双曲线的几何性质(2)
双曲线的简单几何性质(二)(2)
五、达标检测：
1.已知双曲线 的一条渐近线为 ，离心率 ，则双曲线方程为（ ）
A. B. C. D． .
2.已知双曲线 的左右焦点分别是 ， 是以 为圆心以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且 是等边三角形,则双曲线离心率是( )A. B. C. D.
3.翰林汇翰林汇翰林汇下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（ ）
二）渐近线与离心率的综合运用
例2.一双曲线的渐近线方程是 ；求双曲线的离心率
解：
反之若由离心率如何求渐近线的方程呢？
变式训练：一双曲线的离心率是 ；求双曲线的渐近线方程
解：
例3.已知双曲线的中心在原点，焦点 在坐标轴上，离心率为 且过点 ，
（1）求双曲线方程．
（2）若点 在双曲线上，求证 ．
（3）求 的面积
如果已知一双曲线的渐近线方程为 ，那么此双曲线方程就一定是： 或写成
(三)典型例题：
一）有共同渐近线的双曲线系方程及其运用
例1翰林汇.求下列双曲线的标准方程
1.若双曲线经过点 ，且渐近线方程是 ；
2.以 为渐近线，一个焦点是
变题：若把焦点坐标去掉，则方程怎么求？
3.与双曲线 有相同的渐近线且一个焦点为
课题
双曲线的简单几何性质（二）
主备
周绍健
复备
罗全明
课标要求
牢固掌握双曲线的性质，并能初步运用
(一)复习联想：
双曲线的几何性质：
标准方程
图
形
焦
点
焦
距
范
围
对称性
顶
点
轴
长
离心率
渐近
线Hale Waihona Puke 基础练习：1．已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则这条双曲线的离心率是
双曲线的简单几何性质(二)
B′
25
B
9
根据下列条件，求双曲线方程: x2 y2 ⑴与双曲线 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3) ； 9 16 2 2 x y 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) ⑵与双曲线 16 4
分析:这里所求的双曲线方程易知是标准方程.
这里有两种方法来思考:
法一:直接设标准方程,运用待定系数法;
C′ A′ 0 y 13 C 12 A x
B′
25
B
7
B2
. .
B2 A2
图形
. .
F1(-c,0)
F1
y
y
F2
A1 A2
O
F2(0,c)
B1
B1 F2(c,0)
F2
x
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线
x y 1 (a b 0) 2 2 a b
由此可知, PF右
x2 y2 3. P( x0 , y0 ) 是双曲线 2 2 1 上的任意一点到右焦点 F右 (c, 0) 的距 a b2 c
min
ca.
a 常数 e : x 离和它到定直线 的距离的比是__________. a c
那么反过来满足这个条件的点的轨迹是什么呢 ? 18
(动画演示) e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大 （4）等轴双曲线的离心率e= ? 2 , 反过来也成立. c、 e 四个参数中,知二求二. ⑸在 a 、b 、
e 增大时,渐近线与实轴的夹角增大.
c 2 2 2 e , a b c ∵ a
5
例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、 焦点坐标、离心率、渐进线方程.
2.2.2(二)双曲线的简单几何性质(二)
2.2.2(二)
跟踪训练 3 设 A、B 分别是双曲线xa22－yb22＝1(a，b>0)的左、
右顶点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离为 3.
(1)求此双曲线的方程；
(2)已知直线 y＝ 33x－2 与双曲线的右支交于 D、E 两点，
本 讲 栏
且在双曲线的右支上存在点 C，使得O→D＋O→E＝mO→C，求
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.2(二)
2.已知双曲线xa22－by22＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1、
F2，过 F2 的直线交双曲线右支于 A，B 两点.若△ABF1
是以 B 为顶点的等腰三角形，且△AF1F2，△BF1F2 的面
本 讲
积之比 S△AF1F2∶S△BF1F2＝2∶1，则双曲线的离心率
本
讲
A.(x－5)2＋y2＝36
B.(x＋5)2＋y2＝36
栏 目
C.(x－5)2＋y2＝9
D.(x＋5)2＋y2＝9
开 关
解析 由双曲线ax22－y92＝1(a>0)得渐近线方程为 y＝±3ax，即
3x±ay＝0，∴a＝4，
∴c2＝a2＋9＝25，∴右焦点为(5,0). 又∵b2＝9，∴虚轴长 2b＝6. ∴所求圆的方程为(x－5)2＋y2＝36.
