1.3计算机中的浮点数表示
浮点数在计算机中是如何表示的
浮点数在计算机中是如何表⽰的话题：浮点数在计算机中是如何表⽰的？回答：浮点数浮点数是属于有理数中某特定⼦集的数的数字表⽰，在计算机中⽤以近似表⽰任意某个实数。
具体的说，这个实数由⼀个整数或定点数（即尾数）乘以某个基数（计算机中通常是2）话题：浮点数的解释回答：浮点数是属于有理数中某特定⼦集的数的数字表⽰，在计算机中⽤以近似表⽰任意某个实数。
具体的说，这个实数由⼀个整数或定点数（即尾数）乘以某个基数（计算机中通常是2）的整数次幂得到，这种表⽰⽅法类似于基数为10的科学记数法。
浮点计算是指浮点数参与的运算，这种运算通常伴随着因为⽆法精确表⽰⽽进⾏的近似或舍⼊。
⼀个浮点数a由两个数m和e来表⽰：a = m * b^e。
在任意⼀个这样的系统中，我们选择⼀个基数b（记数系统的基）和精度p（即使⽤多少位来存储）。
m（即尾数）是形如±d.dddddd的p位数（每⼀位是⼀个介于0到b-1之间的整数，包括0和b-1）。
如果m的第⼀位是⾮0整数，m称作格化的。
有⼀些描述使⽤⼀个单独的符号位（s +或者-）来表⽰正负，这样m必须是正的。
e是指数。
这种设计可以在某个固定长度的存储空间内表⽰定点数⽆法表⽰的更⼤范围的数。
例如，⼀个指数范围为±4的4位⼗进制浮点数可以⽤来表⽰43210,4.321或0.0004321，但是没有⾜够的精度来表⽰432.123和43212.3（必须近似为432.1和43210）。
当然，实际使⽤的位数通常远⼤于4。
此外，浮点数表⽰法通常还包括⼀些特别的数值：+∞和−∞（正负⽆穷⼤）以及NaN('Not a Number')。
⽆穷⼤⽤于数太⼤⽽⽆法表⽰的时候，NaN则指⽰作或者⽆法定义的结果。
众所知，计算机中的所有数据都是以⼆进制表⽰的，浮点数也不例外。
然⽽浮点数的⼆进制表⽰法却不像定点数那么简单了。
先澄清⼀个概念，浮点数并不⼀定等于⼩数，定点数也并不⼀定就是整数。
浮点数在计算机中的表示法
浮点数1.什么是浮点数在计算机系统的发展过程中，曾经提出过多种方法表达实数。
典型的比如相对于浮点数的定点数（Fixed Point Number）。
在这种表达方式中，小数点固定的位于实数所有数字中间的某个位置。
货币的表达就可以使用这种方式，比如 99.00 或者 00.99 可以用于表达具有四位精度（Precision），小数点后有两位的货币值。
由于小数点位置固定，所以可以直接用四位数值来表达相应的数值。
SQL 中的 NUMBER 数据类型就是利用定点数来定义的。
还有一种提议的表达方式为有理数表达方式，即用两个整数的比值来表达实数。
定点数表达法的缺点在于其形式过于僵硬，固定的小数点位置决定了固定位数的整数部分和小数部分，不利于同时表达特别大的数或者特别小的数。
最终，绝大多数现代的计算机系统采纳了所谓的浮点数表达方式。
这种表达方式利用科学计数法来表达实数，即用一个尾数（Mantissa，尾数有时也称为有效数字——Significand；尾数实际上是有效数字的非正式说法），一个基数（Base），一个指数（Exponent）以及一个表示正负的符号来表达实数。
比如 123.45 用十进制科学计数法可以表达为 1.2345 × 102，其中1.2345 为尾数，10 为基数，2 为指数。
浮点数利用指数达到了浮动小数点的效果，从而可以灵活地表达更大范围的实数。
2.IEEE 浮点数计算机中是用有限的连续字节保存浮点数的。
在 IEEE 标准中，浮点数是将特定长度的连续字节的所有二进制位分割为特定宽度的符号域，指数域和尾数域三个域，其中保存的值分别用于表示给定二进制浮点数中的符号，指数和尾数。
这样，通过尾数和可以调节的指数（所以称为"浮点"）就可以表达给定的数值了。
IEEE 754 指定：⏹两种基本的浮点格式：单精度和双精度。
IEEE 单精度格式具有 24 位有效数字精度，并总共占用 32 位。
浮点数的表示方法
浮点数的表示方法
一、浮点数表示
一个数的浮点形式（设基数是2）可写成：
N = M × 2E
其中:M代表尾数,E代表阶码。
计算机中浮点数只用尾数和阶码表示，其形式如下：
浮点数的精度由尾数决定，数的表示范围由阶码的位数决定。
为了最大限度提高精度，尾数采用规格化形式，既1/2≤M<1。
采用二进制表示时，若尾数大于零，则规格化数应该是01XXXX的形式；若尾数小于零，则规格化数应为10XXXX的形式。
二、机器零
当浮点数的尾数为0或阶码为最小值时，计算机通常把该数当作零，因此程序中进行浮点运算时，判断某数是否为零，通常可以用小于某个极小值来代替。
三、实例
【例1】设X=0.0110×23 ,用补码、浮点数形式表示阶码为X j=011，尾数为00110，这时由于X 尾数不符合01XXXX的形式，因此不是规格化数，必须先进行规格化处理。
方法：若尾数小于1/2，把尾数左移一位（不包括符号位），观察结果是否满足规格化条件，满足则在把阶码减1即可，否则继续左移和调整阶码；若尾数大于1，则把尾数右移一位（不包括符号位），观察结果是否满足规格化条件，满足则在把阶码加1即可，否则继续右移和调整阶码。
