第三章 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵分解
矩阵分析第三章3.1-2综述
x1 x2 xn T A x1 x2 xn ( , )
x11 x22 xnn
Hermite矩阵 : 规定记号:
AH
T
A,
称AH为A的复共轭转置。
复共轭转置有运算性质 : (1)AH ( A)T ; (2)( A B)H AH BH ; (3)(kA)H k AH ; (4)( AB)H BH AH ; (5)( AH )H A; (6)若A可逆，则( AH )1 ( A1 )H .
&3.1 欧氏空间、酉空间
一、概念
定义3.1.1 设V是实数域R上的n维线性空间,
如果对V中任意两个向量、 ,有唯一确定 的实数与之对应,这实数记为(, ),并且满足 下列四个条件,则这实数(, )称为与的
内积:
(1) (, ) ( , ) (2) (k, ) k(, ) (3) ( , ) (, ) ( , ) (4) (, ) 0,当且仅当 0时(, ) 0 其中 , , 是V中任意向量,k R;称定义有这
例3.1.5设n2维空间Rnn中对向量(n阶矩阵)A, B 规定内积为
( A, B) tr( AT B), A, B Rnn , 则Rnn是欧氏空间。
定义3.1.2 : 设V是复数域C上的n维线性空间,
如果对V中 任意两个向量、 ,有唯一确定的
复数与之对应,这复数记为(, )且满足下列四个 条件,则这复数(, )称为与的内积 :
第三章 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵
在线性空间中，向量之间的基本运算只有 加法和数乘运算，向量的度量性质没有反映， 局限了线性空间的应用。现在我们借助内积把 度量概念引入到线性空间中。
第三章 内积空间,正规矩阵,Hermite矩阵
复矩阵(向量)的4个一元运算()∀A=(a ij )∈C m ×n ,复矩阵(向量)的一元运算的性质11221122k A k A k A k A +=+ ;TT T A k A k A k A k 22112211)(+=+方阵A=(a ij )∈C n ×n 的迹定义为其所有对角元之和:行列式的性质方阵乘积的行列式公式重要特殊矩阵A=(a ij )∈C n ×n 称为对角矩阵,如果∀i ≠j,a ij =0;A称为上(下)三角矩阵,如果∀i>(<)j,a =0.特征值,特征向量λ∈C称为A=(aij)∈C n×n的一个特征值,如果存在0≠x∈C n,使得Ax=λx.此时,x称为A的特征向量.特征值、特征向量续三角矩阵A的所有对角元组成A的谱:σ(A)={a,…,a}.线性相关与线性无关定义1.1.3 (p.5): F上线性空间V中的向量组{α,…,α}是线性相关的充要条件是:在数域F线性映射与线性变换关于线性映射与线性变换的定义,请看教本第24页§3.1: 欧式空间,酉空间§3.2: 标准正交基,Schmidt方法第三章内积空间,正规矩阵,Hermite矩阵§3.1: 欧式空间,酉空间从解析几何知二平面向量内积的概念定义3.1.1：设V是实数域R 上的n维线性空间,对V 中的任意两个向量α,β,按照某一确定法则对应着欧式空间的概念例3.1.1：∀α=(a 1,…,a n )T ,β=(b 1,…,b n )T ∈R n ,定义标准内积:(α,β)=a b +…+a b ,欧氏空间例1例3.1.2：∀α=(a 1,a 2)T ,β=(b 1,b 2)T ∈R 2,定义内积(R 2×R 2到R的映射):欧氏空间例2在R 2中至少可定义两个不同的内积.今后讨论R n 时都用例3.1.1中定义的内积.关于例1和例2的注例3.1.3:R m ×n ={(a ij )|a ij ∈R,i=1,…m,j=1,…,n}中任取A,B,定义内积:(A,B)=tr(A T B)=ΣΣa b .欧氏空间例3定义3.1.1：设V是复数域C 上的n维线性空间,对V 中的任意两个向量α,β,按照某一确定法则对应着酉空间的概念欧氏空间是酉空间的特例.关于欧式空间和酉空间的注酉空间例1例3.1.6：∀α=(a 1,…,a n )T ,β=(b 1,…,b n )T ∈C n ,酉空间例2例3.1.7：C m ×n ={(a ij )|a ij ∈C,i=1,…,m,j=1,…,n}§3.2: 标准正交基,Schmidt 方法欧氏空间中的C-S不等式推出:-1 ≤(α,β)/‖α‖‖β‖≤1正交的概念(,)1αβαβ≤§3.3: 酉变换,正交变换§3.6: 正规矩阵,Schur引理§3.8: Hermite矩阵,Hermite二次齐式§3.9: 正定二次齐式,正定Hermite矩阵证:设A∈H n×n,A(i1,…,ik)为A的第i1,…,ik行,列组成的k阶主子矩阵,易见:A(i,…,i)∈H n×n.(半)正定矩阵的任何主子矩阵仍为(半)正定证:因为(半)正定矩阵A的任何主子式都是(0或)正的定理:A ∈H n ×n 为正定⇔A的n个顺序主子式全为正:用主子式刻画(半)正定矩阵命题:A ∈H n ×n 为负定⇔-A为正定定理3.9.1:对任意A ∈H n ×n ,下列各条相互等价:定理3.9.3:对任意A ∈H n ×n ,下列各条相互等价:(1) A半正定:∀x ∈C n ,x *Ax ≥0半正定矩阵的基本定理命题:A ∈H n ×n 为半正定⇔∀ε>0,A+εE 为正定半正定矩阵是正定矩阵序列的极限命题:对任意A ∈H n ×n ,下列两条相互等价:半正定矩阵是正定矩阵序列的极限(续)(1) A ∈C n ×n 为(半)正定(半)正定矩阵的补充结果定理(3.9.4):每个(半)正定Hermite矩阵A都有唯下证唯一性.如果还有正定矩阵M=Wdiag(µ,…,µ)W *,使∀i,j,(√λi v ij )=(√λj v ij ) 每个(半)正定矩阵有唯一(半)正定平方根续再证与A可交换的矩阵X(XA=AX)必与B可交换.若XUdiag(λ,…,λ)U *=Udiag(λ,…,λ)U *X 每个(半)正定矩阵有唯一(半)正定平方根续试证:A,B ∈H n ×n 且A为正定⇒AB的特征值全为实数.应用举例例3.9.1:若A,B为同阶正定Hermite矩阵,应用举例命题:A,B ∈H n ×n 且B正定,则det(λB-A)=0的根全为实数.证明: B正定⇒有可逆矩阵P使P *BP=E;定理3.10.1:若A,B ∈H n ×n 且B为正定,则有T ∈C n n ×n 使二矩阵经复相合变换同时对角化易见: µ1,…,µn 是det(λE-T 1*AT 1)=0的根.二矩阵经复相合变换同时对角化定理3.10.4:若A,B ∈H n ×n 且B为正定,则有行列式等二矩阵经复相合变换同时对角化续定义3.11.1:由Hermite矩阵A定义的从C n –{0}到R 的下列函数:R(x)=x *Ax/x *x 称为矩阵A的Rayleigh商.§3.11: Rayleigh商(1)R(x)为x的齐次函数:∀0≠k ∈R ,R(kx)=R(x)(3)min x ≠0R(x)=λ1=min{λ1, …,λn };max R(x)=λ=max{λ, …,λ}.注:由(1)和(3)推出min x ≠0R(x)=min ‖x‖=1x *Ax,Rayleigh 商性质的注设M ∈H n ×n ,用λmin ,λmax 分别记M的最小,大特征值,则λ=min x *Ax,λ=max x *Ax.一个推论。
matlab对hermite矩阵分解-概述说明以及解释
matlab对hermite矩阵分解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以包括对Hermit矩阵分解的定义和背景的介绍。
下面是一个可能的概述内容的例子：在数学和计算科学的领域中，矩阵分解是一种重要的技术，用于将复杂的大矩阵表示转化为更简洁、可处理的形式。
其中一种矩阵分解方法是Hermit矩阵分解，它是对Hermit矩阵进行分解的一种特殊方法。
Hermit矩阵是一种具有特殊属性的正方矩阵，其元素复共轭对称。
在Hermit矩阵分解的过程中，通过将一个Hermit矩阵表示为两个特定形式的矩阵的乘积，可以使得矩阵运算更加有效，并且可以提取出矩阵的结构信息。
本文旨在介绍MATLAB在Hermit矩阵分解中的应用，并讨论Hermit 矩阵分解的算法和实现。
首先，我们将详细介绍Hermit矩阵分解的概念和相关背景知识。
接着，我们将探讨MATLAB在Hermit矩阵分解中的具体应用，包括如何使用MATLAB进行矩阵分解和分析。
最后，我们将总结Hermit矩阵分解的优势和局限性，并展望未来相关研究的发展方向。