2.2.2(二)
题型一 直线与双曲线的位置关系
例 1 已知直线 y＝kx－1 与双曲线 x2－y2＝1 有且仅有一个
公共点，k 为何值？
本 讲 栏
解 由yx＝2－kyx2－＝11， ⇒(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
目 开
当 1－k2≠0 时，即 k≠±1 时，
关 ∵直线和双曲线只有一个交点，
双曲线的简单几何性质(二)
当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直 线方程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程 , 根本得不到一元二次方程 , 当然也就没有所 谓的判别式了 。
结论：判别式依然可以判断直线与双曲线的 位置关系 ！
判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相切
[2] l : y 4 x 1 , c : x2 y2 1 相 交
3
9 16
试一下:判别式情况如何?
一般情况的研究
显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的, 也就是相交.把直线方程代入双曲线方程,看 看判别式如何?
l : y b x m ,c: x2 y2 1
a
a2 b2
根本就没有判别式 !
Δ>0
直线与双曲线相交（两个交点）
Δ=0
直线与双曲线相切
Δ<0
直线与双曲线相离
注:
①相交两点:
△＞0
直线与双曲线只
同侧：x1 x2＞0 异侧: x1 x2 ＜0 相交一点: 直线与渐进线平行
有一个交点是直 线与双曲线相切 的必要不充分 条 件！
②相切一点: △=0
特别注意直线与双 曲线的位置关系中：
③相 离: △＜0
一解不一定相切， 相交不一定两解， 两解不一定同支。
判断下列直线与双曲线的位置关系：
[1] l : y 4 x 1,c : x2 y2 1; 相交(一个交点)
5
25 16
[2] l : y 5 x 1,c : x2 y2 1. 相离
4
25 16
题型一：直线与双曲线的位置关系
为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分 利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦 定理。
2.3.2双曲线的简单几何性质(2)
§2.3.2双曲线的简单几何性质（2）编写：英德市第二中学，叶加修；审核：英西中学，刘东【学习目标】理解渐进线的概念，能根据双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程【知识回顾】1、已知双曲线的焦点在x 轴上，方程为 ，两顶点的距离为8，一渐近线上有点A(8,6)，试求此双曲线的方程。
2.小结：【新知构建】双曲线的渐近线方程．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±a bx ，一般情况下，先求a 、b ，再写方程．两者容易混淆，可将双曲线方程中右边的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程，这样就不至于记错了．(1) 若已知渐近线方程为mx ±ny ＝0，求双曲线方程．双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，可用下面的方法来解决．方法一 分两种情况设出方程进行讨论；方法二 依据渐近线方程，设出双曲线为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)，求出λ即可． (2)与x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)． 例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．例2 根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．(1)过点P (3，－2)，离心率e ＝52； (2)焦距为10，渐近线方程为y ＝±12x ； 小结：1by a x 2222=-【当堂练习】1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D.322．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±12x B ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±2x 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x ＋2y ＝0，则双曲线的离心率e 的值为( ) A.52 B.62C. 2 D ．2 4.已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，求双曲线的离心率．小结：【课后作业】1．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0，2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( ) A.32 B ．2 C.52D ．3 2．已知双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的离心率e 为( )A ．2B ．3 C.43 D.534.双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0，两顶点间的距离为4，求双曲线的方程？。
双曲线的简单几何性质(经典)
双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且(4)＝1中的1(5)(6)e ＝2(7)注意：且λ（2）与椭圆2a +2b ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-2a -λ-2b ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆，b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
