专题06 数列中的最值问题(第二篇)(原卷版)

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第二篇 数列与不等式
专题06 数列中的最值问题
【典例1】【2019年10月广东省广州市天河区一模】
在等比数列{}n a 中，公比(0,1)q ∈，且满足42a =，2
3
2637225a a a a a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，当3
12123n S S S S n
+++⋯+取最大值时，求n 的值． 【思路引导】
（1）根据等比数列的性质化简2635a a a a =，2
375a a a =，联立42a =即可解出答案
（2）根据52n
n a -=写出5n b n =-，求出2
92
n n n S -=，写出92n S n n -=，再求出其前n 项的和，判断即可。

【典例2】【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试】 在等差数列{}n a 中，已知345884,36a a a a +=-=. （I ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （II ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求20
n S n
+的最小值. 【思路引导】
（1）根据等差数列的基本量运算，得到首项1a 和公差d ，得到通项n a （2）根据（1）求出的等差数列，得到其前n 项和n S ，表示出20
n S n
+，然后找到其最小值，注意*n N ∈.
【典例3】【2019届高三第一次全国大联考】 已知数列{}n a 对任意n *∈N 满足112335(21)(1)32n n a a a n a n +++++-=-+．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求使得2019n S >成立的正整数n 的最小值． 【思路引导】
（1）由()()()11231352321132n n n a a a n a n a n +-+++
+-+-=-+，可得
()()12313523232n n a a a n a n -+++
+-=-+ ()2n ≥，两式相减可得()32n n a n =≥，然后再验证1
a 是否满足上式即可得到结论．
（2）根据（1）中的通项公式求出n S ，然后根据题意得到不等式，最后根据函数的单调性求出不等式的解集后可得所求．
【典例4】【河北省衡水市衡水中学2019届高三下学期六调】
已知{}n a 为公差不等于零的等差数列，S n 为n a 的前n 项和，且()1n n a S n ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬+⎪⎪⎩⎭
为常数列.
（1）求1a ； （2）d ∈*N .设4035
n
n n a b a =-，仅当n 2019=时，n b 最大，求n a .
【思路引导】
（1）将等差数列{}n a 的通项和求和全部用基本量表示，然后对n 整理，令n 的系数和常数项为0，得到答案.（2）表示出n b 通项，然后化成反比例函数平移的形式，根据对称中心，得到公差d 的范围，然后根据*d ∈N ，得到d 的值，再求出n a 的通项.
【典例5】【宁夏银川一中2019届高三第四次月考】 已知数列{}n a ，12a =，26a =，且满足11
21
n n n a a a +-+=+（2n ≥且*n N ∈）
（1）求证：{}1n n a a +-为等差数列； （2）令()1011
2
n n n b a +=
-，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求{}2n n S S -的最大值. 【思路引导】
(1)将式子变形得到()()112n n n n a a a a +----=，故得到数列{}1n n a a +-是公差为2的等差数列；（2）通过第一问的结论，以及累加法的应用得到()1n a n n =+，代入表达式得到n b ，设2n n n M S S =-，
()()1101
21222
n n M M n n +-=
-++，将此式和0比即可得到最大项.
【典例6】已知等差数列{}n a 中，公差0d >，其前n 项和为n S ，且满足：231445,14a a a a =+=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅰ）通过公式n
n S b n c
=+构造一个新的数列{}n b ．若{}n b 也是等差数列，求非零常数c ； （Ⅰ）求()()()*1
25n
n b f n n N n b +=∈+的最大值．
【典例7】【天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试（二】
已知数列{}n a 的前n 项和()1
*12N 2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪
⎝⎭
，数列{}n b 满足2n
n n b a =.
（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅰ）设()()()1121n n n n n n c n a n a ++=-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足()*124
N 63
n T n <∈的n 的最大值.
【思路引导】(Ⅰ)利用1
1112n n n n n n a S S a a ---⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭
，整理可得数列{}n b 是首项和公差均为1的等差
数列，求出{}n b 的通项公式可得数列{}n a 的通项公式；(Ⅰ) 由(Ⅰ)可得
()1112122n n n n n n c n n n n ++=
+⎛
⎫⎛⎫-+- ⎪⎪
⎝
⎭⎝⎭ 11122121n n +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，利用裂项相消法求得11124212163n n T +⎛
⎫=-< ⎪-⎝⎭
，解不等式可得结果.
1. 【晋冀鲁豫中原名校2019届高三第三次联考】
已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且218S =，490S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令21
15log 3n n b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 及n T 的最大值. 2. 【辽宁省大连市瓦房店市高级中学2019-2020学年高三上学期10月月考】 已知数列{}n a 中，11128a =-，0n a ≠，且111364
n n n S S a +++=+， （1）求n a ；
（2）若4log n n b a =，12...n
n T b b b =+++，当n 为何值时，n T 取最小值？并求出最小值.
3. 已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠），且数列(){}
n f a 是首项为4，公差为2的等差数列．
（1）求证：数列{}n a 是等比数列； （2）若()n
n n b a f a =+，当k =
{}n b 的前n 项和n S 的最小值. 4. 【安徽省黄山市2019-2020学年上学期高中毕业班第一次质量检测】
已知等比数列{}n a 中，0n a >，12a =，且12
112n n n a a a ++-=，*n N ∈.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设4log n n n b a a =，若{}n b 前的前n 项和2020n S ≤，求n 的最大值. 5. 【2020届广东省深圳市高三上学期第二次教学质量检测数学】
记数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
23n S n n =-.递增的等比数列{}n b 满足，23a b =，3123a b b b =++，
记数列{}n b 的前n 项和为n T .
（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求满足7n T S ≤的最大正整数n 的值.
6. 【浙江省温州九校2019届高三第一次联考数学试题】 已知数列{}n a 中，()110,2*n n a a a n n N +==+∈， （1）令+11n n n b a a =-+，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）令3
n
n n a c =
，当n c 取得最大值时，求n 的值. 7. 【2020届湖南省长沙市雅礼中学高三第5次月考】 已知首项为
32
的等比数列{}n a 的前n 项和为()
*
n S n N ∈，且22S -，3S ，44S 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）对于数列{}n A ，若存在一个区间M ，均有()1,2,3i A M i ∈=⋅⋅⋅，则称M 为数列{}n A 的“容值区间”.设1
n n n
b S S =+
，试求数列{}n b 的“容值区间”长度的最小值. 8. 【江苏省盐城市盐城中学2019-2020学年高三11月月考】 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(
)2
*
241n n n a a S n N
+=-∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2121
1
n n n n a b S S -++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围.。