不等式及解法典型题目

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高中数学一元二次不等式及其解法检测题(附答案)

高中数学一元二次不等式及其解法检测题（附答案）1．下列不等式的解集是的为()A．x2＋2x＋10 B.x20C．(12)x－1＜0 D.1x－3＞1x答案：D2．若x2－2ax＋20在R上恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－2，2] B．(－2，2)C．[－2，2) D．[－2，2]解析：选D.＝(－2a)2－410，－22.3．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个实根，则实数m的取值范围是________．解析：由＝(m－3)2－4m0可得．答案：m1或m94．若函数y＝kx2－6kx＋k＋8的定义域是R，求实数k的取值范围．解：①当k＝0时，kx2－6kx＋k＋8＝8满足条件；②当k＞0时，必有＝(－6k)2－4k(k＋8)0，解得0＜k1.综上，01.一、选择题1．已知不等式ax2＋bx＋c＜0(a0)的解集是R，则()A．a＜0，＞0 B．a＜0，＜0C．a＞0，＜0 D．a＞0，＞0答案：B2．不等式x2x＋1＜0的解集为()A．(－1,0)(0，＋) B．(－，－1)(0,1)C．(－1,0) D．(－，－1)答案：D3．不等式2x2＋mx＋n0的解集是{x|x＞3或x＜－2}，则二次函数y＝2x2＋mx＋n的表达式是()A．y＝2x2＋2x＋12 B．y＝2x2－2x＋12C．y＝2x2＋2x－12 D．y＝2x2－2x－12解析：选D.由题意知－2和3是对应方程的两个根，由根与系数的关系，得－2＋3＝－m2，－23＝n2.m＝－2，n＝－12.因此二次函数的表达式是y＝2x2－2x－12，故选D.4．已知集合P＝{0，m}，Q＝{x|2x2－5x＜0，xZ}，若P，则m等于()A．1 B．2C．1或25 D．1或2X k b 1 . c o m解析：选D.∵Q＝{x|0＜x＜52，xZ}＝{1,2}，m＝1或2. 5．如果A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝，则实数a的集合为() A．{a|0＜a＜4} B．{a|0a＜4}C．{a|0＜a D．{a|04}解析：选D.当a＝0时，有1＜0，故A＝.当a0时，若A＝，则有a＞0＝a2－4a0＜a综上，a{a|04}．6．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，xN)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A．100台 B．120台C．150台 D．180台解析：选C.3000＋20x－0.1x225xx2＋50x－300000，解得x －200(舍去)或x150.二、填空题7．不等式x2＋mx＋m2＞0恒成立的条件是________．解析：x2＋mx＋m2＞0恒成立，等价于＜0，即m2－4m2＜00＜m＜2.答案：0＜m＜28．(2019年高考上海卷)不等式2－xx＋4＞0的解集是________．解析：不等式2－xx＋4＞0等价于(x－2)(x＋4)＜0，－4＜x＜2.答案：(－4,2)9．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．若该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和与t之间的关系)式为s＝12t2－2t，若累积利润s超过30万元，则销售时间t(月)的取值范围为__________．解析：依题意有12t2－2t＞30，解得t＞10或t＜－6(舍去)．答案：t＞10三、解答题10．解关于x的不等式(lgx)2－lgx－2＞0.解：y＝lgx的定义域为{x|x＞0}．又∵(lgx)2－lgx－2＞0可化为(lgx＋1)(lgx－2)＞0，lgx＞2或lgx＜－1，解得x＜110或x＞100.原不等式的解集为{x|0＜x＜110或x＞100}．11．已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1＜0对于所有的实数x 都成立，求a的取值范围．解：当a＝0时，不等式为－x－1＜0x＞－1不恒成立．当a0时，不等式恒成立，则有a＜0，＜0，即a＜0a－12－4aa－1＜0a＜03a＋1a－1＞0a＜0a＜－13或a＞1a＜－13.即a的取值范围是(－，－13)．12．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减少耕地损失，政府决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t万亩，为了既可减少耕地的损失又可保证此项税收一年不少于9000万元，则t应在什么范围内？解：由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为(20－52t)万亩．则税收收入为(20－52t)24000t%.由题意(20－52t)24000t%9000，整理得t2－8t＋150，解得35.当耕地占用税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9000万元．。

