高中数学竞赛夏令营讲稿整理
高中数学竞赛讲义(免费)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛专题讲座竞赛讲座33三角函数
比赛讲座 33－三角函数几何中的两个基本量是：线段的长度和角的大小. 三角函数的实质就是用线段长度之比来表示角的大小，进而将两个基本量联系在一同，使我们能够借助三角变换或三角计算来解决一些较难的几何问题. 三角函数不单是一门风趣的学识，并且是解决几何问题的有力工具. 1．角函数的计算和证明问题在解三角函数问题以前，除了熟知初三教材中的相关知识外，还应当掌握：（1）三角函数的单一性当a为锐角时，sina与tga的值随a的值增大而增大；cosa与ctga 随 a 的值增大而减小；当 a 为钝角时，利用引诱公式转变为锐角三角函数议论.注意到 sin45 °=cos45°=, 由 (1) 可知 , 当时 0＜ a＜45°时 ,cosa ＞ sina; 当 45°＜ a＜90°时 ,cosa ＜ sina.(2)三角函数的有界性 |sina| ≤1,|cosa| ≤1,tga 、 ctga 可取随意实数值（这一点可直接利用三角函数定义导出） .例 1（ 1986 年全国初中数学比赛备用题）在△ABC 中，假如等式sinA+cosA=建立，那么角A是（）（A）锐角（B）钝角（C）直角剖析对 A 分类，联合sinA 和 cosA 的单一性用列举法议论.解当 A=90°时， sinA 和 cosA=1；当 45°＜ A＜90°时 sinA ＞，cosA＞0，∴s inA+cosA＞当 A=45°时， sinA+cosA=当 0＜ A＜45°时， sinA ＞ 0,cosA ＞∴sinA+cosA＞∵1,都大于.∴裁减（ A）、（ C），选（ B） .例 2（ 1982 年上海初中数学比赛题）ctg67 °30′的值是（）（A）-1（B）2-（C）-1（D）（ E）剖析结构一个有一锐角恰为67°30′的 Rt△，再用余切定义求之.D 使 AD=AC，连DC，则解如图 36-1 ，作等腰 Rt△ABC，设∠ B=90°， AB=BC=1.延伸 BA到AD=AC= ，∠ D=22.5°, ∠DCB=67.5°. 这时，ctg67 °30′=ctg ∠DCB=∴选 (A).例 3(1990 年南昌市初中数学比赛题 ) 如图 , 在△ ABC中, ∠A所对的 BC边的边长等于 a, 旁切圆⊙O的半径为 R, 且分别切 BC及 AB、 AC的延伸线于 D， E，F. 求证 :R≤a·O′, 分别切三边于G,H,K. 由对称性知GE=KF(如图36-2).设 GB=a，证明作△ ABC的内切圆BE=x， KC=y,CF=b. 则x+a=y+b,①且 BH=a,BD=x,HC=y,DC=b.于是 ,x-a=y-b.②①+②得 ,x=y. 进而知 a=b.∴G E=BC=a.设⊙ O′半径为r. 明显 R+r≤OO′ ( 当 AB=AC)时取等 .作 O′M⊥EO 于 M,则 O′M=GE=a,∠OO′M=∴R+r≤两式相加即得R≤.例 4（ 1985 年武汉等四市初中联赛题）凸4n+2 边形 A A A A（ n 为自然数）各内角都是1234n+230°的整数倍，已知对于x 的方程：x 212=0①+2xsinA +sinAx2+2xsinA 2+sinA 3=0②x2+2xsinA 3+sinA 1=0③都有实根，求这凸4n+2 边形各内角的度数 .解∵各内角只好是、、、，∴正弦值只好取当 sinA 1=时，∵ sinA2≥sinA 3≥∴方程①的鉴别式△1 =4（sin2A1-sinA 2）≤440方程①无实根，与已知矛盾，故sinA 1≠.当 sinA 1=时，sinA2≥，sinA3≥，∴方程①的鉴别式△=4（ sin A -sinA） =0.1212方程①无实根，与已知矛盾，故sinA 1=.综上所述，可知sinA 1=1， A1=.同理， A2=A3=.这样其他4n-1 个内角之和为这些角均不大于又 n 为自然数，∴n=1, 凸 n 边形为 6 边形 , 且A4+A5 +A6=4×2.解三角形和三角法定理推论设a、 b、 c、 S 与 a′、 b′、 c′、 S′. 若我们在正、余弦定理以前介绍上述定理和推论是为了在解三角形和用三角函数解几何题时有更大的自由 .（1）解三角形例 5（第 37 届美国中学生数学比赛题）在图 36-3 中，AB是圆的直径， CD是平行于 AB的弦，且AC和 BD订交于 E，∠ AED=α , △CDE和△ ABE的面积之比是 ( ).22(A)cos α (B)sin α (C)cos α (D)sinα (E)1-sin α解如图，由于AB∥DC,AD=CB,且△ CDE∽△ ABE,BE=AE,所以连接 AD，由于 AB是直径，所以∠ ADB=在直角三角形ADE中， DE=AEcosα .