋1＝3种，此时共有6×3＝18种；第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语，则只有1种方法，则选会日语的有2种，此时共有1×2＝2种；所以根据分类计数原理知共有18＋2＝20(种)选法.15.将红、黄、绿、黑4种不同的颜色分别涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同涂色方法？解方法一本题利用了分步计数原理求涂色问题.给出区域标记号A，B，C，D，E(如图)，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D涂的颜色，如果B与D颜色相同有2种涂色方法，不相同，则只有1种.因此应先分类后分步.①当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48种；②当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种.故共有48＋24＝72种不同的涂色方法.方法二按用3种或用4种颜色分两类，第一类用3种，此时A与E，B与D分别同色，于是涂法种数为A34＝24；第二类用4种，此时A与E，B与D有且只有一组同色，涂法种数为2A44＝48.由分类计数原理知涂法总数为24＋48＝72种.。
教学设计2：分类加法计数原理与分步乘法计数原理
10.6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理考纲传真 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m ＋n 种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m ×n 种不同的方法．1．(人教A 版教材习题改编)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有( )A ．50个B ．45个C ．36个D ．35个【解析】 根据题意，十位数上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目要求的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．【答案】 C2．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A ．10B ．11C ．12D ．15【解析】 若4个位置的数字都不同的信息个数为1；若恰有3个位置的数字不同的信息个数为C34；若恰有2个位置上的数字不同的信息个数为C24.由分类计数原理知满足条件的信息个数为1＋C34＋C24＝11.【答案】B3．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为()A．504 B．210 C．336 D．120【解析】分三步，先插一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法．故共有7×8×9＝504种不同的插法．【答案】A4．(2012·大纲全国卷)6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有()A．240种B．360种C．480种D．720种【解析】第一步先排甲，共有A14种不同的排法；第二步再排其他人，共有A55种不同的排法．因此不同的演讲次序共有A14·A55＝480(种)．【答案】C5．从4名男生，2名女生中，选2人参加某项活动，至少有一名女生参加的选法有________种．【解析】法一分两类，①一男一女，共有4×2＝8种；②两女，只有1种，共有8＋1＝9种．法二间接法C26－C24＝15－6＝9种．【答案】9分类加法计数原理某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种【思路点拨】由于是两类不同的书本，故用分类加法计数原理．【尝试解答】赠送一本画册，3本集邮册．需从4人中选取一人赠送画册，其余送邮册，有C14种方法．赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人送画册，其余2人送邮册，有C24种方法．由分类加法计数原理，不同的赠送方法有C14＋C24＝10(种)．【答案】B,1．本题常见错误：①忽视相同画册，相同集邮册条件，错用排列计算．②找不准分类标准．求解的关键在于抓住赠送画册的本数进行分类．2．分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法．图10－1－1如图10－1－1所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．【解析】把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)．第二类，有两条公共边的三角形共有8(个)．由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．【答案】40分步乘法计数原理(2012·大纲全国卷)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A．12种B．18种C．24种D．36种【思路点拨】先排第一列三个位置，再排第二列第一行上的元素，则其余位置上元素就可以确定．【尝试解答】先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有A33种不同排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A12种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A33·A12·1＝12(种)不同的排列方法．【答案】A,1．利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且也要确定分步的标准，分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．2．分步必须满足两个条件：(1)步骤互相独立，互不干扰．(2)步与步确保连续，逐步完成．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，若a，b，c∈M，则(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数．【解】(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y ＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180个不同的二次函数．(2)y＝ax2＋bx＋c的开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况．