几何尺规作图问题

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三大尺规作图问题

引人入胜的千古难题——三大尺规作图问题尺规作图是我们熟知的内容。

尺规作图对作图的工具——直尺和圆规的作用有所限制。

直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。

公元前五世纪的希腊数学家，已经习惯于用不带刻度的直尺和圆规（以下简称尺规）来作图了。

在他们看来，直线和圆是可以信赖的最基本的图形，而直尺和圆规是这两种图形的具体体现，因而只有用尺规作出的图形才是可信的。

于是他们热衷于在尺规限制下探讨几何作图问题。

数学家们总是对用简单的工具解决困难的问题备加赞赏，自然对用尺规去画各种图形饶有兴趣。

尺规作图是对人类智慧的挑战，是培养人的思维与操作能力的有效手段。

所谓三大几何作图难题就是在这种背景下产生的。

传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。

起初，人们并没有认识到满足这一要求会有多大困难，但经过多次努力还不能办到时，才感到事态的严重。

人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图经过慎重的思考，也感到无能为力。

这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。

用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。

任意给定一个角，仅用直尺和圆规作它的角平分线是很容易的，这就是说，二等分任意角是很容易做到的。

于是，人们自然想到，任意给定一个角，仅用直尺和圆规将它三等分，想必也不会有多大困难。

但是，尽管费了很大的气力，却没能把看来容易的事做成。

于是，第二个尺规作图难题——三等分任意角问题产生了。

正方形是一种美丽的直线形，圆是一种既简单又优美的曲线图形，它们都有面积，能不能用直尺和圆规作一个正方形，使它的面积等于一个给定的圆的面积？这就是尺规作图三大难题的第三个问题——化圆为方问题。

古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。

初二数学尺规作图典型例题归纳

初二数学尺规作图典型例题归纳典型例题一例已知线段a、b，画一条线段，使其等于．分析所要画的线段等于，实质上就是．画法：1．画线段．2．在AB的延长线上截取．线段AC就是所画的线段．说明1．尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去．2．其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基本作图．典型例题二例如下图，已知线段a和b，求作一条线段AD使它的长度等于2a－b．图（2）正解如图（2），（1）作射线AM；（2）在射线AM上，顺次截取AB=BC=a；（3）在线段CA上截取CD=b，则线段AD就是所求作的线段．典型例题三例求作一个角等于已知角∠MON（如图1）．图（1）图（2）正解如图（2），（1）作射线；（2）在图（1）上，以O为圆心，任意长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；（3）以为圆心，OA的长为半径作弧，交于点C；（4）以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧于点D；（5）过点D作射线．则∠就是所要求作的角．典型例题四例如下图，已知∠α及线段a，求作等腰三角形，使它的底角为α，底边为a．分析先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角∠B=∠C=∠α，底边BC=a，故可以先作∠B=∠α，或先作底边BC=a．作法如下图（1）∠MBN=∠α；（2）在射线BM上截取BC=a；（3）以C为顶点作∠PCB=∠α，射线CP交BN于点A．△ABC就是所要求作的等腰三角形．说明画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．典型例题五例如图（1），已知直线AB及直线AB外一点C，过点C作CD∥AB（写出作法，画出图形）．分析根据两直线平行的性质，同位角相等或错角相等，故作一个角∠ECD=∠EFB即可．作法如图（2）．图（1）图（2）（1）过点C作直线EF，交AB于点F；（2）以点F为圆心，以任意长为半径作弧，交FB于点P，交EF于点Q；（3）以点C为圆心，以FP为半径作弧，交CE于M点；（4）以点M为圆心，以PQ为半径作弧，交前弧于点D；（5）过点D作直线CD，CD就是所求的直线．说明作图题都应给出证明，但按照教科书的要求，一般不用写出，但要知道作图的原由．典型例题六例如下图，△ABC中，a=5cm，b=3cm，c=3.5cm，∠B=，∠C=，请你从中选择适当的数据，画出与△ABC全等的三角形（把你能画的三角形全部画出来，不写画法但要在所画的三角形中标出用到的数据）．分析本题实质上是利用原题中的5个数据，列出所有与△AB C全等的各种情况，依据是SSS、SAS、AAS、ASA．解与△ABC全等的三角形如下图所示．典型例题七例正在修建的北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化．拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案（保留作图痕迹，不写作法）．（2003年，）分析这是尺规作图在生活中的具体应用．要把△ABC分成面积相等的三个三角形，且都是从A点出发，说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角形的底边也相等，所以只要作出BC边的三等分点即可．作法如下图，找三等分点的依据是平行线等分线段定理．典型例题八例已知∠AOB，求作∠AOB的平分线OC．错解如图（1）作法（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E两点；（2）分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧相交于C点；（3）连结OC，则OC就是∠AOB的平分线．错解分析对角平分线的概念理解不够准确而致误．作法（3）中连结OC，则OC是一条线段，而角平分线应是一条射线．图（1）图（2）正解如图（2）（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E两点；（2）分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧交于C点；（3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线．典型例题九例如图（1）所示，已知线段a、b、h（h＜b）．求作△ABC，使BC=a，AB=b， BC边上的高AD=h．图（1）错解如图（2），（1）作线段BC=a；（2）作线段BA=b，使AD⊥BC且AD=h．则△ABC就是所求作的三角形．错解分析①不能先作BC；②第2步不能同时满足几个条件，完全凭感觉毫无根据；③未考虑到本题有两种情况．对于这种作图题往往都是按照由里到外的顺序依次作图，如本题先作高AD，再作AB，最后确定BC．图（2）图（3）正解如图（3）．（1）作直线PQ，在直线PQ上任取一点D，作DM⊥PQ；（2）在DM上截取线段DA=h；（3）以A为圆心，以b为半径画弧交射线DP于B；（4）以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BP和射线BQ于和；（5）连结、，则△（或△）都是所求作的三角形．典型例题十例如下图，已知线段a，b，求作Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b （用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）．分析本题解答的关键在于作出∠ACB=90°，然后确定A、B两点的位置，作出△ABC．作法如下图（1）作直线MN：（2）在MN上任取一点C，过点C作CE⊥MN；（3）在CE上截取CA=b，在CM上截取CB=a；（4）连结AB，△ABC就是所求作的直角三角形．说明利用基本作图画出所求作的几何图形的关键是要先分析清楚作图的顺序．若把握不好作图顺序，要先画出假设图形．典型例题十一例如下图，已知钝角△ABC，∠B是钝角．求作：（1）BC边上的高；（2）BC边上的中线（写出作法，画出图形）．分析（1）作BC边上的高，就是过已知点A作BC边所在直线的垂线；（2）作BC边上的中线，要先确定出BC边的中点，即作出BC边的垂直平分线．作法如下图（1）①在直线CB外取一点P，使A、P在直线CB的两旁；②以点A为圆心，AP为半径画弧，交直线CB于G、H两点；③分别以G、H为圆心，以大于GH的长为半径画弧，两弧交于E点；④作射线AE，交直线CB于D点，则线段AD就是所要求作的△ABC中BC边上的高．（2）①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径画弧，两弧分别交于M、N两点；②作直线MN，交BC于点F；③连结AF，则线段AF就是所要求作的△ABC中边BC上的中线．说明在已知三角形中求作一边上的高线、中线、角平分线时，首先要把握好高线、中线、角平分钱是三条线段；其次，高线、中线的一个端点必须是三角形中这边所对的顶点，而关键是找出另一个端点．典型例题十二例如图（1）所示，在图中作出点C，使得C是∠MON平分线上的点，且AC=OC．图（1）图（2）分析由题意知，点C不仅要在∠MON的平分线上，且点C到O、A两点的距离要相等，所以点C应是∠MON的平分线与线段OA的垂直平分线的交点．作法如图（2）所示（1）作∠MON的平分线OP；（2）作线段OA的垂直平分线EF，交OP于点C，则点C就是所要求作的点．说明（1）根据题意弄清要求作的点的特征是到各直线距离相等，还是到各端点距离相等．（2）两条直线交于一点．典型例题十三例如下图，已知线段a、b、∠α、∠β．求作梯形ABCD，使AD=a，BC=b，AD∥BC，∠B=∠α；∠C=∠β．分析假定梯形已经作出，作AE∥DC交BC于E，则AE将梯形分割为两部分，一部分是△ABE，另一部分是AECD．在△ABE中，已知∠B=∠α，∠AEB=∠β，BE=b-a，所以，可以首先把它作出来，而后作出AECD．作法如下图．（1）作线段BC=b；（2）在BC上截取BE=b-a ；（3）分别以B、E为顶点，在BE同侧作∠EBA=∠α，∠AEB=∠β，BA、EA 交于A；（4）以EA、EC为邻边作AECD．四边形ABCD就是所求作的梯形．说明基本作图是作出较简单图形的基础，三角形是最简单的多边形，它是许多复杂图形的基础．因此，要作一个复杂的图形，常常先作一个比较容易作出的三角形，然后以此为基础，再作出所求作的图形．典型例题十四例如下图，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在A区，到铁路与公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B点700米，如果你是红方的指挥员，请你在图示的作战图上标出蓝方指挥部的位置．（2002年，）分析依据角平分线的性质可以知道，蓝方指挥部必在A区两条路所夹角的平分线上，然后由蓝方指挥部距B点的距离，依据比例尺，计算出图上的距离为3.5cm，就可以确定出蓝方指挥部的位置．解如下图，图中C点就是蓝方指挥部的位置．典型例题十五例如图（1），已知有公共端点的线段AB、BC．求作⊙O，使它经过点A、B、C（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2002年，）图（1）图（2）分析因为A、B、C三点在⊙O上，所以OA=OB=OC=R．根据到线段AB、BC 各端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，故分别作线段AB、BC垂直平分线即可．解如图（2）说明角平分线的性质、线段垂直平分线的性质在作图题中的应用是近几年中考中的又一道风景，它往往与实际问题紧密联系在一起．典型例题十六例如图，是一块直角三角形余料，．工人师傅要把它加工成一个正方形零件，使C为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、BC、AC边上．试协助工人师傅用尺规画出裁割线．分析要作出符合条件的正方形，可先作出有三个角为90°的四边形，并设法让相邻的一组边相等即可．作法如图．1 作的角平分线CD，交AB于点G；②过G点分别作AC、BC的垂线，垂足为E、F．则四边形ECFG就是所要求作的正方形．。