上例中，00110左移一位为01100，符合规则化标准，此时阶码减1，为010即得到浮点表示形式。
这个数具体在计算机中如何表示要看计算机中规定的阶码和尾数的位数，若阶码和尾数均为16位，则上面的数X在计算机内部表示就是00000000000000100110000000000000 ，不足
均用零填充。
计算机系统中的浮点数
计算机系统中的浮点数⼈类世界的⼩数的表⽰形式1、我们最习惯的⼩数表⽰形式是⼗进制，形式为： 它的值为：2、⼩数的⼆进制表⽰法，形式为： 它的值为：IEEE浮点标准在计算机系统中，因为有字节的限制（C语⾔中float类型占4字节，double类型占8字节），⼩数的表⽰要复杂的多。
IEEE制定的浮点标准得到了所有的计算机的⽀持。
IEEE浮点标准⽤如下形式表⽰⼀个数： 符号（sign）s，1为负数，0为正数。
数值0的符号位解释做特殊情况处理；尾数（significand 有效数）M是⼀个⼩数，范围为1~2-ε或 0~1-ε（即 [1,2) 或 [0,1) ，详情请看“浮点数的类型”部分）阶码（exponent 指数）E的作⽤是对浮点数加权，这个权重是2的E次幂（可能是负数）标准浮点格式（浮点有3个字段组成）有以下两个类型： 32位的单精度：s、exp和frac字段分别为1位、8位、23位 64位的双精度：s、exp和frac字段分别为1位、11位、52位IEEE浮点数的类型依据阶码字段是否全为0、全为1分为以下三种：1、规格化的值：exp字段（阶码字段）的位模式不全为0，或不全为1. 阶码E=e-Bias 其中，e是exp字段表⽰的⽆符号数，Bias是偏置值2^(k-1)-1（单精度为127，双精度为1023）。
阶码E以此⽅式来表⽰成有符号数。
因此得到E的范围：单精度-126~127，双精度-1022~1023 若字段frac（尾数域）为则定义尾数M=1+f，其中f=。
即尾数域仅仅表⽰⼩数点后⾯的部分，隐含⼩数点前⾯为1。
2、⾮规格化的值：当阶码字段全为0 阶码E=1-Bias 尾数M=f，不包含隐含的开头1 ⽬的是表⽰数值0；表⽰⾮常接近与0.0的数3、特殊值：阶码字段全为1 当尾数域全为0，表⽰⽆穷⼤或⽆穷⼩ 当尾数域不全为0，结果值被称为NaN（Not a Number）我们⽤正数范围内的⽰例，来说明上⾯的三种类型的重⼤意义 e：假定阶码字段是⼀个⽆符号整数表⽰的值 E：偏置之后的阶码值 2^E：阶码的权重数 f：尾码字段描述的⼩数值 M:尾数值 V：⼩数值 V=2^E * MIEEE浮点表⽰的特点1，最⼤⾮规格化数7/512 到最⼩规格化数8/512的平滑转变；2，若将上图中浮点数的位表达式解释为⽆符号整数，它们就是按升序排列的，就像它们表⽰的浮点数⼀样。
计算机组成原理：浮点数表示及运算
6
计算机组成原理
例：对数据12310作规格化浮点数的编码，假定1位符号位，基 数为2，阶码5位，采用移码，尾数10位，采用补码。
解：12310=11110112= 0.11110110002×27 [7]移=10000+00111 = 10111 [0.1111011000]补=0.1111011000 [123]浮= 1011 1 0 11 1101 1000 = BBD8H
对阶： [△E]补= [ Ex]补－[Ey]补=00 10+ 11 11= 00 01
y向x对齐，将y的尾数右移一位，阶码加1。 [y]补=00 10，00.0101 求和： 00.1101 + 00.0101 01.0010 [x+y]补=00 10，01.0010 右归：运算结果两符号位不同，其绝对值大于1，右归。 [x+y]补= 00 11，00.1001
0.0000001 --- 0.1111111 1/128 --- 127/128 可表示2-11*0.0001 --- 211*0.1111
设阶码2位，尾数4位
0.0000001 --- 111.1
可表示2-111*0.001 --- 2111*0.111
设阶码3位，尾数3位
0.0000000001 --- 1110000
19
(4) 结果规格化 求和之后得到的数可能不是规格化了的数 , 为了增加有效数 字的位数, 提高运算精度,必须将求和的结果规格化。 ①规格化的定义:
float的名词解释
float的名词解释浮点数（float）是计算机科学中的一个术语，用于表示带有小数部分的实数。
在计算机编程和数学运算中，浮点数的重要性不言而喻。
本文将深入探讨浮点数的定义、工作原理、应用以及其在计算领域中的重要性。
一、定义及工作原理浮点数即带有小数部分的实数，与整数不同，它不仅可以表示整数，还可以表示小数。
浮点数使用科学计数法来表示，如1.23E-7，其中1.23是尾数，E表示乘以10的指数，-7表示指数的值。
这种表示方法使得浮点数具有广泛的表达能力。
计算机内部以二进制来存储浮点数。
32位浮点数（单精度浮点数）由1位符号位、8位指数位和23位尾数位组成。
