分数裂项法总结课件

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裂项相消法课件(微课堂)

寻找相邻项
在分式中寻找相邻的项，特别是那些具有相反符号的项，它们是裂项相消的关键。
裂项相消法的注意事项
验证因式
在应用裂项相消法之前，要确保分母中的因式是正确的。错误的
因式会导致后续计算出错。
保持代数恒等性
在应用裂项相消法时，要确保等式的两边在经过变换后仍然保持恒等，即等式的两边在变换后具有相同的值。
3
分数裂项相消法的练习题
如求$frac{1}{2} + frac{1}{6} + frac{1}{12} + frac{1}{20} + ldots$的和，可以通过裂项相消法快速得出结果。
代数表达式的裂项相消法练习
代数表达式裂项相消法的原理
将代数表达式拆分成多个部分，使得在求和或求积的过程中某些项相互抵消，简化计算过程。
消法快速得出结果。
06Biblioteka 总结与展望裂项相消法的总结
裂项相消法是一种重要的数学方法，主要用于解决数列求和问题。
它通过将一个数列拆分成若干个子数列，然后利用相邻子数列的相消性质，简化了数列求和的过
程。
裂项相消法在数学中有着广泛的应用，不仅在数列求和中有用，还可以用于解决一些组合数学问
题。
裂项相消法的应用前景与展望
02
裂项相消法的原理
分数的裂项
01 分数裂项法
将一个分数拆分成两个或多个分数的和或差，以便于计算。
02 常见裂项形式
如$frac{1}{n(n+1)}$可以拆分为$frac{1}{n}frac{1}{n+1}$。
03 裂项技巧
根据分数的分子和分母特点，选择合适的拆分方式，简化计算。

分数裂项精讲

分数裂项精讲
分数裂项是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

知识点——裂项相消法PPT课件

第16页/共31页
第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有
意识地、有目的的进行探究，并解题成功.
bn
(1 n 1
1 ) 3n1 3n
裂项即逆用分式减法
3n1 3n
bn
n 1
n
Tn
3n1 3 n 1
点评：裂项相消法能够实施的条件是项与项之间的“轮转”，即前一项的减数与后一项被减数相同.
第17页/共31页
第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有
意识地、有目的的进行探究，并解题成功.
变式：已知数列数列{an}的首项、公差都是1. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；
(Ⅱ)令bn
n 1 Sn Sn1
(n
N *)，求数列{bn}的前
n项和Tn .
答案：(1)an
n, Sn
点评：该解法应用了三个思想: ①放大； ②裂项(使分母的两个因式都变为奇数)；③提高算式的精确度（部分项放大，另一部分不变）.
问题：能否只进行一次放大就解决问题呢？
首先改造通项公式：
bn
1 2n(2n 1)
1 4
1 n(n
1)
2
第25页/共31页
第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.
n(n 1) ; 2
2 (2) Tn 2 (n 1)(n 2) .
第18页/共31页
第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.
例6.设各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn ,
且Sn2 (n2 n 3)Sn 3(n2 n) 0(n N *).
(1 1 )] n n 1

分数裂项法总结.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2233445566778
1 1 8 若干个分数连加，如果每个分数的分母，
7 8
练习：
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时，就可以利用裂差公式，把每个分数拆成两个分数单位的差，消去中间留下两边.
n 2n 1
练习1
Sn
1 1 4
1 47
1 7 10

1
(3n 2)(3n 1)
解：
1 1 11 1 11 1
11
1
Sn

(1 ) ( ) ( 3 4 34 7 37
) 10
(

)
3 3n 2 3n 1
1 (1 1 ) n 3 3n 1 3n 1
n n 1
习
练
题
1 1 1 1 1 1 2 23 3 4 45 56
111111 34 45 56 67 78 89
11 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30 42 56
1 ＋ 1 ＋ 1 ＋L ＋
1
1 2 23 3 4
就可以利用裂项法公式： n
1 (n
1)

1 n

1 n 1
把每个分数拆成两个分数单位的差，消 23
L
L

(n
1 1)

n

1 n(n
1)