几何证明尺规作图的解题规范与解题技巧

几何证明尺规作图的解题规范与解题技巧几何证明是高中数学中的重要内容，而尺规作图是几何证明中不可或缺的方法之一。

尺规作图是通过使用尺规等工具，将已知条件用线段长度的比来表示，从而得到所需的未知量与如何构造的方法。

下面我们将详细介绍几何证明尺规作图的解题规范与解题技巧。

一、解题规范1. 了解题目要求在做题之前，先要看清题目要求，明确自己要证明的结论与所给条件。

了解题目要求可以帮助我们更好地把握证明的方向和方法。

2. 审题慎思细心审题可以发现题目中隐藏的一些线索，例如特殊的几何图形、相似三角形、等分线段等，这些都是解决尺规作图问题的有力工具。

审题还可以发现题目中的难点和易错点，帮助我们专注于解决问题的关键。

3. 掌握几何知识尺规作图是几何证明的一种方法，因此掌握几何知识是必不可少的。

在解题过程中，我们需要运用一些基本的几何定理和定向线段的概念，在能充分运用几何知识才能更好地解决问题。

4. 认真细致在做尺规作图的题目时，需要认真细致地推敲每一步，因为一个细节的错误会导致整个证明的失败。

要尽可能地避免粗心大意和漫不经心，特别是在标记线段、角度时，要用尽一切手段保证准确无误。

5. 多角度考虑尺规作图的证明方法有时并不唯一，有些题目可能有多种可能性，因此需要多角度思考。

可以考虑不同的角度进行证明，或者换一种方式来描述线段长度的比，寻找解题的突破口。

二、解题技巧1. 正确标记相似三角形相似三角形是尺规作图中常用的几何单元，正确标记相似三角形对于解决问题非常关键。

在标记相似三角形时，可以根据题目给定的线段长度比例来确定线段的长度关系，从而帮助我们找到相应的相似三角形。

2. 确定相应角和高线在寻找尺规作图的策略时，需要特别关注相应角和高线。

相应角是指两个三角形中相对应的角度相等，高线则是指垂直于底边的线段。

通过找到相应角和高线，可以帮助我们更好地利用相似三角形求解问题。

3. 使用中垂线和平分线中垂线和平分线可以将一个线段等分成两个相等的线段，在解决尺规作图问题时非常有用。

尺规作图---重点难点考点真题(word+答案)

专题尺规作图问题专题知识回顾1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。

2.尺规作图的五种基本情况：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知线段的垂直平分线；（4）作已知角的角平分线；（5）过一点作已知直线的垂线。

3.对尺规作图题解法：写出已知，求作，作法（不要求写出证明过程）并能给出合情推理。

4.中考要求：（1）能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.（2）能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形.（3）能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.（4）了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）.专题典型题考法及解析【例题1】（2019•湖南长沙）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（）A．20°B．30°C．45°D．60°【例题2】（2019山东枣庄）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．【例题3】(2019年贵州安顺模拟题)用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）【例题4】（2019•山东青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：∠α，直线l及l上两点A，B．求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．一一、选择题1.（2019•广西北部湾）如图,在△ABC中，AC=BC, ∠A=400，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（）A．400B．450 C．500D．6002.（2019·贵州贵阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（）A．2B．3C．D．3.（2019•河北省）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）A．B．C．D．4．（2019•山东潍坊）如图，已知∠AO B．按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接C D．②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．③连接OE交CD于点M．下列结论中错误的是（）专题典型训练题A．∠CEO＝∠DEO B．CM＝MDC．∠OCD＝∠ECD D．S四边形OCED＝CD•OE 5．(2019•湖北宜昌)通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是( )A．B．C．D．6.（经典题）作一条线段等于已知线段。

专题13 尺规作图篇(解析版)

专题13 尺规作图1. 尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．2. 基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．①直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．②圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度3. 基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M 、N 。

如图①②连接MN ，过MN 的直线即为线段的垂直平分线。

如图②（4）作已知角的角平分线．具体步骤：①以角的顶点O 为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M 、N 。

