北大附中2021届高三数学检测
2021届北京市中央民族大学附属中学高三上学期第一次周测数学试题
绝密★启用前数学试卷学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、选择题1. 已知集合 A ={x |2<x <4},{|3B x x =< },则 A ∪B =( )A {x |2<x <3}B {x |x <3}C {x |2<x <4}D {x |x <4} 2. 设非零实数 a ,b 满足 a <b <0,则下列不等式中一定成立的是( )A.1a >1b B. ab <b 2 C. a 2<b 2 D. ab<1 3. 已知集合A ={x +3,1+x 2,12}且 5ÎA ,则 x =( ).A .2B .-2C .2或-2D .不存在4. 已知a b <,则下列结论中正确的是A 0,c a b c ∀<>+B 0,c a b c ∀<<+C 0,c a b c ∃>>+D 0,c a b c ∃><+ 5. 下列函数中,定义域与值域相同的是( ).A .y =log 2xB .y =x 2C .y =2xD .y =2x6. 设a ∈R ,则1a >是11a<的( ). A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7. 函数(其中)的图象如图1所示,则函数的大致图象是( )8. 已知全集 U={a 1,a 2,a 3,a 4},集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集,且满足下列三个条件①若1a A ∈,则2a A ∈; ②若3a A ∉,则2a A ∉; ③若3a A ∈,则4a A ∉.则集合 A =( ) A .{a 1,a 2}B .{a 2,a 3}C .{a 2,a 4}D .{a 1,a 4}二、填空题9. 设区间 A =(-2,3], B =[2,+¥),请举出一个元素 x ,使得元素 x ÎA 且 x ÎB ,x =_______10. 已知a >0且a ¹1,命题p :"x ³0,a x ³1,则该命题的否定Øp 是___________ 11. 已知集合A =x ÎZ x 2-x -2£0{},集合B =0,2{},则C A B =___________12. 已知关于 x 的方程x 2-2x +m -1m =0的两根同号,则实数 m 的取值范围是____f (x )=(x -a )(x -b ) a >bg (x )=a x+b f (x )x y. 1 -1 O. 图1 A . B. C . D .xy . . 1 1Oxy . .1 1Ox y . . 11Ox y. . 1 1O13. 已知 a >0,b >0,a +2b =4,则 ab 的最大值是____________14. 设AB ,是R 的两个子集,对任意x R ∈,定义:01x A m x A ,,,,∉⎧=⎨∈⎩01.x B n x B ,,,∉⎧=⎨∈⎩(1)若A B ⊆,则对任意x R ∈,(1)m n -= _____;(2)若对任意x R ∈,1m n +=,则AB ,的关系为__________. 三、解答题15. 已知函数f (x )=x 3+x 2+3x .(I ) 求函数f (x )在 x =1处的切线方程; (II )求函数f (x )在区间 (0,+¥)上的最小值周测1答案1.D2.A3.B4.D5.C6.A7.D8.B9.(答案不唯一,[2,3]内任何一个数都符合)10.$x³0,a x<111.{-1,1}12.(1,+¥)13.214.(1)0 (2)(或A∪B=R)15.解:(1)f¢(x)=2x3+x2-3x2,f¢(1)=0,f(1)=5所以f(x)在x=1处的切线方程为y=5(2)∵f¢(x)=2x3+x2-3x2令g(x)=2x3+x2-3,∴f¢(x)与g(x)的符号相同g¢(x)=6x2+2x∴"x>0,g¢(x)>0,∴g(x)在(0,+¥)上单调递增又g(1)=0,即f¢(x)在(0,+¥)上有唯一的零点1∴当x=1时,函数f(x)在区间(0,+¥)上的最小值为5。
2021届北京市海淀区中国人民大学附属中学高三10月月考数学试题
2020届北京市海淀区中国人民大学附属中学高三10月月考数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.已知全集=R U ,集合20x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬⎩⎭,则集合U A 等于( ) A .{2x x <-或}0x >B .{2x x <-或}0x ≥C .{2x x ≤-或}0x >D .{2x x ≤-或}0x ≥2.已知角α的终边与单位圆交于点1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,则sin α的值为( )A .B .12-CD .123.下列函数中是奇函数,且在区间()0,∞+上是增函数的是( )A .1y x =B .2x y =C .1y x x =+D .1y x x=- 4.为了得到函数1cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,只要把1cos 2y x =的图象上所有的点( ) A .向左平移3π个单位长度 B .向右平移3π个单位长度 C .向左平移23π个单位长度 D .向右平移23π个单位长度5.“ln ln a b >”是 >的 ( )A .充分不必要条件;B .必要不充分条件;C .充要条件;D .既不充分也不必要条件.6.如果实数集R 的子集X 满足:任意开区间(),a b (其中a b <)中都含有X 中的元素,则称X 在R 中的稠密,若“R 的子集X 在R 中的不稠密”,则( ) A .任意开区间都不含有X 中的元素B .存在开区间不含有X 中的元素C .任意开区间都含有X 的补集中的元素D .存在开区间含有X 的补集的元素 7.函数()sin 2cos f x x x x =+的大致图象有可能是( )A .B .C .D .8.已知()2log f x x =,关于x 的方程()()0f x m m =>的根为1x ,()212x x x <,关于x 的方程()41f x m =+,41m m ⎛⎫≠ ⎪+⎝⎭根为3x ,()434x x x <.当m 变化时,4231x x x x --的最小值为( )A.B .8 C.D .16二、填空题9.已知向量()2,3a =,(),2b t =,若a 与b 共线,则实数t =__________.10.函数()f x =的定义域为______________ . 11.函数()sin 0,2y A x πωϕωϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,则()f x =__________.12.如图所示,某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50m ,摩天轮做匀速运动.摩天轮上一点P 自最低点A 点起经过min t 后,点P 的高度40sin 5062h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(单位:m ),那么P 的高度在距地面70m 以上的时间为__________min .13.如图,在△ABC 中,BO 为边AC 上的中线,2BG GO =,设CD ∥AG ,若15AD AB AC λ=+()R λ∈,则λ的值为 .三、双空题14.已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体,存在非零常数T ,对任意R x ∈,有()()f x T Tf x +=成立.(1)给出下列两个函数:()1f x x =,()()2201f x a a =<<,其中属于集合M 的函数是__________.(2)若函数()sin f x kx M =∈,则实数k 的取值集合为__________.四、解答题15.已知函数()()22cos cos sin R f x x x x x a x =+-+∈的最大值为5.(1)求a 的值和()f x 的最小正周期;(2)求()f x 的单调递增区间.16.如图所示,在平面四边形ABCD 中,DA AB ⊥,22CD AE ED ===,23ADC ∠=π,π3BEC ∠=,CED α∠=.(1)求sin α的值;(2)求BE 的长.17.在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ,然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒(如图).设小正方形边长为x 厘米,矩形纸板的两边AB ,BC 的长分别为a 厘米和b 厘米,其中a ≥b .(1)当a =90时,求纸盒侧面积的最大值;(2)试确定a ,b ,x 的值,使得纸盒的体积最大,并求出最大值.18.已知函数()()32413f x x a x a =--∈R . (1)曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线l 与直线210x y -+=平行,求l 的方程; (2)若函数()f x 的图象与直线2y =只有一个公共点,求实数a 的取值范围. 19.设函数()()ln f x x x ax a =⋅+∈R .(1)求函数()y f x =在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值点; (2)若()()()21212g x f x ax a x =+-+,求证:0a ≥是函数()y g x =在()1,2x ∈时单调递增的充分不必要条件.20.如图,设A 是由n n ⨯(2)n ≥个实数组成的n 行n 列的数表,其中ij a (,1,2,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数,且{1,1}ij a ∈-.定义1122st s t s t sn tn p a a a a a a =+++(,1,2,,)s t n =为第s 行与第t 行的积. 若对于任意,s t (s t ≠),都有0st p =,则称数表A 为完美数表.(Ⅰ)当2n =时,试写出一个符合条件的完美数表;(Ⅱ)证明:不存在10行10列的完美数表;(Ⅲ)设A 为n 行n 列的完美数表,且对于任意的1,2,,i l =和1,2,,j k =,都有1ij a =,证明:kl n ≤.参考答案1.B【分析】求出集合A 中不等式的解集确定出A ,根据全集U =R 求出A 的补集即可.【详解】由A 中的不等式变形得:200x x +≥⎧⎨<⎩或200x x +≤⎧⎨>⎩, 解得:20x -≤<,即{}|20A x x =-≤<,∵全集U =R ,∴U A ={2x x <-或}0x ≥.故选:B.【点睛】本题考查分式不等式的解法,考查补集及其运算,属于基础题.2.B【分析】根据三角函数的定义即可求出.【详解】 根据三角函数的定义可知,1sin 2y α==-. 故选:B .【点睛】本题主要考查三角函数的定义的应用,属于基础题.3.D【分析】可先判断奇偶性,再判断单调性.【详解】由奇偶性定义知ACD 三个函数都是奇函数,B 不是奇函数也不是偶函数, 1y x =在(0,)+∞上是减函数,1y x x=+是勾形函数,在(0,1)上递增,在(1,)+∞上递增,只有1y x x=-在(0,)+∞上递增. 故选:D .【点睛】 本题考查函数的奇偶性与单调性,掌握奇偶和单调性定义是解题基础.4.C【分析】 把函数式1cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化为1cos ()2y x a =+形式可得. 【详解】112cos cos ()2323y x x ππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭, 因此把1cos2y x =的图象上所有的点向左平移23π个单位得到函数1cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象. 故选:C .【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换,解题时对相位变换要注意平移的概念,特别是()f x ω向左平移m 个单位,得[()]f x m ω+不是()f x m ω+.5.A【解析】ln ln 0a b a b >⇒>>⇒>>1,0a b ==,则ln ln a b >不成立,所以ln ln a b >”是 >的充分不必要条件.∴选A .考点:充分条件、必要条件.6.B【分析】写出命题X 在R 中的稠密的否定即可,【详解】命题“任意开区间(),a b (其中a b <)中都含有X 中的元素”的否定是:“存在开区间(),a b (其中a b <)不含有X 中的元素”,故选:B .【点睛】本题考查新定义,考查命题的否定.解题关键是正确理解题意,R 的子集X 在R 中的不稠密就是X 在R 中的稠密的否定.由命题的否定可得.7.A【分析】根据函数的奇偶性排除D 选项.根据()()cos 2sin 1f x x x x =+的零点个数,对选项进行排除,由此得出正确选项.【详解】函数()f x 是偶函数,排除D ;由()()2sin cos cos cos 2sin 1f x x x x x x x x =+=+,知当()0,2x π∈时,cos 0x =有两个解π3π,22,令12sin 10,sin 2x x x x +==-,而sin y x =与12y x=-在()0,2π有两个不同的交点(如下图所示),故函数在()0,2π上有4个零点,故选A.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别,考查二倍角公式以及零点的个数判断方法,属于中档题. 8.B【分析】由数形结合思想求出1234,,,x x x x ,计算4231x x x x --并化简,然后由基本不等式求得最小值. 【详解】在同一坐标系中作出2log y x =的图象和直线y m =,41y m =+,交点,,,A B C D 的横坐标分别1234,,,x x x x ,由方程2log x m =解得122,2m m x x -==,同理4132m x -+=,4142m x +=,4231x x x x --44411144112222222222m m m m m m m m m m +++--++--==⋅⋅--412m m ++=41111228m m ++-+=≥=,当且仅当411m m +=+,即1m =时等号成立. ∴4231x x x x --的最小值是8. 故选:B .【点睛】本题考查对数函数的图象与性质的综合应用,求出方程的根代入并化简后应用基本不等式解决问题是解题关键.9.43【分析】由向量共线的坐标表示计算.【详解】由题意430t -=,43t =. 故答案为:43. 【点睛】本题考查向量平行的坐标运算,属于基础题同. 10.(0,1)(1,2]⋃ 【分析】根据幂函数的定义域、对数函数的定义域以及分母不等于零,列不等式组求解即可. 【详解】要使函数()f x =有意义,则24000x lnx x ⎧-≥⎪≠⎨⎪>⎩,解得02x <≤且1x ≠, 所以函数()f x =的定义域为()(]0,11,2⋃,故答案为()(]0,11,2⋃. 【点睛】本题主要考查函数的定义域、不等式的解法,属于中档题. 定义域的三种类型及求法:(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解;(2) 对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解;(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ,则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出. 11.2sin(2)6x π-【分析】结合“五点法作图”可求解. 【详解】由题意2A =,2()36T πππ=⨯+=,22πωπ==,2232k ππϕπ⨯+=+,2,6k k Z πϕπ=-∈,∵2πϕ<,∴6πϕ=-.∴()2sin(2)6f x x π=-.故答案为:2sin(2)6x π-.【点睛】本题考查由三角函数图象求解析式,掌握“五点法作图”是解题关键. 12.4 【分析】直接解不等式70h ≥即可. 【详解】由题意40sin 507062h t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭,1sin()622t ππ-≥,5226626k t k ππππππ+≤-≤+,124128k t k +≤≤+,k Z ∈,取0k =,则48t ≤≤,844-=.故答案为:4. 【点睛】本题考查三角函数模型的应用.考查解三角不等式,属于基础题. 13.65【解析】 试题分析:因为所以.又CD ∥AG ,可设从而.因为15AD AB AC λ=+,所以.考点:向量共线表示14.2()f x {|,}k k m m Z π=∈ 【分析】(1)根据集合M 的性质判断.(2)根据集合M 的性质求解,由sin ()sin k x T T kx +=恒成立成立,只有1T =±, 【详解】(1)若1()f x M ∈,则存在非零点常数T ,使得11()()f x T Tf x +=,则x T Tx +=,(1)0T x T -+=对x ∈R 恒成立,这是不可能的,1()f x M ∉;若2()f x M ∈,则存在非零点常数T ,使得22()()f x T Tf x +=,则22a Ta =,对x ∈R 恒成立,1T =,2()f x M ∈;(2)函数()sin f x kx M =∈,则存在非零点常数T ,使得()()f x T Tf x +=,即sin ()sin k x T T kx +=,0k =时,()0f x M =∈,0k ≠时,由x ∈R 知kx R ∈,()k x T k R +∈,sin [1,1]kx ∈-,sin ()[1,1]k x T +∈-,因此要使sin ()sin k x T T kx +=成立,只有1T =±, 若1T =,则sin()sin kx k kx +=,2,T m m Z π=∈,若1T =-,则sin()sin kx k kx -=-,即sin()sin kx k kx π-+=,2k m ππ-+=,(21),k m m Z π=--∈,综上实数k 的取值范围是{|,}k k m m Z π=∈. 故答案为:2(),f x {|,}k k m m Z π=∈. 【点睛】本题考查新定义问题,此类问题的特点是解决问题只能以新定义规则为依据,由新定义规则把问题转化,转化为熟悉的问题进行解决. 15.(1)3a =,T π=.(2)[,],36k k k Z ππππ-+∈【分析】(1)先降幂,由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式,然后由正弦函数性质求解;(2)由正弦函数的单调区间可得. 【详解】(1)()2cos22sin(2)6f x x x a x a π=++=++,由题意25a +=,3a =,22T ππ==.(2)222262k x k πππππ-≤+≤+,解得36k x k ππππ-≤≤+,∴增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换,考查正弦函数的性质:周期性,最值,单调性,掌握正弦函数的性质是解题关键. 16.(1)7;(2)【分析】(1)在CDE △中,由余弦定理2222cos EC CD DE CD ED EDC =+-⋅⋅∠,可求得EC ,再由正弦定理得sin sin EC CDEDC α=∠,可求出sin α;(2)先求出cos α,结合2π3AEB α∠=-,可得2πcos cos 3AEB α⎛⎫∠=- ⎪⎝⎭,再由cos AEBE AEB=∠可求出答案.【详解】(1)在CDE △中,由余弦定理,得2222cos 24122cos π37EC CD DE CD ED EDC =+-⋅⋅∠-=+⨯=⨯,在CDE △中,由正弦定理,得sin sin EC CDEDC α=∠.于是,2πsin23sin CD EC α⋅===. (2)由题设知,π03α<<,于是由(1)知,cos α===. 而2π3AEB α∠=-,所以2πcos cos 3AEB α⎛⎫∠=- ⎪⎝⎭2π2πcos cos sin sin 33αα=+= 在直角EAB中,BE ==.【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用,考查学生的推理能力与计算能力,属于基础题. 17.(1)当x =654时,纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米;(2)当a =b =60,x =10时纸盒的体积最大,最大值为16000立方厘米. 【解析】试题分析:(1)矩形纸板ABCD 的面积为3600,故当90a =时,40b =,列出关于纸盒侧面积S 函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得最大值;(2)列出盒子体积V 的函数解析式,利用导数求解函数的单调性、最值,即可得到结论。
