圆的一般方程练习题

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圆方程测试题及答案

圆方程测试题及答案一、选择题1. 已知圆的一般方程为 \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \)，其中 \( g \)、\( f \) 和 \( c \) 是常数。

若圆心坐标为 \( (-g, -f) \)，那么 \( c \) 的值应该是：A. \( g^2 + f^2 \)B. \( -g^2 - f^2 \)C. \( 1 \)D. \( 0 \)答案：A2. 圆 \( (x-1)^2 + (y-2)^2 = 25 \) 的半径是多少？A. 3B. 5C. 10D. 20答案：B二、填空题1. 圆的标准方程为 \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)，其中 \( (a,b) \) 是圆心坐标，\( r \) 是半径。

如果圆心坐标为 \( (3, 4) \)，半径为 5，则该圆的方程为________________。

答案：\( (x-3)^2 + (y-4)^2 = 25 \)2. 圆 \( x^2 + y^2 = 9 \) 与直线 \( y = x \) 相切，求切点坐标。

答案：切点坐标为 \( (±\sqrt{2}, ±\sqrt{2}) \)。

三、解答题1. 已知圆 \( C \) 的圆心在 \( (1, 1) \)，半径为 2，求圆 \( C \) 的方程。

解答：根据圆的标准方程，圆 \( C \) 的方程为 \( (x-1)^2 + (y-1)^2 = 4 \)。

2. 已知圆 \( x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 = 0 \) 与直线 \( 2x + y- 3 = 0 \) 相切，求圆心到直线的距离。

解答：首先，将圆的方程化为标准形式，得到 \( (x+1)^2 + (y-2)^2 = 4 \)。

圆心坐标为 \( (-1, 2) \)。

利用点到直线距离公式\( \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)，将圆心坐标代入直线方程，得到距离 \( d = \frac{|2(-1) + 1(2) - 3|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \)。

高二数学圆的一般方程练习题

高二数学圆的一般方程练习题一、填空题1. 圆C的半径为5，圆心坐标为(2, -3)，求圆C的一般方程。

2. 已知圆的一般方程为x^2 + y^2 + 6x - 8y + 9 = 0，求圆的圆心坐标和半径。

3. 圆心在原点O，通过点A(3,4)，则圆的一般方程为________。

4. 圆C的圆心为(-2, 3)，与直线y = 2x + 1相切，求圆C的一般方程。

5. 给定两个圆的一般方程为x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0和x^2 + y^2 + 4x + 2y + 5 = 0，求这两个圆的位置关系。

二、解答题1. 已知圆C的一般方程为x^2 + y^2 + 8x - 4y + 16 = 0，求圆C的圆心坐标和半径。

解答:将方程转化为标准方程:(x + 4)^2 - 16 + (y - 2)^2 - 4 = 0(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 20圆的圆心坐标为(-4, 2)，半径为√20。

2. 设点A(1, 2)，点B(4, 5)为直径所在直线上的两个点，求过点A且与直线Bx + 4y - 17 = 0相切的圆的一般方程。

解答:由于圆与直线相切，所以圆心到直线距离等于半径。

圆心到直线的距离公式为d = |Ax + By + C|/√(A^2 + B^2)，其中A、B、C为直线的系数。

将直线的方程Bx + 4y - 17 = 0转化为一般方程：4y = -Bx + 174y + Bx - 17 = 0因此，直线的A、B、C分别为0、4、-17。

点A(1, 2)到直线的距离为d1 = |0*1 + 4*2 - 17|/√(0^2 + 4^2) = 13/2过点A的圆的一般方程为(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (13/2)^2。

3. 已知两个圆的方程分别为x^2 + y^2 + 6x - 2y + 10 = 0和x^2 + y^2 + 4x + 8y + 5 = 0，求这两个圆的位置关系。

(完整版)圆的一般方程练习题

(限时：10分钟)1 .若圆x2 + y 2— 2x — 4y = 0的圆心到直线x — y + a = 0的距离为誓，则a 的值为()1 3A . — 2 或 2 B.2或2C . 2 或 0D . — 2 或 0解析：圆的标准方程为(x — 1)2 + (y — 2)2 = 5,圆心为(1,2)，圆心2. 若圆x 2+ y 2 — 2ax + 3by = 0的圆心位于第三象限，那么直线x + ay + b = 0 一定不经过( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析：圆心为a ,— 2b ，则有a<0, b>0.直线x +ay + b = 0变为1 b 1 by = — ?—二由于斜率—a>0,在y 轴上截距—b >0,故直线不经过第 a a aa四象限.答案：D3. 直线y = 2x + b 恰好平分圆x 2 + y 2 + 2x —4y = 0,则b 的值为()A . 0B . 2C . 4D . 1解析：由题意可知，直线y = 2x + b 过圆心(—1,2),••• 2=2X (— 1)+ b , b = 4.答案：C4. M(3,0)是圆x 2+ y 2 — 8x — 2y + 10=0内一点，过M 点最长的弦到直线的距离答案：C解得a = 0或2.课时作业23圆的一般方程所在的直线方程为 ________ ,最短的弦所在的直线方程是 ________ .解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦.易求出圆心为C(4,1),1 — 0k cM = = 1,二最短的弦所在的直线的斜率为—1,由点斜式，分 4-3别得到方程：y = x — 3 和 y = — (x — 3)，即 x —y — 3= 0 和 x + y —3= 0.答案：x — y — 3= 0 x + y — 3= 05. 求经过两点A(4,7), B(— 3,6),且圆心在直线2x + y — 5= 0上的圆的方程.解析：设圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ,其圆心为D E-2，- 2，42+ 72 + 4D +7E + F = 0,由题意得—3 2 + 62 — 3D + 6E + F = 0，D E2 • — 2 + —㊁—5 = 0.4D + 7E + F = —65,即 3D — 6E — F = 45,2D + E =— 10,D = — 2, 解得E = — 6,F =— 15.x 2 + y 2— 2x — 6y —课后练|小和沖课时作婕曰日洁KEHOULI^ I(限时：30分钟)1. 圆x2+ y2+ 4x—6y—3 = 0的圆心和半径分别为()A . (2, —3); 16 B. (—2,3); 4C. (4, —6); 16D. (2, —3); 4解析：配方，得(x+ 2)2+ (y—3)2= 16,所以，圆心为(—2,3), 半径为4.答案：B2. 方程x2+ y2+ 4x—2y+ 5m= 0表示圆的条件是()1A. 4<m<1B. m>11C. m<4D. m<1解析：由42+ (—2)2—4X5m>0解得m<1.答案：D3. 过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别是2和3的圆的方程为()A . x 2+ y 2 — 2x — 3y = 0B . x 2 + y 2 + 2x — 3y = 0C . x 2 + y 2 — 2x + 3y = 0D . x 2+ y 2 + 2x + 3y = 0解析：解法一(排除法)：由题意知，圆过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3)，分别把A , B 两点坐标代入四个选项，只有 A 完全符合，故选A.解法二(待定系数法)：设方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0,F = 0,则 2D + F = — 4,3E + F = — 9, 故方程为 x 2 + y 2 — 2x — 3y = 0.解法三(几何法):由题意知，直线过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3),由弦AB 所对的圆心角为90 °知线段AB 为圆的直径，即所求的圆是以AB 中点1, 2为圆心，2|AB 匸乎为半径的圆，其方程为(x —1)2 + y — |2 =于2，化为一般式得 x 2 + y 2— 2x — 3y = 0.答案：A4. 设圆的方程是 x 2*? + 2ax + 2y +(a — 1)2 = 0,若 0<a<1,则原点()A .在圆上B. 在圆外C. 在圆内D .与圆的位置关系不确定解析：圆的标准方程是(x + a)2 + (y +1)2= 2a ,因为0<a<1，所以 (0 + a)2 + (0+ 1)2— 2a = (a — 1)2>0，即 0+a 2+ 0+ 1 2> 2a ,所以D = — 2, 解得E = — 3,F = 0,原点在圆外.答案：B5. 已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍, 那么点M的轨迹方程是()A . x2+ y2= 32B . x2+ y2= 16C. (x- 1)2+ y2= 16D. x2+ (y-1)2= 16解析：设M(x, y)，贝S M 满足：x—8 2+ y2= 2 x —22+ y2，整理得x2+ y2= 16.答案：B6. 已知圆C: x2+ y2+2x+ ay—3= 0(a为实数)上任意一点关于直线I: x—y+ 2 = 0的对称点都在圆C上，贝S a= _______a解析：由题意可得圆C的圆心一1,—2在直线x—y+ 2= 0上, aa将—1,—2代入直线方程得—1——2+ 2 = 0,解得a= —2.答案：—2 ____7. 若实数x, y满足x2+ y2+ 4x—2y—4= 0,则寸x2+ y2的最大值是 ________ .关键是搞清式子寸x2+ y2的意义.实数x, y满足方程x2+ y2+ 4x —2y— 4 = 0,所以(x, y)为方程所表示的曲线上的动点，x2+ y2=.x—02+ y —02,表示动点(x, y)到原点(0,0)的距离.对方程进行配方，得(x+ 2)2+ (y—1)2= 9,它表示以C( —2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点在圆内.连接CO交圆于点M, N,由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值.|CO|= — 2 2+ 12= . 5, |MO|=, 5 + 3.答案：5 + 38. _____________________ 设圆x2+ y2—4x + 2y—11 = 0的圆心为A,点P在圆上，则FA 的中心M的轨迹方程是.解析：设M的坐标为(x, y),由题意可知圆心A为(2,—1), P(2x—2,2y+1)在圆上，故(2x —2)2+ (2y + 1)2—4(2x—2) + 2(2 y + 1)—11 = 0,即x2+ y2—4x+2y+ 1 = 0.答案：x2+ y2—4x + 2y + 1 = 09. 设圆的方程为x2+ y2—4x—5= 0,(1)求该圆的圆心坐标及半径；⑵若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1),求直线AB的方程.解析：(1)将x2+ y2—4x— 5 = 0 配方得：(x—2)2+ y2= 9.二圆心坐标为C(2,0),半径为r = 3.⑵设直线AB的斜率为k.由圆的几何性质可知，CP丄AB,二k cp •=—1.1 —0二k cp= = 1,3—2二k=— 1.直线AB的方程为y— 1 = —(x—3),即x+y —4= 0.10. 已知定点0(0,0), A(3,0),动点P到定点O的距离与到定点1A的距离的比值是入,求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线.解析：设动点P的坐标为(x, y),则由.?|PO| = |PA|,得X x2+ y2) = (x—3)2+ y2,整理得：(X- 1)x2+ ( —1)y2+ 6x—9= 0.•/ X0,•••当后1时，方程可化为2x —3= 0,故方程表示的曲线是线段当X1时，方程可化为即方程表示的曲线是以3—X_ 1, 0为圆X—：i为半径的圆. OA的垂直平分线;x+ 2。