如图①。

②分别以点M 与点N 为圆心，大于MN 长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P 。

如图②。

③连接OP ，OP 即为角的平分线。

（5）过一点作已知直线的垂线．4. 复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作。

5. 设计作图：应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图。

1．尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．【分析】先在直线l上取点A，过A点作AD⊥l，再在直线l上截取AB＝m，然后以B点为圆心，n为半径画弧交AD于C，则△ABC满足条件．【解答】解：如图，△ABC为所作．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．（1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：AD＝AE．【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可．（2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD（ASA），∴AD＝AE．3．如图，已知线段AC和线段a．（1）用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）①作线段AC的垂直平分线l，交线段AC于点O；②以线段AC为对角线，作矩形ABCD，使得AB＝a，并且点B在线段AC的上方．（2）当AC＝4，a＝21ABCD的面积．【分析】（1）①按照线段垂直平分线的作图步骤作图即可．②以点O为圆心，OA的长为半径画弧，再以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC上方交于点B，同理，以点O为圆心，OC的长为半径画弧，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC下方交于点D，连接AD，CD，AB，BC，即可得矩形ABCD．（2）利用勾股定理求出BC，再利用矩形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）①如图，直线l即为所求．②如图，矩形ABCD即为所求．（2）∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，∵a＝2，∴AB＝CD＝2，∴BC＝AD＝＝＝，∴矩形ABCD的面积为AB•BC＝2×＝．4．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，AD⊥DC于点D．（1）用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接AE．求证：四边形ABCE是菱形．【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可．（2）由角平分线的定义和平行四边形的判定定理，可得四边形ABCE为平行四边形，再结合AB＝BC，可证得四边形ABCE为菱形．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，∴∠CBE＝∠BEC，∴BC＝EC，∵AB＝BC，∴AB＝EC，∴四边形ABCE为平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCE为菱形．5．如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．（1）在图1中画一条线段垂直AB．（2）在图2中画一条线段平分AB．【分析】（1）利用数形结合的思想作出图形即可；（2【解答】解：（1）如图1中，线段EF即为所求（答案不唯一）；（2）如图2中，线段EF即为所求（答案不唯一）．6．“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市民和游客争相“打卡”留念．已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，请在水城河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等．（1）利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在图中格点处标出三个符合条件的停车位P1，P2，P3；（3）建立平面直角坐标系，设M（0，2），N（2，0），停车位P（x，y），请写出y与x之间的关系式，在图中画出停车带，并判断点P（4，﹣4）是否在停车带上．【分析】（1）利用过直线外一点作垂线的方法作图即可；（2）根据停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等，可得点P1，P2，P3；（3）根据停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等，得1﹣y＝，从而解决问题．【解答】解：（1）如图，线段FA的长即为所求；（2）如图，点P1，P2，P3即为所求；（3）∵停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等，∴1﹣y＝，化简得y＝﹣，当x＝4时，y＝﹣4，∴点P（4，﹣4）在停车带上．7．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）网格中△ABC的形状是；（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；（2（3）根据相似三角形的判定作出图形即可；（4）作出AB，BC的中点P，Q即可．【解答】解：（1）∵AC＝＝，AB＝＝2，BC＝5，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；故答案为：直角三角形；（2）如图①中，点D，点D′，点D″即为所求；（3）如图②中，点E即为所求；（4）如图③，点P，点Q即为所求．8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．【分析】（1）过点A作AD⊥AO即可；（2）连接OB，OC．证明∠＝75°，利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论．【解答】解：（1）如图，切线AD即为所求；（2）过点O作OH⊥BC于H，连接OB，OC．∵AD是切线，∴OA⊥AD，∴∠OAD ＝90°，∵∠DAB ＝75°，∴∠OAB ＝15°，∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝15°，∴∠BOA ＝150°，∴∠BCA ＝∠AOB ＝75°，∵∠ABC ＝45°，∴∠BAC ＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝120°，∵OB ＝OC ＝2，∴∠BCO ＝∠CBO ＝30°，∵OH ⊥BC ，∴CH ＝BH ＝OC •cos30°＝，∴BC ＝2．9．如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，分别以点A ，D 为圆心，大于21AD 的长为半径作弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN AB ，AD ，AC 于点E ，O ，F ，连接DE ，DF ．（1）由作图可知，直线MN 是线段AD 的．（2）求证：四边形AEDF 是菱形．【分析】（1）根据作法得到MN 是线段AD 的垂直平分线；（2）根据垂直平分线的性质则AF ＝DF ，AE ＝DE ，进而得出DF ∥AB ，同理DE ∥AF ，于是可判断四边形AEDF 是平行四边形，加上FA ＝FD ，则可判断四边形AEDF 为菱形．【解答】（1）解：根据作法可知：MN 是线段AD 的垂直平分线；故答案为：垂直平分线；（2）证明：∵MN 是AD 的垂直平分线，∴AF＝DF，AE＝DE，∴∠FAD＝∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠BAD，∴DF∥AB，同理DE∥AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∵FA＝FD，∴四边形AEDF为菱形．10．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．（1）作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．【分析】（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线即可；（2）根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB，则利用等角的余角相等得到∠A＝∠DCA，则DC＝DA，然后利用等线段代换得到△BCD的周长＝AB+BC．【解答】解：（1）如图，DH为所作；（2）∵DH垂直平分BC，∴DC＝DB，∴∠B＝∠DCB，∵∠B+∠A＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠A＝∠DCA，∴DC＝DA，∴△BCD的周长＝DC+DB+BC＝DA+DB+BC＝AB+BC＝8+5＝13．11．已知：△ABC．（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．【分析】（1）作∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，点O即为所求；（2）△ABC的面积＝（a+b+c）•r计算即可．【解答】解：（1）如图，点O即为所求；（2）由题意，△ABC的面积＝×14×1.3＝9.1（cm2）．12．已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使m∥AB；（2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使n∥AD．【分析】（1）如图1中，连接，BD交于点O，作直线OE即可；（2）如图2中，同法作出点O，连接BE交AC于点T，连接DT，延长TD交AB于点R，作直线OR即可．【解答】解：（1）如图1中，直线m即为所求；（2）如图2中，直线n即为所求；13．如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．【分析】（1）根据全等三角形的判定画出图形即可；（2）根据菱形的定义画出图形即可．【解答】解：（1）如图1中，△ABD1，△ABD2，△ACD3，△ACD4，△CBD5即为所求；（2）如图2中，菱形ABDC，菱形BECF即为所求．14．【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）【分析】【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线OP即可；【问题联想】如图2，作线段MN的垂直平分线RT，垂足为R，在射线RT上截取RP＝RM，连接MP，NP，三角形MNP即为所求；【问题再解】方法一：构造等腰直角三角形OBE，作BC⊥OE，以O为圆心，OC为半径画弧交OB于点D，交OA于点F，弧DF即为所求．方法二：作OB的中垂线交OB于点C，然后以C为圆心，CB 长为半径画弧交OB中垂线于点D，再以O为圆心，OD长为半径画弧分别交OA、OB于点E、F．则弧EF即为所求．【解答】解：【初步尝试】如图1，直线OP即为所求；【问题联想】如图2，三角形MNP即为所求；【问题再解】如图3中，即为所求．15．如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．【分析】（1）把点B、A向右作平移1个单位得到CD；（2）作A点关于BC的对称点D即可；（3）延长CB到D使CD＝2CB，延长CA到E点使CE＝2CA，则△EDC满足条件．【解答】解：（1）如图1，CD为所作；（2）如图2，（3）如图3，△EDC为所作．。

尺规作图练习题

尺规作图练习题尺规作图是几何学中一项重要的技巧，通过使用尺子和圆规，可以准确地绘制出各种几何图形。

在本文中，我们将提供几个尺规作图练习题来帮助读者巩固和提高自己的尺规作图技能。

1. 绘制一个正方形首先，让我们来练习如何用尺规作图绘制一个正方形。

从任意一点A开始，使用尺子画一条线段AB。

然后，以B为中心，设置一个合适的半径，使用圆规画一个圆弧，并将其与线段AB交于点C。

接下来，以C为中心，设置与BC相等的半径，使用圆规画一个圆弧，并将其与之前的圆弧交于点D。

最后，连接线段AD、AB、BC和CD，就得到了一个正方形。

2. 绘制一个等边三角形下面，我们来练习如何绘制一个等边三角形。

首先，从任意一点A 开始，使用尺子画一条线段AB。

然后，以A为中心，设置一个合适的半径，使用圆规画一个圆弧，并将其与线段AB交于点C。

接下来，以C为中心，设置与AC相等的半径，使用圆规画一个圆弧，并将其与之前的圆弧交于点B。

最后，连接线段AB、BC和CA，就得到了一个等边三角形。

3. 绘制一个相似三角形接下来，我们来练习如何绘制一个相似三角形。

首先，从任意一点A开始，使用尺子画一条线段AB。

然后，在线段AB的一侧选择一个点C。

接下来，以C为中心，设置一个合适的半径，使用圆规画一个圆弧，并将其与线段AB交于点D。

最后，连接线段AD和BC，就得到了一个相似三角形。

4. 绘制一个等腰梯形最后，我们来练习如何绘制一个等腰梯形。

首先，使用尺子绘制两条平行线段AB和CD，表示梯形的底边和顶边。

然后，使用圆规在底边上选择两个点E和F，分别向梯形内部延伸一条垂直线段，分别与顶边CD和AB交于点G和H。

最后，连接线段EG、GF、FH和HE，就得到了一个等腰梯形。

通过以上的练习题，读者可以不断熟悉和掌握尺规作图的技巧和方法。

尺规作图虽然看起来需要一些技巧和经验，但通过不断的练习和实践，每个人都能够掌握这项重要的几何学技能。

希望读者在完成这些练习题后能够对尺规作图有更深入的理解和应用能力。

几何三大问题为尺规作图不能问题的证明

1.立方倍积问题假设已知立方体的棱长为c，所求立方体的棱长为x.按给定的条件，应有x3=2a3.令a＝1，则上述方程取更简单的形式x3-2=0.根据初等代数知识，如果上述的有理系数三次方程含有有理根，不外是±1，±2.但经逐一代入试验，均不符合.可见方程x3-2=0必不能用尺规作出，这就证明了立方倍积问题是尺规作图不能问题.2.三等分任意角问题对于已知的锐角∠O=θ，设OP、OS是它的三等分角线.以O为圆心，单位长为半径画弧，交∠O的两边于点A、B，交三等分角线OS于点C.过点C作CD⊥OA，交OA于点D.这样，OS能否用尺规来作出，就等价于点C能否用尺规作出，也就是点D能否用尺规来作出.令OD=x，则有4x3-3x-cosθ＝0.如果能证明上述三次方程的根一般不能仅用尺规作出，则点D不可得，于是射线OS也就不能作出.欲证明此事，可选一特例考察之.8x3-6x-1=0.以2x=y代入此方程，可得较简单的形式y3-3y-1=0.根据代数的知识，如果有理系数一元三次方程y3-3y-1=0含有有理根，不外是±1.但经逐一代入试验后，均不符合，可见此方程没有有理根.于是，根据本书第14页定理2可知，方程y3-3y-1=0的任何实根不能用尺规作图来完成，即60°角不能用尺规三等分.三等分60°角尚且不能,这就表明了三等分任意角属于尺规作图不能问题.当然，这个结论是对一般情形而言的，假如θ等于某些特殊值，则作图未必就不可能.例如，当θ=90°时，便有cos90°=0，此时方程4x3-3x-cosθ=0就变为4x3-3x=0.解之，得(见图6).注意，当cosθ取值为无理数时，如θ=30°、45°等，则我们所用的定理2就不再适用了.3.化圆为方问题假设已知圆的半径为r，求作的正方形的边长为x(图7).按条件，应有x2=πr2.令r=1，即得不可作.但π是超越数，自然不是有理系数的代数方程的根，更不是从1出发通过有限次加、减、乘、除及正实数开平方所能表示，即π不能仅用尺规作图来完成，所以化圆为方问题属尺规作图不能问题.4.正七边形和正九边形的作图问题正多边形的作图，亦即等分圆周问题，自古以来就一直吸引着人们.古希腊时期，人们已会运用尺规作出3，4，5，6.10，15边数的正多边形，但是企图作正七边形或正九边形却终归失败.现在来证明正七边形和正九边形都属尺规作图不能问题.(图8).∵7θ=2π，∴3θ=2π-4θ，∴ cos3θ=cos(2π－4θ)＝cos4θ.根据三角恒等式，有cos3θ=4cos3θ-3cosθ，cos4θ=8cos4θ-8cos2θ＋1，所以4cos3θ-3cosθ=8cos4θ-8cos2θ＋1.即8cos4θ-4cos3θ-8cos2θ＋3cosθ＋1=x4-x3-4x2+3x＋2=0.分解因式，得(x-2)(x3+x2-2x-1)=0.x3+x2-2x-1=0.由试验，知±1均不能满足这方程，可见上述三次方程无有理根.于是，运用本书第14页的定理2，可知上述三次方程的任何实根均不能用尺规作图来完成，因而正七边形属于尺规作图不能问题.的作图，而θ=40°角属于尺规作图不能问题(否则，利用作角平分线的办法，可作出20°角，将导致三等分60°角成为可能).所以正九边形也属尺规作图不能问题.由正七边形和正九边形是尺规作图不能问题，可直接推得边数为2n×7和2n×9(n为正整数)的正多边形也是尺规作图不能问题.对于尺规作图不能问题，除了直接应用本书第14页的定理来判断外，通常还有两种间接判断方法：1°有的作图问题，经过分析后发现可以归结为已知的作图不能问题，则可断定该问题也属尺规作图不能问题.例如正九边形属尺规作图不能问题的上述证明所采用的方法就是.2°有时，对问题的一般情形进行讨论既繁且难，而取其特例考察，则简易得多.因此欲决定某题属作图不能问题时，不妨相机证明它的特例不能作图，特例既经证实，一般情形的不能作图便不言而喻了(但特例可行则不等于这问题可作).例如解决三等分角问题时所采用的方法即是.。

