求函数f(x)的解析式
高一数学(必修一)《第五章 函数y=Asin(ωxφ)》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 函数y=Asin （ωx φ）》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、解答题1．已知函数()2sin(2)16f x x a π=+++，且当[0,]2x π∈时()f x 的最小值为2.（1）求a 的值；（2）先将函数()y f x =的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将所得的图像向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图像，求方程()4g x =在区间[0,]2π上所有根之和.2．写出将sin y x =的图像变换后得到2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像的过程，并在同一个直角坐标平面内画出每一步变换对应的函数一个周期的图像（保留痕迹）． 3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π)的部分图象如图所示．（1）求函数f (x )的解析式；（2）如何由函数y ＝sin x 的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f (x )的图象，写出变换过程． 4．用“五点法”画出函数2sin y x =在区间[]0,2π上的图象． 5．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω与2πϕ<)，在同一个周期内，当4x π=时，则y 取最大值1，当712x π=时，则y 取最小值-1． (1)求函数()f x 的解析式．(2)函数sin y x =的图象经过怎样的变换可得到()y f x =的图象 (3)求方程()()01f x a a =<<在[]0,2π内的所有实数根之和． 6．已知函数()2cos 44f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 图象的对称轴；(2)将函数()f x 图象上所有的点向左平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()y g x k =+在()2,4-上有两个零点，求实数k 的取值范围.7．2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，则火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地 球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式： 0lnkm v m ω=，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中ω为发动机的喷射速度，0m 和k m 分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完 ）时的质量．0km m 被称为火箭的质量比．(1)某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的质量为40吨，求该单级火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；(2)根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由．（参考数据：ln20.69≈，无理数e 2.71828=）二、单选题8．为了得到函数3sin 2y x =的图象，只要将函数3sin(21)y x =-的图象（ ） A ．向左平移1个单位长度 B ．向左平移12个单位长度C ．向右平移1个单位长度D ．向右平移12个单位长度9．函数sin3y x =的图象可以由函数cos3y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位得到 B ．向左平移6π个单位得到 C ．向右平移3π个单位得到 D ．向左平移3π个单位得到 10．要得到函数()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将cos2y x =的图像（ ）A ．向左平移3π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移23π个单位长度 D ．向右平移23π个单位长度 11．为了得到函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需把函数3sin y x =图像上所有点（ ）A ．向左平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12B ．向左平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 C ．向左平行移动6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12D ．向右平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12 12．要得到函数π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，需（ ）A ．将函数3sin π5y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）B ．将函数π3sin 10y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）C ．将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移π5个单位长度D ．将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移π10个单位长度13．为了得到函数2cos2y x =的图象，只需把函数2cos 2y x x =+的图象（ ） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度三、填空题14．将函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到()()sin y g x A x ωϕ==+（0A >，0>ω与π2ϕ≤）的图象如图，则()f x 的解析式为_____．15．彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若2OA =，则AOB ∠所对应的弧长为______．参考答案与解析1．（1）2a =；（2）3π. 【分析】（1）由于当[0,]2x π∈时()f x 的最小值为2，所以min ()112f x a =-++=，从而可求出a 的值；（2）由图像变化可得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =得1sin(4)62x π-=，从而可求出x 的值【详解】（1）()2sin(2)16f x x a π=+++，∵[0,]2x π∈，∴72[,]666x πππ+∈∴min ()112f x a =-++=，∴2a =；（2）依题意得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =得1sin(4)62x π-=∴4266x k πππ-=+(k Z ∈)或54266x k πππ-=+(k Z ∈) ∴212k x ππ=+或24k x =+ππ，解得12x π=或4x π= ∴所有根的和为1243πππ+=.【点睛】此题考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的图像的变换，考查转化能力和计算能力，属于基础题2．答案见解析．图像见解析【分析】由三角函数图像中的相位变换、周期变换、振幅变换叙述变换过程，然后作出图像变换的过程即可.【详解】先将sin y x =的图像上各点向右平移4π个单位得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像再将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的每一个点保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.再将函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的每一个点保持横坐标不变，纵坐标扩大到原来的2倍，得到函数2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.3．（1）f (x )＝sin (2)6x π+ ；（2） 答案见解析.【分析】（1）由图像可得A ＝1，51264Tππ-=结合2T πω=可求出ω的值，然后将点(,1)6π代入解析式可求出ϕ的值，从而可求出函数f (x )的解析式； （2）利用三角函数图像变换规律求解【详解】(1)由图像知A ＝1.f (x )的最小正周期T ＝4×5()126ππ-＝π，故ω＝2Tπ＝2 将点(,1)6π代入f (x )的解析式得sin ()3πϕ+＝1又|φ|＜2π，∴φ＝6π.故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin (2)6x π+.(2)变换过程如下：y ＝sin x 图像上的所有点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图像，再把y ＝sin 2x 的图像,向左平移12π个单位y ＝sin (2)6x π+的图像． 4．答案见解析【分析】利用五点作图法，列表、描点、连线可作出函数sin y x =在区间[]0,2π上的图象. 