通过本文的阐述，读者将能够了解Hermit矩阵分解及其在科学和工程问题中的应用价值，同时也能够熟悉MATLAB在这一方面的操作和实现。
无论是对于研究人员还是对于对矩阵分解感兴趣的读者来说，本文都将为他们提供有用的信息和参考。
1.2文章结构1.2 文章结构本文共分为以下几个部分进行讨论和叙述。
第一部分为引言部分，对整篇文章进行概述，并介绍文章的结构和目的。
在这一部分中，我们将简要介绍Hermit矩阵分解的概念以及MATLAB 在该领域的应用。
第二部分为正文部分，主要讨论Hermit矩阵分解的概念、MATLAB 在该领域的具体应用以及Hermit矩阵分解的算法与实现。
我们将详细介绍Hermit矩阵分解的相关概念，包括其定义、特性等，并探讨MATLAB 在该领域中的重要作用和应用。
此外，我们还将介绍一些常用的Hermit 矩阵分解算法，包括其原理、步骤和实现方式。
矩阵分析第三章
例 1：在Rn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T, 定义
(α , β ) = α β = β α = ∑i =1 ai bi
T T n
则(α, β)是Rn上的一个内积，从而Rn成为一个欧氏空间。 如果定义
(α , β ) = α T Aβ = β T Aα , 其中A ∈ R n×n > 0 容易验证: 以上定义的(α, β)也是Rn上的一个内积，从而在
则C[a,b]成为欧氏空间。
定义：设 定义 ：设V是C上的n维线性空间，若∀α, β∈V, 都有一个按照 都有一个按照 某一确定法则对应的被称为内积 某一确定法则对应的被称为内积的复数，记为 内积的复数，记为(α, β)，并满 足下列四条性质: (1) (α, β) = ( β , α ) , ∀α, β∈V (2) (kα, β) = k(α, β), ∀α, β∈V, ∀k∈C (3) (α+β, ν) = (α, ν) + (β, ν), ∀α, β, ν∈V (4) (α, α) ≥ 0, 当且仅当α = 0时, (α, α) = 0, ∀α∈V 则称V是n维复欧氏空间、简称为 复欧氏空间、简称为酉空间 、简称为酉空间。 酉空间。 • 定义了内积的复线性空间，称为酉空间 例 4: 在Cn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T , 定义
(α , β ) 取k= ,则 (β , β )
⇒
(α , β )( β , α ) | (α , β ) |2 2 0 ≤ (α , α ) − = α − (β , β ) || β ||2 |(α, β)| ≤ ||α|| ⋅ ||β||
正定Hermitian矩阵的分解法的概述及应用
正定Hermitian 矩阵的分解法的概述及应用［摘要］对正定Hermitian 矩阵的定义、性质以及Cholesky 分解法做简单的概括、分析。
利用正定Hermitian 阵的Cholesky 分解法来解决一些题目，由此，我们可以看出一些矩阵可以分解成一些具有特殊特定性质的矩阵。
［关键词］矩阵分解、正定Hermitian 矩阵、Cholesky 分解法 1.定义关于矩阵的分解，一般的理论有①矩阵的三角分解（Crout 分解、TLDL 分解、Doolittle [5]分解等等），②矩阵的正交三角分解（方阵的QR 分解，长方阵的QR 分解），③矩阵的满秩分解，④矩阵的奇异分解。
现在我要给出一种特殊的三角分解：正定Hermitian 矩阵的分解及应用。
为此，先引入 定义[1]1，设n nA C⨯∈，若HAA =，则称A 是Hermitian 矩阵；若H A A =-，则称A 是反Hermitian 矩阵。
定义2.对于Hermitian 矩阵的二次齐式，(),,H n f x X AX X C =∈下列命题是等价： (1)()f x 是正定的；(2)对于任何n 阶可逆矩阵P 都有HP AP 为正定矩阵； (3)A 的n 个特征值全大于零；(4)存在n 阶可逆矩阵P ，使得HP AP E =； (5)存在n 阶可逆矩阵Q ，使得HA=Q Q(6)存在正线上三角矩阵R ，使得HA R R =，且分解是唯一的。
2. 正定Hermitian 矩阵的Cholesky 分解 (或平方根分解或对称三角分解)2.1. 正定Hermitian 矩阵的Cholesky 分解的可行性 1.以下两个命题等价： 命题[1]1，设n nA C⨯∈是正定Hermitian 矩阵一，则A 可分解为1/21/2()()H H A LDLDLL == 其中1/2L LD= ，L 是单位下三角矩阵，1/2D diag = ， (1,2,,k k n = 是A 的k 阶顺序主子式。
矩阵论——内积空间基本概念
第三章 内积空间基本概念在几何分析时，向量的长度、夹角是基本的度量。
§3.1 内积空间基本概念定义 1.1 设V 为数域()C 或R F 上线性空间，若有一法则使V 任两向量βα,确定F 中唯一的数，记为〉〈βα,，且〉〈βα,满足：（1）〉〈=〉〈βααβ,,，V ∈∀βα,；（共轭对称） （2）〉〈+〉〈=〉+〈γβγαγβα,,,，V ∈∀γβα,,； （3）,,,〉〈=〉〈βαβαk k F k ∈∀，V ∈∀βα,； （4）0,≥〉〈αα，且等号成立当且仅当θα=。
则称><βα,为βα,的内积，V 为内积空间。
特别C F =时称()C V 为酉空间，R F =时称()R V 为欧氏空间。
注 （1）〉〈+〉〈=〉+〈γαβαγβα,,,；〉+〈=〉+〈αγβγβα,, 〉〈+〉〈=αγαβ,, 〉〈+〉〈=αγαβ,,〉〈+〉〈=γαβα,,；（2）〉〈=〉〈βαβα,,k k ； （3）0,,=〉〈=〉〈αθθα。
例1 在n R 中定义,,X Y Y X T =〉〈n R 为欧氏空间。
例2 在n R 中定义,,AX Y Y X T =〉〈其中A 为n 阶正定矩。
例3在n R 中定义,,X Y Y X T =〉〈，n C 为酉空间。
例4 n n C ⨯中TH H B B trAB B A =>=<,,。
例5 ()b a R V ,)(=上一切连续函数的集合),(b a C ，()(),,dx x g x f g f ba ⎰>=<()()V x g x f ∈∀,，()R V 是欧氏空间。
定义1.2 设n ααα,,,21 为内积空间V 的一组基，记,,ij j i g x x =〉〈()n j i ,,2,1, =，则称n 阶矩阵ij g G =，故G G H =。
定理1.1 设内积空间V 的一组基{}ni 1α的度量矩阵为G ，V 中向量βα与在该基下坐标向量分别为Y X ,，则X G Y Y G X T H T =>=<βα,。
《矩阵分析》课程教案
讨 论
练 习
作 业
作业：第3章练习题中任选5题
教学要求
熟练掌握线性空间与线性变换，矩阵的Jordan标准型，内积空间，正规矩阵，Hermite矩阵，二次型，矩阵分解，特征值的估计与计算，矩阵的扰动问题，向量范数与矩阵范数，矩阵序列和级数，广义逆矩阵，矩阵函数等基本概念和基本方法。
教学方法
课堂讲述+实验演示+实际动手操作+作业+研究报告
教学手段
多媒体课件+案例+理论推导+编程实现
考核方式
结合课堂所学写一篇论文/开卷考试二者选一
教学参考资料
[1]《矩阵分析》，史荣昌，魏丰编著，北京理工大学出版社，2010.6，第3版
[2]《Matrix Methods in Data Mining and Pattern Recognition》，Lars Eldén，The SIAM series on Fundamentals of Algorithms，2007.2
本课程针对计算机应用技术专业研究生的知识结构背景，在其本科阶段所学的《线性代数》的基础之上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识，并着重培养学生运用矩阵分析的知识和方法解决计算机应用领域相关问题的能力。通过本课程的学习，使学生掌握矩阵理论的基本概念，基本理论和基本方法，全面了解和掌握矩阵的标准形、特征值与特征向量、矩阵分解、范数与矩阵函数等重点内容，了解近代矩阵理论中十分活跃的若干分支，为今后的进一步学习和研究打下扎实的基础。
山西财经大学研究生课程教案
课程名称
矩阵分析
课程编码
第三章内积空间、正规矩阵5-7节
1/ 3
1
把3单位化得p3 2 / 3，
2 / 3
令P ( p1，p2，p3 )，取(1，2，3 ) (1， 2， 3 )P
1
即
2
3
2
5 2
5
1 1
1 5
2
345 2
355 3
则1，2，3为标准正交基，
3
1 3
1
2 3
2
2 3
3
2
且T在1，2，3下的矩阵为
2 7
上页 下页 返回
则AT A.