世界十大数学难题

世界十大数学难题几何尺规作图问题“几何尺规作图问题”是指做图限制只能用直尺、圆规，而这里的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。

“几何尺规作图问题”包括以下四个问题1.化圆为方－求作一正方形使其面积等于一已知圆；2.三等分任意角；3.倍立方－求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。

4.做正十七边形。

以上四个问题一直困扰数学家二千多年都不得其解，而实际上这前三大问题都已证明不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。

第四个问题是高斯用代数的方法解决的，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但後来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。

四色原理四色猜想的等价命题平面内至多可以有四个点构成每两个点两两连通且连线不相交。

可用符号表示：K（n)，n=、<4。

四色原理简介这是一个拓扑学问题，即找出给球面（或平面）地图着色时所需用的不同颜色的最小数目。

着色时要使得没有两个相邻（即有公共边界线段）的区域有相同的颜色。

1852年英国的格思里推测：四种颜色是充分必要的。

1878年英国数学家凯利在一次数学家会议上呼吁大家注意解决这个问题。

直到1976年，美国数学家阿佩哈尔、哈肯和考西利用高速电子计算机运算了1200个小时，才证明了格思里的推测。

20世纪80-90年代曾邦哲的综合系统论（结构论）观将“四色猜想”命题转换等价为“互邻面最大的多面体是四面体”。

四色问题的解决在数学研究方法上的突破，开辟了机器证明的美好前景。

四色定理的诞生过程世界近代三大数学难题之一(另外两个是费马定理和哥德巴赫猜想)。

四色猜想的提出来自英国。

1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里(Francis Guthrie)来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。

几何证明尺规作图的解题规范与解题技巧

几何证明尺规作图的解题规范与解题技巧尺规作图是一种基本的几何工具，是解决几何问题的重要手段之一。

在对几何证明题进行解答时，使用尺规作图作为辅助工具，可以帮助我们更清晰地理解问题，并且较简便地得出解答。

1. 解题规范（1）认真分析题目，明确所求。

在解题时，应先仔细读题，明确所求。

只有确定了所求的内容，才能从生动形象的图形中抽象出问题，根据几何公理、定义、定理以及作图规则等，进行正确的思考和推理。

（2）准确画图。

准确画图是尺规作图的关键。

在作图时，应注意以下几点：a. 筛选出题目中有用的信息，确定图形中点、线、角等的位置及相应关系；b. 根据图形中已知条件及所求内容，自由选择应用哪些用途广泛的作图方式（如平移、相似等）；c. 采用精确的尺子和规则，用准确的角度和长度画出几何图形。

在画出图形时，应尽可能避免使用圆规和直尺之外的工具，这是保持精度的关键。

（3）正确使用推理方法。

在解题时，应熟记几何公理、定义、定理等基本知识，并善于应用各种推理方法。

常用推理方法有：利用相关定理证明等边、等角、相似等形；用等腰三角形证明对边平行、等长等线段；应用菜单定理，证明垂足存在、角平分线存在等。

（4）检查答案。

解题后，应对答案进行检查，确保符合题目要求。

若是计算题，则应重新计算答案，检查前后是否一致；若是证明题，则应重新审题，核对证明过程中是否存在漏洞。

在这一步中，应特别注意对证明过程中的符号表示和注释标注的清晰性、严谨性。

2. 解题技巧（1）运用坐标几何。

在一些几何问题中，可通过引入坐标系，将几何问题转化为解方程的问题，从而得到精确解。

如果某一点，如一个交点，不能直接得出，可以通过坐标系求解。

（2）利用相似性质。

相似性质是尺规作图的一个基本性质，凡是可以确定相似三角形的，不妨取一边为铅垂线或中线，将问题转化为直角三角形问题或等腰三角形问题，或者进一步推广为用完全相似的几何形状辅助解决已知问题。

