计算机数值方法试题
计算方法习题集及解答(总结版)
左边 （ ）- 右边 证明：当 m=0 时
∑∞
= T0 h
T=
∆ i
h
2i
=
i=1
设 时等式成立，即 （ ）- m=k
Tk h
∑∞
T=
∆ h (k ) 2k +2i i
i =1
当 时 m=k+1
∑ ∑ Tk+（1 h）-T=
4k
+1Tk
(
h 2
)
−
Tk
(h)
4k +1 −1
−T=
4k +1[T
+
∞ i =1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1.5 1.44444 1.47929 1.456976 1.47108 1.46209 1.46779 1.4416 1.46647
9 1.4650
10
11
1.46593 1.4653
x* ≈ 1.466
迭代公式（2）：
k
0
xk
1.5
12 1.46572
13 1.46548
14 1.46563
xk +1
=
ln(4 − xk ln 2
)
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
xk 1.5 1.322 1.421 1.367 1.397 1.380 1.390 1.384 1.387 1.386 1.386
x* ≈ 1.386
2. 方程 x3 − x2 −1 = 0 在 x = 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：
数值计算期末试题及答案
数值计算期末试题及答案1. 题目：求方程 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0 在区间 [0, 2] 上的根。
解答：为了求解方程 f(x) = 0 在给定区间上的根，可以使用二分法或者牛顿法等数值方法。
这里我将采用二分法进行求解。
首先，观察方程在区间 [0, 2] 上的图像，可以发现 f(0) = -1，f(2) = 1，即方程在区间 [0, 2] 上存在根。
接下来，我们可以通过二分法逼近此根的位置。
二分法的基本思路是不断将给定区间一分为二，并判断根的位置在前半部分还是后半部分，然后继续在包含根的那一半区间内进行二分，直到达到所需的精确度为止。
具体的二分法迭代过程如下：1. 初始化区间左边界 a = 0，右边界 b = 2，以及精确度 eps。
2. 当 (b - a) > eps 时，执行以下步骤：a. 计算区间中点 c = (a + b) / 2。
b. 如果 f(c) 等于 0 或者在所需的精确度 eps 内，返回 c。
c. 否则，根据 f(c) 和 f(a) 的符号判断根的位置：- 如果 f(c) 和 f(a) 的符号相同，说明根在区间 [c, b] 中，更新 a = c。
- 否则，根在区间 [a, c] 中，更新 b = c。
3. 返回最终得到的近似根 c。
根据上述算法，我们可以得到方程 f(x) = 0 在区间 [0, 2] 上的近似根为c ≈ 1.521。
2. 题目：使用梯形法则计算定积分∫[0, π] sin(x) dx。
解答：定积分的数值计算可以通过数值积分方法来实现。
其中，梯形法则是一种常用的数值积分方法。
梯形法则的基本思路是将定积分区间划分成多个小梯形，然后计算各个小梯形的面积之和作为近似解。
具体的步骤如下：1. 初始化定积分区间的左边界 a = 0，右边界b = π，以及划分的小梯形数量 n。
2. 计算每个小梯形的宽度 h = (b - a) / n。
华工计算机计算方法(数值分析)考试试卷
考完试了，顺便把记得地题目背下来，应该都齐全了.我印象中也就只有这些题，题目中地数字应该是对地，我也验证过，不过也不一定保证是对地，也有可能我也算错了.还有就是试卷上面地题目可能没有我说地这么短，但是我也不能全把文字背下来，大概意思就是这样吧.每个部分地题目地顺序可能不是这样，但总体就是这四大块.至于每道题目地分值，我记得地就写出来了，有些题目没注意.我题目后面写地结果都是我考试时算出来地，考完了也懒得验证了，可能不一定对，自己把握吧，仅供参考.华南理工大学计算机计算方法（数值分析）考试试卷一填空题（分）1.（分）* ，准确值，求绝对误差(*) ，相对误差(*) ，有效数位是.（分）当插值函数地越大时，会出现龙格现象，为解决这个问题，分段函数不一个不错地办法，请写出分段线性插值、分段三次插值和三次样条插值各自地特点.3.（分）已知和相近，将–变换成可以使其计算结果更准确.4.（分）已知–，求牛顿迭代法地迭代式子.解题思路：. 这里地绝对误差和相对误差是没有加绝对值地，而且要注意是用哪个数减去哪个数得到地值，正负号会不一样；. 可以从它们函数地连续性方面来说明；. 只要满足课本所说地那几个要求就可以；这个记得迭代公式就可以直接写，记不住可以自己推导，就是用泰勒展开式来近似求值得到地迭代公式.我最终地结果是：1.2.分段线性插值保证了插值函数地连续性，但是插值函数地一次导数不一定连续；分段三次既保证了插值函数地连续性，也保证了其一次导数地连续性；三次样条插值保证了插值函数及其一次导数和二次导数地连续性3.()4.– ( –)( )二计算题（分）已知() –，用对分法求其在[ , ]区间内地根，误差要满小于，需要对分多少次？请写出最后地根结果.解题思路：每次求区间地中值并计算其对应地函数值，然后再计算下一个区间中值及函数值，一直到两次区间中值地绝对值小于为止.我最终算得地对分次数是，根地结果为.2.根据以下数据回答相应问题：(1)请根据以上数据构造三次插值函数；(2)请列出差商表并写出三次插值函数.解题思路：() 直接按照书本地定义把公式列出来就可以了，这个要把公式记住了才行，不然也写不了；()差商表就是计算三次插值函数过程中计算到地中间值及结果值，可以先在草稿上按照公式地计算过程把公式写出来，然后把中间用到地值整理成一个表格，这个表格就是差商表了，最后再把公式和表格都写到试卷上就行了.