任取， V且，在基1， 2，， n下的坐标为上X页，Y 下 页 返 回
(2)设T L(V )，则T为对称变换 T在V的标准正交基下的矩阵
为对称矩阵
“”设T在标准正交基1， 2，， n下的矩阵A为对称矩阵 则AT A. 任取， V且，在基1， 2，， n下的坐标为X，Y 则T，T在基1， 2，， n下的坐标为AX，AY
1/ 3
1
把3单位化得P3 2 / 3，
2 / 3
令P (P1，P2，P3 )，取(1，2，3 ) (1， 2， 3 )P
上页 下页 返回
2 / 5
2 / 3 5
把 1， 2单位化得p1
1/ 0
5
，p2
4 / 3 5 / 3
5 5
1/ 2
对3 7，解(7E A)x 0得基础解系3 1 ，
令(1，2，，n ) (1， 2，， n )P， 则1，2，，n为V的标准正交基
且T在该基下的矩阵为B P 1 AP
例2、设1， 2， 3为V的标准正交基，T L(V )且
TT
1 2
1 2 2 2 3 21 2 2 4 3
第三章 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵1
(α1 ,α 2 , , α n ) L
设：1α1 +k2α 2 +L +knα n＝0 k
(α j , k1α1 +k2α 2 +L +knα n )＝(α j , 0) ＝0
k j (α j , α j )＝0
k j＝0, 即k j＝0, j = 1, 2,L , n) (
正交向量组线性无关 那么线性无关向量组是否正交呢？ 那么线性无关向量组是否正交呢？
定义4.3： 子空间， 定义 ： 设 S , T 是C n 的（或 R n ）子空间，若对任意的 x ∈ S 和 y ∈ T 都有
( x, y ) = 0
是正交的， 则称 S 和 T 是正交的，记为 S ⊥ T
定理4.6： 两个正交子空间， 定理 ：设 S , T 是 C n 的（或 R n ）两个正交子空间，那么 （1）S I T = {0} ） （2）dim( S + T ) = dim( S ) + dim(T ) ）
α1 , α 2 ,L , α n
′ ′ α1′, α 2 ,L , α n
度量矩阵 度量矩阵
A B
′ ′ (α1′, α 2 ,L , α n ) = (α1 , α 2 ,L , α n ) P
B = PT AP or
BT = P H AT P
定义1.5: 定义
设V是酉（欧氏）空间，定义 ∀α ∈ V 长度为
(1), A−1 = AH
(2), det A = 1
(3), A ∈ U
T n×n
(1), A = A
−1
T
(2), det A = ±1
(4), if B ∈ U n×n , then AB, BA ∈U
第三章 内积空间,正规矩阵与H-矩阵
(1)
A (A )
H T H H H H H H H
(2 ) ( A B ) A B (3) ( kA ) k A
H
(4 ) ( A B ) B A
(5) (6) (7 ) (8 )
(A ) (A )
k H H
k
(A ) A
H
H
A A (A )
nn
H 1
( A 1 ) H
酉空间。
内积空间的基本性质：
欧氏空间的性质：
(1) ( , k ) k ( , ) ( 2 ) ( , ) ( , ) ( , ) ( 3) (4) ( k i i , )
i 1 t
k (
i i 1 t i i 1
t
i
n n
(, ) ( x , y ) x ( , ) i i i i iy j i j
i 1 j 1 ij , 1
令
g (, ) ,i , j 1 , 2 ,, n i j i j
g 11 g 21 G g n1
例1 设 C
n
是
n 维复向量空间，任取
( a , a ,,) a , ( b , b ,, b ) ( , ) : ( ) a b a b a b ( , )
1 2 n 1 2 n
规定
T
1 12 2
n n
容易验证 是 C n 上的一个内积，从 n 而C 成为一个酉空间。 例2 设 C [ a , b ] 表示闭区间 [ a , b ] 上的所有 连续复值函数组成的线性空间，定义
, )
《矩阵理论》课程教学大纲【精品资料】
《矩阵理论》课程教学大纲一、课程基本信息1、课程英文名称：Matrix Theory2、课程类别：基础课程3、课程性质：学位课4、课程学时：总学时 365、学分：26、先修课程：《线性代数》7、授课方式：多媒体演示、演讲与板书相结合，讨论8、适用专业：适用于理、工等专业9、大纲执笔：应用数学教研室10、大纲审批：理学院教授委员会11、制定(修订)时间：2015年6月二、课程的目的与任务《矩阵理论》是《线性代数》的后继课程，主要讲授线性空间与线性变换，内积空间，矩阵的标准形，矩阵分解，范数理论及其应用等内容。
矩阵理论作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域（如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等）都有广泛应用。
电子计算机及计算技术的发展也为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。
开设本课程的目的是不仅使学生系统地获得矩阵分析的经典结果和现代结果，在数学的抽象性、逻辑性与严密性方面受到必要的训练和熏陶，使他们具有理解和运用逻辑关系、研究和领会抽象事物的能力，培养学生用矩阵分析的方法去思考问题的意识和兴趣，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力与归纳判断能力、空间想象能力与数值计算能力，特别培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力，为学生将来进行科学研究奠定良好的基础。
三、课程的基本要求本课程的教学要重视矩阵分析的历史背景知识介绍，要注重基本概念和定理的几何背景和实际应用背景的介绍，要充分展示基本概念的形成过程，每个概念的引入应遵循实例——抽象——概念的形成过程，多角度说明有关概念的实质；要加强对基本数学方法的介绍，传授一些数学科学的基本学习方法和研究方法，强调在解决实际问题中有重要应用的数学思想方法，揭示重要数学方法的本质；要结合节次教学内容，增加具有启发性和讨论性的内容，加强应用实例的介绍，特别是一些来自实际的真实问题的解决方法介绍，对传统教学内容的应用问题进行更新和充实，扩大信息量，灵活采用探究式、启发式和讨论式等教学方法，做到抽象内容与具体例题相结合，教师提问与学生回答相结合，教师授课与学生练习相结合，要掌握好例题的难易程度，对例题要有分析、解答和归纳总结，充分调动学生学习数学的主动性和创造性，活跃课堂气氛；要突出矩阵分析的基本思想，要适当渗透一些现代数学思想，引入一些现代数学观点、概念、方法和术语等，为学生进一步接触现代数学奠定了一定基础。
第三章内积空间、正规矩阵8-11节
下页 返回
( 2) A为H 矩阵 S H AS为H 矩阵， 其中S C nn
2、 有关结论 (1) A为H 矩阵 X H AX为实数 ( 2) A为H 矩阵 对任意n阶方阵S，S H AS为H 矩阵 证： “”设A为H 矩阵， 则A H A 故S H AS为H 矩阵 ( S H AS ) H S H A H S S H AS， “”设对任意n阶方阵S，S H AS为H 矩阵， 则( S H AS ) H S H AS，取S E得： ( E H AE ) H E H AE， 故A为H 矩阵 AH A， ( 3) A为H 矩阵 存在酉阵U， 使U H AU diag(1， 2， ， n ) 其中1， 2， ， n为实数 证： “”设A为H 矩阵， 则A为正规矩阵且 A的特征值为实数 又正规矩阵可以U相似于对角矩阵， 故存在酉阵U， 使
(3) A的特征值全大于零； (4)存在可逆矩阵P， 使得P H AP E；
(5)存在可逆矩阵Q， 使得A Q H Q； (6)存在正线上三角阵R， 使得A R H R且分解式唯一
证： (1) (2)， 由引理2得 (2) (3) 由A为H 矩阵得：存在酉阵U使得
U 1 AU U H AU diag(1， 2， ， n )
令X UY， 则f 3 y2 y2 2 y3 y3
上页
下页 返回
第三章 内积空间和正规矩阵
第九节 正定H 二次齐式、正定H 矩阵
上页
下页
返回
一、正定H 二次齐式或正定H 矩阵 1、 正(负)定二次齐式： 若对任意X 0， 有f X H AX ( )0， 而A称为正(负)定矩阵 则称f正(负)定二次齐式， 2、 半正(负)定二次齐式： 若对任意X 0， 有f X H AX ( )0， 而A称为半正(负)定矩阵 则称f半正(负)定二次齐式， 3、 两个引理 (1)设A是正线上三角阵且为酉阵， 则A为单位矩阵E a11 0 0 a11 a12 a1n a12 a 22 0 0 a22 a2 n H 则A 证： 设A (aii 0)， a a a 0 0 a nn 1n 2 n nn H H 且由AA A A E得 a11a11 a12 a12 a1n a1n a11a11 1 a a a a a a a a 1 2n 2n 12 12 22 22 22 22 annann a1n a1n a2 n a2 n ann ann 1 2 a ii 1， 故A E 又 a ， a 0 ( i j ) ， a a 0(i j )， ij ii 1