2021届北京市人大附中高三上学期10月月考数学试题
绝密★启用前数学试卷________________学校:注意事项:注意事项:1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
01.已知集合A = {-l,0,l},3 = {x∈N卜vl},则AnB =A.{-l, 0}B. {0, 1}C. {0}D. Φ02.已知命题PΞv∈(0,+oo),lnx+x<0 ,贝IJrP 为A. VX∈(0,+∞),hix+ X<0B. (0,+Qo),lιιx+x≥0C. VX∈(0,+oo),Iiix+ X≥0D. (0,+oo),lιιx+x≥003.已知点P(2cos-,1)是角α终边上一点,则Sma=1A.—21c.--204.已知向量α=(l,l),b(2,∙l),若(λa+2b) ∕7(a-b),则实数 2=A. 8B.-8C. 2D. -205.以下选项中,满足logα 2 > Iog h 2的是A. a=2,b=4B. a=3,b=41 . 1D. a = — ,b =—2 406.下列函数中,既是奇函数又在区间(-1, 1)内是增函数的是A.∕(x) = x3 -3x By(X)=SiIiTc∙ /W - In I1 + x D. f(x) = e x + e'x07.已知方程X2 + ax-l ==O在区间[0,1]上有解,则实数a的取值范围是A. [0,+∞)B. (-∞, 0]C. (-8, -2]D. [-2,0]0&已知α是非零向量,加为实数,贝IJ“制=加”是“亍="”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件09.已知α>0,若函数/(X) =J aX有最小值,则实数a的取值范围是CI x~— 1, X > 1A. ( 1, +oo)B. [1, +∞)C. ( — , +oo)2 D.[丄,+oo)210.定义在[1, +g)上的函数张)满足,当0≤Λ<^时,几Y)=SilLY;当x>π时,几¥)=幼冲r)若方程fix)-x+m=0在区间[0,5町上恰有3个不同的实根,则m的所有可能取值集合是A,[0,^-√3) B. (0,^-√3)C. [0,¥-√J)U[3加4龙)D. [0,¥-√5)U(3∕Γ,4∕)二、填空题共5小题每小题5分,共25分。
2021届北京市中国人民大学附属中学高三上学期数学统练(五)试题(解析版)
2021届北京市中国人民大学附属中学高三上学期数学统练(五)试题一、单选题1.已知集合{}sin ,0A x y x x π==<<,{}cos ,0B y y x x π==<<,则A B =( )A .4π⎧⎫⎨⎬⎩⎭B .2⎪⎪⎩⎭C .,42π⎧⎫⎛⎪⎪⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎩⎭D .以上答案都不对 【答案】D【分析】化简集合,A B ,再根据集合的交集运算求得结果.【详解】{}sin ,0A x y x x π==<<,集合A 的元素代表是x ,{}0A x x π∴=<< {}cos ,0B y y x x π==<<,集合B 的元素代表是y ,当0πx <<时,1cos 1x -<<,{}11B y y ∴=-<<{}01A B x x ∴⋂=<<故选:D【点睛】易错点睛:本题考查求三角函数的定义域与值域及集合的交集运算,利用描述法描述集合时一定注意集合的元素代表,考查学生的分析与转化能力,属于基础题. 2.已知向量(),1a t =,()1,2b =.若a b ⊥,则实数t 的值为( ) A .-2 B .2C .12-D .12【答案】A【分析】由题意利用两个向量垂直的性质,两个向量的数量积公式,求出t 的值.【详解】解:∵向量()1a t =,,()1,2b =,若a b ⊥,则20a b t ⋅=+=, ∴实数2t =-, 故选:A.【点睛】本题考查向量垂直的求参,重在计算,属基础题.3.下列函数中,既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是( ) A .12y x =B .1sin sin y x x=+C .2log y x =D .x x y e e -=-【答案】D【分析】12y x =为非奇非偶函数,可排除A ;通过举反例可知1sin sin y x x =+在()0,1上不是单调递增,可排除B ;2log y x =为偶函数,可排除C ;根据奇偶性定义和单调性的性质可验证D 正确.【详解】对于A ,函数12y x =的定义域为[)0,+∞,不关于原点对称,故12y x =为非奇非偶函数,不符合题意; 对于B ,函数1sin sin y x x=+的定义域为{}|,x x k k Z π≠∈,关于原点对称,利用正弦函数知1sin sin y x x =+为奇函数,又0164ππ<<<,当6x π=时,52y =;当4x π=时,52y =<,故不满足在区间(0,1)上单调递增,不符合题意; 对于C ,函数2log y x =的定义域为{}|0x x ≠,关于原点对称,又22log log x x -=,故 2log y x =为偶函数,不符合题意;对于D ,函数x xy e e -=-的定义域为R ,关于原点对称,又()x xx x e ee e ---=--,故xxy e e -=-为奇函数,又利用指数函数知xy e =在()0,1上单调递增,xy e -=在()0,1上单调递减,故x x y e e -=-在()0,1上单调递增,符合题意;.故选:D.【点睛】关键点睛:本题考查函数单调性和奇偶性的判断,解题的关键是熟悉奇偶函数的定义及单调函数定义,在判断函数奇偶性时一定先看函数的定义域是否关于原点对称,考查学生的逻辑推理能力与转化能力,属于基础题.4.已知抛物线212y x =-的焦点与双曲线2214x y a -=的一个焦点重合,则a =( )A .BC .5D .【答案】C【分析】首先求抛物线的焦点坐标,由双曲线方程可知24c a =+,求a 的值. 【详解】抛物线212y x =-的焦点是()3,0-,双曲线2214x y a -=中,24c a =+,由题意可知49a +=,解得:5a =.故选:C5.已知3log 6a =,54log b =,若12log a m b >>,m R ∈,则满足条件的m 可以为( ) A .18B .14C .12D .1【答案】C【分析】计算出a 、b 的范围,然后再逐项验证各选项中的m 的值是否满足12log a m b >>,由此可得出合适的选项.【详解】333log 3log 6log 9<<,即12a <<,555log 1log 4log 5<<,即01b <<,121log 38=,1212og 4l =,121log 12=,12log 10=,所以,满足12log a m b >>的m 可以为12.故选:C.6.圆22(3)(3)9x y -+-=上到直线34110x y +-=的距离等于1的点有( ) A .1个 B .3个C .2个D .4个【答案】B【分析】由圆的方程找出圆心A 的坐标和半径r =3,然后由点到直线的距离公式求出圆心A 到已知直线的距离为2,由AE ﹣AD =DE ,即3﹣2=1求出DE 的长,得到圆A 上的点到已知直线距离等于1的点有三个,如图,点D ,P 及Q 满足题意. 【详解】由圆的方程,得到圆心A 坐标为(3,3),半径AE =3, 则圆心(3,3)到直线3x +4y ﹣11=0的距离为d 3343115⨯+⨯-==2,即AD =2,∴ED =1,即圆周上E 到已知直线的距离为1,同时存在P 和Q 也满足题意, ∴圆上的点到直线3x +4y ﹣11=0的距离为1的点有3个. 故选B .【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,以及点到直线的距离公式,考查了数形结合的数学思想,是一道中档题.7.“3a =”是“直线1l :2+60ax a y +=和直线2l :(2)320a x ay a -++=平行”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用直线平行的条件和充分必要条件的定义判断可得选项.【详解】当3a =时,直线1l :3+20x y +=和直线2l :960x y ++=,此时直线1l 与直线2l 不平行,当直线1l :2+60ax a y +=和直线2l :(2)320a x ay a -++=平行时,()2302a a a a ⨯-⨯-=,解得5a =(0a =舍去).“3a =”是“直线1l :2+60ax a y +=和直线2l :(2)320a x ay a -++=平行”的既不充分也不必要条件. 故选:D.8.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +(A ,ω,ϕ均为正的常数)的最小正周期为π,当23x π=时,函数()f x 取得最小值,则下列结论正确的是( ) A .()()()220f f f <-< B .()()()022f f f <<- C .()()()202f f f -<< D .()()()202f f f <<-【答案】A【分析】依题意可求ω=2,又当x 23π=时,函数f (x )取得最小值,可解得φ,从而可求解析式f (x )=A sin (2x 6π+),利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小.【详解】解:依题意得,函数f (x )的周期为π, ∵ω>0, ∴ω2ππ==2.又∵当x 23π=时,函数f (x )取得最小值, ∴223π⨯+φ=2k π32π+,k ∈Z ,可解得:φ=2k π6π+,k ∈Z ,∴f (x )=A sin (2x +2k π6π+)=A sin (2x 6π+). ∴f (﹣2)=A sin (﹣46π+)=A sin (6π-4+2π)>0.f (2)=A sin (46π+)<0,f (0)=A sin 6π=A sin 56π>0,又∵326ππ->4+2π562ππ>>,而f (x )=A sin x 在区间(2π,32π)是单调递减的,∴f (2)<f (﹣2)<f (0). 故选A .【解析】1.三角函数的图象与应用;2.函数值的大小比较.9. 已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数都有()0f x ≥,则(1)'(0)f f 的最小值为( ) A .2 B .52C .3D .32【答案】A 【解析】()2200{,440a f x acb b ac >≥∴∴≥∆=-≤恒成立,,且0,0c a >> 又()()()2,00,1f x ax b f b f a b c =+∴'='=>++,()()11111120f a c f b +∴=+≥≥+=+='当且仅当()()120f a c f ='时,不等式取等号,故的最小值为 10.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔,甲、乙、丙三位选手进入了最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定:每场知识竞赛前三名的得分依次为a ,b ,c (a b c >>,且a ,b ,*c ∈N );选手总分为各场得分之和.四场比赛后,已知甲最后得分为16分,乙和丙最后得分都为8分,且乙只有一场比赛获得了第一名,则下列说法正确的是( )A .每场比赛的第一名得分a 为4B .甲至少有一场比赛获得第二名C .乙在四场比赛中没有获得过第二名D .丙至少有一场比赛获得第三名 【答案】C【分析】根据四场比赛总得分,结合a ,b ,c 满足的条件,可求出a ,b ,c ,再根据已知的得分情况,确定甲、乙、丙的得分情况,问题即可解决. 【详解】∵甲最后得分为16分, ∴4a >,接下来以乙为主要研究对象,①若乙得分名次为:1场第一名,3场第二名,则38a b +=,则384b a =-<,而*b ∈N ,则1b =,又*c ∈N ,a b c >>,此时不合题意;②若乙得分名次为:1场第一名,2场第二名,1场第三名,则28a b c ++=,则284b c a +=-<,由a b c >>,且a ,b ,*c ∈N 可知,此时没有符合该不等式的解,不合题意; ③若乙得分名次为:1场第一名,1场第二名,2场第三名,则28a b c ++=,则284b c a +=-<,由a b c >>,且a ,b ,*c ∈N 可知,此时没有符合该不等式的解,不合题意; ④若乙得分名次为:1场第一名,3场第三名,则38a c +=,此时显然5a =,1c =, 则甲的得分情况为3场第一名,1场第三名,共35116⨯+=分,乙的得分情况为1场第一名,3场第三名,共5318+⨯=分, 丙的得分情况为4场第二名,则48b =,即2b =,此时符合题意. 综上分析可知,乙在四场比赛中没有获得过第二名. 故选:C.【点睛】本题考查了学生的逻辑推理能力和阅读理解能力,属于中档题.二、填空题11.设i 为虚数单位,则11ii-+的虚部为______. 【答案】1-【分析】根据复数除法运算化简复数,进而得结果【详解】()()()()2211112211112i i i i i ii i i i i -⋅---+-====-++⋅-- 故答案为:1-【点睛】易错点睛:本题考查了复数的实部和虚部,在解题时一般利用分子、分母同乘分母的共轭复数进行运算,化简为a bi +的形式,b 就是这个复数的虚部,一定要注意符号,考查学生的运算求解能力,属于易错题.12.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长,则该椭圆的离心率为______.【分析】作出图形,设过椭圆右焦点2F 且垂直于长轴的弦为AB ,计算出1AF ,再利用椭圆的定义可得出关于a 、c 的等式,进而可求得椭圆的离心率的值.【详解】如下图所示,设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,设过椭圆右焦点2F 且垂直于长轴的弦为AB ,则2AB c =,212AF AB c ==,由勾股定理可得1AF ==,由椭圆的定义可得122AF AF a +=52c c a +=,所以,该椭圆的离心率为()()251512515151c e a ====++-. 故答案为:512. 【点睛】方法点睛:求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下:(1)定义法:通过已知条件列出方程组,求得a 、c 的值,根据离心率的定义求解离心率e 的值;(2)齐次式法:由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程,然后转化为关于e 的方程求解; (3)特殊值法:通过取特殊位置或特殊值,求得离心率.13.椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 在椭圆上且同时满足:①12F F P 是等腰三角形; ②12F F P 是钝角三角形; ③线段12F F 为12F F P 的腰; ④椭圆C 上恰好有4个不同的点P . 则椭圆C 的离心率的取值范围是______. 【答案】1213⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】由已知12F F P 是以12F F 为腰的等腰三角形,即点P 在以1F 为圆心,2c 为半径的圆上,结合圆与椭圆有两个交点,及12PF F ∠为钝角,结合余弦定理建立关于,a c的不等式,解不等式即可求得结果.【详解】如图,根据椭圆的对称性知,点P 及关于x 轴,y 轴,原点对称的其它3点,即为椭圆C 满足条件的4个不同的点.根据题意可知12F F P 是以12F F ,1F P 为两腰的等腰三角形,故1122F F F P c ==,即点P 在以1F 为圆心,12F F 为半径的圆上,由题知以1F 为圆心,2c 为半径的圆与椭圆有两个交点,即可存在两个满足条件的等腰12F F P ,此时必有11F P AF >,即2c a c >-,即3a c <,所以离心率13e >; 又12PF F ∠为钝角,则12os 0c PF F <∠,利用余弦定理知2221122||||||F P F F F P <+,即222(2)(2)(22)c c a c <+-,整理得2220c ac a +-<,两边同除以2a 得,2210e e +-<,解得:021e <<-综上,可知椭圆C 的离心率的取值范围是1213e <<- 故答案为:1,213⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛:本题考查椭圆的基本性质,及椭圆离心率的取值范围,解题关键是找到关于,a c 的不等关系,本题中12F F P 是以12F F 为腰的等腰三角形,结合圆与椭圆有两个交点,及12PF F ∠为钝角,建立关于,a c 的不等式,解不等式求得结果,考查了学生的运算求解能力,逻辑推理能力.属于中档题.14.已知集合{}22(,)(cos )(sin )4,0P x y x y θθθπ=-+-=≤≤.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示,中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论:①“水滴”图形与y 轴相交,最高点记为A ,则点A 的坐标为()0,1 ; ②在集合P 中任取一点M ,则M 到原点的距离的最大值为3;③阴影部分与y 轴相交,最高点和最低点分别记为C ,D ,则23CD =+④白色“水滴”图形的面积是1136π 其中正确的有______. 【答案】②④【分析】①方程()()22cos sin 4x y θθ-+-=中,令0x =求得y 的取值范围,得出最高点的坐标;②利用参数法求出点M 到原点的距离d ,求出最大值; ③求出知最高点C 与最低点D 的距离CD ;④计算“水滴”图形的面积是由一个等腰三角形,两个全等的弓形和一个半圆组成. 【详解】对于①,方程()()22cos sin 4x y θθ-+-=中, 令0x =,得222cos 2sin sin 4y y θθθ+-+=, 所以32sin y yθ=-,其中[]0,θπ∈, 所以[]sin 0,1θ∈, 所以[]30,2y y-∈, 解得3,13,3y ⎡⎤⎡⎤∈--⎣⎦⎣⎦;所以点(3A ,点()0,1B -,点()0,3C ,点(0,3D ,所以①错误; 对于②,由()()22cos sin 4x y θθ-+-=,设2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩,则点M 到原点的距离为d===当αθ=时,()cos1αθ-=,d取得最大值为3,所以②正确;对于③,由①知最高点为()0,3C,最低点为(0,D,所以3CD=+③不正确;对于④,“水滴”图形是由一个等腰三角形,两个全等的弓形,和一个半圆组成;计算它的面积是212111+2+1222326S S S Sπππ⎛==⨯⨯+⨯+⨯=-⎝弓形半圆所以④正确;综上知,正确的命题序号是②④.故答案为:②④.【点睛】关键点点睛:本题的关键,一是求出,,,A B C D四点坐标,正确判断①③,将方程写成圆的参数方程形式,再利用两点间距离判断③,对于④,两个弓形,分别是以“水滴”与x轴的交点为圆心,半径为2的圆所在的弓形.三、双空题15.数列{}n a的前n项和为n S,且11a=,12n na S+=,1,2,3,n=⋅⋅⋅.则3a=______;234+1na a a a+++⋅⋅⋅+=______.【答案】6 31n-【分析】由已知当2n≥时,12n na S-=,结合已知条件知13nnaa+=,验证1n=时不满足,得到数列{}n a的通项公式为21,123,2n nnan-=⎧=⎨⨯≥⎩,进而求得36a=,再利用等比数列求和公式可求得234+1na a a a+++⋅⋅⋅+.