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对数函数加减运算法则公式
对数函数加减运算法则公式好的，以下是为您生成的文章：咱们今天来好好聊聊对数函数的加减运算法则公式，这玩意儿在数学里可重要着呢！先给您讲讲对数函数的基本概念哈。
就说对数函数y = logₐx ，其中a 是底数，x 是真数。
这底数 a 得大于 0 且不等于 1 ，真数 x 也得大于0 。
您可别嫌我啰嗦，把这些基础弄清楚了，后面理解运算法则就容易多啦。
那咱们进入正题，说说对数函数的加减运算法则。
logₐM + logₐN = logₐ(MN) ，这就好比把两个数的对数加起来，就等于这两个数相乘的对数。
举个例子吧，比如说 log₂4 + log₂8 ，咱们先分别算出 log₂4 = 2 ，log₂8 = 3 ，那按照这个法则，log₂4 + log₂8 就等于 log₂(4×8) =log₂32 = 5 。
再看这个法则logₐM - logₐN = logₐ(M/N) ，这就是说两个数的对数相减，等于这两个数相除的对数。
我给您讲个我曾经遇到的事儿，有一次我在课堂上讲这个知识点，有个同学特别较真儿，就问我：“老师，这法则到底咋用啊？”我就给他举了个例子，我说假如你有 8 个苹果，要平均分给 4 个人，那每人能分到几个？这就是 8÷4 = 2 嘛。
那换成对数函数，log₂8 - log₂4 就等于 log₂(8÷4) = log₂2 = 1 。
这么一解释，那同学恍然大悟。
咱们接着说哈，在运用这些法则的时候，一定要注意底数得相同。
要是底数不同，那得先想办法把底数变成相同的，这就可能要用到换底公式啦。
还有啊，有时候题目里给的不是对数的形式，而是指数的形式，那您就得灵活转换。
比如说 a^m = N ，那logₐN = m 。
这就像变魔术一样，换个形式，问题可能就迎刃而解啦。
总之，对数函数的加减运算法则公式虽然看起来有点复杂，但只要您多做几道题，多琢磨琢磨，肯定能掌握得牢牢的。
就像学骑自行车，一开始可能摇摇晃晃，但练得多了，就能骑得又稳又快！相信您在数学的海洋里，也能凭借这些法则乘风破浪，勇往直前！。
对数函数加减乘除
对数函数加减乘除对数函数是数学中的一种重要函数，它在科学、工程、经济等领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨对数函数的加减乘除运算。
我们来看对数函数的加法运算。
对数函数的加法运算可以用以下公式表示：log(a*b) = log(a) + log(b)其中，a和b是对数函数的底数，log(a*b)表示a和b的乘积的对数，log(a)和log(b)分别表示a和b的对数。
这个公式的意义是，两个数的乘积的对数等于这两个数的对数之和。
接下来，我们来看对数函数的减法运算。
对数函数的减法运算可以用以下公式表示：log(a/b) = log(a) - log(b)其中，a和b是对数函数的底数，log(a/b)表示a除以b的对数，log(a)和log(b)分别表示a和b的对数。
这个公式的意义是，两个数的商的对数等于这两个数的对数之差。
然后，我们来看对数函数的乘法运算。
对数函数的乘法运算可以用以下公式表示：log(a^b) = b*log(a)其中，a是对数函数的底数，b是一个实数，log(a^b)表示a的b 次方的对数，log(a)表示a的对数。
这个公式的意义是，一个数的幂的对数等于这个数的对数乘以这个数的幂。
我们来看对数函数的除法运算。
对数函数的除法运算可以用以下公式表示：log(a^(1/b)) = log(a)/b其中，a是对数函数的底数，b是一个正整数，log(a^(1/b))表示a 的b次方根的对数，log(a)表示a的对数。
这个公式的意义是，一个数的根的对数等于这个数的对数除以这个数的根的次数。
对数函数的加减乘除运算是非常重要的，它们在数学和实际应用中都有广泛的应用。
我们需要掌握这些运算规律，以便更好地应用对数函数解决实际问题。
对数函数及其性质
在对金融风险进行评估时，对数函数也起着重要作用。例如 ，在计算投资组合的风险时，可以使用对数函数来简化计算 过程。
利用对数函数解决物理问题
声波传播
在物理学中，声波的传播距离与时间的关系可以使用对数函数来表示。在声 音传播过程中，声波的强度会逐渐减弱，而对数函数可以描述这种衰减现象 。
电路分析
VS
对数公式
loga(xy) = loga(x) + loga(y)， loga(x/y) = loga(x) - loga(y)，换底公式 ：logb(x) = logc(x) / logc(b)
对数函数的基本性质
定义域
x>0
值域
y∈R
函数图像
在直角坐标系中，以直线y = loga(x)为渐近线的双曲线
02
化学领域
物理领域
在物理领域中，对数函数被广泛应 用于声学、光学、电磁学等领域。
在化学中，对数函数被用于描述 化学反应速率与反应物浓度的关 系等。
04 生物学领域
在生物学中，对数函数被用于描述 生物种群增长等。
04
复合对数函数及其性质
复合对数函数的定义和公式
定义
$log_{a}(b\cdot c) = log_{a}(b) + log_{a}(c)$
换底公式的证明
设$x=\log_a(b)$，则$a^x=b$，将等式两边同时取以$c$为底的对数，有 $x\log_c(a)=\log_c(b)$，即$\log_c(b)/\log_c(a)=x=\log_a(b)$。
换底公式的基本应用
1 2
将不同底的对数化为同底的对数
利用换底公式，可以将不同底的对数化为同底 的对数，以便进行计算和比较。
对数函数基本公式
对数函数基本公式对数函数基本公式是一种函数，它以比例的形式表示两个量之间的关系。
它能够帮助人们解决复杂的数学问题，比如求解各种类型的方程，因此也被称为“指数函数”。
对数函数基本公式可以表示如下：y = log_a (x)其中，log_a表示以a为底的对数函数，x表示被求对数的值，y表示结果。
在数学中，对数函数是一种特殊的函数，它的值通过对原始值的对数运算来计算，而不是直接计算原始值。
它可以用于求解复杂的方程，解决数学问题，也可以用于求解统计数据。
一般来说，对数函数的基本公式可以表示为：y=log_a(x)其中，a表示底数，x表示原始值，y表示结果。
以10为底的对数函数可以表示为：y = log_{10} (x)以e为底的对数函数可以表示为：y = ln (x)其中，ln表示以e为底的对数函数。
对数函数的基本性质包括：1. 对数的性质：log_a (x)=c，则a^c=x；2. 对数的混合性质：log_a (mn)=log_a (m)+log_a (n)；3. 对数的乘法性质：log_a (xy)=log_a (x)+log_a (y)；4. 对数的除法性质：log_a (x/y)=log_a (x)-log_a (y)。
从上面的性质可以看出，对数函数是一种很强大的数学工具，它可以帮助人们快速求解复杂的方程，从而解决复杂的数学问题。
此外，对数函数也被广泛应用于生活中，比如在财务领域，可以使用对数函数计算股票价格的变化，以及股票的收益率。
在统计学中，对数函数也可以用来计算数据的变化，以及数据的分布情况。
总之，对数函数基本公式是一种重要的函数，它能够帮助人们快速解决复杂的数学问题，也可以用于生活中的计算，因此是一种非常重要的数学工具。
对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N Ûlog a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNN a a log log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数（1）对数函数的定义）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: : loglog a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象）对数函数的图象O xyy = l o g x a > Oxy<a <a y = l o g x a 1111( ())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是的图象是1 1 1-1 1111 1 xxxxy y y y O OOOA BC D解析：f （x ）=îíì<<-³.10,log ,1,log 22x x x x答案：A 2.若f －－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －－1（x ）的值域为___________________. 解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －－1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________. 