第3章 内积空间 正规矩阵 Hermite矩阵(习题)
第3章 内积空间 正规矩阵 Hermite 矩阵3-1．已知A=（ij a ）是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间nC 中向量α=[1x ,2x ,…, n x ], β=[1y ,2y ,…, n y ]，定义内积(α, β)= αA H β (1) 证明在上述定义下，nC 是酉空间； (2) 写出nC 中的Canchy-Schwarz 不等式. 3-2．已知A= 2 1 -1 1 -31 1 -1 0 1⎛⎫⎪⎝⎭，求N(A)的标准正交基.3-3．已知(1) A=3083-16-20-5⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (2) A=-1-26-103-1-14⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭试求酉矩阵U ，使得HUAU 是上三角矩阵.3-4．试证：在nC 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵. 3-5．验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U ，使HUAU 为对角矩阵，已知(1) A=131612⎛ ⎪ ⎪⎝⎭(2) A=0-110000i i ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭(3) A=194+34-6-2-44-3-2-66+2-2-60i i i ii i i i ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭(1) A=1-111⎛⎫⎪⎝⎭3-6．求正交矩阵Q ，使TQ AQ 为对角矩阵，已知(1) A=2-20-21-20-20⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭(2) A=110-111-100-111-1011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3-7．试求矩阵P ，使HP AP=E(或TP AP=E)，已知(1) A=1i 1+i -i 011-i 12⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (2) A=22-225-4-2-45⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3-8．设n 阶酉矩阵U 的特征根不等于-1，试证：矩阵E+U 满秩，W=i(E-U)()1E U -+是Hermite 矩阵.反之，若W 是Hermite 矩阵，则E-iW 满秩，且U=(E+iW)()1E-iW -是酉矩阵. 3-9．若S,T 分别是实对称和反实对称矩阵，且det(E-T-iS )≠0，试证：(E+T+iS)()-1E T iS ++是酉矩阵.3-10．设A 、B 均是实对称矩阵，试证：A 与B 正交相似的充要条件是A 与B 的特征值相同.3-11．设A 、B 均是Hermite 矩阵，试证：A 与B 酉相似的充要条件是A 与B 的特征值相同.3-12．设A 、B 均是正规矩阵，试证：A 与B 酉相似的充要条件是A 与B 的特征值相同. 3-13．设A 是Hermite 矩阵，且2A =E ，则存在酉矩阵U ，使得： HUAU=r 000E ⎛⎫⎪⎝⎭3-14．设A 是Hermite 矩阵，且2A =E ，则存在酉矩阵U ，使得：H U AU=rn-00-r E E ⎛⎫⎪⎝⎭3-15．已知Hermite 二次型123121321233133(z )=(x ,x ,x )=-i x x -x x +i x x -i x x-x x +i x x f f求酉变换Z=Uy 并将(z)f 化成标准型. 3-16．已知Hermite 二次型12312132231331333(x ,x ,x )=x x +i x x +2x x -i x x +i x x2222f求酉变换Z=Uy 并将123(x ,x ,x )f 化成标准型.3-17．设A 为正定Hermite 矩阵，B 为反Hermite 矩阵，试证：AB 与BA 的特征值实部都为0.3-18．设A 、B 均是Hermite 矩阵，且A 正定，试证：AB 与BA 的特征值都是实数. 3-19．设A 是半正定Hermite 矩阵，且A ≠0，试证：1A E +>.3-20．设A 是半正定Hermite 矩阵，A ≠0,B 是正定Hermite 矩阵，试证：A B A +> 3-21．设A 为正定Hermite 矩阵，且m nA U⨯∈，则A=E.3-22．试证：(1)两个半正定Hermite 矩阵之和是半正定的；(2)半正定Hermite 矩阵与正定Hermite 矩阵之和是正定的.3-23．设A 是正定Hermite 矩阵，B 是反正定Hermite 矩阵，试证：A+B 是可逆矩阵. 3-24．设A 、B 是n 阶正规矩阵，试证：A 与B 相似的充要条件是A 与B 酉相似. 3-25．设HA =A ，试证：总存在t>0，使得A+tE 是正定Hermite 矩阵，tE A -是负定Hermite 矩阵.3-26．设A,B 均为正规矩阵.且AB=BA ，则AB 与BA 均为正规矩阵.3-27．设=-H A A ，试证：1()()U A E A E -=+-是酉矩阵.3-28．设A 为n 阶正规矩阵.12n λλλ ，，，为A 的特征值，试证：HA A 的特征值为22212,,,n λλλ .3-29．设m nA C⨯∈,试证：(1)H A A 和H AA 都是半正定的Hermite 矩阵；(2) H A A 和HAA 的非零特征值相同.3-30．设A 是正规矩阵. 试证：(1)若r A =0（r 是自然数），则A=0；（2）若2=A A ，则H =A A ; (3)若32=A A ，则2=A A . 3-31．设H =A A ，H=-B B ,证明以下三个条件等价：(1)A+B 为正规矩阵；(2)AB=BA ；(3)()=-HAB AB . 3-32．设n nA C⨯∈，那么A 可以唯一的写成A=S+iT ，其中S,T 为Hermite 矩阵，且A 可以唯一的写成A=B+C ，其中B 是Hermite 矩阵，C 是反Hermite 矩阵.3-33. 设nR 是n 维实(列)向量空间，若： 12=a ,,,T n α （a a ），12=,b ,,T n β （b b ） 令()1122,==a b ++T T n n a b a b αβαββα=验证，所规定的(α,β)满足定义3.1.1中的四个条件.因此在这样定义内积后nR 成为欧氏空间.3-34. 设在2R 中队向量()12=,Ta a α和()12=,Tb b β规定内积()11122122,2a b +++a b a b a b αβ=试证：2R 是欧氏空间.3-35. 设在2n 维空间n nR⨯中对向量(n 阶矩阵)A,B 规定内积为()(),,Tn n A B tr A BA B R ⨯=∈试证：n nR⨯是欧氏空间.3-36. 用[]a,C b 表示闭区间[]a,b 上的所有实值连续函数构成的实线性空间，对任意(x)f 、[]g(x)a,C b ∈，规定(),=(x)g(x)d ax bf g f ⎰验证，这样规定的(),f g 是[]a,C b 上的一个内积，从而[]a,C b 成为一个欧式空间. 3-37. 设A 为n 阶正定矩阵，对于nR 中任意两个列向量X,Y .规定 (),T X Y X AY =验证(),X Y 是nR 上的一个内积，于是nR 成为一个欧氏空间.3-38. 设nC 是n 维复(列)向量空间，若1212=(a ,a ,,a )=(b ,b ,,b )T T n n αβ命 ()()1122,==+++=TH n n a b a b a b αββαβα验证，所规定的(),αβ满足定义3.1.2中的四个条件，因此nC 成为一个酉空间. 3-39. 在n nC⨯中，对任意,n nA B C⨯∈定义()(),TA B tr AB =验证(),A B 是n nC⨯的一个内积，从而n nC⨯成为一个酉空间. ()tr A 表示A 的迹，即()tr A 是A 的主对角元素之和. 