1
n
1 1

n
n 1
分数裂项的减法形式举例如下:
通分与拆分互逆：
Q 11 3 2 1 2 3 23 23 6
11 2 5 7 35

分数裂项课件

分数裂项的公式及解释
分数裂项可以表示为 a/(x-b)，其中 a 是分子常数，x 是自变量，b 是分母常数。这种形式的分数裂项在数学运算和问题求解中具有特殊的作用。
分数裂项的产生背景和意义
分数裂项的产生背景可以追溯到代数学的发展历程。分数裂项在数学领域的研究和应用中具有丰富的意义，能够帮助我们解决实际问题和提升数学思维能力。
分数裂项PPT课件
这是一份介绍分数裂项的 PPT 课件，通过深入浅出的讲解，帮助大家理解分数裂项的概念、公式和应用领域，以及它与其他数学知识的联系。
什么是分数裂项
分数裂项是指形如 a/(x-b) 的分数形式的表达式，其中 a、b、x 都是实数，且 x ≠ b。分数裂项在数学中具有重要的性质和应用价值。
பைடு நூலகம்
分数裂项的例子解析
通过具体的例子，我们可以进一步理解分数裂项的特点和应用。从简单到复杂的例题分析，让我们更加熟悉和掌握分数裂项的运用方法。
分数裂项的应用领域
分数裂项广泛应用于各个科学领域，如物理学、化学、工程学等，用于解决实际问题和建立数学模型，推动科学研究和技术创新的发展。
分数裂项与其他数学知识的联系
分数裂项与其他数学知识如代数、函数、微积分等存在密切联系，通过学习分数裂项我们能够加深对这些数学概念和方法的理解和运用。
分数裂项的练习题及解答
通过练习题的讲解和解答，我们可以加深对分数裂项的掌握程度，提高问题分析和解决的能力，为更高级的数学学习做好准备。

分数裂项课件

分数裂项ppt课件
CONTENTS
目录
• 分数裂项简介 • 分数裂项的技巧 • 分数裂项的实例解析 • 分数裂项的练习题及解析 • 分数裂项的总结与展望
CHAPTER
01
分数裂项简介
分数裂项的定义
01
分数裂项是一种数学技巧，用于将一个分数拆分成两个或多个分数的和或差，以便于计算或简化表达式的形式。
绩。
分数裂项在数学竞赛和高考中具有广泛应用，是数学学习的重要
内容之一。
分数裂项的未来发展方向
随着数学教育的不断发展和改革，分数裂项技巧的教学方法和手段也需要不断更新和完善。
未来可以探索更多分数裂项在实际问题中的应用，例如在物理、化学等其他学科中的应用。
可以通过开展跨学科的研究，将分数裂项与其他数学技巧和方法进行结合，以更好地解决各种复杂的数学问题。
解析：这道题是分数裂项的基础题，通过将两个分数相乘，得到一个新的
分数。
答案：$frac{1}{4}$
题目：计算 $frac{3}{4} times frac{4}{3}$
解析：这道题同样是分数裂项的基础题，通过将两个分数相乘，得到一个新的分数。
答案：$1$
进阶练习题
题目
计算 $frac{1}{2} times frac{3}{5} + frac{2}{3} times frac{4}{7}$
分数裂项在日常生活中的应用
分数裂项不仅仅在数学题目中有应用，在日常生活中也有广泛的应用。
例如，在购物时经常会遇到折扣和优惠券的问题，这时可以通过分数裂项来计算最优的购买方案。例如，对于折扣$frac{3}{10}$，可以将其拆分为$frac{1}{3} + frac{2}{10}$，分别代表直接折扣和满额折扣，从而帮助消费者更好地理解优惠方案。

《分数裂项法总结》课件

开发更高效的算法和工具
随着计算机技术的发展，可以开发更高效的算法和工具来支持分数裂项法的应用，提高计算效率和精度。
拓展分数裂项法的应用领域
除了数学和物理领域，分数裂项法还可以拓展应用到其他领域，如金融、经济、生物等，为解决实际问题提供更多有效的工具。
加强教学方法的改进
针对分数裂项法的教学，可以进一步改进教学方法，提高教学效果，帮助学生更好地掌握这一重要的数学技能。
感谢您的观看
THANKS
02
整数裂项法是将整数拆分成易于计算的形式，如将2n拆分成n+n。
03
差商裂项法是将分数的分子和分母分别拆分成两个部分，然后进行化简。
04
分母有理化是将分数的分母化为有理数的形式，以便进行计算。
03 分数裂项法的实例解析
分数裂项法在数学题目中的应用实例
分数裂项法在数学题目中有着广泛的应用，可以帮助我们简化复杂的分数计算。例如，我们可以将一个分数拆分成两个或多个分数的和或差，从而简化计算
提高解题效率。
03
分数裂项法的优点和局限性
分数裂项法的优点在于能够简化复杂问题，提高计算效率和准确性。然
而，该方法也存在一定的局限性，如对于某些特殊形式的分数，可能无
法找到合适的拆分方式。
对分数裂项法的展望和未来发展方向
继续深入研究分数裂项法
未来可以进一步深入研究分数裂项法的理论和应用，探索更多适用于该方法的数学模型和实际应用场景。
分数裂项法的练习题
练习题1
将分数1/6进行裂项，使其变为两个分数之和。
练习题2
将分数2/7进行裂项，使其变为三个分数之和。
练习题3
将分数3/8进行裂项，使其变为四个分数之和。