不等式的性质及不等式的解法专题训练

第六章不等式不等式的性质及不等式的解法专题训练1.(优质试题·上海)设a ∈R ，则“a ＞1”是“a 2＞1”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件2.(优质试题·全国Ⅲ)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( ) A.b <a <c B.a <b <c C.b <c <a D.c <a <b3.(优质试题·北京)已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则( ) A.1x －1y ＞0 B.sin x －sin y ＞0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＜0 D.ln x ＋ln y ＞04.(优质试题·浙江)已知实数a ，b ，c ( ) A.若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100B.若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100C.若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，则a2＋b2＋c2＜100D.若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，则a2＋b2＋c2＜1005.(优质试题·全国Ⅰ)若a>b>1，0<c<1，则()A.a c<b cB.ab c<ba cC.a log b c<b log a cD.log a c<log b c6.(优质试题·上海)设x∈R，则不等式|x－3|＜1的解集为________.考点1不等式的性质1.(优质试题·四川)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()A.ac>bd B.ac<bdC.ad>bc D.ad<bc2.(优质试题·北京)设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(优质试题·山东)已知实数x，y满足a x＜a y(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是()A.1x2＋1>1y2＋1B.ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C.sin x＞sin yD.x 3＞y 34.(优质试题·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A.c ≤3 B.3<c ≤6 C.6<c ≤9D.c >9考点2 解不等式5.(优质试题·重庆)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A.[－3，1] B.(－3，1)C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)6.(优质试题·四川)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A.16B.18C.25D.8127.(优质试题·大纲全国)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）>0，|x |<1的解集为()A.{x |－2＜x ＜－1}B.{x |－1＜x ＜0}C.{x |0＜x ＜1}D.{x |x ＞1}8.(优质试题·天津)设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.(优质试题·江苏)不等式2x 2－x ＜4的解集为________. 10.(优质试题·湖南)若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，则a ＝________.11.(优质试题·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________. 12.(优质试题·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________.13.(优质试题·浙江)已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________. 14.(优质试题·广东)设函数f (x )＝1（x 2＋2x ＋k ）2＋2（x 2＋2x ＋k ）－3，其中k <－2. (1)求函数f (x )的定义域D (用区间表示)； (2)讨论函数f (x )在D 上的单调性；(3)若k <－6，求D 上满足条件f (x )>f (1)的x 的集合(用区间表示).1.(2105·烟台一模)设集合M＝{x|x2－2x－3<0}，N＝{x|log2x<0}，则M∩N等于()A.(－1，0)B.(－1，1)C.(0，1)D.(1，3)2.(优质试题·北京昌平区期末)已知a>b>0，则下列不等式成立的是()A.a2<b2B.1 a> 1 bC.|a|<|b|D.2a>2b3.(优质试题·江西师大模拟)若a<0，b<0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为()A.p<qB.p≤qC.p>qD.p≥q4.(优质试题·山东枣庄一模)关于x的不等式x2－ax＋a>0(a∈R)在R上恒成立的充分不必要条件是()A.a<0或a>4B.0<a<2C.0<a<4D.0<a<85.(优质试题·威海一模)若a>b，则下列不等式成立的是()A.ln a>ln bB.0.3a>0.3bC.a 12>b 12 D.3a>3b6.(优质试题·青岛质检)已知a ∈R ，则“a ＜1”是“|x －2|＋|x |＞a 恒成立”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.(优质试题·烟台模拟)不等式|x －3|＋|x ＋1|＞6的解集为( ) A.(－∞，－2)B.(4，＋∞)C.(－∞，－2)∪(4，＋∞)D.(－2，4)8.(优质试题·湖北利川模拟)设p: |2x ＋1|>a .q ：x －12x －1>0.使得p 是q 的必要但不充分条件的实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，0) B.(－∞，－2] C.[－2，3]D.[3，＋∞)9.(优质试题·四川模拟)设k ∈R ，若关于x 方程x 2－kx ＋1＝0的两根分别在区间(0，1)和(1，2)内，则k 的取值范围为( ) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52 C.(1，3)D.(－∞，2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞10.(优质试题·德州统考)若不等式|2x －8|＋|2x －6|＜a 有解，则实数a 的取值范围为( ) A.(2，＋∞) B.(14，＋∞) C.(1，＋∞)D.(7，＋∞)11.(优质试题·威海一模)函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为( ) A.{x |x >2或x <－2} B.{x |－2<x <2} C.{x |x <0或x >4}D.{x |0<x <4}12.(优质试题·淄博检测)不等式|2x ＋1|－2|x －1|＞0的解集是( ) A.(－1，1)B.(－1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞D.(1，＋∞)13.(优质试题·济宁模拟)若关于x 的不等式|2x ＋m |≤1的整数解有且仅有一个值为－3，则整数m 的值为________.14.(优质试题·胶东示范校检测)若不等式|x ＋2|－|x －1|≥a 3－4a 2－3对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________. 15.(优质试题·枣庄四校一联)若命题“∃x 0∈R ，|x 0－1|－|x 0－5|＜m ”是真命题，则实数m 的取值范围是________.16.(优质试题·常州质检)不等式|x 2－4|＜x ＋2的解集为________. 17.(优质试题·江西师大模拟)若不等式ax 2－3x ＋5>0的解集为{x |m <x <1}，则实数m ＝________.18.(优质试题·北京市东城区模拟)若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号).①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b ≥2.19.(优质试题·安徽巢湖模拟)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n ).(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集；(2)若a>0，且0<x<m<n<1a，比较f(x)与m的大小.20.(优质试题·浙江余姚模拟)已知关于x的不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a，b的值；(2)当c∈R时，解关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0(用c表示).。