【详解】由12n na S+=知,当2n≥时,12n na S-=两式作差得:11222n n n n na a S S a+--=-=,即13n na a+=,即13nnaa+=;又11a=,2122a S==,不符合上式,故数列{}n a去掉第一项是公比为3的等比数列,所以数列{}n a 的通项公式为21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩ 所以当3n =时,36a =12+1234+13232313132311n n n n na a a a a a ---⨯⨯-+++⋅⋅⋅+====----故答案为:6,31n -【点睛】方法点睛:本题考查求数列的通项公式及等比数列求和公式,求数列通项公式常用的方法:(1)由n a 与n S 的关系求通项公式,当2n ≥时,1n n n a S S -=-,一定要验证当1n =时是否满足;(2)累加法;(3)累乘法;(4)两边取到数,构造新数列法,考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力,属于易错题.四、解答题16.已知2()sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的单调递减区间;(2)在锐角ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1a =,求ABC 面积的最大值. 【答案】(1)3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦;(2. 【分析】(1)首先根据三角函数恒等变换得到()1sin 22f x x =-,再求其单调减区间即可.(2)首先根据02A f ⎛⎫=⎪⎝⎭得到1sin 2A =,cos 2A =,根据余弦定理和基本不等式得到2bc ≤,再求面积的最大值即可. 【详解】(1)由题意1cos 2111112()sin 2sin 2sin 2sin 2222222x f x x x x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-=-+=-. 由322222k x k ππππ+≤≤+,得3()44k x k k Z ππππ+≤≤+∈,所以()f x 的单调递减区间是3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. (2)因为1()sin 022=-=Af A ,所以1sin 2A =,由题意A 是锐角,所以cos A =由余弦定理:2222cos a b c bc A =+-,可得2212c c b b c =+≥,所以2≤=bc b c =时成立.所以11sin 24ABC S bc A bc ==≤△,ABC . 17.设函数2()e 3x f x m x =-+,其中m R ∈.(Ⅰ)当()f x 为偶函数时,求函数()()h x xf x =的极值;(Ⅱ)若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点,求m 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)极小值(1)2h -=-,极大值(1)2h =;(Ⅱ)4132e em -<<或36e m = 【分析】(Ⅰ)根据偶函数定义列方程,解得0m =.再求导数,根据导函数零点列表分析导函数符号变化规律,即得极值,(Ⅱ)先分离变量,转化研究函数()23e xx g x -=,[]2,4x ∈-,利用导数研究()g x 单调性与图象,最后根据图象确定满足条件的m 的取值范围.【详解】(Ⅰ)由函数()f x 是偶函数,得()()f x f x -=, 即()22e 3e 3x x m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立, 所以0m =. 此时()()33h x xf x x x ==-+,则()233h x x =-'+.由()0h x '=,解得1x =±. 当x 变化时,()h x '与()h x 的变化情况如下表所示:所以()h x 在(),1-∞-,()1,+∞上单调递减,在()1,1-上单调递增. 所以()h x 有极小值()12h -=-,()h x 有极大值()12h =.(Ⅱ)由()2e 30xf x m x =-+=,得23exx m -=. 所以“()f x 在区间[]2,4-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线()23e x x g x -=,[]2,4x ∈-有且只有两个公共点”. 对函数()g x 求导,得()223e xx x g x -++'=.由()0g x '=,解得11x =-,23x =. 当x 变化时,()g x '与()g x 的变化情况如下表所示:所以()g x 在()2,1--,()3,4上单调递减,在()1,3-上单调递增. 又因为()22e g -=,()12e g -=-,()()3632e g g =<-,()()41341e g g =>-, 所以当4132e e m -<<或36e m =时,直线y m =与曲线()23e xx g x -=,[]2,4x ∈-有且只有两个公共点. 即当4132e e m -<<或36em =时,函数()f x 在区间[]2,4-上有两个零点. 【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.18.已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>经过两点(1,2P,(Q .(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E (异于点F ),求AB FE ⋅的最大值.【答案】(Ⅰ)2212x y +=(Ⅱ)最大值为1【分析】(Ⅰ)将,P Q 坐标代入椭圆方程可解得,a b ,进而得到结果;(Ⅱ)设直线l 方程为1x ty =+,与椭圆方程联立可得韦达定理的形式,由弦长公式表示出AB ;利用垂径定理可表示出FE ,从而将AB FE ⋅表示为关于t 的函数,利用基本不等式可求得最大值.【详解】(Ⅰ)椭圆:C ()222210x y a b a b +=>>过点P ⎛ ⎝⎭,()Q221112a ab ⎧=⎪∴⎨+=⎪⎩,解得:1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=(Ⅱ)由题易知直线l 的斜率不为0,可设l :1x ty =+由22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得:()222210t y ty ++-=,则()222442880t t t ∆=++=+> 设()11,A x y ,()22,B x y ,则12222ty y t -+=+,12212y y t -=+又12AB y y =-,以FP为直径的圆的圆心坐标为⎛ ⎝⎭,半径为4r = 故圆心到直线l的距离为d ==∴FE ===∴12AB FE y y ⋅=-=====211t +≥ ()221121t t ∴++≥+,即()221114121t t ≤++++1AB FE ∴⋅≤=(当且仅当22111t t +=+,即0t =时取等号) 当0t =时,直线与椭圆有交点,满足题意,且1AB FE ⋅=AB FE ∴⋅的最大值为1【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题,涉及到椭圆方程的求解、最值问题的求解;解决最值问题的关键是能够将所求量表示为关于某一变量的函数,进而利用函数中的最值求解方法求得最值.19.设函数()e cos x f x x =,()g x 为()f x 的导函数.(Ⅰ)当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,证明:()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭; (Ⅱ)设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点,其中n N ∈,证明:200e 22sin cos n n n x x x πππ-+--<.【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)证明见解析. 【分析】(Ⅰ)构造函数()()()2h x f x g x x π⎛⎫-=⎝+⎪⎭,结合导函数的符号求解函数()h x 的最小值即可证得题中的结论;(Ⅱ)令2n n y x n π=-,结合(Ⅰ),(Ⅱ)的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的结果.【详解】(Ⅰ)证明:记()()()2h x f x g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.依题意有()e (cos sin )xg x x x =-,从而'()2e sin xg x x =-.当,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,'()0g x <,故 ''''()()()()(1)()022h x f x g x x g x g x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此,()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以,当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)证明:依题意,()()10n n u x f x =-=,即cos e 1n xn x =.记2n n y x n π=-,则,42n y ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭,且()()()22e cos e cos 2e n n y x n n n n n f y y x n n π--π==-π=∈N . 因为()()20e 1n n f y f y -π==≤及(Ⅰ),所以0n y y ≥.由(I )知当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()'0g x <,所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数, 因此()()004n g y g y g π⎛⎫≤<=⎪⎝⎭.又由(I )知,()()02n n n f y g y y π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭, 故()()()()()022*******2sin cos sin c e e e o e e s n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x πππππ------=-≤-=<--≤.所以,20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.【点睛】方法点睛:1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数,然后用导数判断该函数的单调性或求出最值,达到证明不等式的目的;2、利用导数解决不等式恒成立问题,应特别注意区间端点是否取得到;3、学会观察不等式与函数的内在联系,学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.。
北京市海淀区清华大学附属中学2021届高三数学上学期10月月考试题(含解析).doc
北京市海淀区清华大学附属中学2021届高三数学上学期10月月考试题(含解析)一、选择题 1.已知集合,B ={|(1)(3)0}x x x --<,则A∩B=( )A. {|1}x x >B. {|23}x x <<C. {|13}x x <<D. {|2x x >或1}x <【答案】B 【解析】试题分析:{|(1)(3)0}{|13}B x x x x x x =--<=<< 又{}2A x x =所以{|23}A B x x ⋂=<< 故答案选B考点:集合间的运算.2.若角θ的终边过点()3,4P -,则()tan θπ+=( ) A.34B. 34-C.43D. 43-【答案】D 【解析】分析:利用任意角三角函数的定义,诱导公式,求得要求的式子的值 详解:角θ的终边过点()34P -,, 则()4tan 3y tan x θπθ+===- 故选D点睛:本题主要考查了任意角的三角函数的定义,属于基础题,结合诱导公式运用定义即可求出结果。
3.已知函数,log ab y x y x ==的图像如图所示,则A. 1b a >>B. 1b a >>C. 1a b >>D.1a b >>【答案】A 【解析】由图象,得log b y x =在(0,)+∞上单调递增,即1b >,ay x =在[0,)+∞上单调递增,且增加得越来越慢,即01a <<,则1b a >>.故选A.【点睛】本题考查对数函数、幂函数的图象和性质.解决本题的难点是利用幂函数的图象判定幂指数a 与1的大小,若0a >时,幂函数a y x =在[0,)+∞上单调递增,要与常见函数2yx 、y x =、12y x =的图象对照确定.4.已知函数()f x 的定义域为R ,则“()00f =”是“()f x 是奇函数”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析:()2f x x =满足()00f =,但不是奇函数,因此充分性不成立;若()f x 是奇函数,又定义域为R ,因此()()()0000f f f =-⇒=,必要性成立,因此选B. 考点:充要关系【方法点睛】判断充分条件和必要条件的方法 (1)命题判断法:设“若p ,则q”为原命题,那么:①原命题为真,逆命题为假时,p 是q 的充分不必要条件; ②原命题为假,逆命题为真时,p 是q 的必要不充分条件;③原命题与逆命题都为真时,p 是q 的充要条件;④原命题与逆命题都为假时,p 是q 的既不充分也不必要条件. (2)集合判断法:从集合的观点看,建立命题p ,q 相应的集合:p :A ={x|p(x)成立},q :B ={x|q(x)成立},那么:①若A ⊆B ,则p 是q 的充分条件;若A ≠⊂B 时,则p 是q 的充分不必要条件; ②若B ⊆A ,则p 是q 的必要条件;若B ≠⊂A 时,则p 是q 的必要不充分条件; ③若A ⊆B 且B ⊆A ,即A =B 时,则p 是q 的充要条件. (3)等价转化法:p 是q 的什么条件等价于綈q 是綈p 的什么条件. 5.已知3cos ,(,0)42παα=∈-,则sin 2α的值为( )A. 38B. 38-D. 【答案】D 【解析】试题分析:由题意sin α===,所以sin 22sin cos ααα=32(4=⨯⨯=D . 考点:同角间的三角函数关系,二倍角公式.6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯 A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏【答案】B 【解析】【详解】设塔顶的a 1盏灯, 由题意{a n }是公比为2的等比数列,∴S 7=()711212a --=381,解得a 1=3. 故选:B .7.某校象棋社团组织中国象棋比赛,采用单循环赛制,即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场,胜者得2分,负者得0分,平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多,且获胜场次比其他人都少,则本次比赛的参赛人数至少为 A. 4 B. 5 C. 6D. 7【答案】C 【解析】分析:对于四个选项中给出的参赛人数分别进行分析,看是否满足条件,然后可得结论. 详解:对于A ,若参赛人数最少为4人,则当冠军3次平局时,得3分,其他人至少1胜1平局时,最低得3分,所以A 不正确.对于B ,若参赛人数最少为5人,当冠军1负3平局时,得3分,其他人至少1胜1平局,最低得3分,所以B 不正确.对于C ,若若参赛人数最少为6人,当冠军2负3平局时,得3分,其他人至少1胜1平局,最低得3分,此时不成立;当冠军1胜4平局时,得6分,其他人至少2胜1平局,最低得5分,此时成立.综上C 正确.对于D ,由于7大于6,故人数不是最少.所以D 不正确. 故选C .点睛:本题考查推理问题,考查学生的分析问题和应用所学知识解决问题的能力.解题时要根据所给出的条件进行判断、分析,看是否得到不合题意的结果.8.已知定义在R 上的的数()()20xa x f x ln x a x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩,,若方程()1=2f x 有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是( ) A. 1122a -≤≤ B. 102a ≤<C. 01a ≤<D.102a -<≤ 【答案】A 【解析】【详解】当12 a=-时,11222xx≤⎧⎪⎨-=⎪⎩或11ln()22xx>⎧⎪⎨-=⎪⎩解得1210,2x e=+,即有两个不相等的实数根,所以去掉B,C,D,选A.二、填空题9.已知函数()y f x=的导函数有且仅有两个零点,其图像如图所示,则函数()y f x=在x=_____处取得极值.【答案】-1【解析】【分析】利用导函数的图象,通过导函数的零点,以及函数返回判断函数的极值点即可.【详解】由图象,得当1x<-时,()0f x'<,当1x>-且2x≠时,()0f x'>,()20f'=,即函数()f x在(),1-∞-上单调递减,在()1,-+∞上单调递增,即函数()f x 在1x=-处取得极小值.【点睛】本题考查函数的导数以及导函数的图象的应用,函数的极值的判断,是基础题.10.32-,123,2log5三个数中最大数的是.【答案】2log5【解析】【详解】31218-=<,12331=>,22log5log423>>>,所以2log5最大.11.在ABC△中,13cos,7314A a b==,则B=______________.【答案】π3或2π3【解析】因为13cos14A=,所以π6A<<且33sin A=,又因为73a b=,所以7sin3sinA B=,即3373sin B⨯=,解得3sin B=,因为0πB<<,所以π3B=或2π3B=.12.去年某地的月平均气温()y C︒与月份x(月)近似地满足函数πsin()6y a b xϕ=++.(,a b为常数,π2ϕ<<).其中三个月份的月平均气温如表所示,则该地2月份的月平均气温约为______________,Cϕ︒=______________.【答案】 (1). 5- (2).π6【解析】由题意,得当51182x+==时,πsin(8)16ϕ⨯+=±,又因为π2ϕ<<,所以π4π11π236ϕ<+<,即4π3π32ϕ+=,π6ϕ=,即ππsin()66y a b x=++,则5ππsin()13668ππsin()3166a ba b⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩,即1331aa b=⎧⎨-=⎩,即1315ab=⎧⎨=-⎩,当2x=时,2ππ1318sin()566y=-+=-.13.在等腰梯形ABCD中,已知AB DC,2,1,60,AB BC ABC==∠=点E和点F分别在线段BC和CD上,且21,,36BE BC DF DC==则AE AF⋅的值为.【答案】2918【解析】在等腰梯形ABCD中,由AB DC,2,1,60,AB BC ABC==∠=得12AD BC ⋅=,1AB AD ⋅=,12DC AB =,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+ 22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.考点:平面向量的数量积. 【此处有视频,请去附件查看】14.如图,线段AB =8,点C 在线段AB 上,且AC =2,P 为线段CB 上一动点,点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ,CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为 ;()f x '的零点是 .【答案】(2,4)(2分),3(3分) 【解析】 试题分析: 由题意知,,,的三边关系如图,三角形的周长是一个定值,故其面积可用海伦公式表示出来 即令故答案为;考点:函数的实际应用. 