当然也可以先把表格写出来，再用表格地数据写出公式都可以.因为我考试地时候也是先写表格，但是我感觉算地时候容易错，特别是除数地位置，很容易搞错相减地两个地值.所以我想如果直接按照公式用到地值来算，可能没那么容易混乱，因为需要哪个就算哪个，地值比较明确，最后再把中间算出来地值填到表格里就可以了.当然这要看个人喜好了.这里地结果有点长，不好写在这里，自己搞定吧，不难，只是直接套公式就可以了.3. 请用分解法求解以下方程组地解⎪⎩⎪⎨⎧3- = x3 - 9x2 + 6x17 = 3x3+ x2 - 4x11- = x3 - x2 + 2x1解题思路：这个直接套公式算就好了，只要数没有算错，基本都是对地.有时候要注意看是列主元还是直接法，我当时好像没注意，这里应该没有要求用列主元.我最终算得地结果是, , ，其中算出来地矩阵分别是： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-123121 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--12531124. （分）已知下列矩阵方程，根据以下要求回答问题： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡210131012⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-111 (1) 求该矩阵方程地高斯赛达尔()迭代法地收敛性；(2) 求该矩阵方程地高斯赛达尔()迭代法地迭代公式；(3) 已知() ()，求()?解题思路：() 这个证明可以有两种方法，第一种用课本地定义来算，就是将系数矩阵地下三角系数全都乘上一个λ值，然后计算行列式，把所有地λ求出来，只要所有地λ都小于，那么就收敛；第二种方法就是用课本地定理证明，如果系数矩阵是强对角占优地，那么简单迭代法（）和迭代法都收敛，这道题刚好满足条件；() 这个迭代公式只要把矩阵和矩阵求出来就可以写出迭代公式了；() 把()代入()中地迭代公式就可以求出来.我地最终结果是：我直接用强对角占优证明，只写了两句话，不知道老师是不是要求我们用算地...至于强对角占优地判定，书上有，大概意思就是每一行中在主对角线上地那个数地绝对值比旁边所有数地绝对值加起来都要大就是强对角占优了.弱对角就是可以等于.详细定义翻书吧.(2) 我算出来地和矩阵如下：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--02/1003/10，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--03/1002/10，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-2/13/12/1迭代公式就是() () ()(3) () (, , )5. 已知以下方程，请利用最小二乘法求解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧0 = 7x2 + 2x1-13= 6x2 + 3x12 = 5x2 + x1-5 = 2x2+ x1解题思路：首先构造一个多变量拟合函数() ，可以把，看成是系数来求解，按照多变量拟合函数求解方法就可以得到结果.我最终算得地结果是：方程组为：⎪⎩⎪⎨⎧⨯=⨯+⨯⨯=⨯+⨯∑∑∑∑∑∑y t t t x t t x yt t t x t t x 22222111212111计算值并代入：⎩⎨⎧=+=+9821141422115x x x x计算地结果为：,请用复化梯形求积公式求出积分dx ⎰10x -e （注：里面地函数是）地近似值，要求误差限满足，请问需要将区间[]分成多少份？解题思路：首先是先把复化梯形求积公式地误差公式写出来，这个要记得，利用误差公式计算出满足精度要求地即可.我最终算得地结果是：误差公式为’’(ŋ)ŋŋ≤≤，≥√≈，也就是满足条件.三证明题（分）已知函数()，其在区间[]内地三个插值点为,（）. 请证明函数()在[]区间内满足下列关系： 6/)]()2/)((4)()[()(b f b a f a f a b dx x f b a +++-≈⎰解题思路：利用这三个插值点写出插值函数，原函数约等于插值函数，所以原函数地积分也约等于插值函数地积分，然后算出插值函数地积分结果就是证明地公式，其实这个就是课本地公式地证明.这个证明过程看课本吧.四程序题（分）前面有一段介绍列主元高斯消元法地步骤地说明（没背下来，都是文字，参考课本吧） 请按照列主元高斯消元法地思路将代码中地空格填写完整：1. 输入系数矩阵，右端项及ε；2. 选主元及消元：选主元： ≤≤若 <ε，则打印“求解失败”，停机；否则若≠，则交换地第行和行，交换行和行；消元：––3. 回代若≤ε，则打印“求解失败”，停机，否则(∑+=nijaijxj1)4.打印(…)解题思路：这个直接按照列主元高斯消去法地计算过程去写就好了.结果我写在代码里面了，是按照课本写地，我考试地时候写地应该也是这样.。
计算机组成原理：4-2 数值的机器运算
（ 小数点不动 !）
左移 ——绝对值扩大
右移—— 绝对值缩小
在计算机中，移位与加减配合，能够实现
乘除运算。
逻辑移位
逻辑移位——无符号数的移位。
逻辑左移：低位添 0，高位移丢。
0 逻辑右移：高位添 0，低位移丢。
0
例：
01010011
逻辑左移 10100110
逻辑右移 00101001
算术移位
较大正数相加 产生进位，影
响符号位
解： [X]补= 0 , 1 0 1 0 + [Y]补= 0 , 1 0 0 1 1,0011
设字长为5
例2：X=-1010 Y=-1011 求 X+Y
解： [X]补= 1, 0 1 1 0
+ [Y]补= 1, 0 1 0 1 0,1011
较大的负数对应较 小的正数补码，相 加无进位，符号位
例: X＝-0.1100 Y＝-0.1000，求 X+Y＝？ 解:设字长为5.
