统计热力学-波尔兹曼方程

u0 = w0 = 0, v0 = v0 (x) 沿 x 方向有梯度(图)
以平面x = x0为界 x > x0 正方；x < x0 反方
Newton粘滞定律 单位面积正方作用于负方的
胁强（沿y方的力）
pxy
dv0 (x) dx
η —— 粘滞系数
统计热力 学电教课
之四
统计热力 学电教课
之四
粘滞力的微观机制： 分子交流使动量传递不均衡，表现为粘滞力
统计热力 学电教课
之四
统计热力 学电教课
之四
电子电荷 – e , 质量 m , 自旋1/2 , 速度dv 内、单位体积中的电子数
2m3
f
dudvdw
h3
电流密度
J z (e)wn e
fw
2m3
dv
h3
无 外 场 、
平
费密函数
f f (0) 1 emv2 / 2 1
衡 态
J = 0 ，无电流
f 0 t
v
rf
F
vf
f
f
0
(0)
—— 亦称Boltzmann方程
统计热力 学电教课
之四
**在不均匀、有外 场条件下，细致平 衡原理仍正确。 细致平衡时，漂移 贡献各部分相消而 为零． 在漂移贡献非零时 ，虽细致平衡条件 不满足，但分布不
变—— 稳恒态，
漂移与碰撞贡献相 互抵消．
2．气体粘滞现象 Viscous Phenomenon of Gases
单位时间由正方“跑入”负方的分子数 dΓ= – fudv 携带动量（沿y方） – mvfudv
正方传给负方的总动量（沿y方） 负方传给正方的总动量（沿y方）
0
mvfududvdw
mvfududvdw
0
相减得
pxy mvfududvdw mnuv uv
稳恒态
f (0) n
f (1)
f
(0)
0u
f (0) v
dv0 dx
统计热力 学电教课
之四
代入胁强的公式得
pxy
0u
2
v
m
f (0) v
dv0 dudvdw dx
与粘滞定律比较
m 0 dw u 2du v
f (0) v
dv
分部积分
v f (0) v
dv
vf (0)
f
(0) dv
nm 0vx2
mv
2 x
kT
l 0v
nkT l T v
与实验吻合
统计热力 学电教课
之四
3．金属电导率 Electric conductivity of Metals
恒定均匀电场中的金属中电子的输运问题
设电场沿z 方向，场强 εz
根据欧姆定律 J z z
σ —— Electric conductivity
与 f 对平衡分布f(0)的偏离成正比：
统计热力 学电教课
之四
f f f (0)
t c
0
τ —— 弛豫时间
弛豫时间τ0 的物理意义：
注意到 f(0)/t ≈ 0， 有
t
(
f
f
(0) )c
f
f 0
(0)
f
(v,t)
f
(0)
f
(v,0)
f
(0)
e
t 0
统计热力 学电教课
之四
之四
0 F
完成积分
Jz
e2
z m
F
w
f (0) w
dw du 2m3 h3
dv
J z
e2 z m
F
f
(0)
2m3 h3
dv
ne2 F m
z
对比Ohm’s定律得电导率 需求弛豫时间，半定量分析
ne2 F m
F lF / vF 与温度无关，但与离子振动相关
离子位移 q 用能均分估 Aq2 2 kT 2
又 lF 1 q 2 ~ 1/T
F /T
1/T
T
高温时与实验相符
统计热力 学电教课
之四
R/(R290) 4
统计热力 学电教课
之四
2
R
1
10
T
钾的不同纯度样品之电阻
水
习题：9.3
银 超
导
TC
T
The Nobel Prize in ThePNhoybseliPcrsiz1e 9in8P7hysics 1972 The Nobel Prize in Physics 1913
1．玻尔兹曼方程 Boltzmann Equation
统计热力 学电教课
之四
系统未达平衡态，其局部可（近似）达平衡 —— 局域平衡． f(0) —— 局域平衡的麦氏分布（与平衡部分整体运 动有关）． 各局域平衡部分通过碰撞相互影响，最后趋向大
平衡：一致的f(0)．
过程是缓慢的，可近似认为
f (0) 0
第十章 非平衡态统 计简单理论
统计热力 学电教课
之四
§10.3 玻尔兹曼方程 Boltzmann Equation
采用弛豫时间近似(Relaxation time approximation),简 化碰撞贡献计算，从而简化玻尔兹曼积分微分方程，导 出较简便的玻尔兹曼方程. 简要讨论其应用．
Boltzmann Equation Viscous Phenomenon of Gases Electric conductivity of Metals
有外场，稳恒态时，假定ƒ 不随坐标变化
εz 对电子单位质量的力
Fz (e) z / m
类粘滞力问题
用 f f (0) f (1)
e z f f f (0)
m w
0
e z f (0) f (1) m w 0
电流密度成为
J z
e 2
z m
0
w
f (0) w
2m3 h3
dv
统计热力 学电教课
经τ0时间，分布函数对平衡值偏离减至最初的1/e 粗略认为：τ0——恢复平衡所需时间． 一般τ0 与速度有关，进一步化简，假定为常数． τ0 与两次碰撞间平均时间（频率之倒数）同量级．
玻尔兹曼积分微分方程成为
f
v
f
F
f
f
f (0)
t r v
0
——Boltzmann方程
稳恒态（steady state）
fwohrih"ccaihfsolllireenddtvh,et"siehsnfiuteortipegrBjreaotrtCahiicnloeSiotnai-rnl,stydihtmooduenpcoethvtrtoiheyevretl"ipoatpyrnporteiodndbpurcecteerhtatirieokaeon-msrthooyicfrfoolmmifuqaagsuutthitepderireniharaetlctshloil"euonmwddiu"stcectmoivvpieetryrya, tuousfruesally
m
e 3/ 2
m
2kT
u2 (vv0 )2 w2
2kT
代入Boltzmann方程（为简单，考虑无外场情形）有
u f f f (0)
x
0
f (0)
f (1)
u
x
0
速度梯度不大，设
f f (0) f (1)
用 f (0) x
f (0) f (1)
代 f x
解出f（1）代入
f
f (0)
t
f n m e 0
3/ 2
m 2kT
(uu0 )2 (vv0 )2 (ww0 )2
2kT
u0、v0、w0 —— 整体运动速度三分量
Boltzmann 积分微分方程
f
t
v
rf
F
vf
(f
v1
Leabharlann Baiduf1
f f1 )dv1d
求解困难，应简化之
Boltzmann 的弛豫时间法 ——设想分布函数时间变化率的碰撞贡献项