分数裂项PPT课件

答案
4/5。
练习题二及答案
练习题二
计算1/3+1/15+1/35+1/63的值。
计算过程
首先将每个分数进行裂项，得到1/3=1/1-1/3, 1/15=1/3-1/5, 1/35=1/5-1/7, 1/63=1/7-1/9。然后将这些分数相加，得到原式 =1/1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+1/7-1/9=1-1/9=8/9。
裂项的局限性
分数裂项法虽然可以化简一些复杂的分数，但是其适用范围有限，不能解决所
有数学问题。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的数学方法，综合考虑各种方法的
优缺点。
另外，裂项法在处理一些特殊情况时可能会遇到困难，例如分子中含有未知数
的情况，需要谨慎处理。
05
分数裂项的练习题与答案
练习题一及答案
答案
5/6。
THANKS
感谢观看
其次，要确保分子经过裂项后能够相互抵消，留下非零常数。
最后，要确保整个等式在裂项后仍然成立，可以通过代入法进行
验证。
裂项的适用范围
分数裂项法适用于有理函数的计算，特别是有理函数求极限、求积分等问题。
对于一些难以直接化简的复杂有理函数，分数裂项法可以将其转化为容易处理的形式，简化计算过程。
需要注意的是，裂项法并不适用于所有函数，特别是无理函数、三角函数等。
答案
8/9。
练习题三及答案
练习题三
计算(2^2)/(2^2+4^2)+(3^2)/(3^2+4^2)+(4^2)/(4^2+4^2)的值。
计算过程
首先将每个分数进行裂项，得到(2^2)/(2^2+4^2)=2/(2+4), (3^2)/(3^2+4^2)=3/(3+4), (4^2)/(4^2+4^2)=4/(4+4)。然后将这些分数相加，得到原式=2/(2+4)+3/(3+4)+4/(4+4)=5/6。

分数求和技巧裂项法--奥数专题课件-数学六年级上册全国通用

练习题4
计算： 1 3 7 15 31 63 127 2 4 8 16 32 64 128
3 5 9 17 33 65 129 2 4 8 16 32 64 128
例四
在等式成立。
1 6
（1）（1）的括号内填入适当的不同自然数，使等式
利用因数求出结果
6的因数有：1、2、3、6
练习题1
计算： 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 128
练习题2
计算： 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16
1024
练习题3
计算： 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 如图表示一个正方体，它的棱长为5厘米，再它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1厘米的正方体，问此图的表面积是多少平方厘米？ 2 4 8 16 32 64 括号内填上不同的自然数：
例五分母是126的真分数有多少个？它们的和是多少？在括号内填上适当的数，使等式成立。如图表示一个正方体，它的棱长为5厘米，再它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1厘米的正方体，问此图的表面积是多少平方厘米？ 6的因数有：1、2、3、6 6的因数有：1、2、3、6 如图表示一个正方体，它的棱长为5厘米，再它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1厘米的正方体，问此图的表面积是多少平方厘米？可以裂成两个以连续自然数为分母的分数之差。例五分母是126的真分数有多少个？它们的和是多少？可以裂成两个以连续自然数为分母的分数之差。
1 1 3 301
301 3 903 903
298 903
每个分母中的两个因数特点：相差的数都与分子一样，
可以用裂项法。
11 2 2 3 5 15 35 11 2 2 5 7 35 5 7 11 2 2 7 9 63 7 9

