matlab线性规划问题

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MATLAB的线性规划问题的敏感性分析

MATLAB的线性规划问题的敏感性分析一．问题的提出在现在的日常生活中，我们常会遇到这样的问题，在不同的约束条件下找出最优点值或算出最佳的数值，以提高总产量或经济效益。

那么我们就需要假设一个模型出来，作为基本模型求解。

并找出其内在的规律以方便我们的生产生活的需要。

若约束条件改变，那么总产值是否也会有很大变化呢？让我们一起来研究。

二．具体案例如下：以某农场A，B ,C 等级耕地的面积分别为1002hm，计hm,3002hm,和2002划种植水稻，大豆和玉米，要求三种农作物最低收获量分别为190000kg,130000kg和350000kg。

农场kg kg kg,。

那么，（1）如何制定种植计划才能使总产量最大？（2）如何制定种植计划才能使总产值最大？表一：不同等级种植不同农作物的单产量（单位：2kg）/hm三．问题假设x，表示不同的农作物在根据题意，可以建立线性规划模型，假设决策变量为ij第j等级耕地上种植的面积。

hm）表2 作物计划种植面积（单位：2四．模型建立与分析1.模型：min z=cX S.t. AX b ≤命令：x=linprog(c,A,b) 2.模型：min z=cX S.t. AX b ≤ Aeq.X=beq命令：x=linprog(c,A,b,Aeq,beq)注意：若没有不等式：AX b ≤存在，则令A=[],b=[].3. [x,fval]=linprog(.....)左端fval 返回解X 处的目标函数值。

4.思路分析：找出约束条件——列出目标函数——作出可行域——求出最优解——敏感性分析——回答实际问题。

5.约束方程如下:耕地面积的约束：⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++≤++200300100332313322212312111x x x x x x x x x最低收获量的约束：⎪⎩⎪⎨⎧-≤----≤----≤---3500001000012000140001300006000680080001900009000950011000333231232221131211x x x x x x x x x并且注意：0≥ij x)3,2,13,2,1i ==j ；（则（1）追求总产量最大时，目标函数为：3332312322211312111000012000140006000680080009000950011000max x x x x x x x x x Z ---------=（2）追求总产值最大的目标函数为：)10001200014000(08.0)600068008000(5.1)900095001000(2.1max 333231232221131211x x x x x x x x x Z ++⨯-++⨯-++⨯-=可化简为333231232221131211800096001120090001020012000108001140013200max x x x x x x x x x Z ---------=五．模型建立与求解：1.对（1）求解，追求总产量最大时，MATLAB 程序如下：f=[-11000 -9500 -9000 -8000 -6800 -6000 -14000 -12000 -10000];A=[1 0 0 1 0 0 1 0 0 ;0 1 0 0 1 0 0 1 0;0 0 1 0 0 1 0 0 1;-11000 0 0 -9500 0 0 -9000 0 0; 0 -8000 0 0 -6800 0 0 -6000 0; 0 0 -14000 0 0 -12000 0 0-10000];b=[100 300 200 -190000 -130000 -350000];lb=[0 0 0 0 0 0 0 0 0];[xopt fxopt]=linprog(f,A,b,[],[],lb,[])Optimization terminated successfully.xopt =fxopt =-7000000键入S=-Z得到原问题的目标函数最大值为S=70000002.运行后敏感性分析后的MATLAB程序如下：从a=0开始，以步长01∆a对下列模型求解；=.0a=0;while(1.1-a)>1c=[-11000 -9500 -9000 -8000 -6800 -6000 -14000 -12000 -10000];A=[1 0 0 1 0 0 1 0 0 ;0 1 0 0 1 0 0 1 0;0 0 1 0 0 1 0 0 1;-11000 0 0 -9500 0 0 -9000 0 0; 0 -8000 0 0 -6800 0 0 -6000 0; 0 0 -14000 0 0 -12000 0 0 -10000];b=[100+a ;300+a; 200+a ;-190000+a ;-130000+a;-350000+a];Aeq=[]; beq=[];vlb=[0,0,0,0,0,0,0,0,0];vub=[];[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=x'Q=-valplot(a,Q,'.'),hold ona=a+0.01;endxlabel('a'),ylabel('Q')gridOptimization terminated successfully.a =0 x = 0 0 0 0 0 0 100 300 200Q =7000000分析整理后结果对比如下：a =0 x = 0 0 0 0 0 0 100 300 200 Q = 7000000x =0 0 0 0 0 0 Q =7000360x =0 0 0 0 0 0 Q =7000720x =0 0 0 0 0 0 Q =7.0011e+006x =0 0 0 0 0 0 Q =7.0014e+006x = 0 0 0 0 0 0 Q =7.0018e+006x =0 0 0 0 0 0 100.06 Q =7.0022e+006x = 0 0 0 0 0 0 Q =7.0025e+006x =0 0 0 0 0 0 100.08 Q =7002880x =0 0 0 0 0 0 Q =7.0032e+006如果不好观测，还可以将a细分为0001∆a，程序基本不变，只需改变a.0=的步长即可，则运行后图像如下：观察图像后，最优值随a的参加变化不明显，但总在6.88e+6到6.9e+6与7e+6到7.02e+6两个区间内缓慢增长。