三、解答题15.已知函数()cos()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的图象过点(0,12),最小正周期为23π,且最小值为-1. (1)求函数()f x 的解析式.(2)若[,]6x m π∈,()f x 的值域是[1,-,求m 的取值范围. 【答案】(1)()cos(3)3f x x π=+;(2)25[,]918m ππ∈ 【解析】试题分析:(1)根据余弦函数的性质求出最大值A ,再利用周期公式求出参数ω,最后根据三角函数值求出ϕ的值即可.(2)由题意求出33x π+的取值范围,然后再根据余弦函数的性质求解即可.试题解析:(1)由函数的最小值为-1,可得A=1,因为最小正周期为23π,所以ω=3.可得()cos(3)f x x ϕ=+,又因为函数的图象过点(0,12),所以1cos 2ϕ=,而02πϕ<<,所以3πϕ=,故()cos(3)3f x x π=+.(2)由[,]6x m π∈,可知533633x m πππ≤+≤+,因为5()cos 66f ππ==,且cos π=-1,7cos6π=,由余弦曲线的性质的,7336m πππ≤+≤,得25918m ππ≤≤,即25[,]918m ππ∈. 考点:(1)余弦函数的性质和图象;(2)余弦函数性质的应用. 16.数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为9,公差为1-的等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ;(2)若n n b a =,且数列{}n b 的前n 项和记为n T ,求415T T +的值.【答案】(1)211n a n =-+;(2)149. 【解析】 【分析】(1)运用等差数列的通项公式可得n S ,再由数列的递推式,可得所求通项公式; (2)求得|||112|n n b a n ==-,讨论当15n 时,6n 时结合等差数列的求和公式,可得所求和.【详解】解:(1)数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为9,公差为1-的等差数列, ∴9(1)(1)10nS n n n=+-⨯-=-,即210n S n n =-+,① 2n ∴时,21(1)10(1)n S n n -=--+-,②①-②可得1211n n n a S S n -=-=-+, 又当1n =时,119a S ==,满足上式, 211n a n ∴=-+;(2)由题意,|||112|n n b a n ==-,∴当15n 时,212(9112)102n n n nT a a a n n +-=++⋯+==-+;6n 时,2(5)(1211)2510502n n n T n n -+-=+=-+.41524125149T T ∴+=+=.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查分类讨论思想和转化思想,考查运算能力,属于基础题.17.已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,()8sin 17A C +=,且角B 为锐角. (1)求cos B 的值;(2)若6a c +=,ABC △的面积为2,求边长b . 【答案】(1)1517;(2)2. 【解析】 【分析】(1)由三角函数的诱导公式进行转化,结合同角三角函数的基本关系式进行转化求解即可. (2)结合三角形的面积公式求出ac 的值,利用余弦定理进行转化求解即可. 【详解】解:(1)8sin()17A C +=, ()()8sin sin sin 17B AC A C π∴=-+=+=⎡⎤⎣⎦, 角B 为锐角,cos 0B ∴>,即15cos 17B =.(2)ABC ∆的面积为2,118sin 22217S ac B ac ∴==⨯=,则172ac =, 6a c +=,2222cos b a c ac B ∴=+-215171715()2236223617154172217a c ac ac=+--=-⨯-⨯⨯=--=, 则2b =.【点睛】本题主要考查解三角形的应用,结合同角关系式,三角形的面积公式以及余弦定理是解决本题的关键. 18.已知函数1()xax f x e-=. (Ⅰ)当1a =时,求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)当0a <时,求函数()f x 在区间[0,1]上的最小值.【答案】(Ⅰ)(,2)-∞递增,在(2,)+∞递减;(Ⅱ)10a -≤<时,min ()1,1f x a =-<-时,min 11()aa f x e+=.【解析】试题分析:(Ⅰ)代值,求导,利用导函数的符号变化确定函数的单调性即可;(Ⅱ)求导,通过讨论a 的范围研究导函数的符号和函数的单调性,进而确定函数的最值.试题解析:(Ⅰ)当1a =时,()()12,,,x xx x f x x R f x e e '--+=∈∴= 令()0,f x '>解得:2,x < 令()0,f x '<解得:2,x >()f x ∴在(),2-∞递增,在()2,+∞递减;(Ⅱ)由()1xax f x e -=得: ()[]1,0,1xax a f x x e-+-∈'=, 令()0,0,f x a ='<解得111,x a=+< ①110a+≤时,即10a -≤<时,()0f x '≥对[]0,1x ∈恒成立, ()f x ∴[]0,1递增,()()min 01f x f ==-;②当1011<+<时,即1a <-时,()(),,x f x f x '在[]0,1上的情况如下:()1min 111;aa f x f a e +⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭综上,10a -≤<时,()min1,1f x a =-<-时,()1min 1aa f x e+=.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值.解决本题的难点是第二步,利用分类讨论求函数的最值,分类讨论思想的高中数学重要数学思想之一,学生对“分类讨论的标准、为什么讨论”搞不清,如本题中要讨论导函数的零点和所给区间的关系.19.已知函数()39f x x x =-,函数()23g x x a =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处有公共切线,求a 的值; (2)若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(),b -∞,求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 5或﹣27;(2)(](),275,-∞-+∞.【解析】 【分析】(1)设出切点坐标,利用切点处导函数值等于切线斜率且切点为两个函数交点,列出方程组,解出切点坐标和a 的值.(2)构造函数()h x ,把不等式()()f x g x <转化为()y h x =的图象在直线y a =的下方的部分对应点的横坐标(,)x b ∈-∞,利用导数分析出函数()h x 的单调区间和极值,画出函数图象,数形结合得到符合题意的a 的取值范围. 【详解】解:(1)2()39f x x '=-,()6g x x '=,设()f x 与()g x 的交点坐标为0(x ,0)y ,则3200020093396x x x a x x ⎧-=+⎨-=⎩,解得:015x a =-⎧⎨=⎩或0327x a =⎧⎨=-⎩,a ∴的值为5或27-;(2)令32()39h x x x x =--,则()y h x =的图象在直线y a =的下方的部分对应点的横坐标(,)x b ∈-∞,2()3693(1)(3)h x x x x x '=--=+-,∴令()0h x '=,得:1x =-或3, 列表:()h x +-+()h x '增 极大值 减极小值 增()h x ∴的极大值为(1)5h -=,极小值为h (3)27=-,又当x →+∞时,()h x →+∞,当x →-∞时,()h x →-∞,如图所示:∴当5a >或27a -时,满足题意, ∴实数a 的取值范围为: (](),275,-∞-+∞.【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数画出函数的大致图象,做题时注意数形结合,是中档题.20.设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a …为()2,3,4,n n =…阶“期待数列”:①1230n a a a a ++++=…;②1231n a a a a ++++=…. (1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”;(2)若某2013阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式; (3)记n 阶“期待数列”的前k 项和为()1,2,3,,k S k n =…,试证:12k S ≤. 【答案】(1)数列12-,0,12为三阶期待数列,数列38-,18-,18,38为四阶期待数列;(2)()1007,201310061007n n a n N n *-+=∈≤⨯;(3)证明见解析.【解析】 【分析】(1)数列12-,0,12为三阶期待数列,数列38-,18-,18,38为四阶期待数列.(2)设该2013阶“期待数列”的公差为d ,由于1220130a a a ++⋯+=,可得10070a =,1008a d =,对d 分类讨论,利用等差数列的通项公式即可得出.(3)当k n =时,显然1||02n S =成立;当k n <时,根据条件①得:1212()k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=-++⋯+,即1212||||||k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=++⋯+,再利用绝对值不等式的性质即可得出. 【详解】解:(1)数列12-,0,12为三阶期待数列, 数列38-,18-,18,38为四阶期待数列. (2)设该2013阶“期待数列”的公差为d , 1220130a a a ++⋯+=,∴120132013()02a a +=,120130a a ∴+=,即10070a =, 1008a d ∴=,当0d =时,与期待数列的条件①②矛盾,当0d >时,据期待数列的条件①②可得10081009201312a a a ++⋯+=, 100610051100622d d ⨯∴+=,即110061007d =⨯, *10071007(1007)(10061007n n a a n d n N -∴=+-=∈⨯,2013)n ,当0d <时,同理可得100710061007n n a -+=⨯,*(n N ∈,2013)n .(3)当k n =时,显然1||02n S =成立; 当k n <时,根据条件①得:1212()k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=-++⋯+, 即1212||||||k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=++⋯+, 12121212||||||||||||||||1k k k k n k k n S a a a a a a a a a a a +++∴=++⋯++++⋯+++⋯+++⋯+=,1||(12k S k ∴=,2,⋯,)n .【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、绝对值不等式的性质、新定义“期待数列”,推理能力与计算能力,属于中档题.。
北京大学2021-2022学年高三适应性调研考试数学试题含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线与圆()2222x y +-=至多有一个交点,则双曲线的离心率的取值范围是( )A .)+∞B .[)2,+∞C .(D .(]1,22.定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩,则()2019f =()A .-1B .0C .1D .23.以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题,正确的是 A .函数()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B .直线8x π=需是函数()y f x =图象的一条对称轴C .点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心D .将函数()y f x =图象向左平移需8π个单位,可得到2y x =的图象 4.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,点M 为棱1DD 的中点,则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为( ) A .3π B .23π C .πD .43π 5.一艘海轮从A 处出发,以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B 处,在C 处有一座灯塔,海轮在A 处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B 处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B ,C 两点间的距离是( )A .62海里B .63海里C .82海里D .83海里6.上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1),充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平,也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春(秋)分”,“夏(冬)至”的示意图,图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计),夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角.由历法理论知,黄赤交角近1万年持续减小,其正切值及对应的年代如下表: 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息,通过计算黄赤交角,可估计该骨笛的大致年代是( ) A .公元前2000年到公元元年 B .公元前4000年到公元前2000年 C .公元前6000年到公元前4000年D .早于公元前6000年7.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点,,A B 是C 的左、右顶点,点P 在过1F 3直线上,PAB △为等腰三角形,120ABP ∠=︒,则C 的渐近线方程为( ) A .12y x =±B .2y x =±C .3y x =D .3y x =8.双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( ) A .20x ±=B .20x y ±=C .20x y ±=D .20x y ±=9.若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+,则||z =( )A .54B .55C .102D .10510.关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性,下列叙述正确的是( ) A .单调递增B .单调递减C .先递减后递增D .先递增后递减11.由曲线y =x 2与曲线y 2=x 所围成的平面图形的面积为( ) A .1B .13C .23D .4312.已知函数()f x 的定义域为[]0,2,则函数()()282x g x f x =+-的定义域为( ) A .0,1 B .[]0,2 C .[]1,2D .[]1,3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
北京市人民大学附属中学2021届高三数学上学期8月练习试题含解析
故答案为:100;
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式、求和公式,考查了等比数列的通项公式、求和公式,考查了分组求和,属于中档题。
13. 已知 为等腰直角三角形, ,OC为斜边的高.
(1)若P为线段OC的中点,则 __________.
(2)若P为线段OC上的动点,则 的取值范围为__________.
由于角 的终边顺时针旋转 得到角 ,故 ,
所以 ,
所以
因为 ,所以 ,
所以 ,即 。
故选:D。
【点睛】本题考查三角恒等变换,三角函数的定义,是中档题。
9。 若圆P的半径为1,且圆心为坐标原点,过圆心P作圆 的切线,切点为Q,则 的最小值为( )
A。 B. C。 2D。 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意,分析圆 的圆心以及半径,由勾股定理分析可得 ,当 最小时, 最小,由点与圆的位置关系分析 的最小值,计算可得答案.
而 ,故 ,故④正确。
故答案为:②③④。
【点睛】本题考查新定义背景下命题真假的判断,此题的关键是根据给出的运算规则得到 的运算方法,本题属于较难题。
三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
16。 如图,三棱柱 中, 平面 ,点E是棱 的中点,已知 .
(Ⅰ)求证: 平面ABC;
②设温度由低到高为: ,根据方差的定义得到 ,假设有一天低于22,再由平均数判断;
③设温度由低到高为: ,由平均数的定义得到 ,假设假设有一天低于22,再由中位数判断;
【详解】①因为众数为22,所以至少出现2次,若有一天低于22,则中位数不可能是26,所以甲地肯定进入夏季;
②设温度由低到高为: ,根据方差的定义 ,
北京市人民大学附属中学2021届高三数学上学期8月练习试题(含解析).doc