∴应选 (C).例 6(1982年上海初中数学比赛题) 如图 36-4, 已知 Rt△斜边 AB=c,∠A=α , 求内接正方形的边长.解过 C作 AB的垂线 CH，分别与GF、 AB 交于 P、 H，则由题意可得又∵△ ABC∽△ GFC，∴，即（2）三角法.利用三角知识（包含下一讲介绍的正、余弦定理）解几何问题的方法叫三角法. 其特色是将几何图形中的线段，面积等用某些角的三角函数表示，经过三角变换来达到计算和证明的目的，思路简单，进而减少几何计算和证明中技巧性很强的作协助线的困难 .例 7（ 1986 年全国初中数学比赛搜集题）如图36-5 ，在△ ABC中， BE、 CF是高，∠ A=，则△ AFE 和四边形FBCE的面积之比是（）（A）1∶2（ B）2∶3（ C）1∶1（ D）3∶4解由 BE、 CF 是高知 F、B、 C、 E 四点共圆，得AF·AB=AE·AC.在 Rt△ABE中，∠ ABE=，∴S△AFE∶S FBCE=1∶1.应选(C).例 8(1981年上海中学生数学比赛题) 在△ ABC中∠C为钝角 ,AB 边上的高为h, 求证 :AB ＞2h.证明如图 36-6,AB=AD+BD=h(ctgA+ctgB)①∵∠C是钝角 , ∴∠ A+∠B＜, ∴ctgB ＞ ctg(- A)=tgA. ②由①、②和代数基本不等式，得例9（第一组对边与一条对角线之长的和为18 届国际数学比赛题）已知面积为32cm2的平面凸四边形中16cm.试确立另一条对角线的全部可能的长度.解如图36-7 ，设四边形ABCD面积S 为32cm2，并设AD=y,AC=x,BC=z. 则x+y+z=16(cm)由但 S=32，∴ sin θ =1,sin=1, 且 x-8=0. 故θ = =且x=8,y+z=8. 这时易知另一条对角线BD的长为此处无图例 10(1964年福建中学数学比赛题) 设 a、b、c 是直角三角形的三边， c 为斜边，整数n≥3, 求证 :a n+b n＜ c n.剖析如图为三角不等式34-8,sin注意到nα+cosRt△ABC的边角关系nα＜ 1 来议论 .:a=csinα＞ 0,b=ccosα＞ 0, 可将不等式转变证明设直角三角形一锐角∠BAC= α ( 如图 ),则。
高中数学竞赛：夏令营讲稿
证明：观察三角形 C1B1O，可以看出，K、B2、C2 分别在 C1B1、B1O、OC1 或其延长线上，且 B2、K、C2 三点共线， 根据梅涅劳斯定理可得： C1K B1B2 OC 2 1
KB1 B2O C2C1 同理：观察三角形 OB1A1，根据梅涅劳斯定理可得： A1L B1B2 OA2 1 LB1 B2O A2 A1 观察三角形 OA1C1，根据梅涅劳斯定理可得： C1M A1 A2 OC 2 1 MA1 A2O C2C1
设P、Q、R分别是ABC的BC、CA、AB边上的点， 且有偶数个点在延长线上，
则AP、BQ、CR三线共点的充要条件是: BP CQ AR 1 PC QA RB
A
A
RQ
BP
C
P BC
R
Q
3.托勒密定理： 定理：四边形 ABCD 中，有：
AB·CD+AD·BC AC·BD 并当且仅当四边形 ABCD 内接于圆时，等号成立。
在 Rt△DBC 与 Rt△EBC 中，有
CD2 BC FC ， BE2 BC BG
BF
A
E M HG C
即 CF CD 2 ，代入上式得 FH CD2 AE BD
BG BE 2
HG BE 2 CE AD
又 ABE∽ACD，有 AD CD 代入上式得 AE BE
即 BH AC DM AB DM AB HG AD MG AC MG AD
故 BH GM DA 1 HG MD AB
对△BDG 应用梅氏定理逆定理，知 H，M，A 三点共线 由 AH⊥BC，故 AM⊥BC
例 2. 如图，在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、F， 满足∠BAE=∠CAF，作 FM⊥AB，FN⊥AC（M、N 是垂 足），延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D． 证明：四边形 AMDN 与三角形 ABC 的面积相等．
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛培训专题讲座(不等式)(2021年整理)
