测量平差基础课件
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测量误差与平差(1)
1. 有界性
在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一 定的限值。 （这个限值不是固定的，与观测条件有关）
例如，某项试验中，在相同的观测条件下共观测了358个三角形
的全部内角，计算出每个三角形的和角真误差（即闭合差，三角之
和与180º之差）。分别对正、负误差按绝对值由小到大排列，然后
以d△＝3″为误差区间统计各区间的误差个数k，并计算其相对 个数（k / n，也称作频率，n＝358 ）。结果列于下表：
一般函数形式的误差传播定律：
设有一般函数:
Z f (x1, x2,, xn)
式中，x1、x2、……xn为互相独立的观测值，相应的中 误差分别为mx1、mx2、 …… mxn；Z是各观测值的函数。 经推导(教材P150），函数Z的中误差计算式为：
mZ2
(
f x1
)
2
mx21
(
f x2
)
2
mx22
2、倍乘函数：
▪ 函数表达式：
z kx
▪ 函数中误差为：
▪函数中误差为：
mZ2
m2 x1
m2 x2
m2 xn
ห้องสมุดไป่ตู้
mz k mx
3、线性函数： ▪ 函数表达式：
z k1 x1 k2 x 2 kn x n
▪ 根据误差传播律有：
mZ2
k12mx21
k22mx22
kn2
m2 xn
求观测值函数中误差的步骤
四. 精度及其衡量指标 （一）.精度的含义 精度是指一组观测误差分布的密集或离散的程度。 若分布集中，即小误差多、大误差少，则说明该组
观测值的质量好、精度高；反之，精度就低。 据此可判别下图中哪组观测精度相对较高。
在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一 定的限值。 （这个限值不是固定的，与观测条件有关）
例如，某项试验中，在相同的观测条件下共观测了358个三角形
的全部内角，计算出每个三角形的和角真误差（即闭合差，三角之
和与180º之差）。分别对正、负误差按绝对值由小到大排列，然后
以d△＝3″为误差区间统计各区间的误差个数k，并计算其相对 个数（k / n，也称作频率，n＝358 ）。结果列于下表：
一般函数形式的误差传播定律：
设有一般函数:
Z f (x1, x2,, xn)
式中，x1、x2、……xn为互相独立的观测值，相应的中 误差分别为mx1、mx2、 …… mxn；Z是各观测值的函数。 经推导(教材P150），函数Z的中误差计算式为：
mZ2
(
f x1
)
2
mx21
(
f x2
)
2
mx22
2、倍乘函数：
▪ 函数表达式：
z kx
▪ 函数中误差为：
▪函数中误差为：
mZ2
m2 x1
m2 x2
m2 xn
ห้องสมุดไป่ตู้
mz k mx
3、线性函数： ▪ 函数表达式：
z k1 x1 k2 x 2 kn x n
▪ 根据误差传播律有：
mZ2
k12mx21
k22mx22
kn2
m2 xn
求观测值函数中误差的步骤
四. 精度及其衡量指标 （一）.精度的含义 精度是指一组观测误差分布的密集或离散的程度。 若分布集中，即小误差多、大误差少，则说明该组
观测值的质量好、精度高；反之，精度就低。 据此可判别下图中哪组观测精度相对较高。
测量平差基础
§1—1观测误差当对某量进行重复观测时，就会发现，这些观测值之间往往存在一些差异。
例如，对同一段距离重复丈量若干次，量得的长度通常是互有差异。
另一种情况是，如果已经知道某几个量之间应该满足某一理论关系，但当对这几个量进行观测后，也会发现实际观测结果往往不能满足应有的理论关系。
例如，从几何上知道一平面三角形三内角之和应等于180。
，但如果对这三个内角进行观测，则三内角观测值之和常常不等于180。
，而有差异。
在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论上的应有值之间存在差异的现象，在测量工作中是普遍存在的。
为什么会产生这种差异呢?不难理解，这是由于观测值中包含有观测误差的缘故。
观测误差的产生，原因很多，概括起来有以下三方面：1．测量仪器测量工作通常是利用测量仪器进行的。
由于每一种仪器只具有一定限度的精密度，因而使观测值的精密度受到了一定的限制，例如，在用只刻有厘米分划的普通水准尺进行水准测量时，就难以保证在估读厘米以下的尾数时完全正确无误；同时，仪器本身也有一定的误差，例如，水准仪的视准轴不平行于水准轴，水准尺的分划误差等等。
因此，使用这样的水准仪和水准尺进行观测，就会使水准测量的结果产生误差。
同样，经纬仪、测距仪等的仪器误差也使三角测量、导线测量的结果产生误差。
2．观测者由于观测者的感觉器官的鉴别能力有一定的局限性，所以在仪器的安置、照准、读数等方面都会产生误差。
同时，观测者的工作态度和技术水平，也是对观测成果质量有直接影响的重要因素。
3．外界条件观测时所处的外界条件，如温度、湿度、风力、大气折光等因素都会对观测结果直接产生影响；同时，随着温度的高低，湿度的大小，风力的强弱以及大气折光的不同，它们对观测结果的影响也随之不同，因而在这样的客观环境下进行观测，就必然使观测的结果产生误差。
上述测量仪器、观测者、外界条件三方面的因素是引起误差的主要来源。
因此，我们把这三方面的因素综合起来称为观测条件。
第五章 测量误差及测量平差.