不等式性质运用及不等式的解法

不等式性质运用及不等式的解法典型例题：例1.已知x ≠0，比较(x 2+1)2与x 4+x 2+1的大小。

例 2.已知a>b ，比较a 3与b 3的大小。

例3.设x ≥1, 比较x 3与x 2-x+1的大小。

例6.已知a ＞b ，c ＜d ，求证：a-c ＞b-d.例7.如果a>b, e>f ，c>0，求证：f-ac<e-bc 。

例8.如果a>b>0, c>d>0，求证：cb d a例9.设2＜x ＜5，4＜y ＜10，求x+y 的范围.例10.已知-1≤a+b ≤1，1≤a-b ≤3，求3a-b 的取值范围.5.如果30<x<42, 16<y<24，求：x-2y 及y x 的范围。

8.① x ＜0,求x+x 1的最大值；②若x ＜45时，求y=1-4x+x 451-的最小值.9.设x ＞1,求函数y=412+--x x x 的最大值.10.已知正数a,b 满足ab=a+b+5，求ab 的取值范围.12.已知x ＞0，则2-3x-x4的最大值是 .14.设0＜x ＜2，求函数f （x ）=）（x x 383-的最大值，并求相应的x 值.练习：1.已知0<x<1，则x(3-3x)取最大值时x 的值为2.已知x>1, y>1，且lgx+lgy=4，则lgx ·lgy 的最大值是3.已知x, y ∈R +且x+y=1,则M=yx 11+的取值范围是一、填空与选择题1、不等式(1)(12)0x x -->的解集是；2．不等式2654x x +<的解集为____________. 3、不等式2310x x -++>的解集是；4、不等式2210x x -+≤的解集是；5、不等式245x x -<的解集是；例1.解不等式：(x 2-x+1)(x 2+5x+6)(x 2-4x-5)＞0例2.解不等式：413323222++--x x x x ≤0 例3.解不等式：x(x-1)(x-2)2(x 2-1)(x 3-1)＜0例4.解不等式：12423--+x x x x ≤0随堂训练：1. 不等式(x 2-4x-5)(x 2+8)<0的解集. 2，不等式0)4)(3()2()1(2≤--+-x x x x 的解3不等式2)1()1(22++--x x x x ≤0的解例1.解不等式： ①|x 2-3x+1|＜5 ②|x 2-3x-4|＜x+1 ③|x+3|＞|x-5|例2.解不等式：|x-5|-|2x+3|＜12.不等式(a-2)x 2+2(a-2)x-4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的范围是13、不等式220mx mx +-<的解集为R ，则实数m 的取值范围为例2.解关于x 的不等式：x 2-ax-2a 2＜0例3.解关于x 的不等式：2a x a x --＜0(a ∈R)，例4.解关于x 的不等式：2)1(--x x a ＞1 (a＞0)。

高中不等式例题(超全超经典)

一．不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。

其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

三．重要不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 2ab a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 22 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

高一数学不等式测试题

高一数学不等式测试题1. 不等式的基本性质题目：请证明对于任意实数a、b、c，不等式$ a < b $ 时，$ a + c < b + c $ 成立。

2. 解一元一次不等式题目：解不等式 $ 5x - 3 > 2x + 7 $。

3. 解绝对值不等式题目：解绝对值不等式 $ |x - 4| < 3 $。

4. 解二次不等式题目：解不等式 $ x^2 - 4x + 3 > 0 $。

5. 不等式与函数题目：已知函数 $ f(x) = x^2 - 2x + 1 $，求函数值大于0的x的取值范围。

6. 不等式组的解集题目：解不等式组 $ \begin{cases} x + 2 > 0 \\ 3x - 7 < 0 \end{cases} $。

7. 不等式的变换题目：将不等式 $ x^2 - 4x + 4 \geq 0 $ 转化为标准形式，并找出其解集。

8. 不等式的应用题目：一个矩形的长为 $ 2x + 3 $，宽为 $ x - 1 $，当x取何值时，矩形的面积最大？9. 不等式与数列题目：若数列 $ \{a_n\} $ 满足 $ a_1 = 1 $ 且 $ a_{n+1} \leq 2a_n $ 对所有正整数 n 成立，证明数列 $ \{a_n\} $ 是递增的。

10. 不等式的证明题目：证明对于所有正实数 $ x $ 和 $ y $，不等式$ \sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2} $ 成立。

11. 不等式与几何题目：在三角形ABC中，如果 $ a + b > c $，证明三角形ABC 是锐角三角形。

12. 不等式的综合应用题目：若 $ x, y $ 为正实数，且 $ x^2 + y^2 = 1 $，求$ x^2y + xy^2 $ 的最大值。

13. 不等式的解法题目：解不等式 $ \frac{2x}{x^2 - 1} < 1 $。

一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)

一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)一元二次不等式及其解法1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax>b(a≠0)的形式。