解析：由0≤log 21（3－x ）≤1Þlog 211≤log 21（3－x ）≤log 2121Þ21≤3－x ≤1Þ2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x7y=z ，则x 、y 、z 之间满足之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由logx 7y=z Þx z=7y Þx 7z=y ，即y =x 7z. 答案：B 5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则，则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D 6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于等于 A.42 B.22 C.41 D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A 7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21 B.－21 C.2 D.－2 解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B 注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21. 8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是能是OxyOxyOxyOxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，)111-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观. 【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间. 解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增. 注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域. 【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23. 【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|. （1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x . 又∵3)2(2--x x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4， ∴当x ＝4时，y min ＝lg4. 【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f（x 1）+f （x 2）］＜f （221x xx x +）成立的函数是）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A 探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，127m +m －+m ）－+m+2m ≥+xm+2m ）+x m ≥2m （当且仅当=xm ，即=m 时等号成立）+x m +2m ）=4m ，即4m ≥≥169. 可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较. 3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 。
(完整版)对数函数总结
二、新授内容：定义：一般地，如果 的b 次幂等于N, 就是 ，那么数 b 叫做 ()1,0≠>a a a N a b=以a 为底 N 的对数，记作 ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数b N a =log 例如：; 1642=⇔216log 4=100102=⇔2100log 10= ; 2421=⇔212log 4=01.0102=-⇔201.0log 10-=探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）⑵，01log =a 1log =a a ∵对任意 且 , 都有 ∴0>a 1≠a 10=a 01log =a 同样易知： 1log =a a ⑶对数恒等式如果把 中的 b 写成 , 则有 N a b=N a log NaNa =log ⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数为了简便,N 的常用对数简记作lgNN 10log 例如：简记作lg5 ; 简记作lg3.5.5log 105.3log 10⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数简记作lnN N e log 例如：简记作ln3 ; 简记作ln103log e 10log e （6）底数的取值范围；真数的取值范围),1()1,0(+∞ ,0(+∞三、讲解范例：咯log例1将下列指数式写成对数式：（课本第87页）（1）=625 （2）=（3）=27 (4) =5.734562-641a3m ）（31例2 将下列对数式写成指数式：（1）； （2）128=7；416log 21-=2log （3）lg0.01=-2； （4）ln10=2.303例3计算： ⑴，⑵，⑶，⑷27log 981log 43()()32log 32-+625log 345二、新授内容：积、商、幂的对数运算法则：如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0有：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log NM log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+=三、讲授范例：例1 计算（1）25， （2）1， （3）（×）， （4）lg 5log 4.0log 2log 74525100例2 用，，表示下列各式：x a log y a log z a log log )2(;(1)log zxyaa 例3计算：(1)lg14-2lg+lg7-lg18 (2) (3)379lg 243lg 2.1lg 10lg 38lg 27lg -+四、课堂练习：1.求下列各式的值：（１）６－３ （２）lg ５＋lg ２2log 2log （３）３＋ （４）５－１５5log 5log 313log 3log 2. 用lg ｘ，lg ｙ，lg ｚ表示下列各式：(1) lg （xyz ）； （２）lg ； （３）； （４）z xy 2zxy 3lg z y x2lg 二、新授内容：1.对数换底公式：( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0)aNN m m a log log log =证明：设 N = x , 则 = Na log xa 两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m xm log log log log =⇒= 从而得： ∴ a N x m m log log =N a log =2.两个常用的推论:①，1log log =⋅a b b a 1log log log =⋅⋅a c b c b a② （ a, b > 0且均不为1）b mnb a na m log log =三、讲解范例：例1 已知 3 = a ， 7 = b, 用 a, b 表示 562log 3log 42log 例2计算：① ②3log 12.05-2194log 2log 3log -⋅例3设 且 ),0(,,+∞∈z y x zy x 643==1︒ 求证； 2︒ 比较的大小zy x 1211=+z y x 6,4,3 例4已知x=c+b ，求xa log a log 四、课堂练习：①已知 9 = a , = 5 , 用 a, b 表示4518log b1836log ②若 3 = p , 5 = q , 求 lg 58log 3log 1．证明：bxxa ab a log 1log log += 2．已知λ====n a a a b b b n log log log 2121 求证：λ=)(log 2121n a a a b b b n 二、新授内容：1．