圆的一般方程练习

圆的一般方程1、若方程224250x y kx y k ++-+=表示圆，则k 的取值范围是( ) A,14< k <1 B . k <14或k >1 C. k =14或k =1 D. k 任意实数 2、圆的方程是()()(1)2()40x x y y -++-+=2，则圆心的坐标是( )A.(1,－1)B.(12,－1) C.(－1,2) D.(－12,－1). 3、22460x y x y +-+=和2260x y x +-=的连心线方程是（）A 、30x y ++=B 、250x y --=C 、390x y --=D 、4370x y -+=4、如果方程220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）所表示的曲线关于直线y x =对称，那么必有（）A 、D E =B 、D F =C 、E F =D 、DEF ==5、方程y =表示的曲线是( )A 、一条射线B 、一个圆C 、两条射线D 、半个圆6、已知圆22220x y kx y k ++++=,当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是（）A 、(0,－1)B 、(1,－1)C 、(－1,0)D 、(－1,1)7、圆2224260x y x y k ++++=与某坐标相切，那么k 可以取得值是( )A 、±2或±13B 、1和2C 、-1和-2D 、-1和18、已知方程224250x y kx y k ++-+=，当k ∈ 时，它表示圆；当k ∈ 时，它表示点；当k ∈ 时，它的轨迹不存在。

9、若方程220x y Dx Ey F ++++=，表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F =_____10、224250x y x y +-+-=，与直线250x y +-=相交于1P ,2P 两点，则12PP=____。

11、三角形ABC 的三个顶点A (1,4)，B (-2，3)，C (4，-5)，则ABC ∆的外接圆方程是。

圆的一般方程练习题

课时作业23 圆的一般方程(限时：10分钟)1．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32C ．2或0D ．－2或0解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(1,2)，圆心到直线的距离|1－2＋a |12＋－12＝22，解得a ＝0或2. 答案：C2．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ，－32b ，则有a <0，b >0.直线x ＋ay ＋b ＝0变为y ＝－1a x －b a .由于斜率－1a >0，在y 轴上截距－b a>0，故直线不经过第四象限．答案：D3．直线y ＝2x ＋b 恰好平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，则b 的值为( )A ．0B ．2C ．4D ．1解析：由题意可知，直线y ＝2x ＋b 过圆心(－1,2)，∴2＝2×(－1)＋b ，b ＝4.答案：C4．M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程为________，最短的弦所在的直线方程是________．解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦．易求出圆心为C(4,1)，k CM＝1－04－3＝1，∴最短的弦所在的直线的斜率为－1，由点斜式，分别得到方程：y＝x－3和y＝－(x－3)，即x－y－3＝0和x ＋y－3＝0.答案：x－y－3＝0 x＋y－3＝05．求经过两点A(4,7)，B(－3,6)，且圆心在直线2x＋y－5＝0上的圆的方程．解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其圆心为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－D2，－E2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧42＋72＋4D＋7E＋F＝0，－32＋62－3D＋6E＋F＝0，2·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－D2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫－E2－5＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧4D＋7E＋F＝－65，3D－6E－F＝45，2D＋E＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧D＝－2，E＝－6，F＝－15.所以，所求的圆的方程为x2＋y2－2x－6y－15＝0.(限时：30分钟)1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为( )A．(2，－3)；16 B．(－2,3)；4C．(4，－6)；16 D．(2，－3)；4解析：配方，得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，所以，圆心为(－2,3)，半径为4.答案：B则原点( )A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．与圆的位置关系不确定解析：圆的标准方程是(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，即0＋a 2＋0＋12>2a ，所以原点在圆外．答案：B5．已知动点M 到点(8,0)的距离等于点M 到点(2,0)的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：设M (x ，y )，则M 满足x －82＋y 2＝2x －22＋y 2，整理得x 2＋y 2＝16.答案：B6．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________解析：由题意可得圆C 的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－a 2在直线x －y ＋2＝0上，将⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－a 2代入直线方程得－1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 2＋2＝0，解得a ＝－2. 答案：－27．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值是________．解析：关键是搞清式子x 2＋y 2的意义．实数x ，y 满足方程x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，所以(x ，y )为方程所表示的曲线上的动点，x 2＋y 2＝x －02＋y －02，表示动点(x ，y )到原点(0,0)的距离．对方程进行配方，得(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，它表示以C (－2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点在圆内．连接CO 交圆于点M ，N ，由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值．|CO |＝－22＋12＝5，|MO |＝5＋3.答案：5＋38．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则PA 的中心M 的轨迹方程是________．解析：设M 的坐标为(x ，y )，由题意可知圆心A 为(2，－1)，P (2x －2,2y ＋1)在圆上，故(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.答案：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝09．设圆的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0，(1)求该圆的圆心坐标及半径；(2)若此圆的一条弦AB 的中点为P (3,1)，求直线AB 的方程．解析：(1)将x 2＋y 2－4x －5＝0配方得：(x －2)2＋y 2＝9.∴圆心坐标为C (2,0)，半径为r ＝3.(2)设直线AB 的斜率为k .由圆的几何性质可知，CP ⊥AB ，∴k CP ·k ＝－1.∴k CP ＝1－03－2＝1， ∴k ＝－1.∴直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0.10．已知定点O (0,0)，A (3,0)，动点P 到定点O 的距离与到定点A 的距离的比值是1λ，求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线．解析：设动点P 的坐标为(x ，y )，则由λ|PO |＝|PA |，得λ(x 2＋y 2)＝(x －3)2＋y 2，整理得：(λ－1)x 2＋(λ－1)y 2＋6x －9＝0. ∵λ>0，∴当λ＝1时，方程可化为2x －3＝0，故方程表示的曲线是线段OA 的垂直平分线；当λ≠1时，方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋3λ－12＋y 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3λλ－12，即方程表示的曲线是以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3λ－1，0为圆心，3λ|λ－1|为半径的圆．。

圆的一般方程----典型题(好)