当a>0时，解集为x>b/a；当a<0时，解集为x<b/a。

2.一元二次不等式及其解法1) 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。

2) 使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集。

3) 一元二次不等式的解：对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)，我们可以先求出其对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0的解集，然后根据一元二次函数的图像，判断不等式的解集。

3.分式不等式解法对于分式不等式f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0，我们可以先化为标准型，即将右边化为0，左边化为分母的符号，然后将分式不等式转化为整式不等式求解。

对于分式不等式f(x)/g(x)≥0或f(x)/g(x)≤0，我们可以先求出f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0的解集，然后根据分式函数的图像判断不等式的解集。

例题1：已知集合A={x|x^2-2x-3≥0}，B={x|-2≤x＜2}，则A∩B＝[-2,-1]。

例题2：设f(x)=x^2+bx+1且f(-1)=f(3)，则f(x)>0的解集为{x|x≠1，x∈R}。

例题3：已知-2<x/11<1/2，则x的取值范围是-22<x<11.解：首先求出方程2x2－8x－4＝0的解为x1＝－1，x2＝2.根据题意，不等式在(1，4)内有解，即在x1和x2之间有解，则2x2－8x－4－a的图像必定开口向上，且在x1和x2处有两个零点。

又因为a>0时，图像整体上移，不可能在(1，4)内有解，故a<0.又因为当a＝－4时，2x2－8x－4＝0在(1，4)内有解，故a的取值范围是a<－4.故选A.1) 给定不等式 $2x^2-8x-4-a>0$ 在区间 $(1,4)$ 内有解，即$a<2x^2-8x-4$ 在区间 $(1,4)$ 内有解。

不等式解法种典型例题

或或
或或 .∴原不等式解集是 .
解法二：原不等式化为 .画数轴，找因式根，分区间，定符号.
符号
∴原不等式解集是．
说明:解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集,再求两组的解的并集,否则会产生误解.解法二中，“定符号”是关键.当每个因式的系数为正值时,最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间;也可以先决定含０的区间符号,其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．
解：(解法1)由题可判断出，是方程的两根,
∴ ，．又的解集是，说明 .
而 , ，∴ ．
∴ ,即 ,即 .
又，∴ ,∴ 的解集为 .
(解法2)由题意可判断出 , 是方程的两根,
∴ ．又的解集是 ,说明 .
而 , ．
对方程两边同除以得．
令 ,该方程即为，它的两根为 , ,
∴ ， .∴ , ，∴方程的两根为，．
典型例题八
例8解不等式．
分析:先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解,然后取它们的交集即可．
解答：去掉绝对值号得 ,
∴原不等式等价于不等式组
∴原不等式的解集为．
说明：解含绝对值的不等式,关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解.
典型例题九
例９解关于的不等式 .
∵ ，∴ ．∴不等式的解集是．
说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负,求出相应的方程的根；(２)结合使用韦达定理,本题中只有，是已知量，故所求不等式解集也用，表示，不等式系数， , 的关系也用，表示出来;（3)注意解法２中用“变换”的方法求方程的根.
解法一：原不等式，即

不等式的解法高中数学题目

不等式的解法高中数学题目摘要：一、不等式的基本概念1.不等式的定义2.常见不等号及其含义二、不等式的基本性质1.不等式两边加（减）同一个数（或式子）2.不等式两边乘（除）同一个正数3.不等式两边乘（除）同一个负数三、一元一次不等式的解法1.移项法2.系数化一法四、一元二次不等式的解法1.因式分解法2.直接开平方法3.参数分离法五、分式不等式的解法1.通分法2.分子分母同乘（除）法六、不等式的应用1.实际问题中的不等式求解2.几何中的不等式问题正文：一、不等式的基本概念不等式是数学中的一种基本关系式，用于表示两个数的大小关系。

