《探索勾股定理》第二课时教学设计
探索勾股定理 (2) 优质课评选教案
教材：北师大版数学八年级上册第1.1节第一课时授课对象：八年级学生参赛选手：黄琼选手单位：佛山市南海区石门实验学校二〇一二年四月十八日【课题】 1.1.1探索勾股定理【教材】 北师大版八年级数学上册1.1节探索勾股定理 【课时安排】 2个课时.【教学对象】 八年级学生. 【授课教师】 石门实验学校 黄琼 【教材分析】“勾股定理”是在学生研究了三角形的有关概念, 全等三角形和等腰三角形的基础上学习的一个重要定理。
它揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，为第二章引入无理数准备了良好的知识背景。
它紧密联系了数学中两个最基本的量——数与形，能把形的特征（三角形中有一个直角）转化为数量关系（三边之间满足222c b a =+），堪称数形结合的典范，在理论上有着重要的地位，在现实生活中也被广泛应用，被誉为几何史上最灿烂的明珠。
【教学目标】1、知识技能经历探索勾股定理的过程,理解并掌握勾股定理，能运用勾股定理解决一些简单实际问题.2、数学思考(1) 在参与观察、操作、猜想、验证的数学活动中, 发展由特殊到一般的合情推理能力；(2) 学会独立思考，体会数形结合的思想方法. 3、问题解决(1) 初步学会在实际情境中从数学的角度发现问题，并综合运用数学知识和方法解决简单的实际问题，增强数学应用意识；(2) 学会与他人合作交流. 4、情感态度(1)通过自主探索勾股定理，激发学生“再创造”的热情，感受成功的快乐；(2)在运用勾股定理解决问题的过程中，认识数学具有严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。
【教学重点】 勾股定理的探索过程 【教学难点】 用面积法勾股定理定理【教学方法】引导启发、动手探究【教学手段】多媒体平台、PPT 【教学过程设计】一、教学流程设计创设情境设计意图：根据著名心理学家桑代克的试误学习理论中的“准备律”，运用该情境，能够让学生在动机上做好准备，对所学内容产生兴趣，使学生在学习前处于对知识的“饥饿状态”，产生一个心理“缺口”，从而激发学生产生弥合心理缺口的学习动力，将学生自然地引入到新课的学习中，明确本节课的学习内容。
探索勾股定理(2)教案浙教版数学八年级上册
探索勾股定理（2）教案讲授新课 二、提炼概念勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.符号语言： 在△ABC 中， ∵a 2+b 2=c 2（已知） ∴△ABC 是Rt △,且∠C=Rt ∠三、典例精讲例3 根据下列条件，分别判断以a,b,c 为边的三角形是不是直角三角形（1）a ＝7，b ＝24，c ＝25 （2）a ＝23 ，b ＝1，c ＝23解：（1）∵7²+24²=25²，∴以7,24,25为边的三角形是直角三角形。
（2）∵（23）²+ （23）²= 89≠1²也就是较小两边的平方和不等于较大边的平方，∴a,b,c 中任何两边的平方和都不等于第三边的平方∴以23，1，23为边的三角形不是直角三角形，例4.已知△ABC 三条边长分别为a,b,c,且a ＝m 2－n 2，b ＝2mn ，c ＝m 2＋n 2(m>n ，m,n 是正整数)。
△ABC 是直角三角形吗？请证明你的判断。
判断三条线段能否组成直角三角形的方法是：(1)找出最长边；(2)计算较小两边的平方和以及最长边的平方；(3)比较较小两边的平方和是否等于最长边的平方，若相等，则能组成直角三角形，若不相等，则不能组成直角三角形．∵能构成直角三角形．(3)∵a2＋b2＝72＋242＝625，c2＝252＝625，∵a2＋b2＝c2，∵能构成直角三角形．3.在△ABC中，CD是边AB上的高线，BC＝2，CD ＝3，AC＝23，请判断△ABC的形状．解：∵CD是边AB上的高，在Rt△CDB中，BD＝BC2－CD2＝1，在Rt△ACD中，AD＝AC2－CD2＝3，∴AB＝BD＋AD＝4，∵AC2＝(23)2＝12，BC2＝22＝4，AB2＝42＝16，又∵12＋4＝16，即AC2＋BC2＝AB2∴△ABC是直角三角形．课堂小结。
1.1探索勾股定理(第2课时)(教案)
在学生小组讨论环节，我注意到有些小组在分享成果时，表达能力有待提高。为了提高ห้องสมุดไป่ตู้生的表达能力，我计划在今后的课堂中增加一些口语表达训练，如小组内轮流发言、总结观点等，帮助他们更加自信地展示自己的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.提升直观想象与数学建模能力：借助图形和实际案例，培养学生将实际问题转化为数学模型的能力，激发直观想象力。
3.强化数学运算与数据分析能力：在勾股数的寻找与应用过程中，锻炼学生的数学运算能力，学会从数据中提炼规律，解决问题。
4.增强数学应用意识：通过拓展勾股定理的应用场景，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，提高数学素养。
最后，总结回顾环节，我觉得可以让学生更多地参与进来，让他们谈谈自己在本节课中的收获和感悟。这样既能检验学生对知识点的掌握程度，又能提高他们的自我反思能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理的证明、勾股数的识别与应用。
-重点讲解：
-通过多种方法（如几何拼贴、代数计算等）证明勾股定理，强调定理的普适性和重要性。
-识别勾股数，理解其概念，并能举例说明。
《探索勾股定理》第二课时教学设计
第一章勾股定理1．探索勾股定理（二）一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证.学生活动经验基础：学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力；学生在七年级《七巧板》及《图案设计》的学习中已经具备了一定的拼图活动经验.二、教学任务分析本节课是八（上）勾股定理第1节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力，为后面的学习打下基础.三、教学目标1．教学目标● 知识与技能目标掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.● 过程与方法目标在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.● 情感与态度目标在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.2．教学重点用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题.3．教学难点验证勾股定理.四、教法学法1.教学方法：引导——探究——应用.2.课前准备：教具：教材，课件，电脑.学具：教材，铅笔，直尺，练习本.五、教学过程本节课设计了七个教学环节：（一）复习设疑，激趣引入；（二）小组活动，拼图验证；（三）追溯历史，激发情感；（四）例题讲解，初步应用；（五）拓展练习，能力提升；（六）回顾反思，提炼升华；（七）布置作业，课堂延伸.第一环节：复习设疑，激趣引入内容：教师提出问题：（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣.效果：通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望.第二环节：小组活动，拼图验证.内容： 活动1： 教师导入，小组拼图.教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）活动2：层层设问，完成验证一.学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：图2 在此基础上教师提问：（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a+b)2=4×21ab+c 2.