1.2. 若直线3x+y+a=0过圆x^2+y^2+2X-4y=0的圆心，则a的值为什么?由圆的方程可知圆心的坐标(-1，2)把(-1，2)代入直线方程，得3x(-1)+2+a=0解得a=13. 若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是x2+y2-4x+2y+5k=0(x-2)2+(y+1)2=-5k+5方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆-5k+5>0k<14. 当点P在x2+y2=1上变动时，它与定点Q（3,0）的联结线段PQ的中点的轨迹方程是？. 设M坐标为（x，y），则P点坐标为：X=2x-3，Y=2y 点P在圆X*X+Y*Y=1上，故有：（2x-3）^2+(2y)^2=1 即：（x-1.5）^2+(y)^2=0.25 以（1.5，0）为圆心，0.5为半径的圆5. 已知点A（1，2）在圆X^2＋Y^2 ＋2X＋3Y＋m＝0内，则m 的取值范围由公式：圆的一般方程x²+y²+D x+Ey+F=0 转化为圆的标准方程为：(x+D/2)².+(y+E/2)²=(D²+E²-4F)/4则，已知圆的标准方程为：(x+2/2)².+(y+3/2)²=(2²+3²-4m)/4整理得：(x+1)².+(y+3/2)²=(13-4m)/4点P（X,Y) 与圆 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：当(x－a)^2+(y－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。

将A（1，2）代入上面的不等式：：(1+1)².+(2+3/2)²<(13-4m)/4解的：m<-136. 由方程Ｘ２+Ｙ２+Ｘ+（M-１）Y+1/2M2=0确定的圆中最大面积是？对x,y进行配方。

(x+1/2)2-[y+(m-1)/2)]2=-(m2-2m-2)/4-(m2-2m-2)/4=-(m-1)2/4+3/4当m=1时，圆取得最大半径根号3/2面积为3π/4先化成圆的标准方程，半径为√（-m的平方-2m+2）/2，半径的最大值为√3/2，最大面积是3/4π7. 若圆X^2+Y^2+DX+EY+F=0过点(0,0),(1-1),且圆心在直线X+Y-3=0上,求该圆的方程,并写出它的圆心坐标和半径。

人教A版高一圆的一般方程精选试卷练习(含答案)4

第1页共8页 ◎ 第2页共8页人教A 版高一圆的一般方程精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．圆()2215x y ++=上的点到直线240x y -+=的最大距离为（）A ．25B ．52+C ．52-D ．352．已知两点(0,3)A -，(4,0)B ，若点P 是圆2220x y y +-=上的动点，则△ABP 面积的最小值是 A ．112B ．6C ．8D ．2123．点(3,4)M 到圆221x y +=上的点的距离的最小值是（） A ．1B ．4C ．5D ．64．方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的充要条件是（）A ．114m <<B ．114mm 或 C ．14m <D ．1m >5．已知点P (2,2)，点M 是圆()2211:14O x y +-=上的动点，点N 是圆()222124O x y -+=：上的动点，则PN PM -的最大值是() A ．51-B ．52-C ．25-D ．35-6．圆22:630C x y x y ++-+=上有两点A ,B 关于直线40kx y -+=对称，则k =( )A ．2B ．32- C ．32±D ．不存在7．圆22(1)(2)1x y ++-=上的动点P 到直线3490x y --=的最短距离为（） A ．3B ．4C ．5D ．68．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：()()22x a y b -+-可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得()22420210f x x x x x =+++++的最小值为( )A ．25B ．52C ．4D ．89．如图所示，有一条长度为1的线段MN ，其端点M ，N 在边长为3的正方形ABCD 的四边上滑动，当点N 绕着正方形的四边滑动一周时，MN 的中点P 所形成轨迹的长度为（）A ．82π+B ．8π+C ．122π+D ．12π+10．已知在圆M ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．35B ．65C ．415D ．215 11．已知圆关于对称，则的值为 A ．B ．1C ．D ．012．点P 为圆22:9C x y +=上的一个动点，点()1,1M 为线段PQ 的中点，则点Q 的轨迹方程为（） A ．221x y +=B ．2225x y +=C ．()()22229x y -+-=D ．()()22221x y -+-=13．已知圆()22:216M x y +-=，过点()2,5P 作圆M 的最长弦AB 和最短弦CD ，则直线AB ，CD 的斜率之和为A ．1-B ．56-C ．1D ．5614．圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（）第3页共8页 ◎ 第4页共8页A ．36B ．18C ．D ．15．圆224210x y x y +--+=的圆心在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限16．圆222210x y x y +--+=上的点到直线3480x y ++=的最大距离是（） A ．1B ．2C ．3D ．417．若直线250x y a -+=平分圆224250x y x y +-+-=的周长，则a = A ．9B ．-9C ．1D ．-118．圆1C ：22(1)(3)9x y -+-=和2C ：22(2)1x y +-=，M ，N 分别是圆1C ，2C 上的点，P 是直线1y =-上的点，则PM PN +的最小值是( ) A ．524?B 171C ．622-D 1719．当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点()3,0Q 相连，线段PQ 的中点M 的轨迹方程是()A ．22(3)1x y -+=B ．22(23)41x y -+=C ．22(3)4x y ++=D ．22(23)44x y ++=20．一束光线从点()1,1A -出发，经x 轴反射到圆()()22:231C x y -+-=上的最短路程是 A ．321B ．6C ．4D ．521．圆22:20C x y x +-=的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(1,0)，2 B ．(1,0)，1 C ．(1,0)-，2D ．(1,0)-，1评卷人得分二、填空题22．边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为上底面1111D C B A 的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为_____.23．当直线():12I y k x =-+被圆()()22:215C x y -+-=截得的弦长最短时，k 的值为 .24．已知圆22:(2)4C x y -+=，点P 在圆C 上运动，则OP 的中点M 的轨迹方程_____．（O 为坐标原点）25．点A B 、分别为圆22:(3)1M x y +-=与圆22:(3)(8)4N x y -+-=上的动点，点C 在直线0x y +=上运动，则AC BC +的最小值为__________．26．已知a R ∈，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______．27．圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是．28．已知圆C 过定点(7,2)，且和圆22:(3)2C x y '+-=相切于点(1,2)，则圆C 的一般方程是_____．29．已知圆C 关于y 轴对称，经过点()1,0A ，且被x 轴分成两段弧,弧长之比为1:2，则圆C 的方程为：____．30．一束光线从点A(-1,1)出发经x 轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上点的最短距离是 .31．已知平面向量a r ，m u r ，n r ，满足4a =r ，且221010m a m n a n ⎧-⋅+=⎨-⋅+=⎩v v v v v v ，则当m n -=u r r _____，则m v 与nv 的夹角最大．32．设圆221:(5)(2)4C x y -++=圆222:(7)(1)25C x y -++=.点,A B 分别是圆12,C C 上的动点，P 为直线y x =上的动点，则||||PA PB +的最小值为_________.33．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius ）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆. 已知直角坐标系中(2,0),(2,0)A B -，则满足||2||PA PB =的点P 的轨迹的圆心为____________，面积为____________.34．已知圆C 1：22(2)(3)1x y -+-=，圆C 2：22(3)(4)9x y -+-=，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值_____．第5页共8页 ◎ 第6页共8页35．圆22:2220C x y x y +++-=，:20l x y -+=，求圆心到直线l 的距离________． 36．方程y =( ) A ．一条射线B ．一个圆C ．两条射线D ．半个圆37．圆22:(1)1C x y +-=上的点P 到直线:230l x y --=的距离的最小值是______.三、解答题38．求满足下列条件的圆C 的方程：（1）圆C 经过P (－2，4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6；（2）圆心在直线x －2y －3=0上，且过A (2，－3)，B (－2，－5)两点．39．二次函数2(0)y x bx b =+≠图像与x 轴交于O ，A 两点，交直线:l y x =于O ，B 两点，经过三点O ，A ，B 作圆C ．（1）求证：当b 变化时，圆C 的圆心在一条定直线上；（2）求证：圆C 经过除原点外的一个定点．40．如果实数x ，y 满足()()22336x y -+-=，求：（1）yx的最大值与最小值；（2）x y +的最大值与最小值；（3）22xy +的最大值和最小值．41．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，，求圆的一般方程．42．已知点E 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，以E 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆C 的右焦点2F ，与y 轴相交于A ，B 两点，且ABE ∆是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆2218:5O x y +=，设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于M 、N 两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出||||PM PN ⋅的值；若不过定点，请说明理由．43．在直角坐标系xOy 中，直线4y x =-与30x y +-=相交于点A ，圆C 的圆心在直线30x y +-=上，且与直线4y x =-相切于点O . （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）求tan OAC ∠，并求点A 到圆C 的距离.（注：点P 到曲线C 的距离即点P 到曲线C 上各点距离的最小值）44．设定点()3,4M -，动点N 在圆224x y +=上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．45．已知圆心为C 的圆过点)，且与直线2y =相切于点()0,2。