3-40. 在空间4R 中，设()1=1-11-1T α，，， ()2=51,1,1T α， ()3=33,1,3Tα---，求{}123span ααα，，的一个标准正交基. 3-41. 已知()1=1-1i i Tα，，， ()2=-11i i Tα，，， ()3=11i i Tα，，，求{}123span ααα，，的一个标准正交基.3-42. 设n C α∈，且=1Hαα，若 =2H n n n H E C αα⨯-∈ 则H 是酉矩阵. 3-43. 试证11cos sin 1=1-sin cos 11n nA θθθθ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是正交矩阵.3-44. 验证2阶矩阵 cos -sin sin cos A θθθθ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是正交矩阵，它表示平面上的绕坐标原点的旋转变换3阶矩阵100=0cos -sin 0sin cos A θθθθ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是正交矩阵，它表示三位空间绕x 轴的旋转变换.3-45. 设1234,,,αααα是V 的标准正交基，则12{,}S span αα=与34{,}T span αα=是正交的.3-46. 已知()1212=(1,0,1,1),=0,1,1,2,T=span{,}TTαααα，求T 的正交补.3-47. 设W 是欧式空间V 的一个子空间，那么V 在W 上的正交投影变换P 就是一个对称变换.3-48. 在3R 中，设u 为过直角坐标系原点的平面π的单位法矢量.变换A 是 ()3()=-2,,A u u a R ααα∈验证：对于任意的3,R αβ∈，任意实数k,l 都有()()()()()()()()()=+(),A =,(),=,A A k l kA lA A A αβαβαβαβαβαβ+因此A 既是正交变换，又是对称变换，称其为镜面反射. 3-49. 已知033=-1862-14-10A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求酉矩阵W ，使得=HW AW 上三角矩阵 3-50. 已知1-1=11A ⎛⎫⎪⎝⎭A 是正规矩阵，且求酉矩阵U ，使HU AU 为对角矩阵. 3-51. 已知0i -1=-i 0i -1-i 0A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦验证A 是正规举证，且求酉矩阵U ，使HU AU 为对角矩阵. 3-52. 已知 ,0(k )A=0HkA A A ==为自然数，则. 3-53. 已知U 是n 阶酉矩阵，且U-E 可逆，试证 1=(U-E)(U+E)A -是反Hermite 矩阵.3-54. 设A 为欧氏空间V 上的一个对称变换，那么有=.HA A 因为根据对称变换的定义有 ()()()()=A A V αβαβαβ∀∈，，，设A 为欧氏空间V 上的一个反对称变换，那么有=-.HA A 根据反对称变换的定义有 ()()()()()()=-=-A A A αβαβαβ，，，3-55. 设A 为酉空间V 上的一个Hermite 变换，那么有=.HA A Hermite 变换也经常被称做自伴随变换. 设A 为酉空间V 上的一个反Hermite 变换，那么有=-.HA A3-56． 设A 为欧氏空间V 上的一个正交变换，那么有-1=.H A A 由定义有()()()()()()11=(),A A A V αβαβαβαβ--=∀∈，，A(A )，3-57． 设A 为酉空间V 上的一个酉变换，那么有-1=.H A A 3-58． 对于任意给定的n 阶矩阵A ，根据定义证明：(1) A+A ,AA ,A A Hermite (2) A-A ermite H H H HH 是矩阵是反矩阵3-59． 已知正规矩阵102i 030-2i 01A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求酉矩阵U ，使得HU AU 为对角矩阵. 3-60． 已知Hermite 二次型 12311132231331331(,,)=++2-+2222f x x x x x ix x x x ix x x x 求酉变换Z=Uy 将123(,,)f x x x 变为Hermite 标准二次型. 3-61． 已知A 、B 是n 阶正定Hermite 矩阵，则=0B A λ-的根全身正的实数.3-62． 已知A 、B 是n 阶正交矩阵，并且=-A B ，试证：A+B 不可逆. 3-63． 设11+i 2i ==1-i 2-i 2A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，验证A 是Hermite 矩阵B 是正定的Hermite 矩阵，并求满秩矩阵T ，使得=H H T AT T BT E 为对角矩阵，.3-64． 设A,B 是Hermite 矩阵，且B 是半正定的，则 ()()k k A A B λλ≤+。
hermite矩阵 谱分解
hermite矩阵谱分解Hermite矩阵是一个实对称矩阵，它在数学和物理领域中有着重要的应用。
首先，我们来谈谈Hermite矩阵的定义和特性。
Hermite矩阵是指一个n×n的实对称矩阵，满足矩阵的转置等于其自身，即A^T = A。
这意味着Hermite矩阵的元素a_ij等于a_ji，其中i和j分别代表矩阵的行和列。
在量子力学和信号处理中，Hermite矩阵经常出现在描述物理系统的哈密顿量或者信号的自相关矩阵中。
接下来，我们来谈谈Hermite矩阵的谱分解。
谱分解是将一个矩阵分解为特征向量和特征值的过程。
对于Hermite矩阵，由于其是实对称矩阵，所以可以保证它有一组正交归一的特征向量，且对应的特征值都是实数。
因此，Hermite矩阵可以进行谱分解为以下形式，A = QΛQ^T，其中Q是由A的特征向量组成的矩阵，Λ是由A的特征值构成的对角矩阵。
这种谱分解的形式使得Hermite矩阵的性质得到了很好的描述，也为其在信号处理、统计学和量子力学中的应用提供了重要的数学基础。
从应用的角度来看，Hermite矩阵的谱分解在信号处理中有着重要的作用。
例如，在信号处理中，我们可以利用Hermite矩阵的谱分解来分析信号的频谱特性，从而实现信号的分解和重构。
此外，在量子力学中，Hermite矩阵的谱分解也为描述量子态的演化和性质提供了重要的数学工具。
总之，Hermite矩阵作为实对称矩阵，在数学和物理领域中有着重要的地位和应用。
其谱分解为特征向量和特征值的形式，为我们理解和应用Hermite矩阵提供了重要的数学工具。
希望以上内容能够全面回答你关于Hermite矩阵和其谱分解的问题。
第三章内积空间,正规矩阵与H-矩阵PPT课件
定义：设 A Cnn，用 A 表示以 A 的元素
的共轭复数为元素组成的矩阵，记
AH ( A)T 则称 AH 为 A 的复共轭转置矩阵。不难验证
复共轭转置矩阵满足下列性质：
(1) AH ( AT ) (2) ( A B)H AH BH (3) (kA)H k AH (4) ( AB)H BH AH
列运算条件：
(1) (, ) ( , ) (2) (k, ) k(, ) (3) ( , ) (, ) ( , ) (4) (, ) 0
这里 , , 是 V 中任意向量，k 为任意复数,
只有当 0 时 (, ) 0 ，我们称带有这 样内积的 n 维线性空间 V 为酉空间。欧氏空
第三章 内积空间，正规矩阵与H-矩阵
定义： 设V 是实数域 R 上的n 维线性空间，
对于V 中的任意两个向量 , 按照某一确
定法则对应着一个实数，这个实数称为
与 的内积，记为 (, ) ，并且要求
内积满足下列运算条件：
(1) (, ) ( , )
(2) (k, ) k(, )
(3) ( , ) (, ) ( , )
容而易R验n成证为(一个,欧氏)空1 是间。Rn如上果的规一定个内积，从
(, )2 x1 y1 2x2 y2 nxn yn
容 这易 样验R证n又(成为,另外)一2 也个是欧氏Rn空上间的。一个内积,
例2 在 nm 维线性空间 Rnm 中，规定
( A, B) tr( ABT )
容易验证这是 Rnm 上的一个内积，这样Rnm
n
y j jBiblioteka j 1nnn
(, ) ( xii , yii ) xi y j (i , j )
矩阵分析 第三章内积空间、正规矩阵1-4节
四、长度及其性质
记为 . 1、定义： 非负实数 ( , )称为向量的长度， 2、 单位向量： 1 , 则称 为单位向量. 设 1 0 注 :当 0时， 为单位向量
上页
下页
返回
3、 性质： (1) 非负性： 0， 当且仅当 0 时 0;
( 2) 齐次性： ; ( 3) 三角不等式： .
