企业退休金数学模型

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MA(q)利率下企业生存年金精算现值模型

高建伟，丁克诠２
（．１华北电力大学工商管理学院，北京１２０；．０２６２中国科学院研究生院数学系，北京１０９０３）０
摘要：利用时间序列理论，将可逆ＭＡ１，（）（）ＭＡ２随机利率模型推广为可逆Ｍ（）一般ＭＡｇ模型，Ａｇ和（）并给出
关键词：缴费预定型；随机利率；企业生存年金；养老金；精算现值
中图分类号：８０Ｆ４文献标识码：Ａ文章编号：１０～５８（ｏ６ｏ —０３ — ５Ｏｏ７１２ｏ）２１１０
Ａｃｕｒａｒｓｎａｕｄｌｏｎｅｐｉｅｔａｉｌｐｅｅｔｖｌｅｍｏｅｓｆｅｔｒｒｓ
ＡｂｔａｔＩｉＰｒｂｓｄｏｅｔｅｓｒｓｅｒ，ｅｒｅｉｌＭＡ（）ｎＡ（）ｔｈｓｃｓｃ：ｎｔｓ印ｅ，ａｅｎｔｍｉｏｔｖｒｂｒｈｈｉｅｅｔｙｈｅｓｅｈ１ａｄＭ２ｓｃａｔｏｉ
ｉｅｓｒｅｍｄｌａｅｅａｚｔｒｖｒｂＡ（）ｄｃｍｏｎｒｔａｏｅｒｇｎｒｉｉｏｅｅｓｌＭｑａｏｍｎＭＡ（）ｍｄｌ，ｏｅｖｒｔｔｔｅｓｅｌｅｎｄｉｅｎｑｏｅｍｒｅ，ｅｓｏｈｃｌｌｉｅｓｆｅｒｉｉｅｑｏｄｒｎＭＡ（）ｍｅａｉｎＡｃｒｉｇｔｔｅｅｎｄｅｎｉａｕｔｎｓｐｔｍｎｇｔｒｅｉｃａｏｔｏｄｅｎｈｑｏｌｅｇｅ．ｃｏｎｆｅｏｔ－ｄｒｖｄｏｈｄｉｒ
Ｋｅｒｓｄｆｅｏｔｂｔｎｓｃａｔｎｅｓｒｔ；ｅｔｒｒｅｌｅａｎｉ；ｐｎｉｎａｔａｉｌｙｗｏｄ：ｅｎｄｃｎｒｕｉ；ｔｈｉｉｔｒｔａｅｎｅｐｓｉｎｕｔｉｉｏｏｓｃｅｉｆｙｅｓ；ｃｕｒｏａ

数学建模企业退休职工养老金规章制度地改革(3)

企业退休职工养老金制度改革的探究摘要本文解决的是关于企业退休职工养老金制度的改革问题,在其他假设条件均处于理想状态下，分别从各种情况下考虑在岗职工工资对养老金的影响，我们首先建立logistic 模型预测出2011年到2035年省职工的年平均工资，然后建立替代率、收支平衡模型来分析各种情况下的替代率和缺口情况,最后对养老金制度的改革方案提出合理的建议。

针对问题一：我们根据题中给出的数据和条件，结合中国最近几年经济发展增长趋势和未来经济战略目标，假设未来中国经济发展呈现阻滞指数增长模式，工资增长形势与国家经济发展形势相同，建立符合未来经济发展趋势的增长阻滞logistic 模型0()1(1)mrtm x x t xe x -=+-，再用曲线拟合的方法预测从2011年至2035年省职工的年平均工资（见表5）。

针对问题二:在相应的数据基础上，通过对该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险至退休年（55岁，60岁，65岁）的各种情况讨论，采用以函数求解得平均值和直观清晰的图表相结合的方法，用Mathematics 软件建立模型，并得出各种情况下的养老金替代率（见表6）。

针对问题三:在问题一、二的求解基础上，通过对职工自2000年起从30岁开始缴养老保险至退休年（55岁，60岁，65岁）的各种情况讨论，采用以函数表达式和直观清晰的图表相结合的方法，用Mathematics 软件建立模型，得出职工领取养老金多少年能够使其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡（结果见表7）。

针对问题四:为了保证我国社会养老保险基金不仅实现当期收支平衡，而且还要在未来长时期保持收支平衡，并要达到目标替代率，结合我国国情实际，从就业年龄，退休年龄，养老金替代率等影响养老保险基金收支平衡的各相关变量作了定量和定性分析讨论，得到了既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡可以采取以下措施：措施一：提高退休年龄，尽早开始缴纳养老保险措施二：扩大征缴费源措施三：提高个人账户缴费率最后对模型进行检验和进一步讨论，并做出了相应的评价与推广。

关于企业退休职工养老金制度改革的数学模型

关于企业退休职工养老金制度改革的数学模型摘要:本文以2011年大学生数学建模大赛案例为研究对象。

针对企业退休职工养老金制度的改革的各种问题,首先通过对工资增长率为常值的假设给出了关于工资的指数增长模型,并通过转化用线性最小二乘法得到求解。

然后利用此模型预测了2011年至2035年山东省的年平均工资。

在此基础上分别计算了某企业员工不同岁数开始缴费和不同岁数退休的各种情况下的替代率,另外还分别计算了该企业某职工从30岁开始缴费到不同年龄退休的各种情况下的养老保险基金的缺口和收支平衡状况。

最后在前边计算结果的直观下,深入分析了如开始缴费年龄、退休年龄、银行利率、工资比例等各种影响替代率和收支平衡的因素。

关键词:指数增长模型最小二乘法缴费指数替代率收支平衡1 问题以及背景养老金又称退休金,是由政府、公司、金融机构等向因年老或疾病失去劳动能力的人按月支付的资金。

目前,按照国家对基本养老保险制度的总体思路,未来基本养老保险目标替代率确定为58.5%。

由此可以看出,今后基本养老金主要目的在于保障广大退休人员的晚年基本生活。

本文在2011年大学生数学建模大赛案p问题三:假设该企业某职工自2000年起从30岁开始缴养老保险,一直缴费到退休(55岁、60岁、65岁),并从退休后一直领取养老金,至75岁死亡。

计算养老保险基金的缺口情况,并计算该职工领取养老金到多少岁时,其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。

问题四:如果既要达到目标替代率,又要维持养老保险基金收支平衡,你认为可以采取什么措施。

请给出理由。

2 问题一的求解2.1 模型假设工资的增长与经济增长有着非常密切的正相关。

近30年来我国经济发展迅速,工资增长率也较高;而发达国家由于经济增长过缓,所以工资增长率比较低。

我国经济发展的战略目标,是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。

所以未来的几十年内,我国的工资也会像前几十年一样随着经济的增长保持快速而稳定的增长。

企业退休职工养老金制度改革方法

ｓｂｓｔｔｏａｅ，ｓｒｏｓｇｐｕｔｕｉｎｒｔｉｅｕａｓ，ａｄｉｂｌｎｅｎｏｍｅｔｉｓｒｎｅｆｎａｍｅｓＩｈｓｐａｒｂｓｄｉｎｍａａｃｄｅｄｗｎｎｕａｃｕｄｐｙｎｔ．ｎｔｉｐｅ，ａｅｏｅａｅａｅｙａｌａｅｏｒｅｓｉａｎｎｏｉｃｎｅａｅｎｏａｉｎ，ｕｉｇＣｈｎｇｐｎｉｎｎｔｖｒｇｅｒｙｗｇｆｗｏｋｒｎＬｉｏｉｇＰｒｖｎｅａｄｒｌｔｄｉｆｒｔｏｈｍｓｎｉａｅｓｏｃｌｕａｉｎｍｅｈｄ，ｍｏｅｉｎｄｓｌｔｅｐｏｏｓｄｂｏｒｓｅｒＣｈｉ￣ｐｎｓｏｙｓｅｒｆｒ．Ｆ — ａｃｌｔｏｔｏｄｌｎｇａｏｕｉａｒｐｅｙｆｕｔｐｓｆｏｎｒｏｎａｅｉｎｓｔｍｅｏｍｉｎａｌｌｙ，ｒｇｄｎｈｅｕｔｄｔｅｅｔｓｔａｉｎｏｉａｎｏｅａｉｇｔｅｒｓｌｓａｈｅｐｒｓｎｉｕｔｆＣｈｎｇｅｄｗｍｅｔｉｕａｃｅｏｎｔｅｔａｉｏｒｎｏｎｎｓｒｎｅｒｆｒｉｎｓｔｎｍｈｒｉ
Ｋｅｒｙｗｏｄｓ：ｍａｈｅｔｃｌｍｏｅｉｇ；ｐｅｉｎ；ｌｇｉｔｃｍｏｅｉｔｍａｉａｄｌｎｎｓｏｏｓｉｄｌｎｇ；ｓｂｔｕｉｎｒｔｕｓｉｔｏａｅｔ
养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以