在相似问题中，通常用对应角相等、对应边成比例等来判断。

中考尺规作图-经典例题

五、典型题型1. 已知线段a 、b ，画一条线段，使其等于b a 2+．分析所要画的线段等于b a 2+，实质上就是b b a ++．画法：1．画线段a AB =．2．在AB 的延长线上截取b BC 2=．线段AC 就是所画的线段．说明1．尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去．2．其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基本作图．2.如下图，已知线段a 和b ，求作一条线段AD 使它的长度等于2a －b ．错解如图（1），（1）作射线AM ；（2）在射线AM 上截取AB =BC =a ，CD =b ，则线段AD 即为所求．错解分析主要是作图语言不严密，当在射线上两次截取时，要写清是否顺次，而在求线段差时，要交待截取的方向．图（1）图（2）正解如图（2），（1）作射线AM ；（2）在射线AM 上，顺次截取AB =BC =a ；（3）在线段CA 上截取CD =b ，则线段AD 就是所求作的线段．3. 求作一个角等于已知角∠MON （如图1）．图（1）图（2）错解如图（2），（1）作射线11M O ；（2）在图（1），以O 为圆心作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；（3）以1O 为圆心作弧，交11M O 于C ；（4）以C 为圆心作弧，交于点D ；（5）作射线D O 1．则∠D CO 1即为所求的角．错解分析作图过程中出现了不准确的作图语言，在作出一条弧时，应表达为：以某点为圆心，以其长为半径作弧．正解如图（2），（1）作射线11M O ；（2）在图（1）上，以O 为圆心，任意长为半径作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；（3）以1O 为圆心，OA 的长为半径作弧，交11M O 于点C ；（4）以C 为圆心，以AB 的长为半径作弧，交前弧于点D ；（5）过点D 作射线D O 1．则∠D CO 1就是所要求作的角．4. 如下图，已知∠α及线段a ，求作等腰三角形，使它的底角为α，底边为a ．分析先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角∠B =∠C =∠α，底边BC =a ，故可以先作∠B =∠α，或先作底边BC =a ．作法如下图（1）∠MBN =∠α；（2）在射线BM 上截取BC =a ；（3）以C 为顶点作∠PCB =∠α，射线CP 交BN 于点A ．△ABC 就是所要求作的等腰三角形．说明画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．5. 如图（1），已知直线AB 及直线AB 外一点C ，过点C 作CD ∥AB （写出作法，画出图形）．分析根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角∠ECD =∠EFB 即可．作法如图（2）．图（1）图（2）（1）过点C 作直线EF ，交AB 于点F ；（2）以点F 为圆心，以任意长为半径作弧，交FB 于点P ，交EF 于点Q ；（3）以点C 为圆心，以FP 为半径作弧，交CE 于M 点；（4）以点M 为圆心，以PQ 为半径作弧，交前弧于点D ；（5）过点D 作直线CD ，CD 就是所求的直线．说明作图题都应给出证明，但按照教科书的要求，一般不用写出，但要知道作图的原由．6. 如下图，△ABC 中，a =5cm ，b =3cm ，c =3.5cm ，∠B =︒36，∠C =︒44，请你从中选择适当的数据，画出与△ABC 全等的三角形（把你能画的三角形全部画出来，不写画法但要在所画的三角形中标出用到的数据）．分析本题实质上是利用原题中的5个数据，列出所有与△ABC全等的各种情况，依据是SSS、SAS、AAS、ASA．解与△ABC全等的三角形如下图所示．7. 正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化．拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案（保留作图痕迹，不写作法）．（2003年，桂林）分析这是尺规作图在生活中的具体应用．要把△ABC分成面积相等的三个三角形，且都是从A点出发，说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角形的底边也相等，所以只要作出BC边的三等分点即可．作法如下图，找三等分点的依据是平行线等分线段定理．8. 已知∠AOB ，求作∠AOB 的平分线OC ．错解如图（1）作法（1）以O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA 、OB 于D 、E 两点；（2）分别以D 、E 为圆心，以大于21DE 的长为半径作弧，两弧相交于C 点；（3）连结OC ，则OC 就是∠AOB 的平分线．错解分析对角平分线的概念理解不够准确而致误．作法（3）中连结OC ，则OC 是一条线段，而角平分线应是一条射线．图（1）图（2）正解如图（2）（1）以点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA 、OB 于D 、E 两点；（2）分别以D 、E 为圆心，以大于21DE 的长为半径作弧，两弧交于C 点；（3）作射线OC ，则OC 为∠AOB 的平分线．9. 如图（1）所示，已知线段a 、b 、h （h ＜b ）．求作△ABC ，使BC =a ，AB =b ， BC 边上的高AD =h ．图（1）错解如图（2），（1）作线段BC =a ；（2）作线段BA =b ，使AD ⊥BC 且AD =h ．则△ABC 就是所求作的三角形．错解分析 ①不能先作BC ；②第2步不能同时满足几个条件，完全凭感觉毫无根据；③未考虑到本题有两种情况．对于这种作图题往往都是按照由里到外的顺序依次作图，如本题先作高AD ，再作AB ，最后确定BC ．图（2）图（3）正解如图（3）．（1）作直线PQ ，在直线PQ 上任取一点D ，作DM ⊥PQ ；（2）在DM 上截取线段DA =h ；（3）以A 为圆心，以b 为半径画弧交射线DP 于B ；（4）以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BP 和射线BQ 于1C 和2C ；（5）连结1AC 、2AC ，则△1ABC （或△2ABC ）都是所求作的三角形．10. 如下图，已知线段a ，b ，求作Rt △ABC ，使∠ACB =90°，BC =a ，AC =b （用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）．分析本题解答的关键在于作出∠ACB =90°，然后确定A 、B 两点的位置，作出△ABC ．作法如下图（1）作直线MN ：（2）在MN 上任取一点C ，过点C 作CE ⊥MN ；（3）在CE 上截取CA =b ，在CM 上截取CB =a ；（4）连结AB ，△ABC 就是所求作的直角三角形．说明利用基本作图画出所求作的几何图形的关键是要先分析清楚作图的顺序．若把握不好作图顺序，要先画出假设图形．11. 如下图，已知钝角△ABC ，∠B 是钝角．求作：（1）BC 边上的高；（2）BC 边上的中线（写出作法，画出图形）．分析（1）作BC 边上的高，就是过已知点A 作BC 边所在直线的垂线；（2）作BC 边上的中线，要先确定出BC 边的中点，即作出BC 边的垂直平分线．作法如下图（1）①在直线CB 外取一点P ，使A 、P 在直线CB 的两旁； ②以点A 为圆心，AP 为半径画弧，交直线CB 于G 、H 两点； ③分别以G 、H 为圆心，以大于21GH 的长为半径画弧，两弧交于E 点； ④作射线AE ，交直线CB 于D 点，则线段AD 就是所要求作的△ABC 中BC 边上的高．（2）①分别以B 、C 为圆心，以大于21BC 的长为半径画弧，两弧分别交于M 、N 两点； ②作直线MN ，交BC 于点F ；③连结AF，则线段AF就是所要求作的△ABC中边BC上的中线．说明在已知三角形中求作一边上的高线、中线、角平分线时，首先要把握好高线、中线、角平分钱是三条线段；其次，高线、中线的一个端点必须是三角形中这边所对的顶点，而关键是找出另一个端点．12. 如图（1）所示，在图中作出点C，使得C是∠MON平分线上的点，且AC=OC．图（1）图（2）分析由题意知，点C不仅要在∠MON的平分线上，且点C到O、A两点的距离要相等，所以点C应是∠MON的平分线与线段OA的垂直平分线的交点．作法如图（2）所示（1）作∠MON的平分线OP；（2）作线段OA的垂直平分线EF，交OP于点C，则点C就是所要求作的点．说明（1）根据题意弄清要求作的点的特征是到各直线距离相等，还是到各端点距离相等．（2）两条直线交于一点．13. 如下图，已知线段a、b、∠α、∠β．求作梯形ABCD，使AD=a，BC=b，AD∥BC，∠B=∠α；∠C=∠β．分析假定梯形已经作出，作AE∥DC交BC于E，则AE将梯形分割为两部分，一部分是△ABE，另一部分是AECD．在△ABE中，已知∠B=∠α，∠AEB=∠β，BE=b-a，所以，可以首先把它作出来，而后作出AECD．作法如下图．（1）作线段BC=b；（2）在BC上截取BE=b-a；（3）分别以B、E为顶点，在BE同侧作∠EBA=∠α，∠AEB=∠β，BA、EA交于A；（4）以EA、EC为邻边作AECD．四边形ABCD就是所求作的梯形．说明基本作图是作出较简单图形的基础，三角形是最简单的多边形，它是许多复杂图形的基础．因此，要作一个复杂的图形，常常先作一个比较容易作出的三角形，然后以此为基础，再作出所求作的图形．。

专题32 尺规作图经典练习题

专题32 尺规作图问题专题知识回顾1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。

3.对尺规作图题解法：写出已知，求作，作法（不要求写出证明过程）并能给出合情推理。

初中数学尺规作图重要知识点及典型题解析

初中数学尺规作图重要知识点及典型题解析1、尺规作图规范用语第一、、用直尺作图的几何语言有三种，分别为：1、过点x、点x作直线xx;或作直线xx;或作射线xx；2、过两点xx做线段xx;或连结xx:3、延长xx到点x;或延长(反向延长)xx到点x，使xx=xx;或延长xx交xx于点x;第二、用圆规作图的几何语言可总结为四种，分别为：1、在xx上截取xx=xx:2、以点x为圆心，xx的长为半径作圆(或弧);3、以点x为圆心，xx的长为半径作弧，交xx于点x:4、分别以点x、点x为圆心，以xxxx的长为半径作弧，两弧相交于点x、x.2、尺规作图基本步骤当发现作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件:2能根据题目可以画出要求作出的图形，以及可以列出该图形应满足的条件有哪些:3能根据作图的过程写出每一步的操作过程当不要求写作法时，一般会保留作图痕迹应该注意的是，对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法。

3、尺规作图典型题分析典型题1：难度★如图（a），已知∠AOB和点C、D.求作一点M，使点M到∠AOB两边的距离相等，且与C、D组成以CD为底边的等腰三角形.【答案解析】因为到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上；而根据题意，点M应满足条件MC＝MD，所以点M又在连结CD所得线段的垂直平分线上.（1）作∠AOB的平分线OG；（2）连结CD，作CD的垂直平分线，交OG于点M，如图（b），M就是所要求作的点.典型题2：难度★如图，桌面上有黑白两球P、Q，试用尺规在边AD上找出一点，使黑球射向这点后反弹，正好击中白球.【答案解析】（1）以P为圆心，适当长为半径作弧，交AD于两点E、F；（2）分别以E、F为圆心，以同样长（即PE）为半径作弧，在AD的另一侧交于点R（即P关于AD的对称点）；（3）连结RQ，交AD于点M，M就是所求作的点.典型题3：难度★★如图（a），A、B、C三个城市准备共建一个飞机场，希望机场到B、C两市的距离相等，到较大城市A的距离最近，试确定飞机场的位置.【答案解析】机场到B、C两市的距离相等，则应在线段BC的垂直平分线上；而这条垂直平分线上的点到A的最短距离是点A到这条直线的垂线段的长.（1）连结BC，作线段BC的垂直平分线l；（2）过点A作直线⊥的垂线，垂足P，如图（b），点P就是飞机场的位置典型题4：难度★★如图（a），已知线段a、b和∠AOB，C是边OB上一点，求作点M，使M到OA的距离为a，到点C的距离为b.【答案解析】（1）在OA上任取一点D，过D作OA的垂线l；（2）在⊥上截取DE＝DF＝a，过E、F作l的垂线l1、l2；（3）以C为圆心，b为半径作弧，与直线l2相交于点M1、M2，如图（b），则点M1、M2都是所要求作的点.典型题5：难度★★如图（a），已知线段a、b，求作△ABC，使BC＝a，AB＝b，∠C＝90°.【答案解析】（1）作线段BC＝a；（2）过点C作CD⊥BC；（3）以B为圆心，b为半径作弧，交CD于点A；（4）连结BA，如图（b），△ABC就是所求作的三角形.典型题6：难度★★如图（a），已知线段a，∠a，求作△ABC，使∠C＝90°，∠A＝∠a，AB＝a.【答案解析】（1）作∠DAE＝∠a；（2）在AD上截取AB＝a；（3）过点B作BC⊥AE于C，如图（b），△ABC即所求作的三角形.典型题7：难度★★已知等腰三角形的底角及底边上的中线，求作这个等腰三角形。