64位浮点数（双精度浮点数）由1位符号位、11位指数位和52位尾数位组成。
符号位表示正负号，指数位表示小数点的位置，尾数位表示实际数值。
通过将实数转换为浮点数的二进制表示，计算机可以进行各种数值计算。
二、浮点数的应用浮点数在计算机科学中有着广泛的应用，尤其在科学计算和工程领域中起着重要作用。
以下是几个浮点数的应用示例：1. 科学计算：浮点数在科学计算中广泛用于模拟物理、化学、天文学等领域的复杂计算。
例如，在天文学中，浮点数被用于计算恒星的位置、轨道和其他特性。
2. 金融计算：金融领域需要处理大量的复杂计算，如利率计算、货币兑换、投资回报率等。
浮点数提供了一种便捷且精确的方式来进行这些计算。
3. 图形处理：图形处理是计算机图形学中的一个重要应用领域。
浮点数在图像的显示、变换、渲染等方面起着关键作用。
例如，在三维游戏中，浮点数被用来表示物体的位置、旋转和缩放。
4. 数据库管理：浮点数也广泛应用于数据库管理和数据分析中。
例如，对于大量的数值数据，浮点数提供了一种有效的存储和计算方式，使得数据分析更加高效和精确。
三、浮点数的重要性浮点数在计算领域中的重要性不可忽视。
以下是几个体现浮点数重要性的方面：1. 精度与范围：浮点数能够表示广泛的数值范围，从非常小的数值到非常大的数值。
计算机中的数制与编码
计算机中的数制与编码
（2）定点小数 定点小数规定小数点的位置固定在符号位之后，但不占一个二进制位。那么，符号位的右边表示的是一 个纯小数。
定点小数的表示形式
例如，用8位二进制定点整数表示(－0.6875)10，应为： (－0.6875)10＝(11011000)2
计算机中的数制与编码
2 浮点数
浮点数是指小数点的位置不固定的数。对于既有整数部分又有小数部分的数，一般用浮点数表示。 任意一个二进制数N都可以表示成如下形式：
微机原理与接口技术
计算机中的数制 与编码
计算机中的数制与编码
1.1 计算机中的数制
1 数制的概念
数制是人们按进位的原则进行计数的一种科学方法。在日常生活中，经常要用到数制，除了最常见的十进 制计数法，有时也采用别的进制来计数。
一种计数制所使用的数字符号的个数称为基数，某个固定位置上的计数单位称为位权。同一数字符号处 在不同位置上所代表的值是不同的，它所代表的实际值等于数字本身的值乘以所在位置上的位权。例如，十 进制数345中的数字3在百位上，表示位权为100，故此时的3表示的是300。又如，十进制数123.45用位权可以 表示为
整数部分：
小数部分：
所以，(69.625)10＝(1000101.101)2。
计算机中的数制与编码
② 转换成八进制数
③ 转换成十六Βιβλιοθήκη 制数计算机中的数制与编码3 二进制数与八进制数、十六进制数之间的转换
二进制、八进制、十六进 制之间存在特殊的关系：1位 八进制数对应3位二进制数，1 位十六进制数对应4位二进制 数，因此转换比较容易。
（2）小数部分的转换。
• 小数部分的转换采用“乘基取整法”，方法 是：将十进制数的小数部分反复乘以基数R， 将每次乘积的小数部分作为被乘数，并取得 相应的整数部分，直到乘积的小数部分为0。 将每次得到的整数部分顺序排列在小数点后， 即为转换后的R进制小数。
浮点数在计算机内存中的表示（IEEE754规定1位是符号位，8位是指数，剩下的23位为有效数字）
浮点数在计算机内存中的表⽰（IEEE754规定1位是符号位，8位是指数，剩下的23位为有效数字）1.前⼏天，我在读⼀本C语⾔教材，有⼀道例题： #include <stdio.h> void main(void){ int num=9; /* num是整型变量，设为9 */ float* pFloat=# /* pFloat表⽰num的内存地址，但是设为浮点数 */ printf("num的值为：%d\n",num); /* 显⽰num的整型值 */ printf("*pFloat的值为：%f\n",*pFloat); /* 显⽰num的浮点值 */ *pFloat=9.0; /* 将num的值改为浮点数 */ printf("num的值为：%d\n",num); /* 显⽰num的整型值 */ printf("*pFloat的值为：%f\n",*pFloat); /* 显⽰num的浮点值 */ }运⾏结果如下： num的值为：9 *pFloat的值为：0.000000 num的值为：1091567616 *pFloat的值为：9.000000我很惊讶，num和*pFloat在内存中明明是同⼀个数，为什么浮点数和整数的解读结果会差别这么⼤？要理解这个结果，⼀定要搞懂浮点数在计算机内部的表⽰⽅法。
我读了⼀些资料，下⾯就是我的笔记。
2.在讨论浮点数之前，先看⼀下整数在计算机内部是怎样表⽰的。
int num=9;上⾯这条命令，声明了⼀个整数变量，类型为int，值为9（⼆进制写法为1001）。
普通的32位计算机，⽤4个字节表⽰int变量，所以9就被保存为00000000 00000000 00000000 00001001，写成16进制就是0x00000009。
