吉林省东北师范大学附中中考数学二模试卷(含解析)

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吉林省东北师范大学附属中学2020-2021学年九年级第二次综合测试数学试题

吉林省东北师范大学附属中学2020-2021学年九年级第二次综合测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各数中是无理数的是( )A ．√916B ．√−83C ．237D ．π4 2．改善空气质量的首要任务是控制 2.5PM ， 2.5PM 是值环境空气中空气动力学当量直径小于等于0.00025厘米的颗粒物，这里的0.00025用科学记数法表示为（） A ．42.510⨯ B ．32.510-⨯ C ．42.510-⨯ D ．52.510-⨯ 3．如图是由6个完全相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的三视图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．主视图和俯视图B ．俯视图C ．俯视图和左视图D ．主视图4．将一副三角板（30,45AE ∠︒∠︒＝＝）按如图所示方式摆放，使得//BA EF ，则AOF ∠等于（）A ．75︒B ．90︒C ．105︒D ．115︒ 5．下列各式计算正确的是（）A ．23525a a a +=B ．23a a a ⋅=C ．623a a a ÷=D ．()325a a = 6．如图，已知D ，E 分别是△ABC 的AB ， AC 边上的点，DE∥BC，且BD=3AD ．那么AE:AC 等于（）A．2 : 3B．1 : 2C．1 : 3D．1 :47．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为()A．tantanαβB．sinsinβαC．sinsinαβD．coscosβα8．如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，若A、B的坐标分别为(2,3)-，(1,3)，点M的橫坐标的最小值为5-，则点N的橫坐标的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题9．不等式组20360aa-<⎧⎨+>⎩的解集是________.10．—元二次方程22310x x--=根的判别式的值是_____________；11．已知射线OM.以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A 为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB=________(度)12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为1，AB x轴，点A的坐标为()1,1，若直线1y kx =-与正方形的边（包括顶点）有交点，则k 的取值范围是_____________．13．如图（1），矩形纸片ABCD 中，AB=5,BC=3,先按图（2）操作，将矩形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使点D 落在边AB 上的点E 处，折痕为AF ；再按图（3）操作：沿过点F 的直线折叠，使点C 落在EF 上的点H 处，折痕为FG,则A 、H 两点间的距离为_______.14．如图，已知点B D 、在反比例函数(0)a y a x=>的图象上，点A C 、在反比例函数(0)b y b x=>的图象上，AB CD x 轴，AB CD 、在x 轴的同侧，43AB CD ==，，AB 与CD 间的距离为12，则-a b 的值是_______________．三、解答题15．先化简，再求值：2224442x x x x x ⎛⎫-+÷- ⎪+⎝⎭，其中3x =-． 16．小红和小丁玩纸牌优秀，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也在、抽出一张,比较两人抽取的牌面上的数字，数字大者获胜，请用树状图或列表法求小红获胜的概率．17．图①、图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB DE 、的端点均在格点上．（1）在图①中画出以AB 为斜边的等腰直角ABC ，使点C 在格点上；（2）在图②中画出以DE 为斜边的直角DEF ，使点F 在格点上且DEF 与ABC 不全等，再在DE 上找到一点P ，使得FP 最短．（要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法）18．长春的冬天经常下雪，为了提高清雪的效率，市政府启用了清雪机，已知一台清雪机的工作效率相当于一名环卫工人的200倍，若用这台清雪机清理9000立方米的积雪，要比150名环卫工人清理这些积雪少用2小时，求一台清雪机每小时清雪多少立方米？ 19．如图，已知O 为ABC 的外接圆，BC 为O 的直径，作射线BE ，使得BA 平分CBE ∠，过点A 作AD BE ⊥于点D ．（1）求证：DA 为O 的切线；（2）若1,tan 2BD ABD =∠=，则O 的半径为____________．20．“绿水青山就是金山银山”，北京市民积极参与义务植树活动．小武同学为了了解自己小区300户家庭在2021年4月份义务植树的数量，进行了抽样调查，随即抽取了其中30户家庭，收集的数据如下（单位：棵）：1 123 2 3 2 3 34 3 3 4 3 35 3 4 3 4 4 5 4 5 3 4 3 4 5 6（1）对以上数据进行整理、描述和分析：①绘制如下的统计图，请补充完整；②这30户家庭2021年4月份义务植树数量的平均数是______，众数是______；（2）“互联网＋全民义务植树”是新时代首都全民义务植树组织形式和尽责方式的一大创新，2021年首次推出义务植树网上预约服务，小武同学所调查的这30户家庭中有7户家庭采用了网上预约义务植树这种方式，由此可以估计该小区采用这种形式的家庭有______户．21．如图：甲、乙两地相距300km ，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，线段OA 和折线BCD 分别表示货车和轿车离甲地的距离y ()km 与货车出发时间x ()h 之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：（1）货车的速度为___________/km h ，当轿车到达乙地后,货车距乙地的距离为____________千米；（2）求轿车改变速度后y 与x 的函数关系式；（3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD 段速度返回，求轿车从乙地出发后多长时间再次与货车相遇？22．（问题探究）课堂上老师提出了这样的问题：“如图①，在ABC 中，108BAC ∠=︒，点D 是BC 边上的一点，7224BAD BD CD AD ∠=︒==，，，求AC 的长”．某同学做了如下的思考：如图②，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，进而求解，请回答下列问题：（1）ACE ∠=___________度；（2）求AC 的长．（拓展应用）如图③，在四边形ABCD 中，12075BAD ADC ∠=︒∠=︒，，对角线AC BD 、相交于点E ，且AC AB ⊥，22EB ED AE ==，，则BC 的长为_____________．23．如图，在ABC 中，35,7,tan 4AB BC B ===，动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒53个单位长度的速度向终点B 运动，过P 作PQ BC ，交AC 于点Q ，以PQ PB 、为邻边作平行四边形PQDB ，同时以PQ 为边向下作正方形PQEF ，设点P 的运动时间为t 秒()0t >．（1）点A 到直线EF 的距离______________；（用含t 的代数式表示）（2）当点D 落在落在PF 上时，求t 的值；（3）设平行四边形PQDB 与正方形PQEF 重叠部分的面积为()0S S >，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值．（4）设:PDE APE S S m =△△，当112m 时，直接写出t 的取值范围．24．已知抛物线2y ax bx c =++与坐标轴交于()()1,03,00,12A B C ⎛⎫ ⎪-⎝⎭、、. （1）求抛物线的解析式；（2）设直线y m =与该抛物线交于点E F 、（E 在F 的左侧），记抛物线在直线EF 下方的图象为1M ，在直线EF 上方的图象为2M ，将图象2M 沿直线EF 向下翻折得到图象3M ，图象1M 和图象3M 两部分组成的图象记为M .①设图象3M 的顶点为D ，当D 落在ABC 的边上时，求实数m 的值.②当0m =时,设()00,P x y 是图象M 上的动点.（i ）连结CP ，过线段CP 的中点作y 轴的平行线交x 轴于点Q ，当CPQ 是以Q 为直角顶点的直角角形时，直接写出0x 的值.（ii ）当00(0)x t t >时，0y 的最小值为u ，直接写出u 的最大值及相应的t 的取值范围.参考答案1．D【解析】【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项．【详解】A. √916=34是分数，为有理数，此选项错误；B. √−83=-2是有理数，此选项错误；C. 237是分数，为有理数，此选项错误； D. π4是无理数，此选项正确.故选D【点睛】本题考查了无理数的概念：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．熟练掌握概念是解题的关键.2．C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.00025=2.5×10-4，故选：C ．【点睛】此题考查科学记数法表示较小的数，解题关键在于掌握一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．B【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得三视图，根据轴对称图形的定义、中心对称图形的定义，可得答案．【详解】解：从正面看第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，是轴对称图形，不是中心对称图形；从左边看第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形是轴对称图形，不是中心对称图形；从上面看四个小正方形呈“+，是轴对称图形也是中心对称图形．故选：B ．【点睛】此题考查简单组合体的三视图，解题关键在于掌握从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，又利用了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义．4．A【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质进行计算，即可得到答案.【详解】解：//,30BA EF A ∠︒＝，30FCA A ∴∠=∠=︒．45F E ∠∠︒＝＝，304575AOF FCA F ∴∠∠+∠︒+︒︒＝＝＝．故选A ．【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和三角形外角的性质.5．B【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．【详解】解：A、a2和2a3不是同类项，不能合并，故原题计算错误；B、a•a2=a3，故原题计算正确；C、a6÷a2=a4，故原题计算错误；D、（a2）3=a6，故原题计算错误；故选：B．【点睛】此题考查合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法和幂的乘方，解题关键是掌握计算法则．6．D【详解】解：∵DE∥BC，∴AD AE AB AC=，∵BD=3AD，∴13 AD AEBB EC==，∴AE:AC=1:4；故选D.7．B【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；【详解】在Rt△ABC中，AB=AC sinα，在Rt△ACD中，AD=AC sinβ，∴AB：AD=ACsinα：ACsinβ=sinsinβα，故选B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．8．B【分析】当顶点为（-2，3）时，函数的对称轴为x=-2，M的横坐标为-5，可求N的横坐标为1，由此可得MN的长度为6是定值，再由顶点为（1，3）时，M点横坐标为-2，即可确定N的横坐标最大值．【详解】解：当顶点为（-2，3）时，函数的对称轴为x=-2，∵M的横坐标为-5，∴N的横坐标为1，∴MN=6，当顶点为（1，3）时，M点横坐标为-2，∴N的横坐标为4；故选B．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；通过函数对称轴的性质，确定MN=6是解题的关键．9．a>2【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，得出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【详解】解：不等式组20360aa-<⎧⎨+>⎩①②，解①得：2a＞，解②得：a＞-2，∴原不等式组的解集为2a＞；故答案为：2a＞.【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法，其中一元一次不等式的解法步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，将x系数化为1，不等式组取解集的方法为：同大取大；同小取小；大小小大去中间；大大小小无解．10．17【分析】根据根的判别式的内容求出即可．【详解】解：2x2-3x-1=0，△=（-3）2-4×2×（-1）=17，即一元二次方程2x2-3x-1=0根的判别式的值是17，故答案为：17．【点睛】此题考查根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解题的关键．11．60【解析】【分析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB 的度数．【详解】连接AB，根据题意得：OB=OA=AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°．故答案为：60．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到OB=OA=AB．12．13k ≤≤【分析】根据正方形的性质求得A 、C 的坐标，分别代入y=kx 中，即可求得k 的取值，根据取值范围即可判断．【详解】∵正方形ABCD 的边长为1，点A （1，1），．∴B （2，1），D （1，2），当直线y=kx 经过点D 时，则2=k-1，k=3当直线y=kx 经过点B 时，则1=2k-1，解得k=1，∴若直线y=kx-1与正方形ABCD 的边有交点，则k 取值为：1≤k≤3，故答案为：1≤k≤3．【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象和系数的关系，正方形的性质，解题关键是求出点A 、C 的坐标，掌握正方形的性质．13．13【解析】【分析】如图3中，连接AH ．由题意可知在Rt △AEH 中，AE=AD=3，EH=EF-HF=3-2=1，根据AH=【详解】如图3中，连接AH ，由题意可知在Rt △AEH 中，AE=AD=3，EH=EF-HF=3-2=1，∴，【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14．6【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义，得出a-b=4•OE，a-b=3•OF，再根据OF-OE=12，即可求出a-b的值．【详解】解：如图，由题意知：OE•BE=a①，OE•AE=-b②，①+②，得OE•BE+OE•AE=a-b，即a-b=4•OE，同理，可得a-b=3•OF，∴4OE=3OF，∴OE：OF=3：4，又∵OF-OE=12，∴OE=32，OF=2，∴a-b=6．故答案是：6．【点睛】此题考查反比例函数比例系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，利用数形结合是解题的关键．15．化简得12x-；求值得15-．【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则化简得出答案．【详解】原式=()()()()22 222244()(222)() x x x xx x x x x x x x x-+-++-÷=⨯++-=12 x-，当x=-3时，原式=15 -．【点睛】此题考查分式的化简求值，正确通分运算是解题关键．16．树状图见解析；12．【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出小红获胜的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中小红获胜的结果数为6，所以小红获胜的概率12 =．【点睛】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于掌握利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B 的概率．17．（1）图见解析；（2）图见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义画出图形即可．（2）根据直角三角形的定义画出图形即可．【详解】（1）△ABC即为所求．（2）Rt△DEF如图所示，取格点K，连接FK交DE于P，此时PF最短．【点睛】此题考查作图-应用与设计，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．18．1500立方米【分析】设一名环卫工人每小时清雪x立方米，则一台清雪机每小时清雪200x立方米．等量关系为：一台清雪机清理9000立方米的积雪所用时间=150名环卫工人清理这些积雪所用时间-2小时，依此列出方程，解方程即可．【详解】设一名环卫工人每小时清雪x立方米，则一台清雪机每小时清雪200x立方米．根据题意得：90009000 200150x x-2，解得：x=7.5，经检验x=7.5是原方程的解，当x=7.5时，200x=1500．答：一台清雪机每小时清雪1500立方米．【点睛】此题考查分式方程及一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系与不等关系是解题的关键．19．（1）证明见解析；（2）52．【分析】（1）要证AD是⊙O的切线，连接OA，只证∠DAO=90°即可．（2）根据三角函数的知识可求出AD，从而根据勾股定理求出AB的长，根据三角函数的知识即可得出⊙O的半径．【详解】（1）证明：连接OA；∵BC为⊙O的直径，BA平分∠CBF，AD⊥BF，∴∠ADB=∠BAC=90°，∠DBA=∠CBA；∵∠OAC=∠OCA，∴∠DAO=∠DAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，∴DA为⊙O的切线．（2）解：∵BD=1，tan∠ABD=2，∴AD=2，∴=，∴cos∠；∵∠DBA=∠CBA，∴BC=ABcos CBA=∠=5．∴⊙O的半径为2.5．故答案为：2.5．【点睛】此题考查切线的判定，三角函数值，解题关键在于掌握要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．20．(1) 3.4棵、3棵；(2)70.【分析】（1）①由已知数据知3棵的有12人、4棵的有8人，据此补全图形可得；②根据平均数和众数的定义求解可得；（2）用总户数乘以样本中采用了网上预约义务植树这种方式的户数所占比例可得．【详解】解：（1）①由已知数据知3棵的有12人、4棵的有8人，补全图形如下：②这30户家庭2021年4月份义务植树数量的平均数是1223312485461 3.430⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（棵），众数为3棵，故答案为：3.4棵、3棵；（2）估计该小区采用这种形式的家庭有73007030⨯=户，故答案为：70．【点睛】此题考查条形统计图，加权平均数，众数，解题关键在于利用样本估计总体.21．（1）60；30；（2）(1101952.5 4.)5y x x =-≤≤；（3）3017小时．【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得货车的速度和当轿车到达乙地后，货车距乙地的距离；（2）根据函数图象中的数据可以求得轿车改变速度后y 与x 的函数关系式；（3）根据函数图象中的数据可以求得CD 段小轿车的速度，从而可以解答本题．【详解】解：（1）由图象可得，货车的速度为：300÷5=60km/h ，当轿车到达乙地后，货车距乙地的距离为：60×（5-4.5）=30（千米），故答案为：60，30；（2）设轿车改变速度后y 与x 的函数关系式为y=kx+b ， 2.5804.5300k b k b +⎧⎨+⎩＝＝，得110195k b ⎧⎨-⎩＝＝，即轿车改变速度后y与x的函数关系式是y=110x-195（2.5≤x≤4.5）；（3）轿车CD段的速度为：（300-80）÷（4.5-2.5）=110km/h，设轿车从乙地出发后th时再次与货车相遇，（110+60）t=300，解得，t=3017，答：轿车从乙地出发后经过3017小时再次与货车相遇．【点睛】此题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．22．【问题探究】（1）72︒；（2）6AC=．【拓展应用】【分析】问题探究：（1）由平行线的性质得出∠ACE+∠BAC=180°，即可得出结果；（2）由平行线的性质得出∠E=∠BAD=72°，证出AC=AE，由平行线证明△ABD∽△ECD，求出AD=2；ED=4，ED=2，得出AC=AE=AD+ED=6；拓展应用：过点D作DF∥AB交AC于点F．证明△BAE∽△DFE，得出AB AE BEDF EF DE===2，得出AB=2DF，EF=12AE=1，AF=AE+EF=3，证出AC=AD，在Rt△ADF中，求出DF=AF×tan∠，得出AC=AB，在Rt△ABC中，求出即可．【详解】解：（1）∵CE∥AB，∴∠ACE+∠BAC=180°，∴∠ACE=180°-108°=72°；故答案为：72；（2）∵CE∥AB，∴∠E=∠BAD=72°，∴∠E=∠ACE，∴AC=AE，∵CE∥AB，∴△ABD∽△ECD，∴AD BD ED CD=，∵BD=2CD，∴ADED=2，∴AD=2ED=4，∴ED=2，∴AC=AE=AD+ED=4+2=6；拓展应用：解：如图3中，过点D作DF∥AB交AC于点F．∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，∵DF∥AB，∴∠DFA=∠BAC=90°，∵∠AEB=∠DEF，∴△BAE∽△DFE，∴AB AE BEDF EF DE===2，∴AB=2DF，EF=12AE=1，AF=AE+EF=3，∵∠BAD=120°，∴∠CAD=30°，∴∠ACD=75°=∠ADC，∴AC=AD，在Rt△ADF中，∵∠CAD=30°，∴DF=AF×tan∠，∴，∴AC=AB，在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，∴；故答案为：．【点睛】此题考查四边形综合题，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．23．（1）103t；（2）t=1211；（3）S=224912(0)2411123116(3)11t tt t t⎧≤⎪⎪⎨⎪-+-⎪⎩＜＜＜．S最大=4912；（4）t的值为1≤t≤65或2≤t＜3．【分析】（1）如图1中，作AH⊥EF于H，交PQ于J．解直角三角形求出JH，AJ即可解决问题．（2）如图2中，当点D在PF上时，根据BD=PB•cos∠B，构建方程即可解决问题．（3）分两种情形分别求解：①如图3中，当0＜t≤1211时，重叠部分是△PGQ，②如图4中，当1211＜t＜3时，重叠部分四边形PQDG．（4）分两种情形：①如图5中，作DH∥PE交AB于H，连接EH．由DH∥PE，推出S△PED=S△PEH，推出S△PDE：S△APE=S△PHE：S△APE=PH：PA=m，由此构建不等式即可解决问题．②如图6中，作DH∥PE交AB于H，连接EH．构建不等式即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，作AH⊥EF于H，交PQ于J．∵PQ∥BC，∴PQ PA BC AB=，∴5375tPQ=，∴PQ=73t，∵四边形PQEF是正方形，∴∠QPF=∠F=90°，∵AH⊥EF，∴∠FHJ=90°，∴四边形PFHJ是矩形，∴JH=PF=PQ=73t，在Rt△APJ中，AJ=PA•sin∠APJ=533•5t=t，∴AH=AJ+JH=t+73103t=t．（2）如图2中，当点D在PF上时，则有BD=PB•cos∠B，∵四边形PQDB是平行四边形，∴BD=PQ，∴（5-457•335t=）t，解得t=12 11．（3）①如图3中，当0＜t≤1211时，重叠部分是△PGQ，S=7349•••••3117223442PQ PG t t==t2．②如图4中，当1211＜t ＜3时，重叠部分四边形PQDG ，S=S 平行四边形PQDB -S △PBG =535354•5553535132357t t t t ----（）（）（） =-3t 2+11t-6．综上所述，S=224912(0)2411123116(3)11t t t t t ⎧≤⎪⎪⎨⎪-+-⎪⎩＜＜＜．第一种情况，当t=1211时，S 最大=294121．第二种情况，当t=116时，S 最大=4912．综上，S 最大=4912．（4）①如图5中，作DH ∥PE 交AB 于H ，连接EH ．∵DH ∥PE ，∴S△PED=S△PEH，∴S△PDE：S△APE=S△PHE：S△APE=PH：PA=m，由题意易知：PE∥AC∥DH，∴BD：BC=BH：BA，∴73t：7=BH：5，∴BH=53 t，∴PH=5-53t-53t=5-103t．∴m=（5-103t）：53t，∵12≤m≤1时，∴12≤310553tt-≤1，解得：1≤t≤65．②如图6中，作DH∥PE交AB于H，连接EH．同法可得：∴52103315tt-≤≤1，解得：2≤t≤3．综上所述，满足条件的t 的值为1≤t≤65或2≤t ≤3．【点睛】此题考查相似三角形综合题，正方形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．24．（1）227133y x x ∴=-+-；（2）①1516或2548 ②（i ）0611x =或2或145- （ii ）max 1u =-，30＜2t ≤ 【分析】（1）将A 、B 、C 各点代入2y ax bx c =++得到三元一次方程组，解方程组即可求解；（2）①根据题意先求出抛物线M 3，再求M 3的顶点D 的坐标，分情况讨论：点D 在直线BC 上和x 轴上两种情况，列方程求解；②（i ）分三种情况：当012x ≤，0132x ≤＜，03x ＞时，根据相似三角形的判定和性质回答即可求解；（ii ）根据题意，结合图像回答即可．【详解】解：（1）把()()1,03,00,12A B C ⎛⎫ ⎪-⎝⎭、、代入2y ax bx c =++得， 110420931a b c a b c c ⎧=++⎪⎪=++⎨⎪-=⎪⎩ ，解得23731a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩， 227133y x x ∴=-+-；（2）①（i ）设点(),x y 是抛物线3M 上任意一点，则(),x y 关于直线y m =的对称点(),2x m y -一定在抛物线2M 上，将点(),2x m y -代入抛物线2M ：227133y x x =-+-，得 2272133m y x x -=-+-，整理，得2272133y x x m =-++， ∴抛物线2327:2133M y x x m =-++， ∴抛物线3M 的顶点坐标为：725,2424m ⎛⎫-⎪⎝⎭， ()()3,00,1B C -、，∴直线BC 为：113y x =-，当点725,2424m ⎛⎫- ⎪⎝⎭在BC 上时，如图2517212434m -=⨯-，解，得1548m =，当点725,2424m ⎛⎫- ⎪⎝⎭x 轴上时，如图252024m -=，解，得2548m =；故m 的值为：1548m =或2548m =； ②过点P 作PT⊥x 轴于点T ，则△OCQ∽△TQP， OQ OC PT TQ= 当012x ≤时000122x x y -=-- ，整理，得2004x y =-，又200027133y x x =-+-， 22000274133x x x ⎛⎫∴=--+- ⎪⎝⎭，解，得01x =，02x =（舍去）当0132x ≤＜时，由△OCQ∽△TQP 得，000212x y x -=整理，得2004x y =-，又200027133y x x =-+ ， 22000274133x x x ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭，解，得010262,11x x == ，当03x ＞时，由由△OCQ∽△TQP 得，000212x y x -=整理，得2004x y =-，又200027133y x x =-+-， 22000274133x x x ⎛⎫∴=--+⎪⎝⎭，解得， 01x =（舍去），02145x +=综上所述，0x 的值为0611x =或2（ii ）如图当0102x <<时，0y 有最小值，01y =- 当01724x <≤时，200027133y x x =-+，当07732423x -=-=⨯时，0y 有最小值，02524y =- 25124∴->- 把01y =- 代入抛物线3M ：200027133y x x =-+，200271133x x -+=-，解，得01023,22x x ==（不合题意，舍去） ∴u 的最大值为-1， 30＜2t ≤【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像和性质，点的坐标特征，轴对称，相似三角形的判定和性质及分类讨论思想，属于压轴题．。

