统计热力学-波尔兹曼方程
热力学统计 第七章玻尔兹曼统计
al !
al lal ln ln N ! N ln N al ln al ! l l l x 1 ln x ! x ln x x S k ln S
0
设＝1时，S＝0 S0＝0
ln Z S Nk (ln Z )
2.内能U与广义力Y的统计表达式
2.1 内能U的统计表达式
N N l U al l ll e Z Z l l N Z ln Z N Z
e l l
N al l e l Z Z l e l
配分函数Z ：
l
Z l e l
l
分布在能级l 的粒子数：
N al l e l Z
已知（l, l），可求Z——并不容易！
经典粒子： 配分函数Z ：
Z l e l
l
Z e
( q . p )
dqdp e D( )d r h
积分因子：
如果 X ( x, y )dx Y ( x, y )dy 不是全微分，但存在函数 ( x, y ) ，使得
( x, y ) X ( x, y )dx ( x, y )Y ( x, y )dy 为全微分， 即
( x, y ) X ( x, y )dx ( x, y )Y ( x, y )dy ds ( x, y )
S k ln
满足经典极限的非定域系统：
ln
l
la
l
al !
al S k N ln N al ln l l
S0
lal al ln ln N ln N al ln ln N ! l l al ! l
物理学中的玻尔兹曼方程
物理学中的玻尔兹曼方程玻尔兹曼方程是经典统计物理学中的重要方程之一，它描述了气体分子在空间和速度上的分布。
玻尔兹曼方程被广泛应用于热力学、流体力学、材料科学等领域。
1. 玻尔兹曼方程的起源玻尔兹曼方程最初是由奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼于1872年提出的。
当时，玻尔兹曼正致力于研究气体分子的运动规律和热力学性质。
他的主要发现之一就是热力学中经典理论所预测的热力学定律与实验结果之间存在较大差距，这被称为“热力学危机”。
为了解决这个难题，玻尔兹曼开始研究分子运动的微观机制。
他提出了一个基于分子碰撞的分子运动模型，并在此基础上推导出了玻尔兹曼方程。
2. 玻尔兹曼方程的含义玻尔兹曼方程描述了气体分子在空间和速度上的分布。
它的形式可以表示为：∂f/∂t + v·∇f + F/m·∇v f = J[f]其中，f(v, r, t)是分子速度、位置和时间的单粒子分布函数；∇f 可以看做是分子速度和位置的梯度；J[f]是粒子间碰撞造成的时间演化。
这个方程包括了分子在空间中受到的力的影响，也考虑到了分子间的碰撞对分布函数的影响。
它是分子动力学模拟和气体动力学中的一个关键方程。
3. 玻尔兹曼方程的应用玻尔兹曼方程被广泛应用于热力学、流体力学、材料科学等领域。
它可以用来描述分子在经典力学框架下的运动和相互作用，从而进一步研究气体的宏观性质。
例如，在热力学中，玻尔兹曼方程用于计算气体的温度、密度和压强等物理量。
在流体力学中，它可以用来描述流动液体和气体的速度场和相关的力学运动。
在材料科学中，玻尔兹曼方程可以帮助研究材料中分子的行为和相互作用。
4. 玻尔兹曼方程的挑战尽管玻尔兹曼方程在热力学、流体力学、材料科学等领域得到了广泛应用，但它也面临着一些挑战和限制。
例如，玻尔兹曼方程无法描述非线性和强耗散的现象，且它对初值和边界条件较为敏感。
此外，由于玻尔兹曼方程中包含了分子之间的碰撞，因此它的计算机模拟也需要耗费大量的计算资源和时间。
热力学与统计物理教案：第七章 玻尔兹曼统计
非简并性条件 e 1 愈容易满足。
一般气体在常温，常压下 e 104 ，满足非简并性条件，可用玻尔兹曼统计。
1
1
e
1
，也可改写为
V N
3
h
1 2 mkT
2
（*）
分子的德布罗意波长 h h ， 理解为分子热运动的平均能量 ~ 3 kT （可由以后的
al
N el Z1
l h0r
式中的 h0r 与配分函数 Z1 所含的 h0r 相互抵消，与 h0 无关。
一个粒子的运动状态处于 l 的概率：
68
Pl
al N
1 el Z1
l h0r
A
l
Pl Al
1 Z1
l
Al el
l h0r
1 Z1
Ae d h0r
U
N
ln Z1 及 Yi
N
yi
ln Z1 与 h0
第七章 玻尔兹曼统计
§7.1 热力学量的统计表达式
1、 配分函数
配分函数是统计物理中最重要的热力学特性函数，知道了它，就可以得到平衡态系统的所
有热力学量。
系统的总粒子数 N
al
e l l
e
el l
l
l
l
令 Z1
el l
l
【对单粒子能级求和】
es
【对单粒子量子态求和】
s
称为（单粒子）配分函数，则
N
!