那么，我们的问题就简化成：为什么0x00000009还原成浮点数，就成了0.000000？3.根据国际标准IEEE 754，任意⼀个⼆进制浮点数V可以表⽰成下⾯的形式： （1）(-1)^s表⽰符号位，当s=0，V为正数；当s=1，V为负数。
浮点数在计算机中是如何表示的
浮点数在计算机中是如何表⽰的前⾔相⽐int等整型，float等浮点类型的表⽰和存储较为复杂，但它⼜是⼀个⽆法回避的话题，那么就有必要对浮点⼀探究竟了。
在计算机中，⼀般⽤IEEE浮点近似表⽰任意⼀个实数，那么它实际上⼜是如何表⽰的呢？下⾯的表达式⾥，i的值是多少，为什么？如果你不确定答案，那么你应该好好看看本⽂。
float f = 8.25f;int i = *(int*)&f；IEEE浮点表⽰IEEE浮点标准⽤的形式近似表⽰⼀个数。
并且将浮点数的位表⽰划分为三个字段：符号（sign）s决定这个数是负数（s=1）还是正数（s=0）。
可以⽤⼀个单独的符号s直接编码符号s。
尾数（signficand）M是⼀个⼆进制⼩数，它的范围是1～2-ξ或者是0～1-ξ。
n位⼩数字段编码尾数M。
阶码（exponent）E的作⽤是对浮点数加权，这个权重是2的E次幂（可能是负数）。
k位的阶码字段编码阶码E。
在单精度浮点格式（c语⾔的float）中，s，exp和frac字段分别为1位，8位和23位,⽽双精度浮点格式（c语⾔中的double）中，s，exp和frac 字段分别为1位，11位和52位。
⼀个浮点数的常见⽐特位表⽰如下:单精度双精度⽽根据exp的值，被编码的值可以分为三⼤类不同的情况。
下⾯进⾏⼀⼀解释。
情况1：规格化的值即最普遍的情况，当exp，即阶码域既不为全0，也不为全1的情况。
在这种情况下，阶码字段解释为以偏置（biased）形式表⽰有符号整数，即E=exp-Bias,exp是⽆符号数（1~254）。
Bias是⼀个等于的偏置值，对于单精度来说，k=23，Bias=127，因此E的范围是-126~+127。
frac被描述为⼩数值，且0≤frac<1,其⼆进制表⽰为0.frac。
尾数定义为 M=1+frac ，则M=1.frac。
那么就有1≤M<2,由于总是能够调整阶码E，使得M在范围1≤M<2,所以不需要显⽰的表⽰它，这样还能获得⼀个额外的精度位。
01-3数的定点表示和浮点表示
1 1 符 号
1
0
1
1
0
1
数值位(n位)
2-n |N| 1－2－n
纯小数
小数点 1 1 符 号 1 0 1 1 0 1
1 |N| 2n
数值位(n位) 小数点
纯整数
定点机中，一切参加运算的数及最后结果， 都不能超出其域范围，否则会出现错误结果。
若运算数(或结果)小于2－n (或1) 则计算机
作0处理；若大于1－2－n (或2n )。机器作溢出处 理，迫使机器停止运行或转入出错处理程序。
1.3.2 数的浮点表示
受机器数位的限制，定点数的数域
较小。若既要能表示较小的数，又能表 示很大的数，定点表示不适合了，应采 用浮点表示的数。
浮点数表示法 先以十进制数为例：
N = 25.0 = 100×25.0 = 101×2 . 5 = 102×0 . 25
指数部 尾数部 分10J 分S
浮点数由两部分组成：N = 10J×S
其中：S为数N的尾数，即它的符号和有 效数位。指数10 J ，其中10为十进制数的基数， J为其指数(或称J为N的阶)，10J决定小数点浮 动的位置。J为正数小数点左移。反之右移。
类此，二进制浮点数的表示形式为：
N = 2J × S 此中，J若以二进制代码表示，则J称N的阶 码。
1.3.3 浮点数与定点数的比较
• 浮点数的表示范围比定点数大 • 浮点数的运算精度比定点数高 • 浮点数的运算比定点数复杂。
(要分阶码和尾数两部分进行运算)
小型机－－采用定点数
大、中型机－－采用浮点数
欢迎进入1.4学习。
1.3
数的定点表示与浮点表示
数的定点表示 数的浮点表示 浮点数与定点数的比较
计算机组成原理：浮点数表示及运算
0.1000101010
把不满足这一表示要求的尾数，变成满足这一要求的尾数 的操作过程，叫作浮点数的规格化处理，通过尾数移位和修改 阶码实现。
计算机组成原理 5
规格化目的： 为了提高数据的表示精度 为了数据表示的唯一性 尾数为R进制的规格化： 绝对值大于或等于1/R 二进制原码的规格化数的表现形式：
…
Em
M0
M1
M2
… …
…
Mn
阶符
计算机组成原理
阶值
尾符
尾数值
2
一个机器浮点数由阶码和尾数及其符号位组成： 尾数：用定点小数表示，给出有效数字的位数，决定了浮点数的表示精度 阶码：用定点整数形式表示，指明小数点在数据中的位置，决定了浮点数
的表示范围。
浮点数的表示范围
负上溢
负下溢
正下溢 正上溢
-
最 小 负 数
• 对阶原则 阶码小的数向阶码大的数对齐； 对阶过程小阶的尾数右移，每右移一位,其阶码加1(右规)。
210*(0.11000)+28*(0.00110) 大阶对小阶 210*(0.11000)--28*(11.000) 11.000+0.00110 ?????????