对数函数的定义：函数叫做对数函数；它是指数函数 的反x y a log =)10(≠>a a 且xa y =)10(≠>a a 且函数对数函数 的定义域为，值域为x y a log =)10(≠>a a 且),0(+∞),(+∞-∞2．对数函数的图象由于对数函数与指数函数互为反函数，所以的图象与x y a log =xa y =x y a log =的图象关于直线对称因此，我们只要画出和的图象关于对称的x a y =x y =x a y =x y =曲线，就可以得到的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质x y a log =A3．对数函数的性质三、讲解范例：例1（课本第94页）求下列函数的定义域：（1）； （2）； （3）2log x y a =)4(log x y a -=)9(log 2x y a -=例2求下列函数的反函数① ② 121-⎪⎭⎫⎝⎛=xy 3)21(12+=+x y )0(<x 四、练习：1.画出函数y=x 及y=的图象，并且说明这两个函数3log x 31log 的相同性质和不同性质.2.求下列函数的定义域：（1）y=(1-x) (2)y=3log x2log 1(3)y= x311log 7-x y 3log )4(=二、新授内容：例1比较下列各组数中两个值的大小：⑴； ⑵；5.8log ,4.3log 227.2log ,8.1log 3.03.0⑶)1,0(9.5log ,1.5log ≠>a a a a 例3比较下列各组中两个值的大小：⑴； ⑵6log ,7log 76.0log ,log 23π例4 求下列函数的定义域、值域：⑴ ⑵41212-=--xy )52(log 22++=x x y ⑶ ⑷)54(log 231++-=x x y )(log 2x x y a --=10(<<a 1．比较0.7与0.82log 31log 2．已知下列不等式，比较正数m 、n 的大小：（1）m ＜n (2) m ＞n 3log 3log 3.0log 3.0log (3) m ＜n(0＜a ＜1) (4) m ＞n(a ＞1) a log a log a log a log 二、新授内容：例1 ⑴证明函数在上是增函数)1(log )(22+=x x f ),0(+∞⑵函数在上是减函数还是增函数？)1(log )(22+=x x f )0,(-∞例2 求函数的单调区间，并用单调定义给予证明)32(log 221--=x x y 三、练习：1.求y=(-2x)的单调递减区间3.0log 2x 2.求函数y=(-4x)的单调递增区间2log 2x 3.已知y=(2-)在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围.a log xa 练习（1）证明函数y= (+1)在（0，+∞）上是减函数；21log 2x （2）判断函数y=（+1)在（-∞,0）上是增减性.21log 2x 概念是数学理论的基础、概念性强是中学数学中函数理论的一个显著特征，集合，函数三要素（对应法则、定义域、值域）；反函数；函数的单调性，最大（小）值等是函数有关概念的重要内容.本章学习的内容中数学概念较多，正确地理解数学概念在于准确把握概念的本质特征.1.映射的定义，就明确如下几点（1）映射f:A→B说的是两个集合A与B间的一种对应，两个集合是有序.（2）映射必须是“多对一”或“一对一”的对应，即允许集合A中不同元素在集合B中有相同的象，但不要求B中的元素在A中都有原象，有原象也不要求惟一，象集可以是B的真子集.（3）映射所涉及两个集合A、B(均非空)，可以是数集，也可以是点集或其他类元素构成的集合.2.函数的概念在映射的基础上理解函数概念，应明确：（1）函数是一种特殊的对应，它要求是两个集合必须是非空数集；函数y=f(x)是“y是x的函数”这句话的数学表示，其中x是自变量，y是自变量x的函数，f是表示对应法则，它可以是一个解析式，也可以是表格或图象，也有的只能用文字语言叙述.（2）函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.（3）确定函数定义域是函数这部分所涉及的重要问题之一，应会求各种函数的定义域，若为实际问题还应注意实际问题有意义.3.函数的单调性函数的单调性是函数重要概念之一，应明确：（1）它是一个区间概念，即函数的单调性是针对定义域内的区间而言的，谈到函数的1单调性必须指明区间（可以是定义域，也可以是定义域内某个区间），例如函数y=在（-x1∞,0）上是减函数，在（0，+∞）上也是减函数，但决不能讲函数y=是减函数.x（2）用函数单调性定义来确定函数在某区间是增函数还是减函数的一般方法步骤是：取值作差化积定号.（3）由函数单调性的定义知，当自变量由小到大，函数值也由小到大，则为增函数，反之，为减函数；由函数图象的走向十分直观反映函数变化趋势，当函数的图象（曲线）从左到右是逐渐上升的，它是增函数，反之为减函数.4.反函数反函数是函数部分重要概念之一，应明确：（1）对于任意一个函数y=f(x)不一定有反函数，如果有反函数，那么原函数y=f(x)与它的反函数是互为反函数.（2）原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域，在求反函数时，应先确定原函数的值域.（3）求反函数的步骤是“一解”“二换”.所谓一解，即是首先由给出原函数的解析式1-1-y=f(x)，反解出用y表示x的式子x=f(y)；二换，即是将x=f(y)中的x,y两个字母1-互换，解到y=f(x)即为所求的反函数（即先解后换）.当然，在同一直角坐标系中，函1-1-数y=f(x)与x=f(y)是表示同一图象，y=f(x)与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.（4）一般的偶函数不存在反函数，奇函数不一定存在反函数.（5）原函数与其反函数在其对称区间上的单调性是一致的.5．方法总结⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.⑵.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.⑶.反函数的求法：递解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).⑷.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.⑸.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.⑹.单调性的判定法：①设x ,x 是所研究区间内任两个自变量，且x ＜x ；②判定1212f(x )与f(x )的大小；③作差比较或作商比较.12⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.⑼.函数的应用举例(实际问题的解法).解决应用问题的一般程序是：①审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；②建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型.③求模：求解数学模型，得到数学结论.④还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义.四、二次函数的基础知识及运用：二次函数虽然是初中内容，但由于应用广泛性，且是解决许多数学问题的基础，在高考中属于重点考查的内容.在高考试题中常有直接考查二次函数的题目，而且还有一定的难度.题型有选择题、填空题，也有解答题，近几年解答题常围绕二次函数并结合二次方程、二次不等式（简称：“三个二”）来设置，而且往往是压轴题，因此，作为重点知识，有必要再次研究二次函数，以掌握并加深对这一部分知识理解，对于二次函数的定义、图象和性质及二次函数的最值，在理解的基础上，并加强记忆和运用.高考对二次函数的考查主要从以下几方面：1.二次函数解析式的三种表示方法：（1）y=ax +bx+c(a≠0)叫做标准式；2（2）y=a(x+)+,叫做顶点式；ab 22a b ac 442-（3）y=a(x-x )(x-x ),叫做二根式；（这里指的是：当Δ＞0时，即抛物线与x 轴有12两个交点（x ,0）和(x ,0)时的解析式形式）.12注意：以上三种形式突出了解析式的特点，运用时要有选择性.2.二次函数的定义、二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图象与性质：2(1)顶点是（-,），对称轴是x=-.a b 2a b ac 442-ab2(2)当a ＞0时图象开口方向向上，分别在单调区间（-∞,-上是减函数；在［-ab 2],+∞上是增函数，其最小值为ymin=.ab 2)a b ac 442-当a ＜0时，图象开口方向向下，分别在单调区间（-∞,-上是增函数；在［-ab 2],+∞)上是减函数，其最大值为ymax=.ab 2a b ac 442-(3)抛物线与x 轴的关系：（即ax +bx+c=0(a≠0)的解）.2ⅰ.