第六章结构力学(李廉锟第五版)

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结构力学(李廉锟第五版)(课堂PPT)

C
内部可 F
变性
结构力学 D
A
中南大学
找刚片
E
.
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B 41 03:16
§2-5 机动分析示例
A
C
结构力学 E
DD E
如何才能不变？可变吗？有多余吗？
B
中南大学
.
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42
03:16
§2-5 机动分析示例
结构力学
中南大学
加减二元体
.
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43
03:16
§2-6 三刚片虚铰在无穷远处的讨论 (a) 一铰无穷远情况
几何可变体系: 瞬变 , 常变
• 例：（图2-17）二刚片三链杆相联情况
• （a）三链杆交于一点；
• （b）三链杆完全平行（不等长）；
• （c）三链杆完全平行（在刚片异侧）；
• （d）三链杆完全平行（等长）
中南大学
.
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32
03:15
§2-5 机动分析示例
结构力学
例2-1 对图示体系作几何组成分析。
6. 运用三刚片规则时，如何选择三个刚片是关键，刚片选择的原则是使得三者之间彼此的连接方式是铰结。
7. 各杆件要么作为链杆，要么作为刚片，必须全部使用，且不可重复使用。
中南大学
.
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39
03:16
§2-5 机动分析示例
结构力学
中南大学
F
G
D
E
如何变静定？唯一吗？
.
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40
03:16
§2-5 机动分析示例
铰
中南大学
Ⅱ
.

李廉锟《结构力学》(第5版)(上册)笔记和课后习题(含考研真题)详解第4章~第6章【圣才出品】

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图 4-1-1 （2）按铰趾位置 ①平拱平拱是指两拱趾在同一水平线上的拱。 ②斜拱斜拱是指不在同一水平线上的拱。 3．拱的特点（1）优点 ①与梁相比，拱在竖向荷载作用下会产生水平反力。推力的存在与否是区别拱与梁的主要标志。 ②由于推力的存在，拱的弯矩常比跨度、荷载相同的梁的弯矩小得多，使得拱截面上的应力分布较为均匀。 ③主要承受压力，可利用抗拉性能较差而抗压较强的材料如砖、石、混凝土等来建造，更能发挥材料的作用。（2）缺点拱支座要承受水平推力，因而要求比梁具有更坚固的地基或支承结构（墙、柱、墩、台等）。 4．拱式结构拱式结构是指在竖向荷载作用下会产生水平反力的结构，也称为推力结构。如三铰刚架、
b．当荷载及拱的跨度 l 不变时，推力 FH 将与拱高 f 成反比。
第一，f 愈大即拱愈陡时 FH 愈小；
第二，f 愈小即拱愈平坦时 FH 愈大；
第三，若
，则
，此时三个铰已在一直线上，属于瞬变体系。
2．内力的计算
（1）弯矩
①弯矩正负
通常规定弯矩以使拱内侧受拉者为正。
②计算公式
由图 4-1-5（b）所示的隔离体可求得截面 K 的弯矩为
图 4-1-2 6．拱的各部分名称（1）拱轴线拱轴线是指拱身各横截面形心的连线。（2）拱趾拱趾是指拱的两端支座的位置。（3）拱的跨度 l 拱的跨度是指两拱趾间的水平距离。（4）起拱线起拱线是指两拱趾的连线称为起拱线。（5）拱顶拱顶是指拱轴上距起拱线最远的一点。（6）拱高 f
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第 4 章静定拱