【详解】解：按五个关键点列表如下：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．5．(1)()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)答案见解析 (3)112π【分析】(1)结合已知条件可求出A ，最小正周期T ，然后利用最小正周期公式求ω，通过代值求出ϕ即可；(2)利用平移变换和伸缩变换求解即可；(3)利用正弦型函数的对称性求解即可. (1)设()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期为T 由题意可知，1A =，1721243T πππ=-=即223T ππω== ∴3ω=，即()()sin 3f x x φ=+∵3sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴3242k ππϕπ+=+ k Z ∈ 又2πϕ<，∴4πϕ=-∴()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(2)利用平移变换和伸缩变换可知，sin y x =的图象向右平移4π个单位长度，得到sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象再将sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，得到sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．(3)∵()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为23π∴()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,2π内恰有3个周期故所有实数根之和为1119112662ππππ++=． 6．(1)14x k =+ k ∈Z (2)()2,0-.【分析】（1）求出()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解方程442x k ππππ+=+，k ∈Z 即得解；（2）求出()2cos 4g x x π=，即函数()y g x =的图象与直线y k =-在()2,4-上有两个交点，再利用数形结合分析求解. （1）解：因为()2cos 44f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令442x k ππππ+=+，k ∈Z ，解得14x k =+ k ∈Z 所以函数()f x 图象的对称轴为直线14x k =+ k ∈Z . （2）解：依题意，将函数()f x 的图象向左平移1个单位长度后，得到的图象对应函数的解析式为()()2sin 12cos 444g x x x πππ⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦.函数()y g x k=+在()2,4-上有两个零点即函数()y g x =的图象与直线y k =-在()2,4-上有两个交点，如图所示所以02k <-<，即20k -<< 所以实数k 的取值范围为()2,0-. 7．(1)2.8千米/秒(2)该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒，理由见解析【分析】（1）明确0k m m ω、、各个量的值，代入即可;（2）求出最大理想速度max v ，利用放缩法比较max 2ln10v =与7.9的大小即可. （1）2ω=，0160m =和40k m =0lnk m v m ω∴=21602ln 2ln 42ln 24ln 2 2.7640=⨯===≈ ∴该单级火箭的最大理想速度为2.76千米/秒.（2）10km M ≤ 2ω= 0max ln km v m ω∴=2ln10= 7.97.97128e22>>=7.97.9ln ln128ln1002ln10e ∴=>>=max v ∴2ln107.9=<.∴该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒.8．B【分析】根据已知条件，结合平移“左加右减”准则，即可求解．【详解】解：()13sin 213sin 22y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝=⎭∴把函数13sin 22x y ⎛⎫- ⎝=⎪⎭的图形向左平移12个单位可得到函数3sin 2y x =．故选：B ． 9．A【分析】化简函数sin 3cos[3()]6y x x π==-，结合三角函数的图象变换，即可求解.【详解】由于函数3sin 3cos(3)cos(3)cos[3()]226y x x x x πππ==+=-=- 故把函数cos3y x =的图象向右平移6π个单位，即可得到cos3sin 36y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭的图象.故选：A. 10．B【分析】直接由三角函数图象的平移变换求解即可. 【详解】将cos2y x =的图像向右平移3π个单位长度可得2cos2cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 11．A【分析】利用三角函数图象变换规律求解即可【详解】将3sin y x =向左平移3π长度单位，得到3sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得的各点的横坐标缩短到原来的12，可得3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象 故选：A 12．D【分析】根据三角函数的图像变换逐项判断即可.【详解】解：对于A ，将3sin π5y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于B ，将π3sin 10y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1π3sin 210y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于C ，将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π5个单位长度后，得到2π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于D ，将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π10个单位长度后，得到π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，正确.故选:D. 13．C【分析】化简2cos 2y x x =+，再根据三角函数图象平移的方法求解即可【详解】12cos 22cos 222cos 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移6π个单位长度得到2cos 22cos263ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y x x故选：C14．()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】由图像可知，函数的最值、最小正周期，可得,A ω的值，代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，进而解得ϕ的值，根据函数的图像变换规律，可得答案.【详解】由题图可知()max 2A g x ==，函数()g x 的最小正周期为45πππ3123T ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以2π2T ω==，所以()()2sin 2g x x ϕ=+．又5π5π2sin 2126g ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以5ππ2π62k ϕ+=+（k ∈Z ），解得π2π3k ϕ=-（k ∈Z ）． 因为π2ϕ≤，所以π3ϕ=-，所以()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．将函数()g x 的图象向右平移π6个单位长度后可得到函数()f x 的图象故()ππ2π2sin 22sin 2633f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭15．4π9【分析】根据题意得到圆心角2π9AOB α=∠=，结合弧长公式，即可求解.第 11 页 共 11 页 【详解】由题意，可知圆心角2π9AOB α=∠=，半径2r OA == 所以AOB ∠所对应的弧长为2π4π299l r α==⨯=． 故答案为：4π9.。
fx的解析式公式
fx是一个函数的符号，表示它是一个具体的函数。
其解析式公式取决于具体的函数是什么。
如果您有具体的函数，我可以告诉您它的解析式公式。
如果您有一个特定的函数，例如f(x) = x^2 + 3x + 1，那么它的解析式公式是f(x) = x^2 + 3x + 1。
这是一个二次函数，可以用来描述二次函数的形式。
其他函数也有自己的解析式公式，如指数函数f(x) = 2^x 或三角函数f(x) = sin(x)。
请注意，每种函数都有其自己的特殊解析式公式，并且在不同的场景中使用。
另外，在许多情况下，函数f(x) 没有解析式公式，因为它可能不能被数学公式表示。
在这种情况下，我们可以使用数值方法来近似函数值。
例如，在机器学习中，我们可以使用深度学习网络来拟合复杂的函数，而无需知道其解析式。
总之，fx的解析式公式取决于具体的函数，如果给定函数没有解析式，可能需要使用数值方法来近似函数的值。
另外,对于复合函数f(g(x)) 也可以使用解析式公式来表示, 其中g(x)是一个具体的函数.