[X]补=11. 0100 + [Y]补=11. 1000
10. 1100 结果说明：
负数绝对值太大了对应的补码小，最高数据位向前无进位， 而符号位向前有进位； 两个符号位：10，表示负上溢
双符号位法溢出逻辑表达式为：V=Sf1⊕ Sf2
在模2意义下,任意两数的补码之和等于该两数之和 的补码。 这是补码加法的理论基础。
特点：
不需要事先判断符号，符号位与数值位一起参加 运算，符号位相加后若有进位，则舍去该进位数字。
补码加法运算举例
例： X＝+0.1010， Y＝+0.0011，求 X+Y 解: 设字长为5.
[X]补=0. 1 0 1 0 + [Y]补=0. 0 0 1 1
有限元试题及答案
有限元试题及答案一、选择题1.有限元分析是一种利用计算机数值方法进行结构分析的方法，下面哪个说法是正确的？A. 有限元分析对结构的约束条件没有要求B. 有限元分析只适用于静力分析C. 有限元分析可以用来研究结构的动力响应D. 有限元分析的计算结果一定是精确的答案：C2.有限元法的基本步骤包括以下几个环节：I. 离散化II. 单元划分III. 节点连接IV. 计算材料性质V. 施加边界条件VI. 构建刚度矩阵和载荷向量VII. 求解节点位移和应力VIII. 后处理与结果分析请问选择项中正确的顺序是：A. IV – I – II – III – V – VI – VII – VIIIB. I – II – III – IV – V – VI – VII – VIIIC. II – III – V – IV – VI – I – VII – VIIID. I – III – II – IV – V – VI – VII – VIII答案：B3.在有限元分析中，单元是指将结构划分为有限个小单元来近似表示结构的方法。
下面哪个选项给出了常用的结构单元类型？A. 三角形单元，四面体单元，六面体单元B. 矩形单元，六面体单元，圆形单元C. 圆形单元，矩形单元，六面体单元D. 四面体单元，矩形单元，三角形单元答案：D二、填空题1.有限元分析中，刚度矩阵的计算需要根据单元的_________和材料的_________计算得到。
答案：几何形状，物理性质2.有限元法最常用的数学插值函数是_________函数。
答案：形函数3.在有限元分析中，自由度是指结构中的每个_________未知量。
答案：位移三、计算题1.给定如图所示的二维结构，使用有限元法进行分析。
假设结构材料为线性弹性材料，其杨氏模量为200 GPa，泊松比为0.3。
结构整体尺寸为5m x 3m，单元尺寸为1m x 1m。
分析载荷为2000 N，施加在结构的中心节点上。
20140506 计算机数值方法习题集(学生)
(A) (B) (C) (D)
已知 ，则 为（D）
(A) 0(B) 1(C)2(D)4
已知 且 ， ； ， 用拉格朗日线性插值求 的近似值，并估计截断误差。
解：
即
余项估计 ，其中
9.已知 ，求 及 的值。（8分）
A、牛顿（Newton）法B、迭代法C、消去法D、二分法
下面程序实现的公式是（D）
for(k=1;k<=n;k++)
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(j==k) continue;
a[k][j]=a0[k][j]/a0[k][k];
}
A. B.
C. D.
1．试用c程序实现下面公式。
定义a[k][j]为本次计算所得数组a的结果；a0[k][j]为上一次计算所得数组a的结果。
for(k=1;k<=n;k++)
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(j==k) continue;
a[k][j]=a0[k][j]/a0[k][k];
}
要使 的近似值的相对误差不超过0.1%，应取几位有效数字。
第
若f(x)再[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在[a,b]内至少有一个根。
二分法只能用于求实函数的实根
求解方程 ，若 可以表成 ，则用简单迭代法求根，那么 满足 ，近似根序列 一定收敛。
2．用迭代法求方程 的正根，下面有三种迭代格式：
xi
yi
xi2
xi3
xi4
数值分析版试题及答案
例1、已知函数表求()f x的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。
解：（1）由题可知插值基函数分别为故所求二次拉格朗日插值多项式为（2）一阶均差、二阶均差分别为均差表为故所求Newton 二次插值多项式为例2、 设2()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。
解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，且()1x ρ=，这样，有 所以，法方程为01123126119234a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，经过消元得01231162110123a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 再回代解该方程，得到14a =，0116a =故，所求最佳平方逼近多项式为*111()46S x x =+例3、 设()x f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。
解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，这样，有 所以，法方程为解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为例4、 用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1⎰。
解：（1）用4n =的复合梯形公式由于2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，所以，有 （2）用4n =的复合辛普森公式由于2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，()12220,1,2,3k xk k +=+=，所以，有例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。
解：先消元再回代，得到33x =，22x =，11x =所以，线性方程组的解为11x =，22x =，33x = 例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。
计算机数值方法试题