结构力学第五版李廉锟结构位移计算1图文

F
Δ11
第六章结构位移的计算
（2）位移不是由做功的力引起的，而是由其他因
素引起的。
若在如图所示简支梁的基础上，又在梁上施加另外一
个静力荷载F2，梁就会达到新的平衡状态，F1的作用点沿 F1方向又产生了位移Δ12如图所示。
力F1(此时的F1不再是静力荷载，而是一个恒力)在
位移Δ12上做了功。由于位移Δ12不是F1引起的，而是由
例如图(a)所示的简支梁，在荷载作用下发生如
图中虚线所示的变形，梁的跨中截面的形心C移动
了一段距离 C C，称为C点的线位移或挠度；支座截
面B转动了一个角度
，称为截面的角位移或转角。
B
(a)
第六章结构位移的计算
又如图所示的刚架，在荷载作用下发生如图中虚线所
示的变形。刚架上的C点移动至C点，则称 CC 为点C的线位
移，用ΔC表示。
还可将该线位移分解
为沿水平方向和竖直方向的
两个分量，分别称为点C的
水平位移和竖向位移，分
别用ΔCx和ΔCy表示，几何关
系如图（b）所示，图中的 C
Cy
为截面C的转角，称为截面
C的角位移，上述线位移和
C x
角位移统称为绝对位移。
第六章结构位移的计算
此外，在计算中还将涉及到另一种位移，即相对位移。例如图所示的刚架，在荷载F作用下，发生如图中虚线所示的变形。
A、B两点的水平位移分
别为ΔAH和ΔBH，它们之和为(ΔAB )H =ΔAH+ΔBH，称为A、B两点的水平相对
线位移。A、B两个截面
的转角分别为和，它
们之和A 为B
，
称为AAB、B两A 个截B 面的相
对角位移。

李廉锟《结构力学》(第5版)(上册)配套模拟试题及详解【圣才出品】

李廉锟《结构力学》（第5版）（上册）配套模拟试题及详解一、单项选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分；在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，错选、多选或未选均无分）1．如图1所示的结构中，桁架杆件的零杆个数为（）。

A．4B．5C．6D．7图1【答案】D【解析】此对称结构的荷载为反对称，因此DE杆轴力必为零。

再由零杆判别法则，可知DF、AF、FG、HI、EI、BI六杆也为零杆，总共此结构有7根零杆。

2．如图2所示结构，A支座发生沉降∆后，则（）。

A.AB杆无内力，BD杆有内力B．AB杆有内力，BD杆无内力C．AB、BD杆均无内力产生D．AB、BD杆均有内力产生图2【答案】C【解析】AB为静定梁，支座移动不引起内力，因此铰B对AB杆的约束力为零，对BD 杆的约束力也为零。

BD杆上又无其他荷载，其内力也等于零。

3．如图3所示结构为对称抛物线三铰拱，铰C右侧截面的轴力（受压为正）为（）。

图3A.64kN B ．32kN C ．24kN D ．16kN 【答案】C【解析】由于该结构为对称抛物线拱，截面的轴力必是水平方向，其等于支座的水平反力F H 。

求得F VA ＝10kN ，F H ＝24kN ，因此，'24NC H F F kN ==。

4．如图4所示结构，各杆为矩形截面，在温度变化t 1＞t 2时，其轴力为（）。

图4【答案】C【解析】因为当温度变化时，AB杆、DC杆可自由伸缩，故F NAB＝F NCD＝0。

由于BC 杆在B、C结点处有轴向约束，且，故其轴线伸长受阻，则必有F NBC＜O，为压力。

5．如图5所示结构为对称刚架，利用对称性简化后的计算简图为（）。

图5【答案】A【解析】刚架有两个对称轴AB、AD，此刚架纵横均为两跨，可以取四分之一结构BCD 计算，由于荷载对称，因此，B、D两处有弯矩，无转角和线位移，AB、AD杆无弯矩。

