专题06 数列中的最值问题(第二篇)(原卷版)

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第二篇 数列与不等式

专题06 数列中的最值问题

【典例1】【2019年10月广东省广州市天河区一模】

在等比数列{}n a 中，公比(0,1)q ∈，且满足42a =，2

3

2637225a a a a a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，当3

12123n S S S S n

+++⋯+取最大值时，求n 的值． 【思路引导】

（1）根据等比数列的性质化简2635a a a a =，2

375a a a =，联立42a =即可解出答案

（2）根据52n

n a -=写出5n b n =-，求出2

92

n n n S -=，写出92n S n n -=，再求出其前n 项的和，判断即可。

【典例2】【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试】 在等差数列{}n a 中，已知345884,36a a a a +=-=. （I ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （II ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求20

n S n

+的最小值. 【思路引导】

（1）根据等差数列的基本量运算，得到首项1a 和公差d ，得到通项n a （2）根据（1）求出的等差数列，得到其前n 项和n S ，表示出20

n S n

+，然后找到其最小值，注意*n N ∈.

【典例3】【2019届高三第一次全国大联考】 已知数列{}n a 对任意n *∈N 满足112335(21)(1)32n n a a a n a n +++++-=-+．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求使得2019n S >成立的正整数n 的最小值． 【思路引导】

（1）由()()()11231352321132n n n a a a n a n a n +-+++

+-+-=-+，可得

()()12313523232n n a a a n a n -+++

+-=-+ ()2n ≥，两式相减可得()32n n a n =≥，然后再验证1

a 是否满足上式即可得到结论．

（2）根据（1）中的通项公式求出n S ，然后根据题意得到不等式，最后根据函数的单调性求出不等式的解集后可得所求．

【典例4】【河北省衡水市衡水中学2019届高三下学期六调】

已知{}n a 为公差不等于零的等差数列，S n 为n a 的前n 项和，且()1n n a S n ⎧⎫⎪⎪

⎨⎬+⎪⎪⎩⎭

为常数列.

（1）求1a ； （2）d ∈*N .设4035

n

n n a b a =-，仅当n 2019=时，n b 最大，求n a .

【思路引导】

（1）将等差数列{}n a 的通项和求和全部用基本量表示，然后对n 整理，令n 的系数和常数项为0，得到答案.（2）表示出n b 通项，然后化成反比例函数平移的形式，根据对称中心，得到公差d 的范围，然后根据*d ∈N ，得到d 的值，再求出n a 的通项.

【典例5】【宁夏银川一中2019届高三第四次月考】 已知数列{}n a ，12a =，26a =，且满足11

21

n n n a a a +-+=+（2n ≥且*n N ∈）

（1）求证：{}1n n a a +-为等差数列； （2）令()1011

2

n n n b a +=

-，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求{}2n n S S -的最大值. 【思路引导】

(1)将式子变形得到()()112n n n n a a a a +----=，故得到数列{}1n n a a +-是公差为2的等差数列；（2）通过第一问的结论，以及累加法的应用得到()1n a n n =+，代入表达式得到n b ，设2n n n M S S =-，

()()1101

21222

n n M M n n +-=

-++，将此式和0比即可得到最大项.

【典例6】已知等差数列{}n a 中，公差0d >，其前n 项和为n S ，且满足：231445,14a a a a =+=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅰ）通过公式n

n S b n c

=+构造一个新的数列{}n b ．若{}n b 也是等差数列，求非零常数c ； （Ⅰ）求()()()*1

25n

n b f n n N n b +=∈+的最大值．

【典例7】【天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试（二】

已知数列{}n a 的前n 项和()1

*12N 2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪

⎝⎭

，数列{}n b 满足2n

n n b a =.

（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅰ）设()()()1121n n n n n n c n a n a ++=-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足()*124

N 63

n T n <∈的n 的最大值.

【思路引导】(Ⅰ)利用1

1112n n n n n n a S S a a ---⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭

，整理可得数列{}n b 是首项和公差均为1的等差

数列，求出{}n b 的通项公式可得数列{}n a 的通项公式；(Ⅰ) 由(Ⅰ)可得

()1112122n n n n n n c n n n n ++=

+⎛

⎫⎛⎫-+- ⎪⎪

⎝

⎭⎝⎭ 11122121n n +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，利用裂项相消法求得11124212163n n T +⎛

⎫=-< ⎪-⎝⎭

，解不等式可得结果.

1. 【晋冀鲁豫中原名校2019届高三第三次联考】

已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且218S =，490S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）令21

15log 3n n b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 及n T 的最大值. 2. 【辽宁省大连市瓦房店市高级中学2019-2020学年高三上学期10月月考】 已知数列{}n a 中，11128a =-，0n a ≠，且111364

n n n S S a +++=+， （1）求n a ；

（2）若4log n n b a =，12...n

n T b b b =+++，当n 为何值时，n T 取最小值？并求出最小值.

3. 已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠），且数列(){}

n f a 是首项为4，公差为2的等差数列．

（1）求证：数列{}n a 是等比数列； （2）若()n

n n b a f a =+，当k =

{}n b 的前n 项和n S 的最小值. 4. 【安徽省黄山市2019-2020学年上学期高中毕业班第一次质量检测】

已知等比数列{}n a 中，0n a >，12a =，且12

112n n n a a a ++-=，*n N ∈.