一、填空（共20分，每题2分）1、设，取5位有效数字，则所得的近似值x=_____.2、设一阶差商，则二阶差商3、数值微分中，已知等距节点的函数值则由三点的求导公式，有4、求方程的近似根，用迭代公式，取初始值，那么5、解初始值问题近似解的梯形公式是6、，则A的谱半径＝，A的＝7、设，则＝和=8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都_____9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_____10、设，当时，必有分解式，其中L为下三角阵，当其对角线元素足条件时，这种分解是唯一的。
二、计算题（共60 分，每题15分）1、设（1）试求在上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足 H（x）以升幂形式给出。
（2）写出余项的表达式2、已知的满足，试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？3、试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。
试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？4、推导常微分方程的初值问题的数值解公式：三、证明题1、设（1）写出解的Newton迭代格式（2）证明此迭代格式是线性收敛的2、设R=I－CA，如果，证明：（1）A、C都是非奇异的矩阵（2）参考答案：一、填空题1、2、3、4、5、6、7、8、收敛9、O（h）10、二、计算题1、1、（1）（2）2、由，可得因故故，k=0,1,…收敛。
3、，该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程在区间上积分，得，记步长为h,对积分用Simpson求积公式得所以得数值解公式：三、证明题1、证明：（1）因，故，由Newton迭代公式：n=0,1,…得，n=0,1,…（2）因迭代函数，而，又，则故此迭代格式是线性收敛的。
2、证明：（1）因，所以I–R非奇异，因I–R=CA，所以C，A都是非奇异矩阵 (2) 故则有（）因CA=I–R，所以C=（I–R）A-1，即A-1=（I–R）-1C又RA-1=A-1–C，故由（这里用到了教材98页引理的结论）移项得结合（）、两式，得模拟试题一、填空题（每空2分，共20分）1、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有＿＿＿＿＿＿＿收敛2、迭代过程（k=1,2,…）收敛的充要条件是＿＿＿3、已知数 e=...,取近似值 x=,那麽x具有的有效数字是＿＿＿4、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组的迭代格式中求＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足＿＿＿＿＿＿＿，则p(x)是不超过二次的多项式6、对于n+1个节点的插值求积公式至少具有＿＿＿次代数精度.7、插值型求积公式的求积系数之和＿＿＿8、 ,为使A可分解为A=LL T, 其中L为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围＿9、若则矩阵A的谱半径(A)=＿＿＿10、解常微分方程初值问题的梯形格式是＿＿＿阶方法二、计算题（每小题15分，共60分）1、用列主元消去法解线性方程组2、已知y=f（x）的数据如下求二次插值多项式及f（）3、用牛顿法导出计算的公式，并计算，要求迭代误差不超过。
2-1_3数值数据在计算机中的表示方法及西文字符编码1908
2-1~3数值数据在计算机中的表示方法及西文字符编码1908您的姓名： [填空题] *_________________________________1、1101101的原码为（）。
[单选题] *A）1101101(正确答案)B）11101101C）11011011D）110110102、“溢出”一般是指计算机在运算过程中产生了（）。
[单选题] *A）数据量超过内存容量B）文件个数超过磁盘目录区规定的范围C）数据超过了机器的位所能表示的范围(正确答案)D）数据超过了变量的表示范围3、补码的设计目的是（）。
[单选题] *A）使符号位能参与运算，简化运算规则B）使减法转换为加法，简化运算器的线路设计(正确答案)C）增加相同位的二进制数所能表示的数的范围D）可以实现运算过程中的库加密4、定点整数的小数点约定在（）。
[单选题] *A）符号位之后B）符号位之前C）最低位右边(正确答案)D）最低位前边5、负数的补码是（）各位求反，然后末位加1。
[单选题] *A）先对原码包括符号位B）先对原码除符号位外(正确答案)C）先对符号位除原码外D）先对符号位，然后对原码6、对于正数，其原码、反码与补码表示是（）。
[单选题] *A）一致的(正确答案)B）不一致的C）互为相反的D）互为相补的7、机器数的符号是怎样规定的（）。
[单选题] *A）最高位为符号位，用1代表正数B）最高位为符号位，用0代表正数(正确答案)C）定点数代表正数D）浮点数代表正数8、计算机中，一个浮点数由两部分组成，它们是阶码和（）。
[单选题] *A）尾数(正确答案)B）基数C）整数D）小数9、计算机中的机器数有三种表示方法，下列不是（）其表示方法。
[单选题] * A）反码C）补码D）ASCII码(正确答案)10、计算机中机器数有三种表示方法，它们是（）、反码和补码。
[单选题] * A）汉字交换码B）内码C）ASCII码D）原码(正确答案)11、计算机中机器数有三种表示方法，它们是原码、（）和补码。
计算机数值方法习题解答
第二章 解线性方程组的直接法1. 试证明: (1) 两个下三角阵的乖积仍是下三角阵. (2) 下三角阵之逆仍是下三角阵. 证明: (1).设A =B =假定:A*B=其中.ij c =1i a j b 1+2i a j b 2+ +ii a ij b +1+ii a j i b 1++ +in a nj b .因为A,B 是下三角阵,所以当i<j 时,ij a =0,ij b =0,则ij c 中每一项都会有0因子.故ij c =0,(j>i 时),即是下三角阵. ( 2 ).设A=1-A =detA!=0 则有: AB=I. 比较I 和AB 的元素,有:11a21a 22a1n a 2n a nn a11b21b 22b1n b 2n b nn b11c 12c n c 1 21c 22c n c 21n c 2n c nn c 11a 21a 22a1n a 2n a nn a 11b 12b n b 1 21b 22b n b 21n b 2n b nn b1=n b a b a b a b a 1111311121111110,,0,0,=== 因为detA!