因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72个图象开口向上的二次函数.两个计数原理的综合应用图10－1－2如图10－1－2所示，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有()A．288种B．264种C．240种D．168种【思路点拨】解答本题应注意两点：(1)每一个点都有可以和它同色的两个点．(2)涂色的顺序不同影响解题的难度，可先涂A、D、E，再分类涂B、F、C.【尝试解答】先涂A、D、E，共有4×3×2＝24种涂法，然后再按B、C、F的顺序涂色，分为两类：一类是B与E或D同色，共有2×(2×1＋1×2)＝8种涂法，另一类是B与E 和D不同色，共有1×(1×1＋1×2)＝3种涂法，故涂色方法共有24×(8＋3)＝264种．【答案】B,1．给B、C、F涂色时，在每一类下又有两种情况，应切实掌握好分类的标准，分清哪些可以同色，哪些不同色．2．用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(2013· 杭州模拟)如图10－1－3，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有________．图10－1－3【解析】按区域1与3是否同色分类：(1)区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2，4，5(还有3种颜色)有A33种方法．∴区域1与3涂同色，共有4A33＝24种方法．(2)区域1与3不同色：先涂区域1与3有A24种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法．∴这时共有A24×2×1×3＝72种方法，故由分类计数原理，不同的涂色种数为24＋72＝96.【答案】96两个原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终．(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类．(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各个步骤中任取一种方法，构成完成这件事的一种方法，简单的说步与步之间的方法“相互独立，多步完成”．两点提醒1.分类时，标准要明确，应做到不重不漏．2．分步时，要合理设计顺序、步骤，并注意元素是否可以重复选取．从近两年高考试题看，两个计数原理是高考考查的热点，一般与排列、组合等知识结合，考查分类讨论的数学思想．主要涉及数字问题、几何问题、涂色问题，有时也出现与其它知识相结合的新定义题型．创新探究之十二与计数原理有关的新定义题(2012·江苏高考)设集合P n＝{1，2，…，n}，n∈N*，记f(n)为同时满足下列条件的集合A 的个数：①A ⊆P n ；②若x ∈A ，则2x ∉A ；③若x ∈∁P n A ，则2x ∉∁P n A .(1)求f (4)；(2)求f (n )的解析式(用n 表示)．【解】 (1)当n ＝4时，符合条件的集合A 为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}，故f (4)＝4.(2)任取偶数x ∈P n ，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k 次以后，商必为奇数，此时记商为m ，于是x ＝m ·2k ，其中m 为奇数，k ∈N *.由条件知，若m ∈A ，则x ∈A ⇔k 为偶数；若m ∉A ，则x ∈A ⇔k 为奇数．于是x 是否属于A 由m 是否属于A 确定．设Q n 是P n 中所有奇数的集合，因此f (n )等于Q n 的子集个数．当n 为偶数(或奇数)时，P n 中奇数的个数是n 2(或n ＋12)， 所以f (n )＝⎩⎨⎧2n 2，n 为偶数，2n ＋12，n 为奇数.创新点拨：(1)以集合的概念和运算为背景，求解计数问题．(2)一题两问，体现由特殊到一般的数学思想，考查归纳、抽象概括能力．防范措施：(1)通过阅读、分析，弄清新定义，弄清利用新定义所解决的问题，如本题中f (n )表示集合A 的个数，且集合A 满足三个条件．(2)从特殊情形入手，通过分析、归纳，发现问题中隐含的一些本质特征和规律，然后再推广到一般情形，必要时可以多列举一些特殊情形，使规律方法更加明确．1．(2012·课标全国卷)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种【解析】 分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C 12＝2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C24＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)．【答案】A2．(2013·济南质检)如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．【解析】第一类：恰有三个相同的数字为1，选2，3，4中的一个数字排在十、百、千位的一个位置上，有C13·A13种方法，四位“好数”有9个．第二类：相同的三个数字为2，3，4中的一个，这样的四位“好数”为2221，3331，4441共3个．由分类加法计数原理，共有“好数”9＋3＝12个．【答案】12。
分类计数原理与分步计数原理教学提纲
分类计数原理与分步计数原理《分类计数原理与分步计数原理（一）》教学设计柳州地区民族高级中学覃艳莉相关教材：人民教育出版社的全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第二册（下B）一、教学内容解析：１.教学内容：分类计数原理、分步计数原理，这两个原理也是本次课的教学重点。
２.概念解析：分类计数原理和分步计数原理都是计算完成一件事共有多少种不同方法数的原理，也叫加法原理和乘法原理。
其区别在于：运用加法原理的前提条件是完成一件事有n类办法，选择任何一类办法中任何一种方法都可以独立完成此事，就是说，完成这件事的各种方法是相互独立的，所以总方法数为各类方法数之和；运用乘法原理的前提条件是完成一件事需n个步骤，只有依次完成所有步骤后才能完成这件事，就是说，完成这件事的各个步骤是相互依存的，所以总方法数为各步骤方法数之积。
3.两个计数原理的地位和作用：分类计数原理与分步计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分类解决或分步解决。
这不仅是今后推导排列数与组合数计算公式的依据，而且这种解决问题的思想与方法贯穿于本章的始终。
二、教学目标设置：1.知识与技能目标：理解并掌握分类计数原理与分步计数原理，能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
2.过程和方法目标：创设情境，将一些实际问题归结为一个分类或分步的计数问题，使学生的建构思维能力得到提升；在总结时用到特殊到一般的思想；在解题时通过类比，举一反三，使学生对两个计数原理有一个更深刻的理解。