如f(g(x))=sin(g(x)), g(x)=x^2+3x+1, 那么f(g(x))=sin(x^2+3x+1) 就是这个复合函数的解析式公式.
总结：fx的解析式公式是一种用数学公式表示函数的方
法，对于每种函数都有其自己的特殊解析式公式，但是并不是所有函数都有解析式公式，在这种情况下可能需要使用数值方法来近似函数的值。
求函数fx的解析式
例二：已知
f
(x
1) x
x2
1 x2
(x
0)
，求f(x)的解析式
解： f (x 1) (x 1)2 2
x
x
，
x
1 x
2
f (x) x2 2 (x 2)
练习：
1、已知f (x 1) x2 4x,解方程f (x 1) 0.
2、已知f (x 1) x2 1,求f (x)的解析式 3、设f (x) 2x2 3x 1, g(x 1) f (x),求gቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx)及f [g(2)]
________. 解析：设反比例函数
f(x)＝kx(k≠0)，
则 f(3)＝k3＝－6，解得 k＝－18.
∴f(x)＝－1x8. 答案：－1x8
练习：
1、已知函数f (x)是一次函数，且满足关系3 f (x 1) 2 f (x 1) 2x 17, 求f (x)的解析式
2、求一个一次函数f (x),使得f { f [ f (x)]} 8x 7，
且f (0) 1， 求 f (x).
解： 令x y得
f (0) f (x) 2x2 x2 x
f (x) x2 x 1
作函数图象的三个步骤： (1)列表，先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与 这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； (2)描点，把表中一系列的点(x，f(x))在坐标平面上描出来； (3)连线，用光滑的线把这些点按自变量由小到大的顺序连 接起来．
解：令 t x 1，则 t 1 x (t 1)2
f ( x 1) x 2 x ， f (t) (t 1)2 2(t 1) t 2 1, f (x) x 2 1 (x 1)
求函数解析式的例题
求函数解析式的例题
当我们在求解函数的解析式时，通常需要根据给定的条件和已知信息进行推导和分析。
下面是一个例题：
例题：已知函数 f(x) 满足以下条件：
1. 当 x > 0 时，f(x) = x^2 + 3x - 2；
2. 当 x ≤ 0 时，f(x) = 2x - 1。
求函数 f(x) 的解析式。
解析：根据已知条件，我们可以将函数 f(x) 分为两个部分进行讨论。
当 x > 0 时，根据第一条条件，有 f(x) = x^2 + 3x - 2。
当 x ≤ 0 时，根据第二条条件，有 f(x) = 2x - 1。
因此，我们可以将整个函数 f(x) 表示为一个分段函数：
f(x) =
{
x^2 + 3x - 2, x > 0,
2x - 1, x ≤ 0.
}
这就是函数 f(x) 的解析式，它表示了不同区间内 x 的取值所对应的函数表达式。
通过以上例题，我们可以看到在求函数解析式时，需要根据给定条件进行分段讨论，并找出每个区间内的函数表达式。
这样可以得到一个完整的函数解析式，能够准确地描述函数的行为和变化规律。
求函数fx的解析式
解：设f(x)=ax+b (a≠0),则
f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b= a2 x+ab+bLeabharlann a2 4 ab b 3
a b
12或ba
2 -3
f (x) 2x 1 或 f (x) 2x - 3
例二：已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，则函数f(x)＝
解：令 t x 1，则 t 1 x (t 1)2
f ( x 1) x 2 x ， f (t) (t 1)2 2(t 1) t 2 1, f (x) x 2 1 (x 1)
f (x 1) (x 1)2 1 x2 2x (x 0)
例二：f (x 1) x2 2x 2，求f(x)及
1、解2：、f (解x 1：) f(x(x1)2 1)2x1(x(x 11))22 22(xx1) 3
f f
( (
xx)1()xx2 ( x21x)12)
3
2
22((xx
1)
1)3
02
解得，x1f(2x,)x2 x22 2x 2
四、【待定系数法】
已知函数模型（如：一次函数，二次函数,反比例函数等） 求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系 数。
故f(x)的解析式为f(x)＝a－b 1x.
(2)在原式中用1x替换x，得f1x－2f(x)＝3x＋2，
于是有ff1xx－－22ff1xx＝＝33x＋x＋22，. f(x)＝－x－2x－2.
消去f1x，得
六.赋值法
例１： 已知定义在R上的函数f(x)，对任意 实数x,y满足：f (x y) f (x) 2xy y2 y
求函数fx的解析式
解：令 t x 1，则 t 1 x(t 1)2
Q f( x1)x2 x ， f(t) (t 1 )2 2 (t 1 ) t2 1 , f(x)x21 (x 1)
f(x 1 ) (x 1 )2 1 x 2 2 x(x 0)
b
6
例二：f(x1)x22x2，求f(x)及
解：令 tx1,则 xf( x+t3)1
且f (0)1，求 f ( x).