当Δ＞0时，抛物线与x 轴有两个交点（x ,0）和(x ,0)其中横坐标为12x 、 =;12aacb b 242-±-ⅱ.当Δ=0时，抛物线与x 轴切于一点，坐标为（-,0）;ab2ⅲ.当Δ＜0时，抛物线与x 轴没有交点.（4）函数值的正负号当Δ＜0时，x∈R 时，y 与a 同号.当Δ=0时，x∈R 且x≠-时，y 与a 同号.ab2当Δ＞0时，设x <x ,则（ⅰ）当x ＜x 或x ＞x 时，y 与a 同号；1212（ⅱ）当x ＜x ＜x 时，y 与a 异号.12以上涉及的是二次函数的定义、图象和性质等基础知识，特别是对函数值的符号，奇偶性，在指定区间上的最值等进行了引伸，应结合图象理解和运用.3.二次函数在指定区间上的最值；4.运用二次函数的知识解决某些数学问题与实际问题.五、指数函数与对数函数的图像和性质：指数函数的图象和性质)10(≠>=a a a y x且对数函数的性质：)10(log ≠>=a a x y a 且六、把握数形结合的特征和方法本章函数中，重点讨论的指数函数、对数函数，都是以定义、性质、图象作为主要的内容，性质和图象相互联系、相互转化，有关函数性质的很多结论是在观察图象的基础上，通过概括，归纳得出的，并借助于函数图象所具有的直观性强的优点形成记忆，在分析和解决与函数有关的问题中，也常常是函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，相互为用.函数图象可直观、生动地反映函数的某些性质，因此在研究函数性质时，应密切结合函数图象的特征，对应研究函数的性质.七、认识函数思想的实质，强化应用意识函数是用以描述客观世界中量的存在关系的数学概念，函数思想的实质是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系、解决各种问题.纵观近几年的高考试题，考查函数的思想方法已放在一个突出的位置上，特别是近三年加大了应用题的考查力度，选用的题目都要应用函数的思想、知识、方法才能解答的，因此在函数的学习中，一定要认识函数思想的实质，一定要强化应用意识.八、讲解范例：例1已知函数的定义域是［0，1］，则函数的定义域是________.)(x f )(2x f 例2已知函数= (-1≤x≤0),则=________.)(x f 21x -)5.0(1-f九、课堂练习：1.已知映射f:M→N,使集合N 中的元素y=x 与集合M 中的元素x 对应，要使映射2f:M→N 是一一映射，那么M ，N 可以是（ ）A.M=R ，N=RB.M=R,N={y|y≥0}C.M={x|x≥0},N=RD.M={x|x≥0},N={y|y≥0}2.求下列函数的定义域：（1）y=; （2）y=;34+x 21++x x (3)y=； (4)y=431++-++x x x 2561x x --3.设f(x)=,求证（1）f(-x)=f(x);(2)f()=-f(x).2211x x -+x 11.指出下列函数的单调区间，并说明在单调区间上函数是增函数还是减函数：（1）f(x)=-x +x-6; (2)f(x)=-;2x (3)f(x)=; (4)f(x)=-x +122x -3二、例题分析：例1若函数f(x)=x +bx+c 对任意实数x 都有f(2+x)=f(2-x)，那么（ ）2A.f(2)＜f(1)＜f(4)B.f(1)＜f(2)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1)（1）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a 是函数f(x)的对称轴（2）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x=是f(x)的对称轴.2ba +例2求f(x)=x -2ax+2在［2，4］上的最大值和最小值.2例3已知f(x)=|lgx|,且0＜a ＜b ＜c,若 f(b)＜f(a)＜f(c),则下列一定成立的是（）A.a ＜1,b ＜1,且c ＞1B.0＜a ＜1,b ＞1且c ＞1C.b ＞1,c ＞1D. c ＞1且＜a ＜1,a ＜b ＜ c 1a1例4函数f(x)=x -bx+c ，满足对于任何x∈R 都有f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3,则f(b )与2xf(c )的大小关系是（ ）xA.f(b )≤f(c )B.f(b )≥f(c )x x x xC.f(b )＜f(c )D.f(b )＞f(c )x x x x三、课堂练习：已知f(x)=x -4x-4,x∈［t,t+1］(t∈R)，求f(x)的最小值φ（t ）的解析式.2。
对数函数的积分公式
对数函数的积分公式对数函数是指以常数e为底的函数, 记作ln(x)。
常用的对数函数还有lg (以10为底) 和lb (以2为底)。
1. ln，x，的积分公式：该公式用于计算ln，x，的不定积分。
∫(ln，x，)dx = xln，x， - x + C其中C表示积分常数。
证明过程：首先，我们可以把ln，x，拆成两部分，当x>0时，ln，x， =ln(x)，当x<0时，ln，x， = ln(-x)。
对于x>0的情况，我们可以直接对ln(x)进行积分：∫(ln(x))dx = xln(x) - ∫(xdx)= xln(x) - (1/2)x^2 + C1其中C1表示积分常数。
对于x<0的情况，利用对数函数的性质ln，ab， = ln，a， + ln，b，我们有：∫(ln(-x))dx = ∫(ln(x))dx + ∫(ln(-1))dx= xln(x) - (1/2)x^2 - x + C2其中C2表示另一个积分常数。
综合以上两种情况，我们可以得到ln，x，的不定积分为：∫(ln，x，)dx = xln，x， - x + C2. ln(x+a)的积分公式：该公式用于计算ln(x+a)的不定积分。
∫(ln(x+a))dx = (x+a)ln(x+a) - x + C其中C表示积分常数。
证明过程：我们可以利用换元法来证明这个公式。
令u = x + a，则du = dx。
那么，原不定积分可以变换为∫(ln(u))du。
根据第一个公式，我们有∫(ln(u))du = uln(u) - u + C把u=x+a代入，我们得到∫(ln(x+a))dx = (x+a)ln(x+a) - (x+a) + C= (x+a)ln(x+a) - x + a - x - a + C= (x+a)ln(x+a) - x + C3.对于1/x的积分公式：∫(1/x)dx = ln，x， + C其中C表示积分常数。
对数函数求导公式大全
对数函数求导公式大全对数函数是高中数学学科中的常见函数之一、在微积分中，对数函数求导是基础的求导技巧，掌握对数函数的求导公式对于解题和理解函数的性质非常重要。
下面将列举常见的对数函数及其求导公式。
一、自然对数函数（ln x）自然对数函数是以自然数e为底数的对数函数，记作ln x。
自然对数函数的导函数是它自身的倒数，即ln'(x) = 1/x。
用数学符号表示如下：d/dx (ln x) = 1/x二、以a为底的对数函数（logₐx）以a为底的对数函数记作logₐx。
其中，a>0且a≠1，而x>0。
以a 为底的对数函数的导函数与自然对数函数类似，只是需要应用换底公式，用数学符号表示如下：d/dx (logₐx) = 1/(xlna)三、对数函数的换底公式当我们需要对以a为底的对数函数求导时，可以利用换底公式进行计算。
换底公式是指我们可以将以一个底数为a的对数转换成以另一个底数为b的对数，并通过求导公式计算导数。
具体换底公式如下：logₐx = log_bx / log_ba四、对数函数的求导法则对于一些复合函数，我们可以利用链式法则来求导。
对数函数的求导法则包括以下几种情况：1. 形式为ln(u)的函数：如果函数y = ln(u)，其中u是关于x的函数，那么其导数可以用链式法则表示为：dy/dx = 1/u * du/dx2. 形式为logₐ(u)的函数：如果函数y = logₐ(u)，其中u是关于x 的函数，那么其导数可以用链式法则表示为：dy/dx = 1/(u ln a) * du/dx3. 形式为ln，u，的函数：如果函数y = ln，u，其中u是关于x的函数，那么其导数可以用链式法则表示为：dy/dx = 1/u * du/dx (u>0)1/u * du/dx (u<0)需要注意的是，当u为负数时，对数函数是没有定义的，因此负数的对数函数的导数也是没有定义的。
专题09 对数与对数函数(重难点突破)原卷版附答案.pdf
ab 2b
2
.
