电子科技大学图论第二章习题答案
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)考试时间：120分钟一．填空题(每题3分，共18分)1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个；2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。
则G 中顶点数至少有__9___个；3．设n 阶无向图是由k(k ?2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____;4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_.5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。
图G二．单项选择(每题3分，共21分)1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A )(A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333).2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ）3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ）4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ）5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ）AC DA B CD6．下列图中，不是偶图的是（ B ）7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ）三．作图(6分)1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图；2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图；3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图；解： 四．(10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。
解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图：权和为：20.五．(8分)求下图G 的色多项式P k (G).解：用公式(G P k -G 的色多项式：)3)(3)()(45-++=k k k G P k 。
六．(10分) 22，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。
解：设该树有n 1个1度顶点，树的边数为m.一方面：2m=n 1+2n 2+…+kn k另一方面：m= n 1+n 2+…+n k -1 v v 13图G由上面两式可得：n 1=n 2+2n 3+…+(k -1)n k七．证明：(8分) 设G 是具有二分类(X,Y)的偶图，证明(1)G 不含奇圈；（2）若|X |≠|Y |，则G 是非哈密尔顿图。
图论及其应用第2章
故T的边数为:
x+n2+n3+…+nk
x+n2+n3+…+nk-1 又由握手定理得：
x+2n2+3n3+…+ knk = 2(x+n2+n3+…+nk-1) 解得 x 为:
nx1 2 n3 2n4 (k 2)nk
§2.2树的中心和形心
定义1 设 G = (V, E) 是一连通图， v∈V，令 e(v) = max {d(u,v) | u∈V }
则称 e(v)为顶点 v 的离心率；又令 r(G) = min {e(v) | v∈V }
称 r(G) 为图 G 的半径。
比较图的直径与离心率的定义可知，图G 的直径是 G 的最大离心率；e(v) = r(G) 的点 v ，称为 G 的一个 中心点， G 中全体中心点的集合称为G 的中心。
（1）G 是树。 （2）G 中任意两个不同点之间存在唯一的路。 （3）G 连通，删去任一边便不连通。 （4）G 连通，且 n = m+1。 （5）G 无圈，且 n= m+1。 （6）G 无圈，添加任一条边可得唯一的圈。
推论1 由k棵树组成的森林满足：m = n-k。其中n为G的 顶点数，m为G的边数。
定理5 连通图的生成树必存在。
证明 给定连通图G，若G 无圈，则G就是自己的生 成树。若G有圈，则任取G中一个圈C，记删去C中 一条边后所得之图为H1。显然在H1中，圈C 已不存 在，但仍连通。
若H1中还有圈，重复以上过程，直至得到一个无 圈的连通图H。H 便是 G 的生成树。
定理5的证明方法也是求生成树的一种方法，称 为“破圈法”。
图论及其应用答案电子科大
习题三：证明：e是连通图G 的割边当且仅当V(G)可划分为两个子集V1和V2，使对任意u ∈V 1及v ∈V 2, G 中的路（u，v）必含e .证明：充分性: e是G的割边，故G −e至少含有两个连通分支，设V 1是其中一个连通分支的顶点集，V 2是其余分支的顶点集，对12,u V v V ∀∈∀∈，因为G中的u ,v不连通，而在G中u与v连通，所以e在每一条(u ,v )路上，G中的(u ,v )必含e。