第五章 测量误差及测量平差
• §5.1 测量误差概述 • §5.2 衡量测量精度的指标 • §5.3 误差传播定律
• §5.4 等精度观测的直接平差
§5.1 测量误差概述
一、误差的现象及定义 二、误差来源 三、误差的分类
误差现象
A
距离多次丈量 三角形内角和
l1≠ l2≠ l3 , … ∠A+∠B+∠C≠180°
例如：分别丈量两段不同距离，一段为100m，
一段为200m，中误差都是0.02m。此时是否能认
为两段距离观测结果的精度相同？
• 为了更客观地反映实际测量精度，必须引入 相对误差的概念。
三、相对误差
相对误差K：中误差的绝对值 m 与相应观测值 D 之比，通常以分母为 1 的分式来表示，称其为相对 （中）误差。即:
lt l0 l (t t 0 )l0
思考： 水准仪—— i角
分析产生的主要原因：是仪器设备制造不完善。
水准仪：视准轴不平行于水准管轴（i角）
hAB
i ( S后 S前）
结论：i角误差与前后视距差成正比。
注意：系统误差具有积累性，对测量成果影响较大。
消除和削弱的方法: （1）用计算的方法加以改正；
K m D 1 D m
一般情况，角度、高差的误差用 m表示，量距误 差用K表示。 与相对误差相对应，真误差、中误 差、容许误差称为绝对误差。
[ 例 ] 已 知 ： D1=100m,
m2=±0.01m，求： K1, K2
m1=±0.01m ， D2=200m,
解：
K1 m1 D1 0.01 1 100 10000
2 y
mZ m m
2 x
• §5.1 测量误差概述 • §5.2 衡量测量精度的指标 • §5.3 误差传播定律
• §5.4 等精度观测的直接平差
§5.1 测量误差概述
一、误差的现象及定义 二、误差来源 三、误差的分类
误差现象
A
距离多次丈量 三角形内角和
l1≠ l2≠ l3 , … ∠A+∠B+∠C≠180°
例如：分别丈量两段不同距离，一段为100m，
一段为200m，中误差都是0.02m。此时是否能认
为两段距离观测结果的精度相同？
• 为了更客观地反映实际测量精度，必须引入 相对误差的概念。
三、相对误差
相对误差K：中误差的绝对值 m 与相应观测值 D 之比，通常以分母为 1 的分式来表示，称其为相对 （中）误差。即:
lt l0 l (t t 0 )l0
思考： 水准仪—— i角
分析产生的主要原因：是仪器设备制造不完善。
水准仪：视准轴不平行于水准管轴（i角）
hAB
i ( S后 S前）
结论：i角误差与前后视距差成正比。
注意：系统误差具有积累性，对测量成果影响较大。
消除和削弱的方法: （1）用计算的方法加以改正；
K m D 1 D m
一般情况，角度、高差的误差用 m表示，量距误 差用K表示。 与相对误差相对应，真误差、中误 差、容许误差称为绝对误差。
[ 例 ] 已 知 ： D1=100m,
m2=±0.01m，求： K1, K2
m1=±0.01m ， D2=200m,
解：
K1 m1 D1 0.01 1 100 10000
2 y
mZ m m
2 x
(测量平差课件)第6章第1讲(点位误差)
E
2 2 x 2 c 2 ( o E ) s y 2 s 2 ( i n E ) x s y 2 i 2 n E )(
x2(co2sco2sEsi2nsi2nE12si2nsi2nE)
y2(si2nco2sEco2 s si2nE12si2nsi2nE) xy(si2nco2sEco2 s si2nEsi2nsi2nE)
Q xc x 2 o sQ ys y 2 in Q xs y 2 in
p
p
2 02Q
p
0 2 (Q xc x 2 o Q sys y2 in Q xs y 2 i) n
y
任意方向上的位差
ˆ 2 ˆ0 2 ( Q xc x2 o Q s ys y2 i n Q xs y2 i) n
6.2 点位误差
三、位差的极大值 E和极小值 F
ˆ 2 ˆ0 2 ( Q xc x2 o Q s ys y2 i n Q xs y2 i) n
d d(Q xc x 2 o s Q ys y 2 in Q xs y i2n ) 0 0
2 Q x c x0 o s0 i s 2 Q n y c y0 o s0 i s 2 Q n x c y 2 o 0 0 s
（2）简便方法: c2 o0 s1 c22 o0s ,s2 in 0 1 c22 o0s
Q ( Q x1 x c 2 2 o 0 s Q y1 y c 2 2 o 0 s Q xs y2 i0 ) n 1 2 ( Q x x Q y) y ( Q x x Q y) y c2 o 0 s 2 Q xs y2 i0 n
点位方差
2 xPE [x ˆ(PE (x ˆP)2 )]E [x ˆ(Px ~ P)2]E [ 2 x]
测量平差第八章
• 令:
V T PV 2K T ( AV Bx转 W置) 后2K得ST (Cx WX )
x
2K
T
B
2K
T S
C
0
V QAT K
2V T P 2K T A 0 V
BT K CT KS 0
§8.2 基础方程和它的解
• 于是统一平差模型的基础方程为
(1) A V B xW 0
• 令:
V T
PV
2K T
( AV
B转x置 W后) 得2K
T S
(Cx
WX
)
x
2K
T
B
2K
T S
C
0
V QAT K
2V T P 2K T A 0 V
BT K CT KS 0
§8.2 基础方程和它的解
• 或者
N aa
cc
BT
uc
0
sc
B
cu
0
uu
C
su
0
cs
CT
us
0
ss
K
cn n1 cu u1 c1 c1
(2)
C
su
x
u1
WX
s1
0 s1
(3) V Q AT K n,1 n,n n,c c,1
(4) BT u,c
K CT
c,1 u,s
Ks
s1
0
u ,1
§8.2 基础方程和它的解
• （3）、若选u<t，且未知数参数独立，条件方程中含
未知参数x ，线性形式为A V B x。W 这0时基础方程（2）
多只能列出t个函数独立的参数。在不选择参数时，
一般条件方程数c等于多余观测数 ，r 若n又t选用了
测量平差-获奖课件
2 X1
D XX
2 X
2
X1
2 X
n
X1
2 X1X 2
2 X2
2 XnX2
2 X1X n
2 X2Xn