11
（2）. 求下列函数的定义域： 1
(1)f(x)＝lg(x－2)＋x－3；(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)． 【解析】 (1)要使函数有意义,需满足Error!解得 x>2 且 x≠3, 所以函数定义域为(2,3)∪(3,＋∞)． (2)要使函数有意义,需满足Error!解得－1<x<0 或 0<x<4, 所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．
底数,N 叫做真数.
重难点二 对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0,且 a≠1). (2)对数的运算法则
如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；
M ②loga N ＝logaM－logaN；
B． y ln(2 x) C． y ln(1 x)
D．
3
y ln(2 x)
（3）．函数 f(x)＝ax－b 的图象如图所示,其中 a,b 为常数,则下列结论正确的是( )
A．a>1,b<0
B．a>1,b>0
C．0<a<1,b>0
D．0<a<1,b<0
（4）．当 a>1 时,在同一坐标系中,函数 y＝a－x 与 y＝logax 的图象为( )
例 2 求下列函数的定义域：
1
1
(1)f(x)＝
；(2)f(x)＝ ＋ln(x＋1)；
1
2－x
log x＋1
2
1
1
【解析】(1)要使函数 f(x)有意义,则 log x＋1>0,即 log x>－1,解得 0<x<2,即函数 f(x)的定义
对 数 运 算 法 则
对数函数对数函数对数函数对数的性质对数函数的运算法则指数函数与对数函数指数函数和对数函数恰似青梅竹马，形影不离，讲完了指数函数，不讲对数函数，似乎有点不厚道，同时，对数函数和指数函数互为反函数，简单说其中一个是用x来表示y，那么反过来便是用y表示x，请看下面的数学表达式y=axy=a^xy=ax两边取以a为底的对数，即logay=logaaxlog_ay=log_a a^xloga?y=loga?ax得到 logay=xlog_ay=xloga?y=x【后面运算法则会证明等式右边】，只是习惯上，我们喜欢用x来表示自变量，y表示因变量，而用什么字母符号来表示无所谓，于是改写成y=logaxy=log_axy=loga?x，刚开始接触这个是有点别扭不适应，回去照着多写几遍就自然理解了。
对数函数一般的把形如y=logaxy=log_axy=loga?x叫做对数函数，其中a叫做对数函数的底数，a0，且a≠1。
通常我们把以10为底的对数叫常用对数（common logarithm），即log10xlog_{10}xlog10?x，简记为lgxlgxlgx，把以自然数e=2.71828···为底的对数称为自然对数（natural logarithm），即logexlog_e xloge?x，简记为lnxln xlnx，因为这两个在自然科学研究和对数变换方面经常用到，所以单独拎出来给一个简便记号。
对数的性质为了描述对数的性质，我们还是先把对数的图像画出来，然后直接看图说话比较简单些。
分a1 和 0a1两种情况(1) 当 a1时从图像看到此时指数函数定义域为（0，+∞），值域为全体实数单调增函数，即随着自变量 x 的增加，函数值也跟着增大，最后趋向无穷大过固定点（1，0）函数图像向右上倾斜，且越来越平缓左端无限接近Y轴，但是不相交（2）当0a1时从图像看到此时指数函数定义域为（0，+∞），值域为全体实数R单调减函数，即随着自变量 x 的增加，函数值反而减小，最后趋向负无穷大过固定点（1，0）函数图像向右下倾斜，且越来越平缓左端无限接近Y轴，但始终不相交知道对数函数有哪些基本性质之后，我们就要来进一步探究其运算法则对数函数的运算法则若根据指数函数，定义ab=xa^b=xab=x，则 b=logaxb=log_a xb=loga?x，对数函数有如下运算法则（0）alogax=xa^{log_a x}=xaloga?x=x（1）logaxc=c?logaxlog_a x^c=c*log_a xloga?xc=c?loga?x（2）logaM+logaN=logaMNlog_a M+log_a N=log_a MNloga?M+loga?N=loga?MN（3）logaM?logaN=logaMNlog_a M-log_a N=log_a frac{M}{N}loga?M?loga?N=loga?NM?（4）logax=logqxlogqalog_a x= frac{log_q x}{log_q a}loga?x=logq?alogq?x?其中（0）称为恒等式，结论非常直观，（1）称为对数函数线性变换，（2）和（3）称为对数函数的加减法，（4）称为对数函数换底公式，现在先来证明（1）,（2）和（4）。
对数函数
其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因 此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
“log”是拉丁文logarithm（对数）的缩写，读作：[英][lɔɡ][美][lɔɡ， lɑɡ]。
பைடு நூலகம் 实际应用
在实数域中，真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式 子大于等于零（若为负数，则值为虚数），底数则要大于0且不为1。
对数函数对数函数的底数为什么要大于0且不为1？【在一个普通对数式里 a<0，或=1的时候是会有相应b的 值。但是，根据对数定义：log以a为底a的对数；如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数（比 如log11也可以等于2，3，4，5，等等）】
通常我们将以10为底的对数叫常用对数（common logarithm），并把log10N记为lgN。另外，在科学计数中 常使用以无理数e=2.···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并且把logeN 记为In N。根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
德国的史蒂非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原 数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent，有代表之意）。
对数函数的基本公式
对数函数的基本公式对数函数是数学中的一种重要函数，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍对数函数的基本公式以及其相关性质。
首先，我们来定义对数函数。
对数函数是指满足下面条件的函数：对于任意的正实数x和正实数a（a≠1），有等式a^loga(x)=x其中，a是底数，loga(x)表示以a为底的x的对数。
1. 对于任意的正实数x和正实数a（a≠1），有等式loga(1)=0。
这表明任意实数a的以a为底的1的对数都是0。
2. 对于任意的正实数x和正实数a（a≠1），有等式loga(a)=1、这表示任意实数a的以a为底的a的对数都是13. 对于任意的正实数x和正实数a（a≠1），有等式loga(a^b)=b。
这表明以a为底的a的b次幂的对数等于b。
基于这些基本公式，我们可以推导出对数函数的性质。
1.对数函数的定义域是正实数集合。
因为对数函数只对正实数有意义，对于零和负数没有定义。
2.对数函数是单调递增的。
即随着自变量的增大，函数值也会增大。
3.对数函数的图像是一条带正斜率的曲线。
由于对数函数是单调递增的，所以图像呈现出从左下到右上的趋势。
4. 对数函数与指数函数是互逆的。
也就是说，对数函数与指数函数互为反函数关系。
例如，如果a^x=y，则loga(y)=x。
5.对数函数的底数越大，函数的增长速度越快。
这是因为以较大的底数为底的对数函数会更快地逼近x轴。
除了基本公式和性质以外，对数函数还有一些重要的应用。
下面是一些常见的应用：1.对数函数在计算机科学中有广泛的应用。
例如，在算法分析中，对数函数可以用来度量算法的时间复杂度。
2.对数函数在统计学中用于数据的变换和压缩。
对数函数可以将数据的宽度减小，从而更容易进行分析和比较。
3.对数函数在经济学中用于度量货币的时间价值。
例如，通过将未来的货币价值转换为对数函数，可以更好地比较不同时期的投资回报率。
4.对数函数在生物学中用于描述生长和衰变过程。
例如，通过对生物体的生长过程进行对数函数拟合，可以更好地理解其增长的特征。
对数函数运算法则
