数学分析期末论文

存在时， 称这极限值为f x 在区间 [a,∞]上 （或是从 a 到∞） 的反常积分， 记作：
A A →∞ a ∞
lim
f x dx =
a
f x dx
这时也称积分
∞ a
f x dx是收敛的，它的值就是上述极限值，如果上述的
∞ a
极限不存在，称积分
f x dx是发散的。
又会 类似级数的 柯西收敛 原理会得到 反常积分的 柯西收敛 原理的 概念如下：
如果 f（ x） ≥
c > 0 , p ≥ 1，那么
b a
f x dx发散
柯西判别法的极限形式为： 设
lim x − a
x →a
p
f（ x） = k
b a
如果0 ≤ k < ∞， p < 1，那么
f x dx绝对收敛 .
如 果 0 < ������ ≤ ∞， p ≥ 1， f x 在 区间 a， b 内 的 符 号不 改变 ，那 么
∞ n=1 u n 的部分和数列{Sn } 收敛于有限值
S，
n n →∞
lim Sn = lim
n →∞
uk = S
k=1
则称级数
∞ n =1 u n 收敛，记为 ∞
un = S
n =1
并称此值 S 为级数的和数。若部分和数列{Sn }发散，则称级数 散。当级数收敛时，又称
∞
∞ n =1 u n 发
A A +∞
≤
a
f x, y + ∆y dx −
a +∞
f(x, y)dx +
A
f(x, y + ∆y)dx
+
A
f(x, y)dx ≤ 3ε
即 I(y)是 c, d 上的连续函数。 二、运算能力提升 数学分析有一大特点，就是数学的符号化及模式化，我们要必须形 成相关的思维及写作习惯。 模式化就是指在数学分析中的一些定理、 原理及公理都会有一定的 模式， 对这些各种的数学分析的模式的认识理解也是对我们的逻辑思维 能力的一种锻炼。 符号化是指数学分析中的符号与表达性符号是不一样的， 文学艺术
类似的一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达： 一致收敛的概念（ 2） ：设 Sn − S = 如果
n →∞ sup x ∈X
Sn (x) − S(x) ,
lim Sn − S = 0
就称Sn (x)在 X 上一致收敛于S（ x） 由一 致收敛的定 义概念也 会类似的推 出与级数收 敛的定义 相近的 定理来： 函数列{Sn （ x） }在 X 上一致收敛的充要条件为，对于任意的给的 ε > 0，可得正整数N = N(ε)，使得 n>N 时，不等式 Sn+p （ x） − Sn (x) < ������ 对任意的正整数 p 和 X 上任意的 x 都成立。 同时 由反常积分 的敛散性 的概念可以 联系到含有 参变量的 反常积 分
∞ n=1 u n 为正项级数，若从某一项起（即存在
N，当n > ������时）
成立着 n un ≤ q < 1（ q 为某确定的常数） ，则级数 一项起成立着 n un ≥ 1，则级数 2、对于正项级数
∞ n =1 u n 发散。
∞ n =1 u n 收敛，若从某
∞ n =1 u n ，设
r = lim
rn = S − Sn =
k=n+1
un = un+1 + un+2 + un+3 + ⋯
为级数的余和。 该关于级数的敛散性的定义可以联系推出柯西收敛原理， 也就是说 柯西收敛原理的本质就是敛散性的定义： 级数
∞ n =1 u n 收敛的充要条件是：对任意给定的正数ε，总存在
N，
使得当n > ������时，对于任意的正整数 p=1,2,3，⋯，都成立着 un+1 + un+2 + ⋯ + un+p < ������ 分析判断级数
中的表达符号好是需要我们仔细体会其中的含义的， 但是数学分析中的 符号是一种带提性的符号，我们只要知道它是代表的什么，具有什么意 义，并不需要我们细细的体会。说白了，它就只仅仅是一个替身罢了， 帮助我们进行数学运算。其实，数学就是一种符号与符号的游戏，所以 我们必须要对符号精通，这样才能进行迅速的变形。 实例分析： 对于数学分析中的许多相似的定理及推论， 我们应该学会有区别的 记忆理解，而在本学期中，见到最多的就是：阿贝尔判别法、狄利克雷 判别法、柯西判别法、傅里叶级数、魏尔斯特拉斯判别法⋯ ⋯ 柯西判别法： 1、设