并得到222c b a =+）从而利用图1验证了勾股定理.活动3 ： 自主探究，完成验证二.教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？（学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二）意图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.设计活动3，让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐.图1效果：学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重点内容之一，并突破了本节课的难点.第三环节：追溯历史激发情感活动内容：由学生利用所搜集的与勾股定理相关的资料进行介绍.国内调查组报告：用图2验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图.2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！国际调查组报告：勾股定理与第一次数学危机.约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发.据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海.不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”.第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立以后才圆满解决.我们将在下一章学习有关实数的知识.趣闻调查组报告：勾股定理的总统证法.在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形……于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题.他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法.1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.说明：这个环节完全由学生来组织开展，教师可在两天前布置任务，让部分同学收集勾股定理的资料，并在上课前拷贝到教师用的课件中便于展示，内容可灵活安排.ab意图：（1）介绍与勾股定理有关的历史，激发学生的爱国热情；（2）学生加强了对数学史的了解，培养学习数学的兴趣；（3）通过让部分学生搜集材料，展示材料，既让学生得到充分的锻炼，同时也活跃了课堂气氛.效果：学生热情高涨，对勾股定理的历史充满了浓厚的兴趣，同时也为中国古代数学的成就感到自豪.也有同学提出：当代中国数学成就不够强，还应发奋努力.有同学能意识这一点，这让我喜出望外.第四环节：例题讲解初步应用内容：例题：我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方骑车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，骑车与他相距500m，你能帮小王计算出敌方汽车的速度吗？意图：（1）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；（2）体会勾股定理的应用价值.效果：学生对这样的实际问题很感兴趣，基本能把实际问题转化为数学问题并顺利解决.第五环节：拓展练习能力提升内容：一组生活中勾股定理的应用练习，共3道题（1）教材P6练习题1.（2）一个25m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？（3）受台风麦莎影响，一棵高18m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？说明：这一环节设计了3道题，设计时注意了题目的梯度，由浅入深，第一题为书上练习题，学生容易解决，第二道题虽然计算难度不大，但考查学生的实际应用能力，第三道题是应用勾股定理建立方程求解，有一定难度.意图：在例题的基础上进行拓展，训练学生将实际问题转化为数学问题，再运用勾股定理解决问题.效果：小部分学生在完成第二题时，由于欠缺生活常识时，不能准确地理解题意，约有一半同学对第3道题束手无策，主要是缺乏利用勾股定理建立方程求解的这种思路，经同学点拨，教师引导，绝大部分同学最后都能解决这个问题，通过3个小题的训练，总体感觉学生对勾股定理的应用更加熟练，并对勾股定理的应用价值体会更深.第六环节：回顾反思提炼升华内容：教师提问：通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.目的：（1）归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；（2）教师了解学生对本节课的感受并进行总结；（3）培养学生的归纳概括能力.效果：由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性，所以学生谈的收获很多，包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想，学生对勾股定理的历史的感悟及对勾股定理应用的认识等等.第七环节：布置作业，课堂延伸内容：教师布置作业1．习题1．2 T2，32．上网或查阅有关书籍，搜集至少1种勾股定理的其它证法，至少1个勾股定理的应用问题，一周后进行展评.意图：（1）巩固本节课的内容.（2）充分发挥勾股定理的育人价值.六、教学设计反思（1）设计理念在课堂教学中，始终注意了调动学生的积极性.兴趣是最好的老师，所以无论是引入、拼图，还是历史回顾，我都注意去调动学生，让学生满怀激情地投入到活动中.因此，课堂效率较高.勾股定理作为“千古第一定理”，其魅力在于其历史价值和应用价值，因此我注意充分挖掘了其内涵.特别是让学生事先进行调查，再在课堂上进行展示，这极大地调动了学生，既加深了对勾股定理文化的理解，又培养了他们收集、整理资料的能力.（2）突出重点、突破难点的策略勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，我设计了拼图活动，先让学生从形上感知，再层层设问，从面积（数）入手，师生共同探究得到方法1，最后由学生独立探究得到方法2.这样学生较容易地突破了本节课的难点.（3）分层教学根据本班学生及教学情况可在教学过程中选择下述内容进行补充或拓展.附：教学补充习题基础训练1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c =10，则b = ；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a = ，b = .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .3．直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为 .4．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则面积为（ ）． A ．30 cm 2B ．130 cm 2C ．120 cm 2D ．60 cm 2 提高训练5．轮船从海中岛A 出发，先向北航行9km ，又往西航行9km ，由于遇到冰山，只好又向南航行4km ，再向西航行6km ，再折向北航行2km ，最后又向西航行9km ，到达目的地B ，求AB 两地间的距离.6．一棵9m 高的树被风折断，树顶落在离树根3m 之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？知识拓展7．折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处，若AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长.意图：进行分层训练，既满足了不同学生的需求，同时也便于老师及时地了解学生的情况.老师可以根据学生的情况选择上述题目进行练习，也可留作家庭作业.效果：通过分层练习，充分激发学生的学习热情，教师应留给学生充分的时间思考,在独立思考的基础上，鼓励学生相互讨论，得出结果:1.（1）13；（2）8；（3）6，8．2.2.5m ．3.1360cm ． 4.D ．5.25km ．6.4．7.3 cm ． （4）评价方式在教学活动中教师应关注学生在验证勾股定理过程中表现出来的思维水平，应关注学生在应用勾股定理解决问题过程中表现出来的应用能力水平.对于学生的回答教师应给予恰当的评价和鼓励，帮助学生认识自我，建立自信，发挥评价的教育功能.C F。
