2019版高考数学一轮复习第二十一章概率统计21.2相互独立事件n次独立重复试验的模型及二项分布讲义

§21.2相互独立事件、n次独立重复试验的模型及二项分布

五年高考

考点一相互独立事件

1.(2015课标Ⅰ改编,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为.

答案0.648

2.(2015湖南,18,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.

(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;

(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.

解析(1)记事件A1={从甲箱中摸出的1个球是红球},

A2={从乙箱中摸出的1个球是红球},

B1={顾客抽奖1次获一等奖},

B2={顾客抽奖1次获二等奖},

C={顾客抽奖1次能获奖}.

由题意,得A1与A2相互独立,A1与A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2.

因为P(A1)==,P(A2)==,

所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=×=,

P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)

=P(A1)P()+P()P(A2)

=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)

=×+×=.

故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=.

(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为,所以X~B.

于是P(X=0)==,

P(X=1)==,

P(X=2)==,

P(X=3)==.

故X的分布列为

X的数学期望为E(X)=3×=.

3.(2014山东,18,12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在C上记

3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,队员小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概

率为;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B

上各一次,小明的两次回球互不影响.求:

(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;

(2)两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.

解析(1)记A i为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),

则P(A3)=,P(A1)=,P(A0)=1--=;

记B i为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),

则P(B3)=,P(B1)=,P(B0)=1--=.

记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.

由题意得,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,

由事件的独立性和互斥性,得

P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)

=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)

=P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3)

=×+×+×+×=,

所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.

(2)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6,

由事件的独立性和互斥性,得

P(ξ=0)=P(A0B0)=×=,

P(ξ=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)=×+×=,

P(ξ=2)=P(A1B1)=×=,

P(ξ=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)=×+×=,

P(ξ=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)=×+×=,

P(ξ=6)=P(A3B3)=×=.

所以数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.

4.(2014大纲全国,20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、

0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.

(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;

(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.

解析记A i表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,

B表示事件:甲需使用设备,

C表示事件:丁需使用设备,

D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.

(1)D=A1·B·C+A2·B+A2··C,

P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(A i)=×0.52,i=0,1,2,(3分)

所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)

=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C)

=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)

=0.31.(6分)

(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,则

P(X=0)=P(·A0·)

=P()P(A0)P()

=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)

=0.06,

P(X=1)=P(B·A0·+·A0·C+·A1·)

=P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P()

=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25,

P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06,

P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,

P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)

=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)

数学期望EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.(12分)

教师用书专用(5)

5.(2013陕西理,19,12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.

(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;

(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.

解析(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选中3号歌手”,

则P(A)==,P(B)==.

∵事件A与B相互独立,

∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为

P(A)=P(A)·P()

=P(A)·[1-P(B)]

=×=.

(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,

则P(C)==,

∵X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为

P(X=0)=P()=××=,

P(X=1)=P(A)+P(B)+P(C)

=××+××+××=,

P(X=2)=P(AB)+P(A C)+P(BC)

=××+××+××=,