用matlab求解线性规划问题

用m a t l a b求解线性规划问题Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】实验四用M A T L A B 求解线性规划问题一、实验目的：了解Matlab 的优化工具箱，能利用Matlab 求解线性规划问题。

二、实验内容：线性规划的数学模型有各种不同的形式，其一般形式可以写为：目标函数： n n x f x f x f z +++= 2211m in约束条件： s n sn s s n n b x a x a x a b x a x a x a ≤+++≤+++221111212111这里nn x f x f x f z +++= 2211称为目标函数，j f 称为价值系数，T n f f f f ),,,(21 =称为价值向量，j x 为求解的变量，由系数ij a 组成的矩阵称为不等式约束矩阵，由系数ij c 组成的矩阵称为等式约束矩阵，列向量T n b b b b ),,,(21 =和T n d d d d ),,,(21 =为右端向量，条件0≥j x 称为非负约束。

一个向量Tn x x x x ),,,(21 =，满足约束条件，称为可行解或可行点，所有可行点的集合称为可行区域，达到目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解，相应的目标函数值称为最优目标函数值，简称最优值。

我们这里介绍利用Matlab 来求解线性规划问题的求解。

在Matlab 中有一个专门的函数linprog()来解决这类问题，我们知道，极值有最大和最小两种，但求z 的极大就是求z -的极小，因此在Matlab 中以求极小为标准形式，函数linprog()的具体格式如下：X=linprog(f,A,b)[X,fval,exitflag,ouyput,lamnda]=linprog(f,A,b,Aeq,Beq,LB,UB,X0,options)这里X 是问题的解向量，f 是由目标函数的系数构成的向量，A 是一个矩阵，b 是一个向量，A ，b 和变量x={x1,x2,…,xn}一起，表示了线性规划中不等式约束条件，A ，b 是系数矩阵和右端向量。

运用Matlab进行线性规划求解

线性规划线性规划是处理线性目标函数和线性约束的一种较为成熟的方法，目前已经广泛应用于军事、经济、工业、农业、教育、商业和社会科学等许多方面。

8.2.1 基本数学原理线性规划问题的标准形式是：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥=+++=+++=++++++=0,,,min 21221122222121112121112211n m n mn m m n n n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c z ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥===∑∑==n j x m i b x a x c z j n j i j ij n j jj ,,2,1,0,,2,1,min 11ΛΛ写成矩阵形式为：⎪⎩⎪⎨⎧≥==O X b AX CX z min线性规划的标准形式要求使目标函数最小化，约束条件取等式，变量b 非负。

不符合这几个条件的线性模型可以转化成标准形式。

MATLAB 采用投影法求解线性规划问题，该方法是单纯形法的变种。

8.2.2 有关函数介绍在MATLAB 工具箱中，可用linprog 函数求解线性规划问题。

linprog 函数的调用格式如下：●x=linprog(f,A,b)：求解问题minf'*x ，约束条件为A*x<=b 。

●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)：求解上面的问题，但增加等式约束，即Aeq*x=beq 。

若没有不等式约束，则令A=[ ],b=[ ]。

●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)：定义设计x 的下界lb 和上界ub ，使得x 始终在该范围内。