小阶对大阶 28*(0.00110)--210*(0.00001)
计算机组成原理
8
规格化浮点数的真值
31 30
32位浮点数格式：
23 22
0
S
E
M
一个规格化的32位浮点数ｘ的真值为： x = (-1)s (1.Ｍ) 2Ｅ－127 e =Ｅ – 127 一个规格化的64位浮点数ｘ的真值为： 这里e是真值，Ｅ是机器数 x = ( –1)s×(1.Ｍ)×2Ｅ－1023
计算机中浮点数的表示
这 种 思 想来 源 于 数学 中的 指数 表示 形 式 ： Ｎ× ＝ Ｎ＝ Ｒ Ｍ×Ｒ ｃ 类 似 地 ． 进 制 数 １０ １ １ １ ．０ × ０ １０ ０ ｘ １ １ ． × 二 １ ．０ ＝１０ １ １ ２＝ｌ ． １ １ ２＝１０ ０ １ ２
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中国高新 技术企 业
计 算 ｉ 中 浮 Ｉ 的 表 示 Ｉ ｉ 几 Ｊ 占 －数 ｌ
◆ 文 ／张 怡
【 要】 摘 本 文介 绍 了浮点 数在 计 算 机 中 的几 种表 示 方 法 ， 对 此进 行 整 理 分析 ， 并 为人 们 以后 做 此 方 面 的研
二 进 制不 符 合人 们 的 习惯 。 是计 算 机 内部 却 采用 二 进 制表 示 但
把 ８ ２ Ｂ Ｄ码 的每 个 编码 ． 高位 照 旧， 面 每一 位 与前 一 位 取 ４ １Ｃ 最 后 信 息 。 主 要原 因有 以下 几 点 ： 其 就 电 路 简 单 ： 算 机 是 由 逻 辑 电 路 组 成 的 ， 辑 电 路 通 常 只 有 两 异 或 ． 得 到 了 循 环 码 。 计 逻
个 状态 。
工 作 可靠 ： 个状 态代 表 两 个 数 据 ， 字 传输 和处 理 不 容 易 出 两 数
错 ． 而电 路更 加 可靠 。 因 简 化运 算 ： 进 制 运算 法 则 简 单 。 二 逻 辑 性 强 ： 算 机 工 作 原 理 是 建 立 在 逻 辑 运 算 基 础 上 的 ， 辑 计 逻 代 数 的 “ ” “ ” 真 与 假 。
究提 供 参 考 。
【 关键 词 】 浮点 数 计 算机 计 算 机 存储 浮点 数 的表 示
当 今 信 息 时 代 。 算 机 已 经 深 入 到 我 们 生 活 的 方 方 面 面 。 笔 者 计 学 习 计 算 机 多 年 。 很 少 看 以 有 关 计 算 机 中 浮 点 数 表 示 的 文 章 和 书 但 籍 。经头 绪 。 对
浮点数的用法-概述说明以及解释
浮点数的用法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以涵盖浮点数的基本概念、其在计算机中的重要性以及本文将要讨论的主要内容。
概述:在计算机科学中，浮点数是一种用于表示实数的数值类型。
相比整数类型，浮点数可以表示更广范围的数值，包括小数、分数以及极大或极小的数值。
浮点数的重要性在于它们广泛应用于科学计算、图形处理和工程领域等许多计算机应用中。
本文将深入探讨浮点数的基本概念以及其在计算机中的表示方法。
首先，我们将介绍浮点数的基本概念，包括浮点数的定义和特点。
然后，我们将详细解释浮点数在计算机内部是如何表示的，以及在不同计算机系统中浮点数的表示方法是否存在差异。
除此之外，本文还会探讨浮点数在实际应用中的一些场景和注意事项。
我们将介绍一些常见的浮点数应用场景，例如科学计算、金融建模和图像处理等领域。
同时，我们也会谈到使用浮点数进行计算时需要注意的一些问题，例如浮点数精度损失、舍入误差和比较运算等。
通过阅读本文，读者将能够全面了解浮点数的基本概念和计算机中的表示方法，同时也将对浮点数的应用场景和注意事项有更深入的了解。
这将有助于读者在实际编程和计算过程中更好地理解和处理浮点数，提高计算结果的准确性和可靠性。
1.2 文章结构文章结构是指文章的组织方式和框架，它有助于读者更好地理解和消化文章的内容。
在本文中，我们将介绍浮点数的用法，并以以下三个部分来构建文章结构：1. 引言：在引言部分，我们将对浮点数的用法进行概述，并介绍本文的目的和重要性。
我们将简要解释浮点数的基本概念，并阐述浮点数在计算机中的表示方法，为读者打下基础，使他们能够更好地理解和应用浮点数。
2. 正文：在正文部分，我们将详细讨论浮点数的基本概念，并解释它在计算机中的表示方法。
我们将介绍浮点数的精度和范围，并讨论浮点数的运算和舍入误差等相关问题。
此外，我们还将探讨浮点数在科学计算、图形处理、金融和物理模拟等领域中的应用场景，并提供相应的示例和实际案例，以便读者更好地理解浮点数的用法和意义。
计算机中浮点数的表示形式
