高一数学函数的奇偶性习题

函数的奇偶性

[知识梳理]

一、 奇(或偶)函数

1．定义

如果对于函数)(x f y =定义域D 内的任意实数a ,都有))()()(()(a f a f a f a f =--=-或,那么就把函数)(x f y =叫做奇(或偶)函数。

2．函数的定义域关于原点对称是这个函数为奇（或偶）函数的必要条件。

3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。

二、 判断函数奇偶性的方法：

（1）定义法（2）图象法（3）性质法

[例题]

例1．判断下列函数的奇偶性

（1）2

2log )(3+-=x x x f （2）11)(22-+-=x x x f

（3）)2

1131(

)(+-=x x x f （4）12)(-=x x f

例2．设)(x f 是R 上的奇函数，且当)0,(-∞∈x 时，)1()(3x x x f -=，求当),0(+∞∈x 时)(x f 的解析式。

例3．两个非零函数)(),(x g x f 的定义域都为R ，则“)(),(x g x f 都是偶函数”是“)()(x g x f ⋅为偶函数”的 条件。

例4．设函数)(x f y =的定义域为()()+∞∞-=,00, D ，且对任意的D x x ∈21,都有)()()(2121x f x f x x f +=⋅。

（1）求)1(f 的值；（2）判断)(x f 的奇偶性，并加以证明。

[巩固练习]

1．判断下列函数的奇偶性

（1）1

)1()(2-+=x x x x f （2）)1lg()(2x x x f -+=

（3）)2

1121(

)(2+-=x x x f （4）321321)(++-=x x x f

（5）⎩

⎨⎧+--=)2()2()(x x x x x f 00<≥x x （6）11)(22-+-=x x x f

（7）2

21)(2

-+-=x x x f （8）1)(2+-+=a x x x f

2．设)(x f 是R 上的奇函数，且当)0,(-∞∈x 时，x x f x cos 2)(+=，求)(x f 的解析式。

3．函数2)(35-++=cx bx ax x f ，若4)4(=-f ，求)4(f 的值。

4．已知a x f x +-=

1

22)(是奇函数，求方程2)(=x f 的解。

5．设)(),(x g x f 的定义域是{}1,±≠∈x R x x ，若)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，且1

1)()(+=

+x x g x f ，求)(),(x g x f 的表达式。

6． 定义在[]3,3-的函数m x m x x f +++=)2()(2是偶函数，求)(x f 的最大值。