吉林大附属中学2024届中考数学全真模拟试卷含解析

吉林大附属中学2024届中考数学全真模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，已知AB∥CD，DE⊥AF，垂足为E，若∠CAB=50°，则∠D的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°2．下列四个多项式，能因式分解的是()A．a－1 B．a2＋1C．x2－4y D．x2－6x＋93．将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2﹣3 C．y=（x+2）2+3 D．y=（x+2）2﹣34．12的倒数是（）A．﹣12B．2 C．﹣2 D．125．若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A．2xx y+-B．22yxC．3223yxD．222()yx y-6．6的相反数为()A．-6 B．6 C．16-D．167．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=-1，点B 的坐标为（1，0），则下列结论：①AB=4；②b2-4ac＞0；③ab＜0；④a2-ab+ac＜0，其中正确的结论有（）个．A ．3B ．4C ．2D ．18．下列式子中，与232-互为有理化因式的是（） A ．232- B ．232+ C ．322+ D ．322-9．如图所示，在平面直角坐标系中A （0，0），B （2，0），△AP 1B 是等腰直角三角形，且∠P 1=90°，把△AP 1B 绕点B 顺时针旋转180°，得到△BP 2C ；把△BP 2C 绕点C 顺时针旋转180°，得到△CP 3D ，依此类推，则旋转第2017次后，得到的等腰直角三角形的直角顶点P 2018的坐标为（）A ．（4030，1）B ．（4029，﹣1）C ．（4033，1）D ．（4035，﹣1）10．下列哪一个是假命题（）A ．五边形外角和为360°B ．切线垂直于经过切点的半径C ．（3，﹣2）关于y 轴的对称点为（﹣3，2）D ．抛物线y=x 2﹣4x+2017对称轴为直线x=2二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，菱形OABC 的顶点O 是原点，顶点B 在y 轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数()y x 0xk =<的图象经过点C ，则k 的值为．12．如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕将△ABD折叠得到△AB′D,AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是_______．13．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为_____．14．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为_______米（结果保留根号）．15．如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为＿米.（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）16．如图，无人机在空中C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD 为1003米，点A 、D 、B 在同一水平直线上，则A 、B 两点间的距离是_____米．（结果保留根号）三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C ，再在笔直的车道l 上确定点D ，使CD 与l 垂直，测得CD 的长等于24米，在l 上点D 的同侧取点A 、B ，使∠CAD ＝30°，∠CBD ＝60°．求AB 的长（结果保留根号）；已知本路段对校车限速为45千米/小时，若测得某辆校车从A 到B 用时1.5秒，这辆校车是否超速？说明理由．（参考数据：3≈1.7，2≈1.4）18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数()10y kx b k =+≠与反比例函数()20m y m x=≠的图像交于点()3,1A 和点B ，且经过点()0,2C -. 求反比例函数和一次函数的表达式；求当12y y >时自变量x 的取值范围.19．（845|4sin30°5（﹣112）﹣1 20．（8分）抛物线23y ax bx a =+-经过A （-1，0）、C （0，-3）两点，与x 轴交于另一点B ．求此抛物线的解析式；已知点D (m,-m-1) 在第四象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点D’的坐标;在（2）的条件下，连结BD ，问在x 轴上是否存在点P ，使PCB CBD ∠=∠，若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.21．（8分）如图，已知矩形ABCD 中，连接AC ，请利用尺规作图法在对角线AC 上求作一点E 使得△ABC ∽△CDE ．（保留作图痕迹不写作法）22．（10分）一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离y （千米）与行驶时间x （小时）的对应关系如图所示：（1）甲乙两地相距千米，慢车速度为千米/小时．（2）求快车速度是多少？（3）求从两车相遇到快车到达甲地时y 与x 之间的函数关系式．（4）直接写出两车相距300千米时的x 值．23．（12分）如图，已知二次函数2231284y x mx m m =-++-的图象与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 左侧)，与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）当2m =-时，求四边形ADBC 的面积S ；（2）在（1）的条件下，在第二象限抛物线对称轴左侧上存在一点P ，使2PBA BCO ∠=∠，求点P 的坐标；（3）如图2，将（1）中抛物线沿直线3184y x =-向斜上方向平移734个单位时，点E 为线段OA 上一动点，EF x ⊥轴交新抛物线于点F ，延长FE 至G ，且OE AE FE GE =，若EAG ∆的外角平分线交点Q 在新抛物线上，求Q 点坐标． 24．如图，分别以线段AB 两端点A ，B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧交于C ，D 两点，作直线CD 交AB 于点M ，DE ∥AB ，BE ∥CD ．（1）判断四边形ACBD 的形状，并说明理由；（2）求证：ME=AD ．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、B【解题分析】试题解析：∵AB ∥CD ，且50CAB ∠=︒，50ECD ∴∠=︒，ED AE ，⊥90CED ∴∠=︒，∴在Rt CED 中，905040D ．∠=︒-︒=︒故选B ．2、D【解题分析】试题分析：利用平方差公式及完全平方公式的结构特征判断即可．试题解析：x2-6x+9=（x-3）2．故选D．考点：2．因式分解-运用公式法；2．因式分解-提公因式法．3、D【解题分析】先得到抛物线y=x2的顶点坐标（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（-2，-1），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【题目详解】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到对应点的坐标为（-2，-1），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-1．故选：D．【题目点拨】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．4、B【解题分析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．【题目详解】解：∵12×1＝1∴12的倒数是1．故选B．【题目点拨】本题考查了倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．5、D【解题分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案．【题目详解】根据分式的基本性质，可知若x ，y 的值均扩大为原来的3倍，A 、23233x x x y x y++≠--，错误； B 、22629y y x x≠，错误； C 、3322542273y y x x≠，错误； D 、()()22221829y y x y x y --＝，正确；故选D ．【题目点拨】本题考查的是分式的基本性质，即分子分母同乘以一个不为0的数，分式的值不变．此题比较简单，但计算时一定要细心．6、A【解题分析】根据相反数的定义进行求解.【题目详解】1的相反数为：﹣1．故选A.【题目点拨】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答的关键，绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. 7、A【解题分析】利用抛物线的对称性可确定A 点坐标为（-3，0），则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x 轴有2个交点可对②进行判断；由抛物线开口向下得到a ＞0，再利用对称轴方程得到b=2a ＞0，则可对③进行判断；利用x=-1时，y ＜0，即a-b+c ＜0和a ＞0可对④进行判断．【题目详解】∵抛物线的对称轴为直线x=-1，点B 的坐标为（1，0），∴A （-3，0），∴AB=1-（-3）=4，所以①正确；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2-4ac ＞0，所以②正确；∵抛物线开口向下，∴a ＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=-2b a=-1， ∴b=2a ＞0，∴ab ＞0，所以③错误；∵x=-1时，y ＜0，∴a-b+c ＜0，而a ＞0，∴a （a-b+c ）＜0，所以④正确．故选A ．【题目点拨】本题考查了抛物线与x 轴的交点：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0），△=b 2-4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．也考查了二次函数的性质．8、B【解题分析】直接利用有理化因式的定义分析得出答案．【题目详解】∵（）（）=12﹣2，=10，∴与互为有理化因式的是：，故选B ．【题目点拨】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式. 单项二次根式的有理化因式是它本身或者本身的相反数；其他代数式的有理化因式可用平方差公式来进行分步确定.9、D【解题分析】根据题意可以求得P 1，点P 2，点P 3的坐标，从而可以发现其中的变化的规律，从而可以求得P 2018的坐标，本题得以解决．【题目详解】解：由题意可得，点P 1（1，1），点P 2（3，-1），点P 3（5，1），∴P 2018的横坐标为：2×2018-1=4035，纵坐标为：-1，即P 2018的坐标为（4035，-1），故选：D ．【题目点拨】本题考查了点的坐标变化规律，解答本题的关键是发现各点的变化规律，求出相应的点的坐标．10、C【解题分析】分析：根据每个选项所涉及的数学知识进行分析判断即可.详解：A 选项中，“五边形的外角和为360°”是真命题，故不能选A ；B 选项中，“切线垂直于经过切点的半径”是真命题，故不能选B ；C 选项中，因为点（3，-2）关于y 轴的对称点的坐标是（-3，-2），所以该选项中的命题是假命题，所以可以选C ；D 选项中，“抛物线y=x 2﹣4x+2017对称轴为直线x=2”是真命题，所以不能选D.故选C.点睛：熟记：（1）凸多边形的外角和都是360°；（2）切线的性质；（3）点P （a ，b ）关于y 轴的对称点为（-a ，b ）；（4）抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠的对称轴是直线：2b x a =-等数学知识，是正确解答本题的关键.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、－6【解题分析】分析：∵菱形的两条对角线的长分别是6和4，∴A （﹣3，2）.∵点A 在反比例函数()y x 0x k =<的图象上， ∴23k =-，解得k=－6. 【题目详解】请在此输入详解！12、5或1．【解题分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后由翻折的性质可知：AB′=5，DB=DB′，接下来分为∠B′D E=90°和∠B′ED=90°，两种情况画出图形，设DB=DB′=x，然后依据勾股定理列出关于x的方程求解即可．【题目详解】∵Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=5，∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，∴BD=DB′，AB′=AB=5．如图1所示：当∠B′DE=90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F．设BD=DB′=x，则AF=6+x，FB′=8-x．在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′5=AF5+FB′5，即（6+x）5+（8-x）5=55．解得：x1=5，x5=0（舍去）．∴BD=5．如图5所示：当∠B′ED=90°时，C与点E重合．∵AB′=5，AC=6，∴B′E=5．设BD=DB′=x，则CD=8-x．在Rt△′BDE中，DB′5=DE5+B′E5，即x5=（8-x）5+55．解得：x=1．∴BD=1．综上所述，BD的长为5或1．13、5210 258 x yx y+=⎧⎨+=⎩【解题分析】试题分析：根据“5头牛，2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两.”列方程组即可.考点：二元一次方程组的应用14、43一4【解题分析】分析:利用特殊三角函数值，解直角三角形,AM=MD,再用正切函数，利用MB求CM,作差可求DC.【题目详解】因为∠MAD=45°, AM=4,所以MD=4，因为AB=8，所以MB=12,因为∠MBC=30°，所以CM=MB tan30°=43.所以CD=43-4.【题目点拨】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的相关定义以及变形是解题的关键.15、2.9【解题分析】试题分析：在Rt△AMD中，∠MAD=45°，AM=4米，可得MD=4米；在Rt△BMC中，BM=AM+AB=12米，∠MBC=30°，可求得MC=4米，所以警示牌的高CD=4-4=2.9米.考点：解直角三角形.16、100（3【解题分析】分析：如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在Rt△ACD中利用正切定义可计算出AD=100，在Rt△BCD 中利用等腰直角三角形的性质得3AD+BD即可．详解：如图，∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，∴∠A=60°，∠B=45°，在Rt △ACD 中，∵tanA=CD AD ， ∴AD=01003tan 60=100，在Rt △BCD 中，BD=CD=1003，∴AB=AD+BD=100+1003=100（1+3）．答：A 、B 两点间的距离为100（1+3）米．故答案为100（1+3）．点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．三、解答题（共8题，共72分）17、 (1)163 ;(2)此校车在AB 路段超速，理由见解析.【解题分析】（1）结合三角函数的计算公式，列出等式，分别计算AD 和BD 的长度，计算结果，即可．（2）在第一问的基础上，结合时间关系，计算速度，判断，即可．【题目详解】解：（1）由题意得，在Rt △ADC 中，tan30°＝＝，解得AD ＝24．在 Rt △BDC 中，tan60°＝＝，解得BD ＝8所以AB ＝AD ﹣BD ＝24﹣8＝16（米）．（2）汽车从A 到B 用时1.5秒，所以速度为16÷1.5≈18.1（米/秒），因为18.1（米/秒）＝65.2千米/时＞45千米/时，所以此校车在AB 路段超速．【题目点拨】考查三角函数计算公式，考查速度计算方法，关键利用正切值计算方法，计算结果，难度中等．18、 (1) 3y x=，2y x =-；（2）10x -<<或3x >. 【解题分析】（1）把点A 坐标代入()m y m 0x=≠可求出m 的值即可得反比例函数解析式；把点A 、点C 代入()1y kx b k 0=+≠可求出k 、b 的值，即可得一次函数解析式；（2）联立一次函数和反比例函数解析式可求出点B 的坐标，根据图象，求出一次函数图象在反比例函数图象的上方时，x 的取值范围即可．【题目详解】（1）把()A 3,1代入()m y m 0x=≠得m 3=. ∴反比例函数的表达式为3y x = 把()A 3,1和()B 0,2-代入y kx b =+得132k b b=+⎧⎨-=⎩，解得12k b =⎧⎨=-⎩∴一次函数的表达式为y x 2=-.（2）由3x 2y y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得()B 1,3--∴当1x 0-<<或x 3>时，12y y >.【题目点拨】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．求反比例函数与一次函数的交点坐标时，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解，则两者有交点，若方程组无解，则两者无交点．19、﹣1．【解题分析】先逐项化简，再合并同类项或同类二次根式即可.【题目详解】解：原式＝﹣2）﹣12＝﹣﹣12＝﹣1．【题目点拨】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，二次根式的性质以及负整数指数幂的意义是解答本题的关键.20、（1）2y x 2x 3=--（2）（0，-1）（3）（1,0）（9,0）【解题分析】（1）将A （−1，0）、C （0，−3）两点坐标代入抛物线y ＝ax 2＋bx−3a 中，列方程组求a 、b 的值即可；（2）将点D （m ，−m−1）代入（1）中的抛物线解析式，求m 的值，再根据对称性求点D 关于直线BC 对称的点D'的坐标；（3）分两种情形①过点C 作CP ∥BD ，交x 轴于P ，则∠PCB ＝∠CBD ，②连接BD′，过点C 作CP′∥BD′，交x 轴于P′，分别求出直线CP 和直线CP′的解析式即可解决问题．【题目详解】解：（1）将A （−1，0）、C （0，−3）代入抛物线y ＝ax 2＋bx−3a 中，得3033a b a a --=⎧⎨-=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩∴y ＝x 2−2x−3；（2）将点D （m ，−m−1）代入y ＝x 2−2x−3中，得m 2−2m−3＝−m−1，解得m ＝2或−1，∵点D （m ，−m−1）在第四象限，∴D （2，−3），∵直线BC 解析式为y ＝x−3，∴∠BCD ＝∠BCO ＝45°，CD′＝CD ＝2，OD′＝3−2＝1，∴点D 关于直线BC 对称的点D'（0，−1）；（3）存在．满足条件的点P 有两个．①过点C 作CP ∥BD ，交x 轴于P ，则∠PCB ＝∠CBD ，∵直线BD 解析式为y ＝3x−9，∵直线CP 过点C ，∴直线CP 的解析式为y ＝3x−3，∴点P 坐标（1，0），②连接BD′，过点C作CP′∥BD′，交x轴于P′，∴∠P′CB＝∠D′BC，根据对称性可知∠D′BC＝∠CBD，∴∠P′CB＝∠CBD，∵直线BD′的解析式为113y x=-∵直线CP′过点C，∴直线CP′解析式为133y x=-，∴P′坐标为（9，0），综上所述，满足条件的点P坐标为（1，0）或（9，0）．【题目点拨】本题考查了二次函数的综合运用．关键是由已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，直线BC的特殊性求点的坐标，学会分类讨论，不能漏解．21、详见解析【解题分析】利用尺规过D作DE⊥AC，，交AC于E，即可使得△ABC∽△CDE．【题目详解】解：过D作DE⊥AC，如图所示，△CDE即为所求：【题目点拨】本题主要考查了尺规作图，相似三角形的判定，解决问题的关键是掌握相似三角形的判定方法．22、（1）10，1；（2）快车速度是2千米/小时；（3）从两车相遇到快车到达甲地时y与x之间的函数关系式为y=150x﹣10；（4）当x=2小时或x=4小时时，两车相距300千米．【解题分析】（1）由当x=0时y=10可得出甲乙两地间距，再利用速度=两地间距÷慢车行驶的时间，即可求出慢车的速度；（2）设快车的速度为a千米/小时，根据两地间距=两车速度之和×相遇时间，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）分别求出快车到达甲地的时间及快车到达甲地时两车之间的间距，根据函数图象上点的坐标，利用待定系数法即可求出该函数关系式；（4）利用待定系数法求出当0≤x≤4时y与x之间的函数关系式，将y=300分别代入0≤x≤4时及4≤x≤203时的函数关系式中求出x值，此题得解．【题目详解】解：（1）∵当x=0时，y=10，∴甲乙两地相距10千米．10÷10=1（千米/小时）．故答案为10；1．（2）设快车的速度为a千米/小时，根据题意得：4（1+a）=10，解得：a=2．答：快车速度是2千米/小时．（3）快车到达甲地的时间为10÷2=203（小时），当x=203时，两车之间的距离为1×203=400（千米）．设当4≤x≤203时，y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），∵该函数图象经过点（4，0）和（203，400），∴40{204003k bk b+=+=，解得：150{600kb==-，∴从两车相遇到快车到达甲地时y与x之间的函数关系式为y=150x﹣10．（4）设当0≤x≤4时，y与x之间的函数关系式为y=mx+n（m≠0），∵该函数图象经过点（0，10）和（4，0），∴600{40nm n=+=，解得：150{600mn=-=，∴y 与x 之间的函数关系式为y=﹣150x+10．当y=300时，有﹣150x+10=300或150x ﹣10=300，解得：x=2或x=4．∴当x=2小时或x=4小时时，两车相距300千米．【题目点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一元一次方程的应用以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用速度=两地间距÷慢车行驶的时间，求出慢车的速度；（2）根据两地间距=两车速度之和×相遇时间，列出关于a 的一元一次方程；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（4）利用一次函数图象上点的坐标特征求出当y=300时x 的值．23、（1）4；（2）15(4P -，33)16；（3）3(1,)4Q -．【解题分析】（1）过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，求出二次函数的顶点D 的坐标，然后求出A 、B 、C 的坐标，然后根据ABC ABDS S S ∆∆=+即可得出结论；（2）设点2(,43)P t t t ++是第二象限抛物线对称轴左侧上一点，将BOC ∆沿y 轴翻折得到COE ∆，点(1,0)E ，连接CE ，过点B 作BF CE ⊥于F ，过点P 作PG x ⊥轴于G ，证出PBG BCF ∆∆∽，列表比例式，并找出关于t 的方程即可得出结论；（3）判断点D 在直线3184y x =-上，根据勾股定理求出DH ，即可求出平移后的二次函数解析式，设点(m,0)E ，(,0)T n ，过点Q 作QM EG ⊥于M ，QS AG ⊥于S ，QT x ⊥轴于T ，根据勾股定理求出AG ，联立方程即可求出m 、n ，从而求出结论．【题目详解】解：（1）过点D 作DE ⊥x 轴于点E当2m =-时，得到2243(2)1y x x x =++=+-， ∴顶点(2,1)D --，∴DE=1由2430x x ++=，得13x =-，21x =-；令0x =，得3y =；(3,0)A ∴-，(1,0)B -，(0,3)C ，2AB ∴=，OC=3 11422ABC ABD S S S AB OC AB DE ∆∆∴=+=⨯+⨯=．（2）如图1，设点2(,43)P t t t ++是第二象限抛物线对称轴左侧上一点，将BOC ∆沿y 轴翻折得到COE ∆，点(1,0)E ，连接CE ，过点B 作BF CE ⊥于F ，过点P 作PG x ⊥轴于G ，由翻折得：BCO ECO ∠=∠，2BCF BCO ∴∠=∠；2PBA BCO ∠=∠，PBA BCF ∴∠=∠， PG x ⊥轴，BF CE ⊥，90PGB BFC ∴∠=∠=︒，PBG BCF ∴∆∆∽，∴PG BF BG CF= 由勾股定理得：22221310BC EC OE OC ==++CO BE BF CE ⨯=⨯∴31010OC BE BF CE ⨯=== ∴2222310410(10)()5CF BC BF =--，∴34PG BF BG CF ==， 43PG BG ∴= 243PG t t =++，1BG t =--，24(43)3(1)t t t ∴++=--，解得：11t =-(不符合题意，舍去)，2154t =-； 15(4P ∴-，33)16．（3）原抛物线2(2)1y x =+-的顶点(2,1)D --在直线3184y x =-上，直线3184y x =-交y 轴于点1(0,)4H -，如图2，过点D 作DN y ⊥轴于N ，22223732()44DH DN NH =+=+=； ∴由题意，平移后的新抛物线顶点为1(0,)4H -，解析式为214y x =-，设点(m,0)E ，(,0)T n ，则OE m =-，12AE m =+，214EF m =-，过点Q 作QM EG ⊥于M ，QS AG ⊥于S ，QT x ⊥轴于T ， OE AE FE GE =，221m GE m ∴=-， ∴222221241()()22124m m AG AE EG m m m+=+=++=--GQ 、AQ 分别平分AGM ∠，GAT ∠，QM QS QT ∴==，点Q 在抛物线上，21(,)4Q n n ∴-，根据题意得：2221441112242421m n n m mn n m m ⎧-=-⎪⎪⎨+⎪++=--⎪--⎩ 解得：141m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩3(1,)4Q ∴- 【题目点拨】此题考查的是二次函数的综合大题，难度较大，掌握二次函数平移规律、二次函数的图象及性质、相似三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键．24、（1）四边形ACBD 是菱形；理由见解析；（2）证明见解析.【解题分析】（1）根据题意得出AC BC BD AD ===，即可得出结论；（2）先证明四边形BEDM 是平行四边形，再由菱形的性质得出90BMD ∠=︒，证明四边形ACBD 是矩形，得出对角线相等ME BD =，即可得出结论.【题目详解】（1）解：四边形ACBD 是菱形；理由如下：根据题意得：AC=BC=BD=AD ，∴四边形ACBD 是菱形（四条边相等的四边形是菱形）；（2）证明：∵DE ∥AB ，BE ∥CD ，∴四边形BEDM 是平行四边形，∵四边形ACBD 是菱形，∴AB ⊥CD ，∴∠BMD=90°，∴四边形ACBD 是矩形，∴ME=BD ，∵AD=BD ，∴ME=AD ．【题目点拨】本题考查了菱形的判定、矩形的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定与性质，并能进行推理结论是解决问题的关键.。

吉林大学附属中学2023年中考数学二模试卷word版附详细参考答案

吉林大学附属中学222-2023学年度第二学期第二次考试九年数学试题总分：120分时间：120分钟一、单项选择题(每题3分，共24分)1.如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的俯视图是( )2.火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近时的距离约为55000000千米，将55000000用科学记数法表示为( )A.0.55×108B.5.5×107C.5.5×105D.55×106 3.不等式组{2x −5＜1 3x +1≥2x的解集表示正确的是( )A.x ＜3B.x ≥−1C.−1≤x ＜3D.x ≤−1或x ＞3 4.实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( ) A.a ＞0 B.a ＜b C.b −1＜0 D.ab ＞05.如图，数学兴趣小组用测角仪和皮尺测量一座信号塔CD 的高度，信号塔CD 对面有一座高15米的瞭望塔AB ，从瞭望塔顶部A 测得信号塔顶C 的仰角为53°，测得瞭望塔底B 与信号塔底D 之间的距离为25米，设信号塔CD 的高度为x 米，则下列关系式中正确的是( ) A.sin53°=x−1525B.cos53°=x−1525C.tan53°=x−1525D.tan53°=25x−156.如图，AB 是⊙0的切线，点A 为切点，B0交⊙0于点C ，B0的延长线交⊙0于点D ，第4题图正面点E 在优弧CDA 上，连接AD 、AB 、CE ，若∠B AD=122°，则∠CEA 的度数为( ) A.26° B.32° C.64° D.128°7.在△ACB 中，∠ABC=90°，用直尺和圆规在AC 上确定点D ，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是( )8.如图，在平面直坐标系，等腰直角△ABC 的顶点A 、B 均在函数y=kx(k ＞0)的图象上，点C 在y 轴正半轴上，∠ACB=90°，若点A 的横坐标为−2，点B 的纵坐标为1，则k 的值为( )A.1B.2C.4D.6 二、填空题(每空3分，共18分) 9.因式分解：2x 2−2=_______.10.如果关于x 的一元二次方程a x 2+x −2=0有两个不相等的实数根，那么a 的值可以是_______.(写出一个a 值即可)11.有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货_______吨. 12.如图，线段AB=2.以BC 为直径作半圆，再分别以点A 、B 为圆心，以AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C.则图中阴影部分的周长为_______C. A BC DABC DA.D. ABCDB. ABC D第12题图第8题图第6题图A第5题图53°ADCB13.如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD ，AD 上，BE 与CF 交于点G.若BC=4，DE=AF=1，则CG 的长是_______.14.在平面直角坐标系x 0y 中，点(−2，0)，(−1，y 1)，(1，y 2)，(2，y 3)在抛物线y=x 2+b x +c 上，若y 1＜y 2＜y 3，则y 3的取值范围是_______. 三、解答题(本大题共10小题，共78分)15.(6分)先化简，再求值：x (3−x )+( x +1)(x −1)，其中x =−13.16.(6分)一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母A ，B ，C ，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图(或列表)的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率.17.(6分)为坚决打好打赢长春疫情防控保卫战，长春市新冠肺炎疫情防控指挥部发布开展全市全员新冠病毒核酸检测的通告，某小区有3000人需要进行核酸检测，由于组织有序，居民也积极配合，实际上每小时检测人数是原计划的12倍，结果提前2小时完成检测任务.求原计划每小时检测多少人？18.(7分)图①、图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点.△ABC 顶点A 、B 、C 均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹.(1)网格中∠B 的度数是_______°；(2)在图①中画出△ABC 中BC 边上的中线AD ；(3)在图②中确定一点E ，使得点E 在AC 边上，且满足BE ⊥AC ；第13题图A D EFCBG(4)在图③中面出△B MN ，使得△B MN 与△BCA 是位似图形，且点B 为位似中心，点M 、N 分别在BC 、AB 边上，位似比为13.19.(7分)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，BC=DC ，CE 平分∠BCD 交边AB 于点E ，连结DE.(1)求证：四边形BCDE 是菱形；(2)连结BD ，若BD=AD=4，t an∠=12，则CE 的长为______.20.(7分)某校为了提高学生的科普知识，推出了特色科普项目直播课程抖音云课堂，吸引了全校学生踊跃参与线上科普学习，广受好评.为了解全校800名学生观看科普直播课程的情况，该校采用抽样调查的方式来进行统计分析. 【方案选择】以下三种抽样调查方案：方案一：从七年级、八年级、九年级中指定50名学生现看课程节数作为样本；方案二：从七年级、八年级中随机抽取30名男生观看课程节数以及在九年级中随机抽取20名女生观看课程节数作为样本；方案三：从全校800名学生中按照学号随机的取50名学生的观看课程节数作为样本. 其中抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是______(填写“方案一”、“方案二”或“方案三”)；第19题图ABCDE第18题图图①图②图③A CBA C BACB【分析数据】学校用合理的方式抽取了50名学生，对他们观看课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息.I.观看课程节数的频数分布表如表：20，20，21，22，23，23，23，23，25，26，26，26，27，28，28，29.请根据所给信息，解答下列问题：(1)m=_______；n=_______；(2)随机抽取的50名学生观看课程节数的中位数是______.【做出预估】根据抽查结果，请估计该校800名学生观看课程节数不少于30次的人数.21.(8分)甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BC→CD-DE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题：(1)线段CD表示轿车在途中停留了______h；(2)求线段DE对应的函数解析式；(3)甲乙两地之间有一加油站，轿车到达加油站后又行驶0.4小时追上货车，直接写出甲地与加油站之间的距离________km.22.(9分)【感知】如图①，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=12AB ，易知∠B=30°(不需要证明).【探究】如图②，四边形ABCD 是一张边长为2的正方形纸片，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿过点D 的折痕将纸片翻折，使点A 落在EF 上的点A ´处.折痕交AE 于点G ，求∠ADG 的度数和AG 的长.【拓展】若矩形纸片ABCD 按如图③所示的方式折叠，B 、D 两点恰好重合于一点O(如图④)，若AB=6，直接写出EF 的长为_______.23.(10分)如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，sinA=35，点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度向终点B 匀速运动，过点P 作PD ⊥AB 交折线AC 、CB 于点D ，连结BD.将△DBP 绕点D 逆时针旋转90°得到△DEF，设点P 的运动时间为t(秒). (1)用含t 的代数式表示线段PD 的长； (2)当点E 落在AB 边上时，求AD 的长； (3)当点F 在△ABC 内部时，求t 的取值范围；(4)当线段DP 将△ABC 的面积分成1︰2的两部分时，直接写出t 的值为_______.第12题图图③AB CDFGE 图②A ´ 图①C ABCDFO图④E第21题图第23题图24.(12分)在平面直角坐标系中，函数y=x2−2m x+m2−4(m为常数)的图象记为G.(1)设m＞0，当G经过点(2，0)时，求此函数的表达式，并写出顶点坐标.(2)判断图象G与x轴公共点的个数，并说明理由；(3)当2m≤x≤m+3时，图象G的最高点与最低点纵坐标之差为9，求m的取值范围.(4)线段AB的端点坐标分别为A(0，2)、B(7，4).当图象G与x轴有两个公共点时，设其分别为点C、点D(点C在点D左侧)，直接写出四边形ACDB周长的最小值及此时m 的值.第24题图吉林大学附属中学222-2023学年度第二学期第二次考试九年数学试题总分：120分时间：120分钟一、单项选择题(每题3分，共24分)1.如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的俯视图是( )1.解：A 是左视图也是主视图，B 是俯视图，故选A .2.火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近时的距离约为55000000千米，将55000000用科学记数法表示为( )A.0.55×108B.5.5×107C.5.5×105D.55×106 2.解：55000000=5.5×107，A 与D 不符合科学计数法规范，故选B . 3.不等式组{2x −5＜1 3x +1≥2x的解集表示正确的是( )A.x ＜3B.x ≥−1C.−1≤x ＜3D.x ≤−1或x ＞3 3.解：解2x −5＜1得x ＜3；解3x +1≥2x 得x ≥−1，故不等式组的解集为−1≤x ＜3，故选C .4.实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( ) A.a ＞0 B.a ＜b C.b −1＜0 D.ab ＞04.解：由图知−2＜a ＜−1＜0＜2＜b ＜3，故a ＜0，a ＜b ，b −1＞0，ab ＜0，故选B .第4题图正面5.如图，数学兴趣小组用测角仪和皮尺测量一座信号塔CD 的高度，信号塔CD 对面有一座高15米的瞭望塔AB ，从瞭望塔顶部A 测得信号塔顶C 的仰角为53°，测得瞭望塔底B 与信号塔底D 之间的距离为25米，设信号塔CD 的高度为x 米，则下列关系式中正确的是( ) A.sin53°=x−1525B.cos53°=x−1525C.tan53°=x−1525D.tan53°=25x−155.解：由题意可知tan53°=x−1525，故选C .6.如图，AB 是⊙0的切线，点A 为切点，B0交⊙0于点C ，B0的延长线交⊙0于点D ，点E 在优弧CDA 上，连接AD 、AB 、CE ，若∠B AD=122°，则∠CEA 的度数为( ) A.26° B.32° C.64° D.128°6.解：连接AC 、AO ，则∠CEA =∠CDA ，∵AB 是⊙0的切线，∴∠OAB=90°，∴∠OAD=∠B AD −90°=32°，∵OA=OD ，∴∠CDA=∠OAD=32°，故∠CEA =32°，选B .7.在△ACB 中，∠ABC=90°，用直尺和圆规在AC 上确定点D ，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是( )7.解：当BD ⊥AC 时，有∠C=∠ABD ，∠BDC=∠ADB ，A 中BD 是∠ABC 的角平分线，B 中BD 是中线，C 中BD ⊥AC ，D 中AB=AD ，故选C .C. A BC DABC DA.D. ABCDB. ABC D第12题图第8题图第6题图第5题图53°ADCB8.如图，在平面直坐标系，等腰直角△ABC的顶点A、B均在函数y=kx(k＞0)的图象上，点C在y轴正半轴上，∠ACB=90°，若点A的横坐标为−2，点B的纵坐标为1，则k的值为( )A.1B.2C.4D.6过C作x轴平行线DE，过A作AD⊥DE于D，过B作BE⊥DE于E，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∵∠CAD+∠ACD=90°，∴∠BCE=∠CAD，又∵BC=CA，∠BEC=∠CDA，∴△BEC≌△CDA(AAS)，∴BE=CD=2，AD=CE=k，∵AD=|y A|+y B+BE=k2+1+2，∴k2+1+2=k，解得k=6，故选D.二、填空题(每空3分，共18分)9.因式分解：2x2−2=_______.9.解：原式=2(x2−1)=2(x+1)(x−1).10.如果关于x的一元二次方程a x2+x−2=0有两个不相等的实数根，那么a的值可以是_______.(写出一个a值即可)10.解：一元二次方程则a≠0；有两个不相等的实数根，则1+8a＞0，解得a＞−18，故a的值可以是1.11.有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货_______吨. 11.解：3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，则6辆大货车与8辆小货车一次可以运货44吨；5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则10辆大货车与4辆小货车一次可以运货50吨，故有6+10=16辆大货车与8+4=12辆小货车一次可以运货44+50=94吨，4辆大货车与3辆小货车一次可以运货944=23.5吨.12.如图，线段AB=2.以BC为直径作半圆，再分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点C.则图中阴影部分的周长为_______12.解：∵AB=AC=BC，∴△ABC为等边三角形，故阴影部分的周长=12π×2+60360×2π×2×2=73π.13.如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD ，AD 上，BE 与CF 交于点G.若BC=4，DE=AF=1，则CG 的长是_______.13.解：由勾股定理知CF=√CD 2+DF 2=√42+(4−1)2=5，∵DF=AD −AF=3，CE=CD −DE=3，∴DF=CE ，又∵BC=CD ，∠BCD=∠CDF ，∴△BCE ≌△CDF(SAS)，∴∠CEB=∠DFC ，∵∠DFC+∠DCF=90°，∴∠CEB+∠DCF=90°，∴∠CGE=90°，∴△CGE ∽△CFD ，∴CG CD =CE CF，即CG 4=35，解得CG=125.14.在平面直角坐标系x 0y 中，点(−2，0)，(−1，y 1)，(1，y 2)，(2，y 3)在抛物线y=x 2+b x +c 上，若y 1＜y 2＜y 3，则y 3的取值范围是_______.14.解：将点(−2，0)代入y=x 2+b x +c 得c=2b-4，y 1=1−b+c ，y 2=1+b+c ，y 3=4+2b+c ，∵y 1＜y 2＜y 3，∴1−b+c ＜1+b+c ＜4+2b+c ，解得b ＞0，y 3=4+2b+c=4+2b+2b −4=4b ＞0，即y 3的取值范围是y 3＞0.三、解答题(本大题共10小题，共78分)15.(6分)先化简，再求值：x (3−x )+(x +1)(x −1)，其中x =−13.15.解：原式=3x −x 2+x 2−1=3x −1，代入x =−13，原式=3x −1=3×(−13)−1=−2.16.(6分)一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母A ，B ，C ，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图(或列表)的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率.16.解：所有可能的情况如下表：第13题图A D EFCBG故该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率为9=3 .17.(6分)为坚决打好打赢长春疫情防控保卫战，长春市新冠肺炎疫情防控指挥部发布开展全市全员新冠病毒核酸检测的通告，某小区有3000人需要进行核酸检测，由于组织有序，居民也积极配合，实际上每小时检测人数是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成检测任务.求原计划每小时检测多少人？17.解：设原计划每小时检测x人，依题意可列方程3000 1.2x +2=3000x解得x=250经检验，x=250是原分式方程的解答：原计划每小时检测250人.18.(7分)图①、图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点.△ABC 顶点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹.(1)网格中∠B的度数是_______°；(2)在图①中画出△ABC中BC边上的中线AD；(3)在图②中确定一点E，使得点E在AC边上，且满足BE⊥AC；(4)在图③中面出△B MN，使得△B MN与△BCA是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别在BC、AB边上，位似比为13.18.解：(1)网格中∠B 的度数是45°. (2)如图所示.(3)如图所示(相似三角形法). (4)如图所示.19.(7分)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，BC=DC ，CE 平分∠BCD 交边AB 于点E ，连结DE.(1)求证：四边形BCDE 是菱形；(2)连结BD ，若BD=AD=4，t an∠A=12，则CE 的长为______.19.解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴∠DCE=∠BEC ，∵CE 平分∠BCD，∴∠BEC=∠DCE=∠BCE ，∴BE=BC ，又∵BC=DC ，∴BE=BC=DC ，∴四边形BCDE 是菱形. (2)连接BD 交CE 于O ，则OE=OC ，OB=OD=2，∵BD=AD ，∴∠A=∠EBO ∵四边形BCDE 是菱形，∴BD ⊥CE ∴tan ∠EBO=t an∠A=12，∴EO OB =12，EO=12OB=1，故CE=2EO=2.20.(7分)某校为了提高学生的科普知识，推出了特色科普项目直播课程抖音云课堂，吸引了全校学生踊跃参与线上科普学习，广受好评.为了解全校800名学生观看科普直播课程的情况，该校采用抽样调查的方式来进行统计分析.O第19题图ABC DE第18题图图①图②图③A CBA C BACBDENM【方案选择】以下三种抽样调查方案：方案一：从七年级、八年级、九年级中指定50名学生现看课程节数作为样本；方案二：从七年级、八年级中随机抽取30名男生观看课程节数以及在九年级中随机抽取20名女生观看课程节数作为样本；方案三：从全校800名学生中按照学号随机的取50名学生的观看课程节数作为样本.其中抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是______(填写“方案一”、“方案二”或“方案三”)；【分析数据】学校用合理的方式抽取了50名学生，对他们观看课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息.I.观看课程节数的频数分布表如表：20，20，21，22，23，23，23，23，25，26，26，26，27，28，28，29.请根据所给信息，解答下列问题：(1)m=_______；n=_______；(2)随机抽取的50名学生观看课程节数的中位数是______.【做出预估】根据抽查结果，请估计该校800名学生观看课程节数不少于30次的人数.20.解：【方案选择】其中抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是方案三.【分析数据】(1)m=12；n=0.32；(2)随机抽取的50名学生观看课程节数的中位数是23.【做出预估】800×12+450=256，估计该校800名学生观看课程节数不少于30次的人数为256名.21.(8分)甲、乙两地相距300km ，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，线段OA 表示货车离甲地的距离y(km)与时间x (h)之间的函数关系，折线BC→CD -DE 表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x (h)之间的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题：(1)线段CD 表示轿车在途中停留了______h ； (2)求线段DE 对应的函数解析式；(3)甲乙两地之间有一加油站，轿车到达加油站后又行驶0.4小时追上货车，直接写出甲地与加油站之间的距离________km.21.解：(1)线段CD 表示轿车在途中停留了2.5−2=0.5h.(2)设DE 段对应的函数解析式为y=k x +b ，分别代入(2.5,80)、(4.5,300)得{2.5k +b =804.5k +b =300解得k=110，b=−195，故DE 段对应的函数解析式为y=110x −195.(3)货车速度=300÷5=60km/h ，轿车在DE 段的速度为110km/h ，2.5h 时货车行驶60×2.5=150km ，(150−80)÷(110−60)=1.4h ，故轿车行驶至加油站的时间为第21题图2.5+1.4−0.4=3.5h ，将x =3.5代入y=110x −195得y=190km ，即甲地与加油站之间的距离为190km.22.(9分)【感知】如图①，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=12AB ，易知∠B=30°(不需要证明).【探究】如图②，四边形ABCD 是一张边长为2的正方形纸片，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿过点D 的折痕将纸片翻折，使点A 落在EF 上的点A ´处.折痕交AE 于点G ，求∠ADG 的度数和AG 的长.【拓展】若矩形纸片ABCD 按如图③所示的方式折叠，B 、D 两点恰好重合于一点O(如图④)，若AB=6，直接写出EF 的长为_______.由翻折的性质知∠AOF=∠D=90°，AD=AO ，BC=OC ，又∵AD=BC ，∴AC=AD+BC=2BC ，∴∠CAB=30°，∠DAC=60°，∵∠DAF=∠CAF ，∴∠CAF=30°，∴∠AFE=60°，又∵∠FAE=∠CAF+∠CAB=60°，∴△AEF 为等边三角形，EF=AE 令AE=t ，则BE=OE=6−t∵OE=AE ×sin30°=12AE=12t ，∴6−t=12t ，解得t=4，故EF 的长为4.22.解：【探究】∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点，四边形ABCD 为正方形，∴EF ∥BC ∥AD ，EF=2，AE=DF=1设AG=t ，则EG=1−t ，由翻折的性质知∠A ´DG=∠ADG ，A ´G=AG=t ，A ´D=AD=2，即A ´D=2DF ，∴∠DA ´F=30°∵EF ∥AD ，∴∠A ´DA=30°，∴∠ADG=12∠A ´DA=15°第12题图图③AB CDFGE 图②A ´ 图①C ABCDFO图④E由勾股定理知A ´F=√A ´D 2−DF 2=√22−12=√3，则A ´E=2−√3在Rt △A ´EG 中，有A ´E 2+EG 2=AG 2，即(2−√3)2+(1−t)2=t 2，解得t=4−2√3 故AG 的长为4−2√3. 【拓展】23.(10分)如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，sinA=35，点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度向终点B 匀速运动，过点P 作PD ⊥AB 交折线AC 、CB 于点D ，连结BD.将△DBP 绕点D 逆时针旋转90°得到△DEF，设点P 的运动时间为t(秒). (1)用含t 的代数式表示线段PD 的长； (2)当点E 落在AB 边上时，求AD 的长； (3)当点F 在△ABC 内部时，求t 的取值范围；(4)当线段DP 将△ABC 的面积分成1︰2的两部分时，直接写出t 的值为_______.23.解：(1)设BC=3t ，AB=5t ，由勾股定理易知AC=4t ，故4t=4，解得t=1，即BC=3，AB=5当PD 过点C 时，PD=AC×BC AB=4×35=125，AP=√AC 2−PD 2=165，此时t=165÷4=45当点P 与点B 重合时，t=54当D 在AC 上时，0≤t ≤45，PD=AP ×tanA=4t ×BC AC=4t ×34=3t当D 在BC 上时，45＜t ≤54，PD=BP ×tanB=(5−4t)×AC BC =43(5−4t)第23题图含t 的代数式表示线段PD 的长为PD={3t(0≤t ≤45)203−163t(45＜t ≤54).(2)由旋转的性质知BD=ED ，DP=DF ，∠DPB=∠F=90°，∠BDE=∠PDF=90°，∴四边形DPEF 为正方形，∴ED=√2DP ，∠EDP=45，∴△BDP 为等腰直角三角形，∴BP=DP=√22BD=√22ED 令DP=t ，则AP=DP tanA=DP ×AC BC =43t ，∵BP=AB −AP=5−43t=DP ，∴5−43t=t ，解得t=157∴AD=√AP 2+DP 2=√(43×157)2+(157)2=257.(3)由旋转的性质知DP=DF,∠PDF=90°，∵BP=AB −AP=5−4t ，∴BD=BP cos ∠B=BP ×AB BC =53(5−4t),DP=BP ×tan ∠B=BP ×AC BC =43(5−4t)，∵DP ⊥AB ，DF ⊥DP ，∴DF ∥AB ，∴∠FDC=∠B ，∴CD=DF ×cos ∠FDC=DF ×cos ∠B=DP ×BC AB =43(5−4t)×35=45(5−4t) ∵BD+CD=BC=3，∴53(5−4t)+ 45(5−4t)=3，解得t=3537由(1)知当点P 与点B 重合时，t=54故当点F 在△ABC 内部时，t 的取值范围为3537＜t ＜54.(4)S △ABC =12×BC ×AC=6，ABCPD ABCPABCPEFD ABCP DF E①当D 在AC 上时，若S △APD =13S △ABC =2，即12×AP ×DP=12×AP ×AP ×tan ∠A=12×4t ×4t ×34=2，解得t=±√33(舍去负值)；若S △APD =23S △ABC =4，有12×4t ×4t ×34=4，解得t=√63(舍去负值)＞45，此时D 不在AC 上，不合题意②当D 在BC 上时，若S △BPD =13S △ABC =2时，即12×BP ×PD=12×(5−4t)×BP ×tanB=12×(5−4t)×(5−4t)×43=2，解得t 1=5+√34(＞54，舍去)，t 2=5−√34综上述，满足条件的t 值有√33、5−√34. 24.(12分)在平面直角坐标系中，函数y=x 2−2m x +m 2−4(m 为常数)的图象记为G. (1)设m ＞0，当G 经过点(2，0)时，求此函数的表达式，并写出顶点坐标. (2)判断图象G 与x 轴公共点的个数，并说明理由；(3)当2m≤x ≤m+3时，图象G 的最高点与最低点纵坐标之差为9，求m 的取值范围. (4)线段AB 的端点坐标分别为A(0，2)、B(7，4).当图象G 与x 轴有两个公共点时，设其分别为点C 、点D(点C 在点D 左侧)，直接写出四边形ACDB 周长的最小值及此时m 的值.24.解：(1)将点(2，0)代入y=x 2−2m x +m 2−4得4−4m+m 2−4=0，解得m 1=0(舍去)，m 2=4 故函数表达式为y=x 2−8x +12∵y=x 2−8x +12=(x −4)2−4，∴顶点坐标为(4，−4).第24题图(2)将y=0代入y=x2−2m x+m2−4得方程x2−2m x+m2−4=0其根的判别式Δ=4m2−4(m2−4)=16＞0，此方程有两个不相等的实数根故图象G与x轴有2个公共点.(3)y=x2−2m x+m2−4的对称轴为x=m，顶点坐标为(m, −4)，开口向上∵2m≤m+3，∴m≤3，其中m=3时，x的取值范围为x=3，图象G只有一个点，不合题意①当m＜−3时，∵2m＜m，m+3＞m，且m+3−m＜m−2m，∴当x=m时y有最小值−4，当x=2m时y有最大值m2−4，m2−4+4=9，解得m=±3，不合题意②当−3≤m≤0时，∵2m≤m，m+3＞m，m+3−m=3＞m−2m=−m，∴当x=m时y有最小值−4，当x=m+3时y有最大值5，5+4=9，符合题意③当0＜m＜3时，∵2m＞m，m+3＞m，m+3−m=3＞m−2m=−m，∴当x=2m时y有最小值m2−4，当x=m+3时y有最大值5，5−m2+4=9，解得m=0，不合题意综上述，m的取值范围为−3≤m≤0.(4)令C、D点坐标分别为(x1,0)、(x2,0)，由韦达定理知x2+ x1=2m，x1x2=m2−4∵(x2− x1)2=x22+ x12+2x1x2−4x1x2=(x2+ x1)2−4x1x2∴(x2− x1)2=4m2−4(m2−4)=16，∴x2− x1=4，即CD的长为定值4∵AB=√(4−2)2+(7−0)2=√53，即AB的长为定值√53∴当AC+BD的值最小时，四边形ACDB周长有最小值将点A向右平移4个单位长度至点E(4,2)，连接DE，则四边形ACDE为平行四边形，AC=DE作E关于x轴对称点F(4, −2)，连接DF，则DE=DF当B、D、F三点共线时，DE+BD有最小值，此时AC+BD有最小值，最小值等于BF长BF=√(4+2)2+(7−4)2=3√5故四边形ACDE周长的最小值=AB+CD+BF=4+3√5+√53由点B(7,4)、点F(4, −2)易得直线BF解析式为y=2x−10，令y=0可得点D横坐标为5∵CD=4，对称轴为x=m，∴m=5−2=3.。