企业退休职工养老金管理的数学模型

宋进健陈锋熊梦颖，，
（冈职业技术学院商学院机电学院电子信息学院。湖北黄冈４８０）黄，，，３０２
摘要：用某省的工资，利算出了各种缴费年限的养老金替代率和养老保险基金缺口，并结合养老金
替代率和养老保险基金缺口的计算公式，讨论了既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡的
职工个人工资按照一定比例（％）纳到个人账８缴户，两个账户我们合成为养老保险基金，老金这养
会随着社会平均工资的调整而调整，休后，职退按工在职期间每月（年）或的缴费工资与社会平均工资之比（费指数）再考虑到退休前一年的社会缴，平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基
养老金是一种根据劳动者对社会所作贡献及础养老金）加上个人工资账户中一定比例的资金，其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的
保险待遇，于保障职工退休后的基本生活需要。用
我国企业职工基本养老保险实行 “ 会统筹 ” 社与“ 个人账户 ” 结合的模式，工工资总额按照相职
应对措施和建议。
关键词：工资；缴费指数；养老金；替代率；收支平衡
中图分类号：２４０Ｆ２．文献标识码：Ａ文章编号：６２—１４（０２００８０１７０７２１）３— ００— ４
ＤＩ１．９９ｊｉｎ１７Ｏ：０３６／．ｓ．６２—１４．０２０．１ｓ０７２１．３２

企业退休职工养老金问题的数学模型(1)

企业退休职工养老金问题的数学模型一、摘要本文通过对企业退休职工养老金制度的改革问题进行了探究，建立Logistic数学模型并使用Matlab来预测未来一段时间内职工的年平均工资，并利用预测数据来推算职工养老金替代率和未来职工的养老金缺口情况和收支平衡进行分析与计算。

最后提出了合理建议使得建立的模型尽可能地满足目标替代率58.5%和养老保险基金收支平衡。

关键词：Logistic数学模型预测替代率收支平衡二、问题重述我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。

这两个账户我们合称为养老保险基金。

退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。

养老金会随着社会平均工资的调整而调整。

如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。

个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。

养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。

近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。

我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。

现在我国养老保险改革正处于过渡期。

养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。

影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。

替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。

按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。

统筹建立企业和机关事业单位退休人员养老金正常调整机制

统筹建立企业和机关事业单位退休人员养老金正常调整机制%笪谭中和（人力资源和社会保障部社会保障研究所，北京100029）眼摘要演针对目前企业和机关事业单位退休人员实行不同的养老金（退休金）调整办法，研究提出统筹建立企业和机关事业单位退休人员养老金调整的具体模型和办法，并提出政策建议。

眼关键词演统筹；养老金；调整机制眼中图分类号演F840.612；F241.34眼文献标识码演A眼文章编号演1673-0461（2014）06-0041-06收稿日期：2014-04-08网络出版网址：/kcms/doi/10.13253/ki.ddjjgl.2014.06.008.html 网络出版时间：2014-5-2813:16:15作者简介：谭中和，人力资源和社会保障部社会保障研究所养老保险研究室主任、研究员。

2014年6月第36卷第6期退休人员养老金的调整机制，是养老保险制度的重要内容。

建立公平可持续的社会保障体系，需要统筹各类退休人员的调整机制。

当前，统筹企业和机关事业单位退休人员的养老金调整，对破解不同类型单位退休人员养老金待遇差过大，推动机关事业单位养老保险制度改革完善，建立基本养老保险待遇正常调整机制，具有重要意义。

一、城镇职工养老金调整发展历程、成效及存在问题（一）调整发展历程总结我国城镇企业养老金调整过程，大致经历了4个阶段。

第一个阶段为建国初期至改革开放之前。

1951年，政务院颁布《劳动保险条例》，对国营企业职工的养老待遇作出规定。

1955年，国务院颁布了国家机关事业单位工作人员退休养老办法。

退休金以基本工资为基础,根据工龄长短按不同的比例发放。

退休人员领取固定不变的退休金。

第二阶段从改革开放后至2000年，为养老金调整探索阶段。

1984年开始对国有企业、集体企业养老保险实行费用统筹；1991年国务院颁布《关于企业职工养老保险制度改革的决定》（国发[1991]33号），明确提出养老金调整“通过增加标准工资在工资总额中的比重，逐步提高养老金的数额。

延迟退休问题的数学模型

人口老龄化现状：全球老年人口数量持续增长，中国尤为突出
人口老龄化影响：养老负担加重，劳动力短缺，经济增长压力加大
延迟退休政策：应对人口老龄化的措施之一，旨在通过延长退休年龄来缓解养老负担和劳动力短缺问题
养老保障压力
人口老龄化趋势加剧
养老保障体系负担沉重
养老金缺口逐渐扩大
延迟退休成为缓解养老保障压力的重要措施
养老金缺口分析
养老金缺口的定义：指当前养老金收入与支出之间的差额。
缺口产生的原因：人口老龄化、养老金制度不完善等。
缺口对经济的影响：增加财政负担、影响经济增长等。
应对措施：提高养老保险费率、延迟退休年龄等。
人口结构变化对延迟退休的影响
人口老龄化：随着人口老龄化的加剧，劳动力市场供不应求，需要延迟退休来弥补劳动力不足。
延迟退休对经济增长的影响
延迟退休可以增加劳动力供给，促进经济增长
延迟退休可以缓解养老压力，减少财政负担
延迟退休可能会降低消费需求，对经济产生负面影响
延迟退休对经济增长的影响需要综合考虑多种因素
04
延迟退休问题的数学模型应用
政策制定建议
延迟退休年龄与人口老龄化趋势相适应建立弹性退休制度，允许个人自愿选择退休年龄完善社会保障制度，确保延迟退休后的生活质量制定相关政策，鼓励企业支持延迟退休
确定研究问题：延迟退休年龄对养老保险系统的影响。
数据收集：收集相关数据，包括人口老龄化、养老保险系统财务状况等。
建立数学模型：根据收集的数据，建立延迟退休问题的数学模型，包括人口老龄化模型、养老保险系统财务模型等。
模型验证：通过历史数据对模型进行验证，确保模型的准确性和可靠性。

企业退休职工养老金制度的改革

２０年各年龄段月平均工资结合全省职工的年平均工资增长率，０９估算出未来该企业各个年龄段的月平均工资．根据养老金的计算方法，我们分别建立了刚退休时养老金的计算模型、退休若干年后养老金的收支平衡
模型，分析出不同缴费情况下养老金的替代率、养老金的收支平衡与缺口情况，最后提出了既达到目标替代
至２３年的山东省职工的年平均工资．０５对于问题二，附件２中各段收入范围的平均取值做为该段的月工资，利用数学期望求得各年龄段月平均工资、企业平均工资，然后对这些数据进行多项式拟合估算出６－５０６岁的平均月收入．由上述数据可以计算２０该企业各年龄段职工的缴费０９年
３１．问题一：测从２１年至２３年年山东省职工的年平均工资（）０００５元
年份
２１００２儿０２１０２２Ｉ０３２１Ｏ４
年均工资
３０４２７￣３．８０６４１０１３４７０５１５５００９５７０５４
．
…．
王理峰，石艳玲
企业退休职工养老金制度的改革
后取０２．；
由（）３式可以预测出２１０１到２３的平均工０５年资，如表１：
Ｃ：人账户的缴费比例２０前取Ｏ１，０２个０５年．ｌ２Ｏ年后取ＯＯ；５．８Ｅ国家规定的个人账户计发月数．：（：它符号参数在具体问题中说明）注其３模型的建立与求解
模型，计算出各种情况下的替代率．养老金的收支平衡是以缴费期的收入满足若干年后退休养老金的支付来衡量，结合养老金的计算办法，我们将给出若干年后养老保险的收入、支