二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）1．如图6（a）所示体系的几何组成为______。

【经典】结构力学(李廉坤第五版) 上

§2-4 瞬变体系
分析图示体系：三根链杆平行且等长从异侧连出时。体系为瞬变体系。
§2-5 机动分析示例
例2-1 试分析图所示多跨静定梁的几何构造。
解：地基与AB段梁看作一个刚片（两刚片规上则述）刚；片与BC段梁扩大成一个刚片（两刚片上规述则大）刚；片与CD段梁又扩大成一个刚片（两刚DE片段规梁则同）样；分析（两刚片
需的最少联系
图示体系数计目算，自而由布度置W不=0，
当会成为几何可变但；布置不当，上部有多余联系，
下体部系缺计少算联自系由，度是W≤几0何，可
变是的体。系几何不变的必要条件。
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
三刚片规则三个刚片用不在同一直线上的三个单
铰两两相连，组成的体系是几何不变的，且没有多余联系。如图。
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
两刚片规则
两个刚片用一个铰和一根不通过此铰
的链杆相连，组成的体系是几何不变的，且
没有多余联系。如图。
图示体系
也是按三刚片规则
组成的。将链杆看
作一个刚片，组成
的体系是几何不变
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
如图所示，刚
片I和刚片II可以绕O点转动；O点成为刚片I和
点O作相对转动，但发生
微小转动后，三根杆就不再交于同一点，运动也就不再继续发生。体
§2-4 瞬变体系
分析图示体系：三根链杆平行不等长时，交于无穷远处的同一点，两刚片可相对平动，发生微小相对移动后，三杆分不析再图全示平体行系。：体系为瞬三变根体链系杆。平行且等长时，两刚片的相对平动一直持续下去。体系为可§1-4 支座和结点的类型
支座：连接结构与基础的装置。（1）活动铰支座

结构力学(李廉锟第五版)_图文

§4-3 三铰拱的合理拱轴线
在均匀静水压力作用下，q=常数，因而
三铰拱在均匀静水压力作用下，其合理轴线的曲率半径为一常数, 就是一段圆弧。
因此，拱坝的水平截面常是圆弧形，高压隧洞常采用圆形截面。
拱桥实例介绍
5）刚架拱桥
1989江苏无锡100米下甸桥
变截面，四分点附近截面高度最大，分别向拱脚、跨中减小。取消斜撑，拱上建筑采用23m预应力混凝土简支梁以过渡。
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例4-3 设三铰拱上作用有沿拱轴均匀分布的竖向荷载（如自重），试求其合理拱轴线。
解:当拱轴线改变时，荷载也随之改变。令p(x)为沿拱轴线每单位长的自重，荷载沿水平
方向的集度为q(x) 由有
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
将
代入方程（4-5），得
由于规定y 向上为正, x 向右为正，q 向下为正，故上式右边为正号。
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
或
积分后，得如p(x)=常数=p ，则
即式中A为积分常数。
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
由于当x =0时，
，故常数A等于零，即
再积分一次，得由于当x=0时，y=0，故
最后得等截面拱在自重荷载作用下，合理轴线为一悬链线。
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
在一般荷载作用下,为了寻求相应的合理轴线,可假定拱处于无弯矩状态并写出相应的平衡微分方程。
§4-1 概述
拱与其同跨度同荷载的简支梁相比其弯矩要小得多，所以拱结构适用于大跨度的建筑物。它广泛地应用房屋桥梁和水工建筑物中。由于推力的存在它要求拱的支座必须设计得足够的牢固，这是采用拱的结构形式时必须注意的。
§4-2 三铰拱的数值解一、三铰拱的反力和内力计算。