(完整版)初中尺规作图典型例题归纳总结

初中尺规作图典型例题归纳典型例题一例已知线段a 、b ，画一条线段，使其等于b a 2+．分析所要画的线段等于b a 2+，实质上就是b b a ++．画法：1．画线段a AB =．2．在AB 的延长线上截取b BC 2=．线段AC 就是所画的线段．说明1．尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去．2．其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基本作图．典型例题二例如下图，已知线段a 和b ，求作一条线段AD 使它的长度等于2a －b ．错解如图（1），（1）作射线AM ；（2）在射线AM 上截取AB =BC =a ，CD =b ，则线段AD 即为所求．错解分析主要是作图语言不严密，当在射线上两次截取时，要写清是否顺次，而在求线段差时，要交待截取的方向．图（1）图（2）正解如图（2），（1）作射线AM ；（2）在射线AM 上，顺次截取AB =BC =a ；（3）在线段CA 上截取CD =b ，则线段AD 就是所求作的线段．典型例题三例求作一个角等于已知角∠MON （如图1）．图（1）图（2）错解如图（2），（1）作射线11M O ；（2）在图（1），以O 为圆心作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；（3）以1O 为圆心作弧，交11M O 于C ；（4）以C 为圆心作弧，交于点D ；（5）作射线D O 1．则∠D CO 1即为所求的角．错解分析作图过程中出现了不准确的作图语言，在作出一条弧时，应表达为：以某点为圆心，以其长为半径作弧．正解如图（2），（1）作射线11M O ；（2）在图（1）上，以O 为圆心，任意长为半径作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；（3）以1O 为圆心，OA 的长为半径作弧，交11M O 于点C ；（4）以C 为圆心，以AB 的长为半径作弧，交前弧于点D ；（5）过点D 作射线D O 1．则∠D CO 1就是所要求作的角．典型例题四例如下图，已知∠α及线段a ，求作等腰三角形，使它的底角为α，底边为a ．分析先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角∠B =∠C =∠α，底边BC =a ，故可以先作∠B =∠α，或先作底边BC =a ．作法如下图（1）∠MBN =∠α；（2）在射线BM 上截取BC =a ；（3）以C 为顶点作∠PCB =∠α，射线CP 交BN 于点A ．△ABC 就是所要求作的等腰三角形．说明画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．典型例题五例如图（1），已知直线AB 及直线AB 外一点C ，过点C 作CD ∥AB （写出作法，画出图形）．分析根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角∠ECD =∠EFB 即可．作法如图（2）．图（1）图（2）（1）过点C 作直线EF ，交AB 于点F ；（2）以点F 为圆心，以任意长为半径作弧，交FB 于点P ，交EF 于点Q ；（3）以点C 为圆心，以FP 为半径作弧，交CE 于M 点；（4）以点M 为圆心，以PQ 为半径作弧，交前弧于点D ；（5）过点D 作直线CD ，CD 就是所求的直线．说明作图题都应给出证明，但按照教科书的要求，一般不用写出，但要知道作图的原由．典型例题六例如下图，△ABC 中，a =5cm ，b =3cm ，c =3.5cm ，∠B =︒36，∠C =︒44，请你从中选择适当的数据，画出与△ABC 全等的三角形（把你能画的三角形全部画出来，不写画法但要在所画的三角形中标出用到的数据）．分析本题实质上是利用原题中的5个数据，列出所有与△ABC 全等的各种情况，依据是SSS 、SAS 、AAS 、ASA ．解与△ABC 全等的三角形如下图所示．典型例题七例正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化．拟从点A 出发，将△ABC 分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案（保留作图痕迹，不写作法）．（2003年，桂林）分析这是尺规作图在生活中的具体应用．要把△ABC 分成面积相等的三个三角形，且都是从A 点出发，说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角形的底边也相等，所以只要作出BC 边的三等分点即可．作法如下图，找三等分点的依据是平行线等分线段定理．典型例题八例已知∠AOB ，求作∠AOB 的平分线OC ．错解如图（1）作法（1）以O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA 、OB 于D 、E 两点；（2）分别以D 、E 为圆心，以大于21DE 的长为半径作弧，两弧相交于C 点；（3）连结OC ，则OC 就是∠AOB 的平分线．错解分析对角平分线的概念理解不够准确而致误．作法（3）中连结OC ，则OC 是一条线段，而角平分线应是一条射线．图（1）图（2）正解如图（2）（1）以点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA 、OB 于D 、E 两点；（2）分别以D 、E 为圆心，以大于21DE 的长为半径作弧，两弧交于C 点；（3）作射线OC ，则OC 为∠AOB 的平分线．典型例题九例如图（1）所示，已知线段a 、b 、h （h ＜b ）．求作△ABC ，使BC =a ，AB =b ， BC 边上的高AD =h ．图（1）错解如图（2），（1）作线段BC =a ；（2）作线段BA =b ，使AD ⊥BC 且AD =h ．则△ABC 就是所求作的三角形．错解分析 ①不能先作BC ；②第2步不能同时满足几个条件，完全凭感觉毫无根据；③未考虑到本题有两种情况．对于这种作图题往往都是按照由里到外的顺序依次作图，如本题先作高AD ，再作AB ，最后确定BC ．图（2）图（3）正解如图（3）．（1）作直线PQ ，在直线PQ 上任取一点D ，作DM ⊥PQ ；（2）在DM 上截取线段DA =h ；（3）以A 为圆心，以b 为半径画弧交射线DP 于B ；（4）以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BP 和射线BQ 于1C 和2C ；（5）连结1AC 、2AC ，则△1ABC （或△2ABC ）都是所求作的三角形．典型例题十例如下图，已知线段a ，b ，求作Rt △ABC ，使∠ACB =90°，BC =a ，AC =b （用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）．分析本题解答的关键在于作出∠ACB =90°，然后确定A 、B 两点的位置，作出△ABC ．作法如下图（1）作直线MN ：（2）在MN 上任取一点C ，过点C 作CE ⊥MN ；（3）在CE 上截取CA =b ，在CM 上截取CB =a ；（4）连结AB ，△ABC 就是所求作的直角三角形．说明利用基本作图画出所求作的几何图形的关键是要先分析清楚作图的顺序．若把握不好作图顺序，要先画出假设图形．典型例题十一例如下图，已知钝角△ABC ，∠B 是钝角．求作：（1）BC 边上的高；（2）BC 边上的中线（写出作法，画出图形）．分析（1）作BC 边上的高，就是过已知点A 作BC 边所在直线的垂线；（2）作BC 边上的中线，要先确定出BC 边的中点，即作出BC 边的垂直平分线．作法如下图（1）①在直线CB 外取一点P ，使A 、P 在直线CB 的两旁；②以点A 为圆心，AP 为半径画弧，交直线CB 于G 、H 两点；③分别以G 、H 为圆心，以大于21GH 的长为半径画弧，两弧交于E 点； ④作射线AE ，交直线CB 于D 点，则线段AD 就是所要求作的△ABC 中BC 边上的高．（2）①分别以B 、C 为圆心，以大于21BC 的长为半径画弧，两弧分别交于M 、N 两点； ②作直线MN ，交BC 于点F ；③连结AF ，则线段AF 就是所要求作的△ABC 中边BC 上的中线．说明在已知三角形中求作一边上的高线、中线、角平分线时，首先要把握好高线、中线、角平分钱是三条线段；其次，高线、中线的一个端点必须是三角形中这边所对的顶点，而关键是找出另一个端点．典型例题十二例如图（1）所示，在图中作出点C ，使得C 是∠MON 平分线上的点，且AC =OC ．图（1）图（2）分析由题意知，点C 不仅要在∠MON 的平分线上，且点C 到O 、A 两点的距离要相等，所以点C 应是∠MON 的平分线与线段OA 的垂直平分线的交点．作法如图（2）所示（1）作∠MON 的平分线OP ；（2）作线段OA 的垂直平分线EF ，交OP 于点C ，则点C 就是所要求作的点．说明（1）根据题意弄清要求作的点的特征是到各直线距离相等，还是到各端点距离相等．（2）两条直线交于一点．典型例题十三例如下图，已知线段a 、b 、∠α、∠β．求作梯形ABCD ，使AD =a ，BC =b ，AD ∥BC ，∠B =∠α；∠C =∠β．分析假定梯形已经作出，作AE ∥DC 交BC 于E ，则AE 将梯形分割为两部分，一部分是△ABE ，另一部分是AECD ．在△ABE 中，已知∠B =∠α，∠AEB =∠β，BE =b -a ，所以，可以首先把它作出来，而后作出AECD ．作法如下图．（1）作线段BC=b；（2）在BC上截取BE=b-a；（3）分别以B、E为顶点，在BE同侧作∠EBA=∠α，∠AEB=∠β，BA、EA交于A；（4）以EA、EC为邻边作AECD．四边形ABCD就是所求作的梯形．说明基本作图是作出较简单图形的基础，三角形是最简单的多边形，它是许多复杂图形的基础．因此，要作一个复杂的图形，常常先作一个比较容易作出的三角形，然后以此为基础，再作出所求作的图形．典型例题十四例如下图，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在A区内，到铁路与公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B点700米，如果你是红方的指挥员，请你在图示的作战图上标出蓝方指挥部的位置．（2002年，青岛）分析依据角平分线的性质可以知道，蓝方指挥部必在A区内两条路所夹角的平分线上，然后由蓝方指挥部距B点的距离，依据比例尺，计算出图上的距离为3.5cm，就可以确定出蓝方指挥部的位置．解如下图，图中C点就是蓝方指挥部的位置．典型例题十五例如图（1），已知有公共端点的线段AB、BC．求作⊙O，使它经过点A、B、C（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2002年，大连）图（1）图（2）分析因为A 、B 、C 三点在⊙O 上，所以OA =OB =OC =R ．根据到线段AB 、BC 各端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，故分别作线段AB 、BC 垂直平分线即可．解如图（2）说明角平分线的性质、线段垂直平分线的性质在作图题中的应用是近几年中考中的又一道风景，它往往与实际问题紧密联系在一起．典型例题十六例如图，是一块直角三角形余料，︒=∠90C ．工人师傅要把它加工成一个正方形零件，使C 为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB 、BC 、AC 边上．试协助工人师傅用尺规画出裁割线．分析要作出符合条件的正方形，可先作出有三个角为90°的四边形，并设法让相邻的一组边相等即可．作法如图．① 作ACB ∠的角平分线CD ，交AB 于点G ；②过G 点分别作AC 、BC 的垂线，垂足为E 、F ．则四边形ECFG 就是所要求作的正方形．。