数学北师大版八年级上册探索勾股定理(第二课时)教学设计
第一章勾股定理探索勾股定理（第2课时）深圳市光明新区实验学校孔晓康一、学情分析学生的知识技能基础：学生在上节课的学习中已经用数格子的办法发现了勾股定理，会用勾股定理解决较为简单的计算题。
但是数格子的办法只是验证了直角边为整数的直角三角形的情况，并没有对一般的直角三角形进行验证。
学生活动经验基础：学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力；学生在活动中学会合作，愿意合作，能够在合作中体验到成功的喜悦。
二、教学目标知识与技能目标：1．掌握勾股定理以及利用拼图验证勾股定理的方法。
2．能应用勾股定理解决一些简单的实际问题.过程与方法目标：1．在拼图的过程中，学习切割拼补的方法，在寻找等量关系的过程中体会同一面积法。
2．经历勾股定理的验证过程，体会数形结合思想，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想。
情感、态度与价值观目标：1．在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.三、教学重难点教学重点：1．利用拼图验证勾股定理的思路和方法2．理解并掌握勾股定理，会用勾股定理解决简单的实际问题。
教学难点： 勾股定理的验证四、教学过程本节课设计了五个教学环节：（一）问题情境；（二）合作探究；（三）拓展练习（四） 课堂小结（五）布置作业第一环节： 问题情境内容：教师提出问题：上节课，我们利用方格纸探究了几个简单的直角三角形，发现这几个直角三角形的三边都存在一种相同的数量关系，大家还记得吗？（请一名学生回答）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+课件展示：（勾股定理：222c b a =+）前面，我们利用方格纸只是解决了几个直角边是整数的特殊情况，如果给你一个任意的直角三角形，比如直角边分别等于a 和b ，（这里不妨假设a ＜b ）斜边为c ，我们还能利用上节课中的这个图说明勾股定理的正确性吗？第二环节：合作探究活动1：现在没有方格纸可用，但是上节课中探究勾股 定理的方法也许仍然有效，同学们可以先试一试。
《探索勾股定理第2课时》示范公开课教学设计【北师大版八年级数学上册】
第一章勾股定理1. 1 探索勾股定理第 2 课时教学设计1.学会应用勾股定理，并领会“数与行”相结合的应用思想.2.经历勾股定理应用的过程，掌握勾股定理的使用方法.3.培养良好的合作、交流意识，发展数学观念，体会勾股定理的实际应用.【教学重点】能熟练应用拼图法证明勾股定理.【教学难点】用面积证勾股定理.四个全等的直角三角形纸片.一、创设情境，引入新知如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧.◆教学目标◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教学过程二、合作交流，探究新知勾股定理的初步认识问题1：观察下面地板砖示意图：你发现图中三个正方形的面积之间存在什么关系吗？问题2：观察右边两幅图：完成下表（每个小正方形的面积为单位1）.方法一：割分割为四个直角三角形和一个小正方形.方法二：补补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.方法三：拼将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.分析表中数据，你发现了什么？结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.想一想（1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b 和斜边长 c 来表示图中正方形的面积吗？根据前面的结论，它们之间又有什么样的关系呢？（2）以5 cm、12 cm为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度.（1）中的规律对这个三角形仍成立吗？勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果a，b和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边那么a2+b2=c2名字的由来我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名.在西方又称毕达哥拉斯定理三、运用新知求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：已知直角三角形两边，求第三边.利用勾股定理进行计算：例求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积.四、巩固新知1. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .2. 判断题①△Rt ABC 的两直角边AB=5, AC=12,则斜边BC=13 ( )②△ABC 的两边a = 6 , b = 8, 则c = 10 ( )3. 填空题在△ABC中, ∠C=90°, AC = 6, CB = 8,则△ABC 的面积为_____,斜边上的高CD 为______.4. 一高为 2.5 米的木梯,架在高为 2.4 米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?五、归纳小结◆教学反思略.。
高效课堂 探索勾股定理(第2课时)》精品教案 (省一等奖)
探索勾股定理〔第2课时〕课题: 探索勾股定理〔第2课时〕教学目标知识与能力：进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
过程与方法：体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
情感态度价值观：激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，鼓励学生发奋学习。
教学重、难点重点：运用勾股定理进行简单的计算和实际运用难点：运用勾股定理进行简单的计算和实际运用学情分析勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的开展和现实世界中有着广泛的作用．本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的根底，充分表达了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。