常见的不等号有“>”（大于）、“<”（小于）、“≥”（大于等于）和“≤”（小于等于），它们分别表示大于、小于、大于等于和小于等于的意思。

二、不等式的基本性质1.不等式两边加（减）同一个数（或式子），不等号方向不变。

例如：3 > 2，则3 + 1 > 2 + 1，即4 > 3。

2.不等式两边乘（除）同一个正数，不等号方向不变。

例如：3 > 2，则3 × 2 > 2 × 2，即6 > 4。

3.不等式两边乘（除）同一个负数，不等号方向改变。

例如：3 > 2，则3 × (-2) < 2 × (-2)，即-6 < -4。

三、一元一次不等式的解法1.移项法：将不等式中的常数项移到不等式的另一边，使未知数的系数变为1。

例如：2x + 1 > 5，移项得2x > 4，再除以2 得x > 2。

2.系数化一法：将不等式两边同时除以同一个正数，使未知数的系数变为1。

例如：3x - 2 > 5，系数化一得x > 1。

四、一元二次不等式的解法1.因式分解法：将一元二次不等式化为两个一元一次不等式的和的形式。

例如：x^2 - 3x + 2 > 0，因式分解得(x - 1)(x - 2) > 0，解得x < 1 或x > 2。

不等式证明19个典型例题

不等式证明19个典型例题典型例题一例1 假设10<<x ，证明)1(log )1(log x x a a +>-〔0>a 且1≠a 〕．分析1 用作差法来证明．需分为1>a 和10<<a 两种情况，去掉绝对值符号，然后比拟法证明．解法1 〔1〕当1>a 时，因为 11,110>+<-<x x ，所以 )1(log )1(log x x a a +--)1(log )1(log x x a a +---=0)1(log 2>--=x a ．〔2〕当10<<a 时，因为 11,110>+<-<x x所以 )1(log )1(log x x a a +--)1(log )1(log x x a a ++-=0)1(log 2>-=x a ．综合〔1〕〔2〕知)1(log )1(log x x a a +>-．分析2 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号．解法2 作差比拟法．因为 )1(log )1(log x x a a +--ax a x lg )1lg(lg )1lg(+--= [])1lg()1lg(lg 1x x a+--= [])1lg()1lg(lg 1x x a+---= 0)1lg(lg 12>--=x a ，所以)1(log )1(log x x a a +>-．说明：解法一用分类相当于增设了条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质〔换底公式〕也能到达同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快．典型例题二例2 设0>>b a ，求证：.ab b a b a b a >分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式．证明：b a a b b a a b b a b a b a ba b a ---=⋅=)( ∵0>>b a ，∴.0,1>->b a ba ∴1)(>-b a b a . ∴a b ba ba b a .1> 又∵0>ab b a ，∴.a b b a b a b a >.说明：此题考察不等式的证明方法——比拟法(作商比拟法).作商比拟法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小. 典型例题三例3 对于任意实数a 、b ，求证444()22a b a b ++≥〔当且仅当a b =时取等号〕分析这个题假设使用比拟法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有4()2a b +，展开后很复杂。

高中不等式难题及其解法

高中不等式难题及其解法题目 1已知函数f(x) = x^2 - 2x + 5，若对于任意x_1，x_2∈[1, +∞)，且x_1 < x_2，都有(f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1) > 2，求实数a的取值范围。

解法：begin{align}(f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1)=((x_2^2 - 2x_2 + 5) - (x_1^2 - 2x_1 + 5))/(x_2 - x_1) =(x_2^2 - x_1^2 - 2(x_2 - x_1))/(x_2 - x_1) =x_2 + x_1 - 2end{align}因为(f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1) > 2，所以x_2 + x_1 - 2 > 2，即x_2 + x_1 > 4。

因为x_1 < x_2，且x_1，x_2∈[1, +∞)，所以x_2 + x_1 > 2恒成立。

要使x_2 + x_1 > 4恒成立，因为x_2 > 1，所以x_1 > 4 - x_2，则4 - x_2 ≤ 1，解得x_2 ≥ 3。

所以f(x_2) = x_2^2 - 2x_2 + 5 ≥ 8。

综上，实数a的取值范围是(-∞, 8]。

题目 2若不等式x^2 + ax + 1 ≥ 0对于一切x∈ (0,(1)/(2)]恒成立，求a的最小值。

解法：因为x^2 + ax + 1 ≥ 0对于一切x∈ (0,(1)/(2)]恒成立，所以ax ≥ -x^2 - 1，即a ≥ -<=ft(x + (1)/(x))。

令g(x) = x + (1)/(x)，x∈ (0,(1)/(2)]。

对g(x)求导：g'(x) = 1 - (1)/(x^2) < 0，所以g(x)在(0,(1)/(2)]上单调递减。

所以g(x)_max = g((1)/(2)) = (5)/(2)，所以a ≥ -(5)/(2)，所以a的最小值为-(5)/(2)。

高中一年级数学不等式解法经典例题

即
∴ 或
故原不等式的解集为．
解法二：原不等式等价于
即 ∴ ．
典型例题四
例4解不等式．
分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于二次式的商，由商的符号法则，它等价于下列两个不等式组：
或
所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集．也可用数轴标根法求解．
解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：
而，．
对方程两边同除以得
．
令，该方程即为
，它的两根为，，
∴ ，．∴ ，，
∴方程的两根为，．
∵ห้องสมุดไป่ตู้，∴ ．
∴不等式的解集是．
说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)结合使用韦达定理，本题中只有，是已知量，故所求不等式解集也用，表示，不等式系数，，的关系也用，表示出来；(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根．
典型例题五
例5解不等式．
分析：不等式左右两边都是含有的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解．
解：移项整理，将原不等式化为．
由恒成立，知原不等式等价于．
解之，得原不等式的解集为．
说明：此题易出现去分母得的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解．
另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．
；
(3)当（即或1）时，不等式的解集为：
．
说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论．比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根，，因此不等式的解就是小于小根或大于大根．但与两根的大小不能确定，因此需要讨论，，三种情况．