5、求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．【知识点2】弦长与中点弦问题（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ，A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则弦长]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的（2）设A(x 1；对于y 2【变1变4】7、过双曲线2212y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A,B 两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？【题型2】双曲线离心率的求法一、根据离心率的范围，估算e ：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率e ∈()01，，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1来解决。
双曲线的简单几何性质(2)
第2章 圆锥曲线与方程
复习 双曲线的标准方程与几何性质
双曲线定义
图形
方程 范围 对称性 顶点 焦点焦距 实轴、虚轴 渐近线 离心率 a,b,c 关系
一、焦点三角形、焦半径的最值
双曲线 x2 y2 1 上有一点 P 到右焦点的距离为 7 ，
9 16
则 P 到左焦点的距离等于_____
【练习】与圆 x2 y2 1以及圆 x2 y2 8x 12 0
都外切的圆的圆心在（ ）
A．一个椭圆上
B.双曲线的一支上
C.一个双曲线上
D.一个圆上
【思考】将“外切”变为“相切”？
教材54页B组第三题
作业
《小黄》
y2 b2
1 与直线 y
2x 有交点，
则其离心率的取值范围为
四、双曲线相关的轨迹问题（教材48页）
四、双曲线相关的轨迹问题(教材55页）
四、双曲线相关的轨迹问题
例 2.已知点 P 圆 M : (x 2)2 y2 4 上动点，
A(2,0)，线段 PA 的中垂线与直线 PM 交于点 Q， 求 Q 的轨迹方程
若椭圆xm2＋y2＝1(m>1)与双曲线xn2－y2＝1(n>0)有相同的焦点 F1，F2，
P 是两曲8 线的一个交点，则△F1PF2 的面积是( )
A．4 B6 ．2
C．1
1 D.2
4
P
2
5
F1
O
2
4
F2
5
10
15
20
二、通径
5
4
3
2
1
O
8
6
4
2.3.2双曲线的几何性质2
B2
O
A1
B1
A2
F2
x
线围成一个矩形 图2.2 7 .
图2 . 2 7 b 直线的方程是 y x. a 2 2 x y 双曲线 2 2 1的各支向处延伸时 , 与这两 a b 条直线逐渐接近, 我们把这两条直线叫做
双曲线的渐近线 .
也就是说, 双曲线与它的 渐近线无限接近 但永远不相交 , .
作业:P41 习题 7、10
§ . 3. 2 双曲线的几何性质(2) 2
学习目标:
了解双曲线的渐近线和离心率
自学指导:
1.双曲线的渐近线是什么样的线?有几条? 2.如何画双曲线的草图? 3.双曲线的离心率与椭圆的有什么不同? 它 主要描述双曲线的什么特征? 自学检测：P41 练习 3
4 渐近线
信息技术应用
y
如图 , 经过 A1 , A2 作y轴的平 行线 x a, 经过 B1 , B2 作 x 轴的平行线 y b,四条直 矩形的两条对角线 所在的
x a x a b b 或 y x y x a a b b y x y x a a
y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
y a y a b b 或 y x y x a a b b y x y x a a
y x 例1:求双曲线 2 2 1的离心率和 . 3 渐近线方程 4
2
2
例题2 :已知双曲线的中心在原 , 焦点在y轴上, 点 4 焦距为 , 离心率为 , 求双曲线的方程 16 . 3
双曲线的两个标准方程的几何性质与特征比较 焦点的位置 标准方程 范围
人教A版【选修1-1】课时教案：2.2.2双曲线的几何性质(2)
x 轴有两个交点
A (a,0) A2 (a,0) ，他们是双曲线
x2 y2 1 的顶点。 a2 b2
令 x 0 ，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交点。 1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶 点）， 双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段 A A2 叫做双曲线的实轴，它的长等于 2a, a 叫做双曲线 的实半轴长。 虚轴：线段 B B2 叫做双曲线的虚轴，它的长等于 2b, b 叫做双曲线 的虚半轴长。 在作图时，我们常常把虚轴的两 个端点画上（为要确定渐进线）， 但要注意他们并非是双曲线的顶点。 2、渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线， 这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。 在初中学习反比例函数 y 三角函数 y
c ，叫双曲线的离心率. a
感悟二： 4 有共同渐近线，且过点 M (2, 2) 的双曲
2 2
线的方程。
三、感悟方法练习：
1、双曲线的性质：
椭 标准方程 图 范 顶 象 围 点 感悟三： 圆 双 曲 线 不 同 点
对 称 性 渐 近 线 1、 课本 P 58 练习第 1，2 题
x2 y2 1 a2 b2
tan x ，渐近线是 x k (k Z ) 。
2
k 时提到 x 轴 y 轴都是它的渐近线。 高中 x
所谓渐近，既是 无限接近但永不相交 。 3、离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 e= 说明：①由 c>a>0 可得 e>1； ②双曲线的离心率越大，它的开口越阔.