课前准备多媒体教学过程教师活动学生活动设计意图勾〔1〕你能用直角三角学生尝试总结：勾股定1．让学生归股定理的简单应用形的边长a 、b 、c 来表示上图中正方形的面积吗？〔2〕你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？〔3〕分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？例 如以下图，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下， 树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？练习：1、根底稳固练习：求以以下图形中未知理〔gou-gu theorem 〕：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222c b a =+即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理〞因此而得名。
〔在西方称为毕达哥拉斯定理〕学生独立完成纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力。
2．通过作图培养学生的动手实践能力。
练习第1题是勾股定理的直接运用，意在稳固根底知识。
例题和练习第2题是实际应用问题，表达了数学来源于生活，又效劳于生活，意在培养学生“用数学〞的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容鼓励学生积课堂小结正方形的面积或未知边的长度：2、生活中的应用：小明妈妈买了一部29英寸〔74厘米〕的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？2．对这些内容你有什么体会？请与你的同伴交流。
八年级数学下册《探索勾股定理》教案(2)
课题：探索勾股定理（二）教案教学目标：1．经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。
2．掌握勾股定理和他的简单应用重点难点：重点：能熟练运用拼图的方法证明勾股定理难点：用面积证勾股定理教学过程一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需加以论证，下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形，拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c 为边长的正方形，并与同学交流。
在同学操作的过程中，教师展示投影1（书中p7 图1—7）接着提问：大正方形的面积可表示为什么？（同学们回答有这几种可能：（1）)(22b a （2）2421c ab ）在同学交流形成共识之后，教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。
22b a =2421c ab 请同学们对上面的式子进行化简，得到：22222c ab b aba 即22b a =2c这就可以从理论上说明勾股定理存在。
请同学们去用别的拼图方法说明勾股定理。
二、讲例例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机飞到一个男孩头顶正上方4000多米处，过20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？分析：根据题意：可以先画出符合题意的图形。
如右图，图中△ABC 的4000,90AC c 米，AB=5000米，欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道飞机在20秒的时间里的飞行路程，即图中的CB 的长，由于直角△ABC 的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样的CB 就可以通过勾股定理得出。
这里一定要注意单位的换算。
解：由勾股定理得千米）(94522222AC AB BC 即BC=3千米飞机20秒飞行3千米，那么它1小时飞行的距离为：小时）千米/(5403203600答：飞机每个小时飞行540千米。
探索勾股定理教案
探索勾股定理〔 2〕课型新授课知识与 1.掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法.2.运用勾股解决一些实际问题 .教能力学过程与目方法标情感态度1.学会用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力.2.在拼图过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识.利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大奉献 . 借此对学生进行爱国主义教育 . 并使学生在拼图的过程中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣 . 进一步体会数学的地位和作用。
与价值观教学勾股定理的证明及其应用.重点教学勾股定理的证明难点教学方法教学用具板书设计1、教师引导和学生自主探索相结合的方法.2、在用拼图的方法验证勾股定理的过程中. 教师要引导学生善于联想，将形的问题与数的问题联系起来，让学生自主探索，大胆地联系前面知识，推导出勾股定理，并自己尝试用勾股定理解决实际问题 .一张硬纸板、剪刀、直尺、课件§探索勾股定理 ( 二 )由上图可得 c2=1ab×4+( b－a)2一、用拼图法验证勾股定理222；2即 a+b =c2、议一议3、例题讲解4、稳固练习5、课时小结由上图得 ( a+b) 2=1ab× 4+c22即 a2+b2=c2教学过程教师活动引入：上节我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容：1、拼一拼〔通过课件出示〕(1)在一张硬纸板上画 4 个如右图所示全等的直角三角形 . 并把它们剪下来 .(2)用这 4 个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边 c 为边长的正方形，并与同学们交流。
教师在学生拼图的过程中提问：你们拼出了几种符合要求的大正方形？并思考每种大正方形的面积可表示为什么？在同学交流形成共识后老师找同学到投影仪前摆放：〔学生会有两种摆放形式，找两个同学演示〕［生］我拼出了如下列图所示的图形，中间是一个边长为 c 的正方形.观察图形我们不难发现，大的正方形的边长是( a+b). 我们可以用两种方法表示这个大正方形的面积。
勾股定理第二课时教学设计
例2、在垂直于地面的墙上2米的A点斜放一个长2.5米的梯子,由于不小心,梯子在墙上下滑0.5米,求梯子在地面上滑出的距离BD的长度.
此题要通过观察物体的运动变化，从而找到有用的条件，解决问题。有利于发展学生观察、分析的能力。
这是勾股定理和三角形面积的综合运用。让学生自主观察、分析、归纳总结得到求直角三角形斜边上的高的方法，发展学生的综合能力。
反馈练习：
1.在ABC中,∠C=90°,AC=6,CB=8,
则斜边为上的高是多少？
2、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是（）
A、6厘米；B、8厘米；
C、 厘米；D、 厘米；
4、已知在△ABC中，∠A=90°，a=13, b=12.求c的长？
5、如图，为了求出位于湖两岸的两点A、B之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好是直角三角形。通过测量,得到AC长160米,BC长128米。问：从点A穿过湖到点B有多远？
1、2两题主要是对勾股定理内容的复习，加深学生对勾股定理使用的前提条件：直角三角形中；
这是对例3的巩固练习，进一步加深学生对总结出的结论的运用。从而也让学生认识到：数学学习要学会不断地总结，完善自己的知识系统，才能够真正的掌握、活用。
拓展练习：
思考：蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）
可以让学生自己去思考如何构建图形，找到解决问题的方法。也让学生总结求线段长的另一种基本方法：构建直角三角形。