2021年吉林省长春市东北师大附中明珠学校中考数学二模试卷 (含答案)

2021年东北师大附中明珠学校中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.最大的负整数是（）A．0B．1C．﹣1D．不存在2.“中国疫苗，助力全球战疫”，据中国外交部数据显示，中国已向53个提出要求的发展中国家提供了疫苗援助，并正在向20多个国家出口疫苗．预计2021年我国生产的新冠疫苗总产量将会超过20亿剂，必将为全球抗疫作出重大贡献．将数据“20亿”用科学记数法表示为（）A．2×108B．2×109C．2×1010D．20×1083.如图，点A，B是棱长为1的正方体的两个顶点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中A，B两点间的距离为（）A．2B．C．D．4.一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地60km，要在12：00之前驶过A地，车速应满足什么条件？设车速是xkm/h．根据题意可列不等式（）A．60＜x B．C．D．40x＜605.下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A．四边形B．三角形C．五边形D．六边形6.要判断命题“有两个角是直角的圆内接四边形是矩形”是假命题，下列图形可作为反例的是（）A．B．C．D．7.如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（）A．（m2）B．（m2）C．1600sin a（m2）D．1600cosα（m2）8.如图，在平面直角坐标系中，关于坐标原点成中心对称的两点A、B均在函数y＝﹣的图象上，以AB为边向右作等边三角形ABC．若点C在函数y＝的图象上，则k的值为（）A．2B．3C．4D．6二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9.因式分解：5x2﹣2x＝．10.关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数m的值．（写出一个即可）11.如图，正六边形ABCDEF经过位似变换得到正六边形A'B'C'D'E'F'．若AB＝3，B'C'＝1，则正六边形A'B'C'D'E'F'和正六边形ABCDEF的面积比是．12.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝58°，AC＝18，点D为边AC的中点．以点B为圆心，BD为半径画圆弧，交边BC于点E，则图中阴影部分图形的面积为．13.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤：①连接AB和BC；②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C；③以点O为圆心，OA为半径作⊙O；④分别作出AB和BC的垂直平分线，并且相交于点O．正确操作步骤的排列序号为．14.函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）图象上有两点（a，m），（2a+1，n）．若m＜n，则a的取值范围为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15.求值：﹣（﹣1）0+（﹣2）﹣3﹣9tan30°．16.甲和乙利用盒子里的三张卡片做游戏，卡片上分别写有A、A、B，这些卡片除了字母外完全相同，从中随机摸出一张卡片记下字母，放回盒子后充分搅匀，再从中随机摸出一张卡片记下字母．如果两次摸到的卡片字母相同则甲获胜，否则乙获胜．请用画树状图或列表的方法求甲获胜的概率．17.甲、乙两地相距50km，A骑自行车从甲地到乙地，出发3小时20分钟后，B骑摩托车也从甲地去乙地．已知B的速度是A的速度的3倍，结果两人同时到达乙地．求A、B两人的速度．18.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E在边AD上，且AE＝ED．过点E作EF⊥EO，交边AB于点F，过点O作OG∥EF，交边AB于点G．（1）求证：四边形OEFG是矩形．（2）若tan∠DAB＝，且四边形OEFG的面积为40，则AD的长为．19.图①、图②均是4x4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②中按要求．作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．要求：（1）在图①中的线段CD上找一点P，使AP+BP的值最小．（2）在图②中的线段CD．上找两点M、N，使MN＝1，且AM+NB的值最小．20.2021年2月28日国家统计局发布了《2020年国民经济和社会发展统计公报》，如图是公报中发布的全国“2016﹣2020年快递业务量及其增长速度”统计图．（1）2020年，全国快递业务量是亿件，比2019年增长了%．（2）2016﹣2020年，全国快递业务量增长速度的中位数是%．（3）小东看了统计图后说：“图中表示2017﹣2019年增长速度的折线呈下降趋势，说明2017﹣2019年全国快递业务量逐年减少．”小东的说法正确吗？请说明理由．（4）预计2021年全国快递业务量比2020年增长50%，则2021年的全国快递业务量为亿件．（保留小数点后一位）21.某天，甲组工人为灾区加工棉衣，工作中有一次停产检修机器，然后继续加工，由于任务紧急，乙组工人加入与甲组工人一起加工棉衣，甲停产前后各保持匀速生产，乙在工作时间内保持匀速生产，两组各自加工棉衣的数量y（件）与甲组工人加工时间x（小时）的函数图象如图所示．（1）求乙组加工棉衣的数量y与时间x之间的函数关系式；（2）直接写出甲组加工棉衣总量a的值．（3）如果要求x＝8时，加工棉衣的总数量为480件，求乙组工人应提前多长时间加工棉衣．22.[问题原型]有这样一道问题：如图①；在△ABC中，∠BCA＝2∠A，BD为边AC上的中线，且BC ＝AC．求证：△BCD为等边三角形．小聪同学的解决办法是：延长AC至点E，使CE ＝BC，如图②，利用二倍角的条件构造等腰三角形进而解决问题．[解决问题]请你利用小聪的办法解决此问题．[应用拓展]如图③，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB．若AB＝3，BC＝5，则AC的长为．23.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6；AC＝8，D为边BC的中点，E为边AC的中点．点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动，到点B停止，以PD、PE为边作▱PEFD．设点P的运动时间为t（秒）．（1）证明▱PEFD的面积是定值，并直接写出这个定值．（2）当▱PEFD是矩形时，求此时AP的长．（3）当▱PEFD的一条对角线和△ABC的一边垂直时，直接写出此时t的值．24.将函数y＝x2﹣ax+a（x≤a）的图象记为图象G．（1）设图象G最低点为M，求点M的坐标（用含a的式子表示）．（2）当图象G和x轴有且只有一个公共点时，直接写出a的取值范围．（3）矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，且边均垂直于坐标轴，其中点A的坐标为（2，1﹣a）．①当图象G在矩形ABCD内部（包括边界）对应的函数值y随x的增大而逐渐减小时，设此时图象G在矩形ABCD内部（包括边界）的最高点纵坐标和最低点纵坐标的差为l，求l与a之间的函数关系式．②当图象G和矩形ABCD的边有公共点时，设公共点为点P（当存在多个公共点时，设其中一个为P）．若直线AP将矩形ABCD分成两部分图形的面积比为1：5，直接写出此时点P的坐标．答案与解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.最大的负整数是（）A．0B．1C．﹣1D．不存在【分析】根据负整数的概念和有理数的大小进行判断．【解答】解：负整数是负数且是整数，即最大的负整数是﹣1．故选：C．2.“中国疫苗，助力全球战疫”，据中国外交部数据显示，中国已向53个提出要求的发展中国家提供了疫苗援助，并正在向20多个国家出口疫苗．预计2021年我国生产的新冠疫苗总产量将会超过20亿剂，必将为全球抗疫作出重大贡献．将数据“20亿”用科学记数法表示为（）A．2×108B．2×109C．2×1010D．20×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：20亿＝2000000000＝2×109，故选：B．3.如图，点A，B是棱长为1的正方体的两个顶点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中A，B两点间的距离为（）A．2B．C．D．【分析】连接AB，根据Rt△ABC和勾股定理可得出AB两点间的距离．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，可得：AB＝，故选：B．4.一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地60km，要在12：00之前驶过A地，车速应满足什么条件？设车速是xkm/h．根据题意可列不等式（）A．60＜x B．C．D．40x＜60【分析】根据题意得出行驶的时间，利用总路程÷总时间＝平均速度进而得出答案．【解答】解：由题意可得：11：20到12：00是小时，则x＞，即60＜x．故选：A．5.下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A．四边形B．三角形C．五边形D．六边形【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得（n﹣2）•180°＝360°，解得n＝4．故选：A．6.要判断命题“有两个角是直角的圆内接四边形是矩形”是假命题，下列图形可作为反例的是（）A．B．C．D．【分析】根据矩形的性质举出反例即可得出答案．【解答】解：如图D所示，有两个角是直角的圆内接四边形不一定是矩形，故选：D．7.如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（）A．（m2）B．（m2）C．1600sin a（m2）D．1600cosα（m2）【分析】依题意四边形为菱形，α的对边AC即为菱形的高，等于40米，菱形边长可利用正弦解出，得出高和底，运用面积公式可解．【解答】解：如图，α的对边AC即为路宽40米，即sinα＝，即斜边＝，又∵这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）是菱形，∴路面面积＝底边×高＝×40＝．故选：A．8.如图，在平面直角坐标系中，关于坐标原点成中心对称的两点A、B均在函数y＝﹣的图象上，以AB为边向右作等边三角形ABC．若点C在函数y＝的图象上，则k的值为（）A．2B．3C．4D．6．【答案】D【分析】连接CO，作AD⊥x轴，CE⊥x轴于点D，E，通过一线三直角模型可得△ADO ∽△OEC，从而通过面积比等于相似比平方求出△OEC的面积而求出k．【解答】解：连接CO，作AD⊥x轴，CE⊥x轴于点D，E，∵A、B关于原点成中心对称，△ABC为等边三角形，∴AO＝BO，CO⊥AB，CO平分∠ACB，∴∠AOD+∠COE＝90°，∵∠AOD+∠OAD＝90°，∴∠COE＝∠OAD，又∵∠ADO＝∠CEO＝90°，∴△ADO∽△OEC，∵∠ACO＝ACB＝30°，∴tan∠ACO＝＝，∴S△ADO：S△OEC＝（）2＝．∵点A在函数y＝﹣的图象上，∴S△ADO＝＝1，∴S△OEC＝＝3S△ADO＝3，∴k＝6．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9.因式分解：5x2﹣2x＝．【分析】提取公因式x即可得．【解答】解：5x2﹣2x＝x（5x﹣2），故答案为：x（5x﹣2）．10.关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数m的值．（写出一个即可）【分析】先根据判别式的意义得到△＝（﹣1）2﹣4m＞0，解不等式得到m的范围，然后在此范围内取一个值即可．【解答】解：根据题意得△＝（﹣1）2﹣4m＞0，解得m＜，所以当m取0时，方程有两个不相等的实数根．故答案为0．11.如图，正六边形ABCDEF经过位似变换得到正六边形A'B'C'D'E'F'．若AB＝3，B'C'＝1，则正六边形A'B'C'D'E'F'和正六边形ABCDEF的面积比是．【分析】利用相似多边形的性质即可解决问题．【解答】解：∵正六边形ABCDEF是由正六边形A′B′C′D′E′F′经过位似变换得到的，∴正六边形ABCDEF∽正六边形A′B′C′D′E′F′，∴正六边形A′B′C′D′E′F′和正六边形ABCDEF的面积比＝（）2＝1：9．故答案为：1：9．12.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝58°，AC＝18，点D为边AC的中点．以点B为圆心，BD为半径画圆弧，交边BC于点E，则图中阴影部分图形的面积为．【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到BD＝CD＝9，则∠DBC＝∠C＝22°，然后根据扇形的面积公式计算．【解答】解：∵∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，∴BD＝CD＝AC＝9，∴∠DBC＝∠C，∵∠C＝90°﹣∠A＝90°﹣58°＝32°，∴∠DBE＝32°，∴图中阴影部分图形的面积＝＝π．故答案为π．13.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤：①连接AB和BC；②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C；③以点O为圆心，OA为半径作⊙O；④分别作出AB和BC的垂直平分线，并且相交于点O．正确操作步骤的排列序号为．【分析】根据垂径定理解决问题即可．【解答】解：正确操作步骤的排列序号为：②①④③．故答案为：②①④③．14.函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）图象上有两点（a，m），（2a+1，n）．若m＜n，则a的取值范围为．【分析】由m＜n，图象开口向上可判断点点（a，m）到对称轴的距离小于点（2a+1，n）到对称轴的距离，分类讨论a＜1与a≥1求解．【解答】解：函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）的对称轴为直线x＝1，图象开口向上，∵m＜n，∴点（a，m）到对称轴的距离小于点（2a+1，n）到对称轴的距离，当0＜a≤1时，1﹣a＜2a+1﹣1满足题意，解得a＞，当a≥1时，2a+1＞a≥1恒成立，∴a≥1满足条件．故答案为：a＞．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15.求值：﹣（﹣1）0+（﹣2）﹣3﹣9tan30°．【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：﹣（﹣1）0+（﹣2）﹣3﹣9tan30°＝3﹣1﹣﹣9×＝3﹣﹣3＝﹣．16.甲和乙利用盒子里的三张卡片做游戏，卡片上分别写有A、A、B，这些卡片除了字母外完全相同，从中随机摸出一张卡片记下字母，放回盒子后充分搅匀，再从中随机摸出一张卡片记下字母．如果两次摸到的卡片字母相同则甲获胜，否则乙获胜．请用画树状图或列表的方法求甲获胜的概率．【分析】根据题意列出图表得出所有出现的可能性，再计算出甲获胜的概率．【解答】解：两次摸出卡片所有可能出现的结果如下表所示：A A BA（A，A）（A，A）（A，B）A（A，A）（A，A）（A，B）B（B，A）（B，A）（B，B）两次摸卡片的所有可能出现的结果有9个，且每个结果发生的可能性都相等，其中出现“两次摸到的卡片字母相同”的结果有5个，“两次摸到的卡片字母不相同”的结果有4个，∴甲获胜的概率为．17.甲、乙两地相距50km，A骑自行车从甲地到乙地，出发3小时20分钟后，B骑摩托车也从甲地去乙地．已知B的速度是A的速度的3倍，结果两人同时到达乙地．求A、B两人的速度．【分析】本题中有两个相等关系：“B的速度是A的速度的3倍”以及“B比A少用3小时20分钟”；根据等量关系可列方程．【解答】解：设A的速度为xkm/时，则B的速度为3xkm/时．根据题意得方程：．解得：x＝10．经检验：x＝10是原方程的根．∴3x＝30．答：A，B两人的速度分别为10km/时、30km/时．18.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E在边AD上，且AE＝ED．过点E作EF⊥EO，交边AB于点F，过点O作OG∥EF，交边AB于点G．（1）求证：四边形OEFG是矩形．（2）若tan∠DAB＝，且四边形OEFG的面积为40，则AD的长为．【分析】（1）由是菱形的性质推出∠OAD＝∠OAB，AC⊥BD，由直角三角形斜边中线的性质得到OE＝AE，根据等腰三角形的性质得到∠OAE＝∠AOE，进而推出∠AOE＝∠OAB，根据平行线的性质得到OE∥FG，由平行四边形的判定得到四边形OEFG是平行四边形，即可证得四边形OEFG是矩形；（2）设EF＝4x，AF＝3x，由勾股定理得AE＝5x，可得OE＝AE＝5x，由矩形的面积可求得x，进而可求得AD．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠OAD＝∠OAB，AC⊥BD，∵AE＝ED．∴OE＝AE＝AD，∴∠OAE＝∠AOE，∴∠AOE＝∠OAB，∴OE∥AB，∴OE∥FG，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥EO，∴∠OEF﹣90°，∴四边形OEFG是矩形；（2）解：∵四边形OEFG是矩形，∴∠AFE＝∠EFG＝90°，∴tan∠DAB＝＝，设EF＝4x，AF＝3x，由勾股定理得AE＝5x，由（1）知OE＝AE＝5x，∵矩形OEFG的面积为40，∴OE•EF＝40，∴5x•4x＝40，∴x＝，∴AD＝2AE＝2×5x＝10，故答案为：10．19.图①、图②均是4x4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②中按要求．作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．要求：（1）在图①中的线段CD上找一点P，使AP+BP的值最小．（2）在图②中的线段CD．上找两点M、N，使MN＝1，且AM+NB的值最小．【分析】（1）作点A关于直线CD的对称点A′，连接A′B交CD于点P，连接P A，点P即为所求作．（2）取格点E，使得AE＝1，AE∥CD，作点E关于CD的对称点E′，连接E′B交CD于N，作MN＝1，连接AM，即可．【解答】解：（1）如图，点P即为所求作．（2）如图，点M，N即为所求作．20.2021年2月28日国家统计局发布了《2020年国民经济和社会发展统计公报》，如图是公报中发布的全国“2016﹣2020年快递业务量及其增长速度”统计图．（1）2020年，全国快递业务量是亿件，比2019年增长了%．（2）2016﹣2020年，全国快递业务量增长速度的中位数是%．（3）小东看了统计图后说：“图中表示2017﹣2019年增长速度的折线呈下降趋势，说明2017﹣2019年全国快递业务量逐年减少．”小东的说法正确吗？请说明理由．（4）预计2021年全国快递业务量比2020年增长50%，则2021年的全国快递业务量为亿件．（保留小数点后一位）【分析】（1）由统计图中的信息即可得到结论；（2）由统计图中的信息即可得到结论；（3）根据统计图中的信息即可得到结论；（4）根据题意列式计算即可．【解答】解：（1）由题中的统计图可得：2020年，全国快递业务量是833.6亿件，比2019年增长了31.2%；故答案为：833.6；31.2；（2）由题中的统计图可得：2016﹣2020年，全国快递业务量增长速度的中位数是28.0%；故答案为：28.0%；（3）不正确，理由：由图中的信息可得，2017﹣2019年全国快递业务量增长速度逐年放缓，但是快递业务量却逐年增加；（4）833.6×（1+50%）＝1250.4（亿件），∴2021年的快递业务量为1250.4亿件．故答案为：1250.4．21.某天，甲组工人为灾区加工棉衣，工作中有一次停产检修机器，然后继续加工，由于任务紧急，乙组工人加入与甲组工人一起加工棉衣，甲停产前后各保持匀速生产，乙在工作时间内保持匀速生产，两组各自加工棉衣的数量y（件）与甲组工人加工时间x（小时）的函数图象如图所示．（1）求乙组加工棉衣的数量y与时间x之间的函数关系式；（2）直接写出甲组加工棉衣总量a的值．（3）如果要求x＝8时，加工棉衣的总数量为480件，求乙组工人应提前多长时间加工棉衣．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）求出4≤x≤8时，甲组加工棉衣的数量y与时间x之间的函数关系式，把x＝8代入函数的解析式即可得到结论；（3）根据题意列算式即可得到结论．【解答】解：（1）设y乙＝kx+b（k≠0），将（4.5，0），（8，252）代入得：，解得，∴y乙＝72x﹣324；（2）把x＝7代入y乙＝72x﹣324，得y乙＝72×7﹣324＝180，当4≤x≤8时，设甲组加工棉衣的数量y与时间x之间的函数关系式为y甲＝mx+n，将（7，180），（4，90）代入得：，解得，∴y甲＝30x﹣30（4≤x≤8），将x＝8代入，得y甲＝30×8﹣30＝210，即a＝210；（3）由图象可知，乙组工人加工252件棉衣所用时间为：8﹣4.5＝3.5（小时），∴乙的加工速度为：252÷3.5＝72（件/小时），∵480﹣210＝270（件），270÷72＝3.75（小时），∴3.75﹣3.5＝0.25（小时），即乙组工人应提前0.25小时加工棉衣．22.[问题原型]有这样一道问题：如图①；在△ABC中，∠BCA＝2∠A，BD为边AC上的中线，且BC ＝AC．求证：△BCD为等边三角形．小聪同学的解决办法是：延长AC至点E，使CE ＝BC，如图②，利用二倍角的条件构造等腰三角形进而解决问题．[解决问题]请你利用小聪的办法解决此问题．[应用拓展]如图③，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB．若AB＝3，BC＝5，则AC的长为．【分析】（1）延长AC至点E，使CE＝BC，连接BE，根据BD为边AC上的中线，且BC＝AC，可得出AD＝CD＝BC，再由∠BCA＝2∠A，可得∠A＝∠E，AB＝BE，即可证明△BAC和△BED，进而可证得结论；（2）延长CB至F，使BF＝AB，连接AF，过点A作AG⊥BC于点G，根据∠ABC＝2∠ACB，可得出∠F＝∠ACB，AF＝AC，再应用等腰三角形性质及勾股定理即可．【解答】解：（1）如图②，延长AC至点E，使CE＝BC，连接BE，∵BD为边AC上的中线，∴AD＝CD＝AC，∵BC＝AC，∴AD＝CD＝BC，∵BC＝CE，∴∠E＝∠CBE，AC＝DE，∵∠BCA＝∠E+∠CBE，∴∠BCA＝2∠E，∵∠BCA＝2∠A，∴∠A＝∠E，∴AB＝BE，在△BAC和△BED中，，∴△BAC≌△BED（SAS），∴BD＝BC，∵BC＝CD，∴BD＝BC＝CD，∴△BCD为等边三角形．（2）如图③，延长CB至F，使BF＝AB，连接AF，过点A作AG⊥BC于点G，∵BF＝AB＝3，BC＝5，∴∠F＝∠BAF，∵∠ABC＝∠F+∠BAF，∴∠ABC＝2∠F，∵∠ABC＝2∠ACB，∴∠F＝∠ACB，∴AF＝AC，∵AG⊥BC，∴CG＝FG＝（BC+BF）＝4，∴BG＝BC﹣CG＝1，∴AG＝＝＝2，∴AC＝＝＝2．23.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6；AC＝8，D为边BC的中点，E为边AC的中点．点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动，到点B停止，以PD、PE为边作▱PEFD．设点P的运动时间为t（秒）．（1）证明▱PEFD的面积是定值，并直接写出这个定值．（2）当▱PEFD是矩形时，求此时AP的长．（3）当▱PEFD的一条对角线和△ABC的一边垂直时，直接写出此时t的值．【分析】（1）连接DE，作EG垂直于AB与点G，分别求出GE，DE长度求解．（2）构造一线三垂直相似模型，由相似比及含t代数式求解．（3）分类讨论PF垂直于三边三种情况，通过解直角三角形求解．【解答】解：（1）连接DE，作EG垂直于AB与点G，由勾股定理得AB＝＝10，∵点D、E为BC、AC中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝5，AE＝AC＝4，∵sin A＝＝，∴GE＝AE＝，∴S△DEP＝DE•EG＝×5×＝6，∴▱PEFD的面积为2S△DEP＝2×6＝12．（2）①如图，当点P为AB中点时，PD，PE分别为△ABC的中位线，PD⊥PE，∴▱PDEF为矩形，∴AP＝AB＝5．②如图，当∠DPE为直角时，作EG、DH垂直于AB于点G、H，∵∠DPH+∠EPG＝90°，∠DPH+∠HDP＝90°，∴△EGP∽△PHD，∴＝，∵D为BC中点，∴BD＝BC＝3，∵tan A＝＝＝，∴AG＝GE＝，∵sin B＝＝＝，tan B＝＝＝，∴HD＝BD＝，BH＝HD＝，∴GP＝AP﹣AG＝5t﹣，PH＝AH﹣AP＝AB﹣BH﹣AP＝10﹣﹣5t＝﹣5t．∴＝，解得t＝或t＝1（舍），∴AP＝5t＝．综上所述，AP＝5或．（3）①当PF⊥AB时，PF⊥DE，∴四边形PDFE为菱形，∴PD2＝PE2，∴PH2+HD2＝PG2+GE2，即（﹣5t）2+（）2＝（5t﹣）2+（）2，∴﹣5t＝5t﹣，解得t＝．②当PF⊥BC时，PF交DE于点O，交CD于点K，∵O为DE中点，OK∥EC，∴OK为△EDC的中位线，∴DK＝CD＝3，∵BK＝BP＝6﹣3t，∴DK＝6﹣3t﹣3＝3﹣3t，∴3＝3﹣3t，解得t＝．③当PF⊥AC时，交AC于点M，同理可得M为EC中点，∴AM＝AE+EC＝AC＝6，∴AP＝AM＝，∴5t＝，解得t＝．综上所述，t＝或或．24.将函数y＝x2﹣ax+a（x≤a）的图象记为图象G．（1）设图象G最低点为M，求点M的坐标（用含a的式子表示）．（2）当图象G和x轴有且只有一个公共点时，直接写出a的取值范围．（3）矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，且边均垂直于坐标轴，其中点A的坐标为（2，1﹣a）．①当图象G在矩形ABCD内部（包括边界）对应的函数值y随x的增大而逐渐减小时，设此时图象G在矩形ABCD内部（包括边界）的最高点纵坐标和最低点纵坐标的差为l，求l与a之间的函数关系式．②当图象G和矩形ABCD的边有公共点时，设公共点为点P（当存在多个公共点时，设其中一个为P）．若直线AP将矩形ABCD分成两部分图形的面积比为1：5，直接写出此时点P的坐标．【分析】（1）分类讨论图象最低点为顶点或抛物线与直线x＝a的交点两种情况．（2）分类讨论完整抛物线与x轴有一个交点和两个交点的情况求解．（3）利用数形结合方法，分类讨论抛物线顶点在矩形内部与外部两种情况．（4）由AP将矩形面积分为1：5两部分可得点P将矩形边长分为1：2两部分，然后分类讨论点A在x轴上方与点A在x轴下方两种情况．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣ax+a＝（x﹣）2﹣+a（x≤a），∴当≤a时，最低点为图象顶点，即a≥0时，点M坐标为（，﹣+a），当＞a时，a＜0，最低点为抛物线与直线x＝a的交点M（a，a）．（2）当抛物线y＝x2﹣ax+a＝（x﹣）2﹣+a与x轴有两个交点时，﹣+a＜0，解得a＜0或a＞4，当a＜0时，抛物线与直线x＝a交点（a，a）在x轴下方满足题意，当a＞4时，抛物线与直线x＝a交点（a，a）在x轴上方不满足题意．∴a＜0．当抛物线与x轴有一个交点时，﹣+a＝0，解得a＝0或a＝4，抛物线与直线x＝a交点（a，a）在x轴上或x轴上方，满足题意．综上所述，a≤0或a＝4．（3）①抛物线y＝x2﹣ax+a经过定点（1，1），点A坐标为（2，1﹣a），点B坐标为（2，a﹣1），当a≥0时，直线x＝a在顶点右侧，当图象G在矩形内部对应的函数值y随x的增大而逐渐减小时，≥x A，即2，解得a≥4，∴a﹣1≥3满足题意．∴图象与矩形最高点纵坐标为y B＝a﹣1，最低点纵坐标为抛物线与直线x＝2交点纵坐标，y＝4﹣a，∴l＝a﹣1﹣（4﹣a）＝2a﹣5．当﹣2＜a≤时，﹣2＜a≤0满足题意，此时图象最低点为（a，a）抛物线与直线x＝﹣2交点为（﹣2，3a+4）当3a+4≥1﹣a时，a≥﹣，此时抛物线与矩形交点最高点纵坐标为1﹣a，∴l＝1﹣a﹣a＝1﹣2a．当3a+4＜1﹣a时，a＜﹣，抛物线与矩形交点最高点纵坐标为3a+4，∴l＝3a+4﹣a＝2a+4．综上所述，l＝．（4）当点P将正方形边长分成1：2两部分时满足题意，如图，当DP：PC＝1：2时，＝＝，解得a＝﹣，∴3a+4＝，∴点P坐标为（﹣2，）．当点P将BC分成1：2两部分时，＝，∵BC＝4，∴BP＝，∵2﹣＝，∴点P坐标为（，a﹣1），将（，a﹣1）代入解析式得：a﹣1＝﹣a+a，解得a＝，∴点P坐标为（，）．综上所述，点P坐标为（﹣2，）或（，）．。