2
1 1 + n n+1 n + 1 n+ 2
1 n+2
1 n + p − 1 n+ p
1 1 1 = − < n n+p n 于是对任意 ε > 0，存在 N = 是成立 Sn +p − Sn < < ������，
n 1 1 ε
，当n > ������ 时，对任何 p=1,2,3 ，⋯ ，总
按柯西收敛原理，级数
∞ a
f x dx收敛，我们就称
∞ a
f x dx绝对收 敛。收敛但是不绝对收敛
的反常积分叫做条件收敛。 例题：讨论
∞ dx a xp
（ a > 0）的收敛情形，这里的 p 是实数。
解：设p ≠ 1，
A a
dx 1 A 1 1 −p = x = A1−p − a1 −p = Ip A p x 1−p a 1−p
证明 ：因为
+∞ a
f(x, y)dx在 c, d 上 一致收敛 ，所以对于 任意给定的
ε > 0，常存在A0 (ε)，使当A ≥ A0 时
+∞
f(x, y)dx < ������
A
对 c, d 上一切 y 成立，因此当y + ∆y在 c, d 上时，也对一切∆y成立
+∞
f(x, y + ∆y)dx < ������
A
又 f(x,y)在 a, A; c, d 上连续， 所以
A a
f x, y dx是 y 在 c, d 上的连续函数，
对 ε > 0，存在δ > 0，使当 ∆y < ������ 时
A A
f x, y + ∆y dx −
a a
f(x, y)dx < ������
因此，当 ∆y < ������时，有 I y + ∆y − I(y)
数 N(ε)，使得n > ������(������)时，不等式 Sn (x) − S(x) < ������ (对函数项级数，此时也可以写为 rn （ x） =
∞ k=n +1 u k (x)
< ������)对 X 上
一切 x 都成立，则称 Sn x （
∞ n=1 u n (x)在
X 上一致收敛于 S（ x） 。
1 ∞ n=1 n 2 的收敛性
解：要判断该题的敛散性，那么就必须要从定义出发，使得存在一 个数值Sn ，使得有 Sn+p − Sn < ������，存在 N，当n < ������，ε为任意实数，式 子成立。 对于任何正整数 p Sn +p − Sn = < 1 n+1 + +⋯+ 2 + ⋯+ 2 1 n+ p
b a
f x dx发散。 魏尔斯特拉斯判别法 1、如果对充分大的 n，恒有实数an ，使得 un ≤ an 对 X 上的任意的
x 都成立，并且数项级数 an 收敛 则 un （ x）在 X 上一致收敛 2、设有函数 F（ x） ，使得 f(x, y) ≤ F x , a ≤ x < +∞, ������ ≤ ������ ≤ ������ 如果积分
提出问题 如何进行数学分析的学习？如何对数学问题进行分析？
分析问题 在学习数学分析中，我们首先接触到的就是关于数学名词的概念问题， 那么毫无疑问，深入了解概念就会是我们学习掌握数学分析的第一要务； 在掌握了概念之后，接下来就是我们的运算能力了及对数学符号的熟识程 度；然后就是我们在学习及做题中学习实践的做题技巧，这一项可以体现 我们的思维有没有形成数学分析思维了，也体现我们对数学分析的概念、 定理及推论的理解掌握情况。 一、数学分析中的概念掌握 概念是抽象的、普遍的想法、观念或充当指明实体、事件或关系的 范畴或类的实体。在数学分析中的概念不是独立存在的，而是具有叠加 性的，也可以说是数学分析中的概念链接性很强。学习认识概念需要长 期的实践，才会真正的了解掌握，才会随着知识的增长不断的深入了解 概念的本质。 既然数学分析概念具有相当强的连接性， 我们就可以根据我们所学 习的概念，建立一个数学分析概念网。数学分析是一个个概念的点阵， 所有相关的、丛属的概念要在头脑中形成一个网络，才会建立一个清晰 地脉路。学习了解数学分析的概念时，还要多方向深入认识。对于相似 的、类似的概念或者概念的内部关系认识不清，会不利于理解概念。 实例分析： 级数收敛定义：若级数 即