2 Xn
若有X旳t个函数：
z1
Z
t1
z2
KX
K0
zt
k11 k12
K
tn
k21
k22
kt1 kt 2
1n
k2n
ktn
k10
K0
k20
t1 kt0
DZZ
1
xe
(
x)2 2 2
dx
2
数学期望旳传播规律：
常数c旳数学期望为E（c）=c
随机变量X乘以常数c，则有 ECX CEX
随机变量X1, X 2,, X之n 和旳数学期望为
EX1 X2 Xn EX1 EX2 EXn
相互独立旳随机变量 X1, X 2，，X 之n 积旳数学期望为：
二、协因数传播律
Y FX F 0 Z KX K 0
由协方差传播律得：
DYY F DXX F T DZZ K DXX K T DYZ F DXX K T
2 0
DYY
F
2 0
DXX
FT
2 0
DZZ
K
2 0
DXX
KT
2 0
DYZ
F
2 0
DXX
KT
即：
QYY F QXX F T QZZ K QXX K T QYZ F QXX K T
例4：设有函数， Z t ,1
F1
t,n
X
n,1
F1
t,r
误差理论与测量平差基础
0
令
N bb
BT
N
1 aa
B
误差理论与测量平差基础
则
xˆ
N
1 bb
(C
T
K
S
We )
(5)
将(5)式代入(1)式的第二式，得
CN bb1C T K S
CN
W 1
bb e
Wx
0
因为
Ncc
CN
C 1
bb
T
为满秩方阵，所以
KS
N
1 cc
(Wx
CN
W 1
bb e
)
将（6）式代入（5）式，得
（6）
xˆ
(
N
1 bb
N bb1C T
N
cc1CN
1 bb
)We
N bb1C T
N
W 1
cc x
（7）
按（7）式求出参数估值后，将（4）式代入（2）式，得
V
P
1
AT
N
1 aa
(W
Bxˆ)
误差理论与测量平差基础
三、精度评定
LL
ˆ
2 0
V T PV r
V T PV cus
N
cc1CN
1 bb
B
T
N
1 aa
A
QLL
AT
N
cc1CN
1 bb
B
T
QKS Xˆ
N
cc1CN
1 bb
BT
N
1 aa
AQLL
测量平差误差理论的基本知识
5
0.014
2
0.006
0
0
177
0.495
误差绝对值
个数 （k）
相对个数（k/n）
91
0.254
81
0.226
66
0.184
44
0.123
33
0.092
26
0.073
11
0.031
6
0.017
0
0
358
1.000
①在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限度;（有界性）
②绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机 会要多；（密集性）
极限误差的作用： 区别误差和错误的界限。
第四节 误差传播定律及应用
在实际工作中，有许多未知量 不是直接观测的，而是通过观测值 计算出来的，观测值中误差与观测 函数中误差之间的关系定律，称为 误差传播定律。
倍数函数
函数形式：
Z=kx
式中Z为观测值的函数，k为常数（无误差），x为观测值
中误差关系式：
3.2
m1 ，m2说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
相对误差
相对误差K 是中误差的绝对值m与相应 观测值D之比，通常以分子为1的分式 来表
示，称其为相对（中）误差。即:
m
K
1
D
D
m
一般情况 :角度测量没有相对误差，只有距 离测量才用相对误差来评定。
[ 例 ] 已 知 ： D1=100m, m1=±0.01m ， D2=200m, m2=±0.01m，求： K1, K2 解：
因为A、B两点间的高差等于各测站的观测 高差之和，即：hAB=h1+h2+…+hn
《平差数学模型》PPT课件
一般而言，如果某一平差问题中,观测值
个数为n，必要观测个数为t，多余
观 测 个 数 为 r=n-t ， 再 增 选 u 个 独 立
参 数 ， u=t ， 则 总 共 应 列 出
c=r+u=n 个 函 数 关 系 式 ， 其 一 般 形
式为
L~ F(X~)
n1
或：
L~BX~d
n1 nt t1 n1
将 L ~L代入上式，并令
则：
l Ld
BX~l
n1 nt t1 n1
上式就是间接平差的函数模型。
03.02.2021 8
第二节 测量平差的数学模型
一、函数模型
L~ F(X~)
4. 附有条件的间接平差法
n1(X~) 0
如果在某平差问题中，选取u>t个参数，线性形式的S1函数模型为
其中包含t个独立参数，则多选的 s=u- t个参数必定是t个独立参数 的函数，即在u个参数之间存在着s 个函数关系式。方程的总数
产生矛盾
平差
求改正数V
L1L2L3180
消除矛盾
Lˆi Li Vi
“观测值估值” （又叫平差值、 最或是值、最 或然值）来代 替观测值
我们把按照某一准则求得观测值新的 一组最优估值的计算过程叫平差。
V称为观测值的改 正数
03.02.2021 5
第二节 测量平差的数学模型
• 在科学技术领域，通常对研究对象
7
第二节 测量平差的数学模型
一、函数模型
3. 间接平差法
参选数择几X~ 何，模将型每中一t个个观独测立量量表为达平成差 u 1
所选参数的函数，共列出 r+u=r+t=n个这种函数关系式，以 此作为平差的函数模型的平差方法 称为间接平差。（见例子）
测量平差教学课件PPT
实用文档
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
• 3、精确度： • 描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，
精确度可用观测值的均方误差来描述，即：
• 当 时，即观测值中不存在系统误差，亦即 观测值中只存在偶然误差时，均方误差就 等于方差，此时精确度就是精度。
ZX,则 Z的方D 差 ZZ阵 D XX为 D XY
Y
D YX D YY
其中：DXY =E 为[XX 关(于u Y的X)互Y 协( 方u 差Y阵)T]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1y1
DXY
x2
y1
...