2021年吉林省长春市南关区东北师大附中净月校区中考数学二模试卷 - 解析

2021年吉林省长春市南关区东北师大附中净月校区中考数学二模试卷一、选择题（每小题3分，本大题共只小题，共24分）1.实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．2【考点】实数与数轴．【专题】常规题型；能力层次．【答案】C【分析】根据点b在数轴上的位置可求．【解答】解：将﹣a，b在数轴上表示出来如下：∵﹣a＜b＜a．∴b在﹣a和a之间．选项中只有﹣1符合条件．故选：C．2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（）A．0.36×105B．3.6×105C．3.6×104D．36×103【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；符号意识．【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：36000＝3.6×104，3.将一个小正方体按图中所示方式展开．则在展开图中表示棱a的线段是（）A．AB B．CD C．DE D．CF【考点】几何体的展开图．【专题】几何图形；空间观念；几何直观．【答案】C【分析】将原图复原找出对应边．【解答】解：三角形对应的面为DCFE，a对应的边为DE．故选：C．4.不等式组的解集为（）A．x＞3B．x＞5C．x＜5D．3＜x＜5【考点】解一元一次不等式组．【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算能力．【答案】B【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x﹣6＞0，得：x＞3，解不等式4﹣x＜﹣1，得：x＞5，则不等式组的解集为x＞5，故选：B．5.分式可变形为（）A．B．﹣C．D．【考点】分式的基本性质．【专题】分式；符号意识．【分析】利用分式的基本性质变形即可．【解答】解：＝﹣．故选：B．6.解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x+2）2＝3B．（x﹣2）2＝3C．（x+2）2＝5D．（x﹣2）2＝5【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣配方法．【专题】一元二次方程及应用；符号意识．【答案】C【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．【解答】解：∵x2+4x﹣1＝0，∴x2+4x+4＝5，∴（x+2）2＝5，故选：C．7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．根据尺规作图痕迹，下列结论一定正确的是（）A．BC＝EC B．BE＝EC C．BC＝BE D．AE＝EC【考点】作图—基本作图．【专题】作图题；几何直观．【答案】C【分析】证明∠BEC＝∠BCE，可得结论．【解答】解：由作图可知，CD⊥AB，CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE，∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠B+∠DCB＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠ECD+∠DCB，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE，故选：C．8.如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在y轴正半轴，OB＝1．设点A的纵坐标为m，△OAB的面积为S，当1≤S≤3时，m的取值范围是（）A．1≤m≤3B．≤m≤C．2≤m≤6D．≤m≤3【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】反比例函数及其应用；推理能力．【答案】B【分析】先求出点A的横坐标，再根据三角形面积公式求解．【解答】解：把y＝m代入y＝中得x＝，∴点A坐标为（，m），∴△OAB的面积为BO•x A＝，∴1≤≤3，解得≤m≤．故选：B．二、填空题（每小题3分，本大题共6小题，共18分）9.分解因式：a2﹣4＝．【考点】因式分解﹣运用公式法．【答案】见试题解答内容【分析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．10.若二次根式有意义，则实数a的取值范围是．【考点】二次根式有意义的条件．【专题】二次根式；运算能力．【答案】a≤2．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得，2﹣a≥0，解得，a≤2，故答案为：a≤2．11.若一个正多边形的内角和为1080°，则这个多边形一个外角的大小为．【考点】多边形内角与外角．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】45°．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式进行计算求得边数，然后根据多边形的外角和即可得到结论．【解答】解：设正多边形是n边形，则（n﹣2）•180°＝1080°，解得n＝8．360°÷8＝45°，故答案为：45°．12.扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国扇文化有丰富的文化底蕴．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为150°．AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面的面积为cm2．【考点】扇形面积的计算．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】π．【分析】根据扇形的面积公式，利用扇面的面积＝S扇形BAC﹣S扇形DAE进行计算．【解答】解：∵AB＝30cm，BD＝20cm，∴AD＝10cm，∵∠BAC＝150°，∴扇面的面积＝S扇形BAC﹣S扇形DAE＝﹣＝π（cm2）．故答案为π．13.如图，工程师为了测量小岛A到公路BD的距离，先在点B处测∠ABD＝37°，再沿BD方向前进100米到达点C，测得∠ACD＝45°，则小岛A到公路BD的距离约为米．（参考数据：sin37°＝0.6．cos37＝0.8，tan37°＝0.75）【考点】解直角三角形的应用．【专题】应用题；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】300．【分析】过A作AE⊥CD垂足为E，设AE＝x米，再利用锐角三角函数关系得出BE＝x，CE＝x，根据BC＝BE﹣CE，得到关于x的方程，即可得出答案．【解答】解：如图，过A作AE⊥CD垂足为E，设AE＝x米，在Rt△ABE中，tan B＝，∴BE＝＝x，在Rt△ABE中，tan∠ACD＝，∴CE＝＝x，∵BC＝BE﹣CE，∴x﹣x＝100，解得：x＝300．答：小岛A到公路BD的距离为300米．故答案为：300．14.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象如图所示，下面四个结论，①abc＜0；②a+c＜b；③2a+b＝1；④a+b≥m（am+b），其中全部正确的是（）【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】①④．【分析】先根据图象开口朝向确定a的符号，由图象与y轴交点确定c的符号，由对称轴为直线x＝1确定b的符号与b与a的比值，x＝1时函数值y最大．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，b＞0，∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，①正确．把x＝1代入解析式得y＝a+b+c＞0，∴a+c＞b，②错误．∵图象对称轴为直线x＝＝1，∴﹣b＝2a，即2a+b＝0，∴③错误．由a+b≥m（am+b）得a+b+c≥am2+bm+c，∵x＝1时函数值y＝a+b+c为最大值，∴④正确．故答案为：①④．三、解答题＜本大题共10小题，共78分）15.先化简，再求值：a（a﹣9）﹣（a+3）（a﹣3），其中a＝1﹣．【考点】整式的混合运算—化简求值．【专题】整式；运算能力．【答案】﹣9a+9＝9．【分析】先算乘法，再合并同类项，最后求出答案即可．【解答】解：a（a﹣9）﹣（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9a﹣a2+9＝﹣9a+9，当a＝1﹣，时，原式＝﹣9×（1﹣）+9＝9．16.甲、乙、丙三位同学在“环保知识竞赛”问答环节中，采用抽签的方式决定出场顺序．请你用画树状图的方法，求甲比乙先出场的概率．【考点】列表法与树状图法．【专题】概率及其应用．【答案】见试题解答内容【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲比乙先出场的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】画出树状图得：∵共有6种等可能的结果，甲比乙先出场的有3种情况，∴甲比乙先出场的概率为＝．17.甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城．已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10千米/时，结果两辆车同时到达C城．求两车的速度．【考点】分式方程的应用．【专题】行程问题．【答案】见试题解答内容【分析】设甲的速度是x千米/时，那么乙的速度是（x﹣10）千米/时，路程知道，且同时到达，可以时间做为等量关系列方程求解．【解答】解：设甲的速度是x千米/时，乙的速度是（x﹣10）千米/时，依题意得：解得x＝90经检验：x＝90是原方程的解x﹣10＝80答：甲的速度是90千米/时，乙的速度是80千米/时．18.如图，在△ABC中，AB＝AC．AD⊥BC，垂足为点D，AG是△ABC的外角∠F AC的平分线，DE∥AB，交AG于点E．（1）求证：四边形ADCE是矩形．（2）若DE＝10，BC＝12，则sin∠BAC＝．【考点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；矩形的判定与性质；解直角三角形．【专题】矩形菱形正方形；运算能力；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE是平行四边形，即可求出四边形ADCE是矩形．（2）过C作CF⊥AB于F，由勾股定理求出AD，再由三角形的面积公式求出CF，根据三角函数的定义即可求出sin∠BAC．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠MAE＝∠EAC，∵∠B+∠ACB＝∠MAE+∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠MAE＝∠EAC，∴AE∥CD，又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE∥BD，AE＝BD，∵AD⊥BC，AB＝AC，∴BD＝DC，∴AE∥DC，AE＝DC，故四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．即四边形ADCE是矩形；（2）证明：∵四边形ADCE是矩形，∴AC＝DE，∵AD⊥BC，AB＝AC，∴BD＝DC，∵DE＝10．BC＝12，∴BD＝6，AB＝AC＝10，∴AD＝＝＝8，过C作CF⊥AB于F，∵S△ABC＝BC•AD＝AB•CF，∴CF＝＝＝，∴sin∠BAC＝＝＝，故答案为：．19.图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在格点上，按要求在图①、图②中作图并计算其面积．（1）在图①中画一个四边形ABCD，使四边形ABCD有一组对角相等，S四边形ABCD＝；（2）在图②中画一个四边形ABCE，使四边形ABCE有一组对角互补，S四边形ABCE＝．【考点】三角形的面积；作图—应用与设计作图．【专题】作图题；几何直观．【答案】（1）6．（2）．【分析】（1）根据要求作出图形，利用分割法求出面积．（2）根据要求画出图形，利用分割法求出面积．【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求作，S四边形ABCD＝×2×3+×2×3＝6．故答案为：6．(2)如图，四边形ABCE即为所求作，S四边形ABCE＝×2×3+×1×3＝．故答案为：．20.伊利集团是中国规模最大、产品线最全的乳制品企业．综合实践小组的同学从网上搜集到如下一些伊利集团近几年的营业状况的资料，其中图1是2013﹣2018年伊利集团营业收入及净利润情况统计图，图2是2018年伊利集团各品类业务营业收入比例情况统计图（数据来源：公司财报、中商产业研究院）．综合实践小组的同学结合统计图提出了如下问题，请你解答：（1）2018年，伊利集团营收及净利再次刷新行业记录，稳居亚洲乳业第一，这一年，伊利集团实现营业收入亿元，净利润亿元．（2）求2018年伊利集团“奶粉及奶制品”业务的营业收入（结果精确到0.1亿元）．（3）在2013﹣2018这6年中，伊利集团的净利比上一年增长额最多的是年；估计2019年伊利集团的净利润将比上一年增长亿元，并说明理由．【考点】近似数和有效数字；扇形统计图；条形统计图．【专题】统计的应用；应用意识．【答案】（1）795.5，64.4；（2）81.1亿；（3）2017，15，理由见解答．【分析】（1）由统计图中信息即可得到结论；（2）用2018年伊利集团营业收入乘以“奶粉及奶制品“业务的营业收入所占的百分比即可得到结论；（3）根据统计图中的信息即可得到结论．【解答】解：（1）由统计图可得，2018年伊利集团实现营业收入795.5亿元，净利润64.4亿元；故答案为：795.5，64.4；（2）795.5×（1﹣83.2%﹣6.3%﹣0.3%）≈81.1（亿），答：2018年伊利集团“奶粉及奶制品“业务的营业收入约为81.1亿；（3）在2013﹣2018这6年中；伊利集团净利润比上一年增长额最多的是2017年；2019年伊利集团的净利润将比上一年增长15亿元，理由是因为2013年到2015数据发生突变，故参照2015年到2018年的数据进行估算可知，伊利集团近三年的净利润的增长额分别为13.5亿，16亿，13.9亿，据此估计2019年伊利集团净利润的增长额为15亿元；故答案为：2017，15，因为2013年到2015数据发生突变，故参照2015年到2018年的数据进行估算可知，伊利集团近三年的净利润的增长额分别为13.5亿，16亿，13.9亿，据此估计2019年伊利集团净利润的增长额为15亿元．21.根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放．在换水时需要经“排水一清洗一灌水”的过程．某游泳馆从早上7：00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的1.6倍，其中游泳池内剩余的水量y（m3）与换水时间上x（h）之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）该游泳池清洗需要小时．（2）求排水过程中的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）若该游泳馆在换水结束30分钟后才能对外开放，判断游泳爱好者小致能否在中午12：30进入该游泳馆游泳，并说明理由．【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；应用意识．【答案】（1）1.2；（2）y＝﹣800x+1200（0≤x≤1.5）；（3）不能．【分析】（1）根据函数图象中的数据可以解答本题；（2）根据题意核函数图象中的数据可以求得排水过程中的y（m3）与x（h）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）根据题意可以求得下午几点开放，然后与12：30比较大小即可解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，该游泳池清洗需要：2.7﹣1.5＝1.2（小时），故答案为：1.2；（2）设排水过程中的y（m3）与x（h）之间的函数关系式为：y＝kx+b，由题，得，解得，∴排水过程中的y与x之间的函数关系式为：y＝﹣800x+1200（0≤x≤1.5）；（3）由题意可得，排水的速度为：1200÷1.5＝800（m3/h），∴灌水的速度为：800÷1.6＝500（m3/h），∴灌水用的时间为：1200÷500＝2.4（h），∴对外开放的时间为：7+2.7+2.4+＝12：36＞12：30，∴游泳爱好者小致不能在中午12：30进入该游泳馆游泳．22.【教材呈现】华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A═30°．求证：BC＝AB．证明：作邻边AB上的中线CD，则请你结合图①，将证明过程补充完整．【结论应用】如图②，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D是AB的中点．过点D作DE∥BC交AC于点E．则线段AB与DE的数量关系为．【拓展提升】一副三角板按图②所示摆放，得到△ABD和△BCD．其中∠ADB＝∠BCD ＝90°，∠A＝60°．∠CBD＝45°．点E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F．若AB＝8cm．则EF的长为cm．【考点】三角形综合题．【专题】几何综合题；推理能力；应用意识．【答案】（1）证明见解答；（2）BC＝4DE；（3）+．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，可得CD＝BD＝AD，再证明△BCD是等边三角形，即可证明结论；（2）取BC的中点，连接DF，应用（1）的结论可得BC＝AB，再证明四边形CEDF 是平行四边形，应用平行四边形性质即可得到答案；（3）过点A作AG⊥CD交CD的延长线于点G，应用（1）的结论可得出AD，再运用解直角三角形或勾股定理求出BD，BC，AG，最后应用梯形中位线定理即可求出EF．【解答】解：（1）如图①，作斜边AB上的中线CD，则CD＝BD＝AD，∵∠ACB＝90°，∠A═30°，∴∠B＝90°﹣∠A═90°﹣30°＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BC＝CD＝AB．（2）如图②，取BC的中点，连接DF，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB，∵D，F分别是AB，BC的中点，∴DF∥AC，∵DE∥BC，∴四边形CEDF是平行四边形，∴DE＝CF＝BC，∴DE＝BC，即BC＝4DE．故答案为：BC＝4DE.（3）如图③，过点A作AG⊥CD交CD的延长线于点G，∵∠ADB＝∠BCD＝90°，∠A＝60°．∠CBD＝45°，∴∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝×8＝4（cm），∴BD＝AB•sin∠A＝8sin60°＝4（cm），∴BC＝BD•cos∠CBD＝4cos45°＝2（cm），∵∠ADC＝90°﹣∠CBD＝45°，∴∠ADG＝180°﹣∠ADB﹣∠BDC＝45°，∵∠G＝90°，∴AG＝AD•sin∠ADG＝4sin45°＝2（cm），∵EF⊥CD，BC⊥CD，AG⊥CD，∴AG∥EF∥BC，∵点E为AB的中点，∴EF＝（AG+BC）＝×（2+2）＝（+）cm；故答案为：+．23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm．BC＝4cm．点P从点A出发，沿AB以每秒3cm的速度向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交射线BC于点Q，以PQ为一边向上作正方形PQMN，点P不与A、B重合．设点P的运动时间为t（秒）．（1）求线段PQ的长（用含t的代数式表示）．（2）当正方形PQMN与△ABC重叠部分是四边形时，求t的取值范围．（3）在不添加辅助线的条件下．当图中有全等三角形时，直接写出t的值．【考点】四边形综合题．【专题】压轴题；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】（1）（5﹣3t）．（2）t＝0或≤t＜．（3）t＝或t＝或t＝或t＝．【分析】（1）先通过勾股定理求出AB，再用含t代数式PB，由tan B＝＝求解．（2）点P未出发与点Q落在BC边上时满足题意．（3）图中直角三角形均相似，数形结合，分类讨论各个三角形全等的情况．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝5cm，∵AP＝3t，∴BP＝5﹣3t，∵tan B＝＝，∴PQ＝PB＝（5﹣3t）．（2）如图，t＝0时，MN交BC于点L，正方形PQMN与△ABC重叠部分是四边形NLCA满足题意，如图，当点Q与点C重合时，∵cos A＝＝＝，∴AP＝AC，即3t＝×3，解得t＝，∴≤t＜满足题意．综上所述，t＝0或≤t＜．（3）①△APK≌△QCK时，K为AC中点，即AK＝AP＝×3t＝×3，解得t＝，②当△APK≌△LNB时，PK＝NB，∴AP+PN+NB＝AB，即AP+PQ+AP＝AB，∴3t+（5﹣3t）+×3t＝5，解得t＝，③当△QCK≌△LNB时，BN＝CK，∵BN＝AB﹣PN﹣AP，CK＝AC﹣AK，∴AB﹣PN﹣AP＝AC﹣AK，即5﹣（5﹣3t）﹣3t＝3﹣5t，解得t＝，④当△APQ≌△LMQ时，Q与C重合，t＝．综上所述，t＝或t＝或t＝或t＝．24.在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2ax﹣a（a为常数）．（1）当（﹣，m）在抛物线上，求m的值．（2）当抛物线的最低点到x轴的距离恰好是时，求a的值．（3）已知A（﹣1，1）、B（﹣1，2a﹣），连接AB．当抛物线与线段AB有交点时，记交点为P（点P不与A、B重合），将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到线段PM，以PM、P A为邻边构造矩形PMQA．①若抛物线在矩形PMQA内部的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，求a的取值范围．②当抛物线在矩形PMQA内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为时，直接写出a的值．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】（1）．（2）a＝﹣或a＝或a＝．（3）①﹣＜a＜0或a＞．②a＝﹣1+或a＝﹣1﹣或a＝﹣．【分析】（1）将（﹣，m）代入y＝x2﹣2ax﹣a求解．（2）求出顶点坐标，通过顶点纵坐标为±求解．（3）①通过数形结合，讨论抛物线对称轴与矩形边的位置关系与抛物线经过临界点时的值求解．②分类讨论点B在A上方与点B在A下方两种情况，分别求出最高点与最低点坐标作差求解．【解答】解：（1）将（﹣，m）代入y＝x2﹣2ax﹣a可得：m＝+a﹣a，∴m＝．（2）∵y＝x2﹣2ax﹣a＝（x﹣a）2﹣a2﹣a，∴抛物线顶点坐标为（a，﹣a2﹣a），当﹣a2﹣a＝时，解得a＝﹣，当﹣a2﹣a＝﹣时，解得a＝或a＝．∴a＝﹣或a＝或a＝．（3）①AB所在直线解析式为x＝﹣1，将x＝﹣1代入y＝x2﹣2ax﹣a得y＝1+a，∴点P坐标为（﹣1，1+a），当点B在点A上方时，2a﹣＞1+a＞﹣1，解得a＞，∵PB＝PM＝2a﹣﹣（1+a）＝a﹣，∴点M横坐标为﹣1+a﹣＝a﹣，∵a＞a﹣，∴抛物线对称轴在点M右侧，满足题意，∴a＞．当点B在点A下方时，﹣1＞1+a＞2a﹣，解得a＜0，∵PB＝PM＝1+a﹣（2a﹣）＝﹣a，∴点M横坐标为﹣1﹣（﹣a）＝a﹣，当抛物线经过点M时，a＝，解得a＝﹣，∴﹣＜a＜0满足题意．综上所述，﹣＜a＜0或a＞．②由①得Q的横坐标为a﹣，∴Q的坐标为（a﹣，1），当a＞，抛物线经过点Q时，将（a﹣，1）代入抛物线解析式得：1＝（a﹣）2﹣2a（a﹣）﹣a，解得a＝或a＝（舍），抛物线与直线x＝a﹣交点为（a﹣，﹣a2﹣a+），当＜a＜时，抛物线与矩形交点最高点为点P（﹣1，1+a），最低点坐标为（a ﹣，﹣a2﹣a+），﹣a2﹣a+﹣（1+a）＝时，解得a＝﹣1+或a＝﹣1﹣（舍）．当a＜0时，抛物线经过点Q时，a＝，∴≤a＜0时，抛物线与矩形交点最高点纵坐标为1，最低点纵坐标为点P纵坐标为1+a，当1﹣（1+a）＝时，a＝﹣．当a＜时，抛物线与直线MQ交点（a﹣，﹣a2﹣a+）为最高点，点P为最低点，当﹣a2﹣a+﹣（1+a）＝时，解得a＝﹣1+（舍）或a＝﹣1﹣．综上所述，a＝﹣1+或a＝﹣1﹣或a＝﹣．。

吉林省长春市东北师大附中2020年中考第二次模拟考试数学试题(含答案)

初三年级综合测试数学学科试卷考试时长:120分钟试卷分值:120分一、选择题(本大题共8小题，每题3分，共24分)1. 如图，在数轴上，小手遮挡住的点表示的数可能是（）A ． 2.5-B ． 1.5-C ．0.5-D ．0.52. 已知某细菌直径长为0.0000152米，0.0000152这个数用科学记数法可表示为（）A ．51.5210-⨯B ．51.5210-⨯C ．515210⨯D ．41.5210-⨯3. 如图是由4个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A 放到小正方体B 的正上方，则该几何体（）A ．主视图会发生改变.B ．俯视图会发生改变.C ．左视图会发生改变.D ．三种视图都会发生改变. 4. 不等式54x +>的解集为（）A ．1x <B ．1x >C ．1x <-D ．1x >- 5. 下列计算正确的是（）A ．()325a a =B ．23a a a ⋅=C ．221a a -÷=-D ．()2211a a -=- 6. 点()4,3经过某种图形变换后得到点()4,3,B -这种图形变换可以是（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．绕原点逆时针旋转90D ．绕原点顺时针旋转907.某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB 绕点O 旋转到CD 的位置.已知4AO =米，若栏杆的旋转角27AOD ∠=，则栏杆端点A 升高的高度为（）A ．4sin 27米 B ．4sin 27米 C ．4cos 27米 D ．4tan 27米8. 0.618≈的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形蕴藏着丰富的文学价值，给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形:作正方形,ABCD 分别取AD BC 、的中点,E F 、连结,EF DF 、以点F 为圆心，FD 长为半径画圆弧，交BC 的延长线于点;G 作,GH AD ⊥交AD 的延长线于点H ，则下列矩形是黄金矩形的是（）A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)9. 分解因式:2a ab -= ．10. 若关于x 的一元二次方程210kx x -+=没有实数根，则k 的取值范围是_ ．11. 颐和园坐落在北京西郊，是第一批全国重点文物保护单位之一，小致去颐和园参加实践活动时发现有的窗户造型是正八边形，如下图所示，则1∠的大小为____ 度.12. 如图，矩形ABCD 的顶点A 落在MON ∠的边OM 上，B C 、落在边ON 上，且OA OC =.只用无刻度的直尺作MON ∠的平分线，小致的作法如下:连结AC BD 、交于点,E 作射线,OE 则射线OE 平分MON ∠.下面的几何性质:①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线互相平分；③等腰三角形的“三线合一”，其中是小致作图依据的是__ ．(只填序号)13. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图象经过点()2,3,P 且与函数()20y x x=>的图象交于点()Q m n ,.若一次函数y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是_ ．14. 如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A B 、两点，拱桥最高点C 到AB 的距离为4,12,,m AB m D E =为拱桥底部的两点，且//,DE AB 若DE 的长为18,m 则点E 到直线AB 的距离为_ .m三、解答题(本大题共10小题，共78分)15.先化简21111x x x ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，再选择一个恰当的x 的值代入求值. 16.一个不透明盒子中放有三张除所标数字不同外其余均相同的卡片，卡片上分别标有数字1,2,3.从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，再次随机抽取一张记下数字，请用画树状图(或列表)的方法，求第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率.17.学校征集校园便道地砖铺设的图形设计，小致用学校提供的若干个完全相同的小长方形模具(如图①)拼出一个大长方形和一个正方形(如图②、图③)，其中所拼正方形中间留下一个边长为3cm 小正方形的空间，求一个小长方形模具的面积.18.如图，在ABC 中，,AB AC O =是边AB 上一点.以O 为圆心，OB 长为半径作,O 交边BC 于点;E 过E 作O 的切线交边AC 于点F .求证:EF AC ⊥.19.伊利集团是中国规模最大、产品线最全的乳制品企业.综合实践小组的同学从网上搜集到如下一些伊利集团近几年的营业状况的资料，其中图1是2013-2018年伊利集团营业收入及净利润情况统计图，图2是2018年伊利集团各品类业务营业、收入比例情况统计图(数据来源:公司财报、中商产业研究院).综合实践小组的同学结合统计图提出了如下问题，请你解答:()12018年，伊利集团营收及净利再次刷新行业记录，稳居亚洲乳业第一，这一年，伊利集团实现营业收入____ _亿元，净利润____ 亿元.()2求2018年伊利集团“奶粉及奶制品”业务的营业收入(结果精确到0.1亿元).()3在2013-2018这6年中，伊利集团的净利比上一年增长额最多的是_____ ___ __年；估计2019年伊利集团的净利润将比上一年增长______ ___ _亿元，并说明理由.20.图①、图②均是66⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，ABC 的顶点均在格点上，点D 为边AC 的中点.分别在图①、图②中ABC 的边AB 上确定点,P 并作出直线DP ，使ADP 与ABC 相似.要求:()1图①、图②中的点P 位置不同.()2只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹.21.根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放.在换水时需要经“排水一清冼一灌水”的过程.某游泳馆从早上7:00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的1.6倍，其中游泳池内剩余的水量()3y m 与换水时间上()x h 之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题:()1该游泳池清洗需要__ ____小时.()2求排水过程中的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.()3若该游泳馆在换水结束30分钟后才能对外开放，判断游泳爱好者小致能否在中午12:30进入该游泳馆游泳，并说明理由.22.数学兴趣活动课上，小致将等腰ABC 的底边BC 与直线l 重合.()1如图①，在ABC 中，4120AB AC BAC ==∠=︒,，点P 在边BC 所在的直线l 上移动，根据“直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”，小致发现AP 的最小值是____________.()2为进一步运用该结论，在()1的条件下，小致发现，当AP 最短时，如图②，在ABP 中，作AD 平分,BAP ∠交BP 于点,D 点E F 、分别是边AD AP 、上的动点，连结,PE EF 、小致尝试探索PE EF +的最小值，小致在AB 上截取,AN 使得,AN AF =连结,NE 易证AEF AEN ≌，从而将PE EF +转化为,PE EN +转化到()1的情况，则PE EF +的最小值为_ ；()3解决问题:如图③，在ABC 中，90,30,6ACB B AC ∠=︒∠==，点D 是边CB 上的动点，连结,AD 将线段AD 绕点A 顺时针旋转60，得到线段,AP 连结CP ，求线段CP 的最小值.23.如图，在ABC 中，9068ABC BC AB D ∠=︒==,,,为边AC 的中点.点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 运动到点B 停止，同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线BC CD -运动到点D 停止，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动.当点Q 不与ABC 的顶点重合时，过点Q 作//QM AB 交ABC 的边于点,M 以PM 和QM 为边作PMQN .设点Q 的运动时间为t (秒)，PMQN 的面积为S (平方单位).()1当点Q 与点D 重合时，求t 的值.()2用含t 的代数式表示QM 的长.()3求S 与t 之间的函数关系式.()4连结,BD 直接写出BD 将PMQN 分成面积相等的两部分时t 的值.24.在平面直角坐标系中，点()2,A n 在抛物线上，将抛物线222y x mx m =-+在点A 右侧的部分沿着直线y n =翻折，翻折后的图象与原抛物线剩余部分合称为图象G .()1当1m =时，①在如图的平面直角坐标系中画出图象G .②直接写出图象G 对应函数的表达式，③当0x k ≤≤时，图象G 对应函数的最小值为1,求k 的取值范围.()2当2n =-时，直接写出图象G 对应函数y 随x 增大而减小时x 的取值范围. ()3若图象G 上有且只有三个点到直线2y =的距离为3，直接写出m 的值.师大2020.5.22二模数学参考答案一、选择题1-8: CAADBABD二、填空题9.()a a b - 10.14k >11.4512.②③ 13.223m <<14.5三、解答题15. 化简得1,x x +不取01,1-,即可 16.1317.13518. 连接,OE 如图，,OB OE =,B OEB ∴∠=∠,AB AC =,B C ∴∠=∠,OEB C ∴∠=∠//,OE AG ∴ EF 为切线,OE EF ∴⊥EF AC ∴⊥；19.()1795.5,64.4()281.1()32017,1520.21.()15.1()28001201).5(0y x x x =-+≤≤ () 37 1.512.1+=，即12:06，所以可以22.()12(223.Q 与D 重合时()1211t =112t =()203t <<时883QM t =-+38t <<时82455QM t =-()303t <<时，216163S t t =-+38t <<时，2485281125252S t t =-+-()24484,111124.()12222,2.22,2x x x b y x x x ⎧-+≤⎪=⎨-++>⎪⎩ .c 把1y =代入222y x x =-++得1x =±1x >1x ∴=+11k ∴≤≤+()22x ≤或3x ≥11 ()531,32。

