第18周 面积计算

第十八周 面积计算（一）

专题简析：

计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联

系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。

例题1。

已知图18－1中，三角形ABC 的面积为8平方厘米，AE ＝ED ，BD=23

BC ，求阴影部分的面积。

【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF 的面积无法直接计算。由于AE=ED,

连接DF ，可知S △AEF =S △EDF （等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分

转化为求三角形BDF 的面积。

因为BD=23

BC ，所以S △BDF ＝2S △DCF 。又因为AE ＝ED ，所以S △ABF ＝S △BDF ＝2S △DCF 。 学习奥数的优点

1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。

2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。

3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力

4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。

C D

18－1

因此，S △ABC ＝5 S △DCF 。由于S △ABC ＝8平方厘米，所以S △DCF ＝8÷5＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。

练习1

1、 如图18－2所示，AE ＝ED ，BC=3BD ，S △ABC ＝30平方厘米。求阴影部分的面积。

2、 如图18－3所示，AE=ED ，DC ＝13

BD ，S △ABC ＝21平方厘米。求阴影部分的面积。 3、 如图18－4所示，DE ＝12

AE ，BD ＝2DC ，S △EBD ＝5平方厘米。求三角形ABC 的面积。

例题2。

两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形，如图18－5所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？

【思路导航】已知S △BOC 是S △DOC 的2倍，且高相等，可知：BO ＝2DO ；从S △ABD 与S △ACD

相等（等底等高）可知：S △ABO 等于6，而△ABO 与△AOD 的高相等，底是△AOD

的2倍。所以△AOD 的面积为6÷2＝3。

因为S △ABD 与S △ACD 等底等高 所以S △ABO ＝6

因为S △BOC 是S △DOC 的2倍 所以△ABO 是△AOD 的2倍

所以△AOD ＝6÷2＝3。

答：△AOD 的面积是3。

练习2

1、 两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形，（如图18－6所示），已知两个三角形的

面积，求另两个三角形的面积是多少？

2、 已知AO ＝13

OC ，求梯形ABCD 的面积（如图18－7所示）。 3、 已知三角形AOB 的面积为15平方厘米，线段OB 的长度为OD 的3倍。求梯形ABCD

的面积。（如图18－8所示）。

B D 18－

2

C

D 18－3 C D

18－4 B

C

18－5

例题3。

四边形ABCD 的对角线BD 被E 、F 两点三等分，且四边形AECF 的面积为15平方厘米。求四边形ABCD 的面积（如图18－9所示）。

BD ，所以三角形ABE 、AEF 、AFD 是等底等高的三角形，它们的面积相等。同理，三角形BEC 、CEF 、CFD 的面积也相等。由此可知，

三角形

ABD 的面积是三角形AEF 面积的3倍，三角形BCD 的面积是三角形

CEF 面积的

3倍，从而得出四边形ABCD 的面积是四边形AECF 面积的3倍。

15×3＝45（平方厘米）

答：四边形ABCD 的面积为45平方厘米。

练习3

1、 四边形ABCD 的对角线BD 被E 、F 、G 三点四等分，且四边形AECG 的面积为15平

方厘米。求四边形ABCD 的面积（如图18－10）。

2、 已知四边形ABCD 的对角线被E 、F 、G 三点四等分，且阴影部分面积为15平方厘米。

求四边形ABCD 的面积（如图18－11所示）。

3、 如图18－12所示，求阴影部分的面积（ABCD 为正方形）。

例题4。

如图18－13所示，BO ＝2DO ，阴影部分的面积是4平方厘米。那么，梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？

C 18－6 C 18－7 18－8 18－9 B C B C 18－10 C 18－11 E 18－12 B

【思路导航】因为BO ＝2DO ，取BO 中点E ，连接AE 。根据三角形等底等高面积相等的性

质，可知S △DBC ＝S △CDA ；S △COB ＝S △DOA ＝4，类推可得每个三角形的面积。所

以，

S △CDO ＝4÷2＝2（平方厘米） S △DAB ＝4×3＝12平方厘米

S 梯形ABCD ＝12+4+2＝18（平方厘米）

答：梯形ABCD 的面积是18平方厘米。

练习4

1、 如图18－14所示，阴影部分面积是4平方厘米，OC ＝2AO 。求梯形面积。

2、 已知OC ＝2AO ，S △BOC ＝14平方厘米。求梯形的面积（如图18－15所示）。

3、 已知S △AOB ＝6平方厘米。OC ＝3AO ，求梯形的面积（如图18－16所示）。

如图18－17所示，长方形ADEF 的面积是16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF

的面积是4，求三角形ABC 的面积。

【思路导航】连接AE 。仔细观察添加辅助线AE 后，使问题可有如下解法。

由图上看出：三角形ADE 的面积等于长方形面积的一半（16÷2

）＝8。用8

减去3得到

三角形ABE 的面积为5。同理，用8减去4得到三角形AEC 的面积也为4。

因此可知三角形AEC 与三角形ACF 等底等高，C 为EF

的中点，而三角形ABE

与三角形

BEC 等底，高是三角形BEC

的2倍，三角形BEC 的面积为5÷2＝

2.5，所以，三角形ABC 的面积为16－3－4－2.5＝6.5。

练习5

1、 如图18－18所示，长方形ABCD 的面积是20平方厘米，三角形ADF 的面积为5平

方厘米，三角形ABE 的面积为7平方厘米，求三角形AEF 的面积。

2、 如图18－19所示，长方形ABCD 的面积为20平方厘米，S △ABE ＝4平方厘米，S △AFD

＝6平方厘米，求三角形AEF 的面积。

3、 如图18－20所示，长方形ABCD 的面积为24平方厘米，三角形ABE 、AFD 的面积

均为4平方厘米，求三角形AEF 的面积。

B B B 18－13 18－14 18－15 B A D

C F F C 18－17

D A B D F