圆的一般方程-典型题(好)

1.2. 若直线3x+y+a=0过圆x^2+y^2+2X-4y=0的圆心，则a的值为什么?由圆的方程可知圆心的坐标(-1，2)把(-1，2)代入直线方程，得3x(-1)+2+a=0解得a=13.若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是x2+y2-4x+2y+5k=0(x-2)2+(y+1)2=-5k+5方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆-5k+5>0k<14.当点P在x2+y2=1上变动时，它与定点Q（3,0）的联结线段PQ的中点的轨迹方程是？. 设M坐标为（x，y），则P点坐标为：X=2x-3，Y=2y 点P在圆X*X+Y*Y=1上，故有：（2x-3）^2+(2y)^2=1 即：（x-1.5）^2+(y)^2=0.25 以（1.5，0）为圆心，0.5为半径的圆5. 已知点A（1，2）在圆X^2＋Y^2 ＋2X＋3Y＋m＝0内，则m 的取值范围由公式：圆的一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0 转化为圆的标准方程为：(x+D/2)².+(y+E/2)²=(D²+E²-4F)/4则，已知圆的标准方程为：(x+2/2)².+(y+3/2)²=(2²+3²-4m)/4整理得：(x+1)².+(y+3/2)²=(13-4m)/4点P（X,Y) 与圆 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：当(x－a)^2+(y－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。

将A（1，2）代入上面的不等式：：(1+1)².+(2+3/2)²<(13-4m)/4解的：m<-136. 由方程Ｘ２+Ｙ２+Ｘ+（M-１）Y+1/2M2=0确定的圆中最大面积是？对x,y进行配方。

圆的一般方程练习

圆的一般方程练习1.已知圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为（-2，3）半径为4，则D ，E ，F 分别是（） A.-4、-6、3 B.-4、6、3 C.-4、6、–3 D. 4、-6、-32.已知方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，则实数k 的取值范围是（）A.k ＞38-B.-k ＜38-C. -1＜k ＜4D.k ＜-1或k ＞43.已知圆的方程是x 2+y 2－2x+6y+8=0，那么经过圆心的一条直线方程为 ( ) A .2x －y+1=0 B.2x+y+1=0 C.2x －y －1=0 D.2x+y －1=04.两圆x2+y2-4x+6y=0和x2+y2-6x=0的连心线方程是（） A 、x+y+3=0 B 、2x-y-5=0 C 、3x-y-9=0 D 、4x-3y+7=05.已知圆()003222<=--+m mx y x 的半径为2，则其圆心坐标是。

6.已知方程x 2+y 2+4kx-2y+5k=0，当k ∈ 时，它表示圆；当k 时，它表示点；当k ∈ 时，它的轨迹不存在。

7.若方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F=_____ 8.下列方程能否表示圆，若能表示，求出圆心和半径。

（1）057222=+-+y y x （2）07622=++-+y x xy y x （3）0104222=+--+y x y x （4）052222=-+x y x9.求过三点A （1，1）B （3，1）和C （5，3）的圆的方程.10.已知方程222(3)x y t x +-+22(14)t y +-41690t ++=表示一个圆。

(1)求t 的取值范围；(2)求该圆半径r 的最大值及此时圆的标准方程。

基础练习-圆的一般方程

2.3.2 圆的一般方程一、选择题1．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则圆心坐标为( )A ．(1，－1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1C ．(－1,2)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1 2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是( )A ．a <－2或a >23B ．－23<a <2 C ．－2<a <0 D ．－2<a <233．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于( ) A.2π B ．2π C ．22π D ．4π4．方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示的图形是( )A ．一个点B ．一个圆C ．一条直线D ．不存在5．若直线mx ＋2ny －4＝0始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的周长，则mn 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]6．如果圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)关于直线y ＝x 对称，则有( )A ．D ＋E ＝0B ．D ＝EC ．D ＝F D ．E ＝F7．如果直线l 将圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[0,3]B ．[0,1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 8．已知圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是( )A ．(0，－1)B ．(1，－1)C ．(－1,0)D ．(－1,1)二、填空题9．点P (1，－2)和圆C ：x 2＋y 2＋m 2x ＋y ＋m 2＝0的位置关系是________10．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________.11．若x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0，则点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的12．已知圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0上一点P(a，b)，则a2＋b2的最小值是________．三、解答题13．经过两点P(－2,4)、Q(3，－1)，且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．14．圆C通过不同三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1)，已知圆C在点P的切线的斜率为1，试求圆C的方程．15．求经过点A(－2，－4)且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．16．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的标准方程．1. [答案] D[解析] 圆的方程(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0可化为x 2＋y 2＋x ＋2y －10＝0，∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1. 2. [答案] D[解析] 由题知a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，即(3a －2)(a ＋2)<0，因此－2<a <23.3. [答案] C[解析] 圆的方程x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0可化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝2，∴圆的半径r ＝2，故周长l ＝2πr ＝22π.4. [答案] A[解析] 方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0，可化为x 2＋y 2－2x ＋4y ＋5＝0，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝0，∴方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示点(1，－2)．5. [答案] D[解析] 可知直线mx ＋2ny －4＝0过圆心(2,1)，有2m ＋2n －4＝0，即n ＝2－m ，则mn ＝m ·(2－m )＝－m 2＋2m ＝－(m －1)2＋1≤1.6. [答案] B[解析] 由圆的对称性知，圆心在直线y ＝x 上，故有－E 2＝－D 2，即D ＝E .7. [答案] A[解析] l 过圆心C (1,3)，且不过第四象限．由数形结合法易知：0≤k ≤3.8. [答案] A[解析] 圆的半径r ＝124－3k 2，要使圆的面积最大，即圆的半径r 取最大值，故当k ＝0时，r 取最大值1，∴圆心坐标为(0，－1)．9. [答案] 在圆C 外部[解析] 将点P (1，－2)代入圆的方程，得1＋4＋m 2－2＋m 2＝2m 2＋3>0，∴点P 在圆C 外部．10. [答案] 4[解析] 由题意，知D ＝－4，E ＝8，r ＝(－4)2＋82－4F 2＝4，∴F ＝4. 11. [答案] 外部[解析] ∵x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0，∴点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的外部．12. [答案] 30－10 5[解析] 原点到圆心的距离为5，半径r ＝5，则a 2＋b 2最小值为(5－5)2＝30－10 5.13. [解析] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 两点的坐标分别代入，得⎩⎨⎧2D －4E －F ＝203D －E ＋F ＝－10①② 又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.由已知，|x 1－x 2|＝6(其中x 1，x 2是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根)，∴D 2－4F ＝36，③①、②、③联立组成方程组，解得⎩⎨⎧ D ＝－2E ＝－4F ＝－8，或⎩⎨⎧D ＝－6E ＝－8F ＝0.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.14. [解析] 设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∵点P (k,0)、Q (2,0)在圆上，∴k 、2为方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根．∴k ＋2＝－D,2k ＝F .即⎩⎨⎧ D ＝－(k ＋2)F ＝2k ，又因圆过点P (0,1)，故1＋E ＋F ＝0.∴E ＝－F －1＝－2k －1，故圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0.∴圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋22，2k ＋12.又∵圆在点P 的切线斜率为1，∴2k ＋12－0k ＋22－k＝－1，即k ＝－3，从而D ＝1，E ＝5，F ＝－6.即圆的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.15. [解析] 解法一：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.∴k CB ＝6＋E 28＋D 2，由k CB ·k l ＝－1，得6＋E 28＋D 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1，①又有(－2)2＋(－4)2－2D －4E ＋F ＝0，②82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0.③由①②③联立可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30.∴圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.解法二：设圆的圆心为C ，则CB ⊥l ，从而可得CB 所在直线的方程为y －6＝3(x －8)，即3x －y －18＝0.①由于A (－2，－4)、B (8,6)，则AB 的中点坐标为(3,1)，又k AB ＝6＋48＋2＝1， ∴AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0②由①②联立后，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝112y ＝－32.即圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫112，－32 ∴所求圆的半径r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫112－82＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋322＝1252. ∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1252. 16. [解析] 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆经过点(4,2)和(－2，－6)，∴⎩⎨⎧4D ＋2E ＋F ＋20＝0 ①2D ＋6E －F －40＝0 ②设圆在x 轴上的截距为x 1、x 2，它们是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两个根，得x 1＋x 2＝－D .设圆在y 轴上的截距为y 1、y 2，它们是方程y 2＋Dy ＋F ＝0的两个根，得y 1＋y 2＝－E .由已知，得－D ＋(－E )＝－2，即D ＋E －2＝0.③.由①②③联立解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴所求圆的一般方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，化为标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25.。