北京市人民大学附属中学2021届高三数学上学期8月练习试题(含解析)本试卷共4页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()A. {0}B. {1}C. {1,2}D. {0,1,2}【答案】C【解析】【分析】先化简集合A,再利用交集的运算求解.【详解】由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.故选:C【点睛】本题主要考查集合的基本运算,属于基础题.2. 已知i为虚数单位,若iz=−1+i,则复数z在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算求出z以及对应复平面内的点,即可得出答案.【详解】2211i i iz ii i-+-===+-,则复数z在复平面内对应的点为(1,1)即复数z在复平面内对应的点位于第一象限故选:A【点睛】本题主要考查了根据复数的几何意义求复数所在象限,属于基础题.3. 《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图所示,其体积为()A. 1B. 2C. 2D. 22【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱,由棱柱的体积公式进行计算可得答案. 【详解】根据三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱如图,等腰直角三角形斜边上的高为1,斜边长为2,棱柱的高为2,则棱柱的体积121222V =⨯⨯⨯=, 故选:C【点睛】本题考查根据三视图求几何体的体积问题,考查空间想象能力,属于基础题.4. 632x x ⎛- ⎝展开式中2x 项的系数为( ) A. 160- B. 20- C. 20 D. 160【答案】A 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项求解即可.【详解】632x x ⎛ ⎝的展开式通项为()()66631663212rrr r r r r r r T C x C x x ----+⎛==-⋅⋅ ⎝,当出现2x 项时,623rr --=,得3r =, 故含2x 项的系数为()333612160C ⋅-⋅=-.故选:A.【点睛】本题考查二项式定理,较容易,解答时要灵活运用展开项的通项公式.5. 我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长减少或增加的量相同,周而复始.则下列说法不正确的是( ) 注:“相差”是指差的绝对值A. 立春和立冬的晷长相同B. 立夏和立秋的晷长相同C. 与夏至的晷长相差最大的是冬至的晷长D. 与春分的晷长相差最大的是秋分的晷长 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称性判断出说法不正确的选项.【详解】根据对称性可知:立春和立冬的晷长相同、立夏和立秋的晷长相同、春分和秋分的晷长相同;与夏至的晷长相差最大的是冬至的晷长(冬至晷长最大,夏至晷长最小). 所以说法错误的是D. 故选:D【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化,属于基础题. 6. 点P 在曲线24y x =上,过P 分别作直线1x =-及3yx 的垂线,垂足分别为G ,H ,则PG PH+的最小值为( ) A.322B. 22C.3212+ D. 22+【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的性质,PG PH +的最小值等价于PF PH +的最小值,即焦点F 到直线的距离. 【详解】由题可知1x =-是抛物线的准线,交点()1,0F , 由抛物线的性质可知PGPF ,PG PH PF PH ∴+=+,如图,当,,F P H 在一条直线上时,PF PH +取得最小值为FH ,利用点到直线距离公式可以求出103222FH ,所以PG PH +的最小值为2故选:B.【点睛】本题考查求抛物线上的点到两直线的距离之和最小问题,利用抛物线的性质是关键,属于基础题. 7. “sin 0x x +>”是“sin 0x x ->”的( ) A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的单调性求出两个条件的不等式解集,利用集合间的基本关系判断充分性和必要性. 【详解】令()sin f x x x =+,'()1cos 0f x x ,()f x ∴在R 上单调递增,且(0)0f =, ∴sin 0x x +>等价于()(0)f x f >,即0x >,令()sin g x x x =-,'()1cos 0g x x ,()g x ∴在R 上单调递增,且(0)0g =,∴sin 0x x ->等价于()(0)g x f ,即0x >,“0x >”是“0x >”的充分必要条件,∴“sin 0x x +>”是“sin 0x x ->”的充分必要条件.故选:A.【点睛】本题考查充分必要条件的判断,将条件转化为利用集合间关系判断是解决此类问题的常用方法. 8. 以Ox 为始边作钝角α,角α的终边与单位圆交于点11(,)P x y ,将角α的终边顺时针旋转3π得到角β.角β的终边与单位圆相交于点22(,)Q x y ,则21x x -的取值范围为( )A. 12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭, B. 12⎛ ⎝⎭C. 112⎛⎫⎪⎝⎭,D. 1(1]2,【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义得1cos ,,2x πααπ⎛⎫=∈⎪⎝⎭,2cos 3x πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭,进而得21cos cos 3x x παα⎛⎫- ⎪⎭=⎝--,再结合三角恒等变换和三角函数的性质得211,12x x ⎛-∈⎤⎥⎝⎦. 【详解】解:根据三角函数的定义得1cos ,,2x πααπ⎛⎫=∈⎪⎝⎭,由于角α的终边顺时针旋转3π得到角β,故3πβα=-, 所以2cos cos 3x πβα⎛⎫==-⎪⎝⎭,所以211cos cos cos sin 3226x x ππααααα⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪⎭-= ⎪⎝⎝⎭ 因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以5,636πππα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭, 所以1sin ,162πα⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,即211,12x x ⎛-∈⎤⎥⎝⎦. 故选:D.【点睛】本题考查三角恒等变换,三角函数的定义,是中档题.9. 若圆P 的半径为1,且圆心为坐标原点,过圆心P 作圆22(4)(3)4x y -+-=的切线,切点为Q ,则PQ的最小值为( )B. C. 2 D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,分析圆22(4)(3)4x y -+-=的圆心以及半径,由勾股定理分析可得||PQ =,当||PC 最小时,||PQ 最小,由点与圆的位置关系分析||PC 的最小值,计算可得答案.【详解】由题意可知,点P 在圆221x y +=上,圆22(4)(3)4x y -+-=的圆心(4,3)C ,半径2r过点P 作圆22(4)(3)4x y -+-=的切线,切点为Q ,则||PQ =当||PC 最小时,||PQ 最小又由点P 在圆221x y +=上,则||PC 的最小值为||114OC -==则||PQ ; 故选:B .【点睛】本题主要考查了直线与圆位置关系,涉及直线与圆相切的性质,属于中档题.10. 气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲乙丙三地连续5天的日平均温度(都是正整数,单位:℃)的记录数据如下: ①甲地5个数据的中位数为26,众数为22; ②乙地5个数据的平均数为26,方差为5.2;③丙地5个数据的中位数为26,平均数为26.4,极差为8. 则从气象意义上肯定进入夏季的地区是( ) A. ①② B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】D 【解析】 【分析】①根据众数的定义至少出现2次,假设有一天低于22,再由中位数判断; ②设温度由低到高为:12345,,,,x x x x x ,根据方差的定义得到()()()()()2222212345262626262626x x x x x -+-+-+-+-=,假设有一天低于22,再由平均数判断;③设温度由低到高为:12345,,,,x x x x x ,由平均数的定义得到124982x x x =++,假设假设有一天低于22,再由中位数判断;【详解】①因为众数为22,所以至少出现2次,若有一天低于22,则中位数不可能是26,所以甲地肯定进入夏季;②设温度由低到高为:12345,,,,x x x x x ,根据方差的定义()()()()()222221234512626262626 5.25x x x x x ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦, 所以()()()()()2222212345262626262626x x x x x -+-+-+-+-=,若有一天低于22,不妨设121x =,则只有21,25,26,26,26,而不满足平均数26, 故没有低于22的,所以乙地进入夏季;③设温度由低到高为:12345,,,,x x x x x ,由题意得:35126,8x x x ==+, 由平均数定义得:()12345126.45x x x x x ++++=,即124982x x x =++, 若122x <,取121x =,则2456x x +=,不满足中位数26,故没有低于22的,所以丙地肯定进入夏季; 故选:D【点睛】本题主要考查中位数、众数、平均数、方差的数据特征,还考查了逻辑推理运算求解的能力,属于中档题.二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11. 双曲线221916y x C -=:的焦距是__________.【答案】10 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程求解即可.【详解】解:根据双曲线的标准方程得229,16a b ==, 所以22225c a b =+=,即5c =, 所以双曲线的焦距为10. 故答案为:10【点睛】本题考查由双曲线的标准方程求焦距,是基础题.12. 已知{}n a 是等差数列,{}n n a b +是公比为c 的等比数列,113105a b a ===,,,则数列{}n a 的前10项和为__________,数列{}n b 的前10项和为__________(用c 表示).【答案】 (1). 100 (2). 1090,11100,0,11c c c c -=⎧⎪⎨--+≠⎪-⎩当时,当时 【解析】 【分析】先根据131,5a a ==求出等差数列{}n a 的通项公式,计算前10项和即可,由等差数列的通项公式及{}n n a b +是公比为c 的等比数列求出{}n b ,即可求前10项和.【详解】因为{}n a 是等差数列,131,5a a ==, 所以3124a a d -==, 解得2d =,所以12(1)21n a n n =+-=-, 所以1010910121002S ⨯=⨯+⨯=因为{}n n a b +是公比为c 的等比数列,且111a b ,所以1n n n a b c -+=,故121n n b cn -=-+,当1c =时,10(220)10902T -⨯==-,当1c ≠时,1029101(1)(13519)1001c T c c c c-=++++-++++=-+-, 综上101090,11100,0,11c T c c c -=⎧⎪=⎨--+≠⎪-⎩当时,当时, 故答案为:100;1090,11100,0,11c c c c -=⎧⎪⎨--+≠⎪-⎩当时,当时 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式、求和公式,考查了等比数列的通项公式、求和公式,考查了分组求和,属于中档题.13. 已知ABC ∆为等腰直角三角形,1OA =,OC 为斜边的高.(1)若P 为线段OC 的中点,则AP OP ⋅=__________.(2)若P 为线段OC 上的动点,则AP OP ⋅的取值范围为__________. 【答案】 (1). 14(2). []0,1 【解析】 【分析】(1) 由条件可知2AC BC ==1AO BO CO ===,又1()2AP AC AO =+,代入AP OP ⋅中,利用向量的数量积的定义可求解答案.(2) 当P 为线段OC 上的动点时,设OP OC λ= ,01λ≤≤,()AC CP AP OP OP ⋅=+⋅利用向量的数量积的运算性质和定义可求解.【详解】ABC ∆为等腰直角三角形,CO 为斜边的高,则CO 为边AB 的中线,所以AC BC ==1AO BO CO ===.(1) 当P 为线段OC 的中点时,在ACO △中,AP 为边CO 上的中线, 则1()2AP AC AO =+ 所以11()()22AC AO OP AC OP AO OP AP OP +⋅+⋅==⋅⋅1111||||cos 450==22224AC OP =⋅+⨯ (2)当P 为线段OC 上的动点时,设OP OC λ= ,01λ≤≤.()AC CP OP AP O AC OP CP O P P +⋅=⋅⋅=⋅+=(1)()OC AC OC OC λλλ⋅--⋅1cos ,(1)OC AC λλλ=⨯<>--⋅1(1)2λλλ=⨯--⋅ 22[0,1]λλλλ=-+=∈所以AP OP ⋅的取值范围为[]0,1 故答案为:(1).14(2). []0,1 【点睛】本题考查向量的加法运算,数量积的运算,本题还可以建立坐标系利用向量的坐标运算解决本题,属于中档题.14. 不等式20t at -≥对所有的[11]a ∈-,都成立,则t 的取值范围是__________. 【答案】(,1]{0}[1,)-∞-+∞ 【解析】 【分析】看作关于a 的一次函数,根据一次函数恒成立问题列出不等式组,求得t 的范围.【详解】设()f a =2t at - ,[11]a ∈-,,由()0f a ≥∴()()1010f f ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩,即2200t t t t ⎧+≥⎨-≥⎩解得1t ≤-或0t =或1t ≥,故答案为:(,1]{0}[1,)-∞-+∞.【点睛】本题主要考查一次不等式恒成立问题,意在考查学生的数学运算的学科素养,属基础题. 15. 在实数集R 中定义一种运算“*”,具有以下三条性质: (1)对任意,0a a a ∈*=R ;(2)对任意,a b a b b a ∈*=*R ,; (3)对任意()()()(),,,2a b c a b c c ab a c b c c ∈**=*+*+*-R . 给出下列四个结论: ①()2020**=; ②()()20208***=;③对任意()(),,,a b c a b c b c a ∈**=**R ; ④存在()()(),,,a b c a b c a c b c ∈+*≠*+*R . 其中,所有正确结论的序号是__________. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据给定的新运算得到a b *的计算方法,再逐项计算并判断相应的结论是否成立,从而得到正确的序号. 【详解】由题设有()()000020a b a b ab a b ab a b *=**=*+*+*-⨯=++, 对于①,2222228*=⨯++=,故①错误.对于②, ()()200222***=*,由①中结果可知()()20208***=,故②正确.对于③,对任意()()(),,,a b c a b c a bc b c a bc b c a bc b c ∈**=*++=++++++Rabc ab ac bc a b c =++++++,而()()()ac a c b ac a c b ac a c b c a b =++=++++*+*+*abc ab ac bc a b c =++++++,故()()a b c b c a **=**,故③正确. 对于④,取1,1a b c ===, 则1212152*=⨯++=,而()()()1111211116*+*=⨯++=,故()()()1111111+*≠*+*,故④正确. 故答案为:②③④.【点睛】本题考查新定义背景下命题真假的判断,此题的关键是根据给出的运算规则得到a b *的运算方法,本题属于较难题.三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16. 如图,三棱柱111ABC A B C -中,AB ⊥平面11BB C C ,点E 是棱1C C 的中点,已知11111125A B BC C C B E ====,.(Ⅰ)求证:1B B ⊥平面ABC ; (Ⅱ)求二面角11A EB A --的余弦值.【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)53. 【解析】 【分析】(Ⅰ)首先证明四边形11BB C C矩形,可得1B B BC ,结合1B B AB ⊥,可证1B B ⊥平面ABC(Ⅱ)分别以BC ,1BB BA 所在的直线为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,利用法向量求二面角的余弦值.【详解】(Ⅰ)依题意,在11B C E ∆中,1111112512B C B E C E C C ====,,, 所以2221111B C C E B E +=,所以1190B C E ∠=.又因为三棱锥111ABC A B C -中,四边形11BB C C 为平行四边形, 所以四边形11BB C C 为矩形, 所以1B BBC .因为AB ⊥平面11BB C C ,1BB ⊂平面11BB C C , 所以1B B AB ⊥.又因为AB BC ⊂,平面ABC ,AB BC B ⋂=, 所以1B B ⊥平面ABC .(Ⅱ)因为AB ⊥平面11BB C C ,BC ⊂平面11BB C C , 所以AB BC ⊥.如图建立空间直角坐标系B −xyz ,则111()()()())00221002002221(0A E B A B E =-,,,,,,,,,,,,,,,111)022((002)B A B A =-=,,,,,,设平面1AEB 的法向量为(,,)n x y z =,则1120,0,220.0x y n B E y z n B A ⎧-=⋅=⎧⎪⎨⎨-+=⋅=⎪⎩⎩即, 令1x =,则2y =,2z = , 于是,,(1)22n =,设平面11A EB 的法向量为111(,,)m x y z =,则11100m B E m B A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1112020x y z -=⎧⎨=⎩ 令1x =,则2y =,0z =. 于是(1,2,0)m =,所以cos ,35n m n m n m⋅<>===由题知二面角11A EB A --为锐角,所以其余弦值为3【点睛】本题主要考查了线面位置关系线面垂直的证明以及二面角余弦值的求解,属于中档题. 17. 在△ABC 中,sin 3sin AB ,6C π=,再从条件①,条件②,条件③这三个条件中选择一个作为已知,使△ABC 存在,求c 的值及△ABC 的面积.条件①:=c ;条件②:ac c sin A =3. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 【答案】答案见解析. 【解析】 【分析】选择条件②,sin 3sin AB 由正弦定理可得3ab ,又6C π=,由余弦定理可得b c =,结合条件②即可求得a ,b c ,,从而得到三角形的面积. 【详解】选择条件②,因为在△ABC 中,sin sin sin a bA B A B==,,所以3ab .又因为6C π=所以由余弦定理得0,cb ===> 又因为2ac ab ==1b =或−1(舍).所以1a c ==.则△ABC 的面积为1sin 26S ab C π===【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用,考查三角形面积公式的应用,属于基础题.18. 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务,每次只派一个人执行任务,且每个人只派一次.每人工作时间均不超过10分钟,如果10分钟内不能完成任务则撤出,再派下一个人;如果10分钟内已完成任务则不再派人.现在一共只有甲乙丙三个人可派,他们各自能完成任务的概率分别为123p =,212p =,334p =.假定各人能否完成任务相互独立. (Ⅰ)计划依次派甲乙丙执行任务, ①求能完成任务的概率;②求派出人员数X 的分布列和数学期望E (X ).(Ⅱ)欲使完成任务的概率尽可能大,且所取需派出人员数X 的数学期望尽可能小,你认为应该按什么次序派出甲乙丙?(直接写出答案即可) 【答案】(Ⅰ)①2324;②分布列见解析,32;(Ⅱ)依次派出丙甲乙. 【解析】 【分析】(1)①根据相互独立事件概率的求法求得完成任务的概率;②写出X 的可能值,求出各自的概率,列表写出分布列,根据数学期望公式求得结果;(2)根据所求概率结合X 的数学期望直接写出结论.【详解】解:(Ⅰ)设“计划依次派出甲乙丙,能完成任务”为事件A . 因为甲乙丙各自能完成任务的概率分别为123213,,,324P P P === 各人能否完成任务相互独立.所以11212323()(1)(1)(1)24P A P P P P P P =+-+--= 或12323()1(1)(1)(1)24P A P P P =----=依题意,X 的所有可能取值为1,2,3.11212211(1),(2)(1),(3)(1)(1).366P X P P X P P P X P P =====-===--= 所以X 的分布列为故X 的期望2113()123.3662E X =⨯+⨯+⨯= (Ⅱ)依次派出丙甲乙.【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率及离散型随机变量分布列,意在考查学生的数据处理的能力及数学运算的学科素养,属中档题. 19. 已知函数()32232=-+f x x ax .(1)若0a =,求过曲线()y f x =上一点()1,0-的切线方程;(2)若0<<3a ,()f x 在区间[]0,1的最大值为M ,最小值为m ,求M m -的最小值. 