数论班100题手册

数论短期班100题手册

知识框架体系

一、奇偶性质

1．奇数和偶数的表示方法：

因为偶数是2的倍数，所以通常用2k这个式子来表示偶数(这里k是整数)；

因为任何奇数除以2其余数总是1，所以通常用式子21

k+来表示奇数(这里k是整数)．特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数．最小的奇数是1，最小的偶数是0．

2．奇数与偶数的运算性质：

性质一：偶数+偶数=偶数(偶数-偶数=偶数)

奇数+奇数=偶数(奇数-奇数=偶数)

偶数+奇数=奇数(偶数-奇数=奇数)

可以看出：一个数加上(或减去)偶数，不改变这个数的奇偶性；

一个数加上(或减去)奇数，它的奇偶性会发生变化．

(也可以这样记：奇偶性相同的数加减得偶数，奇偶性不同的数加减得奇数．)

性质二：偶数⨯奇数=偶数(推广开来还可以得到：偶数个奇数相加得偶数)

偶数⨯偶数=偶数(推广开就是：偶数个偶数相加得偶数)

奇数⨯奇数=奇数(推广开就是：奇数个奇数相加得奇数)

可以看出：一个数乘以偶数时，乘积必为偶数；几个数的积为奇数时，每个乘数都是奇数．(也可以这样简记：对于乘法，见偶(数)就得偶(数))．

性质三：任何一个奇数一定不等于任何一个偶数．

二、整除

1．整除的定义

所谓“一个自然数a能被另一个自然数b整除”就是说“商a

b

是一个整数”；或者换句话说：

存在着第三个自然数c，使得a b c

=⨯．这是我们就说“b整除a”或者“a被b整除”，其中b 叫a的约数，a是b的倍数，记作：“|b a”．

2．整除性质：

⑴传递性若|c b，|b a，则|c a．

⑵可加性若|c a，|c b，则|c a b

±

（）．

⑶可乘性若|c a，|d b，则|

cd ab．

3．整除的特征

⑴4,25,8,125,16,625的整除特征

能否被4和25整除是看末两位；能否被8和125整除是看末三位；能否被16和625整除是看末四位(100425

=⨯,10008125

=⨯,1000016625

=⨯,100000323125

=⨯)

⑵3,9的整除特征

能否被9整除是看数字之和是否是9的倍数，并且这个数除以9的余数和这个数数字之和除以9的余数相同，因此判断一个数除以九余几就可以先把和是9的倍数的数划掉，剩下的数是几就代表

这个数除以九余几

⑶7,11,13的整除特征

①能否被7，11，13整除规律是把数从末三位开始，三位为一段断开，只需看奇数段的和与偶

数段的和的差是否为7，11，13的倍数，并且奇数段的和减去偶数段的和的差被7,11,13除余几

就代表这个数除以7,11,13余几

②能否被11整除规律是从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是否为11的倍数，并

且算出的差除以11余几就代表这个数除以11余几

⑷其他一些数的整除规律是拆成一些熟悉的数的整除特征

如7289

=⨯，99119

=⨯，1234

=⨯，100171113

=⨯⨯

（这样我们就知道1至16所有整数的整除特征）

三、约数和倍数

1．约数和倍数定义

⑴约数和倍数的定义：如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数．

⑵最大公约数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个

自然数的公约数．在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数．例如：(8,12)4

=，(6,9,15)3

=．

⑶最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个

自然数的公倍数．在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数．例如：[]

8,1224

=，[]

6,9,1590

=．

2．约数和倍数

⑴最大公约数的性质：

①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；

②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；

③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n．

⑵最小公倍数的性质：

①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．

②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．

③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．

⑶最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：

①(,)[,]

A B ma mb m mab A B A B

⨯=⨯=⨯=⨯，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；

②最大公约数是A、B、A B

+、A B

-及最小公倍数的约数．

3．求一组分数的最大公约数与最小公倍数

⑴求一组分数的最大公约数：

先将各个分数化为假分数；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公

约数b；b

a

即为所求．

⑵求一组分数的最小公倍数方法步骤：

先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大公约数

b；b

a

即为所求．

例如：

35[3,5]15 [,]

412(4,12)4

==

四、质数、合数