尺规三大作图问题.

尺规三大作图问题尺规作图是我们熟知的内容。

尺规作图对作图的工具——直尺和圆规的作用有所限制。

直尺和圆规所能的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、圆点、作一条直线与一个圆的交点。

公元前五世纪的希腊数学家，已经习惯于用不带刻度的直尺和圆规（以下简称尺规）来作图了。

在他们看来，直线和圆是可以信赖的最基本的图形，而直尺和圆规是这两种图形的具体体现，因而只有用尺规作出的图形才是可信的。

于是他们热衷于在尺规限制下探讨几何作图问题。

数学家们总是对用简单的工具解决困难的问题备加赞赏，自然对用尺规去画各种图形饶有兴趣。

尺规作图是对人类智慧的挑战，是培养人的思维与操作能力的有效手段。

所谓三大几何作图难题就是在这种背景下产生的。

起初，人们并没有认识到满足这一要求会有多大困难，但经过多次努力还不能办到时，才感到事态的严重。

人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图经过慎重的思考，也感到无能为力。

这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。

用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。

任意给定一个角，仅用直尺和圆规作它的角平分线是很容易的，这就是说，二等分任意角是很容易做到的。

于是，人们自然想到，任意给定一个角，仅用直尺和圆规将它三等分，想必也不会有多大困难。

但是，尽管费了很大的气力，却没能把看来容易的事做成。

于是，第二个尺规作图难题——三等分任意角问题产生了。

另类做法：总述：人们用尺规解几何三大作图题屡遭失败之后，一方面是从反面怀疑它是否可作；另一方面就很自然地考虑，假如跳出尺规作图的框框，也就是不限用尺规，而是借助于另外一些曲线，或者借助于尺规以外的一些工具，是不是可解决这些问题呢？人们发现，一旦跳出了尺规作图的框框，问题的解决将是轻而易举的.这方面的工作已经有许多人做过，而且取得了不少成就，下面的词条内容就择要介绍一二.三等分任意角★作法一三等分角问题尼科梅德斯(Nicomedes，公元前250年左右)方法对于已知锐角∠O，在角的一边上取任意点B，作OB的垂线，交∠O的另一边于点A.以O为定点，BA为定直线，2OA为定长，作出蚌线的右支C.从点A作BA的垂线，和蚌线C相交于点S，那么∠BOS=1/3∠BOA★作法二帕斯卡(Pascal，B.1623—1662)的方法对于∠AOB，在其一边上取任意长OA做半径，以点O为圆心作一圆(图12).延长AO，和圆O交于点C.以圆O为定圆，以C为定点，以定圆O的半径为定长，作一蚶线蚶线和角的另一边OB相交于点E.连结CE，过点O作OS∥CE，那么∠BOS=1/3∠BOA★作法三帕普斯(Pappus，约公元320年)方法对于∠AOB，在它的两边上截取OA=OB.连结AB并三等分，设两分点分别为C和D.以点C为中心，点A、D分别为顶点，作离心率e=√2的双曲线.以点O为圆心，OB为半径作弧，交双曲线于点S.则∠BOS=1/3∠BOA★作法四玫瑰线方法交∠AOB的两边于点A和B，分别以O和A为圆心，a为半径画弧，两弧交于点S，则有∠BOS=1/3∠BOA立方倍积★作法一倍立方问题倍立方问题柏拉图(Plato，公元前427—347年)的方法：作两条互相垂直的直线，两直线交于点O，在一条直线上截取OA=a，在另一条直线上截取OB=2a，这里a为已知立方体的棱长.在这两条直线上分别取点C、D，使∠ACD=∠BDC=90°(这只要移动两根直角尺，使一个角尺的边缘通过点A，另一个角尺的边缘通过点B，并使两直角尺的另一边重合，直角顶点分别在两直线上，这时两直角尺的直角顶点即为点C、D).线段OC之长即为所求立方体的一边。