必要性：取12,u V v V ∈∈，由假设G中所有(u ,v )路均含有边e，从而在G −e中不存在从u与到v的路，这表明G不连通，所以e 是割边。
3.设G 是阶大于2的连通图，证明下列命题等价： （1）G 是块 （2）G 无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上； （3） G 无环且任意三个不同点都位于同一条路上。
（1）→（2）：G是块，任取G的一点u，一边e，在e边插入一点v，使得e成为两条边，由此得到新图G 1，显然G 1的是阶数大于3的块，由定理，G中的u,v 位于同一个圈上，于是G 1中u 与边e都位于同一个圈上。
（2）→（3）：G无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取G的点u ，边e ，若u在e 上，则三个不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如u不在e上，由定理，e的两点在同一个闭路上，在e边插入一个点v ，由此得到新图G 1，显然G 1的是阶数大于3的块，则两条边的三个不同点在同一条路上。
（3）→（1）：G连通，若G不是块，则G中存在着割点u，划分为不同的子集块V 1, V 2, V 1, V 2无环，12,x v y v ∈∈，点u在每一条(x ,y )的路上，则与已知矛盾，G是块。
7.证明：若v 是简单图G 的一个割点，则v 不是补图G ̅的割点。
证明：v是单图G的割点，则G −v有两个连通分支。
现任取x ,y ∈V (G −v ), 如果x ,y 不在G −v的同一分支中，令u是与x ,y处于不同分支的点，那么，x ,与y在G −v的补图中连通。
电子科技大学-图论第二次作业
复杂性分析：在第 k 次循环里，找到点 u0 与 v0，要做如下运算: (a) 找出所 有不邻接点对----需要 n(n-1)/2 次比较运算；(b) 计算不邻接点对度和----需要做 n(n-1)/2-m(G)次加法运算;(c ),选出度和最大的不邻接点对----需要 n(n-1)/2-m(G)次
2) 若 ek 不在 Ck 中，令 Gk-1=Gk-ek, Ck-1=Ck; 否则转 3); 3) 设 ek=u0v0 ∈Ck, 令 Gk-1=Gk-ek; 求 Ck 中两个相邻点 u 与 v 使得 u0,v0,u,v 依序 排列在 Ck 上，且有：uu0,vv0 ∈E(Gk-1),令：
Ck1 Ck u0v0,uvuu0,vv0
如果在
中有 H 圈
如下： Ck1 (u0 , v0 , v1,..., vn2 , u0 )
我们有如下断言： 在Ck1上，vi , vi1, 使得u0vi , v0vi1 E(Gk )
若不然，设
那么在 Gk 中，至少有 r 个顶点与 v0 不邻接，则
≦(n-1)-r < n-r， 这样与 u0，v0 在 Gk 中度和大于等于 n 矛盾！
图的闭包算法：
1) 令 =G ,k=0;
2) 在 中求顶点 与 ,使得：
dGk (u0 ) dGk (v0 ) max dGk (u) dGk (v) uv E(Gk )
3) 如果 此时得到 G 的闭包；
dGk (u0 ) dGk (v0 ) n
则转 4);否则，停止，
4) 令
,
,转 2).
则 是非 Hamilton 图
(2)因为 是具有二分类 的偶图，又因为
，在这里假设
,则有
,也就是说：对于
图论习题答案2
第四次作业
四(13).设M是二分图G的最大匹配，则 | M || X | max| S | | N ( S )| ，
SX
证明： | X | max| S | | N ( S )| min(| X | | S |) | N ( S )| ，而（X - S ) N ( S )是G的一个覆盖，则 min(| X | | S |) | N ( S )|是G的最小覆盖，
第七次作业
• 五(28).设sn是满足下列条件的最小整数，把 {1,2,...,sn}任划分成n个子集后，总有一个子集 中含有x+y=z的根，求s1,s2,s3是多少？ • 解：n=1,枚举得s1=2; • s2=5 • s3=14
第七次作业
五(34).求证r(k, l) = r(l, k) 证明：若G含有K k 子图，则G c 含有k个顶点的独立集；若G含有 l个顶点的独立集，则G c 含有K l 子图。则命题成立。
五 (13).若 是单图 G 顶的最小次数，证明； 若 1则存在 1边着色， 使与每顶关联的边种有 1种颜色。 反证法：假设在 v1处无 i 0色 设 C (E 1 , E 2 ,..., E 1 )为 G 的( 1) 最佳边着色 第一步：构造点列： v1 , v 2 ,..., v h , v h 1 ,....., vl ,.... v1处无 i 0色， v j v j 1着 i j色，且在 v j点处 i j 色重复出现，可知在 v j1处仅一 个 i j色；证明如下： 用反证法证明，假设在 v j1处 i j色重复出现，将 v j v j 1改成 v j 所关联的边 没有的颜色 im，则可以对图 G 的找色进行改善。与 C 是最佳边着色矛盾， 假设不成立。 又 是单图 G 顶的最小次数，则必存 在最小整数 h使得 i h i l 第二步：着色调整： v j v j 1着 i j-1色 ( j 1,2,..., h )，所得新着色为 C ' 在 C '中， v1处多了个 i 0色， v h 1处少了个 i h 色，其他点的边着色数 不变， 所以 C ' 还是 1最佳边着色