反馈练习：
在波平如镜的水面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面1米，一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离是是2米，则这里的水深是多少米？
探索勾股定理第二课时 教案 3.doc
课型 新授教学目 标 重点和难点 引导学生大 胆联想，将 形与数的问 题联系起 来.鼓励学 生大胆的拼 摆，只要符 合要求，教 师都应予以 鼓励，然后 在小组内交 流，同时提 示学生根据自己拼出的 图形，联系 （研/力』疽+2 &就推证方 法说明勾股 定理探索勾股定理（二）十果题 探索勾股定理（二） （一） 教学知识点 1.掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法.2.运用勾股解决一些实际问题.（二） 能力训练要求 1.学会用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新 能力和解决实际问题的能力.2.在拼图过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数 形结合的意识. 教学重点勾股定理的证明及其应用. 教学难点勾股定理的证明.教具准备 投影片师 生 活 动 过 程 设计意图【•创设问题情景，引入新课上一节课我们已经通过数格子通过一些特例大胆地猜想出了勾 股定理.同时又利用一些特例验证了勾股定理，但我们注意到我们不 可能拿所有的直角三角形一一验证，靠一些特例归纳、猜想出来的 结论不一定正确.因此我们需要用另一种方法说明直角三角形三边的 关系. 讲授新课1. 拼一拼出示投影片（§ 1.2.2A ）（1）在一张硬纸板上画4个如右图所示全等的直角三角形.并把它们剪下来.Q（2）用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看一、能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？观察图形我们不难发现，大的正方形的边长是（。
+人）.要利用这个图说明勾股定理，我们只要用两种方法表示这个大正方形的面积即可.这是一个实 际应用问 题，经过分 析，问题转 化为已知两 边求直角三 角形第三边 的问题，这 虽是一个一 元二次方程 的问题，学 生可尝试用学过的知识 来解决.同 时注意，在 此题中小孩 是静止不动 的.大正方形面积可以表示为：(。
+人)\又可以表示为：-abX4+(b-a).2对比这两种表示方法，可得出c 2=-abX4+(b-a).化简、整理得2c 2=a 2+b 2.因此我们得到了勾股定理.2. 议一议前面我们讨论了直角三角形三边满足的关系.那么锐角三角形或 钝角三角形的三边是否也满足这一关系呢？3. 例题讲解飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方 4800米处，过了 10秒后，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每 小时飞行多少千米？解：根据题意，得 RtZVlBC 中，ZC=90° , AB=5000 米，AC=4800 米.由勾股定理，得 AB 2=AC 2+BC 2.即 50002=5C 2+48002,所以 BC=14(X) 米.飞机飞行1400米用了 10秒，那么它1小时飞行的距离为1400 X6X60=504000米=504千米，即飞机飞行的速度为504千米/时.m.课时小结这节课，我们用拼图的方法验证了勾股定理，并运用勾股定理 解决了生活中的实际问题.课堂练习：课后习题作业：作业本利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献.借助对学生 进行爱国主义教育.并在拼图的过程中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴 趣.。
探索勾股定理(第2课时)教学设计
序号：59
1. 探索勾股定理（第2课时）
一、复习目标分析
1.掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.
2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.
二、复习重难点
重点：用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题。
难点：应用勾股定理解决简单的实际问题。
三、复习过程
1.议一议:观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2
2.一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3:4，求两直角边的长。
回顾反思提炼升华
内容：教师提问：通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.
目的：（1）归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；（2）教师了解学生对本节课的感受并进行总结；（3）培养学生的归纳概括能力.
效果：由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性，所以学生谈的收获很多，包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想，学生对勾股定理的历史的感悟及对勾股定理应用的认识等等.
第五环节：布置作业，课堂延伸
内容：教师布置作业
1．单元测试卷 1．2 1，2，3
四、教学反思
勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，我设计了拼图活动，先让学生从形上感知，再层层设问，从面积（数）入手，师生共同探究得到方法。
有些学生理解起来会缓慢一些，要给与学生更多的耐心。
五、板书设计。
探索勾股定理2教学设计
（1）你能利用图 2 验证勾股定理吗？（提示：利用图 1 的验证 （ 1）让学生利用另一个拼图独立 方法来独立解决） 自主尝试 功的快乐. （2）请一个小组同学演示讲解验证方法。
图2
验证勾股定理的目的是让学生再 次体会数形结合的思想并体会成
（ 2）培养学生的类比迁移及探索 问题的能力。
（1）通过以上的两种验证，你是怎么利用拼图的方法得到勾股 定理的？（提问学生） 小 结 （2）我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来， 目的是让学生回顾过程，体会方 法，最后老师帮助学生归纳方法，
小组合作
a b
c
铺垫，同时也培养学生的动手、创 新能力。 （ 2）通过小组合作，培养学生合 作精神和表达能力。
（2）学生通过小组讨论可能得到下面两个图形： （若学生没能得出图形，老师通过几何画板演示给学生看）
（ 3）考虑学生能力水平有限，万 一学生得不出图形来，在这里老师 可以用准备好的课件示范给学生
例 1：我方侦察员小王在距离东西向公路 400 米处侦察，发现一 问题，培养学生应用数学的意识和 学以致用 辆敌方汽车在公路上疾驶。他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与 能力； 他相距离 400 米，10 秒后，汽车与他相距离 500 米，你能帮小玉 （2）体会勾股定理的应用价值。 计算敌方汽车的速度吗？ （ 3）通过例题的讲解，规范学生
1、如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区 在例题的基础上进行拓展，训
拟修建一条连接 M、O、Q 三城市的沿江高速，已知沿江高速的建 练学生将实际问题转化为数学问 设成本是 100 万元/千米，该沿江高速的造价预计是多少？ 巩固练习 题，再运用勾股定理解决问题.