由于 F 与 S 有关，从而与微观状态数有关，所以对于两种系统得出不同的结果。
经典近似
由量子玻尔兹曼分布 al
l e l
和经典玻尔兹曼分布 al
e l
l h0r
第七章玻耳兹曼统计教案分析
第七章玻⽿兹曼统计教案分析热⼒学与统计物理课程教案第七章玻⽿兹曼统计 7.1 热⼒学量的统计表达式⼀、定域系统的内能、⼴义⼒和熵统计表达式在§6.8说过,定域系统和满⾜经典极限条件的玻⾊系统都遵从玻⽿兹曼分布。
本章根据玻⽿兹曼分布讨论这两类系统的热⼒学性质。
本节⾸先推导热⼒学量的统计表达式。
内能是系统中粒⼦⽆规则运动总能量的统计平均值.所以 ∑∑--==lβεαl l ll l l e ωεεa U ①引⼊函数1Z :∑-=lβεl l e εZ 1 ②名为粒⼦配分函数。
由式∑--=lβεαl l e ωN ②，得：1Z e e ωe N αlβεl αl ---==∑ ③上式给出参量α与N 和1Z 的关系,可以利⽤它消去式①中的α。
经过简单的运算,可得：11ln Z βZ N e ωβe e ωεe U l βεl αl βεl l αll ???? ????-=???? ????-==∑∑---- ④式④是内能的统计表达式。
在热⼒学中讲过,系统在程中可以通过功和热量两种⽅法与外界交换能量。
在⽆穷⼩过程中，系统在过程前后内能的变化dU 等于在过程中外界对系统所作的功W d 及系统从外界吸收的热量Q d 之和：Q d W d dU +=。
如果过程是准静态的, W d 可以表达为Ydy 的形式,其中dy 是外参量的改变量,Y 是外参量y 相应的外界对系统的⼴义作⽤⼒。
粒⼦的能量是外参量的函数。
由于外参量的改变,外界施于处于能级l ε的⼀个粒⼦的⼒为yεl。
因此，外界对系统的⼴义作⽤⼒Y 为： 11ln 11Z y βN Z y βe e ωy βe e ωy εa y εY αl βεl αβεαl ll l ll l l ??-=-= -===-----∑∑∑⑤式⑤是⼴义作⽤⼒的统计表达式。
它的⼀个重要例⼦是：1ln Z VβN P ??=在⽆穷⼩的准静态过程中,当外参量有dy 的改变时,外界对系统所作的功是：l ll l llεd a a y εdy Ydy ∑∑=??= 将内能∑=ll l εa U 求全微分,有：l ll ll l da εεd a dU ∑∑+=上式指出,内能的改变可以分成两项，第⼀项是粒⼦分布不变时由于能级改变⽽引起的内能变化，第⼆项是粒⼦能级不变时由于粒⼦分布改变所引起的内能变化。
热力学中的理想气体和玻尔兹曼方程
热力学中的理想气体和玻尔兹曼方程热力学是一门研究能量转化和宏观物质行为的学科。
在热力学中，理想气体是一个重要的概念，它是指在特定条件下的气体，其分子之间的相互作用可以忽略不计。
理想气体是一种理论模型，通过对其进行分析可以帮助我们理解和解释气体的行为。
理想气体的特点是分子运动自由，分子之间的相互作用力可以忽略。
这使得理想气体的研究相对简单，而且可以通过一些基本的假设和方程来描述和计算。
其中最重要的方程就是理想气体状态方程，也被称为状态方程或爱利奥特方程。
该方程的表达形式为PV=nRT，其中P代表气体的压力，V代表气体的体积，n代表气体的物质的量，R为气体常数，T代表气体的温度。
这个方程描述了理想气体的状态，可以用来计算气体的性质。
根据理想气体的状态方程，我们可以推导出理想气体的其他一些基本性质。
例如，理想气体的压力与温度成正比，即当温度升高时，理想气体的压力也随之升高。
此外，理想气体的体积与温度成反比，即当温度升高时，理想气体的体积减小。
这些性质使得理想气体在实际应用中具有广泛的用途，例如在工业生产和科学研究中的气体压缩、空气调节和密封材料等方面都会使用到理想气体的理论。
除了理想气体的研究外，热力学中还有一个重要的概念是玻尔兹曼方程。
玻尔兹曼方程描述了气体分子在统计力学性质下的运动规律。
根据玻尔兹曼方程，气体分子的速度和位置是随机的，但是在大量分子的集体作用下，可以出现相对稳定的宏观行为。
这种微观和宏观的联系是热力学研究的关键之一。
玻尔兹曼方程的描述涉及到统计力学的一些概念，例如分子的能量分布和碰撞频率等。
通过对这些概念的分析和计算，我们可以得到气体的性质和行为。
玻尔兹曼方程用来解释气体的平衡态和非平衡态，并提供了一种理论框架来解释热力学现象，例如热传导、扩散和粘滞等。
热力学中理想气体和玻尔兹曼方程是两个重要的概念，它们在解释气体行为和性质方面起着关键的作用。
理想气体的研究使得我们可以通过一些简化的假设和方程来描述和计算气体的状态和性质，而玻尔兹曼方程则提供了一种统计力学的框架来解释气体分子之间的相互作用和行为。
玻尔兹曼统计
)(V
b)
RT
范德瓦尔斯方程
V (T, P) V0(T0,0)[1(T T0) P]
简单固体和液 体的状态方程
f (T, H , M ) 0
如:
C M
T Tc
居里 - 外斯定律, 顺 磁系统的状态方程.