=0, 可得0!,,0!,0!2211===nn a a a 所以.0,,0,011312===n b b b 依此类推下去,对其它行,当i<j 时,都是0=ij b . 故B 是下三角阵.2. 用Gauss 消去法求解方程组. 1x + 2x -44x =1 -1x + 2x + 3x +34x =-2 1x +32x +53x -44x =-4 2x -4x =-2 解: 消元过程:回代过程可得:4x =0,3x =-1,2x =0,1x =1.1 1 0 -4 1 -1 1 1 3 -2 13 5 -4 -4 0 1 2 -1 -2 1 1 0 -4 1 0 2 1 -1 -1 0 25 0 -5 0 1 2 -1 -21 1 0 -4 1 02 1 -1 -1 0 0 4 1 -4 0 0 1.5 0.5 -1.5 1 1 0 -4 1 0 2 1 -1 -1 0 0 4 1 -4 0 0 0 0.125 03.试写Gauss 消去法的算法:解: Gauss 消去法算法分为消元过程和回代过程,其中: 对k=1,2, ,n-1 i=k+1,k+2, ,n n x =n b /nn a消 ik m =ik a /kk a 回对i=n-1,n-2, ,1 元 j=k+1,k+2, ,n代i x =(i b -∑ijaxj)/ii a过 ij a =ija -ik m kj a 程 i b=i b -ik m k b4,用Gauss 列主元素消去法解方程组.=解:1 2 1 -2 -1 2 5 3 -2 3 2 5 3 -2 3 0 3 6 3 18 -2 -2 3 5 15 0 -0.5 -0.5 -1 -2.5 1 3 2 5 9 0 0.5 0.5 6 7.5 2 5 3 -2 3 交换1,2行 2 5 3 -2 3 1 2 1 -2 -1 Gauss 消去 0 3 6 3 18 -2 -2 3 5 15 一步 0 0 0.5 -0.5 0.5 1 3 2 5 9 0 0 -0.5 5.5 4.5 2 5 3 -2 3 2 5 3 -2 3 0 -0.5 -0.5 -1 -2.5 交换2,3行. 0 3 6 3 18 0 3 6 3 18 Gauss 消去一步 0 0 0.5 -0.5 0.5 0 0.5 0.5 6 7.5 0 0 0 5 5 回代求解得:.3,1,2,11234-====x x x x1 2 1 -2 2 5 3 -2 -2 -2 3 5 1 3 2 5 4321x x x x-13 15 95.某一装置运动轨迹为一圆锥曲线2x +bxy+c 2y +dx+ey+f=0在运动轨上测得5个不同点:1c :(14.38,3.94),2c :(11.38,2.79),)59.2,81.8(:),11.5,38.6(:),07.3,42.7(:543c c c 试写出b,c,d,e,f 所满足的方程,并用列主元素消去法求出b,c,d,e,f 的近似值. 解:依题义得方程组: 祥见教材第270页.6.设A=n n ij a *)(是实对称阵,且ii a !=0.经过Gauss 消去法一步后,A 约化为 .其中,是阶方阵.证明是对称阵. 证明:A== ;而=11aα0 2A11a 12a 13a n a 121a 22a 23a n a 231a 32a 33a n a 31n a 2n a 3n a a 11a 12a 13a n a 10 )2(22a )2(23a )2(2n a0 )2(2n a )2(3n a )2(nn a11a α0 2A1-1121a a1 -11a a nn1 11a 12a n a 121a 22a n a 21n a 2n a nn a=其中:1111)2(a a a a a j i ij ij -=,i,j=2,3, ,n.A=T A ,ji ij a a =,i,j=1,2, ,n..,,3,2,,)2(11111111)2(n j i a a a a a a a a a aji j i ji j i ij ij ==-=-=亦得证2A 是对称的. 7.证明: (1) k L =的逆阵:(2)11a 12a n a 10 11122122a a a a -111212a a a a n n - 0 111212a a a a n n -1111a aa a n n nn - 11k k l ,1+- 1 k n l ,- k11k k l ,1+ 1nk l 1121l 131l 32l 11n l 2n l 3n l 1=----111211n L L L证明:(1)直接验证I L L k k =-1.=-1k k L L= I.(2).用有限归纳法证明:I n L L L L L L n n )2(111211111211--+++=-------- .1),当k=2时.=--1211L L==I L L )12(1211-++--2),假若k=m 时成立,要让k=m+1时成立mIL L L L L m mI mL L L L L m L L L L L L L I m L L L L L L L I m L L L L L L m m m m m m m m m m m m m m m m +++++=---++++=--+++=--+++=--+++=------+-+----+-+--+--+--+----+---------1111211111112111111111121111111121111112111121111211)1()1(])1([)1( .所以结论成立.8设nn a A ij )(=实方阵,若对i=1,2, n.∑==>nij j ijii aa !1成立,则称A(行)严格对角占优.试证明:若严格对角占优,则A 非奇异.11k k l ,1+- 1k n l ,- 11 1k k l ,1+ 1k n l , 11 21l 1 31l 0 11n l 0 111 32l 12n l 1121l 1 31l 32l 11n l2n l证明:A 严格对角占优,所以0211>=>∑=nj ijaaGauss 消去一步得:, 且有严格对角化.n i a a a a a a a a nijj i ij j i ii ,,3,2.,2!11111111 =->-∑= 1111,2!111,2!,2!1111,2!,2!1111?a a a a a a a a a a a a a aj i nij j nijijnij j i nij ij ni j j i ij-+=+≤-∑∑∑∑∑=====111111111111,1!1111,2!?a a a a a a a a a a a a a a a a j i ii j i ii ji nij ij j i n ij ij -≤-<-=-+<∑∑==由2A 严格对角占优0!)2(22=a ,Gauss 消去法一步类似的证3A 严格对角优化.0!)3(33=a 仿此做下去可推得:0!)