（1）通过这节课的学习，你有什么样的收获？学生共同畅谈收 （ 1）归纳出本节课的知识要点， 获。 课堂小结 （2）在验证勾股定理的过程中，我们运用了什么方法？ （3）在利用拼图验证勾股定理时，抓住什么等量关系？ （4）利用勾股定理解决问题时，格式是怎么样的？ 数形结合的思想方法； （ 2）教师了解学生对本节课的感 受并进行总结； （3）培养学生的归纳概括能力. （1）巩固本节课的内容。 （ 2）充分发挥勾股定理的育人价 值。 （1）课本 P11 知识技能 1、数学理解 2（必做） （3）培养学生提前预习的习惯。 作业布置 （2）同步伴读：P2 3、4（必做）；5（选做） （ 4）分层作业，使优生得到更好 （3）预习课本 P12~~PP15 的发挥。
【精】《勾股定理(第2课时)》教学教案
《勾股定理（第2课时）》教学教案教学目标：能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．重点：将实际问题转化为直角三角形模型．难点：利用勾股定理来解决实际问题．教学流程：一、导入新课勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．二、新课讲解例1:一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2=AB2+BC2=12+22=5．∴AC=5≈2.24．∵AC大于木板的宽2.2 m，∴木板能从门框内通过．例2:如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m．如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？解：可以看出，BD=OD－OB.在Rt△AOB中，根据勾股定理，得OB2=AB2－OA2=2.62－2.42=1，∴OB=1.在Rt△COD中，根据勾股定理，得OD2=CD2－OC2=2.62－(2.4-0.5)2=3.15，∴OD= 3.15≈1.77，∴BD=OD－OB≈1.77－1=0.77，∴梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也向外移0.5m，而是外移约0.77m.练习1：如图，池塘边有两点A,B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC=60m, AC=20m,求A,B两点间的距离（结果取整数）解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得22=-AB BC AC22=-6020=402≈57(m)答：AB两点间的距离约为57m.练习2：如图，在平面直角坐标系中有两点A（5，0）和B（0，4），求这两点之间的距离.解：∵A(5,0)和B(0,4)，∴OA=5，OB=4，在Rt△AOB中，根据勾股定理，得22=+AB OA OB22=+=5441∴这两点之间的距离是41.方法归纳：三、巩固提升1．由于台风的影响，一棵树在离地面6 m处折断(如图)，树顶落在离树干底部8 m处，则这棵树在折断前(不包括树根)的高度是()A．8 m B．10 m C．16 m D．18 m答案：C2．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了____步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．答案：103.今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？解：设AB=x,则AC=x+1，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2+BC2=AC2，即：x2+52=(x+1) 2，解得：x=12，所以x+1＝13.答：水深12尺,葭长13尺.注：葭jiā：初生的芦苇；1丈＝10尺4.如图，在高3米，斜边长为5米的楼梯的表面铺地毯，地毯的长度至少为____米．答案：75.如图是一个圆柱饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一根到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是()A．12≤a≤13B．12≤a≤15C．5≤a≤12D．5≤a≤13答案：A四、课堂小结今天我们学习了哪些知识？如何应用勾股定理解决实际问题？五、布置作业教材P28页习题17.1第3、4题．。
《探索勾股定理二》教案1
《探索勾股定理二》教案教学目标1、经历探索直角三角形三边间的数量关系，培养学生的说理和简单推理的意识和能力.2、通过探索过程，使学生理解并掌握勾股定理，并能利用勾股定理解决一些实际问题.3、培养学生的动手操作能力、合作交流意识.教学方法采用“引导——探究——发现——应用”法来进行教学.在学生现有的知识基础上引导学生“自主探究与合作交流”完成新知识的学习.教学重难点勾股定理的验证是本节课的重点，如何验证勾股定理和勾股定理的应用是难点.引导学生进行自主探究，若仍有疑问可以相互间交流得到需要的结果，这样可以锻炼学生的探究能力、交流能力等.课前准备相同规格的直角三角形、直尺、三角板、实物投影.教学过程一、创设问题情景，引入新课1、上节课我们通过测量和数格子的方法发现了直角三角形三边的关系（即勾股定理），那么谁能叙述一下勾股定理呢？（学生回答，教师适当评价鼓励）2、大家对勾股定理理解掌握的很好，但是同学们知道吗，严格意义来讲，通过测量和数格子的方法验证的勾股定理，只能是一些特殊值.今天我们一起继续学习勾股定理的验证.同学们，在6000多年前三国时期的数学家赵爽已经完成了勾股定理的验证，大家有没有信心完成？（学生回答：有）接着大家一起来看这幅图，知道他的名字吗？弦图，也是2002年世界数学家大会会标.大家别小看这幅图，三国时期的数学家赵爽就是用这幅图完成了勾股定理的验证.同学们观察一下是如何拼成的？（学生回答）回答的太棒了，今天我们就通过拼图，来完成勾股定理的验证.（学生组内讨论交流一下，有验证的方向或思路，并保留等待验证）3、追溯到很久很久的上学期，我们就用拼图的方法验证了一个公式，大家还记得吗？ 完全平方公式的验证：大的正方形的面积可以表示为 ；又可以表示为 ；所以 ＝ .大家完成的很棒，我们能不能把这种方法，应用到“弦图”中，验证勾股定理呢？二、大家一起来四个同学一组拿出自己的直角三角形，拼成弦图进行勾股定理的验证.正方形的面积也有两种表示方法：既可以表示为c 2，又可以表示为21ab ×4＋(b －a )2. 对比两种表示方法可得c 2＝21ab ×4＋(b －a )2.化简得c 2＝a 2＋b 2. 鼓励学生大胆展示本组的验证过程，找一组好的作模本投影展示，讲解同时也要找出几组有问题的进行展示，明确问题，解决问题，引以为戒.让学生说说与自己与之前课刚开始时的思路有何异同，自己有什么感想.三、思绪飞扬真棒！同学们利用拼图的方法验证勾股定理.同学们知道吗？在所有的几何定理中，勾股定理的证明方法也许是最多的有人做过统计，说有五百余种，大家能不能利用手中的直角三角形继续验证呢？大家试一试4个直角三角形，还能拼成正方形吗？还可以验证勾股定理吗？学生组内讨论交流，学生拼出来的图形一定会很多，教师注意巡查，发现不足及时指导，鼓励学生进行展示.我拼出了如下图所示的图形，中间是一个边长为c 的正方形.观察图形我们不难发现，大的正方形的边长是(a ＋b ).要利用这个图说明勾股定理，我们只要用两种方法表示这个大正方形的面积即可.大正方形面积可以表示为：(a ＋b )2，又可以表示为：21ab ×4(b －a ). 对比这两种表示方法，可得出c 2＝21ab ×4＋(b －a ). 化简、整理得c 2＝a 2＋b 2，因此我们得到了勾股定理.三、随堂练习如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M ，O ，Q 三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是5000万元/km ，该沿江高速的造价预计是多少？120千米50千米40千米30千米Q P ON M四、课后作业布置课后作业习题1.2，让学生自主完成.。
北师大版数学八年级上册《探索勾股定理》教案2
北师大版数学八年级上册《探索勾股定理》教案2一. 教材分析《探索勾股定理》是北师大版数学八年级上册的一章内容。
本章主要让学生通过探究、发现、验证勾股定理，培养学生的探究能力和逻辑思维能力。
本节课是本章的第二课时，主要是通过实践活动，让学生更深入地理解勾股定理，并能够运用勾股定理解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了勾股定理的初步知识，对直角三角形有一定的了解。
但部分学生可能对勾股定理的理解还不够深入，对如何运用勾股定理解决实际问题还感到困惑。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对性地进行讲解和引导。
三. 教学目标1.让学生通过实践活动，深入理解勾股定理，提高学生的探究能力和逻辑思维能力。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生通过实践活动，发现并验证勾股定理。
2.教学难点：如何引导学生运用勾股定理解决实际问题。
五. 教学方法1.引导探究法：教师引导学生通过实践活动，自主发现并验证勾股定理。
2.案例教学法：教师通过举例，引导学生运用勾股定理解决实际问题。
3.小组讨论法：教师学生进行小组讨论，培养学生的团队合作精神。
六. 教学准备1.教师准备PPT，内容包括勾股定理的定义、实践活动示例等。