圆的一般方程练习

圆的一般方程练习1.若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是( )A ．m <12B ．m <0C ．m >12D ．m ≤122.方程Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线为圆，则有( )A ．A ＝C ≠0B ．D 2＋E 2－4AF >0C ．A ＝C ≠0且D 2＋E 2－4AF >0 D ．A ＝C ≠0且D 2＋E 2－4AF ≥03.圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于( ) A.2π B ．2π C ．22π D ．4π4.过点P (－8，－1)，Q (5,12)，R (17,4)三点的圆的圆心坐标是( )A ．(5,1)B ．(4，－1)C ．(5，－1)D ．(－5，－1)5.圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝56.圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是 ( )A ．36 B. 18 C. 26 D. 257.已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 68.如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)所表示的曲线关于y ＝x 对称，则必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．F ＝ED ．D ＝E ＝F9.当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝010.若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( ) A. 5 B ．5 C ．2 5 D ．1011.已知圆x 2－4x －4＋y 2＝0的圆心是P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是________．12.点A (1,0)在圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋3a －3＝0上，则a 的值为________．13.已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．14.圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于A (0，－4)，B (0，－2)两点，求圆C 的方程．15.已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．16.已知圆的方程是x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0.(1)求此圆的圆心与半径；(2)求证：不论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆．17.设有一个半径为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东，而乙向北前进，甲出村后不久，改变前进方向．沿着相切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇，设甲、乙两人的速度都一定，其比为3:1，此二人在何处相遇？17.如图，直角△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P、Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．圆的一般方程练习答案ACCCA CBACB 11. 22；12. －2；13. (x －1)2＋(y ＋1)2＝9 14.解设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心C ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2在直线2x －y －7＝0上， ∴2⎝⎛⎭⎫－D 2－⎝⎛⎭⎫－E 2－7＝0. 即D －E 2＋7＝0.① 又∵A (0，－4)，B (0，－2)在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4E ＋F ＝0，4－2E ＋F ＝0. ②③由①②③解得D ＝－4，E ＝6，F ＝8. ∴圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0. 15.解设点M (x ，y )，点P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧ x ＝x 02，y ＝y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y .∵点P (x 0，y 0)在圆C 上， ∴x 20＋y 20－8x 0－6y 0＋21＝0. ∴(2x )2＋(2y )2－8·(2x )－6·(2y )＋21＝0. 即点M 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x －3y ＋214＝0. 16.解 (1)x 2＋y 2＋2(m －1)x －4my ＋5m 2－2m －8＝0可化为2＋(y －2m )2＝9，∴圆心为(1－m,2m )，半径r ＝3.(2)证明：由(1)知，圆的半径为定值3，且圆心(a ，b )满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－m ，b ＝2m ，即2a ＋b ＝2. ∴不论m 为何实数，方程表示的圆的圆心都在直线2x ＋y －2＝0上，且为等圆．17.如图，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴建立直角坐标系．设甲向东走到D 转向到C 恰好与乙相遇．设D ，C 两点的坐标分别为(a,0)，(0，b )，其中a ＞3，b ＞3，则CD 方程为x a ＋yb＝1.设乙的速度为v ，则甲的速度为3v .依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ ab a 2＋b 2＝3，a 2＋b 2＋a 3v ＝b v . 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝154.∴乙向北走3.75 km 时两人相遇．18.如上图，以O 为坐标原点，以直线BC 为x 轴，建立平面直角坐标系，于是有B (－m,0)，C (m,0)，P (－n,0)，Q (n,0)．设A (x ，y )，由已知，点A 在圆x 2＋y 2＝m 2上．|AP |2＋|AQ |2＋|PQ |2＝(x ＋n )2＋y 2＋(x －n )2＋y 2＋4n 2＝2x 2＋2y 2＋6n 2＝2m 2＋6n 2(定值)．。

圆的一般方程练习

9．若l是经过点P(－1,0)和圆x2＋y2＋4x－2y＋3＝0的圆心的直线，则l在y轴上的截距是________．
10．过圆x2＋y2－6x＋4y－3＝0的圆心，且平行于直线x＋2y＋11＝0的直线的方程是________________________．
三、解答题
11．求经过点A(1， )和B(2，－2 )，且圆心在x轴上的圆的方程．
A．D＝E＝0，F≠0B．D＝F＝0，E≠0
C．D＝E≠0，F≠0D．D＝E≠0，F＝0
4．若直线3x＋y＋a＝0经过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则实数a的值为()
A．－1B．1C．－3D．3
5．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是()
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
6．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为()
A．8 B．－4C．6 D．无法确定
二、填空题
7．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为________．
8．如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是________．
圆的一般方程
一、选择题
1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径长分别为()
A．(4,－6)，16B．(2,－3)，4
C．(－2,3)，4D．(2,－3)，16
2．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是()
A．一个点B．一个圆
C．一条直线D．不存在
3．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圆过原点且圆心在直线y＝x上的条件是()