高中数学竞赛培训专题讲座(不等式)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学竞赛培训专题讲座(不等式)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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高中数学竞赛培训专题讲座:重要不等式（一）一．基础知识 (1) 均值不等式设12,,...,n a a a 是n 个正实数，记12,111...n n nn H G a a a ==+++12...,n n n a a a A Q n +++==分别称,,,n n n n Q G H A 为这n 个正数的调和平均，几何平均,算术平均和平方平均，则 n n n n Q G H A ≤≤≤,等号成立当且仅当12...n a a a ===。
特别地，①2,)112a b a b R a b++≤≤≤∈+（当且仅当a b =时取等号)； ② 222()(,)22a b a b ab a b R ++≤≤∈，3()(,,)3a b c abc a b c R +++≤∈，,,)a b c a b c R +++≥∈；③2()3()a b c ab bc ca ++≥++. （2) Cauchy 不等式设,i i a b R ∈ (1,2,...,)i n =，则222111(()())nnni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑，当且仅当0(1,2,..,)i i n b ==或存在一个常数λ，使得i i a b λ=(1,2,..,)i n =时，等号成立.推论1：设R ,i i a b +∈R ∈ (1,2,...,)i n =，则22111()nnni i i i i i i b a b a ===≥∑∑∑； 推论2:设,R i i a b +∈(1,2,...,)i n =,则2111()nn ni i iii i i ib a b b a ===≥∑∑∑.二．例题精讲1．已知1212,,,,,,,n n a a a b b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅都是正数.求证≥。
高中数学竞赛教材讲义 第七章 解三角形讲义
高中数学竞赛教材讲义 第七章 解三角形讲义一、基础知识在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长，2cb a p ++=为半周长。
1．正弦定理：CcB b A a sin sin sin ===2R （R 为△ABC 外接圆半径）。
推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 21sin 21sin 21B ca A bc C ab ==推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足)sin(sin a ba a -=θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。
先证推论1，由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 21；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理BbA a sin sin =，所以)sin()sin(sin sin A a A a --=θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 21-[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。
2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA bca cb A 2cos 222-+=⇔，下面用余弦定理证明几个常用的结论。