第二篇 图论习题
习题课 2
例10 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图，则 （1）顶点u与v连通；（2）G连通G+uv连通。 例1 设G为p阶简单无向图，p＞2且p为奇数，G和G的 补图GC 中度数为奇数的顶点的个数是否一定相等？ 试证明你的结论。 例2 设V={v1,v2,…,vp}，计算以V为顶点集的无向图 的个数是多少？(KP有多少个生成子图) 例3 设V={v1,v2,…,vp},q≤p(p-1)/2，计算以V为顶 点集具有q条边的无向图的个数是多少？ 例4 设G是（p,q）图，r≤q，则具有r条边的G的生成 子图有多少？ 答案： 2p(p-1)/2 ，Cqp(p-1)/2 ，Crq。
习题课 2
1. 说明图中所示图(1)(2)是否是非平面图？ 2．证明:彼得森图不是平面图。 (1) 收缩法；(2) 欧拉公式法；(3)收缩到K3,3。 3.设G是无向图,p<8,则G与Gc中至少有一个是平面图。 4.设平面图G的顶点数p=7,边数q=15，证明G是连通的。
习 题 课 3
1．判断下面命题是否正确，并说明理由。 任意平面图G的对偶图G*的对偶图G**与G同构。 2. 设G*是平面图G的对偶图，证明：p*=f，q*=q， f*=p-k+1。其中k(k≥1)为G的连通分支数。 3. 证明：若G是自对偶的平面图，则q=2p-2。其中p 和q是G的边与顶点数。 4．把平面分成p个区域，每两个区域都相邻，问p最 大为多少？ 5.证明：不存在具有5个面，每两个面都共享一条公 共边的平面图G。
例7 设G是有个p顶点，q条边的无向图，各顶点的度 数均为3。则 (1)若q=3p-6,证明:G在同构意义下唯一，并求p,q。 (2)若p=6，证明:G在同构的意义下不唯一。 例8 已知p阶(简单)无向图中有q条边，各顶点的度数 均为3，又2p=q+3，试画出满足条件的所有不同 构的G。 例9 9个学生，每个学生向其他学生中的3个学生各送 一张贺年卡。确定能否使每个学生收到的卡均来自 其送过卡的相同人？为什么？ 解:否，不存在9（奇数）个顶点的3－正则图。
图论及其应用 第二章答案
)3( 题属中国邮路问题除第欧拉图与哈密尔顿图<1.>给定一个由16条线段构成的图形（见下图）.证明：不能引一条折线与每一线段恰好相交一次（折线可以是不封闭的和自由相交的，但他的顶点不在给定的线段上）证明：建立一个图G ：顶点i v 代表图形的区域(1,2,3,4,5,6)i X i ，顶点i v 与j v 之间连接的边数等于区域i X 与j X 公共线段的数目.于是，将上图的区域和边可转化成下图：由顶点度数知不存在欧拉路，从1X 到6X 只能相交于外面的两条线段.<2.>下列图形中哪些能一笔画成.解：只需考虑该图是否有欧拉路（即有两个奇点或者无奇点），故第一个和第三个可以一笔画成，第二个不能一笔画成.<4.>下图是某个展览馆的平面图，其中每个相邻的展览室有门相通.证明：不存在一条从A 进入，经过每个展览室恰好一次再从A 处出来的参观路线.证：用顶点代表展览室，两顶点相邻当且仅当这两点所对应的展览室有门相通，则可得一个连通简单图G （见下图）.因此，只要证明G 中不存在H —回路即可.具体理由如下：令}{1216,,,S y y y = ，则显然S 是G 的真子集，而()1816G S S ω-=>=（x 共18个，y 共16个），故由讲义中定理2.3知不存在H —回路.<5.>某次会议有20人参加，其中每个人都至少有10个朋友.这20人围一桌入座，要想使与每个人相邻的两位都是朋友是否可能？解:用顶点代表人，两人是朋友时相应顶点间连一边，得到一个无向图(,)G V E =.只要证明G 中存在H —回路即可. G 是10阶连通图，对于20n =，且()10,()10G G d u d v ≥≥，可得：()()20G G d u d v n +≥=，故由讲义中定理2.4知G 中存在H —回路.<6.>已知,,,,,,a b c d e f g 七个人中，a 会讲英语，b 会讲英语和汉语，c 会讲英语、意大利语和俄语，d 会讲汉语和日语，e 会讲意大利语和德语，f 会讲俄语、日语和法语，g 会讲德语和法语.能否将他们的座位安排在圆桌旁，使得每个人都能与他身边的人交谈.解：用七个顶点表示这七个人.若两人能交谈（会讲同一种语言），就在这两顶点之间连一条边，得到图G .只要证明图G 中存在H -回路即可. 具体结果如下：c e g f d b a c 意大利语德语法语日语汉语英语英语 .<7.>设G 是分划为,X Y 的二部图，且X Y ≠，则G 一定不是H —图。
电子科技大学-图论第二次作业