高中数学高考总复习不等式的性质及解法习题及详解

高中数学高考总复习不等式的性质及解法习题及详解一、选择题1．(文)(2010·深圳市深圳中学)不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x |x >1} B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1且x ＝－2}D ．{x |x ≥1或x ＝－2}[答案] D[解析] 不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0x ＋2≥0或x ＋2＝0，∴x ≥1或x ＝－2，故选D.(理)(2010·天津文，7)设集合A ＝{x |x －a |＜1，x ∈R }，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0≤a ≤6}B ．{a |≤2，或a ≥4}C ．{a |a ≤0，或a ≥6}D ．{a |2≤a ≤4} [答案] C[解析] |x －a |<1⇒a －1<x <a ＋1，又∵A ∩B ＝∅， ∴a ＋1≤1或a －1≥5，∴a ≤0或a ≥6.2．(2010·湖南株洲二中)已知函数f (x )的定义域为[－2，＋∞)，部分对应值如下表．f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．若实数a 满足f (2a ＋1)<1，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，32 B.⎝⎭⎫－12，32 C.⎝⎛⎭⎫12，72D.⎝⎛⎭⎫－32，32 [答案] D[解析] 由f ′(x )的图象知，f (x )在[－2,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又由表知若f (2a ＋1)<1，则－2<2a ＋1<4，∴－32<a <32.3．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( )A ．f (－a 2)≤f (－1)B ．f (－a 2)<f (－1)C ．f (－a 2)≥f (－1)D ．f (－a 2)与f (－1)的大小关系不确定 [答案] A[分析] 比较函数值的大小，一般可考虑应用函数的单调性，故可先用导数研究f (x )的单调性，再在单调区间内比较大小．[解析] 由题意可得f ′(x )＝32x 2－2x －72.由f ′(x )＝12(3x －7)(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x ＝73.当x <－1时，f (x )为增函数；当－1<x <73时，f (x )为减函数．所以f (－1)是函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，73上的最大值，又因为－a 2≤0，故f (－a 2)≤f (－1)．4．(2010·河北唐山)若a 2＋b 2>1，则下列不等式成立的是( ) A ．|a |＋|b |>1 B ．|a ＋b |>1 C ．|ab |>1D ．|a |>1且|b |>1[答案] A[解析] 取a ＝0，b ＝2，排除C 、D ；取a ＝－1，b ＝1，排除B ，故选A.5．(2010·重庆南开中学)已知实数x 满足x 2＋x <0，则x 2，x ，－x 的大小关系是( ) A ．－x <x <x 2 B ．x <－x <x 2 C ．x 2<x <－xD ．x <x 2<－x[答案] D[解析] ∵x 2＋x <0，∴－1<x <0， ∴0<x 2<1,0<－x <1，又x 2－(－x )＝x 2＋x <0， ∴x 2<－x ，故x <x 2<－x .[点评] 可取特值检验，由x 2＋x <0得－1<x <0，取x ＝－13知，x <x 2<－x .6．(文)(2010·河南南阳市调研)不等式⎪⎪⎪⎪x 1－x >x1－x 的解集为( ) A ．{x |0<x <1} B ．{x |x <0或x >1} C ．{x |x >0}D ．{x |x <1}[答案] B[解析] ∵⎪⎪⎪⎪x 1－x >x 1－x ，∴x1－x <0，∴x (x －1)>0，∴x <0或x >1. (理)(2010·重庆市)不等式⎪⎪⎪⎪2x －1x >2－1x 的解集是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |0<x <12}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x >12}[答案] B[解析] ⎪⎪⎪⎪2x －1x >2－1x ，即⎪⎪⎪⎪2－1x >2－1x ， ∴2－1x <0，∴0<x <12.[点评] a ≥0时，|a |＝a ；a <0时，|a |＝－a >a .由1x >2不要仅得出x <12，应注意1x >2隐含x >0.7．(2010·金华十校)已知f (x )＝⎩⎨⎧ln 1xx >01x x <0，则f (x )>－1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，e )B ．(－∞，－1)∪(e ，＋∞)C ．(－1,0)∪(e ，＋∞)D ．(－1,0)∪(0，e ) [答案] A[解析] 不等式f (x )>－1化为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x >0ln 1x >－1或⎩⎪⎨⎪⎧x <01x>－1， ∴1x >1e或x <－1，∴0<x <e 或x <－1. 8．(文)(2010·山东肥城联考)已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3[答案] A[解析] 由题意：A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知：a ＝－1，b ＝－2，选A.(理)(2010·山东肥城联考)关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1[答案] C[解析] 方程x 2－ax －20a 2＝0的两根是x 1＝－4a ，x 2＝5a ，则由关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，得|x 1－x 2|＝|9a |≤9，即－1≤a ≤1，且a ≠0，故选C.9．(2010·浙江杭州质检)设函数f (x )＝ln(x －1)(2－x )的定义域是A ，函数g (x )＝ln(a x －2x－1)的定义域是B ，若A ⊆B ，则正数a 的取值范围是( )A ．a >3B ．a ≥3C ．a > 5D ．a ≥ 5[答案] B[解析] 由(x －1)(2－x )>0得：1<x <2，∴A ＝{x |1<x <2}；由a x －2x －1>0得a x －2x >1，∴a x >2x ＋1，其解集为B ，∴A ⊆B ，∴a ≥3.[点评] 显然当0<a <1时，a x >2x ＋1在(1,2)上不成立，∴a >1，在同一坐标系中作出y ＝a x 与y ＝2x ＋1的图象，要使A ⊆B ，须使y ＝a x 在(1,2)上的图象位于y ＝2x ＋1的上方，当a ＝1时，y ＝21＋1＝3，故a ≥3.10．(文)(2010·北京顺义一中月考)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意x ∈[a ，b ]，都有|f (x )－g (x )|≤1成立，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“密切函数”，区间[a ，b ]称为“密切区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x －3在[a ，b ]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是( )A ．[1,4]B ．[2,4]C ．[3,4]D ．[2,3][答案] D[解析] 对任意x ∈[a ，b ]，都有|f (x )－g (x )|＝|x 2－3x ＋4－(2x －3)|＝|x 2－5x ＋7|＝|(x －52)2＋34|＝(x －52)2＋34≤1成立，∴(x －52)2≤14， ∴2≤x ≤3，因此选D.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2 (x <0)－x (x ≥0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x (x ≤0)1＋x (x >0)，若g [f (x )]≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[0,1]D ．[－1,1][答案] B[解析] ①x ≥0时，f (x )＝－x ≤0， ∴g [f (x )]＝g (－x )＝1－(－x )＝1＋x ； ②当x <0时，f (x )＝x 2>0， ∴g [f (x )]＝g (x 2)＝1＋x 2；∴g [f (x )]min ＝g [f (0)]＝1，由g [f (x )]≥a 恒成立，得a ≤1. 