2.2圆的一般方程同步练习北师大版选择性必修第一册第一章

2.2圆的一般方程同步练习北师大版选择性必修第一册第一章2.2 圆的一般方程1.若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,则实数a的取值范围是()A.RB.(-∞,0)∪(0,+∞)C.(0,+∞)D.(1,+∞)2.已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是()A.x2+y2+4x-2y-5=0B.x2+y2-4x+2y-5=0C.x2+y2+4x-2y=0D.x2+y2-4x+2y=03.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为()A.2B.22C.1D.24.已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为()A.x2+y2-4x+6y+8=0B.x2+y2-4x+6y-8=0C.x2+y2-4x-6y=0D.x2+y2-4x+6y=05.圆C:x2+y2+4x-2y+3=0的圆心是.半径是.6.点P(x0,y0)是圆x2+y2=16上的动点,点M是OP(O为原点)的中点,则动点M的轨迹方程为.7.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角α=.8.已知三角形的三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(-6,3),C(3,0),求这个三角形外接圆的一般方程.能力达标9.若a∈-2,0,1,23,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为()A.0B.1C.2D.310.已知圆C与圆x2+y2-2y=0关于直线x-y-2=0对称,则圆C的方程是()A.(x+1)2+y2=1B.(x-3)2+(y+2)2=1C.(x+3)2+(y-2)2=1D.(x+2)2+(y-3)2=111.(多选题)圆x2+y2-4x-1=0()A.关于点(2,0)对称B.关于直线y=0对称C.关于直线x+3y-2=0对称D.关于直线x-y+2=0对称12.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为22,则实数a的值为()A.0或2B.0或-2C.0或12D.-2或213.若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为()A.5B.5C.25D.1014.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹方程是.15.已知圆x2+y2+4x-6y+a=0关于直线y=x+b成轴对称图形,则a-b的取值范围是.16.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径长为2,求圆的一般方程.17.设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.(1)求圆M的方程.(2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.1.若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,则实数a的取值范围是()A.RB.(-∞,0)∪(0,+∞)C.(0,+∞)D.(1,+∞)答案B解析当a≠0时,方程为x-2a-2a2+y+2a2=4(a2-2a+2)a2,由于a2-2a+2=(a-1)2+1>0恒成立,∴当a≠0时,方程表示圆.当a=0时,易知方程为x+y=0,表示直线.综上可知,实数a的取值范围是(-∞,0)∪(0,+∞).2.已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是()A.x2+y2+4x-2y-5=0B.x2+y2-4x+2y-5=0C.x2+y2+4x-2y=0D.x2+y2-4x+2y=0答案C解析设直径的两个端点分别为A(a,0),B(0,b),圆心为点(-2,1),由线段中点坐标公式得a+02=-2,0+b2=1,解得a=-4,b=2.∴半径r=(-2+4)2+(1-0)2=5,∴圆的方程是(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y2+4x-2y=0.3.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为()A.2B.22C.1D.2答案D解析因为圆心坐标为(1,-2),所以圆心到直线x-y=1的距离为d=|1+2-1|2=2.4.已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为()A.x2+y2-4x+6y+8=0B.x2+y2-4x+6y-8=0C.x2+y2-4x-6y=0D.x2+y2-4x+6y=0答案D解析易知圆C的半径为13,所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13,展开得一般方程为x2+y2-4x+6y=0.5.圆C:x2+y2+4x-2y+3=0的圆心是.半径是.答案(-2,1)2解析由圆C:x2+y2+4x-2y+3=0,得(x+2)2+(y-1)2=2,∴圆C的圆心坐标为(-2,1),半径为2.6.点P(x0,y0)是圆x2+y2=16上的动点,点M 是OP(O为原点)的中点,则动点M的轨迹方程为.答案x2+y2=4 解析设M(x,y),则x=x02,y=y02,即x0=2x,y0=2y.又点(x0,y0)在圆上,∴4x2+4y2=16,即x2+y2=4.7.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角α=.答案3π4解析圆的半径r=12k2+4-4k2=124-3k2,当k=0时,rmax=1,直线y=(k-1)x+2的斜率为-1,倾斜角为3π4.8.已知三角形的三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(-6,3),C(3,0),求这个三角形外接圆的一般方程.解设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,∵A,B,C三点都在圆上,∴A,B,C三点的坐标都满足所设方程,把A(4,1),B(-6,3),C(3,0)的坐标依次代入所设方程,得4D+E+F+17=0,-6D+3E+F+45=0,3D+F+9=0,解得D=1,E=-9,F=-12,所以所求圆的方程为x2+y2+x-9y-12=0.能力达标9.若a∈-2,0,1,23,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为()A.0B.1C.2D.3答案B解析根据题意,若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则有a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,解得-2A.(x+1)2+y2=1B.(x-3)2+(y+2)2=1C.(x+3)2+(y-2)2=1D.(x+2)2+(y-3)2=1答案B解析将圆x2+y2-2y=0化成标准形式,得x2+(y-1)2=1,∴已知圆的圆心为(0,1),半径r=1.∵圆C与圆x2+y2-2y=0关于直线x-y-2=0对称,∴圆C的圆心C与点(0,1)关于直线x-y-2=0对称,半径也为1.设C(m,n),可得1-n-m=-1,12m-1+n2-2=0,解得m=3,n=-2,∴C(3,-2),可得圆C的方程是(x-3)2+(y+2)2=1.11.(多选题)圆x2+y2-4x-1=0()A.关于点(2,0)对称B.关于直线y=0对称C.关于直线x+3y-2=0对称D.关于直线x-y+2=0对称答案ABC解析圆x2+y2-4x-1=0,即圆(x-2)2+y2=5,它的圆心为(2,0),半径等于5,故圆关于点(2,0)对称,且关于经过(2,0)的直线对称,故选ABC.12.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为22,则实数a的值为()A.0或2B.0或-2C.0或12D.-2或2答案A解析圆x2+y2-2x-4y=0,即(x-1)2+(y-2)2=5,它的圆心(1,2)到直线x-y+a=0的距离为|1-2+a|2=22,则实数a=0或a=2,故选A.13.若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为()A.5B.5C.25D.10答案B解析由题意得直线l过圆心M(-2,-1),则-2a-b+1=0,即b=-2a+1.所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a2+5≥5,所以(a-2)2+(b-2)2的最小值为5.14.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹方程是.答案x2+y2-203x+4=0解析设M(x,y),由|MA|=2|MB|,A(-2,0),B(2,0),得(x+2)2+y2=2(x-2)2+y2,整理,得3x2+3y2-20x+12=0,即x2+y2-203x+4=0.15.已知圆x2+y2+4x-6y+a=0关于直线y=x+b成轴对称图形,则a-b的取值范围是.答案(-∞,8)解析由题意知,直线y=x+b过圆心,而圆心坐标为(-2,3),代入直线方程,得b=5,所以圆的方程化为标准方程为(x+2)2+(y-3)2=13-a,所以a<13,由此得a-b<8.16.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径长为2,求圆的一般方程.解圆心C 的坐标为-D2,-E2,因为圆心在直线x+y-1=0上,所以-D2-E2-1=0,即D+E=-2.①又r=D2+E2-122=2,所以D2+E2=20.②由①②可得D=2,E=-4或D=-4,E=2.又圆心在第二象限,所以-D2<0,-E2>0,即D>0,E<0,所以D=2,E=-4,所以圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.17.设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.(1)求圆M的方程.(2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.解(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵圆M过点A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),∴a2+aE+F=0,3a-3aD+F=0,3a+3aD+F=0,解得D=0,E=3-a,F=-3a.∴圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.(2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由3+y=0,x2+y2+3y=0,解得x=0,y=-3.∴圆M过定点(0,-3).。

高中-数学-通用版-4.1.2 圆的一般方程(一)