当磁介质内部出现自发磁化时, 系统的一种可能的状态方程.
② 根据热力学的理论: 只要了解了系统的状态方程, 就利用
§1 热力学量的统计表达式 §2 理想气体的物态方程 §3 能量均分定理 §4 理想气体的内能与热容量 §5 理想气体的熵
§1 热力学量的统计表达式
一、系统的内能:
内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值.
对近独立子系有: U
all
e l ll
其配分函数:
l
l
Z
el l
N
lA
A
lA )alA
l
( ln
alB
lB
B
lB )alB
0
由此可知联合系统的最概然分布应满足:
ln
alA
lA
A
lA
0
ln
alB
lB
B
lB
0
alA
NA ZA
e
A l
A
l
alB
NB ZB
e
B l
B
l
这就是两个互为热平衡的系统达到平衡态时的分布情况.
可见: 处于热平衡的两个系统, 它们中的值是相同的.
2)的应用。
§4 理想气体的内能与热容量
一、 初步分析:
1、单粒子的能量: 平动能量t, 转动能量r, 振动能量v.
t r v
第五章 玻耳兹曼统计
i
哪个相格与另一个粒子处于哪个相格是互相独立的。
16
(7) 推导玻耳兹曼分布的方法 发现W的极大值较麻烦，转向求ln W的极大值，因为
ln W是关于W的单调函数，所以两者是等价的，总数为N的
粒子如何往相格数等于Gi的 i能级上投放, 能够导致系统的
微观状态数极大，则即为平衡态分布。
求ln W在约束条件( Ni N和 i Ni E)下的极值，
U (qi )
( ) ... dq1dq2 dqr dp1 dp2 dpr
H ε
等能面就像 “洋葱”
在
等
能
X
面 上
√
画
格
子？
10
【例题5.1】处于边长为L的立方容器内由单原子分子组成
的理想气体，粒子的能量表示为：
H
1 2m
p
2 x
p
2 y
p
2 z
解：根据相体积定义H 等能面所维的相体积是
李政道语：统计力学是理论物理中最完美的科目之一，因为 它的基础假设是简单的，但它的应用却十分广泛。
1
3. (平衡态)统计物理的基本任务是什么？ 定义取平均值的严格方法，首先从微观状态 数出发，计算系统在一个态的概率，在一定 条件下计算均匀物性系统的状态方程和热力 学函数。因此它是连接微观和宏观的桥梁。
第七章 玻尔兹曼统计
1 宏观热力学量的统计表达式
1.1 单粒子配分函数 Z1 及其与参数 α 的关系
粒子数约束
N
al
w e l l
e
wl el
l
l
l
定义单粒子配分函数 Z1 为 Z1 wlel l
N e Z1 或
e N Z1
• 配分函数是统计物理的重要概念，甚至可以说是统计物理 的核心概念。如果知道某个系统的配分函数随热力学参量 （如温度 T ，压强 p 或体积 V ）的函数，系统的物理量 都可以表达成为配分函数对某个参量的一次或高阶次偏微 分。
N
d
(
f1
)
(df1
f1d
)
Nd
f1
f1
(N const.)