基于延迟退休的数学模型

承诺书我们仔细阅读了五一数学建模联赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其它公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。

我们授权五一数学建模联赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号为（从A/B/C中选择一项填写）： C我们的参赛报名号为：参赛组别（研究生或本科或专科）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.日期：2014 年 5 月 4 日获奖证书邮寄地址：邮政编码编号专用页竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）：裁剪线裁剪线裁剪线竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）：参赛队伍的参赛：（请各参赛队提前填写好）：1121题目关于延迟我国退休年龄问题的探析和前瞻摘要本文根据我国国情参照发达国家的退休年龄，对不同群体实施延迟退休政策，并且研究其对我国的社会问题的影响，尽快做出“延迟退休”的科学可行的制度设计。

问题一：我们针对我国国情指标，构造得到国民人均预期寿命，人口老龄化程度，劳动力供求状况，国民受教育情况的计算公式，拟合得到变化趋势图，定性分析这四个指标对延迟退休的影响。

其影响分别为随退休年龄增加，国民受教育时长，人口老龄化程度,国民人均预期寿命呈呈增长趋势，劳动力状况呈下降趋势。

问题二：我们针对不同群体，研究其具体工作状况，进而得到评价指标，再利用层次分析法构建评价模型，得到对不同群体较为合理的不同延迟退休年限。

如我国的延迟退休政策较为合理的退休年限应为：教师延迟4年，科医生延迟5年，公司职员延迟3年，客车司机延迟2年，重体力劳动者延迟1年。

职工养老基金的数学模型与预测

职工养老基金的数学模型与预测作者：冯秋芬潘红艳杨玉红来源：《读写算》2013年第46期【摘要】本文的目的是对企业退休职工养老金制度的改革进行研究，因为材料中给出的数据都是山东省的，所以文中的所有数据来源均以山东省的数据做参考。

模型中我们预测出了2011年至2035年山东省职工的年平均工资；依据数据求解出了养老金替代率；分析出收支平衡情况；最后，结合分析结果，对养老保险基金情况进行合理分析，并通过对未来养老保险基金的预测，结合当前国内养老保险基金的政策方向，提出对有关企业养老保险基金改革的措施与建议。

【关键词】MATLAB曲线拟合替代率养老金缺口养老金收支平衡1.问题背景养老保险问题是一个关系着国计民生和社会稳定的重要问题。

目前我国养老保险愈来愈面临严峻的挑战，加速发展的人口老龄化、覆盖面窄、统筹层次低、隐性债务和个人空账等问题，已使现有的养老保险制度力不从心，而农村传统的“家庭养老与土地保障”功能已日趋退化，新型农村养老保险刚刚开始试点，任务艰巨。

因此结合我国实际情况，针对我国当前社会养老保险在实践中出现的难点问题进行分析，进而提出相应的改革与完善对策，是目前社会保障中亟待解决的核心问题。

经过近十年的改革与建设，我国新的养老保险制度已初步建立，形成了包括基本养老保险、企业补充养老保险和个人储蓄性养老保险为主的多层次、多支柱新型养老保险体系。

然而，正是因为针对不同的人群，实施着不同的养老保险制度，事业单位养老保险与企业单位养老保险存在很大的差异，使得暴露出来的各种社会问题日显突出。

有关企业员工养老保险制度改革的问题的研究，如社会统筹账户收支平衡问题，是否应当推迟退休年龄等等问题，这些问题都已经有很多学者做了大量研究工作。

本文考虑的对象是企业职工，我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合（简称“统账结合”）的模式。

对于企业职工，按其参加工作和退休的年限分成“老人”、“中人”、和“新人”三种不同的情况。

关于企业退休职工养老金的数学模型

资分布情况，按照２００５年颁布的《国务院关于完善企
业职工基ｔｔｐ：／／ｂａｉｋｅ．ｂａｉｄｕ．ｅｏｍ／ｖｉｅｗ／４０７９１６．ｈｔｍ）等
一
Ａ（１＋五）。＋Ａ（１＋忌）＋ … ＋Ａ（１＋ｋ）ｎ一１
Ａ × （３）
为了简化计算，我们终值系数，各年龄段内缴纳的养老保险金的期数为，ｚ一６０，年利率为３，月利率忌一：０．００２５，普通年金终值系数为
１问题的重述
现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。表１是２００９年山东省某企业各年龄段职工的工
看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自
２０００年起分别从３Ｏ岁、４Ｏ岁开始缴养老保险，一直
缴费到退休（５５岁、６Ｏ岁、６５岁），计算各种情况下的养老金替代率。
问题二假设该企业某职工自２０００年起从３Ｏ
问题三
如果既要达到目标替代率，又要维持养
老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请
给出你的理由。
岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（５５岁、６Ｏ岁、６５岁），并从退休后一直领取养老金，至７５岁死亡。计

数学建模实验项目

数学建模实验项⽬数学建模实验指导书数学建模实验项⽬⼀养⽼基⾦问题⼀、实验⽬的与意义：1、练习初等问题的建模过程；2、练习Matlab基本编程命令；⼆、实验要求：3、较能熟练应⽤Matlab基本命令和函数；4、注重问题分析与模型建⽴，了解建模⼩论⽂的写作过程；5、提⾼Matlab的编程应⽤技能。

三、实验学时数：2学时四、实验类别：综合性五、实验内容与步骤：（1.必做，2、3选⼀）1.某⼤学青年教师从31岁开始建⽴⾃⼰的养⽼基⾦，他把已有的积蓄10000元也⼀次性地存⼊，已知⽉利率为0.001（以复利计），每⽉存⼊700元，试问当他60岁退休时，他的退休基⾦有多少？⼜若，他退休后每⽉要从银⾏提取1000元，试问多少年后他的基⾦将⽤完？2.贷款助学问题。

3贷款购房问题。

⾃⼰调查设计具体情况数学建模实验项⽬⼆梯⼦问题⼀、实验⽬的与意义：1、进⼀步熟悉数学建模步骤；2、练习Matlab优化⼯具箱函数；3、进⼀步熟悉最优化模型的求解过程。

⼆、实验要求：1、较能熟练应⽤Matlab⼯具箱去求解常规的最优化模型；2、注重问题分析与模型建⽴，熟悉建模⼩论⽂的写作过程；3、提⾼Matlab的编程应⽤技能。

三、实验学时数：2学时四、实验类别：综合性五、实验内容与步骤：⼀幢楼房的后⾯是⼀个很⼤的花园。

在花园中紧靠着楼房建有⼀个温室，温室⾼10英尺，延伸进花园7英尺。

清洁⼯要打扫温室上⽅的楼房的窗户。

他只有借助于梯⼦，⼀头放在花园中，⼀头靠在楼房的墙上，攀援上去进⾏⼯作。

他只有⼀架20⽶长的梯⼦，你认为他能否成功？能满⾜要求的梯⼦的最⼩长度是多少？步骤：1．先进⾏问题分析，明确问题；2．建⽴模型，并运⽤Matlab函数求解；3．对结果进⾏分析说明；4．设计程序画出图形，对问题进⾏直观的分析和了解（主要⽤画线函数plot，line）5．写⼀篇建模⼩论⽂。

