平面向量基本定理练习试题整理(最新整理)

2
4
4
2
21.（本小题 12 分）如图，M、N、P 分别是三角形 ABC 三边 BC、CA、AB 上的点，且满足 AP BM CN 1 ， AB BC CA 4
设 AB a ， AC b
（1）用 a, b 表示 MN ；
（2）若点 G 是三角形 MNP 的重心，用 a, b 表示 AG .
，
学习好帮手
WORD 格式整理版
∴
，又
∴
∴点 的坐标为
故选：C.
5.在
ABC
中，
D
为
AB
边上一点，
AD
1
DB
，
CD
2
CA
CB
，则
=（
）
2
3
A． 3 1
B. 1 3
C.2 3 1
D. 2
【答案】B
【解析】由已知得，
AD
1
AB
，故 CD
CA
AD
CA
1
AB
CA
1
(CB
CA)
三边围成的
区域（含边界）上，若 PG PL PN
0
，求 OP ；
（2）在平行四边形 ABCD 中， AE EB ， CF 2FB ，连接 CE 、 DF 相交于点 M ，若 AM AB AD ，求实数 与 的乘积.
【答案】(1) 2 2 (2) 3 8
17.（本小题 10 分）在 ABC 中, BD 2DC ,若 AD 1 AB 2 AC ,求 12 的值 .
【答案】 3
4
【解析】由题可得,如图
AD
AB
BD
AB
3
BC
AB
3
AC AB
1
AB
3
AC
,则,所以
2
2
22
12
3 4
,故填
3 4
.
A
B
D
C
18.（本小题 12 分）已知 a (1, 2) , b (3,2) ,当 k 为何值时，
8.【2018 届湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）高三上期中联考】点 G 为
ABC
的重心（三边中线的交点）．设
GB
a,
GC
b
，则 1
AB 等于
（
）
2
A.
3
a
1
b
B.
a
1
b
C.
2a
b
D.
2a
b
22
2
【答案】B
【解析】如图，
学习好帮手
WORD 格式整理版
∵点 G 为 ABC 的重心，
7.已知向量 a (x, y),b (1, 2) ，且 a b (1,3) ，则|a 2b | 等于（ ）
A．1
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】
因 a b (1,3) , b (1, 2) ,故 a (2,1) ,所以 a 2b (4, 3) ,故| a 2b | 42 32 5 ,故应选 D.
3
又
AP
1
a
,
AM
AB
BM
AB
1
BC
a
1
(b
a)
3
a
1
b
，
AN
3
b
4
4
4
44
4
代入得：
AG
1
a
1
b
33
22.（本小题 12 分）【2018 届宁夏大学附属中学高三上学期第三次月考】（1）在直角坐标系 xOy 中，已
知点 G 1,1, L 2,3, N 3, 2 ，点 P x, y 在 GLN
3 = 0, lAC :
3x + y -
3 =0，
则三角形 PAC 与 PAB 的高分别为 hAC =
3 l , hAB =
3 1+l
l
，由两个三角形面积比得
1+l
= 1 ，解 3
得 l = 1 或 l = - 1 ，经 检验当 l = - 1 时，点 P 在三角形 ABC 外，不合题意，所以 l = 1 .
【解析】试题分析：（1）现根据 PG PL PN 0 ，以及各点的坐标，求出点 P 的坐标，在 根据向量
的模的公式，即可求解 OP .
(2)分别用 BA, BF 和 BE, BC 表示出 BM ，利用共线向量定理列出方程组，即可求解 , 的值.
试题解析：
解（I）解 法一
又 =（6-3x，6-3y），
2
2
20.（本小题 12 分）已知 P 为等边三角形 ABC 内一点,且满足 PA PB (1 )PC 0 ,若三 角形
1 PAC 与三角形 PAB 的面积之比为 3 ,求实数 的值.
【答案】 1 2
【解析】不妨设等边三角形 ABC 的边长为 2 ，以 BC 中点 O 为原点、 BC 为 x 轴，中线 AO 为 y 轴，建
________(用向量 a 和 b 表示)．
学习好帮手
WORD 格式整理版
【答案】 2 a 1 b
33
【解析】∵ AB ＝ 2
DC
，∴
△DOC∽△BOA
，且
OC
1
，∴
AO
＝
2
AC
＝2
( AD ＋ DC )
OA 2
3
3
＝
2 3
a
1 2
b
＝
2 3
a
1 3
b
.
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
【答案】
学习好帮手
WORD 格式整理版
【解析】（1） MN
MC
CN
3
BC
1
AC
3
(b
a)
1
b
3
a
1
b
4
4
4
4 42
（2）由 GP GM GN 0 ，得 ( AP AG) ( AM AG) ( AN AG) 0
故
AG
1
( AP
AM
AN )
因为 E 是 OD 的中点, | DE | 1 ,所以， DF 1 AB
| EB | 3
3
DF
1
AB
1
33
OB OA
1 3
1 2
BD
1 2
AC
=
1 6
AC
1 6
BD
=
1 6
a
1 6
b
，
AF
AD
DF
1
a
1
b
1
a
1
b
＝
2
a
1
b
,故选
C.