【答案】(1)66y x =+或3322y x =+;(2)827.【解析】 【分析】(1)首先求导()26f x x '=,切点为()3,22+t t ,得到切线方程()23622=-++y tx t t ,再将()1,0-代入得到1t =-或12,即可得到切线方程. (2)首先对()f x 求导,求出函数()f x 的单调区间,再分类讨论a ,得到最大值为M ,最小值为m ,即可得到M m -的最小值.【详解】(1)当0a =时,()322=+f x x ,所以()26f x x '=.设切点为()3,22+t t ,()26'==k f t t所以切线方程为()23622=-++y tx t t .因为切线过()1,0-时,所以()2361220--++=t t t ,所以()()()()()()()222231111211210--++-+=-++-=-+-=tt t t t t t t t t ,所以1t =-或12. 所求切线方程为66y x =+或3322y x =+. (2)因为()32232=-+f x x ax ,0<<3a ,[]0,1x ∈. 所以()()2666f x x ax x x a '=-=-.令()0f x '=,得0x =或a .所以(0,)x a ∈,()0f x '<,()f x 为减函数,(0,)x ∈+∞,()0f x '>,()f x 为增函数.①当13a ≤<时,()f x 在[]0,1上单调递减. 所以依题意,()02==M f .()143==-m f a , 所以[)21,73-=-∈M m a .②当01a <<时,()f x 在[]0,a 上单调递减,在[],1a 上单调递增. 又因为()02f =,()143=-f a ,()32==-+m f a a .当213a ≤<时,432a -≤, 所以()02==M f ,38,127⎡⎫-=∈⎪⎢⎣⎭M m a .当023a <<时,432a -> 所以()143==-M f a ,332-=-+M m a a . 设()332g x x x =-+,()233g x x '=-,当203x <<时,()0g x '<,所以()g x 在20,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. 又因为()02g =,28327=⎛⎫ ⎪⎝⎭g , 所以()8,227⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭M m g a 所以,当且仅当23a =时,M m -取得最小值827.【点睛】本题第一问考查导数的几何意义,第二问考查利用导数研究函数的最值,同时考查了分类讨论的思想,属于难题.20. 已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>:的左右顶点分别为,A B ,上顶点为T ,离心率为3,8AT TB ⋅=点,M N 为椭圆C 上异于,A B 的两点,直线,AM BN 相交于点P .(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若点P 在直线92x =上,求证:直线MN 过定点. 【答案】(Ⅰ)22 1.9x y +=;(Ⅱ)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)先根据题意得(,0),(,0),(0,),(,),(,)A a B a T b AT a b TB a b -==-,进而得22222380c a a b a b c a b ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪>>⎪⎩,求解即可得出结论;(2)设1122(,),(,)M x y N x y ,先讨论直线MN 垂直于y 轴时不满足题意,再讨论MN 不垂直于y 轴时,设其方程为x ty m =+,与椭圆方程联立得2220()929t y tmy m +++-=,212122229,099tm m y y y y t t --+==≠++,再根据P 为直线,AM BN 的交点得122222222122225(3)(3)(3)33999y y y x y x x x x x y y +++====+----,化简得即可求出结论. 【详解】解:(Ⅰ)依题意,(,0),(,0),(0,),(,),(,),A a B a T b AT a b TB a b -==-22222380c a a b a b c a b ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪>>⎪⎩解得31a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 所以椭圆C 方程为22 1.9x y +=(Ⅱ)设1122(,),(,)M x y N x y ,则()2299,3,01,2i i i i x y x y i +=≠±≠=①当直线MN 垂直于y 轴时,由对称性,直线,AM BN 交于y 轴,不合题意,舍去. ②当直线MN 不垂直于y 轴时,设其方程为x ty m =+. 联立2299x ty m x y =+⎧⎨+=⎩得2220()929t y tmy m +++-=.依题意,2212122229900,,0.99tm m t y y y y t t --+≠∆>+==≠++,所以3m ≠±. 因为(3,0),(3,0)A B -, 所以直线AM 方程为11(3)3y y x x =++, 直线BN 方程为22(3)3y y x x =-- 依题意,设9(,)2P P ,因为P 为直线,AM BN 的交点,所以121299(3)(3).3232y y P x x +==-+- 所以122222222122225(3)(3)(3).33999y y y x y x x x x x y y +++====+---- 所以1212124530(9)y y x x x x ++++=.所以121212()()04(539)y y ty m ty m ty m ty m ++++++++=.所以2212120(4)()(53)3()t y y t m y y m ++++++=.所以2232292(45)(3)(3)0.99m tmt t m m t t --+++++=++因为3m ≠±,所以2224532390()()()()t m t m m t +--+++=. 所以541080m -=,2m =,直线MN 方程为2x ty =+.所以直线MN 过定点()2,0.【点睛】本题考查根据,,a b c 求椭圆的方程,椭圆中的定点问题,考查运算能力,是中档题.21. 已知m ,n ,k 为正整数,4n ≥,3k ≥,A 是由m n ⋅个不超过k 的正整数组成的m 行n 列的数表,其第i 行第j 列为,i j x ,1i m ≤≤,1j n ≤≤,满足:①对任意1i m ≤≤,21j n ≤≤-,均有,1i j x -,,i j x ,,1i j x +互不相等; ②对任意1i m ≤≤,不存在1a b c d n ≤<<<≤,使得,,i a i c x x =且,,i b i d x x =; ③当2m ≥时,对任意1i j m ≤<≤,存在1k n ≤≤,使得,,i k j k x x ≠.记,()k S m n 为所有这样的数表构成的集合.(Ⅰ)写出34(2)S ,中的一个元素; (Ⅱ)若4,()S m n ≠∅,则当n 最大时,求m 的最大值; (Ⅲ)从问题(一)问题(二)中选择一个作答.问题(一):求集合{}**4()4S m n m n n ∈∈≥N N ,,,的元素个数.问题(二):求集合113(1)2S ,的元素个数. 【答案】(Ⅰ)答案不唯一,见解析;(Ⅱ)m 的最大值为24;(Ⅲ)答案见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意2,3,3m n k ===,根据题意,列出数表,写出满足要求的一个元素即可;(Ⅱ)依题意,设B 某行为12()123412{}()n i X x x x x i n =⋯∈=⋯,,,,,,,,讨论当B = (a b c d b a )时和当n ≥6时,是否满足题意,即可解出n 的最大值,由③即可解出m 的最大值;(Ⅲ)若选择问题(一),则分别求解当n = 4时,n = 5时,n = 6时和n ≥7时,X 的个数,综合即可得结果;若选择问题(二),分别讨论当k =3时、当n ≥2k -1时,是否满足题意,综合分析,即可得结果. 【详解】(Ⅰ)由题意得:2,3,3m n k ===,则abc a defd ⎛⎫⎪⎝⎭中(a b c ),(d e f )为(123)的不同排列即可,例如12311321⎛⎫⎪⎝⎭.(答案不唯一,满足题意即可). (Ⅱ)依题意,设表4()B S m n ∈,,设(a b c d )为(1 2 3 4)的某个排列,设B 某行为12()123412{}()n i X x x x x i n =⋯∈=⋯,,,,,,,. 一.当B = (a b c d b a )时,4()16B S ∈,,所以n = 6符合题意; 二.当n ≥6时,由①设44(),n X ab cx x x a =⋯=或d .1.当()n X ab ca x =⋯时,由①56,x x a ≠,故由②56x x d ==,与①矛盾. 2.当()n X ab c d x =⋯时,由①5x a =或b . (1)当()n X abcda x =⋯时,由②6x a =,与①矛盾.21 / 2221(2)当()n X a b c d b x =⋯时,由①6x b ≠,故由②6x a =.假若n ≥7,则由②7x a =,与①矛盾.综上,n 的最大值为6,且当n = 6时,X = (a b c d b a ),这样的X 共4424A =个.由③,当n 最大时,m 的最大值为24.(Ⅲ)若选择问题(一).若表4(,)B S m n ∈,设(a b c d )为(1 2 3 4)的某个排列,一.当n = 4时,由(Ⅱ)X = (a b c d )或(a b c a ).这样的X 共434448A +A =个.所以m =1,2,…,48时,4()4S m ≠∅,;m >48时,44( )S m =∅,.二.当n = 5时,由(Ⅱ)X = (a b c a d )或(a b c d a )或(a b c d b ).这样的X 共44372A ⨯=个.所以m =1,2,…,72时,4()5S m ≠∅,;m >72时,4()5S m =∅,.三.当n = 6时,由(Ⅱ)X = (a b c d b a ),这样的X 共4424A =个.所以m =1,2,…,24时,4()6S m ≠∅, ;m >24时,4()6S m =∅, .四.当n ≥7时,由(Ⅱ)4() S m n =∅,. 综上,集合{}**4()4S m n m n n ∈∈≥N N ,,,的元素个数为48+ 72+ 24+1=145.(Ⅲ)若选择问题(二).若12()n Y y y y =⋯满足②,则将Y 删除若干项仍满足②.设12()(){}1121()2n k i Y y y y S n y k i n =⋯∈∈⋯=⋯,,,,,,,,.一.当k = 3时,假若n ≥5,设(a b c )为(1 2 3)的某个排列,设4()n Y abcy y =⋯,则由①4y a =,由①②,5y 无解,矛盾.所以n ≤ 4= 2k - 2.二.假设存在n ,使得n ≥2k -1,设满足此条件的最小的k 为u .22 / 2222所以12)1()2(1n u Y y y y S n n u =⋯∈≥-,,. 由一,u ≥4.若1()1u Z S v -∈,,则212243()v u u n ≤--=-≤-.不妨设)1(2i y i n =⋯,,,中,u 出现的次数m 最小. 1.当m = 0时,121()()1n u Y y y y S n -=⋯∈,,矛盾.2.当m =1时,设t y u =,(1)当t =1或n 时,将Y 去掉t y 这一项得Z ,则1(1)1u Z S n -∈-,,矛盾.(2)当t =2时,将Y 去掉前两项得Z ,则1(1)2u Z S n -∈-,,矛盾.当1t n =-时,同理将Y 去掉后两项得1(1)2u Z S n -∈-,,矛盾. (3)当1,2,1,t n n ≠-时,记()e f u g h Y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,若e g ≠且f h ≠,将Y 去掉u 这一项得Z ,则1(1)1u Z S n -∈-,,矛盾. 若e g =且f h ≠,将Y 去掉,u g 这两项得Z ,则1(1)2u Z S n -∈-,,矛盾. 若e g =且f h =,由②,矛盾.3.当2m ≥时,(1,2,,)i y i n =⋅⋅⋅中,1,2,,u ⋅⋅⋅均至少出现2次,因为12(1,))(n u Y y y y S n =⋅⋅⋅∈,由①,前两个1之间必有其他数,不妨设为2.由②,所有的2均在这两个1之间.同理,不妨设所有的3全在前两个2之间,所有的4全在前两个3之间,⋅⋅⋅这与(1,2,,)i y u i n ≤=⋅⋅⋅矛盾.三.从113(1)2S ,中任取一行W ,则11(21)1W S ∈,. 因为21122021⨯-=<,所以W 不存在,111(3)2S =∅,. 所以113(1)2S ,的元素个数为0. 【点睛】本题以集合作为载体,考查新概念的应用,考查分析理解,求值化简的能力,属难题.。
北京市中国人民大学附属中学2021届高三数学开学复习质量检测试题(含解析).doc
北京市中国人民大学附属中学2021届高三数学开学复习质量检测试题(含解析)一、选择题1.设i 为虚数单位,则复数1i z =-的模z =( ).A. 1C. 2D. 【答案】B 【解析】分析:根据复数模的定义求解.详解:1i z =-,z ==B .点睛:对于复数的四则运算,要切实掌握其运算技巧和常规思路,如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念,如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 2.已知全集U =R ,若集合{}2|0=-<A x x x ,则UA( ).A. {|0x x ≤或}1x ≥B. {|0x x <或}1x >C. {}1|0x x <<D. {}|1x x ≥【答案】A 【解析】分析:先解一元二次不等式得集合A ,再根据补集定义得结果. 详解:∵集合{}{}2|0|01A x x x x x =-<=<<,∴{|0Ux A x =≤或1}x ≥,故选A .点睛:求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解. 3.命题p :∀x>0,1x e >,则p ⌝是 A. ∃00x ≤,01x e ≤ B. ∃00x >,01x e ≤ C. ∀0x >,1x e ≤ D. ∀0x ≤,1x e ≤【答案】A【解析】试题分析:p ⌝是00,1xx e ∃>≤考点:本题考查命题的否定点评:全称命题的否定将任意改为存在,否定结论4.若a , b 是两个非零的平面向量,则“||a b =”是“()()0a b a b +⋅-=”的( ). A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】()()220a b a b ab +⋅-=-=,得a b =,所以是充要条件,故选C.5.已知1211ln ,sin ,222a b c -===,则a ,b ,c 的大小关系为( )A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】结合指数、对数及三角函数的性质判断大小即可【详解】1ln 02a =<,11sin sin ,262b π=<=10,2b ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭,121222c -==>=,1,12c ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭,故a b c <<,故选:A【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数、三角函数的性质比大小,熟记基本函数的图象特点是关键,属于基础题6.一个四棱锥的三视图如图所示,那么对于这个四棱锥,下列说法中正确的是( )A. 最长棱的棱长为6B. 最长棱的棱长为3C. 侧面四个三角形都是直角三角形D. 侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 【答案】C 【解析】【详解】本题考查空间几何体的三视图和线线垂直,根据四棱锥的三视图,可得到四棱锥的直观图S ABCD -(如图所示):由图可知,2SA AD ==,1AB BC ==,SA ⊥面ABCD ,AD ⊥面SAB ,AD BC ∥, 所以Rt SAB ,Rt SAD ,Rt SBC △中,5SB =6SC =,22SD =2CD =,所以222SC CD SD +=,所以SCD 是直角三角形,所以最长的棱长是2,侧面都是直角三角形. 本题选择C 选项.点睛:1.棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征,计算问题往往转化到一个三角形中进行解决. 2.三视图画法:(1)实虚线的画法:分界线和可见轮廓线用实线,看不见的轮廓线用虚线; (2)理解“长对正、宽平齐、高相等”.7.已知函数f (x )=|ln x |-1,g (x )=-x 2+2x +3,用min{m ,n }表示m ,n 中的最小值.设函数h (x )=min{f (x ),g (x )},则函数h (x )的零点个数为( ) A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】画图可知四个零点分别为-1和3,1e和e ,但注意到f (x )的定义域为x >0,故选C.8.已知抛物线2:4C y x =,点(,0)P m ,O 为坐标原点,若在抛物线C 上存在一点Q ,使得90OQP ∠=,则实数m 的取值范围是( )A. (4,8)B. (4,)+∞C. (0,4)D. (8,)+∞【答案】B 【解析】试题分析:设200(,)4y Q y ,由90OQP ∠=得0OQ PQ ⋅=,即222000()044y y m y -⋅+=,显然00y ≠,因此2044y m =-,所以40m ->,即4m >.选B .考点:向量的垂直,圆锥曲线的存在性问题. 二、填空题9.双曲线22:14x C y -=的离心率是 ;渐近线方程是 .512y x =± 【解析】试题分析:222224,15a b c a b ==∴=+=,所以离心率e=5c a =,渐近线方程为12b y x x a =±=±, 考点:本题考查双曲线的标准方程,离心率,渐近线点评:有双曲线的标准方程得到,a,b,c 求出离心率,渐近线方程 10.若等比数列{}n a 满足135a a +=,且公比2q ,则35a a +=_____.【答案】20. 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出. 【详解】223513()2520a a q a a +=+=⨯=, 故答案为:20.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于容易题.11.在△ABC 中,3a =,13b =,60B =,则c = ;△ABC 的面积为_______. 【答案】,【解析】 由余弦定理,得,解得;由三角形的面积公式,得.考点:余弦定理、三角形的面积公式.12.已知圆C 的圆心位于第二象限且在直线21y x =+上,若圆C 与两个坐标轴都相切,则圆C 的标准方程是 ______.【答案】22111()()339x y ++-= 【解析】试题分析: 设圆心坐标为(a,2a+1),圆与两坐标轴相切,所以a=-(2a+1),13a ∴=-,所以圆心为11(,)33-,半径13,所以圆的标准方程为22111()()339x y ++-=,考点:本题考查圆的标准方程点评:圆心在直线上,设圆心坐标为一个未知数,又因为圆与两坐标轴相切,所以圆心互为相反数,半径为圆心坐标的绝对值13.已知函数()sin a x x f x =-的一条对称轴为6x π=-,()()120f x fx +=,且函数()f x 在()12,x x 上具有单调性,则12x x +的最小值为______. 