解： 令xy得
f(0)f(x)2x2x2x
f(x)x2x1
b
17
b
18
作函数图象的三个步骤： (1)列表，先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与 这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； (2)描点，把表中一系列的点(x，f(x))在坐标平面上描出来； (3)连线，用光滑的线把这些点按自变量由小到大的顺序连 接起来．
3
ff((3fxx(x11)))f((xtf)(t1)4)2 t(3t1113)2 1
4( x 1)
f (x)
3
3b
8
三、【配凑法（整体代换法）】
把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含 有g(x)的形式，再把g(x)用x代替。 一般的利用完全平方公式
例二：已知
f(x1)x2 x
ft fx 1 t 1 2 2 t 1 2 t2 1
f xx21 y fx 3 ( x 3 ) 2 1 x 2 6 x 1 0
b
7
练习：
1、若 f(3x1)4x3,求f(x)的解析式 2、已f(知 x1)x21,求f(x)的解析式
12、、解：令令t t x3x 1,1则 , 则xx tt11
b
求函数f（x）解析式常用的方法
求函数)(x f 解析式常用的方法济宁一中高一数学组 贾广素（邮编272000）电话：130****4397根据实际问题求解函数的表达式，是利用函数知识解决实际问题的基础。
因此，有必要掌握函数解析式的求法，下面就介绍几种求解函数解析式的常用方法：一、直接法直接法就是从题设（已知）条件出发，执因索果，进行演绎推导，从而得出函数解式的方法。
例1、 已知432)(2++=x x x f ，求函数)1(+x f 的解析式。
解：由于432)(2++=x x x f ，∴)1(+x f ＝4)1(3)1(22++++x x ＝9722++x x。
例2、 已知)(x f 是奇函数，且当0>x 时)1()(x x x f -=，求当0<x 时)(x f 的解析式。
解： 当0>x 时)1()(x x x f -=，∴当x<0时，－x>0，从而)1())(1)(()(x x x x x f +-=---=-又 )(x f 是奇函数，)()(x f x f -=-；)1()(x x x f +=∴。
注：直接法是一种正向的思维，解决问题时要善于将稍复杂的问题进行分解，各个击破，它不需要特殊的技巧。
二、待定系数法用一些字母作为待定系数，然后根据条件列出含有待定系数的方程式或方程组，解出这些待定系数，从而求出函数解析式的方法称为待定系数法。
例3、已知)(x f 是一次函数，并且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求函数)(x f 的解析式。
解：设)0()(≠+=a b ax x f ，则)1(2)1(3--+x f x f ＝ba axb a ax 222333-+-++＝b a ax ++5，又 172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，比较系数得⎩⎨⎧=+=1752a b a 解得7,2==b a ，所以所求函数的解析为72)(+=x x f 。
例4、已知二次函数)(x f y =的最大值等于13，且,5)1()3(=-=f f 求函数)(x f 的解析式。
函数解析式求法
练习：已知2f(x)+f(-x)=3x+2，求 f(x).
例5、已知f(x)满足f(0)=1,对任意实数x,y有 f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求函数f(x)的解析式
[方法一]令x=y得f(0)=f(x)-x(2x-x+1)故f(x)=x2+x+1;
8
例4：对一切非零实数x，f(x)+2f(
1 x
)=3x,求f(x)
解：由f(x)+2f(
1 x
)=3x
①
以 1 代替x得 f( 1 )+2f(x)=3 1 ②
x
x
x
由①②消去f( 1x）得f(x)=
2 x
-x(x≠0)
说明：当发现“f”作用下，仅有x及另外一个与x有 关的式子时，可以用该式代替x，得到另一个关系式， 消去其他即可得到f(x)的解析式，这一方法与解方程
[方法二]令x=0得f(-y)=f(0)-y(-y+1),
从而f(-y)=1-y(-y+1),f(x)=x2+x+1
说明：这一解法是对x、y取一定值而求出的， 也称赋值法，解时要分析已知与结论之间的 差异进行赋值，这是求抽象函数解析式的常 用方法.
总之，求f(x)解析式的常用方法有:
1、代入法
2、待定系数法：已知f(x)的结构形式时
7
比较两端的系数， 得 9a=9
6a+3b=-6 ， 解得 a+b+c=5
a=1 b=-4 , c=8
所以f(x)=x2-4x+8.
(方法二)换元法. 令t=3x+1,则x= t 1 ,
求函数解析式的几种方法
求函数解析式的几种方法一．配凑法例： 已知2(1)2f x x -=+，求()f x ．解：22(1)2(1)2(1)3f x x x x -=+=-+-+，即2()23f x x x =++．练习: 1.、已知f(x+1 )= 2x +1 ，求f(x)解析式。
2、已知f(x-1)= 2x -4x ，解方程f(x+1)=0二．换元法例： 若2(1)21f x x +=+，求()f x ．解：令1t x =+，则1x t =-，22()2(1)1243f t t t t ∴=-+=-+．练习：1、已知f( x +1)=x+2x ，求f(x)的解析式2、若xx x f -=1)1(,求)(x f . 说明：已知[]()()f h x g x =，求)(x f 的解析式，常用配凑法、换元法；换元时，如果中间量涉及到定义域的问题，必须要确定中间量的取值范围．三．解方程组法若已知()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 是未知量外，还出现其他未知量（如()f x -，1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭等）．可以利用相互代换得到方程组，消去()f x -或1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而得到()f x 的解析式． 例： 若2()()1f x f x x --=+，求()f x ．解： 2()()1f x f x x --=+，用x -去替换式中的x ，得2()()1f x f x x --=-+，即有2()()12()()1f x f x x f x f x x --=+⎧⎨--=-+⎩，，解方程组消去()f x -，得 ()13x f x =+．练习：1、设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式x x f x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式。