数学建模实验项⽬三确定肥猪的最佳销售时机⼀、实验⽬的与意义：1、认识微分法的建模过程；2、认识微分⽅程的数值解法。

精算学在退休规划中的应用与创新

精算学在退休规划中的应用与创新退休规划是现代社会中备受关注的话题，随着人们寿命的延长和经济条件的改善，如何在退休后保证良好的生活质量成为了许多人关心的问题。

精算学作为一门应用数学，可以通过运用数理统计和风险管理的方法，为个人和组织提供精确的退休规划建议。

本文将讨论精算学在退休规划中的应用与创新。

一、精算学在退休需求预测中的应用在退休规划中，准确预测个人的退休需求是关键的一步。

精算学通过分析和统计个人的收入、支出、资产和健康状况等因素，可以为个人提供对未来退休需求的科学预测。

通过建立数学模型，精算师可以考虑各种潜在情景和风险，从而为个人制定定制化的退休规划。

二、精算学在退休金计划中的创新精算学在退休金计划中的应用已经得到广泛认可，但在不断变化的社会和经济环境下，精算师也需要不断创新。

例如，考虑到人们寿命的延长和通胀的影响，精算师可以引入风险管理技术，建立更为灵活和可持续的退休金计划。

通过将资产投资组合的多样化和利用金融衍生品等工具，可以更好地应对退休金计划中的各种不确定性。

三、精算学在退休健康保障中的应用退休后的健康问题对个人和家庭来说是一个重要的挑战。

精算学可以通过健康险和长期护理险等保险产品的设计和定价，为个人提供退休后的健康保障。

同时，精算学家还可以通过分析和研究大量数据，制定预防性措施，帮助人们更好地管理自己的健康，减少退休后的医疗费用。

四、精算学在养老金制度改革中的创新随着人口老龄化的趋势日益明显，各国纷纷面临养老金制度的改革。

精算学在这方面也发挥着积极的作用。

通过对养老金制度的需求分析和可持续性评估，精算师可以为政府和组织提供制定和优化养老金制度的建议。

同时，借助精算模型和风险管理工具，可以更好地应对养老金制度面临的挑战，提高养老金制度的可持续性。

总结：精算学在退休规划中的应用与创新无疑为个人和组织提供了更科学和可靠的退休安排。

通过精确预测个人退休需求、创新退休金计划、提供健康保障和参与养老金制度改革，精算学在退休规划领域不断创新发展。

我国企业退休职工养老金预测的数学模型_以山东省为例

ｉ＝１我国企业退休职工养老金预测的数学模型———以山东省为例段克峰１，赵慧霞２（１．陇东学院数学与统计学院，甘肃庆阳７４５０００；２．兰州文理学院，甘肃兰州７３００００）摘要：以山东省某企业职工为例研究我国企业退休职工养老金预测模型．根据养老金计算的方法建立了养老金替代率和养老金收支平衡的数学模型；运用曲线拟合法建立了预测２０１１年至２０３５年山东省职工年平均工资的数学模型；以山东省某企业某职工为例对模型求解，结果表明：若不深化现行养老金制度的改革，未来２５年内随着我国人口老龄化进程的加速，即使养老金替代率不超过５８．５％，也难以阻止养老金缺口逐渐增大的趋势．关键词：养老金；替代率；缺口；数学模型；预测中图分类号：Ｏ２４文献标识码：Ａ１问题的提出［１］养老金也称退休金，是根据劳动者对社会所作贡献及所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要．职工退休后，每月养老金＝基础养老金＋个人账户养老金；个人账户养老金＝个人账户储存额÷计发月数（数据见表１）．表１养老金计发月数与退休年龄对应表退休年龄计发月数退休年龄计发月数退休年龄计发月数 …，ｍ）年全国（或全省）职工月平均工资（或称社会平均工资）；ｍ为企业和职工实际缴纳基本养老保险费的年限；ｎ为企业和职工实际缴纳基本养老保险费的月数合计，通常认为ｎ＝１２ｍ；ｘｉ／ｃｉ称为退休前第ｉ年的缴费指数．我国养老保险改革正处于过渡期．养老保险管理的一个重要目标是养老保险基金的收支平衡．影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率．替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例．按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率４５２１６５２１８５５９１４５确定为５８．５％．替代率较低，退休职工的生活水４６２１２５３１８０６０１３９准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较４７２０８５４１７５６１１３２高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支４８２０４５５１７０６２１２５平衡较难维持，可能出现缺口．４９１９９５６１６４６３１１７试根据养老金计算方法建立养老金替代率和５０１９５５７１５８６４１０９养老保险基金收支平衡的数学模型，并以山东省５１１９０５８１５２６５１０１某企业职工为例对模型进行求解．数据来源：见文献［１］基础养老金＝（全省上年度在岗职工月平均工资＋本人指数化月平均缴费工资）÷２× 缴费年限 ×１％；本人指数化月平均缴费工资为ｎ２问题假设假设一未来３０年中国经济稳步发展，工资增长是随着时间连续变化的，即工资是时间的连续函数；ｓ＝ｃ１ｘｉ，（１）ｎ ∑ｃｉ其中ｘｉ为参保人员退休前ｉ（ｉ＝１，２，…，ｍ）年月平均缴费工资额；ｃｉ为参保人员退休前ｉ（ｉ＝１，２，假设二现有缴费及发放制度在一个充分长的时间段内不发生变化；假设三个人工资与社会平均工资在缴费收稿日期：２０１３－１１－０１．作者简介：段克峰（１９６７－），男，甘肃合水人，副教授，硕士，主要从事非线性泛函分析研究．（ ∑ ∑ ５ ∑ １（ｉ＝１ｉ＝１ｍ５ ∑ ｉ＝１｛∑ （）ｍ））ｍ０）第１期段克峰等：我国企业退休职工养老金预测的数学模型９期间保持同步增长且增长率为ｋ；假设四职工在职期间个人账户储存额产ｃ１０（＋）ｍ－１（１＋ｋ）ｍ－ｉｃｉ生利息，但开始领取养老金后不再产生利息；社会６０ｍ＋ｗ０＋ｉ＝１２４（１＋ｇ）［（１＋ｇ）ｍ－（１＋ｋ）ｍ］统筹基金账户中的储存额不产生利息；利息均指复利；２５ｕ（ｇ－ｋ）（１＋ｋ）－１３．２养老金收支平衡的非线性模型．（５）假设五参加工作、退休、死亡的时间均指满周岁，缴费年数为整数．职工开始缴纳养老保险至退休年龄的养老金总额为３模型建立３．１养老金替代率的非线性模型ｍＥ＝Ｚ＋ｘｉ＝ｉ＝１２ｗ０（１＋ｇ）［（１＋ｇ）（）］ｍ－１＋ｋｍ（）＋记ｗ０为职工初始工资总额，则职工退休前ｉ２５ｇ－ｋｍｗ０ｍ－ｉ．年向社会统筹基金账户缴纳工资额为ｘｉ＝２０％ｗ０（１＋ｋ）ｍ－ｉ＝（１＋ｋ）ｉ＝１设职工开始领取养老金到死亡这一时间段为ｗ０（１＋ｋ）ｍ－ｉ，ｉ＝１，２，…，ｍ．５由式（１），本人指数化月平均缴费工资为Ｔ年，则养老金支出总额Ｆ＝１２ＴＲ＝ｍｓ＝ｃ１ｍｘｉ＝Ｔｃ１１０００６０ｍ＋ｗ０∑ （１＋ｋ）ｍ－ｉｃ＋１２ｍ∑ｃｉｉ＝１ｉｍｍｍ２４Ｔｗ０（１＋ｇ）［（１＋ｇ）－（１＋ｋ）］ｗ０ｃ１（１＋ｋ）ｍ－ｉ，，，…，２５ｕ（ｋ）．６０ｍ ∑ ｃｉｉ＝１２ｍ．ｇ－于是得到于是职工每月基础养老金为Ｑ（ｗ０，ｕ，Ｔ，ｇ，ｍ，ｋ，ｃ１）＝Ｅ－Ｆ＝Ｒ１＝１％ × １ｃ１＋ｓ＝２ｗｕ－１２Ｔ１＋ｇ＋ｇ－１＋ｋｍ（）２０（）（）［（１）ｍ（）ｍ］＋ｍｃ１６０ｍ＋ｗ０∑（１＋ｋ）ｍ－ｉ．（２）２５ｕ（ｇ－ｋ）ｗ１２０００（ｉ＝１ｃｉ）０ｉ＝１（１＋ｋ）ｍ－ｉ－设ｇ为银行存款年利率，则职工个人账户储存额Ｔｃ１ｍ６０ｍ＋ｗ０∑ （１＋ｋ）ｍ－ｉ．（６）ｍＺ＝８％ｗ０∑（１＋ｇ）ｉ（１＋ｋ）ｍ－ｉ＝１０００（设Ｔ＝Ｔｉ＝１Ｅ＝Ｆｃｉ）Ｔｉ＝１＊时，则得到关于＊的方程（，，＊，，，，），解得２ｗ０（１＋ｇ）［（１＋ｇ）ｍ－（１＋ｋ）ｍ］Ｑｗ０ｕＴｇｍｋｃ１＝０２５（ｇ－ｋ）．记ｕ为养老金计发月数，则职工每月个人账户养老金为Ｔ＊（ｍ，ｃ１，ｗ０，ｋ，ｇ，ｕ）＝｛２［（１＋ｇ）ｍ－（１＋ｋ）ｍ］＋ｍＲ２＝Ｚ＝ｕ５（ｇ－ｋ）１＋ｇ ∑ （１＋ｋ）ｍ－ｉ｝／，（３）２４ｍ－１＋ｋｍ＋ｕ２ｗ０（１＋ｇ）［（１＋ｇ）ｍ－（１＋ｋ）ｍ］２５ｕ（ｇ－ｋ）［（１＋ｇ）（ｍ）］ｍ－ｉ所以职工每月养老金ｃ１（ｇ－ｋ）６０ｍ＋ ∑ （１＋ｋ）．