吉林省长春市东北师范大附属中学2024届中考数学模拟精编试卷含解析

吉林省长春市东北师范大附属中学2024届中考数学模拟精编试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，已知AE 垂直于ABC ∠的平分线于点D ，交BC 于点E ， 13CE BC =，若ABC ∆的面积为1，则CDE ∆的面积是（）A ．14B ．16C ．18D ．1102．满足不等式组21010x x -≤⎧⎨+>⎩的整数解是（）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．13．已知关于x 的不等式组﹣1＜2x+b ＜1的解满足0＜x ＜2，则b 满足的条件是（） A ．0＜b ＜2B ．﹣3＜b ＜﹣1C ．﹣3≤b≤﹣1D ．b=﹣1或﹣34．已知y 关于x 的函数图象如图所示，则当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（）A ．x ＜0B ．﹣1＜x ＜1或x ＞2C ．x ＞﹣1D ．x ＜﹣1或1＜x ＜25．安徽省2010年末森林面积为3804.2千公顷，用科学记数法表示3804.2千正确的是（） A ．3804.2×103B ．380.42×104C ．3.8042×106D ．3.8042×1056．下列说法不正确的是（）A ．选举中，人们通常最关心的数据是众数B ．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得奇数的可能性比较大C ．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩相同，方差分别为S 甲2=0.4，S 乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定D ．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4 7．平面直角坐标系中的点P （2﹣m ，12m ）在第一象限，则m 的取值范围在数轴上可表示为（） A ．B ．C ．D ．8．如图，矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，AH 与BE ，BF ，DF ，DG ，CG 分别交于点,,,,P Q K M N ，设BPQ ，DKM △，CNH △的面积依次为1S ，2S ，3S ，若1320S S +=，则2S 的值为（）A ．6B ．8C ．10D ．129．2017年，小榄镇GDP 总量约31600000000元，数据31600000000科学记数法表示为（） A ．0.316×1010B ．0.316×1011C ．3.16×1010D ．3.16×101110．如图，函数y =﹣2x +2的图象分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点C 在第一象限，AC ⊥AB ，且AC =AB ，则点C 的坐标为（）A ．（2，1）B ．（1，2）C ．（1，3）D ．（3，1）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．不等式5x ﹣3＜3x+5的非负整数解是_____． 12．计算：（2+1）（2﹣1）= ． 13．如图，在ABCD 中，AB =8，P 、Q 为对角线AC 的三等分点，延长DP 交AB 于点M ，延长MQ 交CD 于点N ，则CN =__________．14．已知函数y=1x-1，给出一下结论： ①y 的值随x 的增大而减小②此函数的图形与x 轴的交点为（1，0） ③当x>0时，y 的值随x 的增大而越来越接近-1 ④当x≤12时，y 的取值范围是y≥1 以上结论正确的是_________（填序号）15．如图，点E 在正方形ABCD 的外部，∠DCE=∠DEC ，连接AE 交CD 于点F ，∠CDE 的平分线交EF 于点G ，AE=2DG ．若BC=8，则AF=_____．16．已知a +1a ＝2，求a 2+21a＝_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）有一水果店，从批发市场按4元/千克的价格购进10吨苹果，为了保鲜放在冷藏室里，但每天仍有一些苹果变质，平均每天有50千克变质丢弃，且每存放一天需要各种费用300元，据预测，每天每千克价格上涨0.1元．设x 天后每千克苹果的价格为p 元，写出p 与x 的函数关系式；若存放x 天后将苹果一次性售出，设销售总金额为y 元，求出y 与x 的函数关系式；该水果店将这批水果存放多少天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为多少？ 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(1,0)M 和(3,0)N 两点，且与y 轴交于(0,3)D ，直线l 是抛物线的对称轴，过点(1,0)A -的直线AB 与直线相交于点B ，且点B 在第一象限．（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线AB和直线l、x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上，P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．19．（8分）两个全等的等腰直角三角形按如图方式放置在平面直角坐标系中，OA在x轴上，已知∠COD=∠OAB=90°，OC=2，反比例函数y=kx的图象经过点B．求k的值．把△OCD沿射线OB移动，当点D落在y=kx图象上时，求点D经过的路径长．20．（8分）某区教育局为了解今年九年级学生体育测试情况，随机抽查了某班学生的体育测试成绩为样本，按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：说明：A级：90分～100分；B级：75分～89分；C级：60分～74分；D级：60分以下（1）样本中D级的学生人数占全班学生人数的百分比是；（2）扇形统计图中A级所在的扇形的圆心角度数是；（3）请把条形统计图补充完整；（4）若该校九年级有500名学生，请你用此样本估计体育测试中A级和B级的学生人数之和.21．（8分）已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．求证：△ABF≌△CDE；如图，若∠1=65°，求∠B的大小．22．（10分）校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．23．（12分）为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：（1）本次调查的学生人数是人；（2）图2中α是度，并将图1条形统计图补充完整；（3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有人；（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率．24．解不等式组：2(2)3{3122x xx+>-≥-，并将它的解集在数轴上表示出来.参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、B【解题分析】先证明△ABD ≌△EBD ，从而可得AD=DE ，然后先求得△AEC 的面积，继而可得到△CDE 的面积. 【题目详解】 ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD=∠EBD ， ∵AE ⊥BD ，∴∠ADB=∠EDB=90°，又∵BD=BD ， ∴△ABD ≌△EBD ， ∴AD=ED ，∵1CE BC 3=，ΔABC 的面积为1， ∴S △AEC =13S △ABC=13，又∵AD=ED ， ∴S △CDE =12 S △AEC =16，故选B. 【题目点拨】本题考查了全等三角形的判定，掌握等高的两个三角形的面积之比等于底边长度之比是解题的关键. 2、C 【解题分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．【题目详解】21010x x -≤⎧⎨+⎩①＞②∵解不等式①得：x≤0.5，解不等式②得：x ＞-1， ∴不等式组的解集为-1＜x≤0.5， ∴不等式组的整数解为0，故选C ．【题目点拨】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键． 3、C根据不等式的性质得出x的解集，进而解答即可．【题目详解】∵-1＜2x+b＜1∴1122b bx---＜＜，∵关于x的不等式组-1＜2x+b＜1的解满足0＜x＜2，∴12122bb--⎧≥⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩，解得：-3≤b≤-1，故选C．【题目点拨】此题考查解一元一次不等式组，关键是根据不等式的性质得出x的解集．4、B【解题分析】y<0时，即x轴下方的部分，∴自变量x的取值范围分两个部分是−1<x<1或x>2.故选B.5、C【解题分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【题目详解】∵3804.2千=3804200，∴3804200=3.8042×106；故选：C．【题目点拨】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6、D试题分析：A、选举中，人们通常最关心的数据为出现次数最多的数，所以A选项的说法正确；B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，由于奇数由3个，而偶数有2个，则取得奇数的可能性比较大，所以B选项的说法正确；C、甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩相同，方差分别为S甲2=0.4，S乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定，所以C选项的说法正确；D、数据3，5，4，1，﹣2由小到大排列为﹣2，1，3，4，5，所以中位数是3，所以D选项的说法错误．故选D．考点：随机事件发生的可能性（概率）的计算方法7、B【解题分析】根据第二象限中点的特征可得：2-m0 1m0 2>⎧⎪⎨>⎪⎩，解得：m2 m0<⎧⎨>⎩.在数轴上表示为：故选B.考点：(1)、不等式组；(2)、第一象限中点的特征8、B【解题分析】由条件可以得出△BPQ∽△DKM∽△CNH，可以求出△BPQ与△DKM的相似比为12，△BPQ与△CNH相似比为13，由相似三角形的性质，就可以求出1S，从而可以求出2S．【题目详解】∵矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，∴AB=BD=CD，AE∥BF∥DG∥CH，∴∠BQP=∠DMK=∠CHN，∴△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH，∴12AB BQAD DM==，13AB BQAC CH==，∵EF=FG= BD=CD ，AC ∥EH ，∴四边形BEFD 、四边形DFGC 是平行四边形， ∴BE ∥DF ∥CG ，∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH ，又∵∠BQP=∠DMK=∠CHN ， ∴△BPQ ∽△DKM ，△BPQ ∽△CNH ，∴221211()24S BQ S DM ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，221311()39S BQ S CH ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，即214S S =，319S S =，1320S S +=，∴11920S S +=，即11020S =，解得：12S =， ∴214S S =42=⨯8=，故选：B ．【题目点拨】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，得出S 2=4S 1，S 3=9S 1是解题关键． 9、C 【解题分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【题目详解】31600000000＝3.16×1．故选：C ．【题目点拨】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的表示. 10、D 【解题分析】过点C 作CD ⊥x 轴与D ，如图，先利用一次函数图像上点的坐标特征确定B （0,2），A （1,0），再证明△ABO ≌△CAD ，得到AD ＝OB ＝2，CD ＝AO ＝1，则C 点坐标可求.【题目详解】如图，过点C作CD⊥x轴与D.∵函数y=﹣2x+2的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴当x＝0时，y＝2，则B （0,2）；当y＝0时，x＝1，则A（1,0）.∵AC⊥AB，AC＝AB，∴∠BAO＋∠CAD＝90°，∴∠ABO＝∠CAD.在△ABO 和△CAD中，，∴△ABO≌△CAD，∴AD＝OB＝2，CD＝OA＝1，∴OD＝OA＋AD＝1＋2＝3，∴C点坐标为（3,1）.故选D.【题目点拨】本题主要考查一次函数的基本概念。

2024年中考数学二模试卷(吉林卷)(全解全析)

2024年中考第二次模拟考试数学（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．如图，数轴上点,,,A B C D 表示的数绝对值最小的是（）A ．AB ．BC ．CD ．D【答案】B 【分析】本题考查了数轴的定义、绝对值的意义，掌握数轴的定义是解题关键．先根据数轴的定义以及绝对值的意义得出点A 、B 、C 、D 的绝对值的范围，然后比较范围即可解答．【详解】解：先根据数轴的定义以及绝对值的意义：23A <<，0B <<1，1C <<2，23D <<，点B的数绝对值最小．故选：B ．2．据市统计局年报，去年我市人均生产总值为104000元，104000用科学记数法表示为（）A ．61.0410⨯元B ．60.10410⨯元C ．51.0410⨯元D ．410.410⨯元【答案】C【分析】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a 与n 值是关键．【详解】解：5104000 1.0410=⨯元．故选C ．【点睛】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值是易错点，由于104000有6位，所以可以确定615n =-=．3．如图桌上摆放这一个茶杯和一摞书，从上面看到的图形是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】本题考查了从三个不同方向看几何体，解题关键是根据题意看图，不要搞错方向．【详解】解：书和茶杯从上面看到的图形的分别是长方形和圆，故选：A ．4．下列计算正确的是（）A ．()23524x x -=B ．523x x x -=C ．()()2x y x z x yz +-=-D ．23622x y x x y⋅=【答案】B【分析】本题考查的是积的乘方运算，合并同类项，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，根据运算运算的运算法则逐一判断即可．【详解】解：()23624x x -=，故A 不符合题意；523x x x -=，故B 符合题意；()()2x y x z x xz xy yz +-=-+-，故C 不符合题意；23522x y x x y ⋅=，故D 不符合题意；故选B5．如图，在ABC 中，DE BC ∥，2AD =，3BD =，10AC =，则AE 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求得．【详解】解： DE BC ∥，AD AE DE AB AC BC∴==， 2AD =，3BD =，10AC =，AD AE AD BD AC ∴=+，22310AE ∴=+，4AE ∴=，故选：B ．6．如图，CD 是O 的弦，把O 的劣弧沿着CD 对折，A 是对折后劣弧上的一点，若2A B ∠=∠，则B ∠的度数是（）A ．100︒B ．80︒C ．60︒D ．50︒【答案】C【分析】本题主要考查了折叠，圆内接四边形．熟练掌握折叠的性质，圆内接四边形的性质，是解决问题的关键，将ACD 沿CD 翻折，点A 落在'A 处，得到'A A ∠=∠，点'A 在O 上，根据2A B ∠=∠，得到'2A B ∠=∠，根据'180A B ∠+∠=︒，得到=60B ∠︒．【详解】如图，沿CD 翻折ACD ，点A 落在'A 处，则'A A ∠=∠，由对折知， CADCD =，∴点'A 在O 上，∵2A B ∠=∠，∴'2A B ∠=∠，∵四边形'A CBD 是O 的内接四边形，∴2180A B B B ∠+∠=∠+∠='︒，∴=60B ∠︒，故选：C ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）7．()2011220222π-⎛⎫-= ⎪⎝⎭．【答案】523-【分析】本题考查的是实数的运算，掌握零指数幂、负指数幂及算术平方根是解题的关键．根据零指数幂、负指数幂及算术平方根计算即可．【详解】解：()2011220222π-⎛⎫- ⎪⎝⎭4231=-53=-故答案为：523-8．因式分解428a -=．【答案】()()22222a a -+【分析】本题考查了因式分解的应用，先提公因式，再运用平方差公式进行分解因式，即可作答．【详解】解：()()()44222824222a a a a -=-=-+故答案为：()()22222a a -+9．当2a =-时，代数式2422a a a+--的值为．【答案】0【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算分式的加减运算，再代入计算即可．【详解】解：当2a =-时，2422a a a+--2422a a a =---()()222a a a +-=-2a=--()22=---0=；故答案为：0．10．若关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是．【答案】1m <【分析】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m 的范围即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，∴440m ∆=->，解得：1m <．故答案为：1m <．11．2024年4月23日是第29个世界读书日，鼓励人们尤其是年轻人发现读书的乐趣，并以此对那些推动人类社会和文化提高的人们所做出的伟大贡献表示感激和尊重．小明读一本390页的书，计划15天内读完，但前6天由于身体原因只读了120页，如果他想按原计划读完，则从第7天起平均每天至少要读页．【答案】30【分析】设从第7天起平均每天要读x 页，根据题意得出不等关系：120页+后9天读的页数390≥，根据不等关系列出不等式，进而可得答案．【详解】解：设从第7天起平均每天要读x 页，才能按计划读完，则根据题意得：1209390x +≥，解得：30x ≥；∴从第7天起，平均每天至少要读30页才能按计划读完．故答案为：30．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是正确理解题意，设出未知数，找到题目中的不等关系，列出不等式．12．如图，BD 是菱形ABCD 的一条对角线，以点D 为圆心，适当长为半径画弧，分别交DB DC ，于点E F ，，分别以点E F ，为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点G ；分别以点C D ，为圆心，大于12CD 的长为半径画弧，两弧交于M N ，两点，直线MN 与射线DG 交于点P ．若56A ∠=︒，则DPN ∠=︒．【答案】59【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的作法，菱形的性质，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，设MN 与CD 的交点为H ，由题意可得，DP 为BDC ∠的角平分线，MN 为线段CD 的垂直平分线，即得到12CDP BDC ∠=，90DHP ∠=︒，又由四边形ABCD 是菱形，可得AB CD ∥，12DBC ADC ∠=∠，进而可得31CDP ∠=︒，即可求解，掌握角平分线和线段垂直平分线的作法是解题的关键．【详解】解：设MN 与CD 的交点为H ，由题意可得，DP 为BDC ∠的角平分线，MN 为线段CD 的垂直平分线，∴12CDP BDC ∠=，90DHP ∠=︒，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB CD ∥，12DBC ADC ∠=∠，∴180A ADC ∠+∠=︒，∵56A ∠=︒，∴18056124ADC ∠=︒-︒=︒，∴1124622DBC ∠=⨯︒=︒，∴162312CDP ∠=⨯︒=︒，∴903159DPN ∠=︒-︒=︒，故答案为：59．13．如图，在平面直角坐标系中，将直角三角板的60︒角的顶点与坐标原点O 重合，直角顶点B 在x 轴的负半轴上，顶点A 在第三象限．将OAB 绕点O 逆时针旋转一定角度得到OA B ''△使点B 的对应点B '落在边OA 上．若1OB =，则点A '的坐标为．【答案】(1,3-【分析】本题主要考查了坐标与图形，含30︒角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，过点A '作A C x '⊥轴于点C ，根据30︒角的直角三角形的性质求出22AO OB ==，求出180606060A OC '∠=︒-︒-︒=︒，根据旋转求出2A O AO '==，根据直角三角形的性质求出112CO A O '==，根据勾股定理求出223CA A O OC ''=-=即可求出结果．【详解】解：过点A '作A C x '⊥轴于点C ，如图所示：根据题意可得：60AOB A OB ''∠=∠=︒，90∠=︒ABO ，1OB =，∴906030BAO ∠=︒-︒=︒，∴22AO OB ==，180606060A OC '∠=︒-︒-︒=︒，根据旋转可知，2A O AO '==，∵A C x '⊥轴，∴90A CO '∠=︒，∴906030CA O '∠=︒-︒=︒，∴112CO A O '==，∴223CA A O OC ''=-=∴点A '的坐标为(1,3．故答案为：(1,3-．14．如图，折叠矩形纸片ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把ABE 翻折，使点A 落在BC 边上的点I 处，折痕为BE ；②把纸片展开并铺平；③点G 在DC 边上，把ADG △翻折，使点D 落在线段IC 上的点F 处，折痕为AG ，BE 与AF 交于点H ．若ABH 是等腰三角形，1AB =，则ABF S = ．【答案】212或12【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和折叠的性质，分三种情况讨论：①当BA BH =时，连结A I ，由题意可得45BAI ∠= ，可得45ABH ∠= ，证得AI IF =，即2AI IF ==12BF =ABF S ，②当HB HA =时，45ABH BAH ∠=∠= ，可得点F 与点I 重合，则有ABF S ；③当AB AH =时，AH AE =，不合题意．【详解】①当BA BH =时，连结A I ，由题意可得45BAI ∠= ．45ABH ∠= ，67.5BAH ∴∠= ，22.5AFB ∴∠= ，22.5IAF ∠= ，AI IF ∴=．1AB BI == ，2AI IF ∴=12BF ∴=+212ABF S = ．②当HB HA =时，45ABH BAH ∠=∠= ，则90AHB AHE ∠=∠=︒，∵90AFG D ∠=∠=︒∴点F 与点I 重合，如图，‍则12ABF S = ．③当AB AH =时，1AH AE ==，不合题意，舍去．故答案为：212或12．‍三、解答题（本大题共12个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．先化简，再求值：（x+3）（x-3）-2x （x+3）+（x-1）2，其中x=12.【答案】-8x-8，-12【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．【详解】解：（x+3）（x-3）-2x （x+3）+（x-1）2=x 2-9-2x 2-6x+x 2-2x+1=-8x-8，当x=12时，原式=-4-8=-12.【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．16．春节是流行疾病的高发季节，为此初三1班展开以“养成良好卫生习惯，做好手部消毒”的主题班会，并在市场购买乙醇类喷雾消毒剂，其中包含100ml 、200ml 、300ml 、500ml 共四种容量不同的消毒剂．现将这四种消毒剂各取一瓶分别装到4个封装后完全相同的纸箱，并将这4个纸箱随机摆放．(1)若小明从这4个纸箱中随机选取一个，则所选纸箱里消毒剂容量恰好为300ml 的概率是______．(2)若小明从这4个纸箱中随机选取2个，请利用列表或树状图的方法，求所选两个纸箱里消毒剂的容量之和大于400ml 的概率．【答案】(1)14(2)所选两个纸箱里消毒剂的容量之和大于400ml 的概率为23．【分析】本题考查了利用概率公式求概率，利用画树状图求概率，熟练掌握和运用求概率的方法是解决本题的关键．（1）根据概率公式即可求得；（2）首先画出树状图，展示所有12种等可能的结果数，再找出两个数字之和大于400ml 所占的结果数，再根据概率公式计算．【详解】（1）解：∵一共有4个箱子，每个箱子被选取的概率相同，而纸箱里消毒剂容量恰好为300ml 的有1个，∴这4个纸箱中随机选1个，所选纸箱里消毒剂容量恰好为300ml 的概率是14，故答案为：14；（2）解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中所选两个纸箱里消毒剂的容量之和大于400ml 的结果有8种，∴所选两个纸箱里消毒剂的容量之和大于400ml 的概率为82123=．17．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是AC 上的一点，且AD BC =，DE AC ⊥于D ，90EAB ∠=︒；求证：EAD ∆≌ABC ∆．【详解】解：EAB ∠= 90°，EAC CAB ∴∠+∠=90°，DE AC ⊥ ，EAC E ∴∠+∠=90°，CAB E ∴∠=∠，在EAD ∆和ABC ∆中，o 90E CAB EDA ACB AD BC ∠∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩＝，EAD ∴∆≌ABC ∆（AAS ）.18．为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，已知乙队比甲队每天少改造20米，甲队改造400米的道路与乙队改造300米的道路所用时间相同，求甲、乙两个工程队每天改造的道路长度分别是多少米？【答案】甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米．【分析】根据题意列出方程求解即可．【详解】解：设甲工程队每天改造的道路长度是x米，列方程得：40030020 x x=-，解得：x=80．经检验，x=80是原分式方程的解80-20=60．答：甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米．19．如图1，图2，图3，图4均为8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，图中均有线段AB．按要求画图．（1）在图1中，以格点为顶点，AB为腰画一个锐角等腰三角形；（2）在图2中，以格点为顶点，AB为底边画一个锐角等腰三角形．（3）在图3中，以格点为顶点，AB为腰画一个等腰直角三角形；（4）在图4中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析【分析】（1）在图1中，以格点为顶点，AB为腰画一个锐角等腰三角形即可；（2）在图2中，以格点为顶点，AB为底边画一个锐角等腰三角形即可；（3）在图3中，以格点为顶点，AB为腰画一个等腰直角三角形即可；（4）在图4中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形即可．【详解】解：如图，（1）如图1即为所画图形；（2）如图2即为所画图形；（3）如图3即为所画图形；（4）如图4即为所画图形.【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形等知识．20．如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC 段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形AOEB 为向上攀爬的梯子，6OA =米，进口AB OD ∥，且2AB =米，出口C 点距水面的距离为CD ．(1)求BC 段滑梯所在双曲线的解析式．()2x ≥(2)若CD 为1.5米，求B ，C 之间的水平距离DE 的长度(3)若CD 高度不超过1米，则B ，C 之间的水平距离DE 的长度至少为多少米？【答案】(1)()122y x x=≥(2)B ，C 之间的水平距离DE 的长度为6米(3)B ，C 之间的水平距离DE 的长度至少为10米【分析】本题考查了反比例函数的应用，矩形的性质，掌握的识别图形是解题的关键．（1）根据矩形的性质，得到点()2,6B ，设BC 段滑梯所在双曲线的解析式为：()0k y k x=≠，利用待定系数法求解即可；（2）根据题意得到点C 的纵坐标为1.5，代入（1）中双曲线的解析式，求解出点C 的横坐标，得到OD 的长，利用OD OE -即可求解；（3）另点C 的纵坐标为1，代入（1）中双曲线的解析式，求解出点C 的横坐标，得到OD 的长，利用OD OE -即可求解．【详解】（1）解：∵四边形AOEB 是矩形，∴6,2BE OA AB ===，∴()2,6B ，BC 段滑梯所在双曲线的解析式为：()0k y k x=≠，∴2612k =⨯=，∴()122y x x =≥，（2）解：∵ 1.5CD =，∴当 1.5y =时，8x =，8m OD ∴=，∴DE =826m OD OE -=-=，答：B ，C 之间的水平距离DE 的长度为6米；（3）解：∵1CD =，∴当1y =时，12x =，12m OD ∴=，∴DE 的长度至少为：12210m OD OE -=-=，答：B ，C 之间的水平距离DE 的长度至少为10米．21．吉林省2022年国民经济和社会发展统计公报，初步核算，至年末全省机动车保有量达到610.1万辆，比上年末增长3.5%．根据公报出示的数据绘制了2018年2022-年全省机动车保有量及其增长速度的统计图表．根据该统计图表解答下列问题：2018年2022-年吉林省机动车保有量及其增长速度(1)吉林省从2018年到2022年，全省机动车保有量最多年份比最少的年份多______万辆．(2)吉林省从2018年到2022年，全省机动车保有量增长速度的中位数是______%．(3)与2021年相比，2022年吉林省机动车保有量增加了______万辆，机动车保有量增长速度提高了______个百分点；(注：1%为1个百分点)(4)根据统计图提供的信息，有下列说法，其中正确的是______．(填写字母)A ．吉林省从2018年到2022年，全省机动车保有量持续增长．B ．全省机动车保有量年增长率100%-=⨯当年全省机动车保有量上一年全省机动车保有量上一年全省机动车保有量，设2017年吉林省机动车保有量为x ，则通过列方程536.4 3.3%x x -=来求得2017年吉林省机动车保有量．C ．通过统计数据，从2019年到2021年，吉林省机动车保有量增长率持续下降，因此这三年的机动车保有量增长率是负增长．【答案】(1)73.7(2)3.5(3)20.4，2.5(4)A ，B【分析】（1）用最多年份的数据减去最少年份的数据即可；（2）先排序，再按中位数的定义求取即可；（3）第一空：用2022年吉林省机动车保有量减去2021年的即可；第二空：用2022年的增长率减去2021年的增长率即可；（4）根据数据上升可知A 正确，根据增长率的计算方法可知B 正确，虽然增长率在下降，但一直是正数，不是负增长可知C 错误．【详解】（1）解：由统计图可知：全省机动车保有量最多年份是2022年，保有量为610.1万辆，全省机动车保有量最少年份是2018年，保有量为536.4万辆，∴全省机动车保有量最多年份比最少的年份多的数量为：610.1536.473.7-=(万辆)故答案为：73.7；（2）解：吉林省从2018年到2022年，全省机动车保有量增长速度从小到大排序得：1.0%，3.3%，3.5%，4.0%，4.7%，∴全省机动车保有量增长速度的中位数是3.5%，故答案是：3.5；（3）解：∵610.1589.720.4-=(万辆)∴与2021年相比，2022年吉林省机动车保有量增加了20.4万辆，∵3.5 1.0 2.5-=，∴机动车保有量增长速度提高了2.5个百分点，故答案为：20.4；2.5；（4）解：A 、吉林省从2018年到2022年，汽车保有量一致在增加，即全省机动车保有量持续增长，因此A 正确；B 、增长率的计算公式正确，因此根据这个等量关系所列方程也正确，即B 正确；C 、虽然增长率在下降，但一直是正数，不是负增长，因此C 错误．所以正确的有：A ，B ，故答案为：A ，B ．【点睛】本题考查条形统计图与折线统计图，中位数，增长率计算公式，根据题意读懂统计图的数据关系是解题的关键．22．在风景迷人的旅游度假区，有一个深受游客喜爱的“高空滑梯”娱乐项目．如图，在滑梯顶部A 处观测B 处的俯角为30°．滑车从A 处出发，沿直线加速滑行18m 到B 处，再水平滑行10m 到C 处，最后沿坡角1930α'=︒的斜坡CD 缓慢滑行6m 到达地面D 处．求滑梯的高度AE ．（精确到1m ，sin19300.33'︒≈，cos19300.94'︒≈，tan19300.35'︒≈）【答案】滑梯的高度AE 约为11m ．【分析】延长CB 交AE 于F ，作CG ⊥DE ，垂足为G ，根据锐角三角函数值的求法得到AF 和CG 的长度，再利用AE AF CG =+来求解．【详解】解：延长CB 交AE 于F ，作CG ⊥DE ，垂足为G ，在Rt ABF 中，∠AFB ＝90°，∠ABF ＝30°，∴1sin 18sin 301892AF AB ABF =⋅∠=⨯︒=⨯=．在Rt CDG 中，∠CGD ＝90°，1930CDG '∠=︒∴sin 6sin193060.33 1.98CG CD CDG '=⋅∠=⨯︒=⨯=，∴9 1.9810.9811AE AF EF AF CG =+=+=+=≈（m ）．答：滑梯的高度AE 约为11m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，作出辅助线，构建直角三角形是解答关键．23．甲、乙两组工人同时加工某种零件，甲组在工作中有一段时间停产更新设备，更新设备后，甲组的工作效率是原来的2倍．乙组工作2小时后，由于部分工人离开，工作效率有所降低．两组各自加工零件的数量y （件）与时间x （小时）之间的函数图象如图所示．（1）直接写出线段DE 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）求甲乙两组何时加工的零件数相同；（3）若甲、乙两组加工的零件合在一起装箱，每320件装成一箱，零件装箱的时间忽略不计，直接写出经过多长时间恰好装满2箱．【答案】（1）y ＝40x +20（2≤x ≤9）；（2）5.5小时；（3）8小时【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）求出C 点坐标，利用待定系数法求线段BC 的函数关系式，根据线段DE ，BC 的函数解析式即可求解；（3）假设经过x 小时恰好装满2箱，甲组6.5小时加工的零件为300件,此时乙组加工的零件为40×6.5+20＝280，两组生产的不够两箱，甲组一共加工了6.5小时，要想装满两箱，乙应加工320×2﹣300＝340，进而列方程40x +20＝340求解即可．【详解】解：（1）由图象得：D （2，100），E （9，380），设线段DE 的解析式为：y ＝kx +b ，∴21009380k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：4020k b =⎧⎨=⎩，∴y ＝40x +20（2≤x ≤9）；（2）∵甲组的工作效率是原来的2倍，∴C 点纵坐标是：60÷2×2×（6.5﹣2.5）+60＝300，∴C （6.5，300），设线段BC 的解析式为：11y k x b =+，∴11112.5606.5300k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：116090k b =⎧⎨=-⎩，∴y ＝60x ﹣90（2.5≤x ≤6.5），由题意得：40x +20＝60x ﹣90，解得：x ＝5.5，答：甲乙两组5.5小时，加工的零件数相同；（3）设经过x 小时恰好装满二箱，由图象得：甲组6.5小时加工的零件为300件，乙组6.5小时加工的零件为40×6.5+20＝280（件），∴此时不够装满2箱．恰好装满2箱乙应加工320×2﹣300＝340（件），40x +20＝340，解得：x ＝8，答：经过8小时恰好装满2箱．【点睛】本题考查一次函数的应用，正确获取图象信息，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解题的关键．24．（1）【问题背景】如图1，AB EF CD ∥∥，AD 与BC 相交于点E ，点F 在BD 上．求证：111AB CD EF+=；小雅同学的想法是将结论转化为1EF EF AB CD+=来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程．（2）【类比探究】如图2，AE AB ⊥，BD AB ⊥，GH AB ⊥，DE 与BC 相交于点G ，点H 在AB 上，AE AC =．求证：112GH AC BD-=．（3）【拓展运用】如图3，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，连接AC ，BD 交于点M ，过点M 作EF AB ∥，交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接EC FD ，交于点N ，过点N 作GH AB ∥，交AD 于点G ，交BC 于点H ，若3AB =，5CD =，直接写出GH 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）307【分析】（1）由AB EF ∥，可证DEF DAB △△∽，则EF DF AB BD =，同理可得：EF BF CD BD =，则1EF EF DF BF DF BF BD AB CD BD BD BD BD ++=+===，两边同时除以EF ，可得111AB CD EF+=．（2）由AE AB ⊥，BD AB ⊥，GH AB ⊥，AE AC =，可得CE GH BD ∥∥，2CE AC =，证明CEG BDG ∽△△，则2CG CE AC BG BD BD ==，同理，BAC BHG ∽△△，则1AC BC BG CG CG HG BG BG BG+===+，两边同时除以AC 得，112GH AC BD =+，进而可得112GH AC BD-=；（3）由（1）可知，1111AB CD EM FM +==，1111EF CD GN HN +==，则11823515EF+==，解得，154EF =，则1172155154GH +==，计算求解即可．【详解】（1）证明：∵AB EF ∥，∴DEF DAB △△∽，∴EF DF AB BD=．同理可得：EF BF CD BD =，∴1EF EF DF BF DF BF BD AB CD BD BD BD BD++=+===，两边同时除以EF ，得111AB CD EF+=．（2）证明：∵AE AB ⊥，BD AB ⊥，GH AB ⊥，AE AC =，∴CE GH BD ∥∥，2CE AC =，∵CE BD ∥，∴CEG BDG ∽△△，∴2CG CE AC BG BD BD==，同理，BAC BHG ∽△△，∴1AC BC BG CG CG HG BG BG BG+===+，∴21AC AC HG BD=+，两边同时除以AC 得，112GH AC BD =+，∴112GH AC BD-=；（3）解：由（1）可知，1111AB CD EM FM +==，1111EF CD GN HN+==，∴11823515EF+==，解得，154EF =，∴1172155154GH +==，解得，307GH =，∴307GH =．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的判定．解题的关键在于明确相似三角形的判定条件．25．如图，△ABC 是边长为4的等边三角形，点D 是线段BC 的中点，∠EDF ＝120°，把∠EDF 绕点D 旋转，使∠EDF 的两边分别与线段AB 、AC 交于点E 、F ．（1）当DF ⊥AC 时，求证：BE ＝CF ；（2）在旋转过程中，BE +CF 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）在旋转过程中，连接EF ，设BE ＝x ，△DEF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数解析式，并求S 的最小值．【答案】（1）见解析；（2）BE+CF＝2，是为定值；（3）S＝34（x﹣1）233+4，当x＝1时，S最小值为334.【分析】（1）根据四边形内角和为360°，可求∠DEA＝90°，根据“AAS”可判定△BDE≌△CDF，即可证BE ＝CF；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，易证△MBD≌△NCD，则有BM＝CN，DM＝DN，进而可证到△EMD≌△FND，则有EM＝FN，就可得到BE+CF＝BM+EM+CF＝BM+FN+CF＝BM+CN＝2BM＝2BD×cos60°＝BD＝12BC＝2；（3）过点F作FG⊥AB，由题意可得S△DEF＝S△ABC﹣S△AEF﹣S△BDE﹣S△BCF，则可求S与x之间的函数解析式，根据二次函数最值的求法，可求S的最小值．【详解】（1）∵△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∴∠B＝∠C＝60°，BD＝CD，∵DF⊥AC，∴∠DFA＝90°，∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED＝180°，∴∠AED＝90°，∴∠DEB＝∠DFC，且∠B＝∠C＝60°，BD＝DC，∴△BDE≌△CDF（AAS）（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．∵∠A＝60°，∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．∵∠EDF＝120°，∴∠MDE＝∠NDF．在△MBD 和△NCD 中，BMD CND B C BD DC ∠=∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝∴△MBD ≌△NCD （AAS ）BM ＝CN ，DM ＝DN ．在△EMD 和△FND 中，EMD FND DM DN MDE NDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EMD ≌△FND （ASA ）∴EM ＝FN ，∴BE+CF ＝BM+EM+CF ＝BM+FN+CF ＝BM+CN＝2BM ＝2BD×cos60°＝BD ＝12BC ＝2（3）过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G，∵BE ＝x∴AE ＝4﹣x ，CF ＝2﹣x ，∴AF ＝2+x ，∵S △DEF ＝S △ABC ﹣S △AEF ﹣S △BDE ﹣S △BCF ，∴S ＝12BC×AB×sin60°﹣12AE×AF×sin60°﹣12BE×BD×sin60°﹣12CF×CD×sin60°＝312×（4﹣x ）×（2+x ）32﹣12×x×2×32﹣12×（2﹣x ）×2×32∴S ＝34（x ﹣1）2+334（∴当x ＝1时，S 最小值为334【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM ＝CN ，DM ＝DN ，EM ＝FN 是解决本题的关键．26．在平面直角坐标系中，抛物线21:232L y x mx m =-++（m 是常数）的顶点为A ．（1）用含m 的代数式表示抛物线L 的对称轴．（2）当23x ≤≤，抛物线L 的最高点的纵坐标为6时，求抛物线L 对应的函数表达式．（3）已知点()3,2B -、()2,7C ，当32m -<<时，设ABC 的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式，并求S 的最小值．（4）已知矩形MNPQ 的四个顶点的坐标分别为()3,3M m -、13,32N m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭、15,32P m m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭、()5,3Q m m +-，当抛物线L 与边MN 、PQ 各有1个交点分别为点D 、E 时，若点D 到y 轴的距离和点E 到x 轴的距离相等，直接写出m 的值．【答案】（1）抛物线L 的对称轴为直线x m =；（2）213622y x x =-+；（3）()2515144S m =-+，S 的最小值为154；（4）m 的值为229241．【分析】（1）将解析式化为顶点式，即可求解；（2）根据题意得当2x =时，5y =，且102>，从而得到52m <，从而得到当3x =时，6y =，即可求解；（3）过点A 作AD ∥y 轴的垂线交线段BC 于点D ．可得A D x x m ==．从而得到21,232A m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，再设直线BC 的解析式为()0y kx b k =+≠，求出直线BC 的解析式为5y x =+，从而得到AD ()213122m =-+，再由ADB ADC S S S =+△△，得到S 与m 之间的函数关系式，再化为顶点式，即可求解；（4）根据题意得：点D 的横坐标为3，点E 的横坐标为5+m ，从而得到D 到y 轴的距离是3，E 到x 轴的距离为2131222m m -++，再由点D 到y 轴的距离和点E 到x 轴的距离相等，即可求解．【详解】解：（1）∵()2221112323222y x mx m x m m m =-++=--++，∴抛物线L 的对称轴为直线x m =．（2）∵当2x =时，21222352y m m =⨯-++=，且102>，又∵当23x ≤≤时，抛物线L 的最高点的纵坐标为6，∴52m <．∴当3x =时，21332362m m ⨯-++=．解得：32m =．∴抛物线L 对应的函数表达式为213622y x x =-+；（3）如图，过点A 作AD ∥y 轴的垂线交线段BC 于点D ．∵32m -<<，∴A D x x m ==．∵点A 为抛物线L 的顶点，∴21,232A m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭．设直线BC 的解析式为()0y kx b k =+≠，∵点()3,2B -、()2,7C ，∴3227k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得：15k b =⎧⎨=⎩，∴直线BC 所对应的函数表达式为5y x =+．∴(),5D m m +．∴215232AD m m m ⎛⎫=+--++ ⎪⎝⎭()213122m =-+，∴()()()()2211135153211222244ADB ADC C B S S S AD x x m m ⎡⎤=+=⋅-=⨯+-+=-+⎢⎥⎣⎦△△∵504>，∴当1m =时，有最小值．∴S 的最小值为154，（4）根据题意得：点D 的横坐标为3，点E 的横坐标为5+m ，∴D 到y 轴的距离是3，∵当5x m =+时，()()22113155232222y m m m m m m =⨯+-+++=-++，∴E 到x 轴的距离为2131222m m -++，∵点D 到y 轴的距离和点E 到x 轴的距离相等，∴21312322m m -++=，即21312322m m -++=或21312322m m -++=-，解得：229m =241m =。