1对数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.由定义知：①负数和零没有对数;②a>0且a≠1,N>0;③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN.2对数式与指数式的互化式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)3对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么(1)loga(MN)=logaM+logaN.(2)logaMN=logaM-logaN.(3)logaMn=nlogaM (n∈R).问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1，M>0,N>0?②logaan=? (n∈R)③对数式与指数式的比较.(学生填表)式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数b—N—a—对数的底数b—N—运算性质am·an=am+nam÷an=(am)n=(a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaNlogaMN=logaMn=(n∈R)(a>0,a≠1,M>0,N>0)难点疑点突破对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1?理由如下：①若a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28?②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数?③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数?为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?解题方法技巧1(1)将下列指数式写成对数式：①54=625；②2-6=164；③3x=27；④13m=5?73.（2）将下列对数式写成指数式：①log1216=-4；②log2128=7；③log327=x；④lg0.01=-2；⑤ln10=2.303；⑥lgπ=k.解析由对数定义：ab=N?logaN=b.解答(1)①log5625=4.②log2164=-6.③log327=x.④log135.73=m.解题方法指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N?logaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3x=27.④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π.2根据下列条件分别求x的值：(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1.解析(1)对数式化指数式，得：x=8-23=?(2)log5x=20=1. x=?(3)31+log32=3×3log32=?27=x?(4)2+3=x-1=1x. x=?解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.(2)log5x=20=1，x=51=5.(3)logx27=3×3log32=3×2=6，∴x6=27=33=(3)6,故x=3.(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3.解题技巧①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化.②熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3已知logax=4,logay=5，求A=〔x·3x-1y2〕12的值.解析思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值； 思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值?解答解法一∵logax=4,logay=5,∴x=a4,y=a5,∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1.解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得logaA=loga(x512y-13)=512logax-13logay=512×4-13×5=0,∴A=1.解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算.4设x,y均为正数，且x·y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)的取值范围.解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?解答∵x>0,y>0,x·y1+lgx=1,两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0.即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1).令lgx=t, 则lgy=-t1+t(t≠-1).∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.解题规律对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解.∴Δ=S2+4S≥0，解得S≤-4或S≥0,故lg(xy)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞).5求值：(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；(2)2log32-log3329+log38-52log53；(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值;(4)求7lg20·12lg0.7的值.解析(1)25=52,50=5×10.都化成lg2与lg5的关系式.(2)转化为log32的关系式.(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b之间的关系，能否从中求出ab的值呢?(4)7lg20·12lg0.7是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数，设x=7lg20·12lg0.7能否先求出lgx，再求x?解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2=lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59=2log32-5log32+2+3log32-9=-7.(3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0),∴ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0.∴ab=1或ab=4，这里a>0,b>0.若ab=1，则a-2b<0, ∴ab=1（ 舍去）.∴ab=4,∴log2a-log2b=log2ab=log24=2.(4)设x=7lg20·12lg0.7,则lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg12=(1+lg2)·lg7+(lg7-1)·(-lg2)=lg7+lg2=14,∴x=14, 故原式=14.解题规律①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验，如(3).②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法，如(4).6证明(1)logaN=logcNlogca(a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0)；(2)logab·logbc=logac；(3)logab=1logba(b>0,b≠1)；(4)loganbm=mnlogab.解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证.(2)中logbc能否也换成以a为底的对数.(3)应用(1)将logab换成以b为底的对数.(4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数.解答(1)设logaN=b，则ab=N,两边取以c为底的对数得：b·logca=logcN,∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca.(2)由(1)logbc=logaclogab.所以 logab·logbc=logab·logaclogab=logac.(3)由(1)logab=logbblogba=1logba.解题规律(1)中logaN=logcNlogca叫做对数换底公式，(2)(3)(4)是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用. 对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa= mnlogab.7已知log67=a,3b=4,求log127.解析依题意a,b是常数，求log127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢?解答已知log67=a,log34=b,∴log127=log67log612=a1+log62.又log62=log32log36=log321+log32,由log34=b,得2log32=b.∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b.∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b.解题技巧利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧?8已知x,y,z∈R+，且3x=4y=6z.(1)求满足2x=py的p值；(2)求与p最接近的整数值；(3)求证：12y=1z-1x.解析已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量m，再用m分别表示x,y,z?又想，对于指数式能否用对数的方法去解答?解答（1）解法一3x=4y?log33x=log34y?x=ylog34?2x=2ylog34=ylog316,∴p=log316.解法二设3x=4y=m,取对数得：x·lg3=lgm，ylg4=lgm,∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4.由2y=py, 得 2lgmlg3=plgmlg4,∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.