若没有等式约束，令Aeq=[ ],beq=[ ]。

●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)：设置初值为x0。

该选项只适用于中型问题，默认时大型算法将忽略初值。

MATLAB实验之线性规划问题求解

封面作者：PanHongliang仅供个人学习桂林电子科技大学数学与计算科学学院实验报告实验室：实验日期：年月日x附录Ⅱ综合性、设计性实验报告格式桂林电子科技大学数学与计算科学学院综合性、设计性实验报告版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理。

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matlab线性规划

matlab线性规划线性规划（Linear Programming）是运筹学中的一种优化问题，指的是在一定的约束条件下，寻找一个线性函数的最优值。

该方法被广泛运用于经济学、管理学、工程学等各个领域。

在MATLAB中，我们可以使用线性规划工具箱来进行线性规划问题的求解。

在MATLAB中，线性规划问题可以通过函数linprog来求解。

linprog函数的一般形式如下：x = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub)其中f是目标函数的系数矩阵，A和b是约束条件Ax ≤ b的系数矩阵和右侧向量，Aeq和beq是等式约束条件Aeqx = beq的系数矩阵和右侧向量，lb和ub是变量的下界和上界向量。

解x是一个n维向量，即最优解。

下面举一个简单的例子来说明如何使用MATLAB求解线性规划问题：假设我们有如下线性规划问题：最大化目标函数 f = [3, 4] * x约束条件为：A = [1, 1; 2, 1; -1, 2]b = [5; 8; 2]lb = [0; 0]ub = []我们可以使用linprog函数来求解：f = [-3, -4]; % 目标函数系数矩阵A = [1, 1; 2, 1; -1, 2]; % 不等式约束条件系数矩阵b = [5; 8; 2]; % 不等式约束条件右侧向量lb = [0; 0]; % 变量的下界向量ub = []; % 变量的上界向量x = linprog(f, A, b, [], [], lb, ub)最终得到的解x为[2; 3]，即最优解为x1 = 2，x2 = 3，最优值为f(x) = 17。

通过MATLAB的线性规划工具箱，我们可以方便地求解各种线性规划问题。

无论是简单的二维问题还是更加复杂的高维问题，都可以通过MATLAB轻松求解。

matlab求解线性规划

matlab求解线性规划MATLAB是一个强大的工具，可以用于求解线性规划问题。

线性规划是一种最优化问题，目标是在满足一系列线性约束条件下，找到一个使目标函数取得最大或最小值的解。

在MATLAB中，可以使用线性规划工具箱来求解线性规划问题。

线性规划工具箱提供了一些函数，如linprog，intlinprog和quadprog，这些函数可以用于求解线性规划问题。

解线性规划问题的一般步骤如下：1. 定义目标函数。

目标函数是要优化的函数，可以是线性函数。

例如，如果我们要最小化一个函数f(x)=c1x1+c2x2+...+cnxn，则可以将目标函数表示为向量c=[c1,c2,...,cn]的内积与向量x=[x1,x2,...,xn]。

2. 定义约束条件。

约束条件是对决策变量的限制条件。

一般情况下，约束条件可以表示为Ax<=b，其中A是一个矩阵，x是决策变量向量，b是一个向量。

例如，如果我们有两个约束条件2x1+x2<=10和x1+3x2<=12，则可以将约束条件表示为矩阵A=[2,1;1,3]和向量b=[10;12]。

3. 调用线性规划函数。

在MATLAB中，可以使用linprog函数来求解线性规划问题。

linprog函数有几个输入参数，包括目标函数系数向量c，约束条件矩阵A和向量b，以及可选参数lb和ub。

参数lb和ub是可选参数，用于指定决策变量的下界和上界。

例如，要求解上述线性规划问题，可以调用linprog函数如下：x = linprog(c, A, b)函数linprog返回一个向量x，其中包含目标函数取得最小值时的决策变量的取值。

4. 分析结果。

一旦线性规划问题被求解，我们可以通过检查目标函数的值和决策变量的取值来分析结果。

例如，目标函数的值就是目标函数取得最小值时的值，其中决策变量的取值可以用x变量表示。

总结而言，MATLAB是一个功能强大的工具，可以用于求解线性规划问题。

Matlab求解线性规划和整数规划问题

Matlab求解线性规划和整数规划问题引言概述：Matlab是一种功能强大的数学软件，可以用于求解各种数学问题，包括线性规划和整数规划问题。

本文将介绍如何使用Matlab求解这两类问题，并分析其优点和适用范围。

正文内容：1. 线性规划问题1.1 线性规划问题的定义线性规划问题是指在一定的约束条件下，通过线性目标函数求解最优解的问题。

其数学模型可以表示为：max/min f(x) = c^T * xs.t. Ax <= bx >= 0其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的右侧向量。