计算机中浮点数的表⽰形式IEEE 浮点表⽰IEEE 浮点标准：V = (-1)s * M * 2E表⽰⼀个浮点数：符号(sign) s 决定V的正(s=0)或负(s=1)，对于 0 后⾯会有说明尾数(Mantissa) ⼆进制⼩数阶码(Exponent) E 的作⽤是对浮点数加权，这个权重是 2 的 E 次幂将浮点数的位分为 3 个部分：1 位的符号位 s 表⽰ sk 位的阶码字段 exp = e k-1...e1e0表⽰ En 位的⼩数字段 frac = f n-1...f1f0表⽰ M以 C 语⾔为例，不同的精度下，s、exp、frac 有不同的位数：单精度：31 30 23 22 0+---+---------+-----------------------------------------+| s | exp | frac |+---+---------+-----------------------------------------+双精度：63 62 52 51 32+---+----------------+----------------------------------+| s | exp | frac(51:32) |+---+----------------+----------------------------------+31 0+-------------------------------------------------------+| frac(31:0) |+-------------------------------------------------------+float：s 1位、exp 的 k=8位、frac=23位，合计 32位double：s 1位、exp 的 k=11位、frac=52位，合计 64位分类以 C 语⾔单精度为例，根据 exp 存储的位的不同，所表⽰的浮点数可以分成 3 中不同的情况，⽽最后⼀种情况中情况分两个变种：1. 规格化+-------------------------------------------------------+| s | exp!=0 & exp!=255 | frac |+-------------------------------------------------------+这是最常见的情况，exp 的位模式既不为全 0，也不为全 1规格化的值有两点需要特别注意：1. 阶码 E 包含⼀定的偏置 Bias，也就是说E = exp - Bias，exp 是⽆符号数，Bias = 2k-1 - 1，偏置的作⽤是为了在规格化取值范围与⾮规格化取值范围之间平滑过渡2. 尾数 M 的值并不是 frac 所表⽰的⼩数值，实际情况是M = 1 + frac通常情况下，⼆进制整数部分通过调整⼩数点(也就是修改 E)来变成 1，所以 IEEE 的表⽰法直接将这⼀位的1省去，这样⼆进制⼩数部分就能多存储⼀位，提⾼了精度，也就是说这个 frac 隐含了开头的 1举个例⼦：假设 frac 有 5 位，现在要存储⼀个⼆进制数 b，b 的值是 0.101011(2)，调整⼀下权重：1.01011 * 2-1(2)，farc 存储的就是⼩数点后⾯的这 5 位010112. ⾮规格化+-------------------------------------------------------+| s | exp=0 | frac |+-------------------------------------------------------+exp 位模式全为 0，E = exp - Bias，M = frac规格化数因 frac 隐含开头的 1，M >= 1，故⽽⽆法表⽰ 0 这个数。
计算机中浮点数的表示方法
计算机中浮点数的表示方法
计算机中浮点数通常采用IEEE 754标准来表示。
这个标准定
义了单精度浮点数和双精度浮点数的表示方法。
单精度浮点数（32位）的表示方法如下：
1位符号位 + 8位指数位 + 23位尾数位
双精度浮点数（64位）的表示方法如下：
1位符号位 + 11位指数位 + 52位尾数位
符号位（Sign）表示浮点数的正负，0表示正数，1表示负数。
指数位（Exponent）用于表示浮点数的指数部分，采用移位存
储的方式。
单精度浮点数使用移位偏移127的存储方式，双精度浮点数使用移位偏移1023的存储方式。
尾数位（Mantissa）表示浮点数的小数部分。
以单精度浮点数为例，浮点数的表示方法可以通过以下步骤进行转换：
1. 将浮点数的绝对值转换为二进制小数，并计算小数点的位置。
2. 根据小数点位置，将二进制小数规范化为1.xxxxx形式，将
规范化后的小数部分保存为尾数位。
3. 根据小数点位置，计算指数部分的值，并加上偏移量（127）。
4. 判断浮点数的正负，将结果保存为符号位。
5. 将符号位、指数位和尾数位按照相应位数进行存储。
以上是计算机中浮点数的一般表示方法，具体实现可能因计算机体系结构和编程语言的不同而有所差异。
计算机组成原理学习（三）整数比较，浮点数的表示
计算机组成原理学习（三）整数⽐较，浮点数的表⽰浮点数的表⽰可能是第⼀个劝退点，第⼀遍直接看视频看不懂，因为移码是在前⾯讲的，和后⾯没联系起来，讲到后⾯太快了⼀时半会理不清，看书却⼀下⼦明⽩了。
1.基于补码的整数⽐较C语⾔程序中，数据后⾯带上个“u”或“U”可表⽰数据是⽆符号的，⽤⽆符号去解释数据。
下⾯的整数判断表达式会出现与常识相违背的结果。
（32位机器，基于补码编码）第⼀条，左边的0的机器数是32位的⼀串0，右边的机器数也是⼀串0，加上U⽤⽆符号解释⼀样是0，所以结果为真。
第⼆条，-1的机器数是32位全部为1，0是32位0，默认带符号⽐较，-1的机器数的真值为-1，所以⽐0⼩，结果为真。
第三条，0带了U，表达式会被解释为⽆符号来⽐较，-1机器数的真值变为2^32-1，远⽐0⼤，结果为假。
第四条，左边的机器数为⾸位为0、其余为1的序列，右边的机器数为⾸位为1，其余为0的序列，按带符号⽐较，左边真值为最⼤正数2^31-1，右边为最⼩负数-2^31，所以结果为真。
第五条，带了U⽤⽆符号⽐较，左边正数不受影响，真值仍然是2^31-1，右边真值变为2^31，所以结果为假。