(2)∵2=log39 ∴2 又3-p=log327-log316=log32716,p-2=log316-log39=log3169,而2716<169,∴log327163-p.∴与p最接近的整数是3.解题思想①提倡一题多解.不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢?②(2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因为底3>1，所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x，y，z∈R+，∴k>1，则 x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6,所以1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm，12y=12·lg4lgm=lg2lgm，故12y=1z-1x.解法二3x=4y=6z=m，则有3=m1x①,4=m1y②，6=m1z③，③÷①，得m1z-1x=63=2=m12y.∴1z-1x=12y.9已知正数a,b满足a2+b2=7ab.求证：logma+b3=12(logma+logmb)(m>0且m≠1).解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab?解答logma+b3=logm(a+b3)212=解题技巧①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.②应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9.∵a2+b2=7ab,∴logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb),即logma+b3=12(logma+logmb).思维拓展发散1数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=a×10n.其中N>0,1≤a<10,n∈Z.这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里?我们只要研究数N的常用对数，就能揭示其中的奥秘.解析由已知，对N=a×10n取常用对数得，lgN=n+lga.真数与对数有何联系?解答lgN=lg(a×10n)=n+lga.n∈Z,1≤a<10，∴lga∈〔0,1).我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把lga叫做N的常用对数的尾数，它是正的纯小数或0.小结：①lgN的首数就是N中10n的指数，尾数就是lga,0≤lga<1;②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同，只是首数不同；③当N≥1时，lgN的首数n比它的整数位数少1，当N∈(0，1)时，lgN的首数n是负整数，|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同.师生互动什么叫做科学记数法？N>0,lgN的首数和尾数与a×10n有什么联系？有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？2若lgx的首数比lg1x的首数大9，lgx的尾数比lg1x的尾数小0?380 4，且lg0.203 4=1.308 3,求lgx,x,lg1x 的值.解析①lg0.203 4=1?308 3,即lg0.203 4=1+0.308 3，1是对数的首数，0.308 3是对数的尾数，是正的纯小数；②若设lgx=n+lga，则lg1x也可表出.解答设lgx=n+lga,依题意lg1x=(n-9)+(lga+0.380 4).又lg1x=-lgx=-(n+lga),∴(n-9)+(lga+0?380 4)=-n-lga，其中n-9是首数，lga+0?380 4是尾数，-n-lga=-(n+1)+(1-lga),-(n+1)是首数1-lga是尾数，所以：n-9=-(n+1)lga+0.380 4=1-lga?n=4,lga=0.308 3.∴lgx=4+0.308 3=4.308 3,∵lg0.203 4=1.308 3,∴x=2.034×104.∴lg1x=-(4+0.308 3)=5.691 7.解题规律把lgx的首数和尾数，lg1x的首数和尾数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程.再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数，求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法.3计算：(1)log2-3(2+3)+log6(2+3+2-3);(2)2lg(lga100)2+lg(lga).解析(1)中.2+3与2-3有何关系?2+3+2-3双重根号，如何化简?(2)中分母已无法化简，分子能化简吗?解题方法认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒.解答(1)原式=log2-3(2-3）-1+12log6(2+3+2-3)2=-1+12log6(4+22+3·2-3)=-1+12log66=-12.(2)原式=2lg(100lga)2+lg(lga)=2〔lg100+lg(lga)〕2+lg(lga)=2〔2+lg(lga)〕2+lg(lga)=2.4已知log2x=log3y=log5z<0,比较x,3y,5z的大小.解析已知是对数等式，要比较大小的是根式，根式能转化成指数幂，所以，对数等式应设法转化为指数式. 解答设log2x=log3y=log5z=m<0.则x=2m,y=3m,z=5m.x=(2)m,3y=(33)m,5z=(55)m.下面只需比较2与33,55的大小：(2)6=23=8,(33)6=32=9，所以2<33.又(2)10=25=32,(55)10=52=25,∴2>55.∴55<2<33. 又m<0,图2-7-1考查指数函数y=(2)x,y=(33)x,y=(55)x在第二象限的图像，如图2-7-1?解题规律①转化的思想是一个重要的数学思想，对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化.②比较指数相同，底不同的指数幂(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质进行比较?①是y=(55)x,②是y=(2)x,③是y=(33)x.指数m<0时，图像在第二象限从下到上，底从大到小.所以(33)m<(2)m<(55)m,故3y潜能挑战测试1(1)将下列指数式化为对数式:①73=343;②14-2=16;③e-5=m.(2)将下列对数式化为指数式：①log128=-3;②lg10000=4;③ln3.5=p.2计算：(1)24+log23;(2)2723-log32;(3)2513log527+2log52.3(1)已知lg2=0.301 0，lg3=0.477 1，求lg45;(2)若lg3.127=a，求lg0.031 27.4已知a≠0,则下列各式中与log2a2总相等的是()A若logx+1(x+1)=1 ,则x的取值范围是()A已知ab=M(a>0,b>0,M≠1),且logMb=x，则logMa的值为()A若log63=0.673 1，log6x=-0.326 9, 则x为()A若log5〔log3(log2x)〕=0，则x=.98log87·log76·log65=.10如果方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2·lg3=0的两根为x1、x2,那么x1·x2的值为.11生态学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个营养级.H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中 (Hn表示第n个营养级，n=1，2，3，4，5，6).已知对H1输入了106千焦的能量，问第几个营养级能获得100千焦的能量?12已知x，y，z∈R+且3x=4y=6z，比较3x，4y，6z的大小.13已知a,b均为不等于1的正数，且axby=aybx=1，求证x2=y2.14已知2a·5b=2c·5d=10，证明(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).15设集合M=｛x|lg〔ax2-2(a+1)x-1〕>0｝，若M≠?，M?｛x|x<0｝，求实数a的取值范围.16在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度为每秒钟384 000 000 000次.用科学记数法表示这个数为N=,若已知lg3.840=0.584 3,则lgN=.17某工厂引进新的生产设备，预计产品的生产成本比上一年降低10%，试问经过几年，生产成本降低为原来的40%?(lg2=0.3, lg3=0.48)18某厂为适应改革开放，完善管理机制，满足市场需求，某种产品每季度平均比上一季度增长10.4%，那么经过y季度增长到原来的x倍，则函数y=f(x)的解析式f(x)=.名师助你成长1.(1)①log7343=3.②log1416=-2.③lnm=-5.(2)①12-3=8.②104=10 000.③ep=3.5.2.(1)48点拨：先应用积的乘方，再用对数恒等式.(2)98点拨：应用商的乘方和对数恒等式.(3)144点拨：应用对数运算性质和积的乘方.3.(1)0.826 6点拨：lg45=12lg45=12lg902=12(lg32+lg10-lg2).(2)lg0.031 27=lg(3.127×10-2)=-2+lg3.127=-2+a4.C点拨：a≠0,a可能是负数，应用对数运算性质要注意对数都有意义.5.B点拨：底x+1>0且x+1≠1;真数x+1>0.6.A点拨：对ab=M取以M为底的对数.7.C点拨：注意0.673 1+0.326 9=1,log61x=0.326 9，所以log63+log61x=log63x=1.