1.2 Matlab中的线性规划求解函数Matlab提供了linprog函数来求解线性规划问题。

该函数可以通过设定目标函数系数向量c、约束条件的系数矩阵A和右侧向量b，以及决策变量的上下界，来求解线性规划问题的最优解。

1.3 线性规划问题的应用线性规划问题在实际应用中非常广泛，例如生产计划、资源分配、运输问题等。

通过Matlab求解线性规划问题，可以高效地得到最优解，为实际问题的决策提供科学依据。

2. 整数规划问题2.1 整数规划问题的定义整数规划问题是指在线性规划问题的基础上，决策变量的取值限制为整数。

其数学模型可以表示为：max/min f(x) = c^T * xs.t. Ax <= bx >= 0x为整数其中，c、A、b的定义与线性规划问题相同，x为整数。

2.2 Matlab中的整数规划求解函数Matlab提供了intlinprog函数来求解整数规划问题。

该函数可以通过设定目标函数系数向量c、约束条件的系数矩阵A和右侧向量b，以及决策变量的上下界和整数约束条件，来求解整数规划问题的最优解。

2.3 整数规划问题的应用整数规划问题在实际应用中常见，例如生产调度、投资决策、路径规划等。

通过Matlab求解整数规划问题，可以考虑到决策变量的整数性质，得到更为实际可行的解决方案。

MATLAB求解线性规划(含整数规划和01规划)问题

MATLAB 求解线性规划（含整数规划和0-1规划）问题线性规划是数学规划中的一类最简单规划问题，常见的线性规划是一个有约束的，变量范围为有理数的线性规划。

如：max 712z x y =+9430045200s.t 310300,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩对于这类线性规划问题，数学理论已经较为完善，可以有多种方法求解此类问题。

但写这篇文章的目的并不是为了介绍数学理论，我们这里主要讲解如果利用工具求解这一类线性规划问题。

最著名，同时也是最强大的数学最优化软件是LINGO/LINDO 软件包，它能够求解多种的数学规划问题，同时还提供了多种的分析能力。

但LINGO 软件并不容易上手，同时，应用LINGO 的场合一般是大规模的线性规划问题，小小的线性规划完全可以不使用它。

一个更受科研人员欢迎的数学软件是MATLAB ，它以功能强大而称著，并有数学软件中的“航空母舰”之称。

我们这里就是要学习使用MATLAB 软件求解线性规划（含整数规划和0-1规划）问题。

为了使得不熟悉MATLAB 的人员也能够使用MATLAB 进行线性规划问题求解，本文将对MATALB 中使用到的函数和过程以及结果进行详细的分析，最后会对每一个问题都给出一个可以完全“套用”的MATLAB 程序。

我们首先从上面的线性规划问题开始，为了便于表达，将上面的式子写成矩阵形式：max 712z x y =+9430045200s.t 310300,0x y x y ⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪∙≤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪≥⎩于是约束就表达为了一个Ax b ≤不等式。

求解MATLAB 线性规划时，最常用的函数是linprog 函数，下面来介绍一下这个函数的使用。

打开MATLAB 帮助文档（PS:帮助文档的内容是最全的，只要你的英文过了专业8级），可以看到linprog 函数求解的是具有如下标准形式的线性规划：min .Tx f x A X b s t Aeq X beq lb x ub ≤⎧⎪=⎨⎪≤≤⎩公式中各符号的意义是自明的，在这里简单介绍下，首先MATLAB 中求解的是目标函数是最小值的问题，但如果我们的目标函数是求最大值，可以通过对目标函数中每一项中乘以-1，将求最大值问题转化为求最小值问题；A ，b 分别为不等式约束中的系数矩阵。

matlab最优化问题的经典例题

matlab最优化问题的经典例题MATLAB最优化问题的经典例题之一是线性规划问题。

线性规划是一种数学优化方法，用于寻找一组给定线性约束条件下使得目标函数达到最大或最小值的变量值。

假设有以下线性规划问题：最大化目标函数：Z = c1*x1 + c2*x2 + ... + cn*xn在满足约束条件：A*x <= bx >= 0下，求解变量x1, x2, ..., xn的最优解。