满足以下条件:
i 1
i 1
(1) (， ) ( ， ) ； (2) (k， ) k (， )； (3) ( ， ) (， ) ( ， )； (4) (， ) 0， 当且仅当 0时等号成立. 则称V为C上的酉空间， (， )称为内积. 而
ii
4、 内积表示式： 设内积空间V中基 1， 2， ， n的度量矩阵为G 且， 在基下的坐标为 ， ， (， ) X T GY . X Y 则
证： (1， 2， ， n ) X， (1， 2， ， n )Y，
G (1， 2， ， n )T (1， 2， ， n ). (， ) T [(1， 2， ， n ) X ]T [(1， 2， ， n )Y ] X T [( 1， 2， ， n )T ( 1， 2， ， n )]Y X T GY . 注： V为酉空间， (， ) Y H GX 若 则
上页
下页
返回
5、 不同基下度量矩阵的关 设 1， 2， ， n； 1， 2， ， n为内 系： 积空间V中的基且度量矩阵为 ， ， A B 过渡矩阵为C， B C T AC 则
证： A ( 1， 2， ， n )T ( 1， 2， ， n ). B ( 1， 2， ， n )T ( 1， 2， ， n )，
第三章 内积空间 正规矩阵 Hermite矩阵
第三章 内积空间 正规则阵 Hermite 矩阵3－1(1)证实：),(αβ＝H A αβ=H H A )(βα=H A βα ,(βα,k )＝),(βαβαk A k H =H A αααα=),(,因为A 为正定H 矩阵,所以0),(≥αα,当且仅当0),(0==ααα时，由上可知c n 是酉空间.証毕. （2）解： ∑∑==njni j ij i Hy a x A |||),(|βαβα∑∑==n jnijijix ax ),(||||ααα,∑∑==n jnij ijiy ay ),(||||βββ由Cauchy-Schwarz 不等式有：3－2解：依据核空间的界说知道N(A)是方程组 3－3（1）解：由|λE-A| = (λ+1)3得 λ= －1是A 的特点值,当λ＝－1时,可得|λE-A|＝000000201于是ε1＝（0,1,0）T 是A 的特点向量.选择与ε1正交,并且互相也正交两个向量构成酉阵：U 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010 则U 1*A U 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---520830631 取A 1= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5283,|λE- A1| =(λ+1)2 λ= －1是A 1的特点值. 当λ＝－1时,可得|λE- A 1|＝021,于是,α1 ＝（ --52,51）T是A 的特点向量,选择与α1正交的向量构成酉阵U 2 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡52515152-,U 2*A 1U 2 = 51⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2112⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5283⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2112 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10101 3－3（2）解：起首求出其特点多项式 3－4．证实：由教材定理可知正交投影矩阵为11H P U U =,个中1n .U r ⨯为一个次酉矩阵3－5（1）解：易证,H A A A =是Hermite 矩阵. 3－5（2）解：3－5（3）解：3－5（4）解：解：3－6（2）解:解：3－7（2）解法仿3－7（1）解题办法.证实：因为n 阶酉矩阵U 的特点值不等于1,所以-10E U -≠ 由此可知0,E U E U +≠+即为满秩矩阵. 3－9 证实：令1)(),(---=++=iS T E C iS T E B ,BCiS T E iS T E A =--++=))((,==A BC A A **)(1**1**))(()())((----++++--=iS T E iS T E iS T E iS T E A B C ,又S,T 分离是实对称矩阵和反实对称矩阵,即有T T S S -==**,,则有,)()())((**1**iS T E iS T E iS T E A B C ++++--=-111))()(()()(-----++--++=--iS T E iS T E iS T E iS T E iS T E ,因为))((iS T E iS T E ++-- ))((iS T E iS T E --++=显然有E A A =*,同理可得E AA =*,即E AA A A ==**,即证.3－10证实：须要性 因为类似矩阵具有雷同的特点值,所以A 与B 的特点值雷同. 充分性 A,B 均为实对称矩阵,所以分离消失正交矩阵12Q Q ，使得 3－11 证实:须要性 因为类似矩阵具有雷同的特点值,所以A 与B 的特点值雷同. 充分性 A,B 均为实对称矩阵,所以分离消失酉矩阵12U U ，使得 3-12证实：（1）须要性：因为A,B 是正规则阵,所以消失n n U U ⨯∈1使得=1*1AU U),,,(21n diag λλλ ,消失n n U U ⨯∈2使得),,,(''2'12*2n diag BU U λλλ =又因为A酉类似于B,所以消失n n U U ⨯∈,使得AU U B *=所以)()(2*22**22*2UU A UU AUU U U BU U ==又因为n n U U ⨯∈n n U U ⨯∈2,所以),,(212*22n n n diag BU U U UU λλλ =⇒∈⨯可记为：n n λλλλλλ==='2'21'1,,, 即A 与B 特点值雷同.（2）充分性：消失n n U U ⨯∈1使得=1*1AU U ),,,(21n diag λλλ ,消失n n U U ⨯∈2使得)()(121*121--U U A U U 因为n n n n U U U U ⨯-⨯∈∈121,所以n n U U U ⨯-∈121即A 酉类似3-13证实： A 是Hermite 矩阵,则消失m m U U ⨯∈,使得U 1-AU=diag （1`λ,2λ,……n λ）则A=()H U 1-⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤n λλλ 21()1-U ,由2A =A 可得A 2=()H U1-⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤n λλλ 21()1-U =()H U 1-⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤n λλλ 21()1-U =()H U 1-⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤n λλλ 21()1-U ⇒ 121λλ=, ……,n n λλ=2,从而可知0,1是A 的特点值,取(){}00,0,11,1,1 =A σ,得出U 1-AU=⎢⎣⎡⎥⎦⎤000rE,标题得证. 3-14证实：A是Hermite矩阵,则消失mm U U ⨯∈,使得=⇒=-2211),,,(A diag AU U n λλλE U U n r =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛*2221λλλ 则122221====n λλλ , 则-1和1为A 的特点值,可记121===r λλλ ,11-==+n r λλ ,即有U H AU=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--r n r E E 标题得证.3-15 解：（仅供参考）于是 123(,,)=X AX H f x x x个中 123X=(,,)T x x x .因为A 为一个Hermite 矩阵,所以A 可以酉对角化.A 的特点值12==2λλ的正交单位特点向： A 的特点值3=-1λ的单位特点向：3Tα,于是3-18证实：令2/1A P =,显然P 为Hermite 矩阵并且正定独一,A 正定⇒A 的特点值全大于0.所以A 可逆,P 可逆2/12/12/12/12/12/1~--==BAA A BA A ABA A AB ;所以AB 与BA 类似BA AB ~,则AB 与BA 的特点值雷同）（）（BA AB λλ=,2/12/1*2/12/1BA A BA A =）（,2/12/1BA A 也为H 矩阵⇒2/12/1BA A 的特点值为实数,BA BA A AB ~~2/12/1,所以AB,BA 的特点值都是实数 3-19证实：因为A 是一个半正定的Hermite 矩阵,所以A 的n 个特点值12n λλλ均为非负实数,又因为0A ≠,于是12n λλλ不克不及全为零,1212n +1+1+111=(+1)(+1)(+1)>1n A E A E λλλλλλ++那么的特征值，，，都是大于等于的数，且至少有一个大于，故：3-20 证实： 3-21证实：由E A A U A n n =⇒∈⨯*,A A H A n n =⇒∈⨯*,所以E A =2,由题3－14可知,A 的特点值为1=i λ又A 是正定的,所以A 的特点值全体为1,则消失E AU U U U n n =⇒∈⨯*所以可得 E UEU A ==* 即证. 3－22证实：（1）令A,B 为半正定Hermite 矩阵,则消失n C x ∈,使得,0,0**≥≥Bx x Ax x 又由Hermite 矩阵的简略性质,)(B A +为Hermite 矩阵,且消失n C x ∈,使得0)(***≥+=+Bx x Ax x x B A x ;则B A +为半正定Hermite 矩阵.（2）令A 为半正定Hermite 矩阵,B 为正定Hermite 矩阵,则有n C x ∈,使得,0,0**>≥Bx x Ax x 又由Hermite 矩阵的简略性质,)(B A +为Hermite 矩阵,且消失n C x ∈,使得0)(***>+=+Bx x Ax x x B A x ;则B A +为正定Hermite 矩阵. 3－23 证实：因为矩阵A 是一个正定的Hermite 矩阵,所以A 可逆,于是 3-24证实：充分前提：因为A,B 是n 阶正规则阵,则消失,n n U U ⨯∈n n U V ⨯∈,使得),,,(,),,,(21*21*n n diag BV V diag AU U μμμλλλ ==,个中n λλλ,,,21 ;n μμμ,,,21 分离是A 与B 的特点值.