3.情感与态度目标：通过学生小组活动，培养学生周密思考、细心分析的良好的学习习惯，使学生在现实生活中面对复杂的事务和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，认识数学知识与现实生活的内在联系及不可分割性。
让学生感受到亲切、和谐的学习氛围，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。
三、学生学情分析：1.认知基础分析：学生在初中学习过用列举法或树状图来解决一些计数问题，已经具备了一定的归纳、类比能力，也能解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”。
高中数学教案设计：《分类计数原理与分步计数原理》
高中数学教案设计：《分类计数原理与分步计数原理》懦夫把困难当作沉重的包袱，勇士把困难当作前进的阶梯。
一、教学目标“分类计数原理与分步计数原理”是《高中数学》一节独特内容。
这一节课与排列、组合的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解分类计数原理与分步计数原理，还为日后排列、组合和二项式定理的教学做好准备，起到奠基的重要作用。
二、关于教学目标的确定根据两个基本原理的地位和作用，我认为本节课的教学目标是：（1）使学生正确理解两个基本原理的概念；（2）使学生能够正确运用两个基本原理分析、解决一些简单问题；（3）提高分析、解决问题的能力（4）使学生树立“由个别到一般，由一般到个别”的认识事物的辩证唯物主义哲学思想观点。
三、关于教学重点、难点的选择和处理中学数学课程中引进的关于排列、组合的计算公式都是以两个计数原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本原理，所以正确理解两个基本原理并能解决实际问题是学习本章的重点内容。
正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件.而原理中提到的分步和分类，学生不是一下子就能理解深刻的，面对复杂的事物和现象学生对分类和分步的选择容易产生错误的认识，所以分类计数原理和分步计数原理的准确应用是本节课的教学难点。
必需使学生认清两个基本原理的实质就是完成一件事需要分类还是分步，才能使学生接受概念并对如何运用这两个基本原理有正确清楚的认识。
教学中两个基本问题的引用及引伸，就是为突破难点做准备。
四、关于教学方法和教学手段的选用根据本节课的内容及学生的实际水平，我采取启发引导式教学方法并充分发挥电脑多媒体的辅助教学作用。
启发引导式作为一种启发式教学方法，体现了认知心理学的基本理论。
符合教学论中的自觉性和积极性、巩固性、可接受性、教学与发展相结合、教师的主导作用与学生的主体地位相统一等原则，教学过程中，教师采用点拨的方法，启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”和接受，进而完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计教学设计：分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、教学目标：1.了解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念和应用。
2.掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理的解题方法。
3.培养学生的分类、归纳和逻辑思维能力。
二、教学准备：1.教学用具：黑板、粉笔、教学课件、教学实例。
2.学生学具：纸笔。
三、教学过程：步骤一：导入新知识1.教师简要介绍分类加法计数原理和分步乘法计数原理的内容和应用。
2.引导学生思考：在日常生活中，是否经常遇到需要进行分类和计数的问题？举例说明。
步骤二：分类加法计数原理1.定义：将问题分解成若干个相互独立的部分，计算每个部分的数量然后求和。
2.通过教学实例，讲解分类加法计数原理的解题方法。
（1）例1：班有3个男生和4个女生，问这个班一共有几个人？（2）例2：有红、黄、绿三种颜色的苹果，已知红色有5个，黄色有3个，绿色有2个，问一共有几个苹果？（3）例3：一件衣服原价100元，店铺打8折，现在卖多少钱？3.设计学生练习题，引导学生自主解答。
步骤三：分步乘法计数原理1.定义：将问题分解成若干个相互独立的步骤，计算每个步骤的数量然后相乘。
2.通过教学实例，讲解分步乘法计数原理的解题方法。
（1）例1：从1到4，选出一个数字作为个位数，选出一个数字作为十位数，选出一个数字作为百位数，一共有多少种不同的三位数？（2）例2：现有4个不同的数字，从中选取2个数字，可以组成多少个不同的两位数？3.设计学生练习题，引导学生自主解答。
步骤四：小结与巩固1.简要总结分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用和解题方法。
2.设计综合练习题，要求学生灵活运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解答问题。
步骤五：拓展应用1.鼓励学生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际生活中的问题。
（1）例1：在次抽奖活动中，每个人有5张彩票，每张彩票都有4个数字，已知每个数字的范围是1到10，那么这次抽奖一共有多少个可能的中奖号码？（2）例2：一个班级有4个男生和3个女生，学校要选出一个代表队，其中队长必须是男生，队员可以是男生或女生，那么一共有多少种可能的代表队组合？2.扩大学生的思维视野，培养他们的综合运用能力。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案一、分类加法计数原理教案主旨: 学习分类加法计数原理，能够运用该原理解决实际问题。
一、导入 (5分钟)1. 引入问题:小明有3个红色球和4个蓝色球，他想穿一双颜色相同的球，有多少种可能性？2. 学生回答问题并讨论解决方法。
二、呈现 (10分钟)1. 介绍分类加法计数原理的概念: 分类加法计数原理是指在一个问题中，通过将问题进行分类，然后对每个分类进行计数，最后将各个分类的计数结果相加，得到最终的解决方案。
2. 给出示例问题: 一个篮球队有5个队员，一个足球队有6个队员，现在要选出两个队员进行混合比赛，有多少种可能性？三、讲解 (15分钟)1. 分类: 将问题分为篮球队员和足球队员两类。
2. 计数: 分别计算篮球队员和足球队员的可能性，篮球队员有C(5,2)种组合方式，足球队员有C(6,2)种组合方式。
3. 合并: 将篮球队员和足球队员的组合数相加得到最终的解。
四、练习 (15分钟)1. 分发练习册，让学生完成相关练习。
2. 教师巡视督促学生的练习过程，提供必要的帮助和指导。
五、总结 (5分钟)1. 总结分类加法计数原理的步骤：分类、计数、合并。
2. 强调分类加法计数原理在解决实际问题中的应用。
3. 回顾学生在课堂练习中的解题思路和结果。