即 也是 Q 的积分因子
概据微分方程关于积分因子的理论（参阅汪志诚书附录）：
当微分方程有一个积分因子时，它就有无穷多个积分因 子，任意两个积分因子之比是 S 的函数（dS 是用积分因
子乘以变分 Q 后所得的完整微分）。
即有 1 k(S) 1
2.1 单粒子平均量与系统的宏观平均量的关系 由于整个系统是近独立系统
系统内能：U N : 一个粒子的平均能量
系统压强：p N p p : 一个粒子对器壁的压强贡献
2.2 近独立粒子玻尔兹曼系统的单粒子统计行为
微观状态由 μ 空间 (x, y, z, px , py , pz )的相格描述。
1
若将
V 3 N
理解为气体中分子的平均距离：d ave
，
则经典极限条件可以表述为：
d thermal _ ave
ave
若令 n N V
，则经典极限条件可以表述为：
第七章节-玻尔兹曼统计
在准静态过程中,系统从外界所吸收的热量等于 粒子在各能级重新分布所增加的内能. 根据热力学第二定律
dQ不是全微分，与过程有关，有一积分因子， 除以T后得全微分dS,dS是全微分
BEIJING NORMAL UNIVERSITY
BEIJING NORMAL UNIVERSITY
积分因子
熵的统计表达式
3 U = NkT 2
BEIJING NORMAL UNIVERSITY
麦克斯韦速度分布律
讨论气体分子作无规热运动时，气体分子质心的平移 运动速度所表现出来的统计分布规律。 一、麦克斯韦速度分布律 1859年，麦克斯韦在研究分子相互碰撞作无规则运 动时，得到了气体分子按其质心速度分布的统计规律 麦克斯韦速度分布律
物态方程
∂ ln Z 注：也可直接利用公式 p = NkT 计算 ∂V
⎛ ∂F ⎞ S = −⎜ ⎟ ⎝ ∂T ⎠V
2πmk 3 3 3 = Nk ln V + Nk ln 2 + Nk ln T + Nk 2 h 2 2
3 = Nk ln V + Nk ln T + S 0 2
BEIJING NORMAL UNIVERSITY
熵的统计表达式，Boltzmann 关系
BEIJING NORMAL UNIVERSITY
由于
特性函数，自由能
量子情况下，粒子不可分辨性带来的差别
BEIJING NORMAL UNIVERSITY
计算单原子分子理想气体的熵：
3 3 2πmkT S = Nk + Nk ln V + Nk ln( ) 2 2 2 h
(ⅰ)系统在热力学过程中的规律 (ⅱ)系统的基本热力学函数
玻尔兹曼关系式
玻尔兹曼关系式玻尔兹曼关系式，也称为玻尔兹曼方程或玻尔兹曼定理，是描述热力学系统中熵的增加的基本方程之一。
它由奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼于1877年提出，是热力学第二定律的数学表述。
本文将从玻尔兹曼关系式的推导、含义及应用等方面进行阐述。
一、玻尔兹曼关系式的推导在热力学中，熵是一个非常重要的物理量，它是描述系统无序度的量。
玻尔兹曼关系式是将熵的增加与系统微观状态的变化联系起来的方程。
在玻尔兹曼关系式的推导中，需要引入两个重要的概念：微观状态和宏观状态。
微观状态是指系统中每个粒子的位置、速度、能量等具体的物理量，是描述系统的最基本的状态。
而宏观状态则是指系统的整体性质，如温度、压力、体积等，是由微观状态决定的。
在热力学中，我们通常只关注宏观状态，而忽略微观状态的具体变化。
根据热力学第二定律，系统的熵总是趋向于增加，即系统总是向着更加无序的状态演化。
这可以用统计力学的方法来解释。
我们假设系统中有N个粒子，每个粒子有若干种不同的微观状态，总共有W种不同的微观状态。
我们定义每个微观状态的概率为P，它表示系统处于该状态的概率。
由于系统总是向着更加无序的状态演化，因此我们可以得到：ΔS = klnW其中，ΔS表示系统的熵增加量，k表示玻尔兹曼常数，lnW表示系统微观状态数的自然对数。
接下来，我们考虑系统的微观状态如何发生变化。
假设系统中某个粒子发生了碰撞，其速度和能量发生了变化，从而导致系统微观状态的变化。
这种变化是随机的，因此我们需要将微观状态的变化描述为概率过程。
假设某个微观状态i可以转化为另一个微观状态j的概率为Pij，那么系统从状态i转移到状态j的概率为PijPi。
因此，系统从状态i转移到状态j所对应的熵变为：ΔSi→j = -kln(PijPi)根据热力学第一定律，系统的能量守恒，因此系统的能量在微观层面上也必须守恒。
即某个微观状态i的能量Ei必须等于转化为另一个微观状态j的能量Ej。
统计物理学中的玻尔兹曼方程分析
统计物理学中的玻尔兹曼方程分析统计物理学是一门研究宏观物质性质和微观粒子行为之间关联的学科。
而在统计物理学中，玻尔兹曼方程是一种重要的工具，用于描述多粒子系统的宏观状态。
本文将重点讨论玻尔兹曼方程的分析和应用。
玻尔兹曼方程最初由奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼于1872年引入，它描述了粒子的分布函数在时间和空间上的演化。
分布函数是一个在相空间中定义的函数，描述了不同位置和动量的粒子数目。
在热力学平衡下，粒子分布服从麦克斯韦-玻尔兹曼分布律，而玻尔兹曼方程则描述了系统从非平衡态演化到平衡态的过程。