吉林省长春市东北师大附中2019届九年级4月第二次中考模拟考试数学试题(解析版)

东北师大附中2019年4月第二次中考模拟考试·数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.）【答案】B【解析】【分析】先根据相反数的概念求出a的值，然后代入计算即可．【详解】解：∵a与2互为相反数，∴a=-2，∴a+1=-2+1=-1．故选：B．【点睛】本题主要考查了相反数的定义，根据相反数的概念得出a的值是解决此题的关键．2.“中国天眼”FAST射电望远镜的反射面总面积约250 000m2，数据250 000用科学记数法表示为（）．A. 25×104B. 2.5×105C. 2.5×106D. 0.25×106【答案】B【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．详解：将250000用科学记数法表示为：2.5×105．故选B．点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据图形，把正方体展开图折叠成正方体，观察即可得到重合的点．【详解】解：折叠成正方体时，与点A重合的点为B、E．故选：D．【点睛】本题考查了几何体的展开图，仔细观察图形，得到折叠的正方体的图形是解题的关键．4.若□×3xy＝3x2y，则□内应填的单项式是( )A. xyB. 3xyC. xD. 3x【答案】C【解析】试题分析：根据题意列出算式，计算即可得到结果．解：根据题意得：3x2y÷3xy=x，故选：C点评：此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5.如图，在下框解分式方程的4个步骤中，根据等式基本性质的是（）．A. ①②B. ②④C. ①③D. ③④【答案】C【解析】分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．详解：第①步去分母是根据等式基本性质，第③步移项是根据等式基本性质.故选C.点睛：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．6.西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表。

2024年吉林省长春市东北师范大学附属实验学校九年级中考第二次质量数学试题

2024年吉林省长春市东北师范大学附属实验学校九年级中考第二次质量数学试题一、单选题1．如图，数轴上点A 表示数a ，则a 是（）A ．1B ．2C ．3D ．42．夯实粮食生产根基，保障粮食生产基础．2024年，长春市粮食作物播种面积力争稳定在25000000亩，25000000这个数用科学记数法表示为（）A ．72.510⨯B ．32.510⨯C ．62510⨯D ．42.510⨯ 3．当01a <<时，则a ，a -，2a ，1a 中最大的是（）A ．aB ．a -C ．2aD ．1a4．我校举行航天知识问答活动，五支参赛队的成绩（分）分别为：87，90，90，92，93，后来发现每队都少加了3分，每队补加3分后，这五支参赛队的新成绩的统计量不变的为（）A ．众数B ．中位数C ．平均数D ．方差5．图中表示被撕掉一块的正n 边形纸片，若a b ⊥，则n 的值是（）A ．5B ．7C ．8D ．106．如图，在ABC V 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC，于点M 和N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法不正确的是（）A ．AD 是BAC ∠的平分线B ．60ADC ∠=︒ C ．:1:3ADC ABD S S =△△ D ．点D 在AB 的垂直平分线上7．如图，AB 、AC 是O e 的弦，OB 、OC 是O e 的半径，点P 为OB 上任意一点（点P 不与点B 重合），连结CP ．若40BAC ∠︒=，则BPC ∠的度数可能为（）A ．50︒B ．75︒C ．100︒D ．140︒8．如图，边长为2的正六边形ABCDEF 的对称中心点P 在函数()00k y k x x =>>，的图象上，边CD 在x 轴上，点B 在y 轴上．平移正六边形ABCDEF ，使点B 、C 恰好都落在该函数的图象上，则平移的过程为（）A ．左平移2个单位B ．右平移1C．右平移2个单位 D 1个单位二、填空题9．计算：0120242-+=．10．若关于x 的方程20x a -=有两个相等的实数根，则a 的值为．11m 的值为．12．如图，分别以ABC V 的三边为边向外作正方形ACFE 、正方形BCGH 、正方形ABID ，连接DE FG HI 、、．若2ABC S =△，则ADE CFG BHI S S S ++=△△△．13．我国的学者墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，早于牛顿2000多年就已经总结出相似的理论.如图，平面m ，n ，q 相互平行，平面q 到平面n 的距离是平面n 到平面m 的距离的2倍，直角三角形光源ABC 在平面m 上，若4cm AB AC ==，通过小孔成的像A B C '''V 在平面q 上，则A B C '''V 的面积为．14．长春公园拟建一个喷泉景观，在一个柱形高台上装有喷水管，水管喷头斜着喷出水柱，经过测量水柱在不同位置到水管的水平距离和对应的竖直高度呈抛物线型，当喷水管离地面3.2米喷水时，水柱在离水管水平距离3米处离地面竖直高度最大，最大高度是5米．此喷水管可以上下调节，喷出的水柱形状不变且随之上下平移，若调节后的落水点（水落到地面的距离）向内平移了1米，则喷水管需要向下平移米．三、解答题15．先化简，再求值：()()2224x x x x ---÷，其中x =16．现有三张不透明的卡片A 、B 、C ，其中卡片的正面图案分别是佩奇、乔治、佩奇妈妈，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求恰好抽到佩奇和乔治的概率．17．无人机在航空拍照、高速公路管理、森林防火巡查和应急救援、救护等民用领域应用极为广阔．2023年10月西北工业大学的科研成果“信鸽”仿生飞行器续航时间3小时5分30秒，刷新了扑翼式无人机单次充电飞行时间的吉尼斯世界纪录．科研小组的同学发现，“信鸽”仿生飞行器时速是“云鸮”仿生飞行器时速的1.5倍，“信鸽”仿生飞行器飞向5千米高的空中比“云鸮”仿生飞行器少用5分钟，求“信鸽”仿生飞行器的时速．18．如图①，点O 为矩形ABCD 对角线AC 的中点，1AB =，AD =AC 将矩形剪开得到ADC △与A BC ''△，将AB C ''△绕点O 逆时针旋转()0120αα︒<≤，记BC '与OC的交点为P ，如图②．(1)①在图②中，连结OB OD BD ，，，则OBD V 的形状为__________；A C BD；②连结A C'，求证：'=(2)当OPC'V为等腰三角形时，直接写出α的值．19．图①、图②均是55⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．(1)如图①，线段AB的端点均在格点上，以AB为边画一个四边形ABCD，使四边形ABCD为中心对称图形，顶点均在格点上且对称中心为点O；(2)在（1）问的前提下，点M是线段AB上一点，在图①中你所画的四边形ABCD的边CD上画一点N，使得CN AM=．=．(3)如图②，点A，B是直线m上的两个点，请在直线n上作出线段CD，使得CD AB20．某社区通过公益讲座的方式普及垃圾分类知识．为了了解居民对相关知识的了解情况及讲座效果，请居民在讲座前和讲座后分别回答了一份垃圾分类知识问卷，从中随机抽取20名居民的两次问卷成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．这20名居民讲座前、讲座后成绩得分统计图如下：b．这20名居民讲座前、讲座后成绩的平均数、中位数、方差如下c ．结合讲座后成绩x ，被抽取的20名居民中有5人获得“参与奖”(80)x <，有7人获得“优秀奖”809()0x ≤<，有8人获得“环保达人奖”(90100)x ≤≤，其中成绩在8090x ≤<这一组的是：80 82 83 85 87 88 88根据以上信息，回答下列问题：(1)居民小张讲座前的成绩为80分，讲座后的成绩为95分，在图中用“○”圈出代表居民小张的点；(2)写出表中m 的值；(3)参加公益讲座的居民有160人，估计能获得“环保达人奖”的有_____人．21．甲、乙两个登山队分别以不变的行进速度同时攀登一座高为2.6千米的高山，已知两个登山队选择同一条登山路线．两个登山队的登山高度h （千米）与登山时间t （时）的部分函数图象如图所示．(1)=a __________；(2)当510t ≤≤时，求出乙登山队登山高度h 与登山时间t 的函数关系式；(3)若登山高度超过2千米时，这两个登山队继续按原行进速度同一路线登山，直接写出先到达山顶的那个登山队攀登这座山所用的时间．22．综合与实践课上，老师组织同学们开展以“矩形的折叠”为主题的数学活动，【探索发现】操作一：如图①，取一张矩形纸片()ABCD AD AB >．对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，在EF 上取一点H ，连结AH ，BH ，总有AH BH =．操作二：如图②，第二次折叠纸片ABCD ，使点A 落在EF 上的点N 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，把纸片展平，连接BN ，MN ，AN ，由AB BN =，AN BN =，知ABN V 是等边三角形．根据以上操作，除等边三角形ABN 的三个内角外，在不添加任何辅助线的情况下，写出图②中一个60︒的角：__________．【探究提升】如图③，延长MN 交BC 于点G ，求证：BMG △是等边三角形．【拓展应用】如图④，第三次折叠纸片ABCD ，使点D 落在EF 上的点Q 处，并使折痕经过点C ，得到折痕CP ，把纸片展平，连结PQ ，CQ ．若点Q 在点N 的左侧，22MP QN ==，则矩形ABCD 的面积为__________．23．在矩形ABCD 中，AB =3AD =，点P 在折线AD DC -上，以AP 为边向下作等边三角形APM ，射线PM 交线段BC 于点Q ，连接AQ ．(1)当点Q 与点B 重合时，线段PQ 的长为__________；(2)当点M 落在边BC 上时，求等边三角形APM 的面积；(3)当P 在边CD 上，APQ △是直角三角形时，求AQ 的长；(4)当点Q 将线段PM 分成两部分线段长度比为1:3时，直接写出tan PAQ ∠．24．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2y x bx =+（b 是常数）经过点()2,0-，顶点为点C ．点A 在抛物线上，横坐标为m ．点B 的坐标为()21,3m +，过点B 作BK 垂直该抛物线的对称轴于点K ．(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点C 坐标；(2)当点A 落在直线BK 上时，求点A 的坐标；(3)连接BA 并延长交抛物线对称轴于点D ，以DB 、BC 为邻边作DBCM Y ． ①当DBCM Y 是菱形时，求m 的值；②当点A 在对称轴左侧时，过DBCM Y 的顶点M 作MH CD 于点H ，若ADK △周长与CMH V 的周长比为23，直接写出所有满足条件的m 的值．。

2020年吉林省长春市东北师大附中九年级下学期二模数学试题

初三年级综合测试数学学科试卷考试时长：120分钟试卷分值：120分一、选择题(本大题共8小题，每题3分，共24分)1.如图，在数轴上，小手遮挡住的点表示的数可能是（）A. ﹣1.5B. ﹣2.5C. ﹣0.5D. 0.5 2.已知某细菌直径长约0.0000152米，那么该细菌的直径长用科学记数法可表示为（）A. 152×105米B. 1.52×10﹣5米C. ﹣1.52×105米D. 1.52×10﹣4米 3.如图是由4个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A 放到小正方体B 的正上方，则该几何体的（）A. 主视图会发生改变B. 俯视图会发生改变C. 左视图会发生改变D. 三种视图都会发生改变 4.不等式54x +>的解集为( )A. 1x <B. 1x >C. 1x <-D. 1x >-5.下列计算正确的是( )A. ()325a a =B. 23a a a ⋅=C. 221a a -÷=-D. ()2211a a -=- 6.点()4,3经过某种图形变换后得到点()4,3,B -这种图形变换可以是( )A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 绕原点逆时针旋转90D. 绕原点顺时针旋转907.某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB 绕点O 旋转到CD 的位置．已知4AO =米，若栏杆的旋转角27AOD ∠=，则栏杆端点A 升高的高度为( )A. 4sin 27米 B. 4sin 27米 C. 4cos 27米 D. 4tan 27米 8.（2016山西省）宽与长的比是51-（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD 、BC 的中点E 、F ，连接EF ：以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）A . 矩形ABFEB. 矩形EFCDC. 矩形EFGHD. 矩形DCGH二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)9.分解因式：2a ab -=_______________．10.若关于x 的一元二次方程210kx x -+=没有实数根，则k 的取值范围是____．11.颐和园坐落在北京西郊，是第一批全国重点文物保护单位之一．小万去颐和园参加实践活动时发现有的窗户造型是正八边形，如下图所示，则∠1＝__°．12.如图，矩形ABCD 的顶点A 落在MON ∠的边OM 上，B C 、落在边ON 上，且OA OC =.只用无刻度的直尺作MON ∠的平分线，小致的作法如下：连结AC BD 、交于点,E 作射线,OE 则射线OE 平分MON ∠.下面的几何性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线互相平分；③等腰三角形的“三线合一”，其中是小致作图依据的是____．(只填序号)13.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图象经过点()2,3,P 且与函数()20=>y x x的图象交于点(,)Q m n .若一次函数y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是____．14.如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A B 、两点，拱桥最高点C 到AB 的距离为4,12,,m AB m D E =为拱桥底部的两点，且//,DE AB 若DE 的长为18,m 则点E 到直线AB 的距离为____.m三、解答题(本大题共10小题，共78分)15.先化简(1+11x -)÷21x x -，再选择一个恰当的x 值代人并求值． 16.一个不透明盒子中放有三张除所标数字不同外其余均相同的卡片，卡片上分别标有数字1， 2， 3.从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，再次随机抽取一张一记下数字，请用画树状图(或列表)的方法，求第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率.17.学校征集校园便道地砖铺设的图形设计，小致用学校提供的若干个完全相同的小长方形模具(如图①)拼出一个大长方形和一个正方形(如图②、图③)，其中所拼正方形中间留下一个边长为3cm 小正方形的空间，求一个小长方形模具的面积．18.如图，在ABC 中，,AB AC O =是边AB 上一点．以O 为圆心，OB 长为半径作,O 交边BC 于点E ；过E 作O 的切线交边AC 于点F .求证：EF AC ⊥．19.伊利集团是中国规模最大、产品线最全的乳制品企业．综合实践小组的同学从网上搜集到如下一些伊利集团近几年的营业状况的资料，其中图1是2013-2018年伊利集团营业收入及净利润情况统计图，图2是2018年伊利集团各品类业务营业、收入比例情况统计图(数据来源：公司财报、中商产业研究院)．综合实践小组的同学结合统计图提出了如下问题，请你解答：（1）2018年，伊利集团营收及净利再次刷新行业记录，稳居亚洲乳业第一，这一年，伊利集团实现营业收入亿元，净利润亿元．（2）求2018年伊利集团“奶粉及奶制品”业务的营业收入(结果精确到0.1亿元)．（3）在2013-2018这6年中，伊利集团的净利比上一年增长额最多的是年；估计2019年伊利集团的净利润将比上一年增长亿元，并说明理由．20.图①、图②均是66⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，ABC 的顶点均在格点上，点D 为边AC 的中点．分别在图①、图②中ABC 的边AB 上确定点,P 并作出直线DP ，使ADP △与ABC相似．要求：（1）图①、图②中的点P 位置不同．（2）只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．21.根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放．在换水时需要经“排水一清冼一灌水”的过程．某游泳馆从早上7:00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的1.6倍，其中游泳池内剩余的水量()3y m 与换水时间上()x h 之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）该游泳池清洗需要小时．（2）求排水过程中的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（3）若该游泳馆在换水结束30分钟后才能对外开放，判断游泳爱好者小致能否在中午12:30进入该游泳馆游泳，并说明理由．22.数学兴趣活动课上，小致将等腰ABC 的底边BC 与直线l 重合．（1）如图①，在ABC 中，4,120AB AC BAC ==∠=︒，点P 在边BC 所在的直线l 上移动，根据“直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”，小致发现AP 的最小值是____________．（2）为进一步运用该结论，在（1）的条件下，小致发现，当AP 最短时，如图②，在ABP △中，作AD 平分,BAP ∠交BP 于点,D 点E F 、分别是边AD AP 、上的动点，连结,PE EF 、小致尝试探索PE EF +的最小值，小致在AB 上截取,AN 使得,AN AF =连结,NE 易证AEF AEN ≌，从而将PE EF +转化为,PE EN +转化到（1）的情况，则PE EF +的最小值为；（3）解决问题：如图③，在ABC 中，90,30,6ACB B AC ∠=︒∠==，点D 是边CB 上的动点，连结,AD 将线段AD 绕点A 顺时针旋转60，得到线段,AP 连结CP ，求线段CP 的最小值．23.如图，在ABC 中，9068ABC BC AB D ∠=︒==,,,为边AC 的中点．点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 运动到点B 停止，同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线BC CD -运动到点D 停止，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动．当点Q 不与ABC 的顶点重合时，过点Q 作//QM AB 交ABC 的边于点,M 以PM 和QM 为边作PMQN ，设点Q 的运动时间为t (秒)，PMQN 的面积为S (平方单位)．（1）当点Q 与点D 重合时，求t 的值；（2）用含t 的代数式表示QM 的长；（3）求S 与t 之间的函数关系式；（4）连结,BD 直接写出BD 将PMQN 分成面积相等的两部分时t 的值．24.在平面直角坐标系中，点()2,A n 在抛物线上，将抛物线222y x mx m =-+在点A 右侧的部分沿着直线y n =翻折，翻折后的图象与原抛物线剩余部分合称为图象G ．（1）当1m =时，①在如图的平面直角坐标系中画出图象G ；②直接写出图象G 对应函数的表达式；③当0x k ≤≤时，图象G 对应函数的最小值为1,求k 的取值范围．（2）当2n =-时，直接写出图象G 对应函数y 随x 增大而减小时x 的取值范围．（3）若图象G 上有且只有三个点到直线2y =距离为3，直接写出m 的值．初三年级综合测试数学学科试卷考试时长：120分钟试卷分值：120分一、选择题(本大题共8小题，每题3分，共24分)1.C2. B3.A4.D5.B6.A7.B8.D二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)9.分解因式：2a ab -=_______________．【答案】a （a ﹣b ）．10.若关于x 的一元二次方程210kx x -+=没有实数根，则k 的取值范围是____．【答案】14k > 11.颐和园坐落在北京西郊，是第一批全国重点文物保护单位之一．小万去颐和园参加实践活动时发现有的窗户造型是正八边形，如下图所示，则∠1＝__°．【答案】4512.如图，矩形ABCD 的顶点A 落在MON ∠的边OM 上，B C 、落在边ON 上，且OA OC =.只用无刻度的直尺作MON ∠的平分线，小致的作法如下：连结AC BD 、交于点,E 作射线,OE 则射线OE 平分MON ∠.下面的几何性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线互相平分；③等腰三角形的“三线合一”，其中是小致作图依据的是____．(只填序号)【答案】②③13.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图象经过点()2,3,P 且与函数()20=>y x x的图象交于点(,)Q m n .若一次函数y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是____．【答案】223m << 14.如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A B 、两点，拱桥最高点C 到AB 的距离为4,12,,m AB m D E =为拱桥底部的两点，且//,DE AB 若DE 的长为18,m 则点E 到直线AB 的距离为____.m【答案】5三、解答题(本大题共10小题，共78分)15.先化简(1+11x -)÷21x x -，再选择一个恰当的x 值代人并求值．解：原式=11(1)(1)()11x x x x x x-+-+-- =(1)(1)•1x x x x x +--=x+1 当x=2时，原式=x+1=2+1=3.16.一个不透明盒子中放有三张除所标数字不同外其余均相同的卡片，卡片上分别标有数字1， 2， 3.从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，再次随机抽取一张一记下数字，请用画树状图(或列表)的方法，求第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率.解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，其中第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的有3种结果， ∴第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率为3193=. 【点睛】本题考查了树状图的概率问题，掌握画树状图的方法、树状图的性质是解题的关键．17.学校征集校园便道地砖铺设的图形设计，小致用学校提供的若干个完全相同的小长方形模具(如图①)拼出一个大长方形和一个正方形(如图②、图③)，其中所拼正方形中间留下一个边长为3cm 小正方形的空间，求一个小长方形模具的面积．观察图②和图③可得：3532a b a b =⎧⎨+=⎩，解得：159a b =⎧⎨=⎩， ∴一个小长方形模具的面积为2159135cm ⨯=，答：一个小长方形模具的面积为2135cm ． 18.如图，在ABC 中，,AB AC O =是边AB 上一点．以O 为圆心，OB 长为半径作,O 交边BC 于点E ；过E 作O 的切线交边AC 于点F .求证：EF AC ⊥．连接,OE 如图，,OB OE =,B OEB ∴∠=∠,AB AC =,∴∠=∠B C∴∠=∠,OEB C∴//,OE AGEF为切线∴⊥,OE EF∴⊥．EF AC19.伊利集团是中国规模最大、产品线最全的乳制品企业．综合实践小组的同学从网上搜集到如下一些伊利集团近几年的营业状况的资料，其中图1是2013-2018年伊利集团营业收入及净利润情况统计图，图2是2018年伊利集团各品类业务营业、收入比例情况统计图(数据来源：公司财报、中商产业研究院)．综合实践小组的同学结合统计图提出了如下问题，请你解答：（1）2018年，伊利集团营收及净利再次刷新行业记录，稳居亚洲乳业第一，这一年，伊利集团实现营业收入亿元，净利润亿元．（2）求2018年伊利集团“奶粉及奶制品”业务的营业收入(结果精确到0.1亿元)．（3）在2013-2018这6年中，伊利集团的净利比上一年增长额最多的是年；估计2019年伊利集团的净利润将比上一年增长亿元，并说明理由．（1）由图1得：2018年，伊利集团实现营业收入795.5亿元，净利润64.4亿元，故答案为：795.5，64.4；⨯---≈81.1（亿元）；（2）“奶粉及奶制品”业务的营业收入为：795.5(183.2%0.3% 6.3%)（3）2014年净利比上一年增长额为60-49.4=10.6,亿元，2015年净利比上一年增长额21-60=-39亿元，2016年净利比上一年增长额为34.5-21=13.5亿元，2017年净利比上一年增长额为50.5-34.5=16亿元，2018年净利比上一年增长额为64.4-50.5=13.9亿元，∴净利比上一年增长额最多的是2017年；∵2013年到2015年数据发生突变，故参照2015年到2018年的数据进行估算可知，伊利集团近三年的净利润的增长额分别为13.5亿元，16亿元，13.9亿元，据此估计2019年伊利集团净利润的增长额为15亿元，故答案为：2017，15.的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，ABC的顶点均在格点上，点D 20.图①、图②均是66为边AC的中点．分别在图①、图②中ABC的边AB上确定点,P并作出直线DP，使ADP△与ABC 相似．要求：（1）图①、图②中的点P位置不同．（2）只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．解：（1）如图：找到格点N、M，连接NM交AB于点P，过P点和D点作直线PD，此时△APD∽△ACB.理由如下：找到格点N 、M 、Q ，连接NM 交AB 于点P ，连接NQ 交AB 于点T ，连接TP ，由图可知，∠NTP=∠NQM ，∠QNM=∠TNP ，∴△TNP ∽△QNM ， ∴16TP NT QM NQ ==， ∴16TP =， ∴113266AP =+=，∵AC ==D 为AC 的中点，∴2AD =，236AD AB ∴==， 13AP AC ==，在△APD 和△ACB 中，∠DAP=∠BAC ，AD AP AB AC ∴==， ∴△APD ∽△ACB.（2）如图：找到格点K ，L ，连接KL ，交AB 于点P ，过P 点和D 点作直线PD ，此时△ABC ∽△APD.理由如下：找到格点W 、G ，连接WG ，KW ，GL ，由图可知，KW ∥GL ，∴∠KPW=∠LPG ，∠KWP=∠LGP ，又∵KW=LG ，∴△KWG ≌LGP ，∴WP=GP ，∴P 为WG 的中点，∵AW+WP=BG+GP ，∴AP=BP ，∴P 为AB 的中点，∵D 点为AC 的中点，∴PD 为△ABC 的中位线，∴PD ∥BC ，∴△APD ∽△ABC.21.根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放．在换水时需要经“排水一清冼一灌水”的过程．某游泳馆从早上7:00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的1.6倍，其中游泳池内剩余的水量()3y m 与换水时间上()x h 之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）该游泳池清洗需要小时．（2）求排水过程中的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（3）若该游泳馆在换水结束30分钟后才能对外开放，判断游泳爱好者小致能否在中午12:30进入该游泳馆游泳，并说明理由．解：（1）2.7-1.5=1.2h ，（2）设排水过程中y 与x 之间的函数关系式为0 1.5)y kx b x =+≤≤（，由题意得函数图象经过点()()0,1200,1.5,0，∴12001.50b k b =⎧⎨+=⎩ 解得1200800b k =⎧⎨=-⎩∴y 与x 之间的函数关系式为80012000 1.5)y x x =-+≤≤（；（3）由题意得排水速度为1200÷1.5=800m 3/h ，∴灌水速度为800÷1.6=500 m 3/h ，∴灌水时间为1200÷500=2.4h ，所以对外开放时间为7+2.7+2.4+0.5=12.6＞12.5∴小致不能在中午12:30进入该游泳馆游泳．22.数学兴趣活动课上，小致将等腰ABC 的底边BC 与直线l 重合．（1）如图①，在ABC 中，4,120AB AC BAC ==∠=︒，点P 在边BC 所在的直线l 上移动，根据“直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”，小致发现AP 的最小值是____________．（2）为进一步运用该结论，在（1）的条件下，小致发现，当AP 最短时，如图②，在ABP △中，作AD 平分,BAP ∠交BP 于点,D 点E F 、分别是边AD AP 、上的动点，连结,PE EF 、小致尝试探索PE EF +的最小值，小致在AB 上截取,AN 使得,AN AF =连结,NE 易证AEF AEN ≌，从而将PE EF +转化为,PE EN +转化到（1）的情况，则PE EF +的最小值为；（3）解决问题：如图③，在ABC 中，90,30,6ACB B AC ∠=︒∠==，点D 是边CB 上的动点，连结,AD 将线段AD 绕点A 顺时针旋转60，得到线段,AP 连结CP ，求线段CP 的最小值．（1）如图，过点A 作⊥AP BC ，此时AP 的值最小．∵4,120AB AC BAC ==∠=︒，30ABC ∴∠=︒， 122AP AB ∴==，故答案为：2．（2）根据小致的思路作出图形，可知当PN AB ⊥时PE EF +的值最小，如图：∵30ABC ∠=︒，122AP AB ==， ∴23BP =，∵1122BP AP AB PN ⋅=⋅， ∴3PN =，故答案为：3．（3）如图3中，在AB 上取一点K ，使得AK AC =，连接CK ，DK ．90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，60CAK ∴∠=︒，PAD CAK ∴∠=∠，PAC DAK ∴∠=∠，PA DA =，CA KA =，()PAC DAK SAS ∴△≌△，PC DK ∴=，KD BC ⊥时，KD 的值最小，最小值为3，PC ∴的最小值为3．23.如图，在ABC 中，9068ABC BC AB D ∠=︒==,,,为边AC 的中点．点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 运动到点B 停止，同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线BC CD -运动到点D 停止，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动．当点Q 不与ABC 的顶点重合时，过点Q 作//QM AB 交ABC 的边于点,M 以PM 和QM 为边作PMQN ，设点Q 的运动时间为t (秒)，PMQN 的面积为S (平方单位)．（1）当点Q 与点D 重合时，求t 的值；（2）用含t 的代数式表示QM 的长；（3）求S 与t 之间的函数关系式；（4）连结,BD 直接写出BD 将PMQN 分成面积相等的两部分时t 的值．解：（1）9068ABC BC AB ∠=︒==,,∴由勾股定理可得：22228610AC AB BC =+=+=D 为边AC 的中点 ∴152CD AC == ∴6511BC CD +=+= ∴当点Q 与点D 重合时，111122t =÷=（2）当点Q 边BC 上时，此时，026t <<，即03t <<//QM ABCMQ CAB ∴△△CQ QM CB BA∴= 即6268t QM -= 6288863t QM t -∴=⋅=-+当点Q 在边CD 上时，此时，0265t <-<，即1132t << //QM ABCQM CAB ∴△△CQ QMCA AB ∴=即26108t QM-=2682481055t QM t -∴=⋅=-综上所述：88(03)382411(3)552t t QM t t ⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩．（3）当点Q 在边BC 上，即03t <<时，由（2）知883QM t =-+2816(8)21633S QM BQ t t t t ∴==-+=-+ 当点Q 在边CD 上，即1132t <<时，由（2）知82455QM t =-，CQM CAB △△ CQ CM CA CB∴= 即26106t CM -= 2661861055t CM t -∴=⋅=- 6186486()5555BM BC CM t t ∴=-=--=-+ 2824648485281152()()5555252525S QM BM t t t t ∴==--+=-+- 综上所述：221616(03)348528115211(3)2525252t t t S t t t ⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩．（4）以B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，建立如图所致平面直角坐标系，当点Q 在边BC 上时，由题设条件可知：(8,0)P t -+，(0,2)Q t ，(0,0)B ，(4,3)D -易得：PQ 中点E 的坐标为(4,)2t t -+直线BD 的解析式为34y x =- 若BD 将PMQN 分成面积相等的两部分，则此时点E 在直线BD 上，将(4,)2t E t -+代入34y x =-，得：3(4)42t t =--+ 解得：2411t =当点Q 在边CD 上时，由题设条件可知：(8,0)P t -+，824648(,)5555Q t t -+-+，(0,0)B ，(4,3)D - 易得：PQ 中点E 的坐标为38324(,)10555t t ---+ 直线BD 的解析式为34y x =- 若BD 将PMQN 分成面积相等的两部分，则此时点E 在直线BD 上，将38324(,)10555t t ---+代入34y x =-，得：324338()554105t t -+=--- 解得：4811t =24.在平面直角坐标系中，点()2,A n 在抛物线上，将抛物线222y x mx m =-+在点A 右侧的部分沿着直线y n =翻折，翻折后的图象与原抛物线剩余部分合称为图象G ．（1）当1m =时，①在如图的平面直角坐标系中画出图象G ；②直接写出图象G 对应函数的表达式；③当0x k ≤≤时，图象G 对应函数的最小值为1,求k 的取值范围．（2）当2n =-时，直接写出图象G 对应函数y 随x 增大而减小时x 的取值范围．（3）若图象G 上有且只有三个点到直线2y =的距离为3，直接写出m 的值．（1）①当1m =时，抛物线解析式为：222y x x -=+，则()2,2A ，因此翻折后的图象如图：②当2x ≤时为解析式为222y x x -=+，沿2y =翻折之后，开口向下，形状不变，故设翻折之后的解析式为：2y x bx c =-++，将点()2,2，()3,5代入可得：422935b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得22b c =⎧⎨=⎩， ∴当2x >时，222y x x =-++，故图象G 对应函数的表达式为：2222,222,2x x x y x x x ⎧-+≤=⎨-++>⎩③把1y =代入222y x x =-++得12x =±，∵1x >，12x ∴=+112k ∴≤≤+；（2）当2n =-时，原函数222y x x -=+的顶点坐标为()3,1-，故图象G 如图：根据图象可知y 随x 增大而减小时x 的取值范围为：2x ≤或3x ≥；（3）点()2,A n 在抛物线222y x mx m =-+上，故44224n m m m =-+=-+，翻折之前的顶点坐标为()2,2m m m -+，翻折之后的解析式为222y x mx m +=-+，翻折之后的顶点坐标为()2,2m m m +，①当点A 在对称轴右侧时，即2m <时：若直线2y =在点A 上方，则只需让点A 到直线2y =的距离为3即可，即()2243m --+=，解得：52m =（舍）；若直线2y =在点A 下方，且在翻折前顶点的上方，则需让222y x mx m =-+的顶点和点A 到直线2y =的距离一个刚好等于3，一个小于3即可，即()22423223m m m -+-=⎧⎪⎨--+<⎪⎩或()22423223m m m -+-<⎧⎪⎨--+=⎪⎩，解得：12m =-；若直线2y =在翻折前顶点的下方，则只需让翻折前顶点到直线2y =的距离 3即可，即2223m m -+-=，此时无解；②当点A 在对称轴左侧时，即2m >时：若直线2y =在翻折后顶点的上方，则只需让翻折后顶点到直线2y =的距离 3即可，即()2223m m -+=，解得1m =-（舍）；若直线2y =在点A 上方，且在翻折后顶点的下方，则需让222y x mx m =-+的顶点和点A 到直线2y =的距离一个刚好等于3，一个小于3即可，即()22243223m m m ⎧--+=⎨+-<⎩或()22243223m m m ⎧--+<⎨+-=⎩，解得：52m =；若直线2y =在点A 下方，则只需让点A 到直线2y =的距离为3即可，此时3m =；综上所述，m 的值为：512,,32．。