课型：新授课
时间： 月
日
学习札记
〖学习目标及要求〗：
2.3.2双曲线的简单几何性质(二))
方程(2)的焦距___;虚轴长__;渐近线方程是
4x y 3 ________________
x2 y2 根据上述双曲线渐近线方程, 你能发现形如 2 2 1 a b 的双曲线渐近线方程是什么?有什么规律?
x y 0 a b
x2 y2 形如 2 2 l 的双曲线渐近线方程是 a b
双曲线的简单几何性质(二)
复习与回顾
方程 图形
o x
x2 y2 2 1(a , b 0) 2 a b
y
x2 y2 2 2 1(a , b 0) b a
y o x
顶点
对称 范围 焦点 离心率 渐近线
(±a , 0 ) ( 0, ±a ) x 轴、y 轴、原点 （ 原点是双曲线的中心 ） |x|≥a |y|≥a (±c , 0 )
( x c )2 y 2 a2 x c
a a2 解:∵点 M ( x, y) 到定直线 : x 的距离 d x , c c
MF ( x c ) y ,
2 2
MF c ∴ , a 2 b2 ,方程②化为
x2 y2 1② 方程①两边平方化简整理得 2 2 2 c a a 2 2
8 3 ，则该双曲线的方程为（ D ） 3 x2 y2 y2 x2 1 (C) x 2 1 (D) y 2 1 (A) y 2 1 (B) x 2 2 4 2 4
a2 直线 : x 是对应于焦点 F (c,0) 的一条准线, c
2
作业:课本 P B 组第 4 题
62
x2 y2 1 的左焦点 F1 作倾角为 的直线与双曲线 1.过双曲线 9 16 4
192 交于 A、B 两点，则|AB|= . 7
2.3.2双曲线的简单几何性质(二)
示为
x2 y2 1(b2 a 2 ). a 2 b2
x2 y 2 （2）与双曲线 2 2 1(a 0, b 0)有共同焦点的双曲线方 a b 2 x y2 程表示为 2 2
a
2
b
2
1(b a )
例1 :求下列双曲线的标准方程：
PF F2 300，求双曲线的渐进线的方程。 1
切点三角形
x y 1 上的一点P与左、右 例3、由双曲线 9 4 两焦点 F1、F2构成 PF F2 ，求 PF F2 的内切圆与 1 1
边 F F2 的切点坐标。 1
说明：双曲线上一点P与双曲线的两个焦点 F1、F2 构成 的三角形称之为焦点三角形，其中 | PF | 、PF2 |和 | F1F2 | | 1 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分 利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦 定理。
B2
. .
A2 B2
2 2 2 2
图形
. .
F1
y
y
F2
F2(0,c)
B1
A1 A2
O
F2
x
F1(-c,0)
2 2
B1 F2(c,0)
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线
x y 1 (a b 0) a b
2 2
y x 1 (a 0,b 0 ) a b
x x2 2 y 1 和 （ y2 对于方程 4 4
2
0 且 1),
x2 y 2 1，a 2，b 1，c 5 4
显然a
倍，因此 这两条双曲线的离心率相同，渐近线也相同。
02 教学设计_双曲线的几何性质(第2课时_)(2)
2.6.2 双曲线的几何性质(2)本节课选自《2019人教B 版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课主要学习双曲线的几何性质学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。
它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。
坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分重点：双曲线的渐近线、离心率等几何性质； 难点：双曲线的离心率的意义及算法多媒体x≤-a 或x≥a y ∈R y≤-a 或y≥a x ∈Rc 2=a 2+b 2(c>a>0,c>b>0)二、典例解析例1双曲线方程为x 2a2-y2=1,其中a>0,双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=1相切,则双曲线的离心率为()A.2√33B.√3 C.√2 D.√32解析:根据题意,可以求得双曲线的渐近线的方程为x±ay=0,而圆(x-2)2+y2=1的圆心为(2,0),半径为1,结合题意有|2±0|√1+a2=1,结合a>0的条件,求得a=√3,所以c=√3+1=2,所以有e=2√3=2√33,故选A.答案:A例2 已知F1,F2是双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B,A,若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为()A.√7B.4C.2√33D.√3解析:因为△ABF2为等边三角形,所以|AB|=|BF2|=|AF2|,因为A为双曲线右支上一点,所以|F1A|-|F2A|=|F1A|-|AB|=|F1B|=2a,9b 2－4a 24，得b a ＝43(负值舍去)． ∴该双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53.] 5.过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．2＋3 [如图，F 1，F 2为双曲线C 的左，右焦点，将点P 的横坐标2a代入x 2a 2－y 2b 2＝1中，得y 2＝3b 2， 不妨令点P 的坐标为(2a ，－3b )， 此时kPF 2＝3b c －2a ＝b a， 得到c ＝(2＋3)a ，即双曲线C 的离心率e ＝ca＝2＋ 3.6.设F 为双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ,Q 两点.若|PQ|=|OF|,则C 的离心率为( ) A.√2B.√3C.2D. √5解析:如图,设PQ 与x 轴交于点A ,由对称性可知PQ ⊥x 轴. ∵|PQ|=|OF|=c ,∴|P A|=c2.这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。
《解析几何》第14讲 双曲线的几何性质(2)
研究双曲线几何性质时的两个注意点： (1)实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个 重点； c (2)由于 e＝ 是一个比值，故只需根据条件得到关于 a，b，c a 的一个关系式，利用 b2＝c2－ a2 消去 b，然后变形即可求 e， 并注意 e>1.