二、分步乘法计数原理教案主旨: 学习分步乘法计数原理，能够运用该原理解决实际问题。
一、导入 (5分钟)1. 引入问题:小明喜欢穿不同颜色的T恤和裤子，他有3种不同颜色的T恤和4种不同颜色的裤子，他有多少种穿搭可能性？2. 学生回答问题并讨论解决方法。
二、呈现 (10分钟)1. 介绍分步乘法计数原理的概念: 分步乘法计数原理是指在一个问题中，将问题分为多个独立的步骤，然后计算每个步骤的可能性，并将各个步骤的可能性相乘，得到最终的解决方案。
2. 给出示例问题: 一个密码锁有3个拨轮，每个拨轮上分别有0-9的数字，求密码锁的可能组合数。
分类计数原理和分步计数原理教案
10.1分类计数原理和分步计数原理松四中赵芹【教学目标】1.了解学习本章的意义，激发学生的兴趣；2.理解分类计数原理和分步计数原理，培养学生归纳概括的能力；3.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题【教学重点】理解分类计数原理和分步计数原理，培养学生归纳概括的能力【教学难点】会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题【教学方法】类比、探究、讲练结合及多媒体教学【教学课时】一课时【教学过程】先观察课题“分类计数原理和分步计数原理”，发现这两个原理只有一字之差，一个“分类”，一个“分步”，我们要带着这样三个问题开始进入学习：1、这两个原理是用来干什么的？2、这两个原理应该怎样区别？3、这两个原理应该怎样去使用？引入新课引例1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。
一天中，火车有3班, 汽车有2班。
那么一天中乘坐这些交通工具，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？问：这个引例要解决的问题是什么？答：计算从甲地到乙地的方法总数。
（确定事件）问：完成从甲地到乙地的关键是什么？答：选择不同交通工具。
（确定完成该事件的关键）问：从甲地到乙地方法总数是多少？答：5种。
（确定方法总数）变题1：若从甲地到乙地还有4班飞机可乘，此时又有多少种不同走法？变题2：若完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同方法，在第2类中有2m 种不同方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同方法。
每一类方法中的每一种方法均可完成这件事，那么完成这件事情共有 多少种不同方法？分类计数原理（加法原理）：若完成一件事，有n 类办法，在第1类办法 中有1m 种不同方法，在第2类中有2m 种不同方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同方法。
每一类方法中的每一种方法均可直接完成这件事，那么完成这件事情共有n m m m N +++= 21种不同方法。
引例 2：从甲地到乙地，先从甲地乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。
一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地，共有多少种不同的走法?问：这个引例要解决的问题又是什么？答：计算从甲地到乙地的方法总数。
分类计数原理和分步计数原理教案1
分类计数原理和分步计数原理教案1第一篇：分类计数原理和分步计数原理教案1分类计数原理和分步计数原理教案1教学目标正确理解和掌握分类计数原理和分步计数原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．教学重点和难点重点：分类计数原理和分步计数原理．难点：分类计数原理和分步计数原理的准确应用．教学用具投影仪．教学过程设计(一)引入新课师：从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合、二项式定理．它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般．虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它．今天我们先学习两个基本原理．(这是排列、组合、二项式定理的第一节课，是起始课．讲起始课时，把这一学科的内容作一个大概的介绍，能使学生从一开始就对将要学习的知识有一个初步的了解，并为下面的学习研究打下思想基础) 师：(板书课题)(二)讲授新课1．介绍两个基本原理师：请大家先考虑下面的问题(找出片子——问题1)．问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4个班次，汽车有2个班次，轮船有3个班次．那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？师：(启发学生回答后，作补充说明)因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情．所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4＋2＋3=9种不同的走法．这个问题可以总结为下面的一个基本原理．(打出片子——分类计数原理)分类计数原理：做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N=m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．(教师放慢速度读一遍分类计数原理)师：请大家再来考虑下面的问题(打出片子——问题2)．问题2：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条(见图9－1)，从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？师：(启发学生回答后加以说明)这里，从A村到B村，有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又各有2种不同的走法，因此，从A村经B村去C村共有3×2=6种不同的走法．一般地，有如下基本原理：(找出片子——分步计数原理)分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．(教师要读一遍分步计数原理)2．浅释两个基本原理师：两个基本原理是干什么用的呢？生：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数．(如果学生不能较准确地回答，教师可以加以提示)师：比较两个基本原理，想一想，它们有什么区别呢？(学生经过思考后可以得出：各类的方法数相加，各步的方法数相乘．)两个基本原理的区别在于：一个与分类有关，一个与分步有关．师：请看下面的分析是否正确．(打出片子——题1，题2)题1：找1～10这10个数中的所有合数．第一类办法是找含因数2的合数，共有4个；第二类办法是找含因数3的合数，共有2个；第三类办法是找含因数5的合数，共有1个．