使用MATLAB求解该线性规划问题的代码如下：```% 定义目标函数系数向量cc = [c1; c2; ...; cn];% 定义不等式约束条件系数矩阵A和右侧常数向量bA = [A11, A12, ..., A1n;A21, A22, ..., A2n;...,Am1, Am2, ..., Amn];b = [b1; b2; ...; bm];% 定义变量的下界和上界lb = zeros(n, 1); % 下界为0，即 x >= 0ub = Inf(n, 1); % 上界为无穷大，即无上界% 求解线性规划问题[x, fval] = linprog(-c, A, b, [], [], lb, ub);% 输出最优解和最优值disp('最优解：')disp(x)disp('最优值：')disp(-fval)```在上述代码中，我们将目标函数系数向量c、不等式约束条件系数矩阵A和右侧常数向量b、变量的下界和上界lb、ub传递给linprog函数进行求解。

linprog函数返回最优解x和最优值-fval（由于linprog默认求解最小化问题，我们使用-c作为目标函数系数向量，将最大化问题转化为最小化问题）。

通过以上代码，我们可以求解线性规划问题的最优解和最优值，并使用MATLAB进行验证和分析。

这个例题可以帮助我们理解和掌握MATLAB中最优化问题的求解方法。

MATLAB求解线性规划问题

min
f 3x1 x 2 x3
2x1 x3 1
s.t.
x1 2x 2 x3 11 4x1 x 2 2x3 3
xi 0, i 1,2,3
然后建立M文件如下：
c=[-3;1;1];A=[1 -2 1;4 -1 -2];b=[11;-3]; aeq=[2 0 -1];beq=-1;vlb=[0;0;0]; [x,fval]=linprog(c,A,b,aeq,beq,vlb)
最后的结果为: - 6.2043e-016
【例 5】求解约束非线性规划：
min (x1 1)2 (x2 2)2 (x3 3)2 (x4 4)2 x1 x2 x3 x4 5
s.t. 3x1 3x2 2x3 x4 10 xi 0
初值为[1;1;1;1]
解：首先建立一个m文件 fun705.m
【例 4】求解约束非线性规划：
max ex1 x22 (3 ex1 x22 )
s.t. ex1 x22 3
(初值为[1;1])
首先将问题转化为matlab要求的格式;即求出 fun,A,b,Aeq,Beq,X0,Lb,Ub
解:首先建立一个m文件fun7041.m function y=fun7041(x) y=-exp(x(1))*x(2)^2*(3-exp(x(1))-x(2)^2); 存储为fun7041.m
1、了解约束非线性规划问题的求解原理与方法； 2、会用Matlab软件求解约束非线性规划问题。
二、实验原理和方法
对于约束非线性规划，随着目标函数和约束条件的不同，解法也不同，一般来说，有两类方法：（1）、将约束问题化为无约束问题的求解方法；（2）、用线性规划来逼近非线性规划；
三、实验内容与步骤

Matlab数学规划方法及实验题目

MATLAB数学规划问题（实验题目及答案在最后）一、线性规划线性规划问题是目标函数和约束条件均为线性函数的问题，MATLAB6.0及更高版本解决的线性规划问题的标准形式为：min n R',f∈xxsub.to：b⋅A≤x⋅Aeq=xbeq≤lb≤xub其中f、x、b、beq、lb、ub为向量，A、Aeq为矩阵。

其它形式的线性规划问题都可经过适当变换化为此标准形式。

在MATLAB6.0版中，线性规划问题（Linear Programming）已用函数linprog取代了MATLAB5.x版中的lp函数。

在6.0和7.0中依然可以使用lp 函数，但在更高版本中，就只能使用linprog函数了。

函数linprog调用格式：x=linprog(f,A,b)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)- 1 -- 1 -x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) [x,fval]=linprog(…)[x, fval, exitflag]=linprog(…) [x, fval, exitflag, output]=linprog(…)[x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(…) 说明：x=linprog(f, A, b) %求min f ' *x, sub.to b x A ≤⋅线性规划的最优解。