分数的简算裂项法课件

（陈省身杯2010年原题）
2010 20102009 201020092008 + 20102009 43 2010 20102009 201020092008 +20102009 43 2008 20082007 200820072006 20082007 21 2008 20082007 200820072006 20082007 21 2010 2010 2009 2010 2009 2008 2010 2009 2008 2007
1
1 10！
3628799 3628800
2010 20102009 201020092008 + 20102009 43 2008 20082007 200820072006 20082007 21
2010 20102009 201020092008 +20102009 43 2008 20082007 200820072006 20082007 21
11 1 1 1 1 1 3 5 3 5 7 5 7 9 7 911 91113 111315
原式 1 （ 1 1 ) 1 （ 1 1 ) 1 （ 1 1 )
4 13 35 4 35 5 7
4 1113 1315
1 （ 1 1 1 1 1 1 1 1 ）
2008 2008 2007 2008 2007 2006 2008 2007 2006 2005 2010 20102009 201020092008 +20102009 43 2008 20082007 200820072006 20082007 21
11
11
11
1 1
3 11
24 111
1214 1416 1618 18 20 20

分数裂项法总结

裂项法的注意事项
在使用裂项法时，需要注意以下几点：首先，要确保拆分的分数是正确的，即拆分后的分数之差或商等于原分数；其次，要注意运算的优先级，确保计算的准确性；最后，要注意简化计算过程，尽可能减少计算的复杂度。
此外，对于一些特殊的分数，如分母为平方数或立方数的分数，可以使用特定的裂项法进行计算，以简化计算过程。
分数裂项法之立方差法
立方差法的概念
立方差法是一种将分数拆分成易于计算的形式的方法。通过将一个分数拆分成两个或多个分数的立方差，可以简化计算过程。
立方差法的应用
立方差法在数学和工程等领域中都有广泛的应用。例如，在解决几何问题时，立方差法可以帮助我们更好地理解和计算立体图形的体积。
立方差法技巧
在使用立方差法时，需要注意选择合适的拆分方式，以使计算过程更加简便。同时，还需要注意保持拆分后的分数与原分数相等，以避免出现计算错误。
平方差法是一种将分数拆分成易于计算的形式的方法。通过将一个分数拆分成两个或多个分数的平方差，可以简化计算过程。
平方差法的应用
平方差法在数学和物理等领域中都有广泛的应用。例如，在解决代数问题时，平方差法可以帮助我们更好地理解和计算表达式的值。
平方差法的技巧
在使用平方差法时，需要注意选择合适的拆分方式，以使计算过程更加简便。同时，还需要注意保持拆分后的分数与原分数相等，以避免出现计算错误。
分数裂项法在日常生活中的应用
在日常生活中，我们也会遇到许多涉及到分数的问题，如时间、金钱等。通过运用分数裂项法，我们可以更好地理解和处理这些问题。
例如，在时间管理中，可以将一天的时间拆分成小时、分钟等部分，以便更好地安排工作和休息时间；在理财中，可以将一笔钱拆分成不同的用途和投资方式，以便更好地实

分数裂项法总结.知识讲解

一、两个相邻数裂项方法：
若干个分数连加，如果每个分数的分母，都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时，就可以利用裂项法式，把每个分数拆成两个分数单位
的差，消去中间留下两边.
一、两个相邻数裂项：
一.分母是两个相邻数裂项：若干个分数连加，如果每个分数的分母，
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时，
解：
1 1 11 1 11 1
11
1
Sn
(1 ) ( ) ( 3 4 34 7 37
) 10
(
)
3 3n 2 3n 1
1 (1 1 ) n 3 3n 1 3n 1
判断：
判断：
判断：
1111111 2 6 12 20 30 42 56
1＋ 1＋ 1＋ L＋ 1 1 2 2 33 4 2 0 1 0 2 0 1 1
总结：
1 1 1 1
1 2 23
(n 1) n n (n 1)
1 1 n 1
n n 1
一 .分母是两个相邻数裂项法总结：
就可以利用裂项法公式： n
1 (n
1)
1 n
1 n 1
把每个分数拆成两个分数单位的差，消去中间留下两边即：
总结：
1 1 2
1 23
L
L
(n
1 1)
n
1 n(n
1)
1
1 n 1
n n 1
分数裂项的减法形式举例如下:
通分与拆分互逆：
Q 11 3 2 1 2 3 23 23 6
1＝ 3 2 ＝1 1 6 23 23 2 3
把每个分数拆成两个分数单位的差，
消去中间留下两边 .即：