xn y1
x1y2
...
x2 y2
...
... ...
xn y2
...
实用文档
x1yr
x2 yr
...
（correlation observation） 实用文档
Chapter 3. spread of covariance
一、观测值线性函数的方差 +两观测值线性函数的协方差 设观测向量L及其期望和方差为：
实用文档
Chapter 3. spread of covariance
实用文档
Chapter 3. spread of covariance
5直接应用协方差传播律得出所求问题的方差协方差矩阵第三章协方差传播律八权及定权的常用方法权的概念一定的观测条件对应着一定的误差分布而一定的误差分布就对应着一个确定的方差方差是表征精度的一个绝对的数字指标为了比较各观测值之间的精度除了可以应用方差之外还可以通过方差之间的比例关系来衡量观测值之间的精度的高低这种表示各观测值方差之间的比例关系的数字特征成为权所以权是表征精度的相对的数字指标第三章协方差传播律权的概念权是权衡轻重的意思其应用比较广泛应用到测量上可作为衡量精度的标准如有一组观测值是等精度的那么在平差时应该将他们同等对待因此说这组观测值是等权的而对于一组不等精度的观测值在平差时就不能等同处理容易理解精度高的观测值在平差结果中应占较大的比重或者说应占较大的权所以平差时对于一组不等精度的观测值应给予不同的权
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
• 3、精确度： • 描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，
精确度可用观测值的均方误差来描述，即：
• 当 时，即观测值中不存在系统误差，亦即 观测值中只存在偶然误差时，均方误差就 等于方差，此时精确度就是精度。
ZX,则 Z的方D 差 ZZ阵 D XX为 D XY
Y
D YX D YY
其中：DXY =E 为[XX 关(于u Y的X)互Y 协( 方u 差Y阵)T]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1y1
DXY
x2
y1
...
xn y1
x1y2
...
x2 y2
...
... ...
xn y2
...
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x1yr
x2 yr
...
（correlation observation） 实用文档
Chapter 3. spread of covariance
一、观测值线性函数的方差 +两观测值线性函数的协方差 设观测向量L及其期望和方差为：
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Chapter 3. spread of covariance
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Chapter 3. spread of covariance
5直接应用协方差传播律得出所求问题的方差协方差矩阵第三章协方差传播律八权及定权的常用方法权的概念一定的观测条件对应着一定的误差分布而一定的误差分布就对应着一个确定的方差方差是表征精度的一个绝对的数字指标为了比较各观测值之间的精度除了可以应用方差之外还可以通过方差之间的比例关系来衡量观测值之间的精度的高低这种表示各观测值方差之间的比例关系的数字特征成为权所以权是表征精度的相对的数字指标第三章协方差传播律权的概念权是权衡轻重的意思其应用比较广泛应用到测量上可作为衡量精度的标准如有一组观测值是等精度的那么在平差时应该将他们同等对待因此说这组观测值是等权的而对于一组不等精度的观测值在平差时就不能等同处理容易理解精度高的观测值在平差结果中应占较大的比重或者说应占较大的权所以平差时对于一组不等精度的观测值应给予不同的权
测量平差基础(修改)
cm1
cm2
cmn
将其行列互换，得到一个nm阶矩阵，称为C的转置。
用：
c11 c21 cn1
CT c12
c22
cn
2
nm
c1n
c2n
cnm
矩阵转置的性质：
(1)C DT ,则：D CT (2)( AT )T A (3)( A B)T AT BT (4)(kA)T kAT (5)( AB)T BT AT
L3=180°－L1－L2
L1
（2）观测了三角形三内角L1、L2、L3， 由于有误差，一般情况下：
L1+L2+L3≠180°
L2
存在闭合差（观测值与理论值之差）
L3
w=L1+L2+L3－180°
出现了三角形三内角观测值之和不等于
180°的矛盾。
那么，这些观测值之间的矛盾是怎么产生的呢？我们又如何 来解决这些矛盾呢？
（6）若 AT A 则A为对称矩阵。
三、矩阵的逆
给定一个n阶方阵 A，若存在一个同阶方阵 B，使AB=BA=I（E），称B为A的逆矩阵。 记为：
B A1
A矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是A的 行列式不等于0，称A为非奇异矩阵，否 则为奇异矩阵
矩阵的逆的性质
(1)( AB)1 B1A1 (2)( A1)1 A
2．提出了相关平差 3．产生了顾及随机参数的最小二乘方法即最小二乘滤 波，
推估和配置。 4．形成了秩亏自由网平差理论 5．出现后验定权方法，形成了方差－协方差估计理论。 6．展开了对系统误差特性、传播、检验、分析的理论研究。 7．展开了数据探测法和可靠性理论的研究，提出了稳健估