（７）４０（１＋ｇ）（ｗ０ｉ＝１ｃｉ）｝Ｒ（ｍ，ｃ１，ｗ０，ｋ，ｇ，ｕ）＝Ｒ１＋Ｒ２＝式（）即为养老金收支平衡的数学模型ｃ１６０ｍ＋ｗ（１＋ｋ）ｍ－ｉ７显然，模型（４）．（７）都是多元非线性规划模１２０００（＋ｉ＝１ｃｉ－型［２］．２ｗ０（１＋ｇ）［（１＋ｇ）ｍ－（１＋ｋ）ｍ］２５ｕ（ｇ－ｋ）．４因此养老金替代率模型为１２Ｒ（ｍ，ｃ１，ｗ０，ｋ，ｇ，ｕ）４山东省职工年平均工资预测模型以山东省某企业某职工为例对模型求解，我Ｐ（ｍ，ｃ１，ｗ０，ｋ，ｇ，ｕ）＝ｗ０（１＋ｋ）ｍ－１＝们根据表格２中的数据建立山东省职工年平均工年份平均工资年份平均工资年份平均工资１９７８５６６１９８９１９２０２０００８７７２１９７９６３２１９９０２１５０２００１１０００７１９８０７４５１９９１２２９２２００２１１３７４１９８１７５５１９９２２６０１２００３１２５６７所以１９８２７６９１９９３３１４９２００４１４３３２１９８３７８９１９９４４３３８２００５１６６１４１９８４９８５１９９５５１４５２００６１９２２８１９８５１１１０１９９６５８０９２００７２２８４４拟合１９８６１３１３１９９７６２４１２００８２６４０４１９８７１４２８１９９８６８５４２００９２９６８８ｄｆｘ１０兰州文理学院学报（自然科学版）第２８卷资预测模型．表２山东省职工年平均工资（单位：元）烄Ｆｉｎｄ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）→３８２１烌２０００－５６８９８５．４５１８７４１０３２０烆－１４９５３００１５２８烎ｆ（ｘ）＝３８２１５６８９８ｘ３－２０００４５１８７４１０３ｘ２＋５１９８８１７８２１９９９７６５６２０１０３２０７４数据来源：见文献［３］根据表２中的数据构造向量：Ｘ＝（ｔ１，ｔ２，…，ｔ３３）＝（１９７８，１９７９，…，２０１０），Ｙ＝（ｗ１，ｗ２，…，ｗ３３）＝（５６６，６３２，…，３２０７４）．利用Ｍａｔｈｃａｄ作出点（ｔｉ，ｗｉ）（ｉ＝１，２，…，３３），得山东省职工年平均工资散点图（见图１）．图１山东职工年平均工资散点图与曲线拟合图用Ｍａｔｈｃａｄ对这３３个散点进行多项式拟合实验，发现用回归式抛物线拟合效果最佳，因此采用回归式抛物线进行拟合．设拟合多项式为ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ＋ｃｘ＋ｄ，２０ｘ－１４９５３００１５２８．（８）效果参见图１．式（８）两边对ｘ求导再除以ｆ（ｘ），得（）ｄｘ＝ｇ（ｘ）ｆ（ｘ），其中ｇ（ｘ）＝３（３．８２１ｘ２－１５１７２８ｘ＋１５０６２４７０１）３．８２１ｘ３－２２７５９２ｘ２＋４５１８７４１０３ｘ－２９９０６００３０６．显然ｌｉｍｇ（ｘ）＝０，说明山东省职工年平均ｘ→＋∞工资增长率ｇ（ｘ）从某一时刻开始随着时间的推移逐渐递减并最终稳定于０（见图２）．这是符合实际的，因为工资不能无限增长，因此模型（８）是一种阻滞增长模型．另一方面从图１看拟合效果非常好，所以能用它预测未来某年山东省职工的年平均工资．图２山东省职工年平均工资增长率曲线例用模型（８）预测山东省２０１１年至２０３５年职工的年平均工资，结果如下：４，ｆ（）５，ａ＞０．为了确定参数ａ，ｂ，ｃ，ｄ，我们选取４个点ｆ（２０１１）＝３．５７６×１０２０２４＝１．１４５×１０４，ｆ（）＝ × ５，（１９８０，７４５），（１９９０，２１５０），（２０００，８７７２），（２０１０，ｆ（２０１２）＝３．９７４×１０２０２５１．２３４１０４，ｆ（）５，３２０７４），利用Ｍａｔｈｃａｄ［４］求解三元一次方程组，方ｆ（２０１３）＝４．４０３×１０２０２６＝１．３２７×１０４，（）５，法如下：ｆ（２０１４）＝４．８６３×１０ｆ２０２７＝１．４２４×１０４，（）５，Ｇｉｖｅｎｆ（２０１５）＝５．３５６×１０ｆ２０２８＝１．５２６×１０４，ｆ（）＝ × ５，１９８０３·ａ＋１９８０２ｂ＋１９８０·ｃ＋ｄ＝７４５，ｆ（２０１６）＝５．８８３×１０２０２９１．６３４１０１９９０３·ａ＋１９９０２ｂ＋１９９０·ｃ＋ｄ＝２１５０，２０００３·ａ＋２０００２ｂ＋２０００·ｃ＋ｄ＝８７７２，２０１０３·ａ＋２０１０２ｂ＋２０１０·ｃ＋ｄ＝３２０７４，ｆ（２０１７）＝６．４４５×１０４，ｆ（２０３０）＝１．７４６×１０５，ｆ（２０１８）＝７．０４３×１０４，ｆ（２０３１）＝１．８６３×１０５，ｆ（２０１９）＝７．６７８×１０４，ｆ（２０３２）＝１．９８５×１０５，ｘ＝ｉ∑ 第１期段克峰等：我国企业退休职工养老金预测的数学模型１１ｆ（２０２０）＝８．３５２×１０４，ｆ（２０３３）＝２．１１３×１０５，ｆ（２０２１）＝９．０６５×１０４，ｆ（２０３４）＝２．２４６×１０５，ｆ（２０２２）＝９．８１９×１０４，ｆ（２０３５）＝２．３８５×１０５，ｆ（２０２３）＝１．０６２×１０５．设职工ｉ年开始缴养老保险，ｊ年终止．则ｊ－ｉ＋１年的平均工资增长率ｊ１９．５６％．缴费到６０岁时的每月养老金为Ｒ（２５，１７６０８，２９６８８，０．０８３，０．０３，１３９）＝４３４０．３６元，替代率为Ｐ（２５，１７６０８，２９６８８，０．０８３，０．０３，１３９）＝ｋ＝１ｇ（ｘ）．（９）２５．８８％．ｊ－ｉ＋１ ② 根据问题 ① 的解答和模型（７）利用数学５模型求解 ——— 以山东省某企业软件计算，得＊（，，，，，）年；职工为例Ｔ１５８８５０２９６８８０．０９４０．０３１９５＝１８问题假设山东省某企业某职工２００９年的工资总额取全省平均值２９６８８元．① 计算该职工自２００９年起从３５岁开始缴纳养老保险，一直缴费到退休年龄（５０岁、５５岁、６０岁）的每月养老金、养老金替代率． ② 若该职工从退休后一直领取养老金至７５岁死亡，计算领取养老金到多少岁时，缴存的养老保险基金与领取的养老金之间达到收支平衡；并计算养老保险基金的缺口．解答 ①ｗ０＝２９６８８，ｍ＝１５，ｇ＝０．０３，ｕ＝１９５．根据山东省２０１１年至２０３５年职工的年平均工资预测值及模型（９），利用数学软件计算得（２０２３）Ｔ＊（２０，１２７１６．７，２９６８８，０．０８８，０．０３，１７０）＝１５．６年；Ｔ＊（２５，１７６０８，２９６８８，０．０８３，０．０３，１３９）＝１３．４年．所以该职工从５０岁开始一直领取养老金至７５岁死亡，领取养老金依次到６７岁、６９．６岁、７２．４岁时，缴存的养老金与领取的养老金之间达到收支平衡；养老金缺口依次为８×１２×１２４１．１３＝１１９１４８．４８元；４．４×１２×２４０２．２８＝１２６８４０．３８元；１．６×１２×４３４０．３６＝８３３３４．９１元．６结论模型求解结果表明：在现行养老保险制度下，ｃ１＝ｆ１２＝８８５０，未来２５年内随着我国人口老龄化的日趋严重，即（２０２４－ｉ）ｃｉ＝ｆ１２＝１２，使养老金替代率低于５８．５％也难以阻止养老金缺口逐渐增大的趋势．ｋ＝１２０２３ｇ（ｘ）＝０．０９４．ｘ＝２００９将以上数据代入模型（４）、（５）并利用数学软件计算，得该职工一直缴费到５０岁时的每月养老金为Ｒ（１５，８８５０，２９６８８，０．０９４，０．０３，１９５）＝１２４１．１３元，替代率为Ｐ（１５，８８５０，２９６８８，０．０９４，０．０３，１９５）＝１４．２７％；同法可以算出该职工一直缴费到５５岁时的每月养老金为Ｒ（２０，１２７１６．７，２９６８８，０．０８８，０．０３，１７０）＝２４０２．２８元，参考文献：［１］教育部高等教育司、中国工业与应用数学学会．２０１１年全国大学生数学建模竞赛Ｃ题［ＥＢ／ＯＬ］．（２０１１－０９－１７）．ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｓｈｕｍｏ．ｃｏｍ．［２］陈汝栋，于延荣．数学模型与数学建模［Ｍ］．北京：国防工业出版社，２００９．［３］山东省统计局，国家统计局山东调查总队．