2、已知f(x)满足12()()3f x f x x +=，求()f x .四．待定系数法说明：（1）已知函数类型，求函数解析式，常用“待定系数法”；（2）基本步骤：设出函数的一般式（或顶点式或两根式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数。
函数解析式(附答案)
对题设f(x＋y)=f(x)f(y)两边取自然对数，得
㏑f(x＋y)=㏑f(x)f(y)
∴㏑f(x＋y)=㏑f(x)＋㏑f(y)
令g(x)=㏑f(x)
∵f(x)＞0且连续∴g(x)连续且满足g(x＋y)=g(x)＋g(y).由定理知：
g(x)=g(1)x
故㏑f(x)=x㏑f(1)
例3已知f(x)是一次函数，且f{f[f---f(x)]}=1024x＋1023。求f(x)
10次
解：设f(x)=ax＋b (a≠0)，记f{f[f…f(x)]}=fn(x)，则
n次
f2(x)=f[f(x)]=a(ax＋b)＋b=a2x＋b(a＋1)
f3(x)=f{f[f(x)]}=a[a2x＋b(a＋1)]＋b=a3x＋b(a2＋a＋1)
∴f(n)=
4.柯西法
在f(x)单调（或连续）的条件下，利用柯西函数方程的解求解
例6设f(x)连续且恒不为0，求函数方程f(x＋y)=f(x)f(y)的解
解：∵f(x)=f( ＋ )=f( )f( )≥0
若存在x0∈R，使f(x0)=0。则对一切实数x，有
f(x)=f(x－x0＋x0)=f(x－x0)f(x0)=0
解：令y=1，得f(x＋1)=f(x)＋x＋1
再依次令x=1，2，…，n－1，有
f(2)=f(1)＋2
f(3)=f(2)＋3
……
f(n－1)=f(n－2)＋(n－1)
f(n)=f(n－1)＋n
依次代入，得
f(n)=f(1)＋2＋3＋…＋(n－1)＋n=
∴f(x)=
(x∈N+)
例5，已知f(1)= 且当n＞1时有 。求f(n) (n∈N+)
求函数f(x)的解析式
二、【配凑法（整体代换法）】
把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含 有g(x)的形式，再把g(x)用x代替。 一般的利用完全平方公式
例二：已知
f
(x
1) x
x2
1 x2
(x
0)
，求f(x)的解析式
解： f (x 1) (x 1)2 2
ax 5a ab[a(2axx1b7) b] b a3x a2b ab b 8x 7
a b 故f ( Fra bibliotekx)72 2xaa327b8ab
b
7则ba
2 1
故f (x) 2x 1
求函数解析式的题型有：
解：令 t x 1，则 t 1 ，x (t 1)2
Q f ( x 1) x 2 x
f (t) (t 1)2 2(t 1) t 2 1,
f (x) x 2 1 (x 1)
f (x 1) (x 1)2 1 x2 2x (x 0)
求f (x)的解析式。
1、解：2设、f (解x)： a设x f
b((xa)0a),x则f
b(a
(x 1)
0),则
a(x 1)
b,
f
(
x
1)
a(
x
1)
b,
3 f (x f1{) f [2ff ((xx)]}1) 3f[{a(fx[a1x) bb]]}2[af(x{a(1a) xb] b) b}
ab b 3
函数解析式的求法
函数解析式的求法1.待定系数法例1.求一次函数y=f(x)解析式，使f(f(x))=4x+3.解：设f(x)=ax+b(a≠0).∴f(f(x))==af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b∴a^2x+ab+b=4x+3∴a^2=4,ab+b=3解得a=2,b=1或a=-2,b=-3.∴f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.总结：当已知函数类型时，求函数解析式，常用待定系数法。
其基本步骤：设出函数的一般式，代入已知条件通过解方程（组）确定未知系数。
2.换元法换元法就是引进一个或几个新的变量来替换原来的某些量的解题方法，它的目的是化繁为简、化难为易，以快速的实现从未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。
常见换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、分母换元、平均换元等，应用极为广泛。
例2.已知f(1-√x)=x.求f(x).解：设1-√x=t,则x=(1-t)^2∵x≥0,∴t≤1,∴f(t)=(1-t)^2(t≤1)∴f(x)=(1-x)^2(x≤1)(函数变量的无关性)总结：(1)利用换元法解题时，要注意在换元时易引起定义域的变化，所以最后的结果要注意所求函数的定义域。
(2)函数变量的无关性，变量无论是用x还是用t表示，都无关紧要，函数依然成立。
3.配凑法例3.已知f(3x+1)=9x^2-6x+5,求f(x).解：∵f(3x+1)=9x^2-6x+5=(3x+1)^2-12x+4=(3x+1)^2-4(3x+1)+8∴f(x)=x^2-4x+8总结：当已知函数表达式比较简单时，可直接应用配凑法，即根据具体的解析式凑出复合变量的形式，从而求出函数解析式。
4.消元法（又叫解方程组法）例4.已知函数f(x)满足条件：f(x)+2f(1/x)=x,求f(x).分析：用1/x代替条件方程中的x得：f(1/x)+2f(x)=1/x.把它与原条件式联立。
用消元法消去f(1/x),即得f(x)的解析式。
函数的解析式
六、迭代法
例6 已知 f{f[f(x)]}=27x+13, 且 f(x) 是一次式, 求 f(x). 解: 由已知可设 f(x)=ax+b, 则: f[f(x)]=a2x+ab+b. ∴f{f[f(x)]}=a3x+a2b+ab+b. 由题意知: a3x+a2b+ab+b≡27x+13. 比较系数得: a=3, b=1. 故 f(x)=3x+1. 评注: 本题的解法除了用迭代法, 还用了待定系数法.
