课时跟踪检测 (四十六) 三角函数的应用

课时跟踪检测 （四十六） 三角函数的应用

层级(一) “四基”落实练

1.如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边的角θ与时间t (s)满足函数关系式θ＝1

2sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π2，t ∈[0，＋∞)，则当t ＝0时，角θ的大小及单摆频率是( )

A.12，1

π B ．2，1

π

C.1

2

，π D ．2，π

解析：选A 当t ＝0时，θ＝12sin π2＝12，由函数解析式易知单摆周期为2π

2＝π，故单摆

频率为1

π

，故选A.

2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M 1和M 2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t (单位：s)时离开平衡位置的位移s 1(单位：cm)和s 2(单位：cm)分别由下列两式确定：

s 1＝5sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π6，s 2＝5cos ⎝

⎛⎭⎫2t －π3. 则在时间t ＝2π

3时，s 1与s 2的大小关系是( )

A ．s 1＞s 2

B ．s 1＜s 2

C ．s 1＝s 2

D ．不能确定

解析：选C 当t ＝2π

3时，s 1＝－5，s 2＝－5，∴s 1＝s 2.选C.

3．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平均 温度

－5.9

－3.3

2.2

9.3

15.1

20.3

22.8

22.2

18.2

11.9

4.3

－2.4

则适合这组数据的函数模型是( ) A ．y ＝a cos πx

6

B ．y ＝a cos (x －1)π

6＋k (a ＞0，k ＞0)

C ．y ＝－a cos (x －1)π

6

＋k (a ＞0，k ＞0)

D ．y ＝a cos πx

6

－3

解析：选C 易知当x ＝1时图象处于最低点，且a ＝22.8－(－5.9)2＞0，k ＝

－5.9＋22.8

2＞0.故选C.

4.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2的图象如图所示，则当t ＝1

100

秒时，电流强度是( )

A ．－5安

B ．5安

C ．53安

D ．10安

解析：选A 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，

所以ω＝2π

T ＝100π.

所以I ＝10sin(100πt ＋φ)．

因为⎝⎛⎭⎫1300，10为五点作图法中的第二个点， 所以100π×

1300＋φ＝π2.所以φ＝π

6

. 所以I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6， 当t ＝1

100

秒时，I ＝－5安．

5.如图，某摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，φ∈[－π，π]，已知摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．则y (米)关于t (分钟)的解析式为( )

A ．y ＝50sin ⎝⎛⎭⎫

2π3t －π2＋10 B ．y ＝50sin ⎝⎛⎭⎫2π3t ＋π2＋60 C ．y ＝50sin ⎝⎛⎭⎫2π3t －π2＋60 D ．y ＝50sin ⎝⎛⎭⎫2π3t ＋π2＋10

解析：选C 由题意知，A ＝50，b ＝60，T ＝3， 所以ω＝2π3

，所以y ＝50sin ⎝⎛⎭⎫2π3t ＋φ＋60.

令f (0)＝50sin φ＋60＝10，得sin φ＝－1. 又φ∈[－π，π]，所以φ＝－π

2，

所以y ＝50sin ⎝⎛⎭⎫

2π3t －π2＋60.

6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.

解析：由题意可知A ＝28－182＝5，a ＝28＋182＝23.从而y ＝5cos ⎣⎡⎦⎤π

6(x －6)＋23.故10月份的平均气温值为y ＝5cos ⎝⎛⎭⎫

π6×4＋23＝20.5.

答案：20.5

7.如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．

解析：由题图可设y ＝A sin(ωt ＋φ)，则A ＝2， 又T ＝2(0.5－0.1)＝0.8， 所以ω＝

2π0.8＝5

2

π， 所以y ＝2sin ⎝⎛⎭

⎫5

2πt ＋φ， 将点(0.1,2)代入y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π

2t ＋φ中， 得sin ⎝⎛⎭

⎫φ＋π

4＝1， 所以φ＋π4＝2k π＋π

2，k ∈Z ，

即φ＝2k π＋π

4，k ∈Z ，

令k ＝0，得φ＝π

4，

所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫

5π2t ＋π4. 答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π2t ＋π4

8．国际油价在某一段时间内呈现出正弦波动规律：P ＝A sin ⎝

⎛⎭⎫ωπt ＋π

4＋60(美元)(t (天)，