（1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq qp qc p b -++ （1） 【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ADB ∠，所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ①同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π，所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q)，即AD 2=.22pq qp qc p b -++ 注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.222222a c b AD -+=（2）海伦公式：因为412=∆ ABC S b 2c 2sin 2A=41b 2c 2 (1-cos 2A)= 41b 2c 21614)(1222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-c b a c b [(b+c)2-a 2][a 2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c). 这里.2cb a p ++=所以S △ABC =).)()((c p b p a p p ---二、方法与例题1．面积法。
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高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛讲座[共十五讲]
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高中数学竞赛讲座【共十五份】目录不等式 (1)整数的整除性 (4)抽屉原则 (12)竞赛专题讲座－类比、归纳、猜想 (19)竞赛讲座－覆盖 (21)平面几何四个重要定理 (37)平面几何证明 (47)平面三角 (53)奇数和偶数 (60)染色问题与染色方法 (68)三角运算及三角不等关系 (75)三角不等关系 (78)同余式与不定方程 (80)本站资源汇总［优秀资源，值得收藏］ (90)不等式不等式是数学竞赛的热点之一。
由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。
而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。
证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。
但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。
一、不等式证明的基本方法1．比较法比较法可分为差值比较法和商值比较法。
（1）差值比较法原理 A－ B＞0A＞B．【例1】（l）m、n是奇偶性相同的自然数，求证：（a m＋b m）（a n＋b n）＜2（a m+n+b m+n）。
（2）证明：··≤。
【例2】设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n，j1,j2,…,j n是1,2,…,n的任意一个排列，令S=a1+ a2+…+ a n，S0=a1b n+a2b n-1+…+a n b1，S1=a1b1+a2b2+…+a n b n。
求证：S0≤S≤S1。
（2）商值比较法原理若>1，且B>0，则A>B。
【例3】已知a,b,c>0，求证：a2a b2b c2c≥a b+c b c+a c a+b。
2．分析法【例4】若x,y>0，求证：>。
【例5】若a,b,c是△ABC的三边长，求证：a4+b4+c4<2(a2b2+b2c2+c2a2)。
联赛新高一暑假第12讲(学生版)
数论是数学中极其重要又非常迷人的一个分支，目前我们仅学习初等数论中较浅的内容.初等数论是数学竞赛四大模块中较难以掌握的模块之一，在数学竞赛中占据极其重要的位置.特别是联赛改制以后，二试必考一道50分的数论大题，一试也会有一到两道数论方面的问题.数论与组合水平如何是大家能否获得联赛一等奖甚至更好成绩的关键.初等数论这块的竞赛问题涉及到的知识点极少，甚至可以说绝大部分同学在小学初中的培训中基本都接触过.但是限于初中的知识面和同学的年龄，考试中一般不出现较为深入、难度较高的数论问题.到了高中，大家将复习小学初中阶段的数论知识，并将其中的很多知识更为理论化、系统化.高中的数论问题难度也会明显增高. 但是在数论这一模块中，我们并不提倡大家过多地掌握很多高深的数论知识，而是提倡大家真正去灵活熟练地运用最基本、最重要的数论基础知识和重要定理来解决问题. 