五、待定系数法
例5 设 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1, 求 f(x). 解: 由原式可知 f[g(x)] 中的 g(x) 一个是 2x, 另一个是 3x+1, 都是一次式. 而右端是二次式，故 f(x) 是一个二次式, 则可设: f(x)=ax2+bx+c, 从而有: f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c). 又由已知 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1, ∴ 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c) 与 13x2+6x-1 表示同一个式子, 即 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)≡13x2+6x-1 . 比较系数得: a=1, b=0, c=-1. 从而有: f(x)=x2-1. 评注: 先分析出 f(x) 的基本形式, 再用待定系数法, 求出各 系数.
-1 评注: 把 f(x), f( xx ), f( 11 ) 都看作“未知数”, 把已知条 -x 1 ( )=cx, 其 件化为方程组的形式解得 f(x). 又如: 已知 af(x)+bf x 中, |a|≠|b|, 求 f(x). c f(x)= 2 2 (ax- b ). x a -b 四、递推求和法
七种求法求函数解析式
七种求法求函数解析式七种求函数解析式的方法一、待定系数法：已知函数的解析式时，可以使用待定系数法构造函数。
例如，设$f(x)$是一次函数，且$f[f(x)]=4x+3$，求$f(x)$的解析式。
设$f(x)=ax+b(a\neq0)$，则$f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b$。
根据题意，有$a^2=4$，解得$a=2$或$a=-2$。
再代入$f[f(x)]=4x+3$中，解得$b=1$或$b=3$。
因此，$f(x)=2x+1$或$f(x)=-2x+3$。
二、配凑法：已知复合函数$f[g(x)]$的表达式，求$f(x)$的解析式，可以使用配凑法。
但需要注意所求函数$f(x)$的定义域不是原复合函数的定义域，而是$g(x)$的值域。
例如，已知$f(x+1)=(x+1)^2-2$，求$f(x)$的解析式。
将$x$换成$x-1$，得$f(x)=(x-1)^2-2(x\geq2)$。
三、换元法：已知复合函数$f[g(x)]$的表达式时，可以使用换元法求$f(x)$的解析式。
与配凑法类似，需要注意所换元的定义域的变化。
例如，已知$f(x+1)=x+2x$，求$f(x)$的解析式。
令$t=x+1$，则$t\geq1$，$x=(t-1)$，$f(t)=(t-1)^2+2(t-1)=t^2-1$，因此$f(x)=x^2-1(x\geq1)$。
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般使用代入法。
例如，已知函数$y=x+\sqrt{x}$与$y=g(x)$的图像关于点$(-2,3)$对称，求$g(x)$的解析式。
设$M(x,y)$为$y=g(x)$上任一点，且$M'(x',y')$为$M(x,y)$关于点$(-2,3)$的对称点，则$x'+x=-4$，$y'+y=6$，解得$y=-x-7+\sqrt{x+4}$，因此$g(x)=-x^2-7x-6$。
求函数fx的解析式
四、【待定系数法】
已知函数模型（如：一次函数，二次函数,反比例函数等） 求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系 数。
例一： 设f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x+3,求f(x).
解：设f(x)=ax+b (a≠0),则
f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b= a 2 x+ab+b
a2 4
ab b 3
ba12或ba-32
f(x)2x1 或 f(x) 2x- 3
例二：已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，则函数f(x)＝
________. 解析：设反比例函数
f(x)＝kx(k≠0)，
则 f(3)＝k3＝－6，解得 k＝－18.
∴f(x)＝－1x8. 答案：－1x8
故f(x)的解析式为f(x)＝a－b 1x.
(2)在原式中用1x替换x，得f1x－2f(x)＝3x＋2，
于是有ff1xx－－22ff1xx＝＝33x＋x＋22，. f(x)＝－x－2x－2.
消去f1x，得
六.赋值法
例１： 已知定义在R上的函数f(x)，对任意 实数x,y满足：f(xy)f(x) 2 x y y2y
求函数f（x）的解析式
求函数解析式的题型有：
一、已知f(x)求f[g(x)]：代入法
二、已知f[g(x)]求f(x) ：换元法、配凑法； 三、换元法与代入法的综合 四、已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； 五、解方程组法 六、赋值法
二、【换元法】
已知f（g(x)）,求f(x)的解析式， 一般的可用换元法，具体为：令 t=g(x),在求出f(t)可得f（x）的解 析式。换元后要确定新元t的取值 范围。
函数解析式的8种求法
函 数 解 析 式 的 八 种 求 法一．待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）若已知)(x f 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得)(x f 的表达式。
【例1】已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x -1)=2x +17，求f(x )的解析式。
分析：所求的函数类型已定，是一次函数。
设f(x)=ax+b(a≠0)则f(x+1)=?，f(x-1)=?解：设f(x)=ax+b(a≠0)，由条件得：3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17，∴f(x)=2x+7 【例2】求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7分析：所求的函数类型已定，是一次函数。