1～10中一共有N=4＋2＋1=7个合数．题2：在前面的问题2中，步行从A村到B村的北路需要8时，中路需要4时，南路需要6时，B村到C村的北路需要5时，南路需要3时，要求步行从A村到C村的总时数不超过12时，共有多少种不同的走法？第一步从A村到B村有3种走法，第二步从B村到C村有2种走法，共有N=3×2=6种不同走法．生乙：从A村到C村总时数不超过12时的走法共有5种．题2中从A村走北路到B村后再到C村，只有南路这一种走法．(此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的注意事项，这样安排，不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻，而且还可以培养学生的学习能力)师：为什么会出现错误呢？生：题1的分类可能有问题吧，题2都走北路不符合要求．师：(教师归纳)进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能单独完成这件事．只有满足这个条件，才能直接用分类计数原理，否则不可以．如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么计算完成这件事的方法数时，就可以直接应用分步计数原理．也就是说：类类互斥，步步独立．(在学生对问题的分析不是很清楚时，教师及时地归纳小结，能使学生在应用两个基本原理时，思路进一步清晰和明确，不再简单地认为什么样的分类都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互联系就用乘法．从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质)(三)应用举例师：现在我们已经有了两个基本原理，我们可以用它们来解决一些简单问题了．请看例题1．(板书)例1书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．(1)若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？(2)若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？(3)若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？(让学生思考，要求依据两个基本原理写出这3个问题的答案及理由，教师巡视指导，并适时口述解法)师：(1)从书架上任取一本书，可以有3类办法：第一类办法是从3本不同数学书中任取1本，有3种方法；第二类办法是从5本不同的语文书中任取1本，有5种方法；第三类办法是从6本不同的英语书中任取一本，有6种方法．根据分类计数原理，得到的取法种数是N=m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．故从书架上任取一本书的不同取法有14种．师：(2)从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成三个步骤完成，第一步取1本数学书，有3种方法；第二步取1本语文书，有5种方法；第三步取1本英语书，有6种方法．根据分步计数原理，得到不同的取法种数是N＝m1×m2×m3＝3×5×6＝90．故，从书架上取数学书、语文书、英语书各1本，有90种不同的方法．师：(3)从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类办法：第一类办法是数学书、语文书各取1本，需要分两个步骤，有3×5种方法；第二类办法是数学书、英语书各取1本，需要分两个步骤，有3×6种方法；第三类办法是语文书、英语书各取1本，有5×6种方法．一共得到不同的取法种数是N=3×5＋3×6＋5×6=63．即，从书架任取不同科目的书两本的不同取法有63种．师：请大家再来分析和解决例题2．(板书)例2由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数(各位上的数字允许重复)？师：每一个三位整数是由什么构成的呢？生：三个整数字．师：023是一个三位整数吗？生：不是，百位上不能是0．师：对！百位的数字不能是0，也就是说，一个三位整数是由百位、十位、个位三位数字组成的，其中最高位不能是0．那么要组成一个三位数需要怎么做呢？生：分成三个步骤来完成：第一步确定百位上的数字；第二步确定十位上的数字；第三步确定个位上的数字．师：很好！怎样表述呢？(教师巡视指导、并归纳)解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数字，有4种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选法；第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据分步计数原理，得到可以组成的三位整数的个数是N=4×5×5=100．答：可以组成100个三位整数．(教师的连续发问、启发、引导，帮助学生找到正确的解题思路和计算方法，使学生的分析问题能力有所提高．教师在第二个例题中给出板书示范，能帮助学生进一步加深对两个基本原理实质的理解，周密的考虑，准确的表达、规范的书写，对于学生周密思考、准确表达、规范书写良好习惯的形成有着积极的促进作用，也可以为学生后面应用两个基本原理解排列、组合综合题打下基础)(四)归纳小结师：什么时候用分类计数原理、什么时候用分步计数原理呢？生：分类时用分类计数原理，分步时用分步计数原理．师：应用两个基本原理时需要注意什么呢？生：分类时要求各类办法彼此之间相互排斥；分步时要求各步是相互独立的．(五)课堂练习P222：练习1～4．(对于题4，教师有必要对三个多项式乘积展开后各项的构成给以提示)(六)布置作业P222：练习5，6，7．补充题：1．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个？(提示：按十位上数字的大小可以分为9类，共有9＋8＋7＋…＋2＋1=45个个位数字小于十位数字的两位数)2．某学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿，求该生填写志愿的方式的种数．(提示：需要按三个志愿分成三步．共有m(m－1)(m－2)种填写方式)3．在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个？(提示：可以用下面方法来求解：(1)△△□，(2)△□△，(3)□△□，(1)，(2)，(3)类中每类都是9×9种，共有9×9＋9×9＋9×9=3×9×9=243个只有两个数字相同的三位数)4．某小组有10人，每人至少会英语和日语中的一门，其中8人会英语，5人会日语，(1)从中任选一个会外语的人，有多少种选法？(2)从中选出会英语与会日语的各1人，有多少种不同的选法？(提示：由于8＋5=13＞10，所以10人中必有3人既会英语又会日语．(1)N=5＋2＋3；(2)N=5×2＋5×3＋2×3)课堂教学设计说明两个基本原理一课是排列、组合、二项式定理的开头课，学习它所需的先行知识跟学生已熟知的数学知识联系很少，通常教师们或者感觉很简单，一带而过；或者感觉难以开头．