测量平差知识大全
➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。
一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。
二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差定义，例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。
因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。
例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
测量学 第五章 测量误差及测量平差
第五章 测量误差及测量平差§5.1 测量误差概述一、测量误差的概念某量的各测量值相互之间或观测值与理论值之间的往往存在着某些差异，说明观测中存在误差。
观测值与真值之差称为测量误差，也叫真误差。
X l i i -=∆ （i =1、2、……、n ） X 为真值。
二、研究测量误差的目的分析测量误差的产生原因、性质和积累规律；正确地处理测量成果，求出最可靠值；评定测量结果的精度；为选择合理的测量方法提供理论依据。
三、测量误差产生的原因1.测量仪器因素2.观测者的因素3.外界条件的因素测量观测条件——测量仪器、观测人员和外界条件这三方面的因素综合起来称为测量观测条件。
等精度观测——测量观测条件相同的各次观测称为等精度观测。
非等精度观测——测量观测条件不相同的各次观测称为非等精度观测。
四、测量误差的分类1.系统误差在相同的观测条件下对某量作一系列观测，如果误差的大小、符号表现出系统性，或按一定的规律变化，或保持不变，这种误差称为系统误差。
其特点：具有累积性，但可以采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。
2.偶然误差在相同的观测条件下对某量作一系列观测，如果误差的大小和符号不定，表面上没有规律性，但实际上服从于一定的统计规律性，这种误差称为偶然误差。
偶然误差单个的出现上没有规律性，不能采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。
因此，观测结果中偶然误差占据了主要地位，是偶然误差影响了观测结果的精确性。
五、减少测量误差的措施对系统误差，通常采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。
对偶然误差，通常采用多余观测来减少误差，提高观测成果的质量。
§5.2 偶然误差的特性一、精度的含义1.准确度准确度是指在对某一个量的多次观测中，观测值对该量真值的偏离程度。
2.精密度精密度是指在对某一个量的多次观测中，各观测值之间的离散程度。
3.精度精度也就是精确度，是评价观测成果优劣的准确度与精密度的总称，表示测量结果中系统误差与偶然误差的综合影响的程度。
《误差理论与测量平差基础》第八章
ˆ) ˆ Φ( X
dΦ ˆ ˆ ˆ d F T dX ˆ dX dX 0
—— 权函数式！
Φ FT ˆ X 1 Φ Φ ˆ ˆ X X 2 u 0
其中：
1 1 T 1 1 QX ˆX ˆ N BB N BBC NCC CN BB
u ,u u ,1 u ,s s ,1 u ,1
代入 ④ 得：
u ,1 1 1 T 1 1 1 T 1 ˆ ( N BB x N BB C N CC CN BB )Wl N BB C N CC Wx
④ ⑤
ˆ l B x 代入 ① 得：V n ,u u ,1 n ,1 n ,1
二、示例
n = 18 t = 2 × 5 – 2 = 8 u = 2×5 = 10 限制条件方程个数： s = u – t = 2
方程总数 C = r + u = n + s = 20
误差方程数：n = 18 = c – s 详见课本 P165-169
1
1 1
§8.3 公式汇编和示例
一、公式汇编 1.函数模型：
ˆl VB x
n ,1 n ,u u ,1 n ,1
3.参数的解：
u ,1 1 1 T 1 1 1 T 1 ˆ ( N BB x N BB C N CC CN BB )Wl N BB C N CC Wx
1 T 1 QX ˆLeabharlann ˆ Wl N BBC NCCWx
§8.3 公式汇编和示例
ˆ) ˆ Φ( X
ˆ ˆ F T dX d
Φ Φ Φ FT ˆ X ˆ ˆ 1,u X X 2 u 0 1
T Q ˆ ˆ F QX ˆX ˆF
dΦ ˆ ˆ ˆ d F T dX ˆ dX dX 0
—— 权函数式！
Φ FT ˆ X 1 Φ Φ ˆ ˆ X X 2 u 0
其中：
1 1 T 1 1 QX ˆX ˆ N BB N BBC NCC CN BB
u ,u u ,1 u ,s s ,1 u ,1
代入 ④ 得：
u ,1 1 1 T 1 1 1 T 1 ˆ ( N BB x N BB C N CC CN BB )Wl N BB C N CC Wx
④ ⑤
ˆ l B x 代入 ① 得：V n ,u u ,1 n ,1 n ,1
二、示例
n = 18 t = 2 × 5 – 2 = 8 u = 2×5 = 10 限制条件方程个数： s = u – t = 2