4.1.2 圆的一般方程（一）一、选择题1、圆x2+y2+4x–6y–3=0的圆心和半径分别为（）A. （4，–6），r=16B. （2，–3），r=4C. （–2，3），r=4D. （2，–3），r=162、由方程x2+y2–4tx–2ty+5t2–4=0（t为参数）所表示的一组圆的圆心轨迹是（）A. 一个定点B. 一个椭圆C. 一条抛物线D. 一条直线3、已知圆C的一般方程为x2+y2+2x–4y+1=0，其圆心坐标为（a，b），半径为r，则以下说法中，正确的是（）A. a=–1，b=2，r=2B. a=–1，b=2，r=4C. a=1，b=–2，r=2D. a=1，b=–2，r=44、方程x2+xy=x表示的曲线是（）A. 一个点B. 一条直线C. 两条直线D. 一个点和一条直线5、已知实数x，y满足x2+y2–2x–2y+1=0，则x2+y2的最小值为（）A. 1B.C. 3-D. 26、过三点A（–3，2），B（3，–6），C（0，3）的圆的方程为（）A. x2+y2+4y–21=0B. x2+y2–4y–21=0C. x2+y2+4y–96=0D. x2+y2–4y–96=07、已知方程x2+y2–2x+2y+a=0表示圆，则实数a的取值范围是（）A. （2，+∞）B. （–2，+∞）C. （–∞，2）D. （–∞，1）8、曲线x2+y2x–4=0关于（）A. 直线x轴对称B. 直线y=–x轴对称C. 点（–2D. 点（，0）中心对称9、在平面直角坐标系内，若曲线C：x2+y2+2ax–4ay+5a2–4=0上所有的点均在第二象限内，则实数a取值范围为（）A. （1，+∞）B. （2，+∞）C. （–∞，–2）D. （–∞，–1）10、已知圆x2+y2–4x+6y=0的圆心坐标为（a，b），则a2+b2=（）A. 8B. 16C. 12D. 13二、填空题11、圆x2+y2–2x+4y=0的面积为______．12、圆x2+y2–2x+6y+8=0的周长为______．13、圆x2+y2+6x–4y+12=0的圆心坐标是______．14、若直线3x–4y+12=0与两坐标轴的交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的一般方程为______．15、若方程x2+y2–2mx+（2m–2）y+2m2=0表示一个圆，且圆心位于第一象限，则实数m 的取值范围是______．三、解答题16、若方程x2+y2+2mx–2y+m2+5m=0表示圆，求：（1）实数m的取值范围；（2）圆心坐标和半径．17、若圆过A（2，0），B（4，0），C（0，2）三点，求这个圆的方程．18、求满足下列条件的圆的一般方程：（1）圆心为C（2，–2）且过点P（6，3）的圆的方程；（2）已知点A（–4，–5），B（6，–1），求以线段AB为直径的圆的方程．19、已知实数x，y满足方程x2+y2–4x+1=0．（1）求yx的最值；（2）求y–x的最值；（3）求x2+y2的最值．20、m为何值时，方程x2+y2–4x+2my+2m2–2m+1=0表示圆，并求半径最大时圆的方程．答案第1页，共5页参考答案1、【答案】C【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】将圆x 2+y 2+4x –6y –3=0的方程化成标准形式，得（x +2）2+（y –3）2=16，∴圆x 2+y 2+4x –6y –3=0的圆心为C （–2，3），半径r =4，选C. 2、【答案】D【分析】本题考查轨迹方程.【解答】动圆x 2+y 2–4tx –2ty +5t 2–4=0可化为()()2224x t y t -+-=，∴圆心的坐标为()2,t t ，半径2r =.设圆心的坐标为(),x y ，则2,x t y t ==，消去参数t 得20x y -=，则圆心的轨迹为一条直线，故选D. 3、【答案】A【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】圆C 的一般方程为x 2+y 2+2x –4y +1=0，它的标准方程为（x +1）2+（y –2）2=4，表示以（–1，2）为圆心、半径等于2的圆．再根据其圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，可得a =–1，b =2，r =2，选A. 4、【答案】C【分析】本题考查轨迹方程.【解答】方程x 2+xy =x 即x （x +y –1）=0，化简可得x =0或x +y –1=0．而x =0表示一条直线，x +y –1=0也表示一条直线，故方程x 2+xy =x 的曲线是两条直线，选C. 5、【答案】C【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】圆x 2+y 2–2x –2y +1=0，即（x –1）2+（y –1）2=1，表示以C （1，1）为圆心、半径等于1的圆．则x 2+y 2表示圆上的点和原点连线的距离的平方．由于CO∴CO 2=2，∴x 2+y 2的最小值为)21C.6、【答案】A【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】AB 的中点坐标为（0，-2），直线AB 的斜率为43-，∴垂直平分线的斜率为34，则线段AB 的垂直平分线方程为324y x +=，化简得3480x y --=①；同理得到AC的中点坐标为35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AC 的斜率为13，∴垂直平分线的斜率为-3，则线段AC的垂直平分线的方程为53322y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，化简得6240x y ++=②.联立①②解得0,2,x y =⎧⎨=-⎩则圆心坐标为()0,2-，圆的半径5r =，则圆的标准方程为()22225x y ++=，即224210x y y ++-=，故选A.7、【答案】C【分析】本题考查二元二次方程表示圆的条件.【解答】∵方程x 2+y 2–2x +2y +a =0表示圆，∴22+22–4a ＞0，∴4a ＜8，∴a ＜2，选C. 8、【答案】B【分析】本题考查关于点、直线对称的圆的方程.【解答】曲线x 2+y 2x –4=0表示圆，且圆心坐标为（）；由于圆心在直线y =–x 上，∴曲线关于直线y =–x 对称．∴A 、C 、D 都不正确．选B. 9、【答案】B【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】由已知圆的方程为x 2+y 2+2ax –4ay +5a 2–4=0，则圆的标准方程为()()2224x a y a ++-=，故圆的圆心为(),2a a -，圆的半径为2，若曲线C ：x 2+y 2+2ax –4ay +5a 2–4=0上所有的点均在第二象限内，则0a >，且2a ->，解得2a >，故a 的取值范围是()2,+∞，故选B. 10、【答案】D【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】圆x 2+y 2–4x +6y =0化为：（x –2）2+（y +3）2=13的圆心坐标为（2，–3），则a 2+b 2=4+9=13．选D ． 11、【答案】5π【分析】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化.【解答】圆的方程即（x –1）2+（y +2）21，–2圆，故圆的面积为π•r 2=5π，故答案为：5π．12、【答案】【分析】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化.答案第3页，共5页【解答】圆x 2+y 2–2x +6y +8=0，即圆（x –1）2+（y +3）2=2，表示以（1，–3）为圆心，． 13、【答案】（–3，2）【分析】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化.【解答】圆x 2+y 2+6x –4y +12=0，即（x +3）2+（y –2）2=1，故圆的圆心为（–3，2），故答案为：（–3，2）． 14、【答案】x 2+y 2+4x –3y =0 【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】由x =0得y =3，由y =0得x =–4，∴A （–4，0），B （0，3），∴以AB 为直径的圆的圆心是（–2，32），半径r=1522=，∴以AB 为直径的圆的方程是（x +2）2+（y –32）2=254，即x 2+y 2+4x –3y =0．故答案为：x 2+y 2+4x –3y =0． 15、【答案】（0，12）【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】方程x 2+y 2–2mx +（2m –2）y +2m 2=0表示一个圆，可得：圆心为（m ，1–m ），r=＞0．∴12m <，由圆心位于第一象限，010m m >⎧⎨->⎩，解得0＜m ＜1．∴实数m 的取值范围是0＜m ＜12．故答案为：（0，12）． 16、【答案】（1）1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）圆心坐标为(),1m -，半径r = 【分析】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，二元二次方程表示圆的条件. 【解答】（1）∵方程x 2+y 2+2mx –2y +m 2+5m =0表示圆， ∴()()()22222422450,D E F m m m +-=+--+>即22444200m m m +-->，解得15m <，故m 的取值范围是1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）将方程x 2+y 2+2mx –2y +m 2+5m =0写成标准方程为()()22115x m y m ++-=-，可得圆心坐标为(),1m -，半径r = 17、【答案】x 2+y 2–6x –6y +8=0．【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，则4201640240D F D F E F ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③， ②–①得：12+2D =0，∴D =–6，代入①得：4–12+F =0，∴F =8，代入③得：2E +8+4=0，∴E =–6， ∴D =–6，E =–6，F =8，∴圆的方程是x 2+y 2–6x –6y +8=0．18、【答案】（1）2244330x y x y +-+-=；（2）2226190x y x y +-+-=．【分析】本题考查圆的一般方程的求法.【解答】（1）=，故圆的方程为（x –2）2+（y +2）2=41，即2244330x y x y +-+-=；（2）由中点坐标公式得线段AB 的中点坐标为C （1，–3），即圆心的坐标，r==，故圆的方程为（x –1）2+（y +3）2=29，即2226190x y x y +-+-=．19、【答案】（1）最小值为（2）最小值为，最大值为；（3）最大值为【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】（1）实数,x y 满足x 2+y 2–4x +1=0，可化成()2223,x y -+= 其表示以点()2,0为半径的圆. 设yk x=，即y kx =，圆心()2,0到y kx =的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值，=23k =，∴max min k k == 即yx（2）令y –x =t ，即x –y +t =0对应直线l ，答案第5页，共5页将直线l 平移，当l 与圆C ：（x –2）2+y 2=3相切时，t 达到最大或最小值，由d=t，∴t 的最小值为，最大值为；（3）满足x 2+y 2–4x +1=0的点P （x ，y ）在以C （2，0）为圆心，x 2+y 2=|OP |2， ∵当P 、O 、C 三点共线时，|OP |达到最大值或最小值，∴当圆C 上的点P 在OC 延长线上时，|OP |的最大值为|OC得到x 2+y 2的最大值为（2当圆C 上的点P 在线段OC 上时，|OP |的最小值为|OC，得到x 2+y 2的最大值为（）2综上所述，x 2+y 2的最大值为．20、【答案】1m =，圆的方程为224210x y x y +-++=．【分析】本题考查二元二次方程表示圆的条件.【解答】方程x 2+y 2–4x +2my +2m 2–2m +1=0，即()()222223x y m m m -++=-++，它表示圆时，应有2230m m -++>，求得13m -<<. 当半径最大时，应有223m m -++最大，此时，1m =，圆的方程为224210x y x y +-++=.。

圆的一般方程

）
（3）当D2+E2-4F＜0时，方程（1）无实数解，所以
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程。
圆的一般方程：
x2 ＋y
2＋Dx＋Ey＋F＝0
（D2+E2-4F>0）
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1 2 D + E - 4F
2 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径一般方程突出形式上的特点：
x2与y2系数相同并且不等于0；没有xy这样的二次项。
圆的一般方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）二元二次方程：A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0 的关系:
1、A ＝ C ≠ 0 2、B=0 3、
D2＋E2－4AF＞0

二元二次方程
表示圆的一般方程
练习：判断下列方程能否表示圆的方程,
若能写出圆心与半径（1）x2+y2-2x+4y-4=0 是圆心（1，-2）半径3
（2）2x2+2y2-12x+4y=0 是圆心（3，-1）半径（3）x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是（4）x2+y2-12x+6y+50=0 不是
y
O
A
x
r
知识回顾：
圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
x + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b2 - r 2 = 0

圆的一般方程练习

A．(x＋3)2＋y2＝4
B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1
D．(2x＋3)2＋4y2＝1
三、填空题
7．设圆 x2＋y2－4x＋2y－11＝0 的圆心为 A，点 P 在圆上，则 PA 的中心 M 的轨迹方程是________．
8．已知圆 C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线 l：x－y＋2＝0 的对称点都在圆 C 上，则 a＝________.
五、附加题
1．若曲线 C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0 上所有的点均在第二象限内，则 a 的取值范围为( )
A．(－∞，－2)
B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞)
D．(2，＋∞)
2．（多选）关于方程 x2＋y2＋2ax－2ay＝0 表示的圆，下列叙述正确的是( )
A．圆心在直线 y＝－x 上
A．一个点
B．一个圆
C．一条直线
D．不存在
2．若方程 x2＋y2－x＋y＋m＝0 表示一个圆，则实数 m 的取值范围是( )
A．m＜1 2
B．m≤1 2
C．m＜2
D．m≤2
3. 圆 x2＋y2－2x＋6y＋8＝0 的面积为( )
A.8π
B.4π
C.2π
D.π
4．若方程 x2＋y2＋2λx＋2λy＋ 2λ2―λ＋1＝0 表示圆，则λ的取值范围是( )
9．如果圆的方程为 x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为_____．
四、解答题
10．已知圆 C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线 x＋y－1＝0 上，且圆心在第二象限，半径长为 2，求圆的一般方程．