【答案】23π 【解析】 【分析】分析式子特点可知,当6x π=-时,函数应该取到最值,将6x π=-代入()sin a x x f x =-再结合辅助角公式可先求得a ,结合()()120f x f x +=分析可知,()()2112,,,x y y x 两点关于对称中心对称,求出12x x +的通式,即可求解 【详解】()()sin ,tan f aa x x x x ϕϕ=-=+=-,由题可知 sin 666f a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪ ⎪⎝=⎝-⎭⎭⎝⎭,化简可得2a =,则 ()4sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()()120,f x f x +=且函数()f x 在()12,x x 上具有单调性,()()1122,,,x y x y ∴关于对称中心对称,故有1233,2x x k k Z πππ-+-=∈,解得1222,3x x k k Z ππ+=+∈,当0k =时,12x x +的最小值为23π,故答案:23π【点睛】本题考查由三角函数图像性质求参数,三角函数对称轴与对称中心的应用,属于中档题14.函数()x xf ae e x b -=+(,a R b R ++∈∈),已知()f x 的最小值为4,则点(),a b 到直线20x y +-=距离的最小值为______.【解析】分析】可采用基本不等式求得ab,再结合点到直线距离公式即可求解【详解】由题知,a Rb R++∈∈,则()4x xae bef x-=≥=+,当且仅当x xae be-=时取到,则4ab=,点(),a b到直线20x y+=距离d=≥===,mind∴=【点睛】本题考查基本不等式、点到直线距离公式的应用,数学中的转化思想,属于中档题三、解答题15.设函数()()()()22sin cosf x x x xωωω=⋅-+0>ω)的图象上相邻最高(1)求函数()f x的周期及ω的值;(2)求函数()f x的单调递增区间. 【答案】(1)12,2Tπω==;(2)52,2,66x k k k Zππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】(1)先将表达式结合降幂公式化简,即可求得周期和最值,结合相邻最高点与最低点的距离ω及周期;(2)结合整体法和三角函数图像的性质即可求得;【详解】(1)()()()()22sin cosf x x xxωωω=⋅-=sin222sin23x x xπωωω⎛⎫=-⎪⎝⎭,则2A=,22Tππωω==,图象上相邻最高点与最=12,2Tπω==;(2)()2sin22sin33f xx xππω⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎝=⎭⎭,令2,2,322x k k k Zπππππ⎡⎤-∈-++∈⎢⎥⎣⎦,解得52,2,66x k k k Zππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查三角函数解析式的化简,由三角函数的性质求参数,求复合型三角函数的单调区间,属于中档题16.某校高三1班共有48人,在“六选三”时,该班共有三个课程组合:理化生、理化历、史地政其中,选择理化生的共有24人,选择理化历的共有16人,其余人选择了史地政,现采用分层抽样的方法从中抽出6人,调查他们每天完成作业的时间.(1)应从这三个组合中分别抽取多少人?(2)若抽出的6人中有4人每天完成六科(含语数英)作业所需时间在3小时以上,2人在3小时以内.现从这6人中随机抽取3人进行座谈.用X表示抽取的3人中每天完成作业所需时间在3小时以上的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】(1)3;2;1(2)分布列见详解;EX=2【解析】【分析】(1)按照分层抽样按比例分配的原则进行计算即可;(2)可明确X的取值有1,2,3,再结合超几何分布求出对应的概率,列出分布列,再求解数学期望即可;【详解】(1)由题知,选择史地政的人数为:4824168--=人,故选择理化生、理化历、史地政的人数比为:3:2:1,故从这三个组合中应抽取理化生的人数为:3636⨯=人;抽取理化历的人数为:2626⨯=人;抽取理化历的人数为:1616⨯=人;(2)由题可知X的取值有1,2,3,()124236115C CP XC===;()214236325CC P X C ===;()304236135C C P X C ===; 故随机变量X 的分布列为:X 1 2 3P15 35 151311232555EX =⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查分层抽样的求法,超几何公式的运用,离散型随机变量的分布列与期望的求法,属于中档题17.在四棱锥P ABCD -中,平面ABCD ⊥平面PCD ,底面ABCD 为梯形,//AB CD ,AD PC ⊥,M 为PD 的中点,过A ,B ,M 的平面与PC 交于N.23DC =,2DA PD ==,1AB =,120PDC ∠=.(1)求证:N 为PC 中点; (2)求证:AD ⊥平面PCD ;(3)T 为PB 中点,求二面角T AC B --的大小. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)45° 【解析】 【分析】(1)利用线面平行的性质可得AB MN ∥,又由M 为PD 的中点,即可求证N 为PC 中点;(2)利用面面垂直的性质,可过点D 作DH DC ⊥,可证DH AD ⊥,再结合线面垂直的判定定理即可求证;(3)采用建系法以DA 为x 轴,DC 为y 轴,DH 为z 轴建立空间直角坐标系,利用向量法即可求出二面角T AC B --的大小 【详解】(1)//AB CD ,CD ⊂平面PCD ,AB ⊄平面PCD ,//AB ∴平面PCD ,由线面平行的性质可得,//AB MN , 又//AB CD ,//MN CD ∴,M 为PD 的中点,N ∴为PC 的中点;(2)过点D 作DH DC ⊥交PC 与点H ,又平面ABCD ⊥平面PCD ,交线为CD ,故DH ⊥平面ABCD ,又AD ⊂平面ABCD ,DH AD ∴⊥, 又AD PC ⊥,PCDH H =,∴AD ⊥平面PCD ;(3)由(2)可知AD ⊥平面PCD ,AD CD ∴⊥,故以DA 为x 轴,DC 为y 轴,DH 为z 轴建立空间直角坐标系,如图:求得(()()()0,3,2,0,0,0,23,0,2,1,0P A C B -,T 为PB 的中点,故3T ⎛ ⎝⎭,3AT ⎛=- ⎝⎭,()223,0AC =-,, 可设平面ABC 的法向量为()10,0,1n =,平面TAC 的法向量为()2,,n x y z =,故有222230302n AC x y n AT x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,取3x =得1,2y z ==,则()23,1,2n =,故1212122cos ,2122n n n n n n ⋅===⨯⋅,故二面角T AC B --的大小为45° 【点睛】本题考查线面平行性质,面面垂直性质,面面垂直平判定定理的应用,建系法求解二面角的大小,属于中档题 18.已知函数()3215132f x x x a x =-+-. (Ⅰ)当6a =时,求函数()f x 在()0,∞+上的单调区间; (Ⅱ)求证:当0a <时,函数()f x 既有极大值又有极小值.【答案】(1)单调递增区间是(0,2),(3,)+∞,单调递减区间是(2,3);(2)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)求出导函数()2'56f x x x =-+,解二次不等式即可得到单调区间;(2)当0a <时,对x 分类讨论,结合极值概念,即可得到结果. 【详解】(1)当6,0a x =>时,()32156132f x x x x =-+- 所以()()()2'5623f x x x x x =-+=--, 令()'0,f x =得2x =,或3x =.当x 变化时,()()',f x f x 的变化情况如下表:所以()f x 在()0,+∞上的单调递增区间是()0,2,()3,+∞,单调递减区间是()2,3. (2)当0a <时, 若0x <,则()3215132f x x x ax =---,所以()()2'55f x x x a x x a =--=--因为0,0x a <<,所以()'0f x > 若0x >,则()3215132f x x x ax =-+-, 所以()2'5f x x x a =-+ 令()'0,f x = 2540a ∆=->,所以有两个不相等的实根12,x x ,且120x x <不妨设20x >,所以当x 变化时,()()',f x f x 的变化情况如下表:因为函数()f x 图象是连续不断的,所以当0a <时,()f x 即存在极大值又有极小值.【点睛】本题主要考查了利用导数的符号变化判断函数的单调性及判断函数的极值问题,此类问题由于含有参数,常涉及到分类讨论的思想,还体现了方程与函数相互转化的思想.19.已知椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的左、右顶点分别为A ,B ,左焦点为F ,O 为原点,点P 为椭圆C 上不同于A 、B 的任一点,若直线PA 与PB 的斜率之积为34-,且椭圆C 经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭. (1)求椭圆C 的方程;(2)若P 点不在坐标轴上,直线PA ,PB 交y 轴于M ,N 两点,若直线OT 与过点M ,N 的圆G 相切.切点为T ,问切线长OT 是否为定值,若是,求出定值,若不是,请说明理由.【答案】(1)22143x y +=;(2)是定值,定值为3 【解析】【分析】(1)由斜率之积可求得a ,b 的关系,将31,2⎛⎫⎪⎝⎭代入可再得a ,b 的关系,解出a ,b 的值,即可求出椭圆的方程;(2)由(1)得A ,B 的坐标,设(,)P m n ,满足椭圆的方程,得直线AP ,BP ,求出M ,N 的坐标,再用圆中切割线定理得切线长的值.【详解】(1)设(,)P x y ,由题意得(,0)A a -,(,0)B a ,222AP BPy y y k k x a x a x a ∴⋅=⋅=+--, ∴22234y x a =--而22221x y a b+=得:2234b a =①, 又过22319(1,)124a b∴+=②,所以由①②得:24a =,23b =;所以椭圆C 的方程:22143x y +=;(2)由(1)得:(2,0)A -,(2,0)B 设(,)P m n ,22143m n +=,则直线的方程:(2)2n PA y x m =++,令0x =,则22n y m =+,所以M 的坐标2(0,)2nm +, 直线PB 的方程:(2)2n y x m =--,令0x =,2n y m -=-,所以坐标2(0,)2nN m --,OT ON OTN OMT OM OT ∆∆∴=∽(圆的切割线定理),再联立22143m n +=,2224||||||34n OT ON OM m ∴===-【点睛】本题考查椭圆上过对称点直线的两点和椭圆上一点的斜率之积的证明,可当作结论作为记忆:两对称点为()()1111,,,,A x y B x y --椭圆上一点为(),P x y ,则有22PA PBb k k a⋅=-;也考查了过定点的直线是否存在满足一定条件定值的证明,合理的转化,利用几何关系转化至关重要,属于难题20.定义:给定整数i ,如果非空集合满足如下3个条件:①A N *⊆;②{}1A ≠;③,x y N *∀∈,若x y A +∈,则xy i A -∈.则称集合A 为“减i 集”(1){}1,2P =是否为“减0集”?是否为“减1集”? (2)证明:不存在“减2集”;(3)是否存在“减1集”?如果存在,求出所有“减1集”;如果不存在,说明理由. 【答案】(1)是“减0集”;不是“减1集”(2)证明见解析;(3)存在;{1,3},{1,3,5},{1,3,5,7},⋯⋯{1,3,5,⋯⋯,21n -,}⋯⋯,*()n N ∈ 【解析】 【分析】(1)*P N ⊆,{1}P ≠,112P +=∈,110P ⨯-∈,即可得出P 是“减0集”,同理可得P 不是“减1集”.(2)假设存在A 是“减2集”,则若x y A +∈,那么2xy A -∈,当2x y xy +=-时,有(1)(1)3x y --=,对x ,y 分类讨论即可得出.(3)存在“减1集” A .{1}A ≠.假设1A ∈,则A 中除了元素1以外,必然还含有其它元素.假设2A ∈,11A +∈,而111A ⨯-∉,因此2A ∉.假设3A ∈,12A +∈,而121A ⨯-∈,因此3A ∈.因此可以有{1A =,3}.假设4A ∈,13A +∈,而131A ⨯-∉,因此4A ∉.假设5A ∈,14A +∈,141A ⨯-∈,235+=,231A ⨯-∈,因此5A ∈. 因此可以有{1A =,3,5}.以此类推可得所有的A .【详解】(1)*P N ⊆,{1}P ≠,112P +=∈,110P ⨯-∈,P ∴是“减0集” 同理,*P N ⊆,{1}P ≠,112P +=∈,111P ⨯-∉,P ∴不是“减1集”. (2)假设存在A 是“减2集”,则若x y A +∈,那么2xy A -∈,当2x y xy +=-时,有(1)(1)3x y --=, 则x ,y 一个为2,一个为4,所以集合A 中有元素6,但是33A +∈,332A ⨯-∉,与A 是“减2集”,矛盾,故不存在“减2集” (3)存在“减1集”A .{1}A ≠.①假设1A ∈,则A 中除了元素1以外,必然还含有其它元素. 假设2A ∈,11A +∈,而111A ⨯-∉,因此2A ∉. 假设3A ∈,12A +∈,而121A ⨯-∈,因此3A ∈. 因此可以有{1A =,3}.假设4A ∈,13A +∈,而131A ⨯-∉,因此4A ∉.假设5A ∈,14A +∈,141A ⨯-∈,235+=,231A ⨯-∈,因此5A ∈. 因此可以有{1A =,3,5}.以此类推可得:{1A =,3,5,⋯⋯,21n -,}⋯⋯,*()n N ∈, 以及A 的满足以下条件的非空子集:{1,3},{1,3,5},{1,3,5,7},⋯⋯ 【点睛】本题考查集合新定义,元素与集合的关系,逻辑推理能力,属于难题。
2021届广东省北大附中深圳南山分校高三下学期3月一模数学试题(解析版)
2021届广东省北大附中深圳南山分校高三下学期3月一模数学试题一、单选题 1.已知()RA B =∅,则下面选项中一定成立的是( )A .AB A = B .AB B =C .A B B ⋃=D .A B R =【答案】B【分析】通过取特殊集合,依次分析各选项即可. 【详解】对于A 选项,由A B A =得A B ⊂,不妨设{}{}1,0A x x B x x =>=>,则(){}01RA B x x ⋂=<≤≠∅,故不满足,故A 选项错误;对于B 选项,由AB B =得B A ⊂,显然()R A B =∅,满足,故B 选项正确;对于C 选项,由A B B ⋃=得A B ⊂,由A 选项知其不满足,故C 选项错误; 对于D 选项,由AB R =,不妨设{}{}1,0A x x B x x =≤=>,显然(){}1RA B x x ⋂=>≠∅,故不满足,故D 选项错误.故选:B.2.中国数学奥林匹克由中国数学会主办,是全国中学生级别最高、规模最大、最具影响力的数学竞赛.某重点高中为参加中国数学奥林匹克做准备,对该校数学集训队进行一次选拔赛,所得分数的茎叶图如图所示,则该集训队考试成绩的众数与中位数分别为( )A .85,75B .85,76C .74,76D .75,77【答案】B【分析】根据成绩出现次数最多的为众数,根据从小到大第七个和第八个数据的平均数为中位数求解即可.【详解】解:由茎叶图知,出现的数据最多的是85,故众数为85; 由于数据总数为14个,故中位数为第七个和第八个数据的平均数,即:7577762+= 故选:B.3.已知圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形,则该圆锥的侧面积是( )A .64πB .48πC .32πD .16π【答案】C【分析】由题意可得,圆锥的侧面展开图是扇形,半径为母线8,弧长为圆锥底面周长,进而可得结果.【详解】由题意可得,圆锥底面直径为,8半径为4,母线长为8,圆锥的侧面展开图是扇形,半径为母线8,弧长为圆锥底面周长248ππ=⨯=l 扇形面积为:1=88322ππ=S 故选:C4.将函数f (x )=sin x 的图象上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω>0),纵坐标不变,得到函数g (x )的图象,若函数g (x )的最小正周期为6π,则( ) A .ω=13B .ω=6C .ω=16D .ω=3【答案】A【分析】由伸缩变换求出()g x 的解析式,再由周期公式得出答案. 【详解】由题意可知()sin g x x ω=,由26ππω=,解得13ω=故选:A5.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则“S n +1>S n ”是“{a n }单调递增”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】D【分析】由110++>⇒>n n n S S a ,举反例102=>n n a 和12n na =-即可得出结果 【详解】110++>⇒>n n n S S a ,例如102=>n n a ,但是数列{}n a 不单调递增,故不充分;数列{}n a 单调递增,例如12n na =-,但是1n n S S +<,故不必要; 故选:D6.已知抛物线C :x 2=-2py (p >0)的焦点为F ,点M 是C 上的一点,M 到直线y =2p 的距离是M 到C 的准线距离的2倍,且|MF |=6,则p =( ) A .4 B .6C .8D .10【答案】A【分析】利用已知条件结合抛物线的定义求解即可.【详解】设()00,M x y ,则0026262p y p y -=⨯⎧⎪⎨-=⎪⎩,解得4p =故选:A7.已知a =3.20.1,b =log 25,c =log 32,则( ) A .b >a >c B .c >b >aC .b >c >aD .a >b >c【答案】A【分析】由指数函数和对数函数得单调性即可得出结果. 【详解】00.10.51=3.2 3.2 3.2212<<<⇒<<a22log 5log 422>=⇒>b3330=log 1<log 2log 3101<=⇒<<c所以b a c >> 故选:A8.已知椭圆2222x y a b+=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线交椭圆C于A ,B 两点,若2BA BF ⋅=0,且|BF 2|,|AB |,|AF 2|成等差数列,则C 的离心率为( ) A.2BC.3D .12【答案】A【分析】由向量知识得出290ABF ∠=︒,再由等差数列的性质、勾股定理、椭圆的定义得出a =,最后由离心率公式得出答案.【详解】因为2BA BF ⋅,所以290ABF ∠=︒由|BF 2|,|AB |,|AF 2|成等差数列,设22,||,2BF x AB x d AF x d ==+=+ 在2Rt ABF 中,222()(2)x x d x d ++=+,解得3x d = 即223,||4,5BF d AB d AF d ===由椭圆的定义得2ABF 的周长为1212224BF BF AF AF a a a +++=+= 即3454,3d d d a a d ++==在直角三角形12BF F 中,21BF a BF ==,122FF c =,则222(2)a a c +=,故a =即22c e a ==故选:A【点睛】关键点睛:解决本题的关键在于利用勾股定理、等差中项的性质、椭圆的定义得出,a c 的齐次方程,进而得出离心率.二、多选题9.若复数3z i =,则( ) A .|z |=2B .|z |=4C .z 的共轭复数z 3iD .2423z i =-【答案】AC【分析】根据复数的知识对选项进行分析,由此确定正确选项. 【详解】依题意()()22312z =+-=,故A 选项正确,B 选项错误.3z i =,C 选项正确. ()2223323223z ii i i ==-+=-,D 选项错误.故选:AC10.已知(1-2x )2021=a o +a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a 2021x 2021.( )A .展开式中所有项的二项式系数和为22021B .展开式中所有奇次项系数和为2021312- C .