方程总数 C = r + u = n + s = 20
误差方程数：n = 18 = c – s 详见课本 P165-169
1
1 1
§8.3 公式汇编和示例
一、公式汇编 1.函数模型：
ˆl VB x
n ,1 n ,u u ,1 n ,1
3.参数的解：
u ,1 1 1 T 1 1 1 T 1 ˆ ( N BB x N BB C N CC CN BB )Wl N BB C N CC Wx
1 T 1 QX ˆLeabharlann ˆ Wl N BBC NCCWx
§8.3 公式汇编和示例
ˆ) ˆ Φ( X
ˆ ˆ F T dX d
Φ Φ Φ FT ˆ X ˆ ˆ 1,u X X 2 u 0 1
T Q ˆ ˆ F QX ˆX ˆF
《测量平差基础》课件
平差模型
平差模型是描述测量数据与未知参数之间关系的数学模型，通过建立 合适的平差模型，可以对测量数据进行处理和分析。
参数估计
平差中的参数估计是通过对测量数据的处理和分析，求解出未知参数 的最估计值的方法。
误差传播
平差中的误差传播是研究误差对测量结果的影响，以及如何减小误差 的方法。
02
测量误差理论
误差的来源与分类
来源
仪器误差、观测者误差、外界条件误差
分类
系统误差、偶然误差、粗差
误差的传播与处理
误差传播定律
描述观测值之间误差关系的规律
误差处理方法
消除法、替代法、组合法
《测量平差基础》ppt课件
目 录
• 测量平差基础概述 • 测量误差理论 • 平差计算方法 • 平差应用实例 • 平差软件介绍
01
测量平差基础概述
平差的概念与意义
平差的概念
平差是通过对测量数据的处理，消除 或减小误差，提高测量精度的方法。
平差的意义
通过对测量数据的平差处理，可以提 高测量成果的可靠性和精度，为各种 工程和科学研究提供准确的数据支持 。
平差的分类与目的
平差的分类
根据处理方法和目的的不同，平差可 以分为多种类型，如参数平差、条件 平差、最小二乘法平差等。
平差的目的
平差的主要目的是减小或消除测量误 差，提高测量精度，确保测量成果的 可靠性和准确性。
平差的基本原理
数学基础
平差的基本原理基于数学中的最小二乘法、线性代数和概率统计等知 识。
平差模型是描述测量数据与未知参数之间关系的数学模型，通过建立 合适的平差模型，可以对测量数据进行处理和分析。
参数估计
平差中的参数估计是通过对测量数据的处理和分析，求解出未知参数 的最估计值的方法。
误差传播
平差中的误差传播是研究误差对测量结果的影响，以及如何减小误差 的方法。
02
测量误差理论
误差的来源与分类
来源
仪器误差、观测者误差、外界条件误差
分类
系统误差、偶然误差、粗差
误差的传播与处理
误差传播定律
描述观测值之间误差关系的规律
误差处理方法
消除法、替代法、组合法
《测量平差基础》ppt课件
目 录
• 测量平差基础概述 • 测量误差理论 • 平差计算方法 • 平差应用实例 • 平差软件介绍
01
测量平差基础概述
平差的概念与意义
平差的概念
平差是通过对测量数据的处理，消除 或减小误差，提高测量精度的方法。
平差的意义
通过对测量数据的平差处理，可以提 高测量成果的可靠性和精度，为各种 工程和科学研究提供准确的数据支持 。
平差的分类与目的
平差的分类
根据处理方法和目的的不同，平差可 以分为多种类型，如参数平差、条件 平差、最小二乘法平差等。
平差的目的
平差的主要目的是减小或消除测量误 差，提高测量精度，确保测量成果的 可靠性和准确性。
平差的基本原理
数学基础
平差的基本原理基于数学中的最小二乘法、线性代数和概率统计等知 识。
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测量平差基础课件
测量误差与数据处理
2
物理实验基本程序和要求
1.实验课前预习
(1)预习与本实验相关的全部内容。 (2)写出预习报告（实验题目、目的、原理、
主要计算公式、原理简图）,准备原始实验 数据记录表格。
2.课堂实验操作
(1)上课需带实验讲义、笔、尺、计算器等。 (2)必须在了解仪器的工作原理、使用方法、 注意事项的基础上，方可进行实验。
22
总面积=1
23
三、测量结果最佳值—算术平均值
多次测量求平均值可以减小随机误差
x1 nn i 1 Nhomakorabeaxi
算术平均值是真值的最佳估计值
24
§3 实验中错误数据的剔除
1. 拉依达判据
• 对于服从正态分布的随机误差，出现在 ±S区间内概率为68.3%，与此相仿，同 样可以计算，在相同条件下对某一物理 量进行多次测量，其任意一次测量值的 误差落在 -3S到+3S区域之间的可能性 （概率）。其值为
3
(3)仪器安装调试后经教师检查无误后方可进 行实验操作。
(4)注意观察实验现象，认真记录测量数据， 将数据填入实验记录表格,数据须经指导老师
检查及签字。 (5)实验后请将使用的仪器整理好，归回原处。
经教师允许后方可离开实验室。 (6)课后按要求完成实验报告,并在下次实验时
交来。
4
第一章 目 录
1、真值：待测量客观存在的值
真值
(绝对)误差：xxx0
测量值
相对误差:
Ex
x 100%
x0
10
• 相对误差常用百分比. 表示。它表示绝对 误差在整个物理量中所占的比重，它是 无单位的一个纯数，所以既可以评价量 值不同的同类物理量的测量，也可以评 价不同物理量的测量，从而判断它们之 间优劣。如果待测量有理论值或公认值， 也可用百分差来表示测量的好坏。即:
(xi x)2 n1
21