习题四：3. (1)画一个有Euler闭迹和Hamilton圈的图；(2) 画一个有Euler闭迹但没有Hamilton圈的图；(3) 画一个有Hamilton圈但没有Euler闭迹的图；(4) 画一个即没有Hamilton圈也没有Euler闭迹的图;解：找到的图如下：(1)一个有Euler闭迹和Hamilton圈的图；(2)—个有Euler闭迹但没有Hamilton圈的图;⑶一个有Hamilton圈但没有Euler闭迹的图;(4)一个即没有Hamilton圈也没有Euler闭迹的图.4. 设n阶无向简单图G有m条边，证明：若2 ) * ',则G是血加此"图。
证明：G是H图。
若不然，因为G是无向简单图，则n芝3,由定理％若G是n芝3的非单图，则G、一 ...C …度弱丁某个阵".于是有：- - 1 2 E(G)| E(C m,n ) - m (n 2m)(n m 1) m(m 1)1.这与条件矛盾！所以G 是H 图若G 有个奇点，则存在k 条边不重的迹Q1・Q 矿心，使得 E(G) = E(Q 】)U E(Q J U E(Q 3) U …U E(Q k ) 证明：不失一般性，只就 G 是连通图进行证明。
设 G=(n, m)是连通图。
令 虬 V 2,…,v,V k+1,…,v 是G 的所有奇度点。
在V i与v i+k 问连新边e i 得图G* (1三隹k). 则G*是欧拉图，因此，由Fleury 算法得欧拉环游C 在C 中删去e i (1m M k).得 k 条边不重的迹Qi (1 MiMk):E(G) E(Q1^E(Q2^^E(Qk)10. 证明：若：(1) G 不是二连通图，或者(2) G 是具有二分类|(X,Y)的偶图，这里|X” |Y|则G 是非Hamilton 图。
证明：(1) G|不是二连通图，则G 不连通或者存在割点v ,俨任-v) >2 ,由丁课本 上的相关定理：若G 是Hamilton 图，则对丁*勇)的任意非空顶点集S,有： w(G- S) <|S|,则该定理的逆否命题也成立，所以可以得出：若不是二连通图， 则G 是非Hamilton 图(2)因为是具有二分类(XI)的偶图，乂因为|X|丰1丫1,在这里假设|X| < |Y|,则有 w(G-X) = |Y|>|X|，也就是说：对北(G)|的非空顶点集S,有：w(G-S)>||S|成 立，则可以得出则G 是非Hamilton 图。
电子科大图论 第二次作业(4、5章) 答案
习题四3.（1）画一个有Euler 闭迹和Hamilton圈的图；（2）画一个有Euler 闭迹但没有Hamilton圈的图；（3）画一个有Hamilton圈但没有Euler闭迹的图；（4）画一个即没有Hamilton圈也没有Euler闭迹的图；解：找到的图如下：(1)一个有Euler 闭迹和Hamilton圈的图；(2)一个有Euler闭迹但没有Hamilton圈的图；(3) 一个有Hamilton圈但没有Euler闭迹的图;(4)一个即没有Hamilton圈也没有Euler闭迹的图.7. 将G中的孤立点去掉后的图为G1，则G1也是没有奇度点的，且G1的最小度大于等于2.则G1存在一个圈S1，在G1 –S1中去除孤立的点，得到一个新的图G2，显然G2也没有奇度的点，且G2的最小度大于等于2.这样G2中也存在一个圈S2，这样一直下去，指导Gm中有圈Sm，且Gm-Sm都是孤立的点。
这样E(G) = E(G1)并E(G2)…并E(Gm).命题得证。
10．证明：若：（1）不是二连通图，或者（2）是具有二分类的偶图，这里,则是非Hamilton图。
证明：（1）不是二连通图，则不连通或者存在割点,有,由于课本上的相关定理：若是Hamilton图，则对于的任意非空顶点集，有：,则该定理的逆否命题也成立，所以可以得出：若不是二连通图，则是非Hamilton图(2)因为是具有二分类的偶图，又因为，在这里假设,则有,也就是说：对于的非空顶点集，有：成立，则可以得出则是非Hamilton图。
习题五1.(1)证明：每个k方体都有完美匹配(k大于等于2)(2) 求K2n和K n,n中不同的完美匹配的个数。
证明一：证明每个k方体都是k正则偶图。
事实上，由k方体的构造：k方体有2k个顶点，每个顶点可以用长度为k的二进制码来表示，两个顶点连线当且仅当代表两个顶点的二进制码只有一位坐标不同。
如果我们划分k方体的2k个顶点，把坐标之和为偶数的顶点归入X，否则归入Y。
图论及其应用1-3章习题答案(电子科大) (1)
学号：201321010808 姓名：马涛习题14．证明图1-28中的两图是同构的证明 将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图作映射f : f(v i )→u i (1≤ i ≤ 10)容易证明，对∀v i v j ∈E((a)),有f(v i v j )=u i u j ∈E((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。
6．设G 是具有m 条边的n 阶简单图。
证明：m =⎪⎪⎭⎫⎝⎛2n 当且仅当G 是完全图。