2266 33
( )
( ) 立平面直角坐标系，设点 P x, y ，则 PA = x, y - 3 , PB = ( x +1, y) , PC = ( x - 1, y) ，代入等式
( )
PA +l PB + 1+l
PC = 0 ，得 x =
1
2 +2l
,y= 3 2 +2l
，又 lAB :
3x - y +
12. ABC 中，点 E 为 AB 边的中点，点 F 为 AC 边的中点， BF 交 CE 于点 G ，若 AG x AE y AF ，
则 x y 等于（ ）
A. 3
B. 4
2
3
【答案】B．
C.1
D. 2
3
A
E
F
G
B
C
第 II 卷（共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在题中的横线上。）
k
310
2k
2
4
0
,解得
k
19
（2） k a b 与 a 3 b 平行,
k 3 4 2k 210 0 ,解得 k 1
3
学习好帮手
WORD 格式整理版
19.（本小题 12 分）已知 D 是 ABC 的边 AB 上一点，若 CD CA 2 CB ，其中 0 1，求 的
∴
GA
GB
GC
GA
a
b
0
，
∴
GA
a
b
，
∴
1
AB
1
2
2
GB GA
1 2
a
a
b
a
1 2
b
.选
B.
9.已知向量 a 2,3,b cos ,sin ，且 a / /b ，则 tan （ ）
A． 3 2
【答案】A
B． 3 2
C． 2 3
D． 2 3
【解析】
由 a / /b ，可知 2sin
13.若向量 a (1,2) ， b (1,1) ，则 2 a b
．
【答案】 (3, 3)
学习好帮手
WORD 格式整理版
【解析】
2 a b 2(1, 2) (1, 1) (3,3) ． 14.【2018 届安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校高三上第一次联考】已知 ABC 中， D 为边 BC 上靠
B. 5,9
C. 3, 7
D. 3,9
【答案】A
r
rr
【解析】因为 2a (4,8) ，所以 2a b (4,8) (1,1) = 5, 7 ，故选 A.
4.【2018 届重庆市第一中学高三上学期期中】已知直角坐标系中点
，向量
，
，则点 的坐标为（
A.
B.
C.
【答案】C
） D.
【解析】∵向量
，
2
CA
1 CB
,
3
3
3
33
故 1．
3
6. 已知平面向量 a (1, 2) ， a (2, k) ，若 a 与 b 共线，则| 3a b | (
)
A．3
B．4 C． 5
D．5
【答案】C.
【解析】∵ a 与 b 共线，∴1 k 2 (2) 0 k 4 ，∴ 3a b (1, 2) ，| 3a b | 5 .
.
∴mn 15 1. 36 2
故答案为：− 1 . 2
15.【2018 届江苏省常州北郊华罗庚江阴高中三校高三联考】如图，正方形 ABCD 中， E 为 DC 的中点，
若 AD AC AE ，则 的值为________
【答案】-3
16.如图，在四边形 ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，设 AD ＝ a ， AB ＝ b ，若 AB ＝2 DC ，则 AO ＝
2
A. 0,5 B. 1, 2 C. 0,10 D. 2, 4
【答案】B
【解析】
MA
1,
3
,
MB
1,
7
来自百度文库
,
1
AB
1
MB MA
1 11, 7 3 1 2, 4 1, 2 ，故选 B.
22
2
2
3.已知向量 a 2, 4 ， b 1,1 ，则 2a b （ ）
A. 5, 7
近 B 点的三等分点，连接 AD, E 为线段 AD 的中点，若 CE m AB n AC ，则 m n ____ ______． 【答案】 1
2
【解析】
由图可知：
CE
1
2
CD CA
1 2
2 3
CB
AC
1 3
AB AC
1 2
AC
1 3
AB
5 6
AC
（1） k a b 与 a 3b 垂直？（2） k a b 与 a 3 b 平行？
【答案】(1) k 19 (2) k 1 3
【解析】
根据已知有 k a b (k 3,2k 2) , a 3b (1,2) (9,6) (10,4)
（1）
ka
b
与
a
3b
垂直时，
WORD 格式整理版
专题八平面向量的基本定理
（A 卷）
（测试时间：120 分钟 满分：150 分）
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大 题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1.已知点 A(0,1), B(3, 2) ，向量 AC (4, 3) ，则向量 BC ( )
解得 x=2，y=2，即
解法二 则
学习好帮手
（2）解： 3 8
WORD 格式整理版
学习好帮手
A. (7, 4)
B. (7, 4)
C. (1, 4)
D. (1, 4)
【答案】A
【解析】∵ AB OB OA =（3,1），∴ BC AC AB =(-7,-4)，故选 A.
2.【2018
届湖北省黄石市第三中学（
稳派教育）高三阶段性检测】若
MA
1,
3
，
MB
1,
7
，则
1
AB
(
)
3cos
0 ，解得 tan
3
，故选 A.
2
10.向量
a
1 3
,
tan
，b
cos ,1 ,
且
a
/
/b
，则
cos
2
（
A． 1 3
B． 1 3
C． 2 3
【答案】A
） D． 2 2
3
11.在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点， AE 的延长线与 CD 交于点
F ．若 AC a ， BD b ，则 AF （ ）
A. 1 a 1 b 42
B. 1 a 1 b 24
C. 2 a 1 b 33
D. 1 a 2 b 33
【答案】C
【解析】
AC
a,
BD
b
， AD
AO
OD
1
AC
1
BD
1
a
1
b
2
2
22
学习好帮手
WORD 格式整理版
值.
【答案】 5 1 2
【解析】D 是 ABC 的边 AB 上的一点，设 DB k AB （1 k 1），则 AD (1 k) AB ，又
CD CA AD,CD CB BD ，2CD CA CB (1 2k)(CB CA) ，CD kCA (1 k)CB
，
CD CA 2 CB ，所以 k,1 k 2 ，解得 5 1 ，因为 0 1，故 5 -1