由于同学们在小学、初中都已经学过不少关于初等数论的初步知识，所以这里我们把大家比较熟悉的知识都罗列在下面，对其中大部分定理将不给出证明，直接给出结论. 如果不特别说明，本讲中所有字母均代表正整数.一、整除1．整除的定义两个整数a 和b (0b ≠)，若存在整数k ，使得a bk =，我们称a 能被b 整除，记作|b a ．此时把a 叫做b 的倍数，b 叫做a 的约数．如果a 除以b 的余数不为零，则称a 不能被b 整除，或b 不整除a ，记作|/a b ．2．数的整除特征（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a ，总有1|a ． 0是任何非零整数的倍数，0a ≠，a 为整数，则|0a ．（2）能被2，5；4，25；8，125；3，9；11，7，13整除的数的特征：能被2整除的数的特征：个位为0，2，4，6，8的整数能被2整除，我们记为2k(k 为整数)． 能被5整除的数的特征：个位数为0或5的整数必被5整除，我们记为5k(k 为整数)． 能被4、25整除的数的特征：末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必能被4 （25）整除． 能被8，125整除的数的特征：末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除．能被3，9整除的数的特征：各个数位上数字之和能被3或9整除的整数必能被3或9整除．能被11整除的数的特征：一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差如果是11的倍数，则这个数就能被11整除．能被7，11，13整除的数的特征：一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这本讲概述第12讲初等数论(1)整除个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除．3．整除的几条性质（1）自反性：|a a (0a ≠) （2）对称性：若|a b 、|b a ，则a b = （3）传递性：若|a b 、|b c ，则|a c （4）若|a b 、|a c ，则|(,)a b c （5）若|a b 、0m ≠，则|am bm （6）若|am bm 、0m ≠，则|a b （7）若|a b 、|c b 、(,)1a c =，则|ac b二、带余除法对于任一整数a 及大于1的整数m ，存在唯一的一对整数q 、r (0r m ≤<)，使得a qm r =+成立，这个式子称为带余除法式。
高中数学竞赛讲义
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
高中数学竞赛专题讲座
高中数学竞赛专题讲座主要涉及高中数学竞赛中的重点、难点和热点问题，旨在提高学生的数学思维能力和解题技巧。
以下是一些高中数学竞赛专题讲座的常见内容：1.集合与容斥原理：集合是数学中基本的概念之一，而容斥原理是集合论中的重要原理之一。
在讲座中，可以介绍集合的基本概念、集合的表示方法、集合的运算、容斥原理等。
2.组合数学：组合数学是数学竞赛中的重要内容之一，包括排列、组合、组合恒等式、组合计数、组合优化等问题。
在讲座中，可以介绍这些问题的解决方法，如递归法、数学归纳法等。
3.数学归纳法及其应用：数学归纳法是一种重要的证明方法，适用于证明与自然数有关的命题。
在讲座中，可以介绍数学归纳法的原理、应用场景和常见问题，如归纳法中的恒等式证明等。
4.数列与数列求和：数列是数学中的重要概念之一，而数列求和是数学竞赛中的常见问题。
在讲座中，可以介绍数列的基本概念、数列的表示方法、数列的通项公式和求和公式等。
5.不等式及其性质：不等式是数学竞赛中常见的问题之一，涉及的知识点较多。
在讲座中，可以介绍不等式的基本性质、基本不等式和常见的解题技巧，如放缩法等。
6.几何证明与解析几何：几何证明是数学竞赛中的重要内容之一，而解析几何是通过代数方法研究几何问题的方法之一。
在讲座中，可以介绍平面几何和解析几何的基本概念、性质和解题方法。
7.概率与统计：概率与统计是数学竞赛中的常见问题之一，包括随机事件的概率、随机变量的分布和统计数据的分析等。
在讲座中，可以介绍这些问题的解决方法，如公式法、模拟法等。
总之，高中数学竞赛专题讲座涉及的知识点较多，需要学生在日常学习中不断积累和巩固基础知识点，提高自己的数学思维能力和解题技巧。
同时，也需要教师根据学生的实际情况和竞赛要求，制定合理的教学计划和教学方法，帮助学生更好地掌握数学竞赛的相关知识和技能。