证明 必要性 若G 为非完全图，则∃ v ∈V(G),有d(v)< n-1 ⇒ ∑ d(v) < n(n-1) ⇒ 2m <n(n-1)⇒ m < n(n-1)/2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2n , 与已知矛盾！充分性 若G 为完全图，则 2m=∑ d(v) =n(n-1) ⇒ m= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2n 。
9.证明：若k 正则偶图具有二分类V = V 1∪V 2，则 | V 1| = |V 2|。
(a)v 1v 2 v 3 v 4v 5 v 6v 7v 8 v 9v 10 u 1 u 2u 3u 4u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 10 (b)证明 由于G 为k 正则偶图，所以，k | V 1 | =m = k | V 2 | ⇒ ∣V 1∣= ∣V 2 ∣。
12.证明：若δ≥2，则G 包含圈。
证明 只就连通图证明即可。
设V(G)=｛v 1,v 2,…,v n ｝,对于G 中的路v 1v 2…v k ,若v k 与v 1邻接，则构成一个圈。
若v i1v i2…v in 是一条路，由于δ≥ 2，因此，对v in ，存在点v ik 与之邻接，则v ik ⋯v in v ik 构成一个圈 。
17.证明：若G 不连通，则G 连通。
证明 对)(,_G V v u ∈∀,若u 与v 属于G 的不同连通分支，显然u 与v 在_G 中连通；若u 与v 属于g 的同一连通分支，设w 为G 的另一个连通分支中的一个顶点，则u 与w ，v 与w 分别在_G 中连通，因此，u 与v 在_G 中连通。
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)考试时间：120分钟一．填空题(每题3分，共18分)1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个；2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。
则G 中顶点数至少有__9___个；3．设n 阶无向图是由k(k ≥2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____;4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_.5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。
图G图G二．单项选择(每题3分，共21分)1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A )(A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333).2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ）3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ）4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ）5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ）A Bb c123A B 3CDAD6．下列图中，不是偶图的是（ B ）7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ）三．作图(6分)1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图；2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图；3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图；解：四．(10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。
A B DC123A B DC解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图：权和为：20.五．(8分)求下图G 的色多项式P k(G).解：用公式)()()(e G P G P e G P k k k •+=-，可得G 的色多项式：)3)(2()1()()(3)()(2345---=++=k k k k k k k G P k 。
六．(10分) 一棵树有n 2个顶点的度数为2，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。
电路理论习题答案 第二章