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5 6 30
求和：1 1 1 1 1 1 1 1 2 23 3 4 45 5 6 6 7 78
解：原式 1 1 (1 1) (1 1) (1 1) (1 1) (1 1) (1 1) 12 23 34 45 56 67 78
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2233445566778
1 1 n 1
n n 1
一、两个不相邻数裂项方法：若
干个分数连加，如果每个分数的分母，
判断：
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1 就可以利用裂项法公式，把每个分数拆成两个分数单位的差，简便（抵消）计
算。消去中间留下两边. 如果分子不为1且相同时，可以把
相同的分子提出来，使分子变为1。
1 1 5 7 35
1 ＋ 1 ＋ 1 ＋L ＋
1
1 2 23 3 4
2010 2011
总结：
1 1 1 1
1 2 23
(n 1) n n (n 1)
1 1 n 1
n n 1
一.分母是两个相邻数裂项法总结：
把每个分数拆成两个分数单位的差，
消去中间留下两边.即：
1 1 L L 1 1
1 2 23
(n 1) n n(n 1)
一、两个相邻数裂项解析
1 1 23 6
1 1 1 23 6
1 1 78 56
11 1 7 8 56
1 1 1 23 6
11 1 7 8 56
根据上述式子，你有发现什么规律吗？
规律分数的分母必须是相邻的自然数相乘;分子必须是1.
一.两个相邻数裂项解析：分数的分母必
须是相邻的自然数相乘;分子必须是1.
分数裂项法总结
一、两个相邻数裂项方法：
若干个分数连加，如果每个分数的分母，都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时，就可以利用裂项法式，把每个分数拆成两个分数单位
的差，消去中间留下两边.
一、两个相邻数裂项：
一.分母是两个相邻数裂项：若干个分数连加，如果每个分数的分母，
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时，
1 2 23
9899 99100
1 1 100
99 .消去中间留下两边.
100
一.分母是两个相邻数裂项：若干个分数连加，如果每个分数的分母，都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时，就可以利用裂项法公式：
1 1 1 n(n 1) n n 1 即：把每个分数拆成两个分数单位的差，消去中间留下两边.
1 1
23 6
1 1 1
1 1 1 23 6
23 6
1 1
78 56 11 1 7 8 56
11 1 7 8 56
注意：分数的分母必
须是相邻的自然数;分
1 1
子必须是1
5 7 35
11 2 5 7 35
11 1 5 6 30
3 3
11 1 5 7 57
11 3 5 6 56
总结： 1 1 1 n (n 1) n n 1
1
(3n 2)(3n 1)
解：
1 1 11 1 11 1
11
1
Sn
(1 ) ( ) ( 3 4 34 7 37
) 10
(
)
3 3n 2 3n 1
1 (1 1 ) n 3 3n 1 3n 1
判断：
判断：
判断：
就可以利用裂项法公式： n
1 (n
1)
1 n
1 n 1
把每个分数拆成两个分数单位的差，消去中间留下两边即：
总结：
1 1 2
1 23
L
L
(n
1 1)
n
1 n(n
1)
1
n
1 1
n
n 1
分数裂项的减法形式举例如下:
通分与拆分互逆：
Q 11 3 2 1 2 3 23 23 6
1＝ 3 2 ＝1 1 6 23 23 2 3
11 2 5 7 35
11 1 5 7 57
1 1 （1 1） 57 2 5 7
求和：1 1 1 1 1 1 1 13 35 5 7 79 911 1113 1315
解：原式 1 （1 1) 1 （1 1) 1 （ 1 1 ) 1 （ 1 1 )
2 13 2 35
一.分母是两个相邻数裂项法总结：
把每个分数拆成两个分数单位的差，
消去中间留下两边.即：
1 1 L L 1 1
1 2 23
(n 1) n n(n 1)
1 1 n 1
n n 1
习
练
题
1 1 1 1 1 1 2 23 3 4 45 56
111111 34 45 56 67 78 89
11 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30 42 56
2 11 13 2 13 15
1 （1 1 1 1 1 1 1 1 )
2
335
11 13 13 15
1 （1 1 ) 2 15
7 15
总结：
1 1 3
1 35
1 (2n 1) （2n 1）
1（1 1 ） 2 2n 1
n 2n 1
练习1
Sn
1 1 4
1 47
1 7 10
1 1 8 若干个分数连加，如果每个分数两个相邻自然数相乘，且分子是1时，就可以利用裂差公式，把每个分数拆成两个分数单位的差，消去中间留下两边.
求和 1 1 1 1
1 2 23
98 99 99 100
举例解析：裂项基础之黄金数列
1 1 L L 1 1