2.标准偏差的物理含义
S x 的物理意义:
Sx
(xi x)2 n1
作任一次测量，随机误差落在区
间(Sx,的Sx概)率为 6。8.3%
P ( 2Sxx2Sx)0.954
P ( 3Sxx3Sx)0.997
S小x ，小误差占优，数据集中，重复性好。 S x 大，数据分散，随机误差大，重复性差。
f (x)
随机误差介于 [x,xd(x)]
小区间内的概率为：
f(x)d(x)
随机误差介于区间
-a 0 a x
(-a,a)内的概率为
a
P(axa)f(x)d(x) a
(-a,a)为置信区间、P为置信概率 17
f (x)
满足归一化条件
总面积=1
f (x)d(x)1
可以证明：
0
x
P ( x)f(x)dx ()0.683
P ( 2 x2 )0.9543
P ( 3 x3 )0 .997极限误差
18
19
正态分布特征：
f (x)
①单峰性
②对称性
③有界性
④抵偿性
0
x
即
1 lim n n
n i1
xi
0
20
二、随机误差估算—标准偏差
误差：xi xi x0 偏差：xi xi x
标准偏差：
xi2 (n)
n
标准误差
Sx
德拉作为基本单位，其他物理量（如力、能
量、电压、磁感应强度等）均作为这些基本单
位的导出单位。
7
2.测量的分类
按方法分类： • 直接测量
• 间接测量
按条件分类：
√ • 等精度测量
• 非等精度测量
8
直接测量 L3.15cm
测量
数值 单位
间接测量
m r 2h
L3.15
9
二、误差 任何测量结果都有误差！
26
2.肖维勒准则
• 对于服从正态分布的测量结果，其偏差出现在±3S附 近的概率已经很小，如果测量次数不多，偏差超过 ±3S几乎不可能，因而，用拉依达判据剔除疏失误差 时，往往有些疏失误差剔除不掉。另外，仅仅根据少 量的测量值来计算S，这本身就存在不小的误差。因此
当测量次数不多时，不宜用拉依达判据，但可以用肖 维勒准则。按此判据给出一个数据个数n相联系的
3S
P (3S,3S) f( x)d x9.79 % 3 S
25
• 如果用测量列的算术平均替代真值，则
测量列中约有99.7%的数据应落在区间
内，如果有数据出现在此区间之外，则 我们可以认为它是错误数据，这时我们
应把它 舍去，这样以标准偏差Sx的3倍
为界去决定数据的取舍就成为一个剔除 坏数据的准则，称为拉依达准则。但要 注意的是数据少于10个时此准则无效。
13
3、测量的精密度、准确度、精确度
1）精密度。表示重复测量所得数据的相互 接近程度（离散程度）。
2）准确度，表示测量数据的平均值与真值 的接近程度。
。 3）精确度。是对测量数据的精密度和准确
度的综合评定。
14
• 以打靶为例来比较说明精密度、准确度、精确度三者
之间的关系。图中靶心为射击目标，相当于真值，每
第1节 测量与误差 第2节 随机误差的处理 第3节 实验错误数据的剔除 第4节 测量不确定度及估算 第5节 有效数字及运算规则 第6节 实验数据处理基本方法
5
§1 测量与误差
一、测量
1、测量的含义 • 测量就是借助仪器将待测量与同类标准量进行比
较，确定待测量是该同类单位量的多少倍的过程 称作测量。测量数据要写明数值的大小和计量单 位。
次测量相当于一次射击。
（a）准确度高、 精密度低
（b）精密度高、 （c）精密度、准确
准确度低
度均高
15
§2 随机误差的处理 一、随机误差的正态分布规律
大量的随机误差服从正态分布规律
误差 xxx0
f ( x)
概率密度函数
f (x) 1 e2x22 2
标准误差
lim
xi2
n n
0
x
正态分布
16
f (x)的物理意义:
• 倍数→ 读数+单位→数据
• 测量的要素：对象，单位，方法，准确度。
6
• 在人类的发展历史上，不同时期，不同的国家， 乃至不同的地区，同一种物理量有着许多不同 的计量单位。如长度单位就分别有码、英尺、 市尺和米等。为了便于国际交流，国际计量大 会于1960年确定了国际单位制（SI），它规定 了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎
系数Gn，当已知数据个数n，算术平均值和测量列标准
百分 E0测 差公 量 公 认 值 认 值 1值 0% 0
11
2、误差的分类
系统误差 恒定性
可用特定方法来消除或减小
随机误差 随机性
可通过多次测量来减小
12
系统误差 保持不变或以可预知方式变化的误差分量 来源:①仪器固有缺陷;
②实验理论近似或方法不完善； ③实验环境、测量条件不合要求； ④操作者生理或心理因素。
测量误差与数据处理
2
物理实验基本程序和要求
1.实验课前预习
(1)预习与本实验相关的全部内容。 (2)写出预习报告（实验题目、目的、原理、
主要计算公式、原理简图）,准备原始实验 数据记录表格。
2.课堂实验操作
(1)上课需带实验讲义、笔、尺、计算器等。 (2)必须在了解仪器的工作原理、使用方法、 注意事项的基础上，方可进行实验。
22
总面积=1
23
三、测量结果最佳值—算术平均值
多次测量求平均值可以减小随机误差
x1 nn i 1 Nhomakorabeaxi
算术平均值是真值的最佳估计值
24
§3 实验中错误数据的剔除
1. 拉依达判据
• 对于服从正态分布的随机误差，出现在 ±S区间内概率为68.3%，与此相仿，同 样可以计算，在相同条件下对某一物理 量进行多次测量，其任意一次测量值的 误差落在 -3S到+3S区域之间的可能性 （概率）。其值为
3
