求函数f(x)的解析式

分


段 函 数
理解分段函数应注意的问题
①分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”
的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区
间的端点需不重不漏．
②求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪
一段，就用哪一段的解析式．
③研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，
尤其是作分段函数的图象时，可将各段的图象分别画 出来，从而得到整个函数的图象．
2 2 2 1、解： f ( x 1 ) ( x 1 ) 2 x 1 ( x 1 ) ( xx 1) 3 2、解：f ( x 1) ( x 1) 22
f ( x) x 2 2 x 23
f ( x 1) ( x 1) 2 2( x 1) 3 0
f ( x 1) x 2 x

2
x (t 1)
，
2
2
f (t ) (t 1) 2(t 1) t 1,
2 2
f ( x) x 2 1 ( x 1)
f ( x 1) ( x 1) 1 x 2x
( x 0)
f ( x 1) x 2 x 2，求f(x)及 例二： f(x+3)
1 消去fx ，得
六.赋值法
例１： 已知定义在R上的函数f(x)，对任意 2 f ( x y) f ( x) 2 xy y y 实数x,y满足：
且f (0) 1， 求 f
( x ).
解： 令x y得
f (0) f ( x) 2x 2 x 2 x
f[f(－3)]＝f(0)＝1，
f{f[f(－3)]}＝f(1)＝12＝1.
7． 设函数 A．15
2 x ， f(x)＝ x－1，
x<1， 则 f[f(－4)]的值为( x≥1， B．16 D．－15
)
C．－5
解析：∵－4<1，∴f(－4)＝16，f(16)＝16－1＝ 15.
答案：A
f ( x) x x 1
2
作函数图象的三个步骤： (1)列表，先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与 这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； (2)描点，把表中一系列的点(x，f(x))在坐标平面上描出来；
(3)连线，用光滑的线把这些点按自变量由小到大的顺序连
2
解：令
t x 1, 则x t 1
2
f t f x 1 t 1 2 t 1 2 t 1
2
f x x 1 2 2 y f x 3 ( x 3) 1 x 6x 10
2
练习：
xx≤－2， 函数f(x)＝x＋1－2＜x＜4， 3xx≥4， 范围是________．
若f(a)＜－3，则a的取值
答案：(－∞，－3)
解析：当a≤－2时，f(a)＝a＜－3， 此时不等式的解集为a＜－3. 当－2＜a＜4时，f(a)＝a＋1＜－3，此时不等式无解． 当a≥4，时f(a)＝3a＜－3， 此时不等式无解． 所以，a的取值范围是(－∞，－3)．
1 x
1 x
1 x
例 1 (1)已知 af(x)＋f(－x)＝bx，其中 a≠± 1，求 f(x)； (2)已知
1 f(x)－2fx ＝3x＋2，求
f(x)．
解析：(1)在原式中以－x替换x，得 af(－x)＋f(x)＝－bx，
afx＋f－x＝bx， 于是得 af－x＋fx＝－bx.
x y
1 3 2
2 2
3 5 2
4 3
5 7 2
图象如图．
3 5 7 值域为{ ，2， ，3， }． 2 2 2
(2)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，x∈[－2,2]． 图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分，如图所示．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
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［例２］根据函数y＝f(x)的图象(如图所示)写出它的解析 式． 解：当 0≤x<1 时，
接起来．
[例 1]
作出下列函数的图象并求出其值域．
x (1)y＝ ＋1，x∈{1,2,3,4,5}； 2 (2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
[思路点拨] 列表 → 描点 → 用平滑的线连成图象
→ 观察图象求值域
[精解详析] x∈Z 表示为：
x (1)用列表法可将函数 y＝ ＋1，x∈[1,5]， 2
f(x)＝2x； 当 1≤x<2 时，f(x)＝2； 当 x≥2 时，f(x)＝3. 2x， 0≤x<1， 故 f(x)＝2， 1≤x<2， 3， x≥2.
已知函数 f(x)＝2|x－1|－3|x|，x∈R. (1)画出函数 f(x)的图象； (2)求函数 f(x)的值域．
解：(1)当x＜0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2； 当0≤x＜1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2； 当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2. 因此， x＋2 x＜0， f(x)＝－5x＋2 0≤x＜1， －x－2 x≥1，
解：设f(x)=ax+b (a≠0),则
2 a x+ab+b f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=
a 2 4 ab b 3
a 2 a 2 或 b 1 b -3
f ( x) 2x 1 或 f ( x) 2x - 3
1、若f (3x 1) 4 x 3, 求f ( x)的解析式。 2、已知f ( x 1) x 1, 求f ( x)的解析式。
2
t 1 2 、令t x3 则 x t 1 1 、解：令 t x1 ,1 ,则 x 32 f ( x 1) f (t ) t( t1 1) 1 f (3x 1) f (t ) 4 3 2 f ( x) ( x 1) 31 4( x 1) f ( x) 3 3
bx 消去f(－x)，得f(x)＝ . a－1
b 故f(x)的解析式为f(x)＝ x. a－1
1 1 3 (2)在原式中用 x替换x，得f x －2f(x)＝x＋2，
3 1 f x－2fx＝x＋2， 于是有 fx－2f1＝3x＋2. x 2 f(x)＝－x－x －2.
三、【配凑法（整体代换法）】
把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含 有g(x)的形式，再把g(x)用x代替。 一般的利用完全平方公式
1 1 f (x ) x2 2 ( x x x
例二：已知
0) ，求f(x)的解析式
，
解： f ( x 1 ) ( x 1 ) 2 2
求函数解析式的题型有：
一、已知f(x)求f[g(x)]：代入法 二、已知f[g(x)]求f(x) ：换元法、配凑法；
三、换元法与代入法的综合
四、已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； 五、解方程组法 六、赋值法
二、【换元法】
已知f（g(x)）,求f(x)的解析式， 一般的可用换元法，具体为：令 t=g(x),在求出f(t)可得f（x）的解 析式。换元后要确定新元t的取值 范围。
例二：已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，则函数f(x)＝ ________. k 解析：设反比例函数 f(x)＝x(k≠0)，
k 则 f(3)＝ ＝－6，解得 k＝－18. 3 18 ∴f(x)＝－ x .
18 答案：－ x
练习：
1、已知函数f ( x)是一次函数，且满足关 系3 f ( x 1) 2 f ( x 1) 2 x 17, 求f ( x)的解析式
分段函数求值
[例 3] x2， x>0， 已知函数 f(x)＝1， x＝0， 0， x<0. 分别求 f(1)， f(－3)，
f[f(－3)]，f{f[f(－3)]}的值．
[思路点拨]
对于分段函数求值问题，应先看清自变量
的值所在的区间，再代入相应的解析式求解．
[精解详析] f(1)＝12＝1，f(－3)＝0，
x x
2
x
1 2 x
f ( x) x 2 ( x 2)
练习：
1、已知f ( x 1) x 2 4x, 解方程f ( x 1) 0.
2、已知 f ( x 1) x 2 1, 求f ( x)的解析式 3、设 f ( x) 2 x 2 3 x 1, g ( x 1) f ( x), 求g ( x)及f [ g (2)]
2、解：设f ( x) ax b(a 0),则
a 2 则 a b ab b 7 b 1 故f ( x) 2 x 7 故f ( x ) 2 x 1
五.方程组法
已知的式子中含有f(x)，f（）或f(x)， f(－x)形式的函数，求f(x)的解析式． 解决此类问题的方法为“方程组 法”，即用－x替换x，或用替换x，组 成方程组进行求解．
依上述解析式作出图象，如图． (2)由图象可以看出：所求值域为(－∞，2]．