结构力学第五版李廉锟第六章结构位移计算1

B B 令δA=1，且令δB表示位移 A和之间的比例系数： B A ，
由图中几何关系得： B c B A a c 将（1）式除以ΔA，得 FA FP a
第六章结构位移的计算
例：求 A 端的支座反力
A B
P
C
b
P
X
直线
C
(c)
a
(a)
X
(b)
待分析平衡的力状态虚设协调的位移状态解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态. 由外力虚功总和为零，即： X X P C 0
从以上示例看出，一个广义力可以是一个力或一
个力偶，其对应的广义位移是一个线位移或一个角位
移。故广义力可有不同的量纲，相应的广义位移也可
有不同的量纲。但在做功时广义力与广义位移的乘积
却恒具有相同的量纲，即功的量纲。其常用单位为牛
顿米(N· m)或千牛顿米(kN· m)。
第六章结构位移的计算
既然功是力与位移的乘积，根据力与位移的关系可将功分为两种情况：（1）位移是由做功的力引起的例如图所示简支梁，在静力荷载 F1 的作用下，当 F1 由零缓慢逐渐的加到其最终值时，其作用点沿 F1方向产生了位移Δ11，简支梁达到平衡状态，其变形如图虚线所示，力F1在位移Δ11上做了功。由于位移Δ11是由做功的力F1 引起的，我们把力在自身引起的位移上所做的功称为实功。
第六章结构位移的计算
1 ）虚设位移求未知力
如图（a）所示杠杆，在B点作用已知荷载FP，求杠杆平衡时在A点需加的未知力FA。把刚体取虚位移，如图（b）所示，根据刚体虚功原理得： (1) 其中： A和分别是沿 FA和FP方向的虚位移。 B
(a)

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目　录第一部分　名校考研真题第12章　结构动力学第13章　结构弹性稳定第14章　结构的极限荷载第15章　悬索计算第二部分　课后习题第12章　结构动力学第13章　结构弹性稳定第14章　结构的极限荷载第15章　悬索计算第三部分　章节题库第12章　结构动力学第13章　结构弹性稳定第14章　结构的极限荷载第15章　悬索计算第四部分　模拟试题李廉锟《结构力学》（第5版）（下册）配套模拟试题及详解第一部分　名校考研真题第12章　结构动力学一、填空题1．设直杆的轴向变形不计，则图12-1所示体系的质量矩阵[M]＝]______。

[西南交通大学2007研【答案】【解析】首先判断结构有两个动力自由度：最右端m1的竖向自由度和水平方向上的自由度。

竖向自由度对应的质点的质量为m1，水平自由度对应的质点的质量为2m1，故该结构的质量矩阵为。

2．如图12-2所示结构的动力自由度为______（不计杆件质量）。

[中南大学2003研]图12-2二、选择题1．如图12-3所示结构，不计阻尼与杆件质量，若要发生共振，θ应等于（）。

[天津大学2005研]A ．B ．3【答案】一个自由质点的动力自由度为两个（不考虑转动自由度），本题所示结构中有三个质点，第一层的两个质点只有一个水平自由度，第二层的质点有水平和竖向两个自由度，故一共有三个动力自由度。

【解析】C ．D．图12-3【解析】当体系的自振频率与外部激励荷载的频率相同时，体系发生共振。

首先求该结构的自振频率，设m 处的位移为u （t ），质量m 处的惯性力向下为，质量3m 处的惯性力向下，弹性力向上为，向左端铰支座处取矩，列运动方程为：。

所以体系的自振频率为。

2．如图12-4所示体系（不计阻尼）的稳态最大动位移y max ＝4Pl 3/9EI ，则最大的动力弯矩为（）。

[浙江大学2007研]A ．7Pl/3　B ．4Pl/3C ．Pl D ．Pl/3B【答案】图12-4【解析】在质点m 处的静位移为：，则动力放大系数R d ＝；最大静力弯矩为Pl ，故最大动力弯矩为。

结构力学(李廉锟第五版)

（虚）位移状态
注（1）属同一体系；
意（2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件, 力状态应满足平衡条件。
：（3）位移状态与力状态完全无关；
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22:17
§6-2 变形体系的虚功原理
2.杆系结构虚功方程
结构力学
Wi FNd FSd Md
s
s
s
We Wi
以上结论与材料物理性质及具体结构无关，因此，虚功原理虚功方程既适用于一切线性结构，也适用于一切非线性结构。
结构力学
第六章结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
§6-8 线弹性结构的互等定理
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FK
1在
K 上做负功
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22:17
§6-3 位移计算的一般公式单位荷载法结构力学
几点说明：
(1) 所建立的虚功方程，实质上是几何方程。 (2) 虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位广
义力 P=1
(3) 求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。特点: 是用静力平衡法来解几何问题。
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22:17
§6-2 变形体系的虚功原理
结构力学
（2）刚体系的虚功原理
去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：
对于任何可能的虚位移，作
用于刚体系的所有外力所做虚