山东省统计年鉴２０１１［Ｇ］．北京：中国统计出版社，２０１１．［４］郑宏兴，王培麟，张全举．ＭａｔｈＣＡＤ简明教程［Ｍ］．武汉：华中科技大学出版社，２００２．［５］王勇胜，薛继亮．基于多种模型组合的我国２０１５年人口总数预测［Ｊ］．西北农林科技大学学报：社会科学版，２００９，９（１）：７５－７６．替代率为Ｐ（２０，１２７１６．７，２９６８８，０．０８８，０．０３，１７０）＝（下转第２２页）２２兰州文理学院学报（自然科学版）第２８卷［３］苏雅拉图．导出半拓扑空间［Ｊ］．内蒙古师范大学学报，１９８９（４）：６－９．［４］李厚源．半拓扑子集的一些性质［Ｊ］．数学研究与评论，１９９１，１１（３）：３５５－３５８．［５］刘世泽．半同胚定理［Ｊ］．华中师范大学学报，１９８７，２１（２）：１７１－１７４．［６］杨姗姗，马跃超．ｓ－基及不定函数［Ｊ］．哈尔滨商业大学学报，２００１，１７（４）：９２－９３．［７］胡庆平．Ｓ－分离性［Ｊ］．数学研究与评论，１９８４，４（３）：７－１２．［８］王国俊．Ｓ－闭空间的性质［Ｊ］．数学学报，１９８１（１）：５５－６３．［９］郭云霞，孟广武．Ｓ－边界、Ｓ－内部与Ｓ－闭包［Ｊ］．聊城师院学报，１９９７，１０（１）：１－５．［１０］王戍堂，戴锦生，王尚志．点集拓扑学原理［Ｍ］．西安：陕西科学技术出版社，１９８５．ＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＭａｐｐｉｎｇａｎｄＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＳｅｍｉ－ＨｏｍｅｏｍｏｒｐｈｉｓｍＴｈｅｏｒｅｍＡｌｔａｎｄａｒｉ（ＩｎｎｅｒＭｏｎｇｏｌｉａＮａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓＫｉｎｄｅｒｇａｒｄｅｎＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌｌｅｇｅ，Ｅｒｄｏｓ０１７０００，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｓｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｉｒｒｅｓｏｌｕｔｅｍａｐｐｉｎｇ，ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｐｒｅ－ｓｅｍｉ－ｏｐｅｎｍａｐｐｉｎｇ，ｇｅｎｅｒａｌ－ｉｚｅｄｐｒｅ－ｓｅｍｉ－ｃｌｏｓｅｄｍａｐｐｉｎｇａｎｄｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｓｅｍｉ－ｈｏｍｅｏｍｏｒｐｈｉｓｍｍａｐｐｉｎｇａｒｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｉｎｇｅｎｅｒａｌｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌｓｐａｃｅｓ．Ｔｈｅｂａｓｉｃｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｔｈｅｍａｎｄｒｅｌａｔｉｏｎｓｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｍａｒｅｇｉｖｅｎ．Ｔｈｅｓｅｍｉ－ｈｏ－ｍｅｏｍｏｒｐｈｉｓｍｔｈｅｏｒｅｍｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｅｍｉ－ｏｐｅｎｓｅｔ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｉｒｒｅｓｏｌｕｔｅｍａｐｐｉｎｇ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｐｒｅ－ｓｅｍｉ－ｏｐｅｎｍａｐｐｉｎｇ；ｇｅｎｅｒａｌ－ｉｚｅｄｐｒｅ－ｓｅｍｉ－ｃｌｏｓｅｄｍａｐｐｉｎｇ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｓｅｍｉ－ｈｏｍｅｏｍｏｒｐｈｉｓｍｍａｐｐｉｎｇ．（上接第１１页）ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＭｏｄｅｌｏｆＰｅｎｓｉｏｎｓＰｒｅｄｉｃｔｅｄｆｏｒＲｅｔｉｒｅｅｓｉｎＯｕｒＣｏｕｎｔｒｙ———ＴａｋｅＳｈａｎｄｏｎｇＰｒｏｖｉｎｃｅｆｏｒＩｎｓｔａｎｃｅＤＵＡＮＫｅ－ｆｅｎｇ１，ＺＨＡＯＨｕｉ－ｘｉａ２（１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＬｏｎｇｄｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｎｇｙａｎｇ７４５０００，Ｃｈｉｎａ；２．ＬａｎｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＡｒｔｓａｎｄＳｃｉｅｎｃｅ，Ｌａｎｚｈｏｕ７３００００，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｏｆｐｅｎｓｉｏｎｓｐｒｅｄｉｃｔｅｄｆｏｒｒｅｔｉｒｅｅｓｉｎｏｕｒｃｏｕｎｔｒｙｉｓｓｔｕｄｉｅｄ，ｔａｋｉｎｇｅｎｔｅｒ－ｐｒｉｓｅｗｏｒｋｅｒｓｏｆＳｈａｎｄｏｎｇｐｒｏｖｉｎｃｅｆｏｒｉｎｓｔａｎｃｅ．Ｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｏｆｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｎｇｒａｔｅｏｆｔｈｅｐｅｎｓｉｏｎａｎｄｂａｌａｎｃｅｏｆｐａｙｍｅｎｔｓｆｏｒｔｈｅｐｅｎｓｉｏｎｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｏｎｔｈｅｂａｓｉｓｏｆｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎａｌｍｅｔｈｏｄｓｏｆｔｈｅｐｅｎｓｉｏｎ；ｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｆｏｒｔｈｅａｖｅｒａｇｅｙｅａｒｌｙｓａｌａｒｙｂｅｔｗｅｅｎ２０１１－２０３５ｆｏｒｗｏｒｋｅｒｓｉｎＳｈａｎｄｏｎｇｐｒｏｖｉｎｃｅｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｂｙｃｕｒｖｅｆｉｔｔｉｎｇｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｉｆｔｈｅｃｕｒｒｅｎｔｐｅｎｓｉｏｎｓｙｓｔｅｍｉｓｎ’ｔｉｎｔｅｎｓｉｆｉｅｄ，ｔｈｅｔｅｎｄｅｎｃｙｏｆｃｒｅｓｃｅｎｔｐｅｎｓｉｏｎｇａｐｗｉｌｌｂｅｄｉｆｆｉｃｕｌｔｔｏｐｒｅｖｅｎｔｅｖｅｎｉｆｓｕｂ－ｓｔｉｔｕｔｉｎｇｒａｔｅｏｆｔｈｅｐｅｎｓｉｏｎｃａｎｎｏｔｅｘｃｅｅｄ５８．５％ｗｉｔｈｔｈｅａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐｒｏｃｅｓｓｏｆＣｈｉｎａ’ｓａｇｉｎｇｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｉｎｔｈｅｎｅｘｔ２５ｙｅａｒｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐｅｎｓｉｏｎ；ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｎｇｒａｔｅ；ｇａｐ；ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌ；ｐｒｅｄｉｃｔ。