返回值x 为最优解向量。

x=linprog(f, A, b, Aeq, beq) %含有等式约束beq x Aeq =⋅，若没有不等式约束b x A ≤⋅，则令A=[ ]，b=[ ]。

x = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub) %指定x 的范围ub x lb ≤≤ x=linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0) %设置x0为初值点。

用matlab求解线性规划问题

用m a t l a b求解线性规划问题(共3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--实验四用MATLAB 求解线性规划问题一、实验目的：了解Matlab 的优化工具箱，能利用Matlab 求解线性规划问题。

二、实验内容：线性规划的数学模型有各种不同的形式，其一般形式可以写为：目标函数： n n x f x f x f z +++= 2211min约束条件： s n sn s s n n b x a x a x a b x a x a x a ≤+++≤+++221111212111s n tn t t n n d x c x c x c d x c x c x c =+++=+++2211112121110,,,21≥n x x x这里n n x f x f x f z +++= 2211称为目标函数，j f 称为价值系数，T n f f f f ),,,(21 =称为价值向量，j x 为求解的变量，由系数ij a 组成的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=mn m n a a a a A 1111称为不等式约束矩阵，由系数ij c 组成的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=sn s n c c c c C 1111 称为等式约束矩阵，列向量T n b b b b ),,,(21 =和T n d d d d ),,,(21 =为右端向量，条件0≥j x 称为非负约束。

一个向量T n x x x x ),,,(21 =，满足约束条件，称为可行解或可行点，所有可行点的集合称为可行区域，达到目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解，相应的目标函数值称为最优目标函数值，简称最优值。

我们这里介绍利用Matlab 来求解线性规划问题的求解。

Matlab线性规划问题模型代码

Matlab线性规划问题模型代码线性规划问题的基本内容线性规划解决的是⾃变量在⼀定的线性约束条件下，使得线性⽬标函数求得最⼤值或者最⼩值的问题。

min z=n ∑j=1f j x js.t. {∑n j=1a ij x j⩽其中价值系数向量为\mathbf{F}=\left(f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{n}\right)^{\mathrm{T}}决策变量向量为\mathbf{X}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{\mathrm{T}}不等式约束系数矩阵为\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}{a_{11}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\ {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {a_{m 1}} & {\cdots} & {a_{m n}}\end{array}\right)不等式右端常数向量为\mathbf{B}=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)^{\mathrm{T}}等式约束系数矩阵为\mathbf{A}_{eq} = \left(\begin{array}{ccc}{a_{11}^{\mathrm{cq}}} & {\cdots} & {a_{1 n}^{\mathrm{cq}}} \\ {\vdots} &{\ddots} & {\vdots} \\ {a_{\mathrm{h1}}^{\mathrm{eq}}} & {\cdots} & {a_{\mathrm{hn}}^{\mathrm{eq}}}\end{array}\right)等式右端常数向量为\mathbf{B}_{\mathrm{eq}}=\left(b_{1}^{\mathrm{eq}}, b_{2}^{\mathrm{eq}}, \cdots,b_{\mathrm{h}}^{\mathrm{eq}}\right)^{\mathrm{T}}决策变量下界向量为\mathbf{L B}=\left(\mathrm{lb}_{1}, \mathrm{lb}_{2}, \cdots, \mathrm{lb}_{n}\right)^{\mathrm{T}}决策变量上界变量为\mathbf{UB}=\left(\mathrm{ub}_{1}, \mathrm{ub}_{2}, \cdots, \mathrm{ub}_{n}\right)^{\mathrm{T}}当⽬标函数为最⼩值时，上述问题可以写成如下形式：\min z=\boldsymbol{F}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X}\text { s.t. }\left\{\begin{array}{l}{\mathbf{A}\mathbf{X} \leqslant \mathbf{B}} \\ {\mathbf{A}_{\mathrm{eq}}\mathbf{X}=\mathbf{B}_{\mathrm{eq}}} \\ {\mathbf{LB} \leqslant \mathbf{X} \leqslant \mathbf{UB}}\end{array}\right.当⽬标函数为最⼤值时，上述问题可以写成如下形式：\max z=\boldsymbol{-F}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X}\text { s.t. }\left\{\begin{array}{l}{\mathbf{A}\mathbf{X} \leqslant \mathbf{B}} \\ {\mathbf{A}_{\mathrm{eq}}\mathbf{X}=\mathbf{B}_{\mathrm{eq}}} \\ {\mathbf{LB} \leqslant \mathbf{X} \leqslant \mathbf{UB}}\end{array}\right. Matlab模型代码调⽤形式[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA] = linprog(F,A,B,Aeq,Beq,LB,UB) % ⽬标函数为最⼩值[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA] = linprog(-F,A,B,Aeq,Beq,LB,UB) % ⽬标函数为最⼤值输⼊变量F 为⽬标函数中的价值系数向量A 为不等式约束系数矩阵(注意默认不等式⽅向为⼩于等于，若为⼤于等于，需要将其取相反数)B 为不等式右端常数向量(注意默认不等式⽅向为⼩于等于，若为⼤于等于，需要将其取相反数)Aeq 为等式约束系数矩阵Beq 为等式右端常数向量LB 为决策变量下界向量UB为决策变量上界向量在调⽤时，输⼊参数不存在时，可以将其输⼊⽤ [] 空矩阵表⽰。