又因为A 与B 类似,所以其对应的特点值雷同.则有B AUV U V BV V AU U =⇒=--1*1***)(.令1-=UV W ,则B AW W =*,因为U.V 是酉矩阵,则W 也是酉矩阵.所以A 与B 酉类似.须要前提：因为A 与B 酉类似,则∃,nn U U ⨯∈使得B AU U =*,又因为,n n U U ⨯∈ 则E U U =* ⇒1-*=U U B AU U AU U ==⇒-1*,因而A 与B 类似. 3-25 证实：3-26 证实：3-27 证实：由已知前提可得 3-28 证实： 3－29 证实：（1）nm C A ⨯∈,则A A A A A A AA A A AA ************)()(,)()(====,nC x ∈∀,0)()())(()(,0)()()(************≥==≥==x A x A x A A x x AA x Ax Ax Ax A x x A A x ;所以A A *和*AA 都是半正定的Hermite 矩阵.（2）令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n m E A E S 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛A A A A AA AA E A E A AA S A AA n m ********0000,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m E A E A A A S **00 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛A A A A AA AA A A A ******00*,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛A A A S S AAA ****0000又因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n m E A E S 为可逆矩阵,则1****1**1**00000000---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛S A A A S A AA S A A A S SS A AA 则0)det(*=-AA E λ与0)det(*=-A A E λ有雷同的非零解3－30证实：因为A 是正规则阵,所以**=AA A A ,则消失U ∈n n U ⨯使),,(21n diag AU U λλλ⋅⋅⋅=*,个中n λλλ⋅⋅⋅,,21为A 的特点值;*⋅⋅⋅=⇒U Udiag A n ),,(21λλλ （1）***⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=U U Udiag U Udiag A n n r ),,(),,(2121λλλλλλ0),,(21=⋅⋅⋅=*U Udiag r n r r λλλ(2)**⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=U Udiag A U Udiag A n n ),,(),,(21222212λλλλλλn n λλλλλλ=⋅⋅⋅==⇒2222121,, ),2,1(10n i i ⋅⋅⋅==⇒或λ即A 的特点值都为实数又A 为正规则阵A A =⇒*（3）同理2322322131n n λλλλλλ=⋅⋅⋅==，， 10或=⇒i λ i i λλ=⇒2即A A U Udiag U Udiag n n =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅**22122221),,(),,(即λλλλλλ 3－31 证实：3－32设n n C A ⨯∈,那么A 可以独一的写成iT S A +=,个中T S ,为Hermite 矩阵,且A 可以独一的写成C B A +=,个中B 是Hermite 矩阵,C 是反Hermite 矩阵.证：令i AA T A A S 2,2-=+=**,且 A=S+iT,T T S S ==**,. 下证独一性：用反证法.假设消失2211,;,T S T S 使2211iT S iT S A +=+=,且2211,;,T S T S 均为Hermite 矩阵.则由：A=S 1+iT 1⇒1111iT S iT S A -=-=***⇒i AA T A A S 2,211-=+=** 同理有：i AA T A A S 2,222-=+=**⇒S 1=S 2,T 1=T 2 可知：A 可独一的写成A=S+iT.令B=S,C=iT,则显然B 为Hermite 矩阵,C 为反Hermite 矩阵 则A 可独一写成A=B+C,个中i AA C A AB 2,2-=+=**証毕. 3-33. 设n R 是n 维实(列)向量空间,若：12=a ,,,T n α（a a ）,12=,b ,,Tn β（b b ）令 ()1122,==a b ++T T n n a b a b αβαββα=轻易验证,所划定的(α,β)知足界说n R 成为欧氏空间. 3-34.解： 这只需验证(),αβ知足内积的四个前提即可. 等式成立的充要前提是12a ==0,=0.a α即 3-35.解： 设=(a ),B=(b )ij n n ij n n A ⨯⨯,不难验证 等号成立当且仅当()=0,=0ij a i j ∀，即A . 所所以n n R ⨯欧式空间.3-36. 用[]a,C b 暗示闭区间[]a,b 上的所有实值持续函数构成的实线性空间,对随意率性(x)f .[]g(x)a,C b ∈,划定轻易验证,如许划定的(),f g 是[]a,C b 上的一个内积,从而[]a,C b 成为一个欧氏空间.3-37. 设A 为n 阶正定矩阵,对于n R 中随意率性两个列向量X,Y .划定轻易验证(),X Y 是n R 上的一个内积,于是n R 成为一个欧氏空间. 3-38. 设n C 是n 维复(列)向量空间,若 命 ()()1122,==+++=TH n n a b a b a b αββαβα轻易验证,所划定的(),αβ知足界说中的四个前提,是以n C 成为一个酉空间.3-39. 在n n C ⨯中,对随意率性,n n A B C ⨯∈界说轻易验证(),A B 是n n C ⨯的一个内积,从而n n C ⨯成为一个酉空间. ()tr A 暗示A 的迹,等于()tr A A 的主对角元素之和. 3-40. 在空间4R 中,设求{}123span ααα，，的一个尺度正交基. 解： 运用Schmidt 正交化办法得到因为3β=0,故1α,2α,3α线性相干,轻易1α,2α线性无关,是以12312{,,}={,}span span ααααα,把12,ββ单位化后,12{,}span αα的一个尺度正交基3-41. 已知求{}123span ααα，，的一个尺度正交基. 解： 命把123,,βββ单位化得 则123υυυ，，为所求之基3-42. 设n C α∈,且=1H αα,若 =2H n n n H E C αα⨯-∈ 则H 是酉矩阵. 解：故H 是酉矩阵. 3-43. 试证 是正交矩阵.解：易知T n A A E =,故A 是正交矩阵.该矩阵所代表的正交变换为吉文斯变换.3-44. 2阶矩阵是正交矩阵,它暗示平面上的绕坐标原点的扭改变换 3阶矩阵是正交矩阵,它暗示三位空间绕x 轴的扭改变换.3-45. 设1234,,,αααα是V 的尺度正交基,则12{,}S span αα=与34{,}T span αα=是正交的.3-46. 已知()1212=(1,0,1,1),=0,1,1,2,T=span{,}T T αααα,求T 的正交补. 解：取不难知线性方程组0H A X =的基本解系为12=(-1,-1,1,0),=(-1,-2,0,1)T T ξξ, 则12{,}S span ξξ=,等于T 的正交补.3-47. 设W 是欧式空间V 的一个子空间,那么V 在W 上的正交投影变换P 就是一个对称变换.3-48. 在3R 中,设u 为过直角坐标系原点的平面π轻易验证：对于随意率性的3,R αβ∈,随意率性实数k,l 都有 是以A 既是正交变换,又是对称变换,称其为镜面反射.3-49. 已知 试求酉矩阵W,使得 解：3-50. 已知验证A 是正规则阵,且求酉矩阵U,使H U AU 为对角矩阵. 解：因为1-1=11HA ⎛⎫⎪⎝⎭,经盘算得：20==02H HAA A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 所以A是正规则阵A 的特点多项式 当1=1+i λ时,特点矩阵 故 12=x ix所以属于1=1+i λ的单位特点向量1=Tα 当2=1-i λ时,特点矩阵 故 12=-x ix所以属于2=1-i λ的单位特点向量1=Tα 命 ()12==U αα⎥⎥⎦， U 是酉矩阵,且知足 3-51.. 已知验证A 是正规举证,且求酉矩阵U,使H U AU 为对角矩阵.解： 0i -1-i 0i =-1-i 0H A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 是Hermite 矩阵对1=-1λ的特点矩阵作初等行变换得 解得属于特点值-1的特点向量为用Schmidt 办法把1α ,2α单位化并正交化得 对3=2λ的特点矩阵作初等行变换得故A 的属于3=2λ的单位特点向量为 命：3-52. 已知 ,0(k )A=0H k A A A ==为自然数，则. 解： 消失n n U U ⨯∈,知足3-53. 已知U 是n 阶酉矩阵,且U-E 可逆,试证 是反Hermite 矩阵. 解：因为：3-54. 设A 为欧式空间V 上的一个对称变换,那么有=.H A A 因为依据对称变换的界说有设A 为欧式空间V 上的一个否决称变换,那么有=-.H A A 依据否决称变换的界说有3-55. 设A 为欧氏空间V 上的一个Hermite 变换,那么有=.H A A Hermite变换也经常被称做自陪同变换.3-56. 设A 为欧氏空间V 上的一个正交变换,那么有-1=.H A A 由界说有3-57. 设A 为酉空间V 上的一个酉变换,那么有-1=.H A A 3-58. 对于随意率性给定的n 阶矩阵A,依据界说不难证实： 3-59. 已知正规则阵试求酉矩阵U,使得H U AU 为对角矩阵. 解：3-60. 已知Hermite 二次型求酉变换Z=Uy 将123(,,)f x x x 变成Hermite 尺度二次型. 解： 所给Hermite 二次型123(,,)f x x x 对应的Hermite 矩阵 于是 123(,,)=X AX H f x x x个中 123X=(,,)T x x x .因为A 为一个Hermite 矩阵,所以A 可以酉对角化.A 的特点值12==2λλ的正交单位特点向量： A 的特点值3=-1λ的单位特点向量：3Tα,于是 3-61. 已知A.B 是n 阶正定Hermite 矩阵,则=0B A λ-的根全身正的实数.证实： 因为B 是正定的,消失n n n P C ⨯∈,知足 且H P AP 0E PAP λ-=故=0B A λ-的根是正的实数3-62. 已知A.B 是n 阶正交矩阵,并且=-A B ,试证：A+B 不成逆. 证实：3-63. 设验证A是Hermite矩阵B是正定的Hermite矩阵,并求满秩矩阵T,使得=H HT AT T BT E为对角矩阵，.解：易证B是正定Hermite矩阵.3-64.设A,B是Hermite矩阵,且B是半正定的,则解：因为因为矩阵B为半正定,所以1(B)0λ≥.从而得到所需结论.。