企业退休职工养老金制度的数学模型

第３期何皞：我国退休人员再就业权劳动法保护新探企业退休职工养老金制度的数学模型盛光进戴新建（长沙民政职业技术学院，湖南长沙４１０００４）［摘要］文中对企业退休职工养老金制度问题进行了深入的研究，巧妙地引入了一种具有Ｌｏｇｉｓｔｉｃ增长趋势的权重系数线性组合二次多项式回归和灰色预测，得到了一个比较理想的预测结果，并且计算出了各种情况下的养老保险缺口值和养老保险收支平衡临界值。

［关键词］二次多项式回归；灰色预测；替代率；收支平衡；临界值［中图分类号］F840.61［文章标识码］A［文章编号］１６７１－５１３６（２０１２）０３－００５５－０３［收稿日期］［作者简介］２０１２－０７－１７盛光进（１９５７－），男，湖南汉寿人，长沙民政职业技术学院文化传播学院副教授。

１．问题１的二次多项式回归和灰色预测组合模型的建立与求解职工的年平均工资与社会经济发展息息相关。

在经济转轨时期，目前很难有一个单项预测模型能对宏观经济频繁波动的现实拟合得非常紧密，并对其变动的原因做出稳定一致的解释。

因此，在经济转轨时期，也很难用一个单项预测模型对职工的年平均工资变动的原因做出稳定一致的解释。

理论和实践研究都表明，在诸种单项预测模型各异的情况下，组合预测模型可能获得一个比任何一个独立预测值更好的预测值，组合预测模型能减少预测的系统误差，显著改进预测效果。

本文按照线性组合的模式，将二次多项式回归预测模型和灰色预测模型进行组合预测。

线性组合预测模型的关键在于确定合理的权重系数。

一种常用的方法是依据组合预测残差的方差最小原则加以确定。

对二次多项式回归预测模型和灰色预测模型，通常的方法是作如下的线性组合预测模型X （k ）＝ω１X （k ）＋ω２X （０）（Ｋ－１），（Ｋ＝１，２…，）（１．１）其中ω１＝Ｓ２２（Ｓ２＋Ｓ２２），ω２＝１－ω１，Ｓ２，为二次多项式回归预测模型的残差方差。

我们注意到灰色预测模型X （０）（k －１）的本质是指数增长模型，对于长期预测有可能因为增长过快而严重失真。

我国退休年龄优化方案的数学模型分析

我国退休年龄优化方案的数学模型分析作者：耿娟娟叶万红来源：《科学与财富》2018年第30期摘要：随着我国经济的不断发展，社会服务的水平不断提高，人们的平均寿命比往年大幅度延长了，这样就出现了老龄化的问题，由于此问题日益突出，退休年龄问题便成为了当今社会的热点话题，因此，本文建立了人口增长的数学模型，模型的结果显示人口结构发生了改变，还建立了最佳退休年龄的数学模型，此模型的建立为相关部门制定退休年龄提供理论价值。

关键词：人口老龄化；最佳退休年龄；数学模型一研究的背景根据国际的经验规定可知，如果一个国家六十五岁以上的比例达到百分之七或者六十岁以上的比例达到百分之十的时候，那就意味着这个国家已经步入了老龄化的社会。

从我国的人口普查数据来分析，表1给出了老年人和少年儿童所占的比例，说明我国已经步入了老龄化的行列了，而且老龄化问题日益突出。

导致这种现象的出现主要有两方面的原因，一方面是我国实施计划生育策略，使得出生率下降，另一方面是我国经济快速的发展，社会服务质量不断地提高，使得人们的平均寿命延长，此问题的出现最终将会阻碍我国经济的发展，造成社会保障出现不稳定的现象。

二我国人口增长模型的建立根据2016年中国统计年鉴的数据显示，2016年的总人口数为13.8271亿，与2006年的总人口数为13.1448亿相比较，这十年总人口数大概增加0.6823亿，0-14岁所占比例下降了，而65岁以上所占比例升高了。

城镇人口所占的比例也在不断的升高，而乡村人口所占比例下降了很多。

以上分析可以看出，我国的人口结构分布不合理。

2.1 模型的建立本文通过文献调查的方法，主要考虑人口的迁出和迁出、人口的出生率和死亡率等因素，分析对人口增长的影响。

首先给出符号说明，详见表2。

2.2 模型求解与结果的分析运用MATLAB软件进行编程，对我国的人口结构进行短时期的预测，得到了总人口的变化趋势。

结果显示，我国的总人口目前还处于增长的趋势，但是2025年开始有一定的下降趋势，这就意味着我国实施的计划生育得到了一定的成效。

数学建模例题及解析

例 1 差分方程——资本的时间价值问题 1: 抵押贷款买房——从一则广告谈起每家人家都希望有一套 ( 甚至一栋 ) 属于自己的住宅，但又没有足够的资本一次买下，这就产生了贷款买房的问题。

先看一下下边的广告 ( 这是 1991 年 1 月 1 日某大城市晚报上登的一则广告 ) ，任何人看了这则广告都会产生很多疑问，且不谈广告中没有谈住宅面积、设备等等，人们关怀的是：假如一次付款买这栋房要多少钱呢银行贷款的利息是多少呢为何每个月要付 1200 元呢是如何算出来的因为人们都知道，若知道了房价 ( 一次付款买房的价钱 ) ，假如自己只好支付一部分款，那就要把其余的款项经过借贷方式来解决，只需知道利息，就应当能够算出五年还清每个月要付多少钱才能准时还清贷款了，进而也就能够对能否要去买该广告中所说的房屋作出决议了。