Matlab解决线性规划问题

Matlab解决线性规划问题线性规划问题的实例与定义某机床⼚⽣产甲、⼄两种机床，每台销售后的利润分别为 4000 元与 3000 元。

⽣产甲机床需⽤ A、 B机器加⼯，加⼯时间分别为每台 2 ⼩时和 1 ⼩时；⽣产⼄机床需⽤A 、B、C三种机器加⼯，加⼯时间为每台各⼀⼩时。

若每天可⽤于加⼯的机器时数分别为 A机器 10 ⼩时、B 机器 8 ⼩时和C 机器 7 ⼩时。

问该⼚应⽣产甲、⼄机床各⼏台，才能使总利润最⼤？上述问题的数学模型：设该⼚⽣产x1台甲机床和x2⼄机床时总利润z最⼤，则 x1，x2应满⾜max z=4000x1+3000x2s.t.=2x1+x2≤10, x1+x2≤8, x2≤7,x1,x2≥0.其中：变量x1，x2称为决策变量。

max表达式称为问题的⽬标函数，下⾯的不等式是问题的约束条件，记为s.t.（即subject to）。

由于上⾯的⽬标函数及约束条件均为线性函数，故称为线性规划问题。

总之，线性规划问题是在⼀组线性约束条件的限制下，求⼀线性⽬标函数最⼤或最⼩的问题。

线性规划的Matlab标准形式及软件求解线性规划的⽬标函数可以是求最⼤值也可以是求最⼩值，约束条件的不等号可以是⼩于等于也可以是⼤于等于。

为了避免这种形式多样性带来的不便，Matc lab中规定线性规划的标准形式为min f T xs.t.=A⋅x≤b, Aeq⋅x=beq, lb≤x≤ub.其中：f,x,b,beq,lb,ub为列向量，A，Aeq为矩阵。

调⽤形式[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %求最⼩值[x,fval]=linprog(-f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)%求最⼤值输⼊变量f为⽬标函数中的价值系数向量（注意如果要去求最⼤值，则全部加负号求最⼩值）A为不等式约束系数矩阵b为不等式右端常数向量Aeq为等式约束系数矩阵beq为等式右端常数向量lb 为决策变量下界向量ub为决策变量上界向量在调⽤时，输⼊参数不存在时，可以将其输⼊⽤[]空矩阵表⽰输出变量x为最优解fval为最优⽬标值具体实例⽬标函数与约束条件max z=2x1+3x2−5x3s.t.=x1+x2+x3=7,2x1−5x2+x3≥10, x1+3x2+x3≤12, x1,x2,x3≥0. {{ {Matlab程序f=[2;3;-5];A=[1,1,1];b=7;A=[-2,5,-1;1,3,1];b=[-10;12];Aeq=[1,1,1];beq=7;lb=zeros(3,1);%创建⼀个3X1的零矩阵 lb=[0,0,0]也可以[x,y]=linprog(-f,A,b,Aeq,beq,lb,[]);x,y=-y运⾏结果Optimal solution found.x =6.42860.5714y =14.5714Processing math: 100%。