中学数学课程中引进的关于排列、组合的计算公式都是以分步计数原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本原理，因此必须使学生学会正确地使用两个基本原理，学会正确地使用这两个基本原理是这一章教学中必须抓住的一个关键．所以在教学目标中特别提出要使学生学会准确地应用两个基本原理分析和解决一些简单的问题．对于学生陌生的知识，在开头课中首先作一个大概的介绍，使学生有一个大致的了解是十分必要的．基于这一想法，在引入新课时，首先是把这一章将要学习的内容，以及与其它科目的关系做了介绍，同时也引入了课题．正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件．而原理中提到的分步和分类，学生不是一下子就能理解深刻的，这就需要教师引导学生，帮助他们分析，找到分类和分步的具体要求——类类互斥，步步独立．教学过程中的题1和题2，就是为了解决这一问题而提出的．分类用分类计数原理，分步用分步计数原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时必须做到既不重复，又不遗漏，找到分步的方法有时是比较困难的，这就要着重进行训练．教学中给出了例题1、例题2．这两个题目都是在课本例题的基础上稍加改动过的，目的就是要帮助学生发展思维能力，培养学生周密思考、细心分析的良好习惯．为了帮助学生在今后能正确运用两个基本原理解决其它排列组合问题，特别给出了4个补充习题，为下面将要进行的课打下一个基础．考虑到这节课无论是两个基本原理，还是例题都是文字较多的，因此特别设计了使用教具——投影仪．要是有实物投影仪那就更方便了．第二篇：分类计数原理与分步计数原理教案课题: 分类计数原理与分步计数原理授课教师:孙琼芳班级:高二(2)班时间:第十二周星期四第二节◆教学目标1.正确理解分类计数原理与分步计数原理的内容.2.正确运用两个基本原理分析、解决一些简单问题.3.了解基本原理在实际生产、生活中的应用.4.提高分析问题、解决问题的能力.◆ 教学重点分类计数原理与分步计数原理.◆ 教学难点正确运用分类计数原理与分步计数原理.◆ 教学方法启发引导式◆ 教学准备多媒体课件◆ 教学过程一.由实际问题引入课题2002年夏季在韩国与日本举行的第17届世界杯足球赛共有32个队参赛．它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名．问一共安排了多少场比赛？要回答上述问题，就要用到排列、组合的知识．排列、组合是一个重要的数学方法，粗略地说，排列、组合方法就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法．在运用排列、组合方法时，经常要用到分类计数原理与分步计数原理，下面我们举一些例子来说明这两个原理．二.讲授新课问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天中，火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？图示：（分析略）引伸1:若甲地到乙地一天中还有4班轮船可乘,那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 引伸2:若完成一件事,有n类办法.在第1类办法中有m1种不同方法,在第2类办法中有m 2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同方法,每一类中的每一种方法均可完成这件事,那么完成这件事共有多少种不同方法?分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。
分类计数原理和分步计数原理教学设计.
2.1刘姥姥进大观园——分类计数原理和分步计数原理教学设计椒江二职阮芳芳一、教材分析（1）数学是思维的体操，分类计数原理和分步计数原理在培养学生的思维能力方面有突出作用，包括类比、归纳、联想、直觉、顿悟等方面。
（2）教材的地位和作用：分类计数原理与分步计数原理不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据,而且其基本思想方法贯穿在解决本章应用问题的始终．因此，本节内容的学习，既对后面知识的学习起到纲举目张的作用，又是提高学生解决现实问题能力的一种途径，更是加强学生应用意识、发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。
（3）本节课内容是学生在已有的利用列举法进行计数的基础上，进一步研究计数的规律，归纳出两种基本计数原理，它是本章的一个基础知识.另外，本节课由浅入深、螺旋上升，由特殊到一般，培养学生的抽象概括能力，同时通过分类加法计数原理和分步乘法计数原理形象比喻为“自主学习”与“合作学习”，引导学生养成良好的学习方式。
二、学生分析（1）学生已经具备了一定的直觉、归纳、类比能力，但在数学的实际问题分析和解决能力方面尚需进一步培养。
（2）学生往往在判断是分类还是分步去完成一件事会有一定的障碍，部分学生对乘法原理的运算结果难以理解。
（3）学生对《红楼梦》里的刘姥姥，特别是宝玉和黛玉有较强的兴趣，本节课的内容也非常贴近现实生活，特别是分类计数原理相对简单，容易激发学生学生动机，产生继续学习的动力。
三、教学目标（1）理解并掌握分类计数原理与分步计数原理，能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
（2）进一步发展学生归纳、类比等推理能力，通过对各种不同的实际情况的分析、判断、探索，培养学生的应用能力．在总结时用到特殊到一般的思想；通过小组自编题目，使学生对两个计数原理有一个更深刻的理解。
（3）通过学生小组活动，让学生真实感受出题和解题的乐趣，培养学生周密思考良好的学习习惯，使学生在现实生活中面对复杂的事务和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，认识数学知识与现实生活的内在联系及不可分割性。