习题22.1选择题（1）C （2）D （3）A （4）C （5）B （6）C2.2简答题（1）因为P 1=100W I s2=-4A所以U s2=50VI 1=10A I r2=5AI A =2-（10-4+5）=-9A（2）11101020111136152020R =+=+=++ 所以i=6020=3 i 1＋i 2＝330 i 1＝15i 2i 2=2i 1i 1=1 i 2 =2i 1’=i 2’i 1’=(60-30)/20=1.5i 1+I=i 1’所以I=0.5A(3) ①有三个电容组成一个网络时有SCU(s)+SCU 1(s)=SC ’U(s)得 C ’=3/2C依次 可得如图所示输入端电容Ci=(n+1)/2(n 为电容所组成的网孔数) ②同理可得 Ri ＝2/(n+1) (n 为电阻所组成的网孔数)(4) L=L 11+L 22+2 M =16H(5) 设放大器副端电压为U 3 电流为i 2 正端为i 1 从R 1,R 2端流出得电流为i 则有图可得U 3＝0， i 1＝i 2＝001212+=fU U U i R R R =- 所以01212ff R R U U U R R =--R f /R 1=4 R f /R 2=7由此得R 1＝2.5K Ω,R 2＝10/7（K Ω）（6）设理想变压器输入端线圈电压为U1，输出端线圈电压为U2 有n 1/u 1= n 2/u 2得 u 1＝(n 1/n 2)×u 2＝3u 2n 1i 1+n 2i 2＝0得 i 1＝－（1/3）i 2Ri ＝U/i 1＝4i 1+U 1=4+(3U 2)/(－1/3 i 2)=4－9×（-23/3）=73 K Ω2.3（1）LTI ，双向、单调、有源电阻（2）非线性、时变、单调、有源电阻（3）非线性时不变、单调、单向、有源电容（4）非线性、时不变、单向、流控、有源电感（5）非线性、时不变、有向、有源电感、单调（6）非线性、时不变、单调、单向、有源电阻（7）非线性、时不变、压控、单向、无源电（电流）（8）非线性、时不变、单调、单向、有源电容（9）非线性、时不变、单调、有源电阻（10）非线性、时不变、单调、流控、有源电阻（11）非线性、时不变、荷控、有源电容（12）非线性、时不变、单调、有源电阻2.4①2121U ()U ()1 ()()2t t L di t di t dt dt=== ∴元件1 为电感 ②又2L C 1(0)(0)(0)25(0)252C W W W CU =+=+= 故Uc(0)=0,i 1(0)=i 1(t)t =0= -10A.设元件2 为电阻，则(0)(0) 1.5(0)C L U U R i --==Ω ③元件3 为电容，2111()(0)()(1010)0t t C C t U t U i d e e C Cττ--==-+⎰ 由KVL 又可得：Uc(t)=-U L (t)－U R (t)= －10e-t+10e-2t比较两式系数得C=1F .2.52.6（a ）P R =34 (w),P v =32 (w),P 1= －2（w ）,消耗功率来源于电流源。
电子科大研究生图论——第1,2章基本概念,树
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例
G1
G2
K1,3
四个图均为偶图;
K 3,3
K1,3 , K3,3为完全偶图
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例
偶图
不是偶图
简单图G 的补图: 设 G =（V, E），则图 H =（V，E1\E） 称为G 的补图，记为 H G , 其中集合
例1 设 V ={v1, v2, v3, v4}，E ={v1v2 , v1v2, v2v3 }，则 G = (V, E) 是一个4阶图。
v1
v4
若用小圆点代
表点，连线代表边
，则可将一个图用
“图形”来表示,
如例精品课件
v3
注: 也可记边 uv 为e ，即 e = uv。
例2 设V = {v1,v2,v3,v4}，E = {e1,e2,e3,e4,e5}，其中 e1= v1v2， e2 = v2v3， e3 = v2v3， e4 = v3v4， e5
2. Hamilton 周游世界问题
1859年 Hamilton 提出这样一个 问题：一个正十二面体有20个顶点，它 们代表世界上20个重要城市。正十二面 体的每个面均为五边形，若两个顶点之 间有边相连，则表示相应的城市之间有 航线相通。 Hamilton 提出 “能否从某 城市出发经过每个城市一次且仅一次然 后返回出发点？”
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定理5 设有非负整数组Π = (d1, d2,…, dn)，且
n
di 2m
i 1
是一个偶数，n-1≥d1≥d2≥…≥dn， Π是可图的充要条件为
( d 2 1 , d 3 1 , , d d 1 1 1 , d d 1 2 , , d n )
电子科大图论-第二次作业(4、5章)-答案
习题四
3.（1）画一个有 Euler 闭迹和 Hamilton 圈的图；
（2）画一个有 Euler 闭迹但没有 Hamilton 圈的图； （3）画一个有 Hamilton 圈但没有 Euler 闭迹的图； （4）画一个即没有 Hamilton 圈也没有 Euler 闭迹的图； 解：找到的图如下： (1) 一个有 Euler 闭迹和 Hamilton 圈的图；
(2) 一个有 Euler 闭迹但没有 Hamilton 圈的图；
(3) 一个有 Hamilton 圈但没有 Euler 闭迹的图;
(4)一个即没有 Hamilton 圈也没有 Euler 闭迹的图.