例题2. 求下列双曲线的渐近线.
x y ① 1 16 9
2
2
2
y x ② 1 18 32
x y 16 9
2
2
2
x2 y2 训练 2：求与双曲线 － ＝1 有共同的渐近线， 9 16 且经过点 M(－3,2 3)的双曲线方程．
变式2．已知双曲线的渐近线是 x±2y=0 , 并且双曲线过点M (4,
第14讲 双曲线的几何性质再探究
再探究(一):焦点三角形
A m n
A
m
F1
n F2
F1
F2
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
焦点坐标
性 质 渐近线 离心率
(±c,0) (0，±c) b a y x y x a b c (1，＋∞) e＝________ ，e∈___________ a
3) ,求双曲线方程.
x2 y2 例题 3.若双曲线 2－ 2＝1 的离心率为 3，则其渐近线方程为 a b A．y＝± 2x B．y＝± 2x 1 2 C．y＝± x D．y＝± x 2 2
x2 y2 训பைடு நூலகம் 3. 已知双曲线 2－ ＝1 的右焦点为(3,0)， a 5 则该双曲线的离心率等于( ) 3 14 3 2 3 4 A. B． C. D． 14 4 2 3
,则
6
10
高三数学双曲线的简单几何性质2
课 题：8．4双曲线的简单几何性质 （二）教学目的：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 2．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题4．通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养 教学重点：双曲线的渐近线、离心率教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2．顶点 顶点：()0,),0,(21a A a A -特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异3．渐近线过双曲线12222=-by a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是x a b y ±=（0=±bya x ），这两条直线就是双曲线的渐近线 4．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率=e等轴双曲线可以设为：)0(22≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x kakb，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222b y a x 6．双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线二、讲解新课： 7．离心率概念：双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率 范围：1>e双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ， 因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。
双曲线的简单几何性质(第2课时)课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
导入
一、知识回顾
双曲线的简单几何性质：
标准方程
范围 对称性 顶点坐标
渐近线
x2 - y2 = 1(a > 0,b > 0) a2 b2
y2 - x2 = 1(a > 0,b > 0) a2 b2
x≤-a或x≥a，y∈R
y≤-a或y≥a，x∈R
一个
一解
△=0
相离
0个
无解
△<0
探究新知
1.判断点与双曲线的位置关系
已知平面内任一点P(
x0，y0
)，双曲线 x a
2 2
y2 b2
1(a，b
0)
P在双曲线上:
x02 a2
y02 b2
1
P在双曲线开口内:
x02 a2
y02 b2
1
P在双曲线开口外:
x02 a2
y02 b2
1
y
O
x
观看动画演示，请说出直线与双曲线有几种位置关系？如何判断 直线与双曲线的位置关系？
Δ<0⇒直线与双曲线 没有 公共点，此时称直线与双曲线相离 ．
相交于一点 ．
例题巩固
例例11、3 已知双曲线 x2－y22＝1，直线 l 过点 P(1,1)，当 k 为何值时，直线 l 与双曲线 C：