第六条，左边真值⼀样不受影响，右边先是带符号，真值解释为2^31，⼜强转成int，即带符号，真值变成最⼩负数-2^31，所以结果为真。
第七条，带符号⽐较，左边真值为-1，右边真值为-2，结果为真。
第⼋条，左边强转成⽆符号，真值变成2^32 -1，右边也同理变成2^32 -2，所以结果为真。
发现，机器数按⽆符号去解释，相当于我们平时理解的字⾯意思，也就是不管编码⽅式，真值就是⼆进制正常换算成⼗进制的值。
2.浮点数的编码实数是包括整数部分和⼩数部分的数，那啥叫“浮点数”？啥叫“定点数”？此处的点指的是⼩数点。
如果我⽤8位去存储实数，假如规定了第⼀位存符号，后3位存整数，最后4位存⼩数这种编码⽅式，那么很明显⼩数的精度只能到后四位，⼩数点是固定不变的，这叫“定点数”。
计算机中浮点数的表示
计算机中浮点数的表⽰IEEE 浮点数表⽰：在C语⾔中浮点数有两个size，32位和64位。
其中32位浮点数：第1位是SignFlag（符号位），2-9位是阶码位（exponent），10-32位是尾数位（significand）。
64位分别是第1位，2-12位，13-64位。
浮点数⼤⼩的公式是：x =(−1)s ∗2E ∗M规格化值E =exp −(2k −1−1)，将exp 看作⽆符号整数，k 为exp 的位数。
例如，对于32位浮点数来说k =8,E ∈[−126,127]，对于64位浮点数来说k =11,E ∈[−1022,1023]。
M =1+0.frac ，将frac 看作⼩数值。
例如frac =10112，那M =12+0.10112=1.10112=11116。
这是通常情况下（规格化值）的计算公式，还有三种特殊情况。
⾮规格化值当exp =0时，即是⾮规格化的值，这时：E =1−(2k −1−1)，k 为exp 的位数。
例如，对于32位⾮规格化值k =8，E =1−(27−1)=−126，对于64位来说k =11，E =1−(210−1)=−1022，我们发现⾮规格化的E 和规格化的E 的下界相等，这会导致⾮规格化值到规格化值的平滑转换。
M =0.frac特殊值当exp 的位模式全为1时，也就是⽆符号整数的最⼤值，这时为特殊值，有两个特殊值：当frac =0时，浮点数为⽆穷⼤否则，浮点数为NaN （Not a Number ），例如：√−1 。
舍⼊IEEE标准中，由于精度问题，当⼀个浮点数⽆法准确表⽰⼀个实数时需要进⾏舍⼊。
所⽤的⽅法是向偶数舍⼊。
⽤⼏个例⼦说明：如果该数字正好在上下界之间，则向偶数舍⼊，与我们通常的四舍五⼊略有区别。
这样做的好处是：当有⼀组浮点数放在⼀起求平均值时可以保证误差最⼩，因为每个在上下界之间的数字都有百分之五⼗⼏率向下舍⼊，百分之五⼗⼏率向上舍⼊。
对于⼆进制⼩数也是如此数字舍⼊后1.411.621.522.523.54⼆进制⼩数舍⼊后（保留⼩数点后⼀位）10.0110.010.01110.110.1111.011.00111.0Processing math: 100%。
计算机基础知识了解计算机中的浮点数表示和运算
计算机基础知识了解计算机中的浮点数表示和运算计算机基础知识：了解计算机中的浮点数表示和运算计算机科学中的浮点数是非常重要的一部分。
在许多计算机应用中，浮点数被用来表示和计算具有小数点的数值。
了解浮点数的表示方法和运算规则，对于理解计算机中数字处理的原理和特性非常有帮助。
本文将介绍计算机中浮点数的表示和运算规则。
一、浮点数表示方法在计算机中，浮点数采用科学记数法的方式进行表示。
它由两部分组成：尾数和指数。
尾数部分是一个二进制小数，通常将其规范化为1.xxxxxx的形式。
这个小数点的位置可以通过指数进行调整。
指数部分是一个带符号的整数，用于表示小数点在尾数中的位置。
正指数表示小数点向右移动，负指数表示小数点向左移动。
通过将尾数和指数组合起来，就可以表示任意大小和精度的浮点数。
二、浮点数运算规则在计算机中，浮点数的运算遵循一定的规则，包括加法、减法、乘法和除法等。
1. 加法和减法当进行浮点数加法或减法时，首先需要将两个浮点数的指数进行比较，并将较小的指数调整为与较大指数相等，同时也需要相应地调整尾数。
接下来，将调整后的尾数进行相加或相减，并根据结果进行规范化和舍入。
2. 乘法在浮点数乘法中，首先将两个浮点数的尾数进行相乘，并将结果进行规范化。
然后将两个浮点数的指数相加，得到最终结果的指数。
最后，根据指数的差异进行舍入和溢出的处理。
3. 除法在浮点数除法中，首先将两个浮点数的尾数进行相除，并将结果进行规范化。
然后将两个浮点数的指数相减，得到最终结果的指数。
最后，根据指数的差异进行舍入和溢出的处理。
三、浮点数的精度问题由于计算机中浮点数的表示是有限的，所以在进行运算时会存在精度的损失。
这是由于计算机在表示小数时只能采用有限的二进制位数。
例如，当两个非常接近的浮点数进行相减时，可能会因为精度限制而得到一个极小的非零值，这种情况被称为舍入误差。
此外，在进行大数和小数的运算时，可能会出现溢出或下溢的问题。
溢出是指计算结果超出了浮点数的表示范围，而下溢是指计算结果过小而无法表示。
浮点数的取值范围和精度.docx
浮点数的取值范围和精度浮点数的取值范围和精度浮点数是计算机中一种用来表示实数的数值类型。
在计算机内部，浮点数采用科学计数法的形式，由一个小数值和一个指数值组成，用来表示非常大或非常小的实数。
浮点数的取值范围和精度是计算机科学中非常重要的概念。