(3)仪器安装调试后经教师检查无误后方可进 行实验操作。
(4)注意观察实验现象，认真记录测量数据， 将数据填入实验记录表格,数据须经指导老师
检查及签字。 (5)实验后请将使用的仪器整理好，归回原处。
经教师允许后方可离开实验室。 (6)课后按要求完成实验报告,并在下次实验时
交来。
4
第一章 目 录
1、真值：待测量客观存在的值
真值
(绝对)误差：xxx0
测量值
相对误差:
Ex
x 100%
x0
10
• 相对误差常用百分比. 表示。它表示绝对 误差在整个物理量中所占的比重，它是 无单位的一个纯数，所以既可以评价量 值不同的同类物理量的测量，也可以评 价不同物理量的测量，从而判断它们之 间优劣。如果待测量有理论值或公认值， 也可用百分差来表示测量的好坏。即:
(xi x)2 n1
21
2.标准偏差的物理含义
S x 的物理意义:
Sx
(xi x)2 n1
作任一次测量，随机误差落在区
间(Sx,的Sx概)率为 6。8.3%
P ( 2Sxx2Sx)0.954
P ( 3Sxx3Sx)0.997
S小x ，小误差占优，数据集中，重复性好。 S x 大，数据分散，随机误差大，重复性差。
f (x)
随机误差介于 [x,xd(x)]
小区间内的概率为：
f(x)d(x)
随机误差介于区间
-a 0 a x
(-a,a)内的概率为
a
P(axa)f(x)d(x) a
(-a,a)为置信区间、P为置信概率 17
f (x)
满足归一化条件
总面积=1
f (x)d(x)1
可以证明：
0
x
P ( x)f(x)dx ()0.683
P ( 2 x2 )0.9543
P ( 3 x3 )0 .997极限误差
18
19
正态分布特征：
f (x)
①单峰性
②对称性
③有界性
④抵偿性
0
x
即
1 lim n n
n i1
xi
0
20
二、随机误差估算—标准偏差
误差：xi xi x0 偏差：xi xi x
标准偏差：
xi2 (n)
n
标准误差
Sx
德拉作为基本单位，其他物理量（如力、能
量、电压、磁感应强度等）均作为这些基本单
位的导出单位。
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2.测量的分类
按方法分类： • 直接测量
• 间接测量
按条件分类：
√ • 等精度测量
• 非等精度测量
8
直接测量 L3.15cm
测量
数值 单位
间接测量
m r 2h
L3.15
9
二、误差 任何测量结果都有误差！
26
2.肖维勒准则
• 对于服从正态分布的测量结果，其偏差出现在±3S附 近的概率已经很小，如果测量次数不多，偏差超过 ±3S几乎不可能，因而，用拉依达判据剔除疏失误差 时，往往有些疏失误差剔除不掉。另外，仅仅根据少 量的测量值来计算S，这本身就存在不小的误差。因此
当测量次数不多时，不宜用拉依达判据，但可以用肖 维勒准则。按此判据给出一个数据个数n相联系的
3S
P (3S,3S) f( x)d x9.79 % 3 S
25
• 如果用测量列的算术平均替代真值，则
测量列中约有99.7%的数据应落在区间
内，如果有数据出现在此区间之外，则 我们可以认为它是错误数据，这时我们
应把它 舍去，这样以标准偏差Sx的3倍
为界去决定数据的取舍就成为一个剔除 坏数据的准则，称为拉依达准则。但要 注意的是数据少于10个时此准则无效。
13
3、测量的精密度、准确度、精确度
1）精密度。表示重复测量所得数据的相互 接近程度（离散程度）。
2）准确度，表示测量数据的平均值与真值 的接近程度。
。 3）精确度。是对测量数据的精密度和准确
度的综合评定。
14
• 以打靶为例来比较说明精密度、准确度、精确度三者
之间的关系。图中靶心为射击目标，相当于真值，每
第1节 测量与误差 第2节 随机误差的处理 第3节 实验错误数据的剔除 第4节 测量不确定度及估算 第5节 有效数字及运算规则 第6节 实验数据处理基本方法
5
§1 测量与误差
一、测量
1、测量的含义 • 测量就是借助仪器将待测量与同类标准量进行比
较，确定待测量是该同类单位量的多少倍的过程 称作测量。测量数据要写明数值的大小和计量单 位。
次测量相当于一次射击。
（a）准确度高、 精密度低
（b）精密度高、 （c）精密度、准确
准确度低
度均高
15
§2 随机误差的处理 一、随机误差的正态分布规律
大量的随机误差服从正态分布规律
误差 xxx0
f ( x)
概率密度函数
f (x) 1 e2x22 2
标准误差
lim
xi2
n n
0
x
正态分布
16
f (x)的物理意义:
• 倍数→ 读数+单位→数据
• 测量的要素：对象，单位，方法，准确度。
6
• 在人类的发展历史上，不同时期，不同的国家， 乃至不同的地区，同一种物理量有着许多不同 的计量单位。如长度单位就分别有码、英尺、 市尺和米等。为了便于国际交流，国际计量大 会于1960年确定了国际单位制（SI），它规定 了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎
系数Gn，当已知数据个数n，算术平均值和测量列标准
百分 E0测 差公 量 公 认 值 认 值 1值 0% 0
11
2、误差的分类
系统误差 恒定性
可用特定方法来消除或减小
随机误差 随机性
可通过多次测量来减小
12
系统误差 保持不变或以可预知方式变化的误差分量 来源:①仪器固有缺陷;
②实验理论近似或方法不完善； ③实验环境、测量条件不合要求； ④操作者生理或心理因素。