人教历年中考数学易错题汇编-二次函数练习题及详细答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线

y x m =+过顶点C 和点B ． （1）求m 的值；

（2）求函数2

(0)y ax b a =+≠的解析式；

（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）﹣3；（2）y 13

=x 2

﹣3；（3）M 的坐标为（3632）． 【解析】 【分析】

（1）把C （0，﹣3）代入直线y ＝x +m 中解答即可；

（2）把y ＝0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可． 【详解】

（1）将C （0，﹣3）代入y ＝x +m ，可得： m ＝﹣3；

（2）将y ＝0代入y ＝x ﹣3得： x ＝3，

所以点B 的坐标为（3，0），

将（0，﹣3）、（3，0）代入y ＝ax 2+b 中，可得：

3

90b a b =-⎧⎨

+=⎩

， 解得：133

a b ⎧

=⎪⎨⎪=-⎩，

所以二次函数的解析式为：y 13

=

x 2

﹣3； （3）存在，分以下两种情况：

①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ， 则∠ODC ＝45°+15°＝60°， ∴OD ＝OC •tan30°3=

设DC 为y ＝kx ﹣33，0），可得：k 3=

联立两个方程可得：2

3313

3y x y x ⎧=-⎪

⎨=-⎪⎩

， 解得：1212033

36x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩

， 所以M 1（36）；

②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ， 则∠OEC ＝45°-15°＝30°， ∴OE ＝OC •tan60°＝3

设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（30）可得：k 3

=

联立两个方程可得：2333133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

， 解得：12120332

x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩， 所以M 23，﹣2）．

综上所述M 的坐标为（3，63，﹣2）． 【点睛】

此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．

2．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m ，宽是4

m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=1

6

-x 2

+bx+c 表示，且抛物线上的点C 到OB 的水平距离为3 m ，到地面OA 的距离为

172

m. （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？

（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16

-x 2

+2x+4，拱顶D 到地面OA 的距离为10 m ；(2)两排灯的水平距离最小是3． 【解析】 【详解】

试题分析：根据点B 和点C 在函数图象上，利用待定系数法求出b 和c 的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y 的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x 的值，然后进行做差得出最小值．

试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,

2B C ⎛⎫

⎪⎝⎭

在抛物线上 所以4

171932

6c b c =⎧⎪

⎨=-⨯++⎪⎩，解得24b c =⎧⎨

=⎩，所以21246y x x =-++ 所以，当62b

x a

=-=时，10t y =≦ 答：2

1246

y x x =-

++，拱顶D 到地面OA 的距离为10米 （2）由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）） 当x=2或x=10时，22

63

y =

>，所以可以通过

（3）令8y =，即2

12486

x x -

++=，可得212240x x -+=，解得12623,623x x =+=- 1243x x -=

答：两排灯的水平距离最小是43 考点：二次函数的实际应用．

3．红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的 日销售量(件)与时间(天)的关系如下表： 时间(天) 1 3 6 10 36 … 日销售量(件)

94

90

84

76

24

…

未来40天内，前20天每天的价格y 1(元/件)与t 时间(天)的函数关系式为：y 1=t+25(1≤t≤20且t 为整数)；后20天每天的价格y 2(原/件)与t 时间(天)的函数关系式为：y 2=—t+40(21≤t≤40且t 为整数).下面我们来研究 这种商品的有关问题.

(1)认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数 、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；

(2)请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？

(3)在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润(a ＜4)给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.

【答案】（1）y=﹣2t+96；（2）当t=14时，利润最大，最大利润是578元；（3）3≤a ＜4． 【解析】

分析：（1）通过观察表格中的数据日销售量与时间t 是均匀减少的，所以确定m 与t 是一次函数关系，利用待定系数法即可求出函数关系式；

（2）根据日销售量、每天的价格及时间t 可以列出销售利润W 关于t 的二次函数，然后利用二次函数的性质即可求出哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少； （3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数的性质求出a 的取值范围 ．

详解：（1）设数m=kt+b ，有

,解得

∴m=-2t+96，经检验，其他点的坐标均适合以上

析式故所求函数的解析式为m=-2t+96．