设f(x)=ax+b(a≠0)则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=? 解：设f(x)=ax+b （a≠0)，依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7 ∴x a 3+b(2a +a+1)=8x+7，∴f(x)=2x+1例 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设bax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 例、已知二次函数)(x f y =满足),2()2(--=-x f x f 且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数)(x f y =的解析式。
分析：二次函数的解析式有三种形式： ① 一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f② 顶点式：()为函数的顶点点其中k h a kh x a x f ,,0)()(2≠++=③ 双根式：的两根是方程与其中0)(,0))(()(2121=≠--=x f x x a x x x x a x f解法1：设)0()(2≠++=a cbx ax x f ，则由y 轴上的截距为1知：1)0(=f ，即c=1 ① ∴ 1)(2++=bx ax x f由)2()2(--=-x f x f 知：1)2()2(1)2()2(22+--+--=+-+-x b x a x b x a 整理得：0)4(=-x b a , 即： 04=-b a ②由被x 轴截得的线段长为22知，22||21=-x x ， 即84)()(21221221=-+=-x x x x x x . 得:814)(2=--aab .整理得： 2284a a b =- ③ 由②③得： 2,21==b a , ∴ 1221)(2++=x x x f .解法2：由)2()2(--=-x f x f 知：二次函数对称轴为2-=x ，所以设)0()2()(2≠++=a kx a x f ；以下从略。
求函数解析式的方法和例题
求函数解析式的方法和例题在数学学习中，我们经常会遇到需要求解函数解析式的问题。
函数解析式是描述函数规律的数学式子，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
那么，如何求函数解析式呢？接下来，我将介绍一些常见的方法和例题，希望能帮助大家更好地掌握这一内容。
一、常见的求函数解析式的方法。
1. 根据函数图像求解析式，当已知函数的图像时，我们可以通过观察图像的性质来推导函数解析式。
例如，对于一元一次函数y=kx＋b，我们可以根据函数的斜率k和截距b来确定函数解析式。
同样地，对于二次函数、指数函数、对数函数等，也可以通过观察图像的特点来求解析式。
2. 根据函数性质求解析式，有些函数具有特定的性质，我们可以利用这些性质来求解析式。
例如，对于奇偶函数、周期函数、对数函数等，我们可以根据其性质来确定函数解析式。
3. 根据已知条件求解析式，有时候，我们会遇到一些特定的条件，例如函数的零点、极值点、导数等，我们可以利用这些已知条件来求解析式。
通过建立方程组，我们可以求解未知的函数解析式。
二、求函数解析式的例题。
1. 已知一元一次函数的图像经过点（2，3），斜率为4，求函数解析式。
解，根据一元一次函数的一般形式y=kx＋b，我们可以利用已知的斜率和点的坐标来求解析式。
首先，斜率为4，即k=4；其次，函数经过点（2，3），代入x=2，y=3，得到3=4×2＋b，解得b=-5。
因此，函数解析式为y=4x-5。
2. 已知函数f(x)满足f(1)=2，f'(x)=3x^2，求函数f(x)的解析式。
解，根据已知条件f(1)=2，我们可以利用这一条件来求解析式。
由导数的定义可知，f'(x)=3x^2，对f(x)进行积分得到f(x)=x^3+C，其中C为积分常数。
代入f(1)=2，得到2=1+C，解得C=1。
因此，函数f(x)的解析式为f(x)=x^3+1。
通过以上例题，我们可以看到，求解函数解析式的关键在于利用已知条件和函数的性质来建立方程，进而求得未知的函数解析式。
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解：令
t x 1, 则x t 1
2
f t f x 1 t 1 2 t 1 2 t 1
2
f x x 1 2 2 y f x 3 ( x 3) 1 x 6x 10
2
练习：
x x
2
x
1 2 x
f ( x) x 2 ( x 2)
练习：
1、已知f ( x 1) x 2 4x, 解方程f ( x 1) 0.
2、已知 f ( x 1) x 2 1, 求f ( x)的解析式 3、设 f ( x) 2 x 2 3 x 1, g ( x 1) f ( x), 求g ( x)及f [ g (2)]
f[f(－3)]＝f(0)＝1，
f{f[f(－3)]}＝f(1)＝12＝1.
7． 设函数 A．15
2 x ， f(x)＝ x－1，
x<1， 则 f[f(－4)]的值为( x≥1， B．16 D．－15
)
C．－5
解析：∵－4<1，∴f(－4)＝16，f(16)＝16－1＝ 15.
答案：A
解：设f(x)=ax+b (a≠0),则
2 a x+ab+b f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=
a 2 4 ab b 3
a 2 a 2 或 b 1 b -3
f ( x) 2x 1 或 f ( x) 2x - 3
1 消去fx ，得
六.赋值法
例１： 已知定义在R上的函数f(x)，对任意 2 f ( x y) f ( x) 2 xy y y 实数x,y满足：
且f (0) 1， 求 f
( x ).
解： 令x y得
f (0) f ( x) 2x 2 x 2 x
例二：已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，则函数f(x)＝ ________. k 解析：设反比例函数 f(x)＝x(k≠0)，
k 则 f(3)＝ ＝－6，解得 k＝－18. 3 18 ∴f(x)＝－ x .