如何在Matlab中进行线性规划问题求解

如何在Matlab中进行线性规划问题求解线性规划（Linear Programming，LP）是数学规划的一个重要分支，其能够高效地解决许多实际问题。

在工业、运输、金融等领域中，线性规划的应用十分广泛。

而Matlab作为一种功能强大的数学软件，也提供了许多工具和函数用于线性规划问题的求解。

本文将介绍在Matlab中进行线性规划问题求解的基本步骤和常用函数。

一、线性规划概述线性规划是一种寻找线性目标函数在线性约束条件下的最优解的方法。

通常情况下，线性规划问题可以表示为：max/min z = c^T * xsubject to A * x <= bx >=0其中，c和x是n维向量，A是m×n的矩阵，b是m维向量。

目标是求解向量x的取值，使得目标函数c^T * x在满足约束条件A * x <= b和x >=0的前提下，取得最大（或最小）值z。

二、Matlab中线性规划求解函数Matlab中提供了多个函数用于线性规划问题的求解，其中最常用的是“linprog”函数。

linprog函数的基本语法如下所示：[x, fval, exitflag, output] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, options)其中，参数f是目标函数的系数向量，A和b是不等式约束的矩阵和右侧向量，Aeq和beq是等式约束的矩阵和右侧向量，lb和ub分别是变量的下界和上界向量，options是优化选项。

三、解决实际问题的例子假设有一家电子公司，为了提高利润，决定如何分配生产资源。

公司生产三种产品A、B、C，每种产品所需的生产时间分别为5小时、10小时和15小时。

已知公司每周的生产时间为80小时，每单位产品的利润分别为5、8和10。

现在问题是如何分配生产时间，使得总利润最大化。

首先，我们需要确定目标函数和约束条件。

根据题意，我们可以将目标函数设置为z = 5*x(1) + 8*x(2) + 10*x(3)，其中x(1)、x(2)和x(3)分别表示产品A、B、C的生产数量。

用MATLAB求解线性规划

划。
模型 1 固定风险水平，优化收益
目标函数：约束条件：
n 1
Q=MAX (ri pi )xi
i 1
qi xi ≤a
M
(1 p )x M ， ii
xi≥ 0
i=0，1，…n
b．若投资者希望总盈利至少达到水平 k 以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合。
模型 2 固定盈利水平，极小化风险
从 a=0 开始，以步长△a=0.001对下列组合投资模型求解, 并绘图表示 a 与目标函数最优值 Q 的对应关系:
max s.t.
Q = (-0.05, -0.27, -0.19, -0.185, -0.185) (x0,x1,x2,x3,x4) T
x0 + 1.01x1 + 1.02x2 +1.045x3 +1.065x4 =1
目标函数： R= min{max{ qixi}} 约束条件：
n
(r i
p )x
i
i
≥k，
i0
(1 pi )xi M ， xi≥ 0
i=0，1，…n
c．投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合。
因此对风险、收益赋予权重 s（0＜s≤1)，s 称为投资偏好系数.
2.当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。即: 冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。
3.曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风险。对于不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合。
4.在a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长
符号规定：
Si

10.应用MATLAB软件求解线性规划

1 1
x1, x2 0
min S x1 x2
(5)
s.t. x1x13xx22
2 1题
max
min

m
ai1xi ,
m
ai2 xi ,L
,
m
ain xi

i 1
i 1
i 1

s.t.

x1 xi

x2 0,
L xm i 1, 2,L
1 ,m
5.如果x(1)，x(2)，，x(k)都是线性规划问题(LP)：
max S cx, Ax b, x o
的可行解，则它们的任意凸组合也是(LP)的可行解；如果x(1)，x(2)，
(2)
s.t

x1 2 x1
x2 2 x2
x3 x3

10 20
x1, x2 , x3 0
max S 14x1 13x2 6x3
2x1 4x2 x3 60
应用MATLAB软件求解线性规划
• MATLAB（MATrix LABoratory）的基本含义是矩阵实验室，它是由美国MathWorks公司研制开发的一套高性能的集数值计算、信息处理、图形显示等于一体的可视化数学工具软件。它是建立在向量、数组和矩阵基础之上的，除了基本的数值计算、数据处理、图形显示等功能之外，还包含功能强大的多个“工具箱”，如优化工具箱（optimization toolbox）、统计工具箱、样条函数工具箱和数据拟合工具箱等都是优化计算的有力工具。在这里仅介绍用MATLAB6.5优化工具箱求解线性规划问题。
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