李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第6章结构位移计算【圣才出品】

第6章　结构位移计算6.1　复习笔记【知识框架】【重点难点归纳】一、结构位移的基本概念（见表6-1-1）　★★表6-1-1　结构位移的基本概念二、刚体的虚功原理　★★★平衡方程是一种直接的受力分析方法，而虚功原理是一种间接手法。

虚功原理是（任意平衡力系）在（任意可能位移）上所做的总虚功为零。

根据虚设对象不同，刚体的虚功原理分两种应用形式（虚力原理、虚位移原理），具体见表6-1-2。

表6-1-2　刚体的虚功原理三、变形体系的虚功原理（见表6-1-3）　★★★表6-1-3　变形体系的虚功原理四、位移计算的一般公式单位荷载法　★★★★★基于化整为零、积零为整的原则，结构位移的计算从局部变形入手，通过虚力原理中的单位荷载法推导其拉伸、剪切、弯曲变形公式，再对这些局部变形公式进行叠加，得到整体变形公式，最后通过虚功方程推导出位移计算公式，见表6-1-4。

表6-1-4　单位荷载法求变形体系的位移注：为虚设单位荷载在支座处引起的反力；、N、Error!S分别为单位荷载在截面引起的弯矩、轴力、剪力。

拟求位移Δ可以引申理解为广义位移，将结构位移广义化，可以求解两点之间的广义位移。

广义位移、广义单位荷载和外力虚功三者之间满足：W＝1·Δ。

单广义位移分类及单位荷载施加方式见表6-1-5。

表6-1-5　单广义位移分类及单位荷载施加方式五、静定结构在荷载作用下的位移计算（见表6-1-6）　★★★★表6-1-6　静定结构在荷载作用下的位移计算注：G为材料的切变模量；A为杆件截面的面积；k为切应力沿截面分布不均匀而引用的改正系数（考试作为已知条件）。