1. 浮点数的表示浮点数的表示采用IEEE 754标准，它定义了如何将实数表示成浮点数。
在IEEE 754标准中，浮点数的表示由三个部分组成：符号位、指数位和尾数位。
符号位用来表示浮点数的正负，指数位用来表示浮点数的数量级，尾数位用来表示浮点数的精度。
2. 浮点数的取值范围浮点数的取值范围取决于指数位的长度。
在32位浮点数中，指数位占8位，可以表示的指数范围为-126至127，因此该格式的浮点数可以表示的最小正数约为1.17549435 x 10^(-38)，最大数约为3.40282347 x 10^(38)。
在64位浮点数中，指数位占11位，可以表示的指数范围为-1022至1023，因此该格式的浮点数可以表示的最小正数约为2.2250738585072014 x 10^(-308)，最大数约为1.7976931348623157 x 10^(308)。
3. 浮点数的精度浮点数的精度取决于尾数位的长度。
在32位浮点数中，尾数位占23位，因此该格式的浮点数的有效数字位数约为6-7位。
在64位浮点数中，尾数位占52位，因此该格式的浮点数的有效数字位数约为15-16位。
由于计算机内存大小的限制，浮点数的有效数字位数总是有限的，因此在进行浮点数运算时要注意保持适当的精度。
4. 浮点数的舍入误差浮点数的表示方式会引入舍入误差。
由于计算机无法表示无限的小数位数，浮点数的表示通常只能是一个近似值。
在进行浮点数运算时，会产生舍入误差，并且这些舍入误差会逐渐积累。
因此，使用浮点数进行高精度计算时要特别小心，并且需要合理地控制舍入误差。
总结：浮点数的取值范围和精度在计算机科学中起着重要的作用。
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计算机中数的浮点表示
本节主要内容
以
为基的数系
数的浮点表示
舍入误差
利用数值方法解决科学计算实际问题时都需要设 计程序并在计算机上运行才能求出数值结果，因此了 解数在计算机中的表示是有必要的.
1.3.1 以 为基的数系
以为基的数（ 进制数）可表示为
x (an1 n1 an2 n2 (an1an2 a0 .a1a2
J
0 dt 1 4, dt 1 5,
(1.3.7)
(1.3.6)
x a 10 .
于是有 xx a 10 J ( a ) 10 J aa . J x a 10 a
而 a 10 ,
1
1 a a 10 t ，因此 2
aa 1 10t 1 5 10 t , a 2 即有 xx 5 10 t. x
1.3.2
x
其中d k (k 1, 2,
J
数的浮点表示
k
一般地，一个 进制数x可以表示成
d
k 1 k
t
,
（1.2.1）
, t )都是0,1,
, 1 中的一个数字. 上式也可写成
x a J ,
其中 a d k k 0.d1d 2
k 1 t
其中 0 ak 为正整数.
a0 0 a1 1 a2 2 a m )
a m m )
在计算机中广泛采用的有二进制数、八进制数、 十进制数和十六进制数，它们的基数分别为2，8，10 和16. 例如
十进制数 (256)10 2 102 5 101 6 100 ,
(3512.78)10 (3 103 5 102 1101 2 100 7 10 1 8 10 2 ).
二进制数 (11011) 2 1 24 1 23 0 2 2 1 21 1 2 0
(27)10 , (10.101) 2 1 21 0 20 1 21 0 2 2 1 2 3 (2.625)10 .
1.3.3
舍入误差
在使用计算机进行数值计算时，若提供给计算机的 数x 的绝对值大于 F 中最大正数，则在计算机上出现 上溢；若 x(≠0)的绝对值小于 F 中最小正数，则在计算 机上出现下溢，此时计算机将数x 作为0处理，称其为机 器0. 上溢和下溢统称为溢出. 说明：在以后的讨论中，我们将假定所提供的初始数据 或中间结果数据不会发生溢出现象. 初始数据或中间计算结果数据 x可能不在规格化 浮点数系F 中，因此要用F中最接近 x的数 x 作为 x 的近似值.
（1.2.2）
dt . （1.2.3）
我们称 a为数x 的尾数（其值小于1）. 自然数 t为 计算机的字长，它表示数x的尾数的位数. J是整数，称 为数x 的阶，它用来确定x 的小数点的位置.
规格化浮点数
在各种计算机中，有各自规定的字长，以及阶J 的 范围：-L ≤ J ≤ U（ L和U 为正整数或零）. L、U 的大小表明计算机中表示的数的范围大小. 式 (1.2.1) 或 (1.2.2) 称为数的浮点表示. 再假 设 x ≠ 0 时 d ≠ 0，则称 x为规格化浮点数. 按式 (1.2.1) 或 (1.2.2)规定的规格化浮点数的全 体组成的合记为F . 我们称 F为一个规格化浮点数系. 规格化浮点数系F 是一个有限的离散的数集合. 在数值 计算中通常取十进制数.
xx 记 , 则得到下面的关系式 x
x x(1 ), | | 5 10t.
说 明
(1.3.8)
有的计算机采用的是只“舍”不“入”的断位原则， 即取 a 0. d1d 2 dt ,
此时
x x(1 ), | | 10t 1.
(1.3.9)
现设十进制数x F，则可按四舍五入原则取x，即若
x a 10 J ,
其中 a 0. d1 dt dt 1 dn , 0 di 9 (i 1,
(1.3.4)
, n, ), d1 0,
(1.2.5)
则取 0. d1d 2 a 0. d1d 2 dt , dt 10 t ,