映 射

映射可以一对一，多对一，但不能一对多
允许B中存在元素闲置(即A中没有元素与之对 应)，不允许A中存在元素闲置(即不对应B中 任何元素)．
2．下面8个对应，其中哪些是集合A到B的映射？
答案：(2)(4)(5)(6)(8) 解析：紧扣映射的定义．
2 解得， x 2 , x 2 1f ( x) 2 x
( x 1) 2( x 1) 2 2x 2
四、【待定系数法】
已知函数模型（如：一次函数，二次函数,反比例函数等） 求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系 数。
例一： 设f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x+3,求f(x).
例一：已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式． 解：设x＋1＝t，则x＝t－1， f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1， 即f(t)＝t2＋2t－2. ∴所求函数为f(x)＝x2＋2x－2.
三、【换元法与代入法的综合】
例一： 已 f ( x 1) x 2 x ，求 f ( x 1) 知 解：令 t x 1，则 t 1
2、求一个一次函数 f ( x), 使得f { f [ f ( x)]} 8x 7， 求f ( x)的解析式。
1、解：设f ( x) ax b(a 0),则f ( x 1) a( x 1) b, f ( x 1) a( x 1) b, f1 { f[ f[{ ax b]]} {a () ax 3 f ( x ) 2ff ( (x x )] } 1) 3 a(fx[ 1) b 2 [af (x 1 b ] b) b} ax 5 a (2 x ab [a ax 17 b) b] b a 3 x a 2b ab b 8 x 7 a 2 a 3 8 b 7 2