7. 将 G 中的孤立点去掉后的图为 G1，则 G1 也是没有奇度点的，且 G1 的最小
度大于等于 2.则 G1 存在一个圈 S1，在 G1 –S1 中去除孤立的点，得到一个新的 图 G2，显然 G2 也没有奇度的点，且 G2 的最小度大于等于 2.这样 G2 中也存在 的点。这 样 E(G) = E(G1)并 E(G2)…并 E(Gm).命题得证。
则 是非 Hamilton 图
(2)因为 是具有二分类 的偶图，又因为
，在这里假设
,则有
,也就是说：对于
的非空顶点集 ，有：
成
立，则可以得出则 是非 Hamilton 图。
习题五
1. (1)证明：每个 k 方体都有完美匹配(k 大于等于 2)
图论 (2)
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例9.2.12
求右图中所有结点的度数、出度 和入度，指出悬挂结点和为悬挂 边。 解 deg(v1) = 1，deg+(v
1)
v1 v4 v2
1)
v5
=
0，deg-(v
= 1
v3
deg(v2) = 4，deg+(v2) = 3，deg-(v2) = 1
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例9.3.1
判 断 下 图 G1 中 的 回 路 v3e5v4e7v1e4v3e3v2e1v1e4v3 、 v3e3v2e2v2e1v1e4v3 、v3e3v2e1v1e4v3 是否是简单回路、 基本回路？图G2 中的通路v1e1v2e6v5e7v3e2v2e6 v5e8v4 、 v1e5v5e7v3e2v2e6v5e8v4 、 v1e1v2e6v5e7v3e3v4 是否是简单通路、基本通路？并求其长度。
对于同构，形象地说，若图的结点可以任意挪 动位置，而边是完全弹性的，只要在不拉断的条件 下，一个图可以变形为另一个图，那么这两个图是 同构的。
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两个图同构的必要条件
（1）结点数目相同；
（2）边数相同；
（3）度数相同的结点数相同。
9.3.1 通路与回路
通路与回路是图论中两个重要的基本概念。本 小节所述定义一般来说既适合有向图，也适合无向 图，否则，将加以说明或分开定义。
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图论及其应用第2章答案（电子科大版）
图论及其应用第2章答案（电子科大版）
习题二(yangchun)：
7.证明：非平凡树的最长路的起点和终点均是1度的。
证明设是非平凡树T中一条最长路，若则与在中的邻接点只能有一个，否则，若与除了中顶点之外的其他顶点相连，则可以继续延长，这与是最长路是相矛盾的。
若与上的某顶点相连，则就构成了圈，这与数相矛盾，推出不是最长路。
即说明与是树叶，则与均是一
度的。
所以非平凡树的最长路的起点和终点均是度的。
9.证明：顶点度数为偶数的连通图本身可构成一个包含所有边的闭迹。
证明：证明：由于是连通非平凡的且每个顶点度数为偶数，所以中至少
存在圈,从中去掉中的边，得到的生成子图,若没有边，则的边集合能划分为圈。
否则，的每个度数均为偶数的连通图，反复这样抽取，最终划分为若干圈。
设是的边划分中的一个圈。
若仅由此圈组成，则显然是闭迹。
否则，由于连通，所以，必然存有公共顶点。
于是，是一条含有与的边的迹，如此拼接下去，得到包含的所有边的一条闭迹.
16.Kruskal算法能否用来求：
（1）赋权连通图中的最大权的树？
（2）赋权图中的最小权的最大森林？如果可以，怎样实现？
答：1、不能，由Kruskal算法得到的任何生成树一定是最小生成树。
2、能。