阅读材料由尺规作图产生的三大难题-华东师大版八年级数学上册教案

阅读材料：由尺规作图产生的三大难题本文内容来自《华东师大版八年级数学上册教案》，主要介绍尺规作图时可能遇到的三大难题。

一、立方不可能倍
立方不可能倍，这是由公元五世纪时柏拉图学派数学家希帕索斯发现的。

他试图用尺规作图将边长为1的正方体的体积倍增，但失败了。

后来，正如哥德尔证明数学的不完备性一样，费马、笛卡尔等数学家证明了希帕索斯定理的正确性。

二、圆面积无理可求
圆却是无理数和欧拉数e的悖论。

早在公元前四世纪时，希腊数学家麦涅尼斯发现了圆周率，但直到二千年后人们才发现，用尺规作图无法得到一个正方形面积与一个圆面积相等的长和宽比。

这是因为圆的面积是不可理解的数学悖论，一如虚数，永远无法表示为一个有限的小数，因此也不能使用尺规作图。

三、三等分角度难题
尺规作图可以将一个角度分成2、4、8等份，但无法分成3、5、6等份。

这
是因为尺规作图中基本构件只有直线和圆，而三等分角度需要平分圆周角，这实际上是一种立方根问题，即要求解三次方程的根，而尺规作图仅适用于一、二次方程。

结语
尺规作图虽然有其限制性和局限性，但古希腊数学家依然用它成功地解决了许多几何问题。

今天，尺规作图也是数学勾股定理，勾股题等几何问题的重要工具之一。

同时，三大难题的发现也让人们更加深入地理解了数学及其应用的局限性。

中考数学必考考点专题32尺规作图含解析

3.对尺规作图题解法：写出已知，求作，作法（不要求写出证明过程）并能给出合情推理。

【例题2】（2019山东枣庄）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．【答案】见解析。

初二数学尺规作图典型例题归纳

初二数学尺规作图典型例题归纳典型例题一例已知线段a、b，画一条线段，使其等于．分析所要画的线段等于，实质上就是．画法：1．画线段．2．在AB的延长线上截取．线段AC就是所画的线段．说明1．尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去．2．其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基本作图．典型例题二例如下图，已知线段a和b，求作一条线段AD使它的长度等于2a－b．图（2）正解如图（2），（1）作射线AM；（2）在射线AM上，顺次截取AB=BC=a；（3）在线段CA上截取CD=b，则线段AD就是所求作的线段．典型例题三例求作一个角等于已知角∠MON（如图1）．图（1）图（2）正解如图（2），（1）作射线；（2）在图（1）上，以O为圆心，任意长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；（3）以为圆心，OA的长为半径作弧，交于点C；（4）以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧于点D；（5）过点D作射线．则∠就是所要求作的角．典型例题四例如下图，已知∠α及线段a，求作等腰三角形，使它的底角为α，底边为a．分析先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角∠B=∠C=∠α，底边BC=a，故可以先作∠B=∠α，或先作底边BC=a．作法如下图（1）∠MBN=∠α；（2）在射线BM上截取BC=a；（3）以C为顶点作∠PCB=∠α，射线CP交BN于点A．△ABC就是所要求作的等腰三角形．说明画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．典型例题五例如图（1），已知直线AB及直线AB外一点C，过点C作CD∥AB（写出作法，画出图形）．分析根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角∠ECD=∠EFB即可．作法如图（2）．图（1）图（2）（1）过点C作直线EF，交AB于点F；（2）以点F为圆心，以任意长为半径作弧，交FB于点P，交EF于点Q；（3）以点C为圆心，以FP为半径作弧，交CE于M点；（4）以点M为圆心，以PQ为半径作弧，交前弧于点D；（5）过点D作直线CD，CD就是所求的直线．说明作图题都应给出证明，但按照教科书的要求，一般不用写出，但要知道作图的原由．典型例题六例如下图，△ABC中，a=5cm，b=3cm，c=3.5cm，∠B=，∠C=，请你从中选择适当的数据，画出与△ABC全等的三角形（把你能画的三角形全部画出来，不写画法但要在所画的三角形中标出用到的数据）．分析本题实质上是利用原题中的5个数据，列出所有与△A BC全等的各种情况，依据是SSS、SAS、AAS、ASA．解与△ABC全等的三角形如下图所示．典型例题七例正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化．拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案（保留作图痕迹，不写作法）．（2003年，桂林）分析这是尺规作图在生活中的具体应用．要把△ABC分成面积相等的三个三角形，且都是从A点出发，说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角形的底边也相等，所以只要作出BC边的三等分点即可．作法如下图，找三等分点的依据是平行线等分线段定理．典型例题八例已知∠AOB，求作∠AOB的平分线OC．错解如图（1）作法（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E两点；（2）分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧相交于C点；（3）连结OC，则OC就是∠AOB的平分线．错解分析对角平分线的概念理解不够准确而致误．作法（3）中连结OC，则OC是一条线段，而角平分线应是一条射线．图（1）图（2）正解如图（2）（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E两点；（2）分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧交于C点；（3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线．典型例题九例如图（1）所示，已知线段a、b、h（h＜b）．求作△ABC，使BC=a，AB=b， BC边上的高AD=h．图（1）错解如图（2），（1）作线段BC=a；（2）作线段BA=b，使AD⊥BC且AD=h．则△ABC就是所求作的三角形．错解分析①不能先作BC；②第2步不能同时满足几个条件，完全凭感觉毫无根据；③未考虑到本题有两种情况．对于这种作图题往往都是按照由里到外的顺序依次作图，如本题先作高AD，再作AB，最后确定BC．图（2）图（3）正解如图（3）．（1）作直线PQ，在直线PQ上任取一点D，作DM⊥PQ；（2）在DM上截取线段DA=h；（3）以A为圆心，以b为半径画弧交射线DP于B；（4）以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BP和射线BQ于和；（5）连结、，则△（或△）都是所求作的三角形．典型例题十例如下图，已知线段a，b，求作Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b （用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）．分析本题解答的关键在于作出∠ACB=90°，然后确定A、B两点的位置，作出△ABC．作法如下图（1）作直线MN：（2）在MN上任取一点C，过点C作CE⊥MN；（3）在CE上截取CA=b，在CM上截取CB=a；（4）连结AB，△ABC就是所求作的直角三角形．说明利用基本作图画出所求作的几何图形的关键是要先分析清楚作图的顺序．若把握不好作图顺序，要先画出假设图形．典型例题十一例如下图，已知钝角△ABC，∠B是钝角．求作：（1）BC边上的高；（2）BC边上的中线（写出作法，画出图形）．分析（1）作BC边上的高，就是过已知点A作BC边所在直线的垂线；（2）作BC边上的中线，要先确定出BC边的中点，即作出BC边的垂直平分线．作法如下图（1）①在直线CB外取一点P，使A、P在直线CB的两旁；②以点A为圆心，AP为半径画弧，交直线CB于G、H两点；③分别以G、H为圆心，以大于GH的长为半径画弧，两弧交于E点；④作射线AE，交直线CB于D点，则线段AD就是所要求作的△ABC中BC边上的高．（2）①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径画弧，两弧分别交于M、N两点；②作直线MN，交BC于点F；③连结AF，则线段AF就是所要求作的△ABC中边BC上的中线．说明在已知三角形中求作一边上的高线、中线、角平分线时，首先要把握好高线、中线、角平分钱是三条线段；其次，高线、中线的一个端点必须是三角形中这边所对的顶点，而关键是找出另一个端点．典型例题十二例如图（1）所示，在图中作出点C，使得C是∠MON平分线上的点，且AC=OC．图（1）图（2）分析由题意知，点C不仅要在∠MON的平分线上，且点C到O、A两点的距离要相等，所以点C应是∠MON的平分线与线段OA的垂直平分线的交点．作法如图（2）所示（1）作∠MON的平分线OP；（2）作线段OA的垂直平分线EF，交OP于点C，则点C就是所要求作的点．说明（1）根据题意弄清要求作的点的特征是到各直线距离相等，还是到各端点距离相等．（2）两条直线交于一点．典型例题十三例如下图，已知线段a、b、∠α、∠β．求作梯形ABCD，使AD=a，BC=b，AD∥BC，∠B=∠α；∠C=∠β．分析假定梯形已经作出，作AE∥DC交BC于E，则AE将梯形分割为两部分，一部分是△ABE，另一部分是AECD．在△ABE中，已知∠B=∠α，∠AEB=∠β，BE=b-a，所以，可以首先把它作出来，而后作出AECD．作法如下图．（1）作线段BC=b；（2）在BC上截取BE=b-a ；（3）分别以B、E为顶点，在BE同侧作∠EBA=∠α，∠AEB=∠β，BA、EA 交于A；（4）以EA、EC为邻边作AECD．四边形ABCD就是所求作的梯形．说明基本作图是作出较简单图形的基础，三角形是最简单的多边形，它是许多复杂图形的基础．因此，要作一个复杂的图形，常常先作一个比较容易作出的三角形，然后以此为基础，再作出所求作的图形．典型例题十四例如下图，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在A区内，到铁路与公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B点700米，如果你是红方的指挥员，请你在图示的作战图上标出蓝方指挥部的位置．（2002年，青岛）分析依据角平分线的性质可以知道，蓝方指挥部必在A区内两条路所夹角的平分线上，然后由蓝方指挥部距B点的距离，依据比例尺，计算出图上的距离为3.5cm，就可以确定出蓝方指挥部的位置．解如下图，图中C点就是蓝方指挥部的位置．典型例题十五例如图（1），已知有公共端点的线段AB、BC．求作⊙O，使它经过点A、B、C（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2002年，大连）图（1）图（2）分析因为A、B、C三点在⊙O上，所以OA=OB=OC=R．根据到线段AB、BC 各端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，故分别作线段AB、BC垂直平分线即可．解如图（2）说明角平分线的性质、线段垂直平分线的性质在作图题中的应用是近几年中考中的又一道风景，它往往与实际问题紧密联系在一起．典型例题十六例如图，是一块直角三角形余料，．工人师傅要把它加工成一个正方形零件，使C为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、BC、AC边上．试协助工人师傅用尺规画出裁割线．分析要作出符合条件的正方形，可先作出有三个角为90°的四边形，并设法让相邻的一组边相等即可．作法如图．1 作的角平分线CD，交AB于点G；②过G点分别作AC、BC的垂线，垂足为E、F．则四边形ECFG就是所要求作的正方形．。

尺规作图专项

尺规作图1、定义（1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．2、基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．3、复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．4、应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．1、（2018•荆州）已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC．射线OC即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是_____．2、（2018•百色）已知∠AOB＝45°，求作∠AOP＝22.5°，作法：（1）以O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA，OB于点N，M；（2）分别以N，M为圆心，以OM长为半径在角的内部画弧交于点P；（3）作射线OP，则OP为∠AOB的平分线，可得∠AOP＝22.5°根据以上作法，某同学有以下3种证明思路：①可证明△OPN≌△OPM，得∠POA＝∠POB，可得；②可证明四边形OMPN为菱形，OP，MN互相垂直平分，得∠POA＝∠POB，可得；③可证明△PMN为等边三角形，OP，MN互相垂直平分，从而得∠POA＝∠POB，可得．你认为该同学以上3种证明思路中，正确的有（）A．①②B．①③C．②③D．①②③3、（2018•河北）尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是（）A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣ⅢB．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣ⅠC．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣ⅠD．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ4、（2018•舟山）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（）A．B．C．D．5、（2018•江西）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；（2）在图2中，若BA＝BD，画出△ABD的AD边上的高．6、（2018•安徽）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．。