高中数学竞赛讲义(免费)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
高中数学竞赛培训讲义(word版43页)
∴当 k=-4 时， (x12+x22)max=18.
例 3. 已知 f(x)=x2-2x+2 ，在 x∈[t,t+1] 上的最小值为 g(t) ，求 g(t) 的表达式。
解： f(x)=(x-1)2+1 (1) 当 t+1<1 即 t<0 时， g(t)=f(t+1)=t2+1
(2) 当 t ≤ 1≤ t+1 ，即 0≤ t ≤ 1 时， g(t)=f(1)=1 (3) 当 t>1 时， g(t)=f(t)=t2-2t+2
0
a)
fmin=min{f(p),f(q)}
例 1. 当 x 为何值时，函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+ … +(x-an)2 取最小值。
解：∵ f(x)=(x2-2a1x+a12)+(x2-2a2x+a22)+ …+(x2-2anx+an2)=nx2-2(a1+a2 … +an)x+(a12+a22+ …
中取得，最值情况如下表：
-b/2a ∈ [p,q]
-b/2a [p,q]
a>
fmin=f(-b/2a)=((4ac-b2)/4
0
a)
fmin=min{f(p),f(q)} fmax=max{f(p),f(q)}
fmax=max{f(p),f(q)}
a<
fmax=f(-b/2a)=((4ac-b2)/4
5 / 43
又 1-x2=2y2 ≥ 0，∴ x2≤1，－ 1≤x≤ 1 . ∴当 x=2/3 时， y=( √10)/6 ，（2x+3y2） max=16/3 ； 当 x=-1 时， y=0， （ 2x+3y2 ） min=－ 2 (2) 由 3x2+2y2=6x ，得 y2=(3/2)x(2-x) ，代入 x2+y2=x2+(3/2)x(2-x)=-1/2 (x-3)2+9/2 又 y2=(3/2)x (2-x) ≥ 0，得 0≤ x≤ 2. 当 x=2，y=0 时，（x2+y2 ）max=4；当 x=0，y=0 时，(x2+y2)min=0 三、二次函数与二次方程 设 f(x)=ax2+bx+c(a ≠ 0) 的二实根为 x1,x2 ， (x1 ＜x2) ，Δ =b2-4ac ，且α、β ( α＜β ) 是预先给定的 两个实数。 1．当两根都在区间 ( α , β ) 内，方程系数所满足的充要条件 ∵α＜ x1 ＜ x2＜β，对应的二次函数 f(x) 的图象有下列两种情形
数学竞赛班领导发言稿范文
数学竞赛班领导发言稿范文尊敬的各位老师、家长和同学们：大家好！我很荣幸能够站在这里，向大家介绍我们学校的数学竞赛班，并且和大家分享一些关于数学竞赛的重要性和意义。
首先，我想向大家介绍一下我们的数学竞赛班。
这个班级是专门为对数学有兴趣和擅长的学生设立的，目的是帮助他们提高数学学习水平，激发他们对数学的兴趣，培养他们的解决问题的能力和思维逻辑能力。
我们的数学竞赛班拥有一支优秀的教师团队，他们具有丰富的教学经验和专业的数学知识，能够有效地指导学生，帮助他们解决数学难题，提高数学成绩。
在数学竞赛班，我们会组织各种数学竞赛和比赛，让学生有机会展示自己的才能，锻炼自己的解决问题的能力，学会团队合作。
数学竞赛对于学生的发展具有重要意义。
首先，数学竞赛可以激发学生学习数学的兴趣。
比赛的过程充满了挑战和乐趣，学生们可以通过比赛不断地探索和学习，激发自己对数学的兴趣，不断地进步和提高。
其次，数学竞赛可以提高学生解决问题的能力和思维逻辑能力。
比赛中的题目往往不是死记硬背的，而是需要学生动脑筋、灵活思考、善于分析和解决问题，通过参加数学竞赛，学生可以培养自己的分析问题、解决问题的能力，提高自己的思维逻辑水平。
最重要的是，数学竞赛可以培养学生的自信心和团队合作精神。
在比赛中，学生们需要克服一些困难和挑战，不断地坚持下去，这种过程可以培养学生的自信心和毅力，同时，比赛也需要学生们团队合作，共同解决问题，这种合作精神可以让学生感受到团队的力量，让他们学会团队合作，为社会做出更大的贡献。
因此，我希望家长们能够支持孩子参加数学竞赛班的学习，鼓励他们参加各种数学竞赛和比赛，让他们充分发挥自己的潜力，提高自己的能力。
同时，我也希望老师们能够多给予学生们关心和指导，帮助他们克服困难，提高自己的数学水平。
最后，我相信通过我们的共同努力，学生们一定会取得更好的成绩，让数学竞赛班的发展更加辉煌。
谢谢大家！以上就是我对数学竞赛班的一些看法和期望，希望大家可以认真听取，并且支持我们的工作。