吉林省东北师范大学附中中考数学二模试卷(含解析)

2016年吉林省东北师范大学附中中考数学二模试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．﹣的绝对值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．12．为了促进义务教育办学条件均衡，2015年某市投入4800000元资金为部分学校添置实验仪器及体、音、美器材．4800000这个数用科学记数法表示为（）A．48×105B．4.8×106C．0.48×107D．4.8×1073．由6个完全相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（）A．B．C．D．4．方程2x2﹣5x+3=0的根的情况是（）A．有一个实数根 B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根5．如图，在四边形ABCD中，若∠1=∠2，则AD∥BC，理由是（）A．两直线平行，内错角相等B．两直线平行，同位角相等C．内错角相等，两直线平行D．同位角相等，两直线平行6．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x和y=ax+4相交于点A（m，3），则不等式﹣2x ＜ax+4的解集为（）A．x＜﹣B．x＜3 C．x＞﹣D．x＞37．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，点C再半圆上，如果∠ACB的大小为28°，点B的读数为30°，那么点A的读数应该为（）A．84° B．86° C．88° D．90°8．已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共18分）9．写出一个负无理数______．10．计算：（﹣4a3b）2=______．11．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，一定长为半径作圆弧，分别交AD、AB于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两弧交于点G；作射线AG，交边CD于点H，若AB=6，AD=4，则四边形ABCH的周长与三角形ADH的周长之差为______．12．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的直角顶点A在y轴的正半轴上，顶点B在第一象限，函数y=的图象与边OB交于点C，且点C为边OB的中点．若△AOB的面积为12，则k的值为______．13．如图，在平面直角坐标中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线l与⊙P相切于点A，若点P的坐标是（0，﹣5），则阴影部分的面积为______．14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，抛物线y=﹣x2+3bx+2b+经过B、C两点，则正方形OABC的周长为______．三、解答题（本大题10小题，共78分）15．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣1．16．在一个不透明的盒子中放有三张卡片，分别标记为1、2、3，每张卡片除标记不同外其他都相同，某同学第一次从盒子中随机抽出一张卡片，记下数字放回；第二次再随机抽取一张卡片，用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的数字都是1的概率．17．A、B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克，A型机器人搬运1000千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？18．如图，等边三角形ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，点F在BC延长线上，且CF=，求四边形DEFB的面积．19．如图，某湖中有一个小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛建一座与观光小道垂直的小桥PD，测得如下数据：AB=80.0m，∠PAB=45°，∠PBA=43°．求小桥PD的长．（结果精确到0.1m）【参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93】20．某校九年级有200名学生，为了向市团委推荐本年级一名学生参加团代会，按如下程序进行了民主投票，推荐的程序是：首先由全年级学生对六名候选人进行投票，每名学生只能给一名候选人投票，选出票数多的前三名；然后再对这三名候选人（记为甲、乙、丙）进行（1）请分别计算甲、乙、丙的得票数；（2）若规定每名候选人得一票记1分，将投票、笔试、面试三项得分按照2：5：3的比例计入每名候选人的总成绩，成绩最高的将被推荐，请通过计算说明甲、乙、丙哪名学生将被推荐．21．一条公路沿线上依次有A、B、C三地．甲、乙两车同时从B地出发．匀速行驶．乙车直接驶往C地．甲车先到A地取﹣物品后立即调转方向追赶乙车（甲车取物品的时间忽略不计）．已知两车之间的路程y（km）与甲车行驶时间x（h）的函数图象如图所示（1）求甲、乙两车的速度．（2）A、C两地的路程是______km．图中的t=______（3）求在乙车到达C地之前两车与B地距离相等时行驶的时间．22．【探究】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°CD是AB边上的中线，DE⊥BC于E．P是线段CB上一点，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，请猜想BC、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．【推广】若图中∠A的度数为α（0°＜α＜90°），点P在射线CB上（不与B、C重合），连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转2α，得到线段DF，连结BF，直接写出BC、BF、BP 三者之间的数量关系．23．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠A=45°，∠ADB=90°，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度向终点D运动．点G在射线BD上，且EG=2BE（点G在E上方），以EG 为对角线作正方形EFGH，设点E的运动时间为t（秒）．（1）用含t的代数式表示DG的长；（2）求点H落在AD上时t的值；（3）设正方形EFGH与平行四边形ABCD的重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（4）连结FH，直接写出运动过程中线段FH扫过的图形面积．24．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（﹣2，4），抛物线y=﹣+bx+c经过点A，将Rt△OAB绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△OCD，点C为点A的对应点，点E为抛物线y=﹣+bx+c于线段CD的交点．（1）用含有b的代数式表示c．（2）若抛物线y=﹣+bx+c与△OCD的各边共有两个交点，求b的取值范围．（3）在图中画出点E旋转前的对应点F，连结OF、EF，设由线段OF、FE、ED、DO首尾顺次连结组成的封闭图形的面积为S．①当直线EF∥OD时，求线段EF的长．②当S=6时，求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式．2016年吉林省东北师范大学附中中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．﹣的绝对值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．1【考点】绝对值．【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．【解答】解：∵|﹣|=，∴﹣的绝对值为．故选：C．2．为了促进义务教育办学条件均衡，2015年某市投入4800000元资金为部分学校添置实验仪器及体、音、美器材．4800000这个数用科学记数法表示为（）A．48×105B．4.8×106C．0.48×107D．4.8×107【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将4800000用科学记数法表示为：4.8×106．故选：B．3．由6个完全相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，右边一个小正方形，故选：B．4．方程2x2﹣5x+3=0的根的情况是（）A．有一个实数根 B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【考点】根的判别式；一元二次方程的解．【分析】把a=2，b=﹣5，c=3代入△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=2，b=﹣5，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选D．5．如图，在四边形ABCD中，若∠1=∠2，则AD∥BC，理由是（）A．两直线平行，内错角相等B．两直线平行，同位角相等C．内错角相等，两直线平行D．同位角相等，两直线平行【考点】平行线的判定．【分析】根据平行线的判定定理即可得出结论．【解答】解：∵∠1与∠2是内错角，∴若∠1=∠2，则AD∥BC．故选C．6．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x和y=ax+4相交于点A（m，3），则不等式﹣2x ＜ax+4的解集为（）A．x＜﹣B．x＜3 C．x＞﹣D．x＞3【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，再观察图象，写出直线y=﹣2x在直线y=ax+4的下方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：∵函数y=﹣2x过点A（m，3），∴﹣2m=3，解得：m=﹣，∴A（﹣，3），∴不等式﹣2x＜ax+4的解集为x＞﹣．故选C．7．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，点C再半圆上，如果∠ACB的大小为28°，点B的读数为30°，那么点A的读数应该为（）A．84° B．86° C．88° D．90°【考点】圆周角定理．【分析】连接OA、OB，如图，利用圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=56°，加上∠BOD=30°，于是得到∠AOD=∠AOB+∠BOD=86°，即点A的读数应该为86°．【解答】解：连接OA、OB，如图，∵点B的读数为30°，∴∠BOD=30°，∵∠AOB=2∠ACB=2×28°=56°，∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=56°+30°=86°，∴点A的读数应该为86°．故选B．8．已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据等边三角形，菱形，正方形，圆的性质，分析得到y随x的增大的变化关系，然后选择答案即可．【解答】解：A、等边三角形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在点A的对边上时，设等边三角形的边长为a，则y=（a＜x＜2a），符合题干图象；B、菱形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上时，都是先变速减小，再变速增加，题干图象不符合；C、正方形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上，先变速增加至∠A的对角顶点，再变速减小至另一顶点，题干图象不符合；D、圆，AP的长度，先变速增加至AP为直径，然后再变速减小至点P回到点A，题干图象不符合．故选：A．二、填空题（每小题3分，共18分）9．写出一个负无理数﹣．【考点】无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：写出一个负无理数﹣，故答案为：﹣．10．计算：（﹣4a3b）2= 16a6b2．【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】利用幂的乘方与积的乘方性质求解即可求得答案，注意幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．【解答】解：（﹣4a3b）2=（﹣4）2•（a3）2•b2=16a6b2．故答案为：16a6b2．11．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，一定长为半径作圆弧，分别交AD、AB于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两弧交于点G；作射线AG，交边CD于点H，若AB=6，AD=4，则四边形ABCH的周长与三角形ADH的周长之差为 4 ．【考点】平行四边形的性质．【分析】根据作图过程可得得AG平分∠DAB；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAH=∠DHA，进而得到AD=DH，从而得到△ADH是等腰三角形，进而可求出四边形ABCH 的周长与三角形ADH的周长之差．【解答】解：∵AG平分∠DAB，∴∠DAH=∠BAH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠DHA=∠BAH，∴∠DAH=∠DHA，∴AD=DH=4，∴四边形ABCH的周长与三角形ADH的周长之差=6+4+2﹣4﹣4=4，故答案为：4．12．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的直角顶点A在y轴的正半轴上，顶点B在第一象限，函数y=的图象与边OB交于点C，且点C为边OB的中点．若△AOB的面积为12，则k的值为 6 ．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，由此可知△ODC∽△OEB，CD ∥BE，结合△AOB为直角三角形可得出四边形OEBA为矩形，从而得出“BE=AO，AB=OE”，再由点C为线段OB的中点，即可得出“BE=2CD，OE=2OD”，结合三角形的面积公式以及反比例函数系数k的几何意义即可得出|k|=6，结合反比例函数在第一象限内有图象即可得出结论．【解答】解：过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．∵CD⊥x轴，BE⊥x轴，∴△ODC∽△OEB，CD∥BE．∵△AOB为直角三角形，∴∠OAB=90°=∠AOE，∴AB∥OE，∴四边形OEBA为矩形，∴BE=AO，AB=OE．又∵点C为线段OB的中点，∴BE=2CD，OE=2OD．∵S△AOB=AO•AB=BE•OE=•（2CD）•（2OD）=4S△OCD=12，∴S△OCD=3=|k|，解得：|k|=6．∵反比例函数图象有一部分在第一象限内，∴k=6．故答案为：6．13．如图，在平面直角坐标中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线l与⊙P相切于点A，若点P的坐标是（0，﹣5），则阴影部分的面积为25﹣．【考点】切线的性质；扇形面积的计算．【分析】由点P的坐标可求得圆的半径，然后根据阴影部分的面积=正方形的面积﹣扇形OPA 的面积求解即可．【解答】解：如图所示；连接PA．∵l∥y轴，∴∠B=90°．∵l与⊙P相切，∴PA⊥BA．∴∠PAB=90°．∴∠BOP=∠PAB=∠OBA=90°．∴四边形OBAP是矩形．∵OP=PA，∴四边形OBAP为正方形．∴∠OPA=90°．∴阴影部分的面积=正方形OBAP的面积﹣扇形OPA的面积=25﹣×π×52=25﹣．14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，抛物线y=﹣x2+3bx+2b+经过B、C两点，则正方形OABC的周长为8 ．【考点】二次函数的性质．【分析】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴直线x=﹣，据此根据抛物线的对称性得到OA的表达式，再根据坐标轴上点的坐标特征可求C点坐标，从而得到OC的表达式，再根据正方形的性质得到OA=OC，依此可得关于b的方程，解方程可求b的值，进一步可求OC 的长，再根据正方形的周长公式：C=4a即可求解．【解答】解：抛物线y=﹣x2+3bx+2b+的对称轴直线x=，则OA=3b，当x=0时，y=2b+，则OC=2b+，则3b=2b+，解得b=，∴OA=3b=2，∴2×4=8．故正方形OABCD的周长为8．故答案为：8．三、解答题（本大题10小题，共78分）15．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣1．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=÷=×=a+1．当a=﹣1时，原式=﹣1+1=．16．在一个不透明的盒子中放有三张卡片，分别标记为1、2、3，每张卡片除标记不同外其他都相同，某同学第一次从盒子中随机抽出一张卡片，记下数字放回；第二次再随机抽取一张卡片，用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的数字都是1的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次抽出的卡片上的数字都是1的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的数字都是1的结果数为1，所以两次抽出的卡片上的数字都是1的概率=．17．A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20千克，A 型机器人搬运1000千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？【考点】分式方程的应用．【分析】工作效率：设A 型机器人每小时搬运化工原料x 千克，则B 型机器人每小时搬运（x ﹣20）千克；工作量：A 型机器人搬运1000千克，B 型机器人搬运800千克；工作时间就可以表示为：A 型机器人所用时间=，B 型机器人所用时间=，由所用时间相等，建立等量关系．【解答】解：设A 型机器人每小时搬运化工原料x 千克，则B 型机器人每小时搬运（x ﹣20）千克，依题意得：．解这个方程得：x=100．经检验x=100是方程的解，所以x ﹣20=80．答：A 、B 两种机器人每小时分别搬运化工原料100千克和80千克．18．如图，等边三角形ABC 的边长是2，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，点F 在BC 延长线上，且CF=，求四边形DEFB 的面积．【考点】等边三角形的性质．【分析】由三角形的中位线定理得到DE=CF ，DE ∥CF ，证得四边形DEFC 是平行四边形，即可证得S △ECF =S △DEC =S △ADE ，即可证得S 四边形DEFB =S △ABC ，求得△ABC 的面积即可．【解答】解：∵点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE=BC ，DE ∥BF ，∵CF=，∴DE=CF，DE∥CF，∴四边形DEFC是平行四边形，∴S△ECF=S△DEC=S△ADE，∵△ABC是等边三角形，D是AB的中点，∴CD⊥AB，AD=BD=1，BC=2，∴DC==∴S四边形DEFB=S△ABC=×2×=．19．如图，某湖中有一个小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛建一座与观光小道垂直的小桥PD，测得如下数据：AB=80.0m，∠PAB=45°，∠PBA=43°．求小桥PD的长．（结果精确到0.1m）【参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93】【考点】解直角三角形的应用．【分析】设PD=xm，证出△PAD是等腰直角三角形，得出AD=PD=x，在Rt△PBD中，由三角函数得出DB=，由题意得出方程，解方程即可．【解答】解：设PD=xm，∵PD⊥AB，∴∠ADP=∠BDP=90°，在Rt△PAD中，∠PAD=45°，∴AD=PD=x，在Rt△PBD中，tan∠PBD=，∴DB==，∵AB=80，∴x+=80，解得：x≈38.5，即PD=38.5米；答：小桥PD的长为38.5米．20．某校九年级有200名学生，为了向市团委推荐本年级一名学生参加团代会，按如下程序进行了民主投票，推荐的程序是：首先由全年级学生对六名候选人进行投票，每名学生只能给一名候选人投票，选出票数多的前三名；然后再对这三名候选人（记为甲、乙、丙）进行请你根据以上信息解答下列问题：（1）请分别计算甲、乙、丙的得票数；（2）若规定每名候选人得一票记1分，将投票、笔试、面试三项得分按照2：5：3的比例计入每名候选人的总成绩，成绩最高的将被推荐，请通过计算说明甲、乙、丙哪名学生将被推荐．【考点】加权平均数；扇形统计图．【分析】（1）由题意可分别求得三人的得票数，甲的得票数=200×34%，乙的得票数=200×30%，丙的得票数=200×28%；（2）由题意可分别求得三人的得分，比较得出结论．【解答】解：（1）甲的票数是：200×34%=68（票），乙的票数是：200×30%=60（票），丙的票数是：200×28%=56（票）；（2）甲的平均成绩：分，乙的平均成绩：分，丙的平均成绩：分，∵乙的平均成绩最高，∴应该录取乙．21．一条公路沿线上依次有A、B、C三地．甲、乙两车同时从B地出发．匀速行驶．乙车直接驶往C地．甲车先到A地取﹣物品后立即调转方向追赶乙车（甲车取物品的时间忽略不计）．已知两车之间的路程y（km）与甲车行驶时间x（h）的函数图象如图所示（1）求甲、乙两车的速度．（2）A、C两地的路程是300 km．图中的t=（3）求在乙车到达C地之前两车与B地距离相等时行驶的时间．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）设甲车的速度为xkm/h，乙车的速度为ykm/h，根据函数图象上点的坐标，结合数量关系即可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）根据函数图象找出乙车到C地的时间，以及甲车到A地的时间，依据“路程=速度×时间”分别求出A、B两地和B、C两地的路程，结合题意即可得出结论；再由“时间=路程÷速度”即可算出甲车到达C地的时间（即t）；（3）设在乙车到达C地之前两车与B地距离相等时行驶的时间为mh，根据甲、乙两车运动的过程结合数量关系即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）设甲车的速度为xkm/h，乙车的速度为ykm/h，依题意得：，解得：．答：甲车的速度为90km/h，乙车的速度为60km/h．（2）观察函数图象可知：当x=3.5时，乙车到达C地；当x=1时，甲车到达A地．∴A、B两地的路程为90×1=90（km），B、C两地的路程为60×3.5=210（km），A、C两地的路程为90+210=300（km）．甲到C地的时间为t=1+300÷90=（h）．故答案为：300；．（3）设在乙车到达C地之前两车与B地距离相等时行驶的时间为mh，依题意得：90×2﹣90m=60m，解得：m=．答：在乙车到达C地之前两车与B地距离相等时行驶的时间为h．22．【探究】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°CD是AB边上的中线，DE⊥BC于E．P是线段CB上一点，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，请猜想BC、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．【推广】若图中∠A的度数为α（0°＜α＜90°），点P在射线CB上（不与B、C重合），连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转2α，得到线段DF，连结BF，直接写出BC、BF、BP 三者之间的数量关系．【考点】旋转的性质．【分析】【探究】求出DC=DB，∠CDB=60°，根据旋转的性质求出∠PDF=60°，DP=DF，求出∠CDP=∠BDF，根据SAS推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质求出CP=BF，根据线段的和差即可得到结论；【推广】当P在线段BC上时，BF+BP=BC，当P在BC延长线上时，BF﹣BP=BC，①如图1，求出DC=DB=AD，DE∥AC，推出∠A=∠ACD=α，∠EDB=∠A=α，BC=2CE，根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP=BF，根据线段的和差即可得到结论；②如图2，求出DC=DB=AD，DE∥AC，求出∠FDB=∠CDP=2α+∠PDB，DP=DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP=BF，根据线段的和差即可得到即可．【解答】解：【探究】DE、BF、BP三者之间的数量关系是BF+BP=BC，理由如下：∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∠A=30°∴DC=DB，∠CDB=60°．∵线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，∴∠PDF=60°，DP=DF．又∵∠CDB=60°，∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB，∴∠CDP=∠BDF，在△DCP和△DBF中，∴△DCP≌△DBF，∴CP=BF，∵CP=BC﹣BP，∴BF+BP=BC；【推广】当P在线段BC上时，BF+BP=BC，当P在BC延长线上时，BF﹣BP=BC，理由是：①如图1，∵∠ACB=90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A=α，∴DC=DB=AD，DE∥AC，∴∠A=∠ACD=α，∠EDB=∠A=α，BC=2CE，∴∠BDC=∠A+∠ACD=2α，∵∠PDF=2α，∴∠FDB=∠CDP=2α﹣∠PDB，∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，∴DP=DF，在△DCP和△DBF中，，∴△DCP≌△DBF，∴CP=BF，∵CP=BC﹣BP，∴BF+BP=BC，②当P在BC延长线上时，BF﹣BP=BC，如图2，∵∠ACB=90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A=α，∴DC=DB=AD，DE∥AC，∴∠A=∠ACD=α，∠EDB=∠A=α，BC=2CE，∴∠BDC=∠A+∠ACD=2α，∵∠PDF=2α，∴∠FDB=∠CDP=2α+∠PDB，∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，∴DP=DF，在△DCP和△DBF中，，∴△DCP≌△DBF，∴CP=BF，∵CP=BC+BP，∴BF﹣BP=BC．23．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠A=45°，∠ADB=90°，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度向终点D运动．点G在射线BD上，且EG=2BE（点G在E上方），以EG 为对角线作正方形EFGH，设点E的运动时间为t（秒）．（1）用含t的代数式表示DG的长；（2）求点H落在AD上时t的值；（3）设正方形EFGH与平行四边形ABCD的重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（4）连结FH，直接写出运动过程中线段FH扫过的图形面积．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由于点E在射线BD上移动，所以点G有两种情况：①点G在线段BD上，②点G在BD的延长线上；（2）正方形EFGH与平行四边形ABCD的重叠部分图形共有三种情况，需要分别计算出点H 在AD上、点G与点D重合、点E与D重合所对应的t值；（3）线段FH扫过的图形为△BHF，所以当点E与点D重合时，计算出△BHF的面积即可．【解答】解：（1）由题意知：△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，由勾股定理可知：BD=4，当点G在线段BD上时，DG=4﹣3t，当点G在线段BD的延长线上时，DG=3t﹣4；（2）在等腰直角△DHE中，DE=4﹣t∴DH=DE=4﹣t，在等腰直角△DHG中，DG=3t﹣4，∴DH=DG=3t﹣4∴4﹣t=3t﹣4∴t=2；（3）当点G与点D重合时，此时，BE+EG=BD∴t+2t=4∴t=，当点H在AD上时，由（2）可知：t=2，当点E与D重合时，此时，BE=BD=4∴t=4，如图2，当0≤t≤时，此时，HE=EG=t，∴S=HE2=2t2，如图3，当时，此时，HE=GE=t，DE=4﹣t，DG=3t﹣4正方形EFGH的面积为：HE2=2t2，∴S=2t2﹣（3t﹣4）2﹣ [+t][ t﹣]=t2+10t﹣4，如图4，当2＜t≤4时，此时，DE=4﹣t，∴S=+（4﹣t）2=t2﹣6t+12，（4）当点E到达点D时，连接BH，BF，∴线段FH扫过的图形为△BHF，此时，GD=HF=8，BD=4，∴△BHF的面积为：×8×8=32．24．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（﹣2，4），抛物线y=﹣+bx+c经过点A，将Rt△OAB绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△OCD，点C为点A的对应点，点E为抛物线y=﹣+bx+c于线段CD的交点．（1）用含有b的代数式表示c．（2）若抛物线y=﹣+bx+c与△OCD的各边共有两个交点，求b的取值范围．（3）在图中画出点E旋转前的对应点F，连结OF、EF，设由线段OF、FE、ED、DO首尾顺次连结组成的封闭图形的面积为S．①当直线EF∥OD时，求线段EF的长．②当S=6时，求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）首先由旋转的性质，可求得A（﹣2，0），C（0，2），D（4，2），然后由抛物线y=﹣+bx+c经过点A，代入求得答案；（2）分别求得抛物线y=﹣+bx+c过原点与过D点时的b的取值，继而求得b的取值范围；（3）①首先过点E作EH⊥OD，垂足为H，设EH=m，易得△EOF为等腰直角三角形，△EOH 为等腰直角三角形，△DEH∽△DOC，则可求得OD=3m，继而求得m的值，则可求得答案；②首先设E点横坐标为a，易得方程（a2+4）+×2（4﹣a）=6，继而求得答案．【解答】解：（1）由题意可得：A（﹣2，0），C（0，2），D（4，2），∵抛物线经过点A，∴﹣×4﹣2b+c=0，解得：c=2b+2；（2）抛物线经过原点，c=0，2b+2=0，解得：b=﹣1，∵抛物线经过点D，则﹣×16+4b+2b+2=2，解得：b=，∴﹣1＜b＜；（3）①过点E作EH⊥OD，垂足为H，设EH=m，∵△EOF为等腰直角三角形，∴∠FEO=45°，∵EF∥OD，∴∠EOD=45°，在等腰直角△OEH中，EH=OH=m，∵∠EHD=∠OCD=90°，∠D是公共角，∴△DEH∽△DOC，∴EH：DH=OC：CD=2：4，∴Rt△EDH中，DH=2EH=2m，∴OD=3m=2，∴m=，∴EF=OE=2OH=；②设E点横坐标为a，则S=S△OEF+S△ODE=（a2+4）+×2（4﹣a）=+（4﹣a）=6，解得：a=0或2，∴点E的坐标为：（0，2）或（2，2），代入抛物线得到：y=﹣x2+2，y=﹣x2+x+3．。