玻尔兹曼方程的形式可以表示为：$$\frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla_x f = \left(\frac{\partialf}{\partial t}\right)_{\text{coll}}$$其中，$f$是分布函数，$\mathbf{v}$是粒子速度，$x$是位置，$\nabla_x$是位置梯度算符，$\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{\text{coll}}$表示碰撞项。
这个方程的左侧描述了粒子在空间中的移动，右侧描述了由于碰撞引起的速度分布的变化。
在分析玻尔兹曼方程时，一种常用的方法是使用玻尔兹曼方程的一维简化形式，即Boltzmann equation in the relaxation time approximation (RTA)，也称为Boltzmann equation with the BGK collision operator。
RTA假设碰撞实际上是一个粒子速度分布函数的指数衰减过程，通过引入碰撞时间常数，使方程更易求解。
玻尔兹曼方程的解决方案一般采用分布函数的累积方式，即将问题转化为求解分布函数的一组守恒方程。
这些守恒方程将分布函数的瞬态行为与宏观观测值联系起来，比如粒子数密度、动量和能量等。
玻尔兹曼方程求解
玻尔兹曼方程求解
玻尔兹曼方程是一个用来描述气体分子动量分布和时间演化的偏微分方程。
该方程是经典统计物理中的一个重要工具，可以用来研究分子在热力学系统中的行为。
以下是玻尔兹曼方程的求解过程：
假设我们有一个包含N个分子的理想气体，每个分子具有质量m。
我们设
f(r,p,t)为时间t时，位于坐标r和动量p的分子的概率密度。
玻尔兹曼方程可以表示为：
∂f/∂t + v·∇f - ∇(U·f) - f·∇U = 0
其中v=p/m是分子的速度，U(r)是分子所受到的势能。
这个方程是一个连续时间随机过程的Liouville方程的变体。
为了求解这个方程，我们需要一些初始条件和边界条件。
通常，初始条件可能是所有分子在初始时刻位于某个固定的点，而边界条件则可能取决于系统的边界条件。
求解玻尔兹曼方程的过程通常需要使用数值方法，例如有限差分法、有限元法或者谱方法等。
这些方法可以将连续的时间和空间离散化，并将偏微分方程转化为一个线性或者非线性代数方程组。
然后可以使用各种数值求解算法（例如牛顿法、雅可比迭代法等）来求解这个代数方程组。
需要注意的是，由于玻尔兹曼方程是一个偏微分方程，因此求解过程可能会受到数值不稳定性的影响。
为了解决这个问题，需要对离散化的方法和时间步长进行适当的选取和调整。
总之，求解玻尔兹曼方程是一个复杂而耗时的过程，需要使用数值方法和计算机程序来实现。
然而，这个过程对于理解气体分子的动力学行为和热力学系统的性质具有重要的意义。
热力学统计物理玻耳兹曼统计
义
粒子处在该
能级的几率
有效状 态数
al
N Z1
l
e
l
al
el l
N
Z1
el l el l
玻耳兹
曼因子 粒子总是优先占据较低能级；温度升高，占 据该能级的几率增大。
Z1——有效状态和 一个粒子所有可能达到的有效状态的总和。
热统 西华大学 理化学院
6
f e s
l 能量为εl的一个量子态s上的平均粒子数
p
3.粒子配分函数的经典表达式
处元于内能层的l 粒l内子，数运为动：状态处于相体积
al
l
h0r
fs
l h0r
e l
N Z1
l
h0r
el
l x
Z1
l
el l
h0r
al
N Z1
l
h0r
el
取 l 足够小，求和可化为积分：
Z1
el d
h0r
e ( p,q) dq1dq2 dqr dp1dp2 dpr h0r
l l
FD l l! BE
l
l
l
e l
ln
l l
l
对于满足非兼并条件的处
于平衡态（最可几分布） lnFD lnBE l ln l lnl !
的非定域（玻色、费米） 系统，通过对所对应的系 统微观状态数目取对数， 得到了微观状态数目的对 数ln与系统包含的粒子数
l
l
l ln l l ln l 1
玻尔兹曼、玻色、费米系统之间的关系
玻色粒子，玻色分布
＝
e＋
1
非兼并条件
e》1 l l
费密粒子，费密分布
统计物理必备公式总结归纳
统计物理必备公式总结归纳统计物理是研究宏观系统的统计规律的分支科学，它与微观粒子的运动无关，而是通过统计方法来研究大量粒子的集体行为。
在统计物理学中，公式是理解和描述系统行为的关键工具。
本文将对统计物理中一些必备公式进行总结归纳，以帮助读者更好地理解和应用统计物理。
一、热力学量公式1. 内能U的计算公式：U = 3/2kT其中，U为内能，k为玻尔兹曼常数，T为系统温度。
2. 熵S的计算公式：S = k lnΩ其中，S为熵，k为玻尔兹曼常数，Ω为系统的微观状态数。
3. 自由能F的计算公式：F = U - TS其中，F为自由能，U为内能，T为系统温度，S为熵。
二、热力学过程公式1. 等温过程的工作公式：W = -nRT ln(V2/V1)其中，W为系统所做的功，n为物质的摩尔数，R为气体常数，T 为系统温度，V2和V1为过程中体积的变化。
2. 绝热过程的压强体积关系：P1V1^γ = P2V2^γ其中，P1和P2为过程中的初始和末态的压强，V1和V2为初始和末态的体积，γ为绝热指数。