联赛新高一暑假第3讲(学生版)
归纳法（Inductive reasoning ）。
归纳论证是一种由个别到一般的论证方法。
它通过许多个别的事例，然后归纳出它们所共有的特性，从而得出一个一般性的结论。
所谓演绎法或称演绎推理（Deductive reasoning ）是指人们以一定的反映客观规律的理论认识为依据，从服从该认识的已知部分推知事物的未知部分的思维方式。
是由一般到个别的认识方法。
演绎法是认识“隐性”知识的方法。
一般在数学竞赛中在条件带有明显数字特征的问题都可以用归纳法试着寻找规律，帮助思考，开拓思路，最后将问题解决并描述出来的时候往往会用演绎的方式一步步推导，精简解体过程，同时去掉思考中一些无用的枝节，两种方法相辅相成，帮助我们将问题推向最终结果。
【例1】 已知两同心圆的圆心为O （如图），过小圆上一定点M 作小圆的弦MA 和大圆的弦BMC ，且使MA BC ⊥，求证：222AB BC CA ++为定值．【例2】 设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t R ∈.记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，求()N t 的所有可能值并严格证明之.本讲概述例题精讲第3讲归纳与演绎(1)【例3】 如图，PQR △和P Q R '''△是两个全等的正三角形，六边形ABCDEF 的边长分别记为：112233,,,,,AB a BC b CD a DE b EF a FA b ======，求证：222222123123a a a b b b ++=++．【例4】 自凸n 边形内一点向各边作高，求证至少有一个垂足在其边上而不在边的延长线上．【例5】 在一个88⨯的方格棋盘的方格中，填入从1到64这64个数．问：是否一定能够找到两个相邻的方格，它们中所填数的差大于4？F ED CB A R 'Q 'P 'R Q P S B A【例6】()4n n≥个盘子里放的糖块总数不少于4块，从任选的两个盘子中各取1块糖，放入另一个盘子中去，称为一次操作．问能否经过有限次操作，把所有的糖块都集中到一个盘子里去？证明你的结论．【例7】设,,,a b c d为正实数，证明：1141664a b c d a b c d++++++≥．【例8】哲人院按照如下方式考核：国王让哲人们站成一列，并给每个人带上一顶帽子，颜色只有黑白两种。
在2023年省中学生数学学科夏令营一中分营开营仪式上的讲话
在2023年省中学生数学学科夏令营一中分营开营仪式上的讲话尊敬的某，尊敬的某一中各位老师、亲爱的同学们：大家下午好。
时逢盛夏，某花开，某生机勃勃，欣欣向荣。
很荣幸，能参加今天的开营仪式；很高兴，受李晶校长委托，能代表某一中致辞，热烈欢迎大家的到来，并与大家进行简单交流。
一、独步南境，卓而不群某一中创建于某某年某月，刚才大家观看了某一中某某周年校庆专题片，某某年某巨变，文昌赓续，勇攀胜峰，某分钟实在太短暂。
好在后面大家还将参观某校区，一所历史悠久，充满活力的学校正在向大家招手。
同学们，今天我和大家谈的第一个关键词是“价值”。
请你们仔细想想，一根稻草有何价值。
是的，一根稻草，扔在大街上，就是垃圾；它与大白菜捆在一起，就是白菜价；但如果与大闸蟹绑在一起，那它就是大闸蟹的价格。
这说明：我们与谁在一起，这很重要。
一个人的价值，除了自己自强不息、努力奋斗外，还与他所处的环境，所在的平台密切相关。
一个人与不一样的人在一起，就会出现不一样的价值，一个人在不一样的平台和环境，就会体现不同的价值。
就在昨天，我主编的某省语文名师工作室公众号“某芬芳”推出了今年毕业生某的文章《某》，他深情回顾高中三年的学习生活，感人至深。
当天下午，某m全文转载，好评如潮。
下面是其简介：某。
他还是某一中某文学社社长，高考语文某某分。
独步南境，卓尔不群。
我们某一中有最优秀的同学群体、有最强大的校友资源、有最尽职尽责的老师、有最宽广的高校朋友圈、有最适宜你成长的环境。
我们某一中为全国教育系统先进集体、全国文明校园、中国百强中学，所以祝贺高一的同学，某一中欢迎你们；鼓舞初一、初二的同学，某一中期待你们。
二、英才辈出，长风破浪为全面贯彻落实党的二十大精神和习近平总书记关于深入实施“中学生英才计划”、“强基计划”、“基础学科拔尖学生培养计划”，优化基础学科教育体系的重要指示精神，着力提高中学生数学素养，激发青少年对基础学科的学习研究兴趣，营造有利于青少年学科人才成长的良好环境，为培养科技创新后备人才服务，我们组织本次夏令营活动。