2.教师准备实践活动所需的道具，如直角三角形、尺子、剪刀等。
3.教师准备一些实际问题，用于引导学生运用勾股定理。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过PPT展示勾股定理的定义，引导学生回顾已学的知识。
然后，教师提出本节课的目标，让学生明确学习任务。
2.呈现（10分钟）教师展示实践活动示例，引导学生分组进行实践活动。
在活动中，教师关注学生的操作过程，及时给予指导和鼓励。
3.操练（15分钟）学生根据教师的指导，进行实践活动。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）教师邀请部分学生分享他们的实践活动成果，让学生在交流中巩固所学知识。
《勾股定理》第二课时教案
17．1 勾股定理（二）一、教学目标1．会用勾股定理进行简单的计算。
2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。
二、重点、难点1．重点：勾股定理的简单计算。
2．难点：勾股定理的灵活运用。
三、例题的意图分析例1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。
让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。
并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。
例2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
例3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。
让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。
四、课堂引入复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。
学习勾股定理重在应用。
五、例习题分析例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90°⑴已知a=b=5,求c 。
⑵已知a=1,c=2, 求b 。
⑶已知c=17,b=8, 求a 。
⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a 。
⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。
分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。
⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。
⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。
⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。
通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。
后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。
例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。
让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
例3（补充）已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm 。
⑴求等边△ABC 的高。
探索勾股定理教学设计2
第二课时1．探索勾股定理（一）练习课 贺兰二中 张 婧基础训练1．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，则梯脚与墙角的距离应为 米．2．如图，小张为测量校园内池塘A ，B 两点的距离，他在池塘边选定一点 C ，使∠ABC ＝90°，并测得AC 长26m ，BC 长24m ，则A ，B 两点间的距离 为 m ．3．如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 ．（π不取 近似值）4．底边长为16cm ，底边上的高为6cm 的等腰三角形的腰长为 cm ．5．一艘轮船以16km/h 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h 的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 km ．提高训练6．一个长为10m 为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m ，梯子的顶端下滑2m 后，底端滑动 m ．7．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角 三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和 是 cm 2．8．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若14=+b a cm ，10=c cm ，则Rt △ABC 的面积为（ ）． （A ）24cm 2 （B ）36cm 2 （C ）48cm 2 （D ）60cm 2 9．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个 正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为 S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ ）．（A ）321S S S >+ （B ）321S S S =+ （C ）321S S S <+ （D ）无法确定10．暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的 路线探宝. 他们登陆后先往东走8km ，又往北走2km ，遇到障碍后又往 西走3km ，再折向北走6km 处往东一拐，仅走1km 就找到了宝藏，则CB321S S S 32168埋宝藏点登陆点7cmDACB 257登陆点到埋宝藏点的直线距离为 km ．知识拓展11．如图，已知直角△ABC 的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．12．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．意图：进行分层训练，既满足了不同学生的需求，同时也便于老师及时地了解学生的情况.老师可以根据学生的情况选择上述题目进行练习，也可留作家庭作业.效果：通过分层练习，充分激发学生的学习热情，教师应留给学生充分的时间思考,在独立思考的基础上，鼓励学生相互讨论，得出结果.练习设计首先，在探索勾股定理的过程中，对学生的参与热情、情感态度、探究的积极性、探究的效果等学习情况进行评价．其次，在“勾股定理的简单应用”这一教学环节中，通过例题和练习，可有效地评价学生理解和掌握知识的情况．第三，在“课堂小结”这一环节中，教师可从学生的自由发言和交流中，了解到各个教学目标的达成情况．第四，通过课后作业的完成情况，进一步了解学生对勾股定理的理解和掌握的程度．教师根据这些评价结果做出相应的反馈和调节，调整、设计下节课或下阶段的教学内容，以达到尽可能好的教学效果．86CBAB AC DE。
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第一章勾股定理1．探索勾股定理（二）一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证.学生活动经验基础：学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力；学生在七年级《七巧板》及《图案设计》的学习中已经具备了一定的拼图活动经验.二、教学任务分析本节课是八（上）勾股定理第1节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力，为后面的学习打下基础.三、教学目标1．教学目标● 知识与技能目标掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.● 过程与方法目标在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.● 情感与态度目标在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.2．教学重点用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题.3．教学难点验证勾股定理.四、教法学法1.教学方法：引导——探究——应用.2.课前准备：教具：教材，课件，电脑.学具：教材，铅笔，直尺，练习本.五、教学过程本节课设计了七个教学环节：（一）复习设疑，激趣引入；（二）小组活动，拼图验证；（三）追溯历史，激发情感；（四）例题讲解，初步应用；（五）拓展练习，能力提升；（六）回顾反思，提炼升华；（七）布置作业，课堂延伸.第一环节：复习设疑，激趣引入内容：教师提出问题：（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣.效果：通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望.第二环节：小组活动，拼图验证. 内容： 活动1： 教师导入，小组拼图.教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）活动2：层层设问，完成验证一.学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：图2在此基础上教师提问：（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a+b)2=4×21ab+c 2.并得到222c b a =+）从而利用图1验证了勾股定理.活动3 ： 自主探究，完成验证二.教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？（学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二）意图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.设计活动3，让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐.图1效果：学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重点内容之一，并突破了本节课的难点.第三环节：追溯历史激发情感活动内容：由学生利用所搜集的与勾股定理相关的资料进行介绍.国内调查组报告：用图2验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图.2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！国际调查组报告：勾股定理与第一次数学危机.约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发.据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海.不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”.第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立以后才圆满解决.我们将在下一章学习有关实数的知识.趣闻调查组报告：勾股定理的总统证法.在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形……于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题.他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法.1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.说明：这个环节完全由学生来组织开展，教师可在两天前布置任务，让部分同学收集勾股定理的资料，并在上课前拷贝到教师用的课件中便于展示，内容可灵活安排.ab意图：（1）介绍与勾股定理有关的历史，激发学生的爱国热情；（2）学生加强了对数学史的了解，培养学习数学的兴趣；（3）通过让部分学生搜集材料，展示材料，既让学生得到充分的锻炼，同时也活跃了课堂气氛.效果：学生热情高涨，对勾股定理的历史充满了浓厚的兴趣，同时也为中国古代数学的成就感到自豪.也有同学提出：当代中国数学成就不够强，还应发奋努力.有同学能意识这一点，这让我喜出望外.第四环节：例题讲解初步应用内容：例题：我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方骑车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，骑车与他相距500m，你能帮小王计算出敌方汽车的速度吗？意图：（1）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；（2）体会勾股定理的应用价值.效果：学生对这样的实际问题很感兴趣，基本能把实际问题转化为数学问题并顺利解决.第五环节：拓展练习能力提升内容：一组生活中勾股定理的应用练习，共3道题（1）教材P6练习题1.（2）一个25m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？（3）受台风麦莎影响，一棵高18m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？说明：这一环节设计了3道题，设计时注意了题目的梯度，由浅入深，第一题为书上练习题，学生容易解决，第二道题虽然计算难度不大，但考查学生的实际应用能力，第三道题是应用勾股定理建立方程求解，有一定难度.意图：在例题的基础上进行拓展，训练学生将实际问题转化为数学问题，再运用勾股定理解决问题.效果：小部分学生在完成第二题时，由于欠缺生活常识时，不能准确地理解题意，约有一半同学对第3道题束手无策，主要是缺乏利用勾股定理建立方程求解的这种思路，经同学点拨，教师引导，绝大部分同学最后都能解决这个问题，通过3个小题的训练，总体感觉学生对勾股定理的应用更加熟练，并对勾股定理的应用价值体会更深.第六环节：回顾反思提炼升华内容：教师提问：通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.目的：（1）归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；（2）教师了解学生对本节课的感受并进行总结；（3）培养学生的归纳概括能力.效果：由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性，所以学生谈的收获很多，包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想，学生对勾股定理的历史的感悟及对勾股定理应用的认识等等.第七环节：布置作业，课堂延伸内容：教师布置作业1．习题1．2 T2，32．上网或查阅有关书籍，搜集至少1种勾股定理的其它证法，至少1个勾股定理的应用问题，一周后进行展评.意图：（1）巩固本节课的内容.（2）充分发挥勾股定理的育人价值.六、教学设计反思（1）设计理念在课堂教学中，始终注意了调动学生的积极性.兴趣是最好的老师，所以无论是引入、拼图，还是历史回顾，我都注意去调动学生，让学生满怀激情地投入到活动中.因此，课堂效率较高.勾股定理作为“千古第一定理”，其魅力在于其历史价值和应用价值，因此我注意充分挖掘了其内涵.特别是让学生事先进行调查，再在课堂上进行展示，这极大地调动了学生，既加深了对勾股定理文化的理解，又培养了他们收集、整理资料的能力.（2）突出重点、突破难点的策略勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，我设计了拼图活动，先让学生从形上感知，再层层设问，从面积（数）入手，师生共同探究得到方法1，最后由学生独立探究得到方法2.这样学生较容易地突破了本节课的难点.（3）分层教学根据本班学生及教学情况可在教学过程中选择下述内容进行补充或拓展.附：教学补充习题基础训练1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c =10，则b = ；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a = ，b = .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .3．直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为 .4．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则面积为（ ）． A ．30 cm 2B ．130 cm 2C ．120 cm 2D ．60 cm 2 提高训练5．轮船从海中岛A 出发，先向北航行9km ，又往西航行9km ，由于遇到冰山，只好又向南航行4km ，再向西航行6km ，再折向北航行2km ，最后又向西航行9km ，到达目的地B ，求AB 两地间的距离.6．一棵9m 高的树被风折断，树顶落在离树根3m 之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？知识拓展7．折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处，若AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长.意图：进行分层训练，既满足了不同学生的需求，同时也便于老师及时地了解学生的情况.老师可以根据学生的情况选择上述题目进行练习，也可留作家庭作业.效果：通过分层练习，充分激发学生的学习热情，教师应留给学生充分的时间思考,在独立思考的基础上，鼓励学生相互讨论，得出结果:1.（1）13；（2）8；（3）6，8．2.2.5m ．3.1360cm ． 4.D ．5.25km ．6.4．7.3 cm ． （4）评价方式在教学活动中教师应关注学生在验证勾股定理过程中表现出来的思维水平，应关注学生在应用勾股定理解决问题过程中表现出来的应用能力水平.对于学生的回答教师应给予恰当的评价和鼓励，帮助学生认识自我，建立自信，发挥评价的教育功能. 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