三、碳氢化合物平均动能公式1. 一维单原子分子平均动能公式：〈E〉 = (1/2)kT其中，〈E〉为平均动能，k为玻尔兹曼常数，T为系统温度。
2. 一维双原子分子平均动能公式：〈E〉 = (1/2)kT + (1/2)kT(1 + 2/3exp(-θ/T))其中，〈E〉为平均动能，k为玻尔兹曼常数，T为系统温度，θ为势能常数。
四、费米-狄拉克分布和玻尔兹曼分布公式1. 费米-狄拉克分布公式：f(E) = 1 / (exp((E-μ)/(kT)) + 1)其中，f(E)为能级E上的费米分布函数，μ为系统的化学势，k为玻尔兹曼常数，T为系统温度。
2. 玻尔兹曼分布公式：f(E) = exp((μ-E)/(kT))其中，f(E)为能级E上的玻尔兹曼分布函数，μ为系统的化学势，k为玻尔兹曼常数，T为系统温度。
五、统计物理中的重要关系公式1. 统计物理中的状态方程：PV = NkT其中，P为系统的压强，V为系统的体积，N为系统中的粒子数，k为玻尔兹曼常数，T为系统温度。
玻尔兹曼公式表达式
玻尔兹曼公式表达式
玻尔兹曼公式是描述理想气体中分子速度分布的公式，它的表
达式如下：
f(v) = 4π (m / (2πkT))^(3/2) v^2 exp(-m v^2 /
(2kT))。
其中，f(v)是速度为v的分子的速度分布函数，m是分子的质量，k是玻尔兹曼常数，T是气体的温度，exp是自然指数函数。
这个公式可以解释理想气体中不同速度的分子数的分布情况。
公式中的指数项exp(-m v^2 / (2kT))表示速度v对应的分子数与
温度T有关，速度越大，指数项越小，分子数越少。
公式中的前面
的系数部分是归一化因子，用来确保整个速度分布函数在所有速度
范围内的积分为1，即表示所有分子的总数。
这个公式的推导基于统计力学和热力学的理论，它可以用来计
算理想气体中分子的速度分布，从而研究气体的性质和行为。
在实
际应用中，玻尔兹曼公式可以用来计算气体的速度分布、平均速度、平均动能等相关参数，对于理解和描述气体的热力学性质具有重要
意义。
总结起来，玻尔兹曼公式是描述理想气体中分子速度分布的公式，通过考虑温度和分子质量的影响，可以计算不同速度的分子数的分布情况。
它是统计力学和热力学的基础之一，对于研究气体的性质和行为具有重要意义。
boltmann方程
boltmann方程Boltzmann方程是研究物理学中粒子统计行为的重要方程之一。
它描述了一个系统中粒子的运动和相互作用，从而揭示了物质的宏观性质和微观粒子之间的关系。
本文将从Boltzmann方程的基本概念、应用领域和未来展望等方面进行阐述，以期帮助读者更好地理解和认识这一重要的物理方程。
让我们来了解一下Boltzmann方程的基本概念。
Boltzmann方程是由奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼在19世纪提出的，它描述了一个系统中粒子的运动和相互作用。
这个方程可以用来研究气体、固体、液体等物质的宏观性质，以及它们在不同温度、压力和密度条件下的行为。
在应用方面，Boltzmann方程被广泛应用于气体动力学、热力学、统计力学等领域。
例如，在气体动力学中，Boltzmann方程可以用来描述气体分子的运动和碰撞，从而研究气体的输运性质和宏观流动行为。
在热力学中，Boltzmann方程可以用来推导出热力学基本关系，并解释物质的热力学性质。
在统计力学中，Boltzmann方程可以用来推导出热力学平衡态下的微观粒子分布函数，从而研究物质的热力学性质和相变行为。
虽然Boltzmann方程在物理学中有着广泛的应用，但是它也存在一些挑战和限制。
首先，Boltzmann方程是一个非线性的偏微分方程，它的求解通常需要借助数值方法和计算机模拟。
其次，Boltzmann方程是基于经典力学和统计力学的理论基础上建立的，它对于微观粒子之间的量子效应和相对论效应并不适用。
因此，在研究高能物理、凝聚态物理和量子物理等领域时，需要借助于量子力学和相对论理论来描述粒子的行为。
然而，随着科学技术的不断发展和进步，人们对Boltzmann方程的研究和应用也在不断深入。
例如，近年来，人们利用Boltzmann方程研究了低温等离子体的输运行为，为等离子体物理学和聚变能研究提供了重要的理论基础。
同时，人们还利用Boltzmann方程研究了纳米材料的输运性质和电子结构，为纳米科技和材料科学领域的发展做出了重要贡献。
boltzmann function方程
Boltzmann function方程是描述粒子能级分布的函数，由奥地利物理学家路德维希·鲍尔兹曼在19世纪提出。
该方程在统计物理学中有着广泛的应用，可以解释气体、固体和液体中粒子的能级分布情况，是研究热力学和热平衡状态的重要工具。
1. 基本概念Boltzmann function方程描述了系统中粒子的能级分布情况，根据这个方程，可以计算出系统中任意能级上粒子的分布概率。
对于处于热平衡状态的系统，粒子的能级分布服从玻尔兹曼分布律。
在热力学中，系统的熵可以通过粒子的能级分布计算得出，Boltzmann function方程在这方面有着重要的应用。