二、填空题11．(文)(2010·芜湖十二中)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )是单调递增的，则不等式f (x ＋1)>f (1－2x )的解集是________．[答案] (－∞，0)∪(2，＋∞)[解析] ∵f (x )在(－∞，0)上单调增，f (x )是偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上单调减， ∵f (x )为偶函数，∴不等式f (x ＋1)>f (1－2x )化为f (|x ＋1|)>f (|1－2x |) ∴|x ＋1|<|1－2x |，∴(x ＋1)2<(1－2x )2， ∴x <0或x >2.(理)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)0 (x <0)，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．[答案] (－∞，1][解析] 原不等式化为①⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ≤2x ≥0或②⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x <0它们的解集分别为[0,1]，(－∞，0)，取并集得原不等式的解集为(－∞，1]．12．若命题“∃a ∈[1,3]，使ax 2＋(a －2)x －2>0”为真命题，则实数x 的取值范围是________．[答案] x <－1或x >23[分析] 本题解题时要注意，“∃a ∈[1,3]，使……为真命题”与“∀a ∈[1,3]，使……为真命题”含义的不同．然后进行等价转化．[解析] 令m (a )＝ax 2＋(a －2)x －2＝(x 2＋x )a －2x －2，m (a )是关于a 的一次函数， ∵命题“∃a ∈[1,3]，使ax 2＋(a －2)x －2>0”为真命题， ∴m (1)>0或m (3)>0，即x 2－x －2>0 ①或3x 2＋x －2>0 ②，由①得x <－1或x >2；由②得x <－1或x >23.所以，所求实数x 的取值范围是x <－1或x >23.13．(2010·湖北黄冈)若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝|ad －bc |，则不等式log 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪111x <0的解集为________．[答案] (0,1)∪(1,2) [解析] 据题意⎪⎪⎪⎪⎪⎪111x ＝|x －1|，∴不等式log 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪111x <0化为log 2|x －1|<0，∴0<|x －1|<1，∴1<x <2或0<x <1.14．(2010·上海奉贤区调研)不等式|x |≥a (x ＋1)对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是________．[答案] [－1,0][解析] 如图，当直线l 逆时针旋转到与x 轴重合时，直线l 总在y ＝|x |的图象的下方，∴－1≤a ≤0.三、解答题15．(文)已知关于x 的不等式：(a ＋1)x －3x －1<1.(1)当a ＝1时，解该不等式； (2)当a >0时，解该不等式．[解析] (1)当a ＝1时，不等式化为2x －3x －1<1，化为x －2x －1<0，∴1<x <2，解集为{x |1<x <2}．(2)a >0时，(a ＋1)x －3x －1<1⇔ax －2x －1<0⇔(ax －2)(x －1)<0，方程(ax －2)(x －1)＝0的两根x 1＝2a ，x 2＝1.①当2a＝1即a ＝2时，解集为∅②当2a >1即0<a <2时，解集为{x |1<x <2a}．③当2a <1即a >2时，解集为{x |2a<x <1}．(理)(2010·山师大附中模考)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对一切实数x 都成立．求实数a 的取值范围．[解析] 由已知：(x －a )⊗(x ＋a )<1， ∴(x －a )(1－x －a )<1，即a 2－a －1<x 2－x .令t ＝x 2－x ，只需a 2－a －1<t min .t ＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14，∵x ∈R ，∴t ≥－14. ∴a 2－a －1<－14，即4a 2－4a －3<0，解得：a ∈⎝⎛⎭⎫－12，32. 16．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8(0≤x ≤5)10.2 (x >5)，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律． (1)要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么范围内？ (2)工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？ [解析] 依题意，G (x )＝x ＋2 设利润函数为f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8(0≤x ≤5)，8.2－x (x >5).(1)要使工厂有赢利，即解不等式f (x )>0，当0≤x ≤5时，解不等式－0.4x 2＋3.2x －2.8>0 即x 2－8x ＋7<0，得1<x <7， ∴1<x ≤5.当x >5时，解不等式8.2－x >0，得 x <8.2， ∴5<x <8.2综上所述，要使工厂赢利，x 应满足1<x <8.2，即产品产量应控制在大于100台，小于820台的范围内．(2)0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6 故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6 而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多．17．已知函数f (x )＝12x 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e (x ∈R )在x ＝0和x ＝1处取得极值．(1)求d 的值及b ，c 的关系式(用c 表示b )，并指出c 的取值范围； (2)若函数f (x )在x ＝0处取得极大值． ①判断c 的取值范围；②若此时函数f (x )在x ＝1时取得最小值，求c 的取值范围． [解析] (1)∵f ′(x )＝2x 3＋3bx 2＋2cx ＋d ，又∵f ′(0)＝f ′(1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝02＋3b ＋2c ＋d ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝0b ＝－2c ＋23.∵f ′(x )＝2x 3－2(c ＋1)x 2＋2cx ，即f ′(x )＝2x (x －1)(x －c )， ∵f (x )在x ＝0和x ＝1处取得极值． ∴c ≠0且c ≠1，即c 的取值范围是{c ∈R |c ≠0且c ≠1}． (2)①∵f ′(x )＝2x (x －1)(x －c )，∴若c <0.当x ∈(c,0)时f ′(x )>0，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，∴f (x )在x ＝0处取得极大值；若0<c <1，当x ∈(－∞，0)时f ′(x )<0，当x ∈(0，c )时f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝0处取得极小值；若c >1，当x ∈(－∞，0)时f ′(x )<0，当x ∈(0,1)时f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝0处取得极小值．综上，若f (x )在x ＝0处取得极大值，则c 的范围为(－∞，0)．②若c <0，当x ∈(－∞，c )时f ′(x )<0，x ∈(c,0)时f ′(x )>0，x ∈(0,1)时f ′(x )<0，x ∈(1，＋∞)时f ′(x )>0，∴函数f (x )只能在x ＝c 或x ＝1处取得最小值．要使f (x )在x ＝1处取得最小值，只要使得f (c )≥f (1)．∴12c 4－(2c ＋2)c 33＋c 3＋e ≥12－2c ＋23＋c ＋e . ∴c 4－2c 3＋2c －1≤0，即(c －1)3(c ＋1)≤0. ∵c <0，∴－1≤c <0，即c 的取值范围是[－1,0)．。