当 p ≤ 1时积分发散。 而一致收敛又会分为收敛和一致收敛， 由此要引出一致收敛的概念， 会发现与前面的收敛定义相似： 一 致 收 敛 的 概 念 ： 设 有 函 数 列 {Sn （ x） } （ 或 函 数 项 级 数
∞ n =1 u n
（ x）的部分和序列） 。若对人给的ε > 0，存在只依赖于ε的正整
可见 +∞ （ p < 1） lim Ip A = 1 1 −p A →∞ − a （ p > 1） 1−p 当 p=1 时 ，
∞ dx a xp A dx a x
= ln A − ln a → +∞ （ A → +∞） , 所 以 积 分
（ a > 0）当 p>1 时收敛，并且有
∞ a
dx 1 1 −p = a xp p − 1
+∞ a
f(x)dx的敛散性基本概念：
若对于任意给定的 ε > 0，存在 A0 (ε) > ������（此 A0 (ε)仅于 ε有关） ，当 A′ ， A ≥ A0 时，对一切y ∈ c, d ，成立
A′ +∞
f(x, y)dx < ������或
A A
f(x, y)dx < ������
就称
+∞ A
1 ∞ n =1 n 2 收敛。
又会 有级数的收 敛及发散 性深入到绝 对收敛级数 和条件收 敛级数 的判定概念，类似的也可以联系到反常积分的敛散性的定义： 设函数f x 在 [a, ∞)上有意义， 并且对于任意的 A （A>a） 在区间 [a,A] 上可积，当极限
A A →∞ a
lim
f x dx
n
n →∞
un
那么， 当r < 1时， 此级数必为收敛； 当r > 1时， 此级数为发散， 而当 r = 1 时，此级数的收敛性需要进一步判定。 3、设 x=a 是 f（ x）的奇点，如果 f（ x） ≤ 么，
Biblioteka Baidub a c x −a p
c > 0 , p < 1那
f x dx绝对收敛 .
c x −a p
+∞
f x dx
a
收敛，那么
+∞ a
f x， y dx关于 y 在 c， d 上一致收敛。
证明：有一致收敛的定义和不等式：
A′ A′ A′
f x, y dx ≤
A A
f(x, y) dx ≤
A
F(x)dx
就可以推出结论，因为这时对ε > 0，有A0 ，使得 当 A ′ ，A ≥ A 0 时
云南大学
数学分析习作课（3）读书报告
论文摘要 本文主要对《数学分析（下） 》中所学习的基本理论知识进行相关的系 统总结及实例应用分析。
论文关键词 数学分析、系统总结、实例应用分析
论文正文 正文引言 在我们学习数学分析的时候，很容易急躁。急躁的原因是因为我们很 难掌握数学分析这门知识。数学分析的特点就是枯燥，尤其是在不深入挖 掘的情况下。但是，数学分析却是我们学习物理专业的学科基础，直接关 系到我们的其他理科学科。那么，我们必须要学习好这门知识。而学习数 学分析这门知识并不是索然无味的，实际掌握这门学科，就不能眉毛胡子 一把抓，而应该掌握一些学习数学分析的基本的方法，形成一种分析性的 思维方式。深入了解之后，加上一些必要的习题，相信就会对数学分析产 生一些相应的兴趣。毕竟，数学分析是一种体现分析的理性之美的学科， 是一门很锻炼思维的理性学科。下面，我将会根据自己所学所感，对我所 学习过的《数学分析》进行相关的系统总结及实例应用分析。
∞ a
f x dx收敛的充要条 件是：对任意给定的 ε > 0，存在 A > 0，当
A‘ ， A” > ������时，总有
A“
f x dx < ������
A’
由此可以看出，反常函数的敛散性和无穷级数的相仿，在反常积分中也 有绝对收敛和条件收敛的概念：设对任何A > ������， f x 在 [a,A]可积，并 且
f(x, y)dx关于 y ∈ c, d 为一致收敛。
由敛散性我们还会联想到 f(x,y)的连续性与一致收敛关系的相关 概念定理： 设 f(x,y)在 a, +∞; c, d 上连续，a 敛，那么I y =
+∞ a +∞
f(x, y)dx关于 y 在 c, d 上一致收
f(x, y)dx是 y 在 c, d 上的连续函数