分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理（一）教学设计一、教材分析：“排列和组合”是组合数学的最初步知识，它既是学习概率的预备知识，也是高等数学中的数理统计、近世代数、运筹学等学科的必备的基础知识.这种以计数问题为特征的内容，运算虽然不复杂，但思想方法较为独特、灵活，有利于培养和发展学生的抽象能力和逻辑思维能力.正因为如此，“排列、组合和概率”是历年高考重点考查的内容之一，这部分知识占了高二（下）教材一个很大的章节，在高中数学教学占有重要的地位，这一大节最后介绍的组合数性质为基础的“二项式定理”，既是初中代数有关乘法公式的推广，又是学习后面概率的必要基础.分类计数原理和分步计数原理是本章重点基础知识，它们是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律，不仅是推导排列组合数计算公式的依据，而且其思想方法贯穿在解决本章应用问题的始终，事实上，从思想的方法的角度看一个是将问题进行“分类”思考；一个是将问题进行“分步”思考，从而达到分解问题、解决问题的目的，因此学生对这两个原理的理解、掌握和运用，是学好本章内容的关键.二、教学目标：1．认知目标：使学生初步掌握分类计数原理和分步计数原理，并能够运用这两个原理解决简单的应用问题.2．能力目标：通过正确运用两个基本原理分析、解决一些简单问题，提高分析问题、解决问题的能力.3．德育渗透目标：要求学生在现实生活中面对复杂的事物和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，提高实际的应变能力，从而认识数学知识与现实生活的内在联系及不可分割性.三、重点、难点分析：1．教学重点：分类计数原理与分步计数原理.2．教学难点：正确运用分类计数原理与分步计数原理.四、课型及课时安排：高二（下）新课 , 课时：1课时.教具：课件（Powpoint制作）五、教学方法：启发引导式在两个基本原理的教学过程中，应启发学生由特殊情形归纳出一般原理，这一过程遵循由简单到复杂的认知规律，使学生易于理解.其次，要引导学生通过寻求两个原理的区别来理解原理.运用这两个原理的关键在于区分完成一件事是用分类完成的办法还是用分步完成的办法.通过以教师为主导，学生为主体的互动原则，充分调动学生的积极性，发挥学生的主动性.六、学生情况分析：“排列、组合”问题对高二学生来说，在以前所学知识未曾接触过，课上的内容比较简单，但在实际应用时，不会应用，对问题的思考方法不太习惯和适应.七、教学设想：本节课是后面学习排列、组合的重要基础，学生对此类问题的思考方法不适应，在教学时应循序渐进，对概念的讲解，突出其实际意义。
高二数学教案《10.1分类计数原理与分步计数原理》
教学设计（主备人：许倩）教研组长审查签名：高中课程标准 数学必修第二册（下B）教案执行时间：10.1分类计数原理与分步计数原理教学设计一、内容及解析：1.内容：两个基本原理是排列、组合的开头课，学习它所需的先行知识跟学生已熟知的数学知识联系很少，排列、组合的计算公式都是以乘法原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本原理，所以在教学目标中特别提出要使学生学会准确地应用两个基本原理分析和解决一些简单的问题对于学生陌生的知识，在开头课中首先作一个大概的介绍，使学生有一个大致的了解是十分必要的基于这一想法，在引入新课时，首先是把这一章将要学习的内容，以及与其它科目的关系做了介绍，同时也引入了课题2.解析：正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件；分类用加法原理，分步用乘法原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样合理地进行分类和分步教学中给出的练习均在课本例题的基础上稍加改动过的，目的就在于帮助学生对这一知识的理解与应用。
二、目标及解析：1.目标(1)了解学习本章的意义,激发学生的兴趣.（2）理解分类计数原理与分步计数原理,培养学生的归纳概括能力.（3）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.2.解析：两个原理是教与学重点，又具有相当难度．加法和乘法在小学就会，那么，在中学再学它与以往有什么不同?不同在于小学阶段重在运算结果的追求，而忽视了其过程中包含的深层次思想；两个原理恰恰深刻反映了人类计数最基本的“大事化小”，即“分解”的思想．更具体地说就是把事物分成类或分成步去数．“分类”、“分步”，看似简单，不难理解，却是全章的理论依据和基本方法，贯穿始终，所以，是举足轻重的重点．两个原理，要能在各种场合灵活应用并非易事，所以，着实有其难用之处。
三、数学问题诊断分析对具体的应用问题分不清应该用分步计数原理还是用分类计数原理来解决，还是应该两者结合应用解决。
分类计数原理与分步计数原理教学设计
分类计数原理与分步计数原理课题：分类计数原理与分步计数原理教材分析：《分类计数原理与分步计数原理》，是高中数学第十章排列、组合的第一节课，是排列、组合的基础，学生对这两个原理的理解、掌握和运用，是学好本章的一个关键。
教学目标：知识与技能目标：准确理解两个原理，弄清它们的区别，培养学生分析问题、理解问题、归纳问题的能力过程与方法目标：通过例题让学生理解两个计数原理，并能够将两个技术原理应用到实际问题中去。
情感、态度与价值观目标：培养学生勇于探索、勇于创新的精神，面对现实生活中复杂的事物和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，提高实际的应变能力。
教学重点：分类计数原理和分步计数原理内容及两者的区别教学难点：对较为复杂事件的分类和分步教学方法：启发引导式教学教具准备：作图工具课型：新授课教学过程：问题引入一问题1从芜湖到合肥，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。
假若一天中，火车有4班, 汽车有20班，轮船有3班。
那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析:从甲地到乙地有3类方法,第一类方法, 乘火车，有4种方法;第二类方法, 乘汽车，有20种方法;第三类方法, 乘轮船, 有3种方法;所以从甲地到乙地共有4+20+3=27种方法。
问题 2在全班同学中选出一名同学做班长，有多少种选择？新知探究一分类计数原理：如果计数的对象可以分成若干类，使得每两类没有公共元素，那么分别对每一类里的元素计数，然后把各类的元素数目相加，便得出所要计数的对象的总数。
说明：（1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加，因此分类计数原理又称加法原理。
（2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数。
例1在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A大学有5个自己感兴趣的强项专业，B大学有4个自己感兴趣的强项专业，如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？解：根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+4＝9种。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案第一章：引言1.1 教学目标让学生理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。
让学生掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理的运用方法。
1.2 教学内容分类加法计数原理：将问题划分为若干个互不重叠的分类，分别计算每个分类的数量，将结果相加得到总数。
分步乘法计数原理：将问题分解为若干个相互依赖的步骤，每个步骤的数量相乘得到最终结果。
1.3 教学方法采用讲解示例、练习题和小组讨论的方式进行教学。