六、图乘法（见表6-1-7）　★★★★★。

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结构力学
一、基本概念
1.外力的实功
实功：力在其本身引起的位移上所作的功。
位移Δ是由外力F引起的，F 做的功可表示为:
W F 'dΔ' 0
F
F
A
l
F'
O 'd ' B F
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16:14
§6-2 变形体系的虚功原理
结构力学
设线弹性材料的弹性系数为，则
F
F ' kΔ'
F
A
l
F'
所以
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16:14
§6-2 变形体系的虚功原理
结构力学
内力虚功
若变形与内力彼此无关，则此微段上的内力功是虚功，其为
dwi FNd FSd Md
对于整根杆的内力虚功，则可对整根杆积分求得：
Wi FNd FSd Md
s
s
s
d , d 和 d 的具体表达式要视引起这个变形的具体
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16:14
§6-1 概述
结构力学
(2) 超静定结构、动力和稳定计算的基础
超静定结构的内力不能仅由平衡条件确定，分析时必须考虑变形条件，因而需要计算结构的位移。
(3）施工要求
在结构的施工过程中，常需预先知道结构变形后的位置，以便采取一定的施工措施，使结构物符合设计图纸的要求。
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D'
A
B
C'
C
D
D'
CD
A
B
结构力学
截面C、D 的相对竖向线位移为 :
CDV CV DV
截面C、D 的相对角位移为:
ΔCD C D
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16:14
§6-1 概述
结构力学
3.位移产生的原因
P
t
A
引起结构位移的原因
Ay
A A
荷载温度改变
Ax
支座移动
制造还误有差什等么原
因会使结构产
生位移?
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16:14
§6-1 概述
结构力学
二、计算位移的目的
(1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600 跨度；高层建筑的最大位移<1/1000 高度。
最大层间位移<1/800 层高。铁路工程技术规范规定:
桥梁在竖向静活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度<1/700 和1/900跨度
两者之间的关系：有形变必有位移；有位移不一定有形变。
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16:14
§6-1 概述
结构力学
2. 位移的分类
P
A
A
Ay
A
位移
线位移转角位移
Ax
A A点线位移
Ax A点水平位移
Ay A点竖向位移
A截面转角
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§6-1 概述
C'
CV C D
CDV
DV
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16:14
§6-1 概述
结构力学
四、计算方法
1.几何法
研究变形和位移的几何关系，用求解微分方程式的办法求出某截面的位移（材料力学用过，但对复杂的杆系不适用）。
〈 2. 功能法
虚功原理
应变能(卡氏定理)
本章只讨论应用虚功原理求解结构位移。
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16:14
§6-2 变形体系的虚功原理
O 'd ' B F
W kΔ'dΔ' 1 kΔ2 1 FΔ F 2
0
2
2 2k
实功的数值就等于图上三角形OAB的面积。实功是外力的非线形函数，计算外力实功不能应用叠加原理。
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§6-2 变形体系的虚功原理
结构力学
2.外力的虚功
虚功：力在其它原因引起的位移上所作的功，即做功的力系和相应的位移是彼此独立无关的。
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§6-1 概述
结构力学
三、本章位移计算的假定
(1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)
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d
1 2
FS
dn
1 2
Md
d ds d kds
1
ds
所以
dw
1 2
FNds
1 2
FSds
1 2
Mκds
由胡克定律有：
FN , FS , 1 M
EA
GA EI
故
dw 1 FN2 ds 1 FS2 ds 1 M 2 ds
2 EA 2 GA 2 EI
实功数值上就等于微段的应变能。
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22
力F1在力F2引起的位移Δ12上作的功为虚功为
δW F1 Δ12
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§6-2 变形体系的虚功原理
结构力学
3.广义位移和广义力
广义位移 ——结构产生的各种位移，包括截面的线位移、角位移、相对线位移、相对角位移或者是一组位移等等都可泛称为广义位移。
广义力 ——与广义位移对应的就是广义力，可以是一个集中力，集中力偶或一对大小相等方向相反的力或力偶，也可以是一组力系。
F
F
A
t
l
δW FΔt F
t
O
B
t
虚功的数值是位移曲线所围的矩形面积。
虚功中的力与位移两者相互独立，计算外力虚功可应用叠加原理。
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16:14
§6-2 变形体系的虚功原理
结构力学
例 F1力在其引起的位移Δ11 上作的功为实功为
F1
W
1 2
F1
Δ11
1
2
11
21
F1
1 11 12
F2 2 21
d s+d λ
ds
ds
该微段上相应的变形为
轴向变形弯曲变形
d
ds
1 k d
ds
剪力变形 d
ds
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§6-2 变形体系的虚功原理
结构力学
内力实功
如果变形就是由此内力引起的，则此微段上内
力功应为实功，其为轴力、剪力和弯矩分别做的功
之和：因为
1 dw 2 FN
d ds
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§6-1 概述
结构力学
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
1. 结构的位移是指结构上的某一截面在荷载或其它因素作用下由某一位置移动到另一位置，这个移动的量就称为该截面的位移（线位移和角位移）。
思考：变形与位移的差别？
变形：结构在外部因素作用下发生的形状的变化。
注意：广义位移与广义力的对应关系，能够在某一组广义位移上做功的力系，才称为与这组广义位移对应的广义力。
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§6-2 变形体系的虚功原理
结构力学
4.内力功
定义：从杆上截取一微段,作用在该微段上的内力在该微段的变形上做的功定义为该内力做的功。
γ
FN
FN
dη
dθ
S
FS
ds
M
M
结构力学
第六章结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
§6-8 线弹性结构的互等定理
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