圆的一般方程拓展练习

圆的一般方程拓展练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为()A.2B.√22C.1D.√22.若方程x2+y2+ax+2ay+54a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是()A.a<1B.a>1C.-2<a<23D.-2<a<03.如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,且圆的面积为π,则圆心坐标为()A.(0,-1)B.(1,-1)C.(-1,-1)D.(0,1)4.已知实数x,y满足x2+y2=1,则√3x+y的取值范围是()A.(-2,2)B.(-∞,2]C.[-2,2]D.(-2,+∞)5.“m>0”是“点(1,-1)在圆x2+y2-x+y+m=0外”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆,则该圆的圆心在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.已知三点A(1,0),B(0,√3),C(2,√3),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为 ()A.53B.√213C.2√53D.438.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(4,3),点B是圆(x+1)2+y2=4上的动点,则线段AB的中点M的轨迹方程是()A.x-322+y-322=1B.x-322+y-322=4C.(x-3)2+(y-3)2=1D.(x-3)2+(y-3)2=2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.如果x2+y2-2x+y+k=0是圆的方程,那么实数k的取值范围是.10.已知圆C:x2+y2-4x-4y=0与x轴相交于A,B两点,则弦AB所对的圆心角为.11.若圆x2+y2-2kx+2y-4=0关于直线2x-y+3=0对称,则实数k等于.12.已知点A(1,-2),B(4,0),P(a,1),N(a+1,1),当四边形PABN的周长最小时,过A,P,N三点的圆的圆心坐标为.三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)已知一个圆过点A(4,2),B(-1,3),且它与坐标轴交于四点(x1,0),(x2,0),(0,y3),(0,y4),若x1+x2+y3+y4=2,求此圆的方程.14.(10分)已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0(t∈R)表示的曲线是圆.(1)求t的取值范围;(2)求该圆的面积取得最大值时圆的方程;(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内,求t的取值范围.15.(5分)若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限,则a的取值范围为()A.(-∞,-2)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(2,+∞)16.(5分)[2021·成都高二期中] 如图L2-4-3,已知圆O:x2+y2=16,A,B是圆O上两个动点,点P(2,0),则矩形PACB的顶点C的轨迹方程是.图L2-4-317.(10分)如图L2-4-4,已知矩形的四个顶点分别为A(0,-2),C(4,2),B(4,-2),D(0,2).(1)求对角线AC所在直线的方程.(2)求矩形ABCD外接圆的方程.(3)若动点P为外接圆上一点,点N(-2,0)为定点,那么线段PN的中点M的轨迹是什么?并求出该轨迹方程.图L2-4-4参考答案1.D[解析] 圆心坐标为(1,-2),则圆心到直线x-y=1的距离d=√2=√2.2.A[解析] 当a2+4a2-454a2+a-1>0时方程表示圆,故-a+1>0,解得a<1.3.A[解析] 把圆的一般方程化为标准方程得x+k22+(y+1)2=1-34k2,即r2=1-34k2,所以π1-34k2=π,得k=0,所以圆心坐标为(0,-1).4.C[解析] 设x=sin α,y=cos α,则√3x+y=√3sin α+cos α=2sinα+π6,所以√3x+y的取值范围是[-2,2].故选C.5.B[解析] x2+y2-x+y+m=0可化为x-122+y+122=12-m,则12-m>0,解得m<12.因为点(1,-1)在圆外,所以1+1-1-1+m>0,即m>0,所以0<m<12.所以“m>0”是“点(1,-1)在圆x2+y2-x+y+m=0外”的必要不充分条件.6.D [解析] 因为方程x 2+y 2+ax-2ay+2a 2+3a=0表示的图形是圆,且方程可化为x+a22+(y-a )2=-34a 2-3a ,所以圆心坐标为-a 2,a ,r 2=-34a 2-3a.又r 2>0,所以-34a 2-3a>0,解得-4<a<0,故该圆的圆心在第四象限.7.B [解析] 由点B (0,√3),C (2,√3),得线段BC 的垂直平分线的方程为x=1①.由点A (1,0),B (0,√3),得线段AB 的垂直平分线的方程为y-√32=√33x-12②.联立①②,可得△ABC 外接圆的圆心坐标为1,2√33,其到原点的距离为√12+(2√33)2=√213.8.A [解析] 设B (m ,n ),M (x ,y ),根据中点坐标公式可得m=2x-4,n=2y-3,由点B 在圆(x+1)2+y 2=4上,得(2x-3)2+(2y-3)2=4,即x-322+y-322=1,故选A .9.-∞,54 [解析] ∵x 2+y 2-2x+y+k=0是圆的方程,∴(-2)2+12-4k>0,解得k<54,即实数k 的取值范围是-∞,54.10.90° [解析] 将圆C 的方程化为标准方程,得(x-2)2+(y-2)2=8,因为圆C 过原点,所以易知△ACB 为等腰直角三角形,因此弦AB 所对的圆心角为90°.11.-2 [解析] 由条件可知,直线经过圆的圆心(k ,-1),所以2k-(-1)+3=0,解得k=-2. 12.3,-98 [解析] ∵|AB|,|PN|为定值,∴只需求|PA|+|BN|的最小值.|PA|+|BN|=√(a −1)2+[1−(−2)]2+√(a −3)2+(1−0)2=√(a −1)2+(0−3)2+√(a −3)2+(0+1)2,其几何意义为动点(a ,0)到两定点(1,3)和(3,-1)的距离之和,当这三点共线,即a=52时,距离之和取得最小值.此时,线段PN 的中垂线x=3与线段PA 的中垂线y+12=-12x-74的交点坐标为3,-98,即所求圆的圆心坐标为3,-98.13.解:设该圆的一般方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.令y=0,得x 2+Dx+F=0,所以x 1+x 2=-D ;令x=0,得y 2+Ey+F=0,所以y 3+y 4=-E.由题意,知x 1+x 2+y 3+y 4=-(D+E )=2,所以D+E=-2①.又A (4,2),B (-1,3)在圆上,所以16+4+4D+2E+F=0②,1+9-D+3E+F=0③,由①②③,得D=-2,E=0,F=-12.故所求圆的方程为x 2+y 2-2x-12=0.14.解:(1)已知方程可化为(x-t-3)2+(y+1-4t 2)2=(t+3)2+(1-4t 2)2-16t 4-9=-7t 2+6t+1,设圆的半径为r ,则r 2=-7t 2+6t+1>0,即7t 2-6t-1<0,解得-17<t<1.(2)由(1)可知,r=√−7t 2+6t +1=√−7(t −37) 2+167,∴当t=37时,r max =4√77,此时圆的面积最大,则对应的圆的方程是x-2472+y+13492=167.(3)由题易知,当且仅当{−7t 2+6t +1>0,(3−t −3)2+(4t 2+1−4t 2)2<−7t 2+6t +1时,点P 恒在圆内,∴{8t 2−6t <0,−7t 2+6t +1>0,解得0<t<34,∴t 的取值范围是0,34. 15.D [解析] 曲线C 的方程可化为(x+a )2+(y-2a )2=4,则曲线C 表示的是以(-a ,2a )为圆心,2为半径的圆.要使圆C 上所有的点均在第二象限,则圆心(-a ,2a )必在第二象限,并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C 的半径,易知圆心到两坐标轴的最短距离为|-a|,从而有a>0且|-a|>2,故a>2.16.x 2+y 2=28 [解析] 设点C (x ,y ),连接AB ,CP ,OB ,则AB 和CP 的交点为M2+x 2,y 2且M 为矩形PACB 的中心,连接OM ,则OM ⊥AB ,∴|OB|2=|OM|2+|MB|2=|OM|2+|MP|2,即16=2+x 22+y 22+2+x 2-22+y 22,即64=(x 2+4x+4+y 2)+(x 2-4x+4+y 2),整理得x 2+y 2=28.17.解:(1)由两点式可知,对角线AC 所在直线的方程为y−2−2−2=x−40−4,整理得x-y-2=0.(2)设G 为外接圆的圆心,则G 为AC 的中点,∴点G 的坐标为0+42,−2+22,即G (2,0).设r 为外接圆的半径,则r=12|AC|,又∵|AC|=√(4−0)2+(2+2)2=4√2,∴r=2√2,∴外接圆的方程为(x-2)2+y 2=8.(3)设点P 的坐标为(x 0,y 0),线段PN 的中点M 的坐标为(x ,y ),则x=x 0−22,y=y02,∴x 0=2x+2,y 0=2y.∵P 为外接圆上一点,∴(x 0-2)2+y 02=8,∴(2x )2+(2y )2=8,即x 2+y 2=2,∴线段PN 的中点M 的轨迹是以原点为圆心,√2为半径的圆,其轨迹方程为x 2+y 2=2.。