2. 方程表达Boltzmann function方程可以用以下公式表示：\[ f_i = \frac{g_i}{Z}e^{-\frac{E_i - \mu N}{kT}}\]在公式中，\( f_i \)表示第i个能级上粒子的分布概率，\( g_i \)表示第i个能级的简并度（即具有相同能级的粒子数），\( Z \)表示配分函数，\( E_i \)表示第i个能级的能量，\( \mu \)表示化学势，\( N \)表示粒子数，\( k \)表示玻尔兹曼常数，\( T \)表示温度。
3. 实际应用Boltzmann function方程在理论物理和实验物理中有着广泛的应用。
在研究原子、分子和固体物质的能级结构时，可以利用该方程计算出系统中能级的分布情况，从而推导出一些重要的物理性质。
在研究气体分子的能级分布时，可以利用Boltzmann function方程推导出玻尔兹曼分布律，并进一步得出系统的熵和内能。
4. 计算方法在实际计算中，利用Boltzmann function方程可以求解粒子在各个能级上的分布概率。
通过改变系统的温度、粒子数和化学势等参数，可以得到不同条件下系统中的能级分布情况。
这对于理论研究和实验数据的分析具有重要意义。
5. 发展与展望随着理论物理和实验物理的不断发展，Boltzmann function方程在统计物理学中的应用也在不断深化和拓展。
bolzmann方程
bolzmann方程Boltzmann方程是热力学中的一种重要方程，用于描述气体分子的运动规律和能量传递过程。
它是由奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼在19世纪提出的，对于研究气体动力学和统计物理学起到了重要的推动作用。
Boltzmann方程的基本形式如下：∂f/∂t + v · ∇f = Q[f]其中，f是分布函数，描述了气体分子在速度和空间上的分布情况；t是时间；v是分子速度；∇是空间导数算符；Q[f]是碰撞项，描述了分子间的相互作用。
Boltzmann方程的意义在于描述了气体分子的运动规律和能量传递过程。
它可以用来计算气体的输运性质，如粘度、热导率和扩散系数等。
通过求解Boltzmann方程，可以得到气体的分子速度分布函数，从而揭示了气体的统计性质和宏观行为。
为了求解Boltzmann方程，需要考虑碰撞项Q[f]的具体形式。
在Boltzmann方程的右侧，碰撞项Q[f]描述了分子间的相互作用，包括弹性碰撞和非弹性碰撞等。
在弹性碰撞中，分子的动能守恒，而在非弹性碰撞中，还需要考虑能量的交换。
根据具体的气体模型和相互作用势能，可以对碰撞项进行适当的近似和简化，从而得到可求解的Boltzmann方程。
求解Boltzmann方程是一项复杂的任务，通常需要借助数值方法和计算机模拟来进行。
由于Boltzmann方程的维度很高，求解过程需要考虑大量的速度状态和空间坐标，计算量非常庞大。
因此，研究者们提出了各种各样的数值方法和近似方法，如分子动力学方法、碰撞积分方法和Monte Carlo方法等，以便更好地求解Boltzmann方程并获得气体的输运性质。
除了在气体动力学和统计物理学中的应用，Boltzmann方程还在其他领域发挥着重要作用。
例如，在半导体器件中，Boltzmann方程可以用来描述电子的输运行为，从而研究器件的性能和特性。
在等离子体物理学中，Boltzmann方程可以用来揭示等离子体的动力学行为和电离过程。
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1．玻尔兹曼方程 Boltzmann Equation
统计热力 学电教课
之四
系统未达平衡态，其局部可（近似）达平衡 —— 局域平衡． f(0) —— 局域平衡的麦氏分布（与平衡部分整体运 动有关）． 各局域平衡部分通过碰撞相互影响，最后趋向大
平衡：一致的f(0)．
过程是缓慢的，可近似认为
f (0) 0
统计热力 学电教课
之四
统计热力 学电教课
之四
电子电荷 – e , 质量 m , 自旋1/2 , 速度dv 内、单位体积中的电子数
2m3
f
dudvdw
h3
电流密度
J z (e)wn e
fw
2m3
dv
h3
无 外 场 、
平
费密函数
f f (0) 1 emv2 / 2 1
衡 态
J = 0 ，无电流
单位时间由正方“跑入”负方的分子数 dΓ= – fudv 携带动量（沿y方） – mvfudv
正方传给负方的总动量（沿y方） 负方传给正方的总动量（沿y方）
0
mvfududvdw
mvfududvdw
0
相减得
pxy mvfududvdw mnuv uv
稳恒态
f (0) n
t
f n m e 0
3/ 2
m 2kT
(uu0 )2 (vv0 )2 (ww0 )2
2kT
u0、v0、w0 —— 整体运动速度三分量
Boltzmann 积分微分方程
f
t
v
rf
F
vf
(f
v1
f1
f f1 )dv1d
求解困难，应简化之
Boltzmann 的弛豫时间法 ——设想分布函数时间变化率的碰撞贡献项
m
e 3/ 2
m
2kT
u2 (vv0 )2 w2
2kT
代入Boltzmann方程（为简单，考虑无外场情形）有
u f f f (0)
x
0
f (0)
f (1)
u
x
0
速度梯度不大，设
f f (0) f (1)