展开式中所有偶次项系数和为2021312- D .320211223202112222a a a a +++⋅⋅⋅=- 【答案】ACD【分析】由二项式系数之和,当1x =-,2021012320213=-+-+-a a a a a ①当1x =,202101232021(1)-=+++++a a a a a ②,由①+②,①-②;令0x =,则0=1a ,令12x =,则2021120220210222=++++a a a a ,即可得结果. 【详解】A .二项式系数之和为0120212021202120212021=2+++C C C ,故A 正确;2021220210122021(12)x a a x a x a x -=++++当1x =-,2021012320213=-+-+-a a a a a ① 当1x =,202101232021(1)-=+++++a a a a a ② ①+②,可得当20212021022*********31312()2--=+++⇒+++=a a a a a a , ①-②202120211320211320213+13+12()2=-+++⇒+++=-a a a a a a , 故B 错误,故C 正确; D.2021220210122021(12)x a a x a x a x -=++++令0x =,则0=1a 令12x =,则2021120220210222=++++a a a a 20211222021=-1222+++a a a ,故D 正确 故答案为:ACD11.已知函数f (x )=x 3-3ln x -1,则( ) A .f (x )的极大值为0 B .曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线为x轴C .f (x )的最小值为0D .f (x )在定义域内单调【答案】BC【分析】直接对f (x )=x 3-3ln x -1,求出导函数,利用列表法可以验证A 、C 、D;对于B:直接求出切线方程进行验证即可.【详解】f (x )=x 3-3ln x -1的定义域为()0+∞,,()()23333=1f x x x x x'=-- 令()()23333=1=0f x x x x x'=--,得1x =, 列表得:所以f (x )的极小值,也是最小值为f (1)=0,无极大值,在定义域内不单调;故C 正确,A 、D 错误;对于B:由f (1)=0及()10f '=,所以y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程()001y x -=-,即0y =.故B 正确. 故选:BC【点睛】导数的应用主要有:(1)利用导函数几何意义求切线方程;(2)利用导数研究原函数的单调性,求极值(最值); (3)利用导数求参数的取值范围.12.在梯形ABCD 中,222AB AD DC CB ===,将BDC 沿BD 折起,使C 到C '的位置(C 与C '不重合),E ,F 分别为线段AB ,AC '的中点,H 在直线DC '上,那么在翻折的过程中( )A .DC '与平面ABD 所成角的最大值为6πB .F 在以E 为圆心的一个定圆上C .若BH ⊥平面ADC ',则3DH C H '=D .若AD ⊥平面BDC ',四面体C ABD '的体积取得最大值 【答案】ACD【分析】根据已知条件可得四边形EBCD 是菱形, 60,120AED DEB ∠=∠=,线面角的知识可判断A ;根据圆锥的几何性质可判断B ;求得2DC C H ''=,由此可判断C ;由12060DCB HC B '∠=∠=,,BH DH ⊥,得60HC B ∠'=,结合锥体体积求法可判断D.【详解】如图,在梯形ABCD 中,因为//AB CD ,222AB AD DC CB ===,AE EB =,所以DC EB =,又//DC EB ,所以四边形EBCD 是菱形,所以AD DE AE ==,60,120AED DEB ∠=∠=,所以90ADB ∠=,即AD DB ⊥,6BDC DBC π∠=∠=,在将BDC 沿BD 翻折至BDC '的过程中,BDC ∠与DBC ∠的大小保持不变,由线面角的定义可知,DC '与平面ABD 所成角的最大值为6π,故A 正确; 因为DBC ∠大小不变,所以在翻折的过程中,C '的轨迹在以BD 为轴的一个圆锥的底面圆周上,而EF 是ABC '的中位线,所以点F 的轨迹在一个截面圆锥的底面圆周上,AC '的长度在变化,BC '不变化,所以AC B '∠也在变化, AFE ∠也在变化,所以圆的圆心不是点E ,故B 不正确;因为四边形EBCD 是菱形, 120DEB ∠=,所以12060DCB HC B '∠=∠=,,当BH ⊥平面ADC '时,BH DH ⊥,因为60HC B ∠'=,所以2DC BC C H '='=',所以3DH C H '=,故C 正确;在翻折的过程中,BC D '的面积不变,显然当AD ⊥平面BDC '时,四面体C ABD '的体积取得最大值,故D 正确. 故选:ACD.【点睛】本题考查了线面角、线面垂直的性质,解题国家大事要熟练掌握有关知识并能熟练应用,考查了学生分析问题、解决问题的能力及空间想象力.三、填空题13.一条与直线x -2y +3=0平行且距离大于5的直线方程为_______________.【答案】290x y -+=(答案不唯一)【分析】由平行关系设出直线方程,再由距离公式求出b 的范围,进而得出其方程. 【详解】设该直线方程为20x y b -+=55>2b <-或8b >则该直线可为290x y -+=故答案为:290x y -+=(答案不唯一)14.若某商品的广告费支出x (单位:万元)与销售额y (单位:万元)之间有如下对应数据:根据上表,利用最小二乘法求得y 关于x 的回归直线方程为y =b x +1.5,据此预测,当投入10万元时,销售额的估计值为________万元. 【答案】106.5【分析】先求出,x y 得到10.5b =,即得解. 【详解】由题得1(24568)5,5x =++++= 1(2040607080)545y =++++=,所以54=5b +1.5,所以10.5b =, 所以y =10.5x +1.5,当10x =时,10.510 1.5106.5y =⨯+=. 故答案为:106.5【点睛】结论点睛:回归方程经过样本中心点(,)x y ,注意灵活运用这个性质解题. 15.已知y =f (x )的图象关于坐标原点对称,且对任意的x ∈R ,f (x +2)=f (-x )恒成立,当10x -≤<时,f (x )=2x ,则f (2021)=_____________.【答案】12-【分析】由已知条件推出函数()f x 的周期,利用函数的周期和奇偶性求值即可. 【详解】y =f (x )的图象关于坐标原点对称,则()()f x f x =--又()()2f x f x +=-,可得()()()22f x f x f x +=-=-,即()f x 的周期为4()()()()1202145051112f f f f =⨯+==--=-故答案为:12-四、双空题16.若向量,a b 满足()4,22,8a b a b a ==+⋅=,则,a b 的夹角为____,a b += _____. 【答案】34π22 【分析】利用向量运算求得cos ,a b ,由此求得,a b ;利用()2a b a b +=+来求得结果.【详解】依题意()8a b a +⋅=,22cos ,8a a b a a b a b +⋅=+⋅⋅=,解得2cos ,2a b =-,所以3,4a b π=. ()2222222cos ,22a b a b a a b b a a b a b b +=+=+⋅+=+⋅⋅+=.故答案为:34π;22五、解答题17.如图,在平面四边形ABCD 中,AD ⊥CD , ∠BAD =34π,2AB =BD =4.(1)求cos ∠ADB ; (2)若BC 22CD . 【答案】(1)14cos 4ADB ∠=(2)32CD = 【分析】(1)ABD △中,利用正弦定理可得sin ADB ∠,进而得出答案; (2)BCD △中,利用余弦定理可得CD .【详解】(1)ABD △中,sin sin AB BDADB BAD=∠∠,即2sin 2ADB =∠,解得sin ADB ∠=,故cos ADB ∠=(2)sin cos ADB CDB ∠==∠ BCD △中,222cos 2BD CD BC CDB BD CD +-∠=⋅⋅,即2224424CD CD+-=⋅⋅,化简得(0CD CD -+=,解得CD =.18.已知数列{a n }满足1223n n n a a a ++=-,a 2-a 1=1. (1)证明:数列{}1n n a a +-是等比数列; (2)若a 1=12,求数列{a n }的通项公式. 【答案】(1)证明见解析;(2)1122n n a -=-. 【分析】(1)利用()2112n n n n a a a a +++-=-证得结论成立. (2)利用累加法求得{}n a 的通项公式.【详解】(1)依题意1223n n n a a a ++=-,所以()2112n n n n a a a a +++-=-,故数列{}1n n a a +-是首项为211a a -=,公比为2的等比数列,所以112n n n a a -+-=.(2)由(1)得112n n n a a -+-=,所以()2122n n n a a n ---=≥,所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+23012222n n --=++++11121121222n n ---=+=--. 即1122n n a -=-. 19.如图,平面ABCD ⊥平面ABE ,AD //BC ,BC ⊥AB ,AB =BC =2AE =2,F 为CE 上一点,且BF ⊥平面ACE .(1)证明:AE ⊥平面BCE ;(2)若平面ABE 与平面CDE 所成锐二面角为60°,求AD . 【答案】(1)见解析;(2)153【分析】(1)由平面ABCD ⊥平面ABE 证明BC ⊥面ABE ,得到BC ⊥AE ,由BF ⊥平面ACE ,得到BF ⊥AE ,从而证明AE ⊥平面BCE .(2)过A 作Ax 垂直AB ,以Ax 为x 轴正方向,以AB 为y 轴正方向,以AD 为z 轴正方向,建立直角坐标系,用向量法计算可得.【详解】(1)∵平面ABCD ⊥平面ABE ,AB 为平面ABCD 和平面ABE 的交线,BC ⊥AB , ∴BC ⊥面ABE ,∴BC ⊥AE. 又BF ⊥平面ACE ,∴BF ⊥AE . 又BCBF B =,∴AE ⊥平面BCE .(2)如图示,过A 作Ax 垂直AB ,以Ax 为x 轴正方向,以AB 为y 轴正方向,以AD 为z 轴正方向,建立空间直角坐标系,则()()()()310,0,0,0,2,0,,0,0,2,2,0,0,,2A B E C D m ⎫⎪⎪⎝⎭∴()33,,2,0,2,222CE CD m ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭设(),,m x y z =为平面CDE 的一个法向量,则·0·0m CE m CD ⎧=⎨=⎩,即()32020220x y z x y m z ⎧++=⎪⎨⎪⨯-+-=⎩, 不妨取z =2,则32,23m m m ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎭显然平面ABE 的一个法向量()0,0,2n BC ==∴cos ,cos60m n m n m n===⨯⎛,解得:m .故AD 【点睛】立体几何解答题的基本结构:(1)第一问一般是几何关系的证明,用判定定理;(2)第二问是计算,求角或求距离(求体积通常需要先求距离),通常可以建立空间直角坐标系,利用向量法计算.20.某校针对高一学生安排社团活动,周一至周五每天安排一项活动,活动安排表如下:要求每位学生选择其中的三项,学生甲决定选择篮球,不选择书法;乙和丙无特殊情况,任选三项.(1)求甲选排球且乙未选排球的概率;(2)用X 表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和,求X 的分布列和数学期望. 【答案】(1)415;(2)分布列见解析,2815 【分析】(1)设事件,分别求出甲、乙同学选排球的概率,由相互独立事件同时发生的概率,即可得出结果.(2)求出丙同学选排球的概率,X 的可能取值为0,1,2,3,分别求出概率,进而可得结果.【详解】(1)设A 表示事件“甲同学选排球” B 表示事件“乙同学选排球”则1224233523(),()35C C P A P B C C ====因为事件A ,B 相互独立,所以甲同学选排球且乙同学未选排球的概率为:234()()()(1)3515==⨯-=P AB P A P B (2)设C 表示事件“丙同学选排球”,则24353()5C P C C ==X 的可能取值为0,1,2,3则2334(0)(1)(1)(1)35575==-⨯-⨯-=p X ;2332332334(1)(1)(1)+(1)(1)+(1)(1)35535535515==⨯-⨯--⨯⨯--⨯-⨯=p X23323323311(2)(1)+(1)+(1)35535535525==⨯⨯--⨯⨯⨯-⨯=p X2336(3)35525==⨯⨯=p XX 的分布列为数学期望为()01237525252515=⨯+⨯+⨯+⨯=E X 21.已知双曲线C : 2222x y a b-=1(a ,b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),其中c >0, M (c ,3)在C 上,且C 的离心率为2. (1)求C 的标准方程;(2)若O 为坐标原点,∠F 1MF 2的角平分线l 与曲线D : 2222x y c b+=1的交点为P ,Q ,试判断OP 与OQ 是否垂直,并说明理由.【答案】(1)2213y x -=;(2)OP 与OQ 不垂直,答案见解析. 【分析】(1)利用点在曲线上和离心率,解出,,a b c ,进而得出双曲线方程; (2)利用角平分线定理求出N 点坐标,联立直线MN 与曲线D 的方程,由根与系数的关系,结合平面向量的数量积得出结论.【详解】(1)由题意得222912c a b c a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即2941b -=,解得3b =,又222c a b =+,可得1,2a c ==,故双曲线C 的标准方程为2213yx -=;(2)设角平分线与x 轴交于点N ,根据角平分线性质可得1122F N MF NF MF =,()2,3M ,1122515,3,,,032F NF M F M N F N ⎛⎫∴===∴ ⎪⎝⎭,1:2212MN y x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭设()()1122,,,P x y Q x y ,联立方程2221143y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,可得2191680x x --=12121619819x x x x ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩,()()()121212122121421y y x x x x x x =--=-++()1212121281652152101919OP OQ x x y y x x x x ⎛⎫∴⋅=+=-++=⨯--⨯+≠ ⎪⎝⎭即OP 与OQ 不垂直.【点睛】关键点点睛:本题考查双曲线的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查平面向量的数量积,解决本题的关键点是利用角平分线定理求出∠F 1MF 2的角平分线与x 轴交点N ,利用直线与曲线方程联立写出根与系数的关系,借助于平面向量的数量积得出结论,考查学生逻辑思维能力和计算能力,属于中档题. 22.已知函数f (x )=e x ,g (x )=2ax +1.(1)若f (x )≥g (x )恒成立,求a 的取值集合;(2)若a >0,且方程f (x )-g (x )=0有两个不同的根x 1,x 2,证明:122x x +<ln 2a . 【答案】(1)12⎫⎧⎨⎬⎩⎭;(2)见解析【分析】(1)构造函数()()()21xu x f x g x e ax =-=--,求导,分类讨论得函数最值即可求解;(2)由题意得12122121x x e ax e ax ⎧=+⎨=+⎩,21212x x e e a x x -=-,等价证明()21212211x x x x x x ee --⎡⎤-<-⎣⎦,令2102x x t -=>,构造函数()212ttg t e te =--求导证明即可【详解】(1)令()()()21xu x f x g x e ax =-=--,()'2xu x e a =-当0,a ≤ ()'0u x >恒成立,()u x 在R 上单调递增,()00u =,当0x < ()0u x <不合题意,故舍去当0,a > ()'0u x =则()ln 2x a =,故当()ln 2,x a < ()'0u x <,()u x 单调递减;当()ln 2,x a > ()'0u x >;()u x 单调递增,故()()()()max ln 222ln 210u x u a a a a ==--≥令()()'ln 1,ln 0,1h x x x x h x x x =--∴=-==,故()h x 在()0,1 递增,在()1,+∞递减,故()()10,h x h ≤=即()ln 10,h x x x x =--≤即()22ln 21a a a --0≤,故21a =即12a =故a 的取值集合为12⎫⎧⎨⎬⎩⎭(2)方程f (x )-g (x )=0有两个不同的根x 1,x 2不妨令x 1<x 2,1212121221221x x x x e ax e e a x x e ax ⎧=+-∴∴=⎨-=+⎩ , 若证122x x +<ln 2a .即证()()1212212121212222121211x x x x x x x x x x x x e e ex x e e e x x e e x x ++---⎡⎤<⇔-<-⇔-<-⎣⎦- 令2102x x t-=>,即证212t t e te ->,令()()()2'12,21t t t tg t e te g t e e t =--=--因为1t e t >+,故()'0g t >,故()g t 单调递增,()()00g t g >=得证【点睛】本题关键是利用12122121x x e ax e ax ⎧=+⎨=+⎩,21212x x e e a x x -=-,等价证明()21212211x x x x x x ee --⎡⎤-<-⎣⎦,构造函数证明。
北京理工大学附属中学2021届高三数学第一次月考试题 理
北京市理工附属中学2021-2021学年高三第一次月考数学(理)试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部份,共150分。
考试时刻120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(每题5分,共60分。
以下每题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上) 已知集合{}{}4,3,2,4==B A , 且)()(B A C B A ⋃⊆⊆⋂, 那么集合C 的个数是( ) (A )2 (B )3 (C )4 (D )52. 使得函数为增函数的区间为 ( )A. B. C. D.3.已知)2,23(,125)tan(ππααπ∈=-,那么=+)2cos(πα (A )135 (B )135- (C )1312-(D )13124. 一个有限项的等差数列,前4项之和为40,最后4项之和是80,所有项之和是210,那么此数列的项数为( )A .12B .14C .16D .185. 以下关系式中正确的选项是( ) A . B . C .D .6. 已知向量a 、b 不共线,c abR),d a b,若是cd ,那么 ( ) A .且c 与d 同向 B .且c 与d 反向 C .且c 与d 同向 D .且c 与d 反向7. 已知是偶函数,当时,;假设当时,恒成立,那么的最小值为()A、1B、C、D、8. 在△ABC中,a、b、c别离是∠A、∠B、∠C的对边长,已知a、b、c成等比数列,且a2-c2=ac-bc,那么的值为()A.B. C. D.9. 函数的图象按向量平移到,的函数解析式为当为奇函数时,向量能够等于10. 已知是方程的两根,且,那么的值为()A. B. C. 或 D. 或11. 假设知足2x+=5, 知足2x+2(x-1)=5, +=(A)(B)3 (C) (D)412. 给出以下命题:①在其概念域上是增函数;②函数的最小正周期是;③在内是增函数,那么p是q的充分非必要条件;④函数的奇偶性不能确信。