高一数学的不等式证明经典例题

典型例题一例1 假如10<<x ，证明)1(log )1(log x x a a +>-〔0>a 且1≠a 〕．分析1 用作差法来证明．需分为1>a 和10<<a 两种情况，去掉绝对值符号，然后比拟法证明．解法1 〔1〕当1>a 时，因为 11,110>+<-<x x ，所以 )1(log )1(log x x a a +--)1(log )1(log x x a a +---=0)1(log 2>--=x a ．〔2〕当10<<a 时，因为 11,110>+<-<x x 所以 )1(log )1(log x x a a +--)1(log )1(log x x a a ++-=0)1(log 2>-=x a ．综合〔1〕〔2〕知)1(log )1(log x x a a +>-．分析2 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号．解法2 作差比拟法．因为 )1(log )1(log x x a a +--a x a x lg )1lg(lg )1lg(+--=[])1lg()1lg(lg 1x x a+--=[])1lg()1lg(lg 1x x a+---=0)1lg(lg 12>--=x a，所以)1(log )1(log x x a a +>-．说明：解法一用分类相当于增设了条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质〔换底公式〕也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快．典型例题二例2 设0>>b a ，求证：.abba b a b a >分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式．证明：b a a b ba ab b a b a b aba b a ---=⋅=)( ∵0>>b a ，∴.0,1>->b a ba∴1)(>-b a b a . ∴a b ba ba b a .1> 又∵0>abb a ， ∴.abba b a b a >.说明：此题考查不等式的证明方法——比拟法(作商比拟法).作商比拟法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小.典型例题三例3 对于任意实数a 、b ，求证444()22a b a b ++≥〔当且仅当a b =时取等号〕分析这个题假如使用比拟法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有4()2a b +，展开后很复杂。