(1)有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)无公共点？ y＝kx＋(1－k)，
解 设直线 l：y－1＝k(x－1)，即 y＝kx＋(1－k)． 由 x2－y2＝1，
(1)当 b2－a2k2＝0,即 k＝±ba时,直线 l 与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线 C (2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠±ba时，
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1、中心在原点，一个顶点为A（ 3，0），
离心率为4 的双曲线方程是（） 3
A. x2 y2 1 B.7y2 x2 1
97
81 9
C y2 x2 1 D x2 y2 1或 7y2 x2 1
97
97
81 9
2.以椭圆x2 y2 1的焦点为顶点， 16 9
顶点为焦点的双曲线的方程是（）
4.中心在原点,实轴在x轴上,实轴长为2 3,
且两条渐近线夹角为600的双曲线方程是
A : x2 y2 1 3
B x2 y2 1 39
C. x2
y2
1或 x2
y2
1
12 36
12 4
D.x2 y2 1或 x2 y2 1
3
39
变
：求以y
3 4
x为渐近
线且
焦距为5的双曲线方程。
特殊的双曲线：
1、定义：实轴和虚轴等长的双曲线 叫做等轴双曲线。
2、等轴双曲线的标准方程：
1x2 y2 a2 2x2 y2 a2
3x2 y2 0
3、性质： 离心率e 2 渐近线方程为y x
42
2双曲线 x2 y2 1的渐近线方程为：
84
3双曲线x2 2y2 1的渐近线方程为：
4双曲线 x2 y2 1的渐近线方程为：
42
5双曲线 x2 y2 1的渐近线方程为：
16 8
？？上述求渐近线的过程中你 能发现什么规律？
与 x2
m2
y2 n2
1
双曲线的几何性质（2）
双曲线 焦点在x轴
焦点在y轴
标准方程 图形
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
y2 x2 a2 b2 1(a 0, b 0)
范围 对称性 顶点 焦点 渐近线
离心率
x a或x a
x轴：实轴,y轴：虚轴
(± a,0）
(c,0), c a2 b2
x2 m2
y2 n2
λλ 0
具有相同的渐近线。
重新解答： （2）过点（-1，3）和双曲线
x2 4
y2 9
1 有共同的渐近线。
(3)以y 2 x为渐近线的双曲线不可能是() 3
A.4x2 9y2 1 B.9y2 4x2 1
C.4x2 9y2 λ(λR,且λ 0) D.9x2 4y2 1
yb x a
e>1
y a或y a y轴：实轴,x轴：虚轴
(0,±a)
(0,c), c a2 b2
xb y a
e>1
填空：龙门教案P136
例1：求适合下列条件的双曲线的 标准方程。
（1）过点(3,4)且虚轴长为实轴长的 2倍
（2）过点（-1，3）和双曲线 x2 y2 1 有共同的渐近线。
A x2 y2 1 16 9
C y2 x2 1 79
B x2 y2 1 9 16
D x2 y2 1 79
3.以
y
2 3
x为渐
近线的双曲
线不可能是(
)
A.4x2 9y2 1 B.9y2 4x2 1
C.4x2 9y2 λ(λR,且λ 0) D.9x2 4y2 1
例2：
1求实轴在x轴上，一个
焦点在直线3x 4y 12 0 上的等轴双曲线的标准方程。
2 求 经 过 点3 ， 1的 等 轴 双 曲
线方程。
例3：已知双曲线与椭圆 25x2 9y2 225有公共焦点， 且它们的离心率之和为2， 求双曲线方程。
小结：
希望大家能掌握与渐 近线有关的双曲线方程 的求法，掌握等轴双曲 线的有关知识。
说明：
1与双
曲
线
x2 m2
y2 n2
1m
0,n 0
共渐近线的双曲线方程可设为:
x2 m2
y2 n2
λλ 0
2以直线y
n m
x渐近
线的双
曲线
方程可设为:
x2 m2
y2 n2
λλ 0
练习：
求
以y
3 4
x为渐近线且
过点A 2 3,3 的双曲线方程。
49
1
x2 a2
y2 b2
1(焦点在x
轴上)
渐近线方程 y b x，x2 a a2
y2 b2
0
2
y2 a2
x2
1(
渐近线方程 y
焦
点
在y轴上)
a x， b
y a
2 2
x2 b2
0
练习：
1双曲线 x2
y2
y
2x 2
1 的 渐 近 线 方 程 为：