(=n nn a 又由0!det )()3(33)2(2211==n nn a a a a A 亦得证A 严格对角占优.则非奇异9.设Ax= b,其中.A=b=用Dollitle 方法解此方程组.解:先求A=LU 分解,由Dolittle 分解算法.L= U== 得y=11a α 0 2A5 7 9 106 8 10 97 1089 5 7 6 5 2618 22 911.2 11.4 -0.5 11 0 0.6 15 7 9 10 -0.4 -0.8 -3 -5 -6.5 -1.111.2 1 1.4-0.5 11 0 0.6 1 4321y y y y 26 18 22 926 -13.2 -21 -4.4=得x=10.用追赶法解三对角方程组AX=F,其中:A= ,F=解:先求三角分解:=由公式(6.6),(6.8)解得i i i y ,,βα)3,2,1()4,3,2(,)4,3,2(111===-====-i c i a b b i a ii i i i i i i i αββααγ (6.6)(6.8)i i α i β i γ 1 2 1/2 -3/2 2 7/2 2/7 15/7 3 26/7 7/26 83/26 4 45/25 -35 7 9 10-0.4 -0.8 -3-5 -6.5 -1.1 4321x x x x 26 -13.2 -21 -4.4 -8 5 -1 42 1 0 0 1 4 1 0 0 1 4 1 0 0 1 2 -3 6 14 -2 1b 1c 2a 2b 2c 3a 3b 3c 4a 4b1α 2γ 2α3γ 3α4λ 4α1 1β1 2β 1 3β 1)4,3,2(1111=-==-i y a f y f y ii i i i αα再公式(6.10)44y x =1+-=i i i i x y x β i=3,2,1 (6.10)得到: 2,1,4,31234-===-=x x x x。
现代数值计算习题答案
现代数值计算习题答案现代数值计算习题答案数值计算是现代科学和工程领域中的重要组成部分，它涉及到使用数值方法和计算机技术来解决实际问题。
在学习数值计算的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以帮助学生巩固所学的知识，并提高解决实际问题的能力。
本文将为读者提供一些现代数值计算习题的答案，帮助读者更好地理解和掌握这一领域的知识。
一、数值线性代数1. 解释什么是线性方程组的LU分解？答：线性方程组的LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积的过程。
其中，L矩阵的对角线元素为1，U矩阵的对角线元素与原矩阵相同。
通过LU分解，可以简化线性方程组的求解过程，提高计算效率。
2. 什么是矩阵的条件数？答：矩阵的条件数是衡量矩阵相对于其逆矩阵的敏感程度的一个指标。
条件数越大，矩阵的求逆过程越不稳定，误差积累的可能性越大。
条件数可以用来评估数值解的稳定性和精确性。
二、插值和拟合1. 什么是插值？答：插值是指通过已知数据点来构造一个函数，使得该函数在这些数据点上的取值与已知数据完全一致。
插值可以用于估计数据点之间的未知值，常用的插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。
2. 什么是最小二乘拟合？答：最小二乘拟合是一种通过最小化残差平方和来拟合数据的方法。
在最小二乘拟合中，通过选择合适的函数形式和参数，使得拟合函数与实际数据之间的误差最小化。
最小二乘拟合广泛应用于数据分析和曲线拟合领域。
三、数值微积分1. 什么是数值积分？答：数值积分是一种通过数值方法来近似计算定积分的方法。
数值积分可以通过将定积分区间划分为若干小区间，然后在每个小区间上使用数值方法来估计积分值。
常用的数值积分方法包括梯形法则和辛普森法则。
2. 什么是数值微分？答：数值微分是一种通过数值方法来近似计算导数的方法。
数值微分可以通过使用有限差分公式来估计导数值。
常用的数值微分方法包括前向差分、后向差分和中心差分。
四、常微分方程数值解1. 什么是常微分方程？答：常微分方程是描述自变量和未知函数之间关系的方程，其中未知函数的导数出现。
数据在计算机中的表示试题
第2章数据在计算机中的表示一、填空题1 、计算机中的数有和两种表示方法。
2 、原码的编码规则是：最高位代表，其余各位是该数的。
3 、补码的编码规则是：正数的补码，负数的补码是将二进制位后在最低位。
4 、反码的编码规则是：正数的反码，负数的反码是将二进制位。
5 、一种记数制同意选用差不多数字符号的个数称为。
6 、整数部分个位位置的序号是。
7 、通常把表示信息的数字符号称为。
8 、八进制数的基数是。
9 、 7420.45Q 的十六进制数是。
10 、数在计算机中的二进制表示形式称为。
11 、在小型或微型计算机中，最普遍采纳的字母与字符编码是。
12 、计算机一般都采纳进制数进行运算、存储和传送，其理由是。
13 、十进制整数转换成二进制的方法是，小数转换成二进制的方法是。
14 、二进制的运算规则有。
15 、目前常见的机器编码有、和。
16 、对-0 和+0 有不同表示方法的机器码是和。
17 、 8 位寄存器中存放二进制整数，内容全为 1 ，当它为原码、补码和反码时所对应的十进制真值分不是、、。
18 、在二进制浮点数表示方法中，的位数越多则数的表示范围越大，的位数越多则数的精度越高。
19 、关于定点整数， 8 位原码（含 1 位符号位）可表示的最小整数为，最大整数为。
20 、采纳 BCD 码， 1 位十进制数要用位二进制数表示， 1 个字节可存放个 BCD 码。
21 、关于定点小数，8 位补码可表示的最小的数为，最大的数为 1-27 。
22 、在原码、补码、反码中，的表示范围最大。
23 、浮点运算时，若运算结果尾数的最高位不为时需要规格化处理，此方法称为。
24 、西文字符通常采纳编码，这种编码用位二进制数表示。
25 、在 1 个字节中存放两个十进制数的编码方式称为，简称。
26 、浮点运算中的对阶操作采纳右移几位，加上几个来实现，此方法称为。
27 、浮点运算结果规格化时，尾数左移解决问题，右移解决问题。
28 、逻辑操作是对数据进行按位的逻辑、逻辑、逻辑和逻辑等操作。
数值分析上机试题对应参考答案
一、 问答题1、什么是近似值x * 有效数字？若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说x*有n 位有效数字。
它可表示为X=±10m ×(a 1+a 2×10-1+…+a n ×10-(n-1),其中a i (i=1,2,…,n)是0到9中的一个数字，a 1≠0,m 为整数，且︱x －x *︱≠21×10m-n+12、数值计算应该避免采用不稳定的算法，防止有效数字的损失. 因此，在进行 数值运算算法设计过程中主要注意什么？ （1）简化计算过程，减少运算次数； （2）避免两个相近的数相减；（3）避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值； （4）防止大数“吃掉”小数的现象；（5）使用数值稳定的算法，设法控制误差的传播。