用 f (0) x
f (0) f (1)
代 f x
解出f（1）代入
f
f (0)
有外场，稳恒态时，假定ƒ 不随坐标变化
εz 对电子单位质量的力
Fz (e) z / m
类粘滞力问题
用 f f (0) f (1)
e z f f f (0)
m w
0
e z f (0) f (1) m w 0
电流密度成为
J z
e 2
z m
0
w
f (0) w
2m3 h3
dv
统计热力 学电教课
第十章 非平衡态统 计简单理论
统计热力 学电教课
之四
§10.3 玻尔兹曼方程 Boltzmann Equation
采用弛豫时间近似(Relaxation time approximation),简 化碰撞贡献计算，从而简化玻尔兹曼积分微分方程，导 出较简便的玻尔兹曼方程. 简要讨论其应用．
Boltzmann Equation Viscous Phenomenon of Gases Electric conductivity of Metals
经τ0时间，分布函数对平衡值偏离减至最初的1/e 粗略认为：τ0——恢复平衡所需时间． 一般τ0 与速度有关，进一步化简，假定为常数． τ0 与两次碰撞间平均时间（频率之倒数）同量级．
玻尔兹曼积分微分方程成为
f
v
f
F
f
f
f (0)
t r v
0
——Boltzmann方程
稳恒态（steady state）
fwohrih"ccaihfsolllireenddtvh,et"siehsnfiuteortipegrBjreaotrtCahiicnloeSiotnai-rnl,stydihtmooduenpcoethvtrtoiheyevretl"ipoatpyrnporteiodndbpurcecteerhtatirieokaeon-msrthooyicfrfoolmmifuqaagsuutthitepderireniharaetlctshloil"euonmwddiu"stcectmoivvpieetryrya, tuousfruesally
f 0 t
v
rf
F
vf
f
f
0
(0)
—— 亦称Boltzmann方程
统计热力 学电教课
之四
**在不均匀、有外 场条件下，细致平 衡原理仍正确。 细致平衡时，漂移 贡献各部分相消而 为零． 在漂移贡献非零时 ，虽细致平衡条件 不满足，但分布不
变—— 稳恒态，
漂移与碰撞贡献相 互抵消．
2．气体粘滞现象 Viscous Phenomenon of Gases
又 lF 1 q 2 ~ 1/T
F /T
1/T
T
高温时与实验相符Leabharlann 统计热力 学电教课之四
R/(R290) 4
统计热力 学电教课
之四
2
R
1
10
T
钾的不同纯度样品之电阻
水
习题：9.3
银 超
导
TC
T
The Nobel Prize in ThePNhoybseliPcrsiz1e 9in8P7hysics 1972 The Nobel Prize in Physics 1913
与 f 对平衡分布f(0)的偏离成正比：
统计热力 学电教课
之四
f f f (0)
t c
0
τ —— 弛豫时间
弛豫时间τ0 的物理意义：
注意到 f(0)/t ≈ 0， 有
t
(
f
f
(0) )c
f
f 0
(0)
f
(v,t)
f
(0)
f
(v,0)
f
(0)
e
t 0
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之四
u0 = w0 = 0, v0 = v0 (x) 沿 x 方向有梯度(图)
以平面x = x0为界 x > x0 正方；x < x0 反方
Newton粘滞定律 单位面积正方作用于负方的
胁强（沿y方的力）
pxy
dv0 (x) dx
η —— 粘滞系数
统计热力 学电教课
之四
统计热力 学电教课
之四
粘滞力的微观机制： 分子交流使动量传递不均衡，表现为粘滞力
mv
2 x
kT
l 0v
nkT l T v
与实验吻合
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之四
3．金属电导率 Electric conductivity of Metals
恒定均匀电场中的金属中电子的输运问题
设电场沿z 方向，场强 εz
根据欧姆定律 J z z
σ —— Electric conductivity
f (1)
f
(0)
0u
f (0) v
dv0 dx
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之四
代入胁强的公式得
pxy
0u
2
v
m
f (0) v
dv0 dudvdw dx
与粘滞定律比较
m 0 dw u 2du v
f (0) v
dv
分部积分
v f (0) v
dv
vf (0)
f
(0) dv
nm 0vx2
之四
0 F
完成积分
Jz
e2
z m
F
w
f (0) w
dw du 2m3 h3
dv
J z
e2 z m
F
f
(0)
2m3 h3
dv
ne2 F m
z
对比Ohm’s定律得电导率 需求弛豫时间，半定量分析
ne2 F m
F lF / vF 与温度无关，但与离子振动相关
离子位移 q 用能均分估 Aq2 2 kT 2