1.4 教学步骤引入分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。
通过示例讲解分类加法计数原理的运用方法。
通过示例讲解分步乘法计数原理的运用方法。
学生练习题：让学生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决问题。
小组讨论：让学生分享解题心得，互相学习和交流。
第二章：分类加法计数原理2.1 教学目标让学生掌握分类加法计数原理的概念和运用方法。
2.2 教学内容分类加法计数原理：将问题划分为若干个互不重叠的分类，分别计算每个分类的数量，将结果相加得到总数。
2.3 教学方法采用讲解示例、练习题和小组讨论的方式进行教学。
2.4 教学步骤复习分类加法计数原理的概念。
通过示例讲解分类加法计数原理的运用方法。
学生练习题：让学生运用分类加法计数原理解决问题。
小组讨论：让学生分享解题心得，互相学习和交流。
第三章：分步乘法计数原理3.1 教学目标让学生掌握分步乘法计数原理的概念和运用方法。
3.2 教学内容分步乘法计数原理：将问题分解为若干个相互依赖的步骤，每个步骤的数量相乘得到最终结果。
3.3 教学方法采用讲解示例、练习题和小组讨论的方式进行教学。
3.4 教学步骤复习分步乘法计数原理的概念。
通过示例讲解分步乘法计数原理的运用方法。
学生练习题：让学生运用分步乘法计数原理解决问题。
小组讨论：让学生分享解题心得，互相学习和交流。
第四章：应用举例4.1 教学目标让学生能够运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题。
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分类计数原理与分步计数原理
课题：
分类计数原理与分步计数原理
教材分析：
《分类计数原理与分步计数原理》，是高中数学第十章排列、组合的第一节课，是排列、组合的基础，学生对这两个原理的理解、掌握和运用，是学好本章的一个关键。
教学目标：
知识与技能目标：
准确理解两个原理，弄清它们的区别，培养学生分析问题、理解问题、归纳问题的能力
过程与方法目标：
通过例题让学生理解两个计数原理，并能够将两个技术原理应用到实际问题中去。
情感、态度与价值观目标：
培养学生勇于探索、勇于创新的精神，面对现实生活中复杂的事物和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，提高实际的应变能力。
教学重点：
分类计数原理和分步计数原理内容及两者的区别
教学难点：
对较为复杂事件的分类和分步
教学方法：
启发引导式教学
教具准备：
作图工具
课型：
新授课
教学过程：
问题引入一
问题1从芜湖到合肥，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。
假若一天中，火车有4班, 汽车有20班，轮船有3班。
那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?
分析:从甲地到乙地有3类方法,
第一类方法, 乘火车，有4种方法;
第二类方法, 乘汽车，有20种方法;
第三类方法, 乘轮船, 有3种方法;
所以从甲地到乙地共有4+20+3=27种方法。
问题 2在全班同学中选出一名同学做班长，有多少种选择？
新知探究一
分类计数原理：如果计数的对象可以分成若干类，使得每两类没有公共元素，那么分别对每一类里的元素计数，然后把各类的元素数目相加，便得出所要计数的对象的总数。
说明：
（1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加，因此分类计数原理又称加法原理。
（2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数。
例1在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A大学有5个自己感兴趣的强项专业，B大学有4个自己感兴趣的强项专业，如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
解：根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+4＝9种。
问题引入二
问题3如图,假设由芜湖去巢湖的道路有3条，由巢湖去合肥的道路有2条。
从芜湖经巢湖去合肥，共有多少种不同的走法?
分析: 芜湖经巢湖去合肥有2步,
第一步, 由芜湖去巢湖有3种方法,
第二步, 由巢湖去合肥有2种方法,
所以芜湖经巢湖去合肥共有3×2=6种不同的方法。
问题 4 在全班每个组中都选出一名同学做组长，有多少种选择？
新知探究二
分步计数原理：如果计数的对象可以分成若干步骤来完成，并且对于前面几步的每一种完成方式，下一步有相同数目的做法，那么依次计算各步的做法数目，它们的乘积就是要计数的对象的总数。
说明：
（1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理。
（2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数。
例2、设某班有男生30名，女生24名。
现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
解： 30×24=720
即共有720种不同的选法
芜湖北
南
北
例3、某地的部分电话号码是8415××××,后面每个数字来自0～9这10个数,?
分析： 8415
10×9×8×
即共可产生5040个不同的电话号码
变式:若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同的电话号码?
例4、书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育杂志.
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?
解：根据分类计数原理，不同的取法共有4＋3＋2＝9种
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种不同取法?
解：根据分步计数原理，不同的取法共有4×3×2＝24种
例5、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？
解：共有3×2=6不同的挂法
三、课堂练习
课后练习A组1、3
补充练习：
1、8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？
2、将4封信投入3个不同的邮筒，有多少种不同的投法？
3、从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路，从甲地到丙地有4条路可以走，从丙地到丁地有2条路。
从甲地到丁地共有多少种不同地走法？
四、课时小结
1、分类计数原理
2、分步计数原理
3、分类计数原理与分步计数原理的区别与联系
五、课后作业
课后练习A组 2、4、5。