3、写出“n 阶阵A 具有n 个不相等的特征值”的等价条件（至少写3 个）(1)|A|不为零(2)n 阶矩阵A 的列或行向量组线性无关 (3)矩阵A 为满秩矩阵(4)n 阶矩阵A 与n 阶可逆矩阵B 等价4、迭代法的基本思想是什么？就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解得方法。
其基本思想为：先任取一组近似解初值X 0，然后按照某种迭代原则，由X 0计算新的近似解X 1，以此类推，可计算出X 2,X 3，…X K ，。
,如果｛X ｝收敛，则取为原方程组的解。
5、病态线性方程组的主要判断方法有哪些？（1）系数矩阵的某两行（列）几乎近似相关 （2）系数矩阵的行列式的值很小（3）用主元消去法解线性方程组时出现小主元（4）近似解x*已使残差向量r=b-Ax*的范数很小，但该近似解仍不符合问题要求。
6、Lagrange 插值的前提条件是什么？并写出二次Lagrange 插值的基函数。
前提条件是：⎩⎨⎧≠==i j i j x j，，（01)l i .2,1,0,n j i ， = 二次Lagrange 插值的基函数：()))(())((2010210x x x x x x x x x l ----=()))(())((2101201x x x x x x x x x l ----= ()))(())((1202102x x x x x x x x x l ----=7、什么是数值积分的代数精度？如果某一个求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度（或代数精确度）。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于数值分析的说法，错误的是（）。
A. 数值分析是研究数值方法的科学B. 数值分析是研究数值方法的数学理论C. 数值分析是研究数值方法的误差分析D. 数值分析是研究数值方法的数学理论、误差分析及数值方法的实现答案：B2. 在数值分析中，插值法主要用于（）。
A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 求解线性方程组D. 通过已知数据点构造一个多项式答案：D3. 线性方程组的解法中，高斯消元法属于（）。
A. 直接方法B. 迭代方法C. 矩阵分解方法D. 特征值方法答案：A4. 牛顿法（Newton's method）是一种（）。
A. 插值方法B. 拟合方法C. 迭代方法D. 优化方法答案：C5. 在数值分析中，下列哪种方法用于求解非线性方程的根？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比方法D. 斯托尔-温格尔方法答案：B6. 下列关于误差的说法，正确的是（）。
A. 绝对误差总是大于相对误差B. 相对误差总是小于绝对误差C. 误差是不可避免的D. 误差总是可以消除的答案：C7. 在数值分析中，下列哪个概念与数值稳定性无关？A. 条件数B. 截断误差C. 舍入误差D. 插值多项式的阶数答案：D8. 用泰勒级数展开函数f(x)=e^x，下列哪一项是正确的？A. f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. f(x) = 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...C. f(x) = x + x^2/2 + x^3/6 + ...D. f(x) = x - x^2/2 + x^3/6 - ...答案：A9. 插值多项式的次数最多为（）。
A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案：B10. 下列关于数值积分的说法，错误的是（）。
A. 梯形法则是一种数值积分方法B. 辛普森法则是一种数值积分方法C. 龙格法则是数值积分方法中的一种D. 数值积分方法总是精确的答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 在数值分析中，条件数是衡量问题的______。
计算机数值方法试题
数值计算方法试题一、填空（共20分，每题2分）1、设，取5位有效数字，则所得的近似值x=_____.2、设一阶差商，则二阶差商3、数值微分中，已知等距节点的函数值则由三点的求导公式，有4、求方程的近似根，用迭代公式，取初始值，那么5、解初始值问题近似解的梯形公式是6、，则A的谱半径＝，A的＝7、设，则＝和=8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都_____9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_____10、设，当时，必有分解式，其中L为下三角阵，当其对角线元素足条件时，这种分解是唯一的。
二、计算题（共60 分，每题15分）1、设（1）试求在上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足H（x）以升幂形式给出。
（2）写出余项的表达式2、已知的满足，试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？3、试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。
试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？4、推导常微分方程的初值问题的数值解公式：三、证明题1、设（1）写出解的Newton迭代格式（2）证明此迭代格式是线性收敛的2、设R=I－CA，如果，证明：（1）A、C都是非奇异的矩阵（2）参考答案：一、填空题1、2.31502、3、4、1.55、6、7、8、收敛9、O（h）10、二、计算题1、1、（1）（2）2、由，可得因故故，k=0,1,…收敛。
3、，该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程在区间上积分，得，记步长为h,对积分用Simpson求积公式得所以得数值解公式：三、证明题1、证明：（1）因，故，由Newton迭代公式：n=0,1,…得，n=0,1,…（2）因迭代函数，而，又，则故此迭代格式是线性收敛的。