2024年吉林省吉林市中考二模考试数学试题

2024年吉林省吉林市中考二模考试数学试题一、单选题1．下列各数中是无理数的是（）A ．1-B ．0C ．227D ．π2．下列四种体育用球的主视图、左视图和俯视图都相同的是（）A ．羽毛球B ．乒乓球C ．橄榄球D ．冰球 3．如图，直线,a b 被直线c 所截，123∠=∠=∠．下列说法错误的是（）A ．190∠=︒B ．b c ⊥C ．a b ∥D ．a b ⊥r r4．下列各式运算结果为6a 的是（）A ．24a a +B ．23a a ⋅C ．7a a ÷D ．()24a 5．台湾省，简称“台”，是中华人民共和国省级行政区，省会为台北市．在地图上如果把城市看作一点，下列城市与台北市之间的距离最大的是（）A ．吉林市B ．西安市C ．海口市D ．福州市 6．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时 1 斤＝16 两，故有“半斤八两”这个成语）．设总共有 x 个人，根据题意所列方程正确的是（）A ．7x - 4 = 9x +8B ．7x +4 = 9x -8C ．4879x x +-=D ．4879x x -+=二、填空题7．比较大小：20.24︒2024¢°（填“>”“<”或“=”）．8．若关于x 和y 的单项式5m x y 与25n x y -是同类项，则m n -=．9．不等式组()21316x x x +>⎧⎨-≤⎩的解集为． 10．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒．按以下步骤作图：①分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧交于,E F 两点；②作直线EF 交AB 于点G ；③连接CG ．若12AC =，5BC =，则CG =．11．《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》是唐代大诗人李白的诗作，笑笑默写该诗如图所示．如果用()1,4表示“杨”字的位置，那么图中错别字的位置表示为．12．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”的美誉，函数[]y x =称为取整函数，也称高斯函数，即[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[0.6]1,[2]2-=-=，则⎡-=⎣．13．构建几何图形解决代数问题体现的是数形结合思想．如图，在Rt ABC V 中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒．延长线段CB 到点D ，使BD AB =，连接AD ，可得15D ∠=︒，所以75CAD ∠=︒．利用此图形可以得出tan 752︒=通过类比这种方法，可以得出tan 67.5︒=．14．如图，在扇形OAB 中，OC 平分AOB ∠交»AB 于点C ，点D 为半径OA 上一动点，连接BD ，CD ．若40,9AOB OB ∠=︒=，则阴影部分图形周长的最小值为（结果保留π）．三、解答题15．先化简，再求值：2(2)(2)(2)x y x y x y +-+-，其中14x =，1y =-． 16．如图，AC 和BD 相交于点O ，OA OC =，OB OD =，求证：A C ∠=∠．17．为了提高教育教学质量，吉林市某中学数学教研组召开了一次教研工作会．在如图所示的场地里摆放了16把椅子，每个方框代表一把椅子，横为排，竖为列，其中圆点表示已有10位老师入座，又有郝老师和所老师两位老师随机入座．根据会议安排，郝老师需要坐第二排，所老师需要坐第三排．假设这两位老师在每一排选择座位的可能性相同，请用画树状图或列表法求两位老师刚好坐同一列的概率．18．根据图中两姐妹的对话记录，求姐姐购买一部华为手机2MateX 的预算为多少元？19．某款亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．该台灯的电流I （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)求台灯的电流(A)I 关于电阻()R Ω的函数解析式．(2)当35204400R ≤≤时，求I 的取值范围．20．如图1、图2均是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，矩形ABCD 的顶点均在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺画图，不要求写画法．(1)在图1中，在CD 上找一点M ，连接BM ，使得BM AB =，(2)在图2中，在CD 上找一点N ，连接AN BN ，，使得BN 平分ANC ∠．21．如图1是汽车内常备的千斤顶，图2是它的平面示意图，四边形ABCD 是菱形，中间通过螺杆BD 连接，转动手柄可改变线段BD 的长度，同时改变ADC ∠的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即点A 与点C 之间的距离）．经测量，20cm AD =．(1)当20ADC ∠=︒时，求AC 的长（结果保留整数）．(2)ADC ∠从20︒增加到60︒时，这个千斤顶高度升高了______cm （结果保留整数）．（参考数据：sin100.17︒≈，cos100.98︒≈，tan100.18︒≈）22．小婷利用统计知识分析《春秋经传引得》《三国志》《汉书》《后汉书》《史记》五本古文经典和某期现代汉语文本《人民日报》的词汇长度、词汇数量（单位：个）分布情况，研究古人与现代人在撰写文章时的用词习惯，由于十字词以上的词汇数量过少，所以不做研究．下面给出了部分信息：a ．五本古文经典的词汇长度折线图：b ．五本古文经典的词汇数量扇形图：c ．五本古文经典和《人民日报》的词汇长度条形图：根据以上信息，回答下列问题：(1)五本古文经典中词汇长度数量最多的是______字词，其次是三字词．(2)《后汉书》共出现词汇19036个，计算五本古文经典的词汇数量总数为多少个．(3)通过分析古今的词汇长度、词汇数量分布情况，说明古人与现代人在撰写文章时用词习惯的共同点（写出一条即可）．23．随着科技的进步，传统的人工生产方式开始向自动化和智能化转变．某工厂工人每日上下午各工作3小时，中间休息2小时．假设每名工人和每台机器人工作时的效率不变，一台机器人每日工作量1y （件），一名工人每日工作量2y （件）分别与机器人工作时间x （小时）之间的函数关系如图所示．(1)机器人的工作效率为______件/小时．(2)当58x ≤≤时，求2y 关于x 的函数解析式．(3)当8x =时，一台机器人比一名工人多生产______件产品．24．如图，在等腰直角三角形ABC 中，904cm A AB ∠=︒=，，动点E F ，分别从点A ，B 同时出发，点E 沿折线A C B →→向终点B 运动，在AC 上的速度为2cm/s ，在CB 上的速度为，点F 以1cm/s 的速度沿线段BA 向终点A 运动，连接EF ，BE ．设运动时间为(s)x ，BEF △的面积为()()2cm 0y y >．(1)AE 的长为______cm （用含x 的代数式表示）．(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围．(3)当BEF △为钝角三角形时，直接写出x 的取值范围．25．如图，四边形ABCD 是边长为5正方形，线段AB 绕点A 顺时针旋转到AM 处，旋转角为()090αα︒<<︒，连接BM ，点N 在射线BM 上，连接CN ，使C N B C =，连接DM ，DN ．(1)①当20α=︒时，DCN ∠=______︒．②DCN ∠=______（用含有α的代数式表示）．(2)求证：MN （可直接利用问题（1）中②的结论）．(3)连接CM ，当CM BN ⊥时，直接写出DM 的长．26．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2y x bx c =-++与y 轴交于点C ，与x 轴交于()()1,0,3,0A B -两点，连接BC ．点Q 为线段BC 上方抛物线上任意一点，连接AQ 交BC 于点P ，以点P 为圆心作圆．(1)求抛物线的解析式及点C 的坐标．(2)当点B 和点C 同时在P e 上时． ①直接写出点O 与P e 的位置关系． ②求点Q 的坐标．(3)当点Q 在P e 上，且PQ AP的值最大时，直接写出连接点A 与P e 上各点的所有线段中，最短线段的长度．。

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2016年吉林省东北师范大学附中中考数学二模试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．﹣的绝对值为（）A．﹣2 B．﹣C．D．12．为了促进义务教育办学条件均衡，2015年某市投入4800000元资金为部分学校添置实验仪器及体、音、美器材．4800000这个数用科学记数法表示为（）A．48×105B．4.8×106C．0.48×107D．4.8×1073．由6个完全相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（）A．B． C． D．4．方程2x2﹣5x+3=0的根的情况是（）A．有一个实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根5．如图，在四边形ABCD中，若∠1=∠2，则AD∥BC，理由是（）A．两直线平行，内错角相等B．两直线平行，同位角相等C．内错角相等，两直线平行D．同位角相等，两直线平行6．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x和y=ax+4相交于点A（m，3），则不等式﹣2x＜ax+4的解集为（）A．x＜﹣B．x＜3 C．x＞﹣D．x＞37．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，点C再半圆上，如果∠ACB的大小为28°，点B的读数为30°，那么点A的读数应该为（）A．84°B．86°C．88°D．90°8．已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共18分）9．写出一个负无理数______．10．计算：（﹣4a3b）2=______．11．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，一定长为半径作圆弧，分别交AD、AB于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两弧交于点G；作射线AG，交边CD于点H，若AB=6，AD=4，则四边形ABCH的周长与三角形ADH的周长之差为______．12．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的直角顶点A在y轴的正半轴上，顶点B在第一象限，函数y=的图象与边OB交于点C，且点C为边OB的中点．若△AOB的面积为12，则k的值为______．13．如图，在平面直角坐标中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线l与⊙P相切于点A，若点P的坐标是（0，﹣5），则阴影部分的面积为______．14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，抛物线y=﹣x2+3bx+2b+经过B、C两点，则正方形OABC的周长为______．三、解答题（本大题10小题，共78分）15．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣1．16．在一个不透明的盒子中放有三张卡片，分别标记为1、2、3，每张卡片除标记不同外其他都相同，某同学第一次从盒子中随机抽出一张卡片，记下数字放回；第二次再随机抽取一张卡片，用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的数字都是1的概率．17．A、B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克，A型机器人搬运1000千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？18．如图，等边三角形ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，点F在BC延长线上，且CF=，求四边形DEFB的面积．19．如图，某湖中有一个小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛建一座与观光小道垂直的小桥PD，测得如下数据：AB=80.0m，∠PAB=45°，∠PBA=43°．求小桥PD的长．（结果精确到0.1m）【参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93】20．某校九年级有200名学生，为了向市团委推荐本年级一名学生参加团代会，按如下程序进行了民主投票，推荐的程序是：首先由全年级学生对六名候选人进行投票，每名学生只能给一名候选人投票，选出票数多的前三名；然后再对这三名候选人（记为甲、乙、丙）进行笔试和面试，两个程序的结果统计如下：试项目测试成绩/分甲乙丙笔试92 90 95面试85 95 80请你根据以上信息解答下列问题：（1）请分别计算甲、乙、丙的得票数；（2）若规定每名候选人得一票记1分，将投票、笔试、面试三项得分按照2：5：3的比例计入每名候选人的总成绩，成绩最高的将被推荐，请通过计算说明甲、乙、丙哪名学生将被推荐．21．一条公路沿线上依次有A、B、C三地．甲、乙两车同时从B地出发．匀速行驶．乙车直接驶往C地．甲车先到A地取﹣物品后立即调转方向追赶乙车（甲车取物品的时间忽略不计）．已知两车之间的路程y （km）与甲车行驶时间x（h）的函数图象如图所示（1）求甲、乙两车的速度．（2）A、C两地的路程是______km．图中的t=______（3）求在乙车到达C地之前两车与B地距离相等时行驶的时间．22．【探究】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°CD是AB边上的中线，DE⊥BC于E．P是线段CB 上一点，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，请猜想BC、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．【推广】若图中∠A的度数为α（0°＜α＜90°），点P在射线CB上（不与B、C重合），连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转2α，得到线段DF，连结BF，直接写出BC、BF、BP三者之间的数量关系．23．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠A=45°，∠ADB=90°，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度向终点D运动．点G在射线BD上，且EG=2BE（点G在E上方），以EG为对角线作正方形EFGH，设点E的运动时间为t（秒）．（1）用含t的代数式表示DG的长；（2）求点H落在AD上时t的值；（3）设正方形EFGH与平行四边形ABCD的重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（4）连结FH，直接写出运动过程中线段FH扫过的图形面积．24．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（﹣2，4），抛物线y=﹣+bx+c经过点A，将Rt△OAB绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△OCD，点C为点A的对应点，点E为抛物线y=﹣+bx+c于线段CD的交点．（1）用含有b的代数式表示c．（2）若抛物线y=﹣+bx+c与△OCD的各边共有两个交点，求b的取值范围．（3）在图中画出点E旋转前的对应点F，连结OF、EF，设由线段OF、FE、ED、DO首尾顺次连结组成的封闭图形的面积为S．①当直线EF∥OD时，求线段EF的长．②当S=6时，求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式．2016年吉林省东北师范大学附中中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．﹣的绝对值为（）A．﹣2 B．﹣C．D．1【考点】绝对值．【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．【解答】解：∵|﹣|=，∴﹣的绝对值为．故选：C．2．为了促进义务教育办学条件均衡，2015年某市投入4800000元资金为部分学校添置实验仪器及体、音、美器材．4800000这个数用科学记数法表示为（）A．48×105B．4.8×106C．0.48×107D．4.8×107【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将4800000用科学记数法表示为：4.8×106．故选：B．3．由6个完全相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（）A．B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，右边一个小正方形，故选：B．4．方程2x2﹣5x+3=0的根的情况是（）A．有一个实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【考点】根的判别式；一元二次方程的解．【分析】把a=2，b=﹣5，c=3代入△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=2，b=﹣5，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选D．5．如图，在四边形ABCD中，若∠1=∠2，则AD∥BC，理由是（）A．两直线平行，内错角相等B．两直线平行，同位角相等C．内错角相等，两直线平行D．同位角相等，两直线平行【考点】平行线的判定．【分析】根据平行线的判定定理即可得出结论．【解答】解：∵∠1与∠2是内错角，∴若∠1=∠2，则AD∥BC．故选C．6．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x和y=ax+4相交于点A（m，3），则不等式﹣2x＜ax+4的解集为（）A．x＜﹣B．x＜3 C．x＞﹣D．x＞3【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，再观察图象，写出直线y=﹣2x在直线y=ax+4的下方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：∵函数y=﹣2x过点A（m，3），∴﹣2m=3，解得：m=﹣，∴A（﹣，3），∴不等式﹣2x＜ax+4的解集为x＞﹣．故选C．7．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，点C再半圆上，如果∠ACB的大小为28°，点B的读数为30°，那么点A的读数应该为（）A．84°B．86°C．88°D．90°【考点】圆周角定理．【分析】连接OA、OB，如图，利用圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=56°，加上∠BOD=30°，于是得到∠AOD=∠AOB+∠BOD=86°，即点A的读数应该为86°．【解答】解：连接OA、OB，如图，∵点B的读数为30°，∴∠BOD=30°，∵∠AOB=2∠ACB=2×28°=56°，∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=56°+30°=86°，∴点A的读数应该为86°．故选B．8．已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据等边三角形，菱形，正方形，圆的性质，分析得到y随x的增大的变化关系，然后选择答案即可．【解答】解：A、等边三角形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在点A的对边上时，设等边三角形的边长为a，则y=（a＜x＜2a），符合题干图象；B、菱形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上时，都是先变速减小，再变速增加，题干图象不符合；C、正方形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上，先变速增加至∠A的对角顶点，再变速减小至另一顶点，题干图象不符合；D、圆，AP的长度，先变速增加至AP为直径，然后再变速减小至点P回到点A，题干图象不符合．故选：A．二、填空题（每小题3分，共18分）9．写出一个负无理数﹣．【考点】无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：写出一个负无理数﹣，故答案为：﹣．10．计算：（﹣4a3b）2= 16a6b2．【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】利用幂的乘方与积的乘方性质求解即可求得答案，注意幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．【解答】解：（﹣4a3b）2=（﹣4）2•（a3）2•b2=16a6b2．故答案为：16a6b2．11．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，一定长为半径作圆弧，分别交AD、AB于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两弧交于点G；作射线AG，交边CD于点H，若AB=6，AD=4，则四边形ABCH的周长与三角形ADH的周长之差为 4 ．【考点】平行四边形的性质．【分析】根据作图过程可得得AG平分∠DAB；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAH=∠DHA，进而得到AD=DH，从而得到△ADH是等腰三角形，进而可求出四边形ABCH的周长与三角形ADH的周长之差．【解答】解：∵AG平分∠DAB，∴∠DAH=∠BAH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠DHA=∠BAH，∴∠DAH=∠DHA，∴AD=DH=4，∴四边形ABCH的周长与三角形ADH的周长之差=6+4+2﹣4﹣4=4，故答案为：4．12．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的直角顶点A在y轴的正半轴上，顶点B在第一象限，函数y=的图象与边OB交于点C，且点C为边OB的中点．若△AOB的面积为12，则k的值为 6 ．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，由此可知△ODC∽△OEB，CD∥BE，结合△AOB 为直角三角形可得出四边形OEBA为矩形，从而得出“BE=AO，AB=OE”，再由点C为线段OB的中点，即可得出“BE=2CD，OE=2OD”，结合三角形的面积公式以及反比例函数系数k的几何意义即可得出|k|=6，结合反比例函数在第一象限内有图象即可得出结论．【解答】解：过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．∵CD⊥x轴，BE⊥x轴，∴△ODC∽△OEB，CD∥BE．∵△AOB为直角三角形，∴∠OAB=90°=∠AOE，∴AB∥OE，∴四边形OEBA为矩形，∴BE=AO，AB=OE．又∵点C为线段OB的中点，∴BE=2CD，OE=2OD．∵S△AOB=AO•AB=BE•OE=•（2CD）•（2OD）=4S△OCD=12，∴S△OCD=3=|k|，解得：|k|=6．∵反比例函数图象有一部分在第一象限内，∴k=6．故答案为：6．13．如图，在平面直角坐标中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线l与⊙P相切于点A，若点P的坐标是（0，﹣5），则阴影部分的面积为25﹣．【考点】切线的性质；扇形面积的计算．【分析】由点P的坐标可求得圆的半径，然后根据阴影部分的面积=正方形的面积﹣扇形OPA的面积求解即可．【解答】解：如图所示；连接PA．∵l∥y轴，∴∠B=90°．∵l与⊙P相切，∴PA⊥BA．∴∠PAB=90°．∴∠BOP=∠PAB=∠OBA=90°．∴四边形OBAP是矩形．∵OP=PA，∴四边形OBAP为正方形．∴∠OPA=90°．∴阴影部分的面积=正方形OBAP的面积﹣扇形OPA的面积=25﹣×π×52=25﹣．14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，抛物线y=﹣x2+3bx+2b+经过B、C两点，则正方形OABC的周长为8 ．【考点】二次函数的性质．【分析】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴直线x=﹣，据此根据抛物线的对称性得到OA的表达式，再根据坐标轴上点的坐标特征可求C点坐标，从而得到OC的表达式，再根据正方形的性质得到OA=OC，依此可得关于b的方程，解方程可求b的值，进一步可求OC的长，再根据正方形的周长公式：C=4a 即可求解．【解答】解：抛物线y=﹣x2+3bx+2b+的对称轴直线x=，则OA=3b，当x=0时，y=2b+，则OC=2b+，则3b=2b+，解得b=，∴OA=3b=2，∴2×4=8．故正方形OABCD的周长为8．故答案为：8．三、解答题（本大题10小题，共78分）15．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣1．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=÷=×=a+1．当a=﹣1时，原式=﹣1+1=．16．在一个不透明的盒子中放有三张卡片，分别标记为1、2、3，每张卡片除标记不同外其他都相同，某同学第一次从盒子中随机抽出一张卡片，记下数字放回；第二次再随机抽取一张卡片，用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的数字都是1的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次抽出的卡片上的数字都是1的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的数字都是1的结果数为1，所以两次抽出的卡片上的数字都是1的概率=．17．A、B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克，A型机器人搬运1000千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？【考点】分式方程的应用．【分析】工作效率：设A型机器人每小时搬运化工原料x千克，则B型机器人每小时搬运（x﹣20）千克；工作量：A型机器人搬运1000千克，B型机器人搬运800千克；工作时间就可以表示为：A型机器人所用时间=，B型机器人所用时间=，由所用时间相等，建立等量关系．【解答】解：设A型机器人每小时搬运化工原料x千克，则B型机器人每小时搬运（x﹣20）千克，依题意得：．解这个方程得：x=100．经检验x=100是方程的解，所以x﹣20=80．答：A、B两种机器人每小时分别搬运化工原料100千克和80千克．18．如图，等边三角形ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，点F在BC延长线上，且CF=，求四边形DEFB的面积．【考点】等边三角形的性质．【分析】由三角形的中位线定理得到DE=CF，DE∥CF，证得四边形DEFC是平行四边形，即可证得S△ECF=S△DEC=S△ADE，即可证得S四边形DEFB=S△ABC，求得△ABC的面积即可．【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE=BC，DE∥BF，∵CF=，∴DE=CF，DE∥CF，∴四边形DEFC是平行四边形，∴S△ECF=S△DEC=S△ADE，∵△ABC是等边三角形，D是AB的中点，∴CD⊥AB，AD=BD=1，BC=2，∴DC==∴S四边形DEFB=S△ABC=×2×=．19．如图，某湖中有一个小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛建一座与观光小道垂直的小桥PD，测得如下数据：AB=80.0m，∠PAB=45°，∠PBA=43°．求小桥PD的长．（结果精确到0.1m）【参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93】【考点】解直角三角形的应用．【分析】设PD=xm，证出△PAD是等腰直角三角形，得出AD=PD=x，在Rt△PBD中，由三角函数得出DB=，由题意得出方程，解方程即可．【解答】解：设PD=xm，∵PD⊥AB，∴∠ADP=∠BDP=90°，在Rt△PAD中，∠PAD=45°，∴AD=PD=x，在Rt△PBD中，tan∠PBD=，∴DB==，∵AB=80，∴x+=80，解得：x≈38.5，即PD=38.5米；答：小桥PD的长为38.5米．20．某校九年级有200名学生，为了向市团委推荐本年级一名学生参加团代会，按如下程序进行了民主投票，推荐的程序是：首先由全年级学生对六名候选人进行投票，每名学生只能给一名候选人投票，选出票数多的前三名；然后再对这三名候选人（记为甲、乙、丙）进行笔试和面试，两个程序的结果统计如下：试项目测试成绩/分甲乙丙笔试92 90 95面试85 95 80请你根据以上信息解答下列问题：（1）请分别计算甲、乙、丙的得票数；（2）若规定每名候选人得一票记1分，将投票、笔试、面试三项得分按照2：5：3的比例计入每名候选人的总成绩，成绩最高的将被推荐，请通过计算说明甲、乙、丙哪名学生将被推荐．【考点】加权平均数；扇形统计图．【分析】（1）由题意可分别求得三人的得票数，甲的得票数=200×34%，乙的得票数=200×30%，丙的得票数=200×28%；（2）由题意可分别求得三人的得分，比较得出结论．【解答】解：（1）甲的票数是：200×34%=68（票），乙的票数是：200×30%=60（票），丙的票数是：200×28%=56（票）；（2）甲的平均成绩：分，乙的平均成绩：分，丙的平均成绩：分，∵乙的平均成绩最高，∴应该录取乙．21．一条公路沿线上依次有A、B、C三地．甲、乙两车同时从B地出发．匀速行驶．乙车直接驶往C地．甲车先到A地取﹣物品后立即调转方向追赶乙车（甲车取物品的时间忽略不计）．已知两车之间的路程y （km）与甲车行驶时间x（h）的函数图象如图所示（1）求甲、乙两车的速度．（2）A、C两地的路程是300 km．图中的t=（3）求在乙车到达C地之前两车与B地距离相等时行驶的时间．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）设甲车的速度为xkm/h，乙车的速度为ykm/h，根据函数图象上点的坐标，结合数量关系即可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）根据函数图象找出乙车到C地的时间，以及甲车到A地的时间，依据“路程=速度×时间”分别求出A、B两地和B、C两地的路程，结合题意即可得出结论；再由“时间=路程÷速度”即可算出甲车到达C地的时间（即t）；（3）设在乙车到达C地之前两车与B地距离相等时行驶的时间为mh，根据甲、乙两车运动的过程结合数量关系即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）设甲车的速度为xkm/h，乙车的速度为ykm/h，依题意得：，解得：．答：甲车的速度为90km/h，乙车的速度为60km/h．（2）观察函数图象可知：当x=3.5时，乙车到达C地；当x=1时，甲车到达A地．∴A、B两地的路程为90×1=90（km），B、C两地的路程为60×3.5=210（km），A、C两地的路程为90+210=300（km）．甲到C地的时间为t=1+300÷90=（h）．故答案为：300；．（3）设在乙车到达C地之前两车与B地距离相等时行驶的时间为mh，依题意得：90×2﹣90m=60m，解得：m=．答：在乙车到达C地之前两车与B地距离相等时行驶的时间为h．22．【探究】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°CD是AB边上的中线，DE⊥BC于E．P是线段CB 上一点，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，请猜想BC、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．【推广】若图中∠A的度数为α（0°＜α＜90°），点P在射线CB上（不与B、C重合），连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转2α，得到线段DF，连结BF，直接写出BC、BF、BP三者之间的数量关系．【考点】旋转的性质．【分析】【探究】求出DC=DB，∠CDB=60°，根据旋转的性质求出∠PDF=60°，DP=DF，求出∠CDP=∠BDF，根据SAS推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质求出CP=BF，根据线段的和差即可得到结论；【推广】当P在线段BC上时，BF+BP=BC，当P在BC延长线上时，BF﹣BP=BC，①如图1，求出DC=DB=AD，DE∥AC，推出∠A=∠ACD=α，∠EDB=∠A=α，BC=2CE，根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP=BF，根据线段的和差即可得到结论；②如图2，求出DC=DB=AD，DE∥AC，求出∠FDB=∠CDP=2α+∠PDB，DP=DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP=BF，根据线段的和差即可得到即可．【解答】解：【探究】DE、BF、BP三者之间的数量关系是BF+BP=BC，理由如下：∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∠A=30°∴DC=DB，∠CDB=60°．∵线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，∴∠PDF=60°，DP=DF．又∵∠CDB=60°，∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB，∴∠CDP=∠BDF，在△DCP和△DBF中，∴△DCP≌△DBF，∴CP=BF，∵CP=BC﹣BP，∴BF+BP=BC；【推广】当P在线段BC上时，BF+BP=BC，当P在BC延长线上时，BF﹣BP=BC，理由是：①如图1，∵∠ACB=90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A=α，∴DC=DB=AD，DE∥AC，∴∠A=∠ACD=α，∠EDB=∠A=α，BC=2CE，∴∠BDC=∠A+∠ACD=2α，∵∠PDF=2α，∴∠FDB=∠CDP=2α﹣∠PDB，∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，∴DP=DF，在△DCP和△DBF中，，∴△DCP≌△DBF，∴CP=BF，∵CP=BC﹣BP，∴BF+BP=BC，②当P在BC延长线上时，BF﹣BP=BC，如图2，∵∠ACB=90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A=α，∴DC=DB=AD，DE∥AC，∴∠A=∠ACD=α，∠EDB=∠A=α，BC=2CE，∴∠BDC=∠A+∠ACD=2α，∵∠PDF=2α，∴∠FDB=∠CDP=2α+∠PDB，∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，∴DP=DF，在△DCP和△DBF中，，∴△DCP≌△DBF，∴CP=BF，∵CP=BC+BP，∴BF﹣BP=BC．23．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠A=45°，∠ADB=90°，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度向终点D运动．点G在射线BD上，且EG=2BE（点G在E上方），以EG为对角线作正方形EFGH，设点E的运动时间为t（秒）．（1）用含t的代数式表示DG的长；（2）求点H落在AD上时t的值；（3）设正方形EFGH与平行四边形ABCD的重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（4）连结FH，直接写出运动过程中线段FH扫过的图形面积．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由于点E在射线BD上移动，所以点G有两种情况：①点G在线段BD上，②点G在BD的延长线上；（2）正方形EFGH与平行四边形ABCD的重叠部分图形共有三种情况，需要分别计算出点H在AD上、点G与点D重合、点E与D重合所对应的t值；（3）线段FH扫过的图形为△BHF，所以当点E与点D重合时，计算出△BHF的面积即可．【解答】解：（1）由题意知：△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，由勾股定理可知：BD=4，当点G在线段BD上时，DG=4﹣3t，当点G在线段BD的延长线上时，DG=3t﹣4；（2）在等腰直角△DHE中，DE=4﹣t∴DH=DE=4﹣t，在等腰直角△DHG中，DG=3t﹣4，∴DH=DG=3t﹣4∴4﹣t=3t﹣4∴t=2；（3）当点G与点D重合时，此时，BE+EG=BD∴t+2t=4∴t=，当点H在AD上时，由（2）可知：t=2，当点E与D重合时，此时，BE=BD=4∴t=4，如图2，当0≤t≤时，此时，HE=EG=t，∴S=HE2=2t2，如图3，当时，此时，HE=GE=t，DE=4﹣t，DG=3t﹣4正方形EFGH的面积为：HE2=2t2，∴S=2t2﹣（3t﹣4）2﹣ [+t][ t﹣] =t2+10t﹣4，如图4，当2＜t≤4时，此时，DE=4﹣t，∴S=+（4﹣t）2=t2﹣6t+12，（4）当点E到达点D时，连接BH，BF，∴线段FH扫过的图形为△BHF，此时，GD=HF=8，BD=4，∴△BHF的面积为：×8×8=32．24．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（﹣2，4），抛物线y=﹣+bx+c经过点A，将Rt△OAB绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△OCD，点C为点A的对应点，点E为抛物线y=﹣+bx+c于线段CD的交点．（1）用含有b的代数式表示c．（2）若抛物线y=﹣+bx+c与△OCD的各边共有两个交点，求b的取值范围．（3）在图中画出点E旋转前的对应点F，连结OF、EF，设由线段OF、FE、ED、DO首尾顺次连结组成的封闭图形的面积为S．①当直线EF∥OD时，求线段EF的长．②当S=6时，求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）首先由旋转的性质，可求得A（﹣2，0），C（0，2），D（4，2），然后由抛物线y=﹣+bx+c经过点A，代入求得答案；（2）分别求得抛物线y=﹣+bx+c过原点与过D点时的b的取值，继而求得b的取值范围；（3）①首先过点E作EH⊥OD，垂足为H，设EH=m，易得△EOF为等腰直角三角形，△EOH为等腰直角三角形，△DEH∽△DOC，则可求得OD=3m，继而求得m的值，则可求得答案；②首先设E点横坐标为a，易得方程（a2+4）+×2（4﹣a）=6，继而求得答案．【解答】解：（1）由题意可得：A（﹣2，0），C（0，2），D（4，2），∵抛物线经过点A，∴﹣×4﹣2b+c=0，解得：c=2b+2；（2）抛物线经过原点，c=0，2b+2=0，解得：b=﹣1，∵抛物线经过点D，则﹣×16+4b+2b+2=2，解得：b=，∴﹣1＜b＜；（3）①过点E作EH⊥OD，垂足为H，设EH=m，∵△EOF为等腰直角三角形，∴∠FEO=45°，∵EF∥OD，∴∠EOD=45°，在等腰直角△OEH中，EH=OH=m，∵∠EHD=∠OCD=90°，∠D是公共角，∴△DEH∽△DOC，∴EH：DH=OC：CD=2：4，∴Rt△EDH中，DH=2EH=2m，∴OD=3m=2，∴m=，∴EF=OE=2OH=；②设E点横坐标为a，则S=S△OEF+S△ODE=（a2+4）+×2（4﹣a）=+（4﹣a）=6，解得：a=0或2，。