18 答案：－ x
练习：
1、已知函数f ( x)是一次函数，且满足关 系3 f ( x 1) 2 f ( x 1) 2 x 17, 求f ( x)的解析式
2、解：设f ( x) ax b(a 0),则
a 2 则 a b ab b 7 b 1 故f ( x) 2 x 7 故f ( x ) 2 x 1
五.方程组法
已知的式子中含有f(x)，f（）或f(x)， f(－x)形式的函数，求f(x)的解析式． 解决此类问题的方法为“方程组 法”，即用－x替换x，或用替换x，组 成方程组进行求解．
f ( x) x x 1
2
作函数图象的三个步骤： (1)列表，先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与 这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； (2)描点，把表中一系列的点(x，f(x))在坐标平面上描出来；
(3)连线，用光滑的线把这些点按自变量由小到大的顺序连
xx≤－2， 函数f(x)＝x＋1－2＜x＜4， 3xx≥4， 范围是________．
若f(a)＜－3，则a的取值
答案：(－∞，－3)
解析：当a≤－2时，f(a)＝a＜－3， 此时不等式的解集为a＜－3. 当－2＜a＜4时，f(a)＝a＋1＜－3，此时不等式无解． 当a≥4，时f(a)＝3a＜－3， 此时不等式无解． 所以，a的取值范围是(－∞，－3)．
x y
1 3 2
2 2
3 5 2
4 3
5 7 2
图象如图．
3 5 7 值域为{ ，2， ，3， }． 2 2 2
(2)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，x∈[－2,2]． 图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分，如图所示．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
［例２］根据函数y＝f(x)的图象(如图所示)写出它的解析 式． 解：当 0≤x<1 时，
2、求一个一次函数 f ( x), 使得f { f [ f ( x)]} 8x 7， 求f ( x)的解析式。
1、解：设f ( x) ax b(a 0),则f ( x 1) a( x 1) b, f ( x 1) a( x 1) b, f1 { f[ f[{ ax b]]} {a () ax 3 f ( x ) 2ff ( (x x )] } 1) 3 a(fx[ 1) b 2 [af (x 1 b ] b) b} ax 5 a (2 x ab [a ax 17 b) b] b a 3 x a 2b ab b 8 x 7 a 2 a 3 8 b 7 2
依上述解析式作出图象，如图． (2)由图象可以看出：所求值域为(－∞，2]．
映 射
映射可以一对一，多对一，但不能一对多
允许B中存在元素闲置(即A中没有元素与之对 应)，不允许A中存在元素闲置(即不对应B中 任何元素)．
2．下面8个对应，其中哪些是集合A到B的映射？
答案：(2)(4)(5)(6)(8) 解析：紧扣映射的定义．
例一：已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式． 解：设x＋1＝t，则x＝t－1， f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1， 即f(t)＝t2＋2t－2. ∴所求函数为f(x)＝x2＋2x－2.
三、【换元法与代入法的综合】
例一： 已 f ( x 1) x 2 x ，求 f ( x 1) 知 解：令 t x 1，则 t 1
三、【配凑法（整体代换法）】
把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含 有g(x)的形式，再把g(x)用x代替。 一般的利用完全平方公式
1 1 f (x ) x2 2 ( x x x
例二：已知
0) ，求f(x)的解析式
，
解： f ( x 1 ) ( x 1 ) 2 2
接起来．
[例 1]
作出下列函数的图象并求出其值域．
x (1)y＝ ＋1，x∈{1,2,3,4,5}； 2 (2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
[思路点拨] 列表 → 描点 → 用平滑的线连成图象
→ 观察图象求值域
[精解详析] x∈Z 表示为：
x (1)用列表法可将函数 y＝ ＋1，x∈[1,5]， 2
bx 消去f(－x)，得f(x)＝ . a－1
b 故f(x)的解析式为f(x)＝ x. a－1
1 1 3 (2)在原式中用 x替换x，得f x －2f(x)＝x＋2，
3 1 f x－2fx＝x＋2， 于是有 fx－2f1＝3x＋2. x 2 f(x)＝－x－x －2.
f(x)＝2x； 当 1≤x<2 时，f(x)＝2； 当 x≥2 时，f(x)＝3. 2x， 0≤x<1， 故 f(x)＝2， 1≤x<2， 3， x≥2.
已知函数 f(x)＝2|x－1|－3|x|，x∈R. (1)画出函数 f(x)的图象； (2)求函数 f(x)的值域．
解：(1)当x＜0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2； 当0≤x＜1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2； 当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2. 因此， x＋2 x＜0， f(x)＝－5x＋2 0≤x＜1， －x－2 x≥1，
f ( x 1) x 2 x
2
x (t 1)
，22来自f (t ) (t 1) 2(t 1) t 1,
2 2
f ( x) x 2 1 ( x 1)
f ( x 1) ( x 1) 1 x 2x
( x 0)
f ( x 1) x 2 x 2，求f(x)及 例二： f(x+3)
求函数解析式的题型有：
一、已知f(x)求f[g(x)]：代入法 二、已知f[g(x)]求f(x) ：换元法、配凑法；
三、换元法与代入法的综合
四、已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； 五、解方程组法 六、赋值法
二、【换元法】
已知f（g(x)）,求f(x)的解析式， 一般的可用换元法，具体为：令 t=g(x),在求出f(t)可得f（x）的解 析式。换元后要确定新元t的取值 范围。
1、若f (3x 1) 4 x 3, 求f ( x)的解析式。 2、已知f ( x 1) x 1, 求f ( x)的解析式。
2
t 1 2 、令t x3 则 x t 1 1 、解：令 t x1 ,1 ,则 x 32 f ( x 1) f (t ) t( t1 1) 1 f (3x 1) f (t ) 4 3 2 f ( x) ( x 1) 31 4( x 1) f ( x) 3 3
2 2 2 1、解： f ( x 1 ) ( x 1 ) 2 x 1 ( x 1 ) ( xx 1) 3 2、解：f ( x 1) ( x 1) 22
f ( x) x 2 2 x 23
f ( x 1) ( x 1) 2 2( x 1) 3 0
分段函数求值
[例 3] x2， x>0， 已知函数 f(x)＝1， x＝0， 0， x<0. 分别求 f(1)， f(－3)，
f[f(－3)]，f{f[f(－3)]}的值．
[思路点拨]
对于分段函数求值问题，应先看清自变量
的值所在的区间，再代入相应的解析式求解．
[精解详析] f(1)＝12＝1，f(－3)＝0，