此刻我们来进行数学建模。

因为本问题比较简单无需太多的抽象和简化。

a.明确变量、参数，明显下边的量是要考虑的：需要借多少钱，用记；月利率 ( 贷款往常按复利计 ) 用 R 记；每个月还多少钱用x 记；借期记为N 个月。

b．成立变量之间的明确的数学关系。

若用个月后 ( 加上利息后 ) 欠款记第k ，个月时髦欠的款数，则一可是我们又还了 x 元所以总的欠款为k=0，1，2，3，而一开始的借钱为。

所以我们的数学模型可表述以下(1)c. (1)的求解。

由(2)这就是之间的显式关系。

d．针对广告中的情况我们来看(1) 和(2) 中哪些量是已知的。

N=5年＝ 60 个月，已知；每个月还款 x＝ 1200 元，已知 A。

即一次性付款购置价减去 70000 元后剩下的要此外去借的款，并无告诉你，别的银行贷款利率 R 也没告诉你，这造成了我们决议的困难。

但是，由 (2) 可知 60 个月后还清，即，从而得(3)(3) 表示N＝60，x＝ 1200 给准时A0和x 之间的关系式，假如我们已经知道银行的贷款利息 R，就能够算出A0。

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本文主要通过研究养老金替代率和养老保险基金的资金缺口问题，试图找到有效措施，既能实现58.5%的目标替代率，又能维持养老保险基金的收支平衡。

对于问题1，根据附件1提供的数据，运用MATLAB画出了它的折线图。

在此基础上，使用最小二乘法则里面的多项式拟合得到了山东省职工年平均工资的预测模型，进而预测了从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。

对于问题2，首先根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，作为企业职工的平均缴费指数的参考值，然后根据附件3中养老金的计算方法，文章给出了替代率算法模型，根据替代率算法模型得到：结果在22.96%到57.31%之间，且缴费年限越短，替代率越低。

对于问题3，本题的关键是收支平衡。

所以需要首先计算该企业某职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁）时，分别缴纳了11486.534、15474.228、18855.968。

其次，在计算从退休后领取养老金一直到75岁分别领取了857844.6、1121676.9、1226535。

通过对两者的比较，得出养老金的缺口分别为：477804.6、497757.6、275843.3。

再建立收支平衡模型，求得该职工领取养老金到64岁、68岁、73岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。

对于问题4，通过比较分析问题3的求解答案，发现退休年龄与养老基金的收支平衡有密切关系。

退休年龄越延迟，养老基金的资金缺口越小。

所有，在达到目标替代率的基础上，可以通过延迟退休来达到养老保险基金的收支平衡。

本文模型建立准确，但计算较为复杂，适合保险业等对精算要求较高金融行业的计算。

能对个人养老金帐户收支情况作出较为准确的分析，同时也能推广到其他年金类基金帐户的收支分析中去。

关键字：养老保险收支平衡延迟退休目标替代率1、问题重述养老金也称退休金，是一种用于保障职工退休后的基本生活需要、以货币形式支付的保险待遇。

我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式。

养老金会随着社会平均工资的调整而调整。

如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。

个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。

养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关，现在我国养老保险改革正处于过渡期。

养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡。

影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。

替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。

未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。

所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。

附件1是山东省职工历年平均工资数据；附件2是2009年山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况，附件3是养老金的计算办法。

请建立数学模型，解决如下问题：问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。

问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。

如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。

问题三：假设该企业某职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。

计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。

问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。

请给出你的理由。

2、问题分析问题1要预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。

结合附件1提供的数据，运用MATLAB画出的折线图符合运用多项式拟合的条件。

因此，本题可以采用多项式拟合的方法来求得答案。

问题2计算企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁）时各种情况下的养老金替代率。

我们首先根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，其次利用求取算术平均值的方法计算出每个年龄段的企业职工的平均缴费指数，最后根据附件3以及题目中所涉及的基础养老金额、个人账户养老金和替代率的算法计算出不同情况下的养老金替代率。

问题3这是一个收支平衡的问题。

我们需要根据题中提供的数据，算出该职工一共缴纳了多少养老金。

再根据附件3提供的养老金计算方法算出该职工一共领取的养老金。

进而对两者进行比较，得出养老保险基金的缺口情况。

再建立一个收支平衡模型，就可以求得缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡时，其领取的年限。

问题4需要找出什么方法既在达到目标替代率时，又能维持养老保险基金收支平衡。

所以我们需要找到影响养老保险基金收支平衡的两种因素：所缴纳的总基金和所领取的总基金。

通过分析它们两者的具体构成发现，除开社会因素，缴纳年限对于养老保险基金有着直接的影响。

与当前社会延迟退休密切相关。

3、模型假设1.假设退休后个人账户余额不计息；2．假设一切个人账户储存款发生在年中，职工退休发生在年初；3．假设该企业各年龄段职工工资与社会平均工资在未来年限内保持相同的变化率；4、定义与符号说明Y职工退休时的养老金H基础养老金G个人账户养老金国家收入与支出的差值QS本人指数化月平均缴费工资n企业和职工实际缴纳基本养老保险费的月数合计m企业和职工实际缴纳基本养老保险费的年限替代率a开始缴纳养老保险的年份d职工的死亡时的年龄 i x参保人员退休前i 年本人缴费工资额() 1,2,,i m = i c 参保人员退休前i 年山东省 “职工平均工资”() 1,2,,i m = k b 年龄为时退休养老金的计发月数()40,41,,70k =i ϕ职工工人工资缴纳到个人账户的比例为8% r 个人账户储存额一年期存款的利率为3%i t 1978到2010年的年份，1,2,33i =i w 1978年到2010年山东省平均工资，1,2,33i = ()f x 多项式拟合函数,,a b c 多项式拟合常数F养老保险费收入 I参保人员退休时当地上年度在岗职工月平均工资5、模型的建立与求解5.1 问题一模型的建立与求解：5.1.1 模型的准备：根据附件1的数据，采用多项式拟合函数对原始数据进行拟合。

用matlab 软件得到如下图（程序见附录一）的原始数据的图分布情况：图一：原始数据图的分布由图一可以知道原始1978到1993年之间，平均工资增长缓慢，1994年到2010年增长的速度比较快。

用matlab软件进行1，2次拟合（程序见附录二），得到各个拟合的标准和原始数据的分布图如下：图二：2次拟合和原始数据的分布图由图二可知，进行的2次拟合中，2次最接近于原始数据，所以可以采用2次拟合的图来作为对未来中国经济发展和工资增长的形势的模型。

为了使得到的模型进一步的准确，可以进行再一次的拟合，即3次拟合，用matlab软件得到2次和3次拟合的图形（程序见附录三）：图三：第2次与第3次拟合由图三可知，2次与3次拟合的图形非常相似，从而，确定2次多项式拟合更加接近说明未来中国经济发展和工资增长的形势的模型。

5.1.2模型的建立根据附件1山东省历年职工平均工资的数据构造向量如下：1233(t ,t ,,t )(1978,1979,,2010)X == 1233(w ,w ,,w )(566,632,,32074)Y ==根据多项式拟合最小二乘法的系数。

设多项式拟合为()2f x ax bx c =++根据多项式拟合用MATLAB 数学软件得到如下拟合图：图四拟合图由图四可看出，工资的增长速度越来越快，但根据我国经济发展战略目标和目前发达国家的经济和工资水平2000年后的工资增长速度会逐渐变慢，该模型较好地拟合了山东省职工历年平均工资的变化曲线。

5.1.3模型的求解根据多项式拟合最小二乘法的系数，用MATLAB 软件（见附录）得到各个系数值为48.6828.73588.1a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩由上述的各个系数得到预测模型为()248.6828.73588.1f x x x =-+ 5.1.3 模型的求解由预测模型得到2011年到2035年的职工平均工资表：表1 2011—2035年职工平均工资表年份 2011 2012 2013 2014 2015 20162017 2018 人均收入31640 34170 36790 3952042340 45250 48270 51380 年份 2019 2020 2021 20222023 2024 2025 2026 人均收入54590 57890 61300 6480068390 72090 75880 79770 年份 2027 2028 2029 20302031 2032 2033 2034 人均收入83760 87840 92020 96300100680 105150 109720 114390 年份 2035人均收入 119160由表一可以知道2011年到2035年的职工平均工资，从而得出我国的经济正不断向发达国家靠拢；但是在随着时间的增长，人均收入不会无限制的增长，而是会达到一个平衡，所以此模型会进一步的改进，最后成为阻滞增长模型。