∴3x=6, x=12.8.x=8点拨：由外向内.log3(log2x)=1, log2x=3, x=23.9.5点拨：log87·log76·log65=log85, 8log85=5.10.16点拨：关于lgx的一元二次方程的两根是lgx1,lgx2.由lgx1=-lg2,lgx2=-lg3，得x1=12,x2=13.11.设第n个营养级能获得100千焦的能量，依题意:106·10100n-1=100,化简得:107-n=102,利用同底幂相等，得7-n=2,或者两边取常用对数也得7-n=2.∴n=5,即第5个营养级能获能量100千焦.12?设3x=4y=6z=k,因为x，y，z∈R+，所以k>1.取以k为底的对数，得：x=1logk3,y=1logk4,z=1logk6.∴3x=3logk3=113logk3=1logk33,同理得：4y=1logk44,6z=1logk66.而33=1281,44=1264,66=1236,∴logk33>logk44>logk66.又k>1,33>44>66>1,∴logk33>logk44>logk66>0,∴3x<4y<6z.13.∵axby=aybx=1,∴lg(axby)=lg(aybx)=0,即xlga+ylgb=ylga+xlgb=0.(※)两式相加,得x(lga+lgb)+y(lga+lgb)=0.即(lga+lgb)(x+y)=0.∴lga+lgb=0 或x+y=0.当lga+lgb=0时,代入xlga+ylgb=0,得:(x-y)lga=0, a是不为1的正数lga≠0,∴x-y=0.∴x+y=0或x-y=0,∴x2=y2.14.∵2a5b=10,∴2a-1=51-b.两边取以2为底的对数,得：a-1=(1-b)log25. ∴log25=a-11-b(b≠1). 同理得log25=c-11-d(d≠1).即b≠1,d≠1时,a-11-b=c-11-d.∴(a-1)(1-d)=(c-1)(1-b),∴(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).当b=1,c=1时显然成立.15.设lg〔ax2-2(a+1)x-1〕=t (t>0),则ax2-2(a+1)x-1=10t(t>0).∴10t>1 ,ax2-2(a+1)x-1>1,∴ax2-2(a+1)x-2>0.①当a=0时,解集｛x|x<-1｝?｛x|x<0｝;当a≠0时,M≠?且M?｛x|x<0｝.∴方程ax2-2(a+1)x-2=0 必有两不等实根，设为x1,x2且x1 ②当a>0时,M=｛x|xx2｝,显然不是｛x|x<0｝的子集；③当a<0时，M=｛x|x1 a<0，Δ=4(a+1)2+8a>0，x1+x2=2(a+1)a<0，x1·x2=-2a>0.解得3-2 16.N=3.840×1011, lgN=11.584 3.17.设经过x年，成本降为原来的40%.则(1-10%)x=40%,两边取常用对数，得：x·lg(1-10%)=lg40% ，即x=lg0.4lg0.9=lg4-1lg9-1=2lg2-12lg3-1=10.所以经过10年成本降低为原来的40%.18.f(x)=log1.104x〔或f(x)=lgxlg1.104〕.点拨：设原来一个季度产品为a，则a(1+10.4%)y=xa,∴y=log1.104x.。
常用对数求导公式
常用对数求导公式一、对数函数的基本形式及导数公式。
1. 自然对数函数。
- 对于y = ln x，其导数公式为y^′=(1)/(x)。
- 推导过程：根据导数的定义y^′=limlimits_Δ x→0(ln(x + Δ x)-ln x)/(Δ x)，利用对数运算法则ln a-ln b=ln(a)/(b)，则y^′=limlimits_Δ x→0(lnfrac{x+Δ x)/(x)}{Δx}=limlimits_Δ x→0(ln(1 +frac{Δ x)/(x))}{Δ x}。
- 令t=(Δ x)/(x)，当Δ x→0时，t→0，则y^′=limlimits_t→0(ln(1 +t))/(xt)=(1)/(x)limlimits_t→0(ln(1 + t))/(t)。
- 根据重要极限limlimits_t→0(ln(1 + t))/(t)=1，所以y^′=(1)/(x)。
2. 一般对数函数。
- 对于y=log_a x（a>0,a≠1），根据换底公式log_a x=(ln x)/(ln a)。
- 其导数y^′=(1)/(xln a)。
- 推导过程：因为y = log_a x=(ln x)/(ln a)，根据常数乘以函数的求导法则(cf(x))^′ = cf^′(x)，y^′=(1)/(ln a)×(1)/(x)=(1)/(xln a)。
二、对数求导法的应用。
1. 多个函数乘积或商的求导。
- 例如，求y = x^2sin xln x的导数。
- 先对函数两边取自然对数ln y=ln(x^2sin xln x)=ln x^2+ln(sin x)+ln(ln x)。
- 根据对数运算法则ln a^n=nln a，则ln y = 2ln x+ln(sin x)+ln(ln x)。
- 两边对x求导：(y^′)/(y)=2×(1)/(x)+(cos x)/(sin x)+(1)/(xln x)。
对数函数的泰勒公式
对数函数的泰勒公式对数函数是数学中常见的一类函数，用来描述指数运算的反函数关系。
在数学分析中，我们可以通过泰勒公式来近似地表示对数函数。
泰勒公式是一种通过多项式逼近函数的方法，它将一个函数在某一点处展开成多项式的形式，并利用多项式来近似原函数的值。
对数函数的泰勒公式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(x)表示对数函数的值，f'(x)表示对数函数的导数，a表示泰勒公式展开的中心点。
对于对数函数来说，它的导数有一个特殊的性质，即导数的值与函数的值是相等的。
也就是说，对数函数的导数等于它自身。
这个性质使得对数函数在泰勒公式中的展开非常简单。
以自然对数函数ln(x)为例，它的导数等于它自身，即ln'(x) = ln(x)。
因此，对于ln(x)来说，泰勒公式可以简化为：ln(x) = ln(a) + ln(a)(x-a) + ln(a)(x-a)^2/2! + ln(a)(x-a)^3/3! + ...这个泰勒公式可以用来近似计算ln(x)的值。
通过选择合适的展开点a，可以使得泰勒公式的近似效果更好。
通常情况下，我们会选择a=1，因为ln(1)等于0，这样可以简化计算。
通过不断增加泰勒公式的项数，我们可以得到对ln(x)的更精确的近似。
当项数无限增加时，泰勒公式可以完全表示ln(x)。
但在实际计算中，我们通常只取前几项来近似计算，因为计算机的计算能力是有限的。
除了ln(x)之外，其他对数函数，如以10为底的对数函数log(x)，以及以其他任意正数为底的对数函数loga(x)，也可以使用泰勒公式来进行近似计算。
它们的泰勒公式的形式与ln(x)类似，只是展开点a和系数不同而已。
总结起来，对数函数的泰勒公式是一种近似计算对数函数值的方法。
对数函数法则
对数函数法则
对数函数法则指的是对数函数的一些基本计算法则，包括对数的加减法、乘除法、幂次方、换底公式等。
对数的加减法：logab + logac = loga(bc)，logab - logac = loga(b/c)
对数的乘除法：logab × logac = loga(bc)，logab ÷ logac = loga(b/c)
对数的幂次方：logabn = n × logab
换底公式：logab = logcb / logca
这些基本的对数函数法则在数学中有着广泛的应用，尤其在解决指数和对数方程、计算复杂科学问题时更是不可或缺的工具。
掌握对数函数法则是学习高等数学、物理、化学等学科的基础，也是提高计算能力和解题能力的必要手段。
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指数函数和对数函数
y a a a x =>≠01且定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。
a 必须a a >≠01且。
如果
a N a a =>≠()01且，那么数
b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =log （a 是底数，N 是真数，log a N 是对
数式。
）由于N a b
=>0故log a N 中N 必须大于0。
当N 为零的负数时对数不存在 求35x
=中的x ，化为对数式x =log 35即成。
对数恒等式：由a N b N b
a ==()log ()12a N a N log =对数的性质：①负数和零没有对数； ②1的对数是
零； ③底数的对数等于1。
对数的运算法则：
()()
log log log a a a MN M N
M N R =+∈+
，
()log log log a
a a M N
M N M N R =−∈+，()()
log log
a n
a N n N N R =∈+ ()
log log a n a N n
N N R =∈+1
3、对数函数：定义：指数函数y a a a x
=>≠()01且的反函数y x a =log x ∈+∞(,)0叫做对数函数。
1、对三个对数函数y x y x ==log log 212
，，y x =lg 的图象的认识。
：
4、对数换底公式：
log log log log (.)log b a a n e g N N b
L N N e N L N N =
===其中…称为的自然对数称为常数对数
27182810 由换底公式可得：
L N N e N
N n =
==lg lg lg ..lg 04343
2303
由换底公式推出一些常用的结论：
（1）
log log log log a b a b b a b a =
=11或· （2）log log a m a n b m
n b =
（3）log log a n a n b b = （4）。