hermite矩阵的奇异值分解
hermite矩阵的奇异值分解
Hermite矩阵是指由复共轭转置矩阵和它本身构成的矩阵，也称为自共轭矩阵。
奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种线性代数中的分解方法，将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，即A = UΣV*，其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵。
在Hermite矩阵的奇异值分解中，由于Hermite 矩阵是自共轭矩阵，因此U和V可以看作是幺正矩阵，即U和V的逆等于它们的共轭转置。
具体地，设H是一个n×n的Hermite矩阵，则H可以分解为H = UΣV*，其中U是一个n×n的幺正矩阵，V是一个n×n的幺正矩阵，Σ是一个n×n的对角矩阵，对角线上的元素是H的奇异值，即H的特征值的平方根。
在计算Hermite矩阵的奇异值分解时，可以采用各种数值计算方法，如Jacobi 方法、QR分解法、幂法等。
其中，Jacobi方法是一种迭代算法，通过不断地将矩阵进行相似变换，使得矩阵逐步趋于对角化。
QR分解法则通过将矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积，不断迭代直到上三角矩阵趋于对角阵。
幂法则通过将矩阵不断乘以一个向量，并将结果归一化，使得向量逐步趋向矩阵的最大特征值所对应的特征向量。
总之，Hermite矩阵的奇异值分解是一种将矩阵分解为三个矩阵乘积的方法，可以通过各种数值计算方法进行计算，得到矩阵的奇异值和对应的特征向量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
换种说法，就是矩阵 的逆等于它的复共轭 转置。由此可见，对 于这类矩阵，求逆矩 阵是十分方便的。
(1), A A
1
T
(2), det A 1
(4), if B U
nn
,
(3), AT E nn
(4), if B E nn , then AB, BA E nn
then AB, BA U nn
AH A AAH E 酉矩阵
A A AA E 正交矩阵
T T
a11 a12 a1n a a a 21 22 2n A an1 an 2 ann
定理3.1，矩阵A是酉矩阵（正交矩阵）的充要条件是A 的n个行或（列）向量都是标准正交向量。
g12 g1n g 22 g 2 n g n 2 g nn
( , ) X T GY
(GT ) G
度量矩阵
定义1.3:
复共轭转置矩阵
A A
H
T
复共轭转置矩阵性质
(1) AH AT
(2)( A B) H AH B H
i , i 1,2,, n
因此，可以分析求解内积空间的标准基的问题。
正交基，标准正交基
从线性空间的任何一组基出发，可以采用Gram-Schmidt 正交化方法构造出一个标准正交基。
目的:引入标准正交基的好处是使得度量矩阵 变为单位矩阵，在很多计算问题中可用以简化 运算。
例题：3.2.1~ 3.2.2
1, (i , j )＝ij = 0,
i j i j
零向量和任意向量正交，反之和任意向量正交的向量必 是零向量
定理2.1: 不含零向量的正交向量组是线性无关的
(1,2 , ,n ) 设： k11 +k22 ++knn＝0
( j , k11 +k22 ++knn )＝ ki ( j , i ) ＝0
s s
综合起来说，酉空间的性质均适用于欧氏空间，而欧氏 空间的性质并不完全适用于酉空间。
设V是一酉空间，它的基是 1, 2 ,, n
x1 x2 n (1 , 2 , , n ) x i 1 i i xn X
(3) ( i 1 ki i , ) i 1 ki ( i , )
s s
(4) ( , i 1 ki i ) i 1 ki ( , i )
s s
定义1.2: 设V是复数域C上的n维线性空间， 定义如下法 则，称为内积。
, V
如果有，
( , ) C
单位向量
向量的单位化
例3.1.1 ~例3.1.7
第2节 标准正交基、Schmidt 正交化方法
定义2.1:
设V是酉（欧氏）空间，对 , V 若,
( , )＝0
那么称向量 , 正交，记为
正交向量组： 向量组 i 内的向量两两正交。
在解析几何中，垂直是一个非常重要的概念。当两个向量垂直时，他们的内 积为零。在内积空间中引入了相似的概念，当两个向量的内积为零时，称这 它们为正交向量。进一步拓展，可以得到正交向量组的概念。
酉空间的性质
(1) ( , k ) k ( , )
(2) ( , ) ( , ) ( , )
(3) ( i 1 ki i , ) i 1 ki ( i , )
s s
(4) ( , i 1 ki i ) i 1 ki ( , i )
推论：设 A 是一个
n 阶幂等矩阵，则有
tr ( A) Rank ( A)
投影换
将一个空间中的向量唯一的表示为其两个互补 子空间中的向量之和，这时称其中属于某个子 空间的子向量为原向量沿其补子空间到本子空 间的投影。
定义4.2：设 S , T 是 V 的子空间， V S T ， 如果对应的操作是线 则对任意的 V 都有 性映射，就称之为投 x y, x S , y T影映射，如果对应的
标准化的过程
标准正交向量组： 若正交向量组中的向量都是单位向量 的话，则说向量组是标准正交向量。
如果一组向量不仅正交，而且自己与自己的内积为1，那么称这样 的向量组为标准正交向量组。
正交向量组的性质：
向量组 i 是正交向量组
(i , j )＝0, (i j)
向量组 i 是标准正交向量组
欧氏空间中的转置对应于酉 空间中的复共轭转置，所以， 欧氏空间中的很多定理可以 通过把转置替换为复共轭转 置的方式迁移到酉空间中去。
(7)( A) H AT if A Rmn
(3)(kA) H kAH
(4)( AB) H BH AH
(5) ( A)
H
(8)det( AH ) ?
n
( j , i )＝0(i j时) k j ( j , j )＝0
i 1
k j＝0, 即k j＝0, (j 1, 2,, n)
正交向量组线性无关 那么线性无关向量组是否正交呢？ 否
线性无关组的正交化：
(1,2 , ,r )线性无关
(1) : 1＝1
( 2 , 1 ) (2) : 2＝ 2 1 ( 1 , 1 ) ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) (3) : 3＝3 1 2 ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) ( r , 1 ) ( r , 2 ) ( r , r 1 ) (r ) : r＝ r 1 2 r 1 ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) ( r 1 , r 1 )
(1) ( , ) ( , )
(2) (k , ) k ( , ), k C (3) ( , ) ( , ) ( , )
(4) ( , ) 0, 当且仅当 0时( , )＝0
那么称V是n维复欧氏空间，简称酉空间。 复数域与实数域条件稍有区别，即引入了共轭运算。
定义3.2:酉变换、正交变换 设V是n维酉空间， 是V的线性变换，如果
, V ( ), ( ) , ，
则称 是V的酉变换。 设V是n维欧氏空间， 是V的线性变换，如果
, V ( ), ( ) , ，
则称 是V的正交变换。
(2) (k , ) k ( , ), k R
(4) ( , ) 0, 当且仅当 0时( , )＝0
那么称V是n维欧几里得空间，简称欧氏空间。
欧氏空间的性质
(1) ( , k ) k ( , ) (2) ( , ) ( , ) ( , )
H
A
det( A)
(6)( A1 )H ( AH )1, if A 0
设V是一酉空间，那么不同基下的度量矩阵之间的关系是：
1, 2 ,, n
,, n 1, 2
度量矩阵
A B
度量矩阵
, 2 ,, n ) (1, 2 ,, n ) P (1
沿 T 至 S 的投影 称 y 是 沿 S 至 T 的投影 n n S ,T : V S S ,T : V C y S ,T ( ) x S ,T ( ) x
那么称 x 是
投影映射 投影变换
操作是线性变换，就 称之为投影变换。
T
x
S
有降维的投影对应于投影映射，没有降维的投影对应 于投影变换。
非负性 齐次性 三角不等式
柯西许瓦兹三角不等式
欧氏空间，酉空间这两类空间之所以被提出，是为了将 度量概念引入线性空间中，所以需要关注度量的基本性 质。
向量的夹角、距离、单位向量
cos( , )
( , )
向量的夹角
d ( , )
向量的距离
1
1
(3) 将V的标准正交基变为标准正交基 (4) 酉变换（正交变换）在标准正交基下的矩阵表示 是酉矩阵（正交矩阵）
例题3.3.1~3.3.3
第4节幂等矩阵
简单说来就是平方等于 本身的矩阵。
幂等矩阵
定义：设 A C nn，如果 A 满足
A2 A
则称 A 是一个幂等矩阵。
这类矩阵有个特殊的性质，就是其特征值非零即1。 并且与它相关的很多矩阵也具有特殊性质，比如它 的转置，复共轭转置也都是幂等矩阵等。
B PT AP or BT PH AT P
定义1.5:
设V是酉（欧氏）空间，定义 V 长度为
( , ),
V
( , ),
长度的性质
V
(1) 0, 0 0 (2) k k , k C (3) (4) ( , )
Er 例: A O M nn r ( n r ) C , M C O
是一个分块幂等矩阵。
定理4.2： 幂等矩阵的一些性质：设
T H T
A 是幂等矩阵，那么:
H
（1）A , A , I A, I A , I A 都是幂等矩阵；
（2）A( I A) ( I A) A 0 （3） N ( A)
R( I A)
（4） Ax x 的充分必要条件是 x R( A)
（ 5） C n R( A) N ( A)
定理4.1：设 A 是一个秩为 r 的 n 阶矩阵，那么 A 为一个幂等矩阵的充分必要条件是存在 P Cnnn 使得， E O
P AP O
1
r
O
第三章 内积空间、正规矩阵、 Hermite矩阵
第1节 欧氏空间、酉空间