2、证明：（1）因，所以I–R非奇异，因I–R=CA，所以C，A都是非奇异矩阵(2)故则有（2.1）因CA=I–R，所以C=（I–R）A-1，即A-1=（I–R）-1C又RA-1=A-1–C，故由（这里用到了教材98页引理的结论）移项得 (2.2)结合（2.1）、(2.2)两式，得模拟试题一、填空题（每空2分，共20分）1、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有＿＿＿＿＿＿＿收敛2、迭代过程（k=1,2,…）收敛的充要条件是＿＿＿3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有效数字是＿＿＿4、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组的迭代格式中求＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足＿＿＿＿＿＿＿，则p(x)是不超过二次的多项式6、对于n+1个节点的插值求积公式至少具有＿＿＿次代数精度.7、插值型求积公式的求积系数之和＿＿＿8、 ,为使A可分解为A=LL T, 其中L为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围＿9、若则矩阵A的谱半径(A)=＿＿＿10、解常微分方程初值问题的梯形格式是＿＿＿阶方法二、计算题（每小题15分，共60分）1、用列主元消去法解线性方程组2、已知y=f（x）的数据如下x 0 2 3f（x） 1 3 2求二次插值多项式及f（2.5）3、用牛顿法导出计算的公式，并计算，要求迭代误差不超过。
数值分析版试题及答案
数值分析版试题及答案 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-例1、已知函数表求()f x的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。
解：（1）由题可知插值基函数分别为故所求二次拉格朗日插值多项式为（2）一阶均差、二阶均差分别为均差表为故所求Newton 二次插值多项式为例2、 设2()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。
解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，且()1x ρ=，这样，有 所以，法方程为01123126119234a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，经过消元得01231162110123a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 再回代解该方程，得到14a =，0116a =故，所求最佳平方逼近多项式为*111()46S x x =+ 例3、 设()x f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。
解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，这样，有 所以，法方程为解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为例4、 用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1⎰。
解：（1）用4n =的复合梯形公式由于2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，所以，有 （2）用4n =的复合辛普森公式由于2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，()12220,1,2,3k xk k +=+=，所以，有例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。
数值分析试题
， ， ， ，于是有
(10分)
， ， ， ，于是有
(14分)
所求为 ， (15分)
四、证明题(本题10分）
15.已知函数表
0
1
2
3
4
5
－7
－4
5
26
65
128
求证由此构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数为1.
证明：作均差表
一阶均差
二阶均差
三阶均差
0
-7
1
-4
3
2
5
9
3
3
26
21
6
1
(6分)
4
65
39
9
1
5
128
63
12
1
因为三阶均差均为常数1，可见该函数表的牛顿插值多项式最高次幂为3次，
(7分)
且其系数为1.(10分)
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1.数值 的近似值 ，若满足 (D)，则称x有4位有效数字.
(A) (B) (C) (D)
2. 设矩阵 ，那么以A为系数矩阵的线性方程组 的雅可比迭代矩阵为(Ａ)
(A) (B) (C) (D)
3. 已知 的均差 ， ， ， ，那么均差 (Ｃ)
(A) (B) (C) (D)
于是，代入函数 ，本题有迭代公式
(7分)
，不满足精度要求.(11分)
当 时， ，
，满足精度要求.所求方程的解为 (15分)
14.用四阶龙格－库塔法求解初值问题 ，取 ，求 时的数值解.要求写出由 直接计算 的迭代公式。计算过程保留3位小数.已知四阶龙格－库塔法斜率值公式为 ， ， ，
解： ，
计算机第三章考试题目及答案
计算机第三章考试题目及答案一、选择题1. 在计算机中，二进制数的基数为：A. 8B. 16C. 10D. 2答案：D2. 下面哪个选项是十六进制数“B3”的对应二进制数：A. 10110011B. 11001011C. 11001101D. 10110111答案：B3. 在计算机中，字节是指多少位的数据单元：A. 4位B. 8位C. 16位D. 32位答案：B4. 下列哪个是计算机内部数据的表示形式：A. ASCII码B. 二进制数C. 十进制数D. 十六进制数答案：B5. 在二进制补码表示法中，正数的补码和原码相同，而负数的补码是：A. 原码每一位取反B. 原码最高位为1，其余位取反C. 原码最高位为0，其余位取反D. 原码最高位为1，其余位不变答案：B二、填空题1. 一个十六进制数可以用 ________ 个二进制位表示。
答案：42. 在二进制系统中，1111的十进制表示是 ________。
答案：153. 在二进制补码表示法中，-5的补码是 ________。
答案：10114. 具有8个二进制位的字节可以表示的最大十进制数是 ________。
答案：2555. ASCII码中，大写字母'A'的十进制表示是 ________。
答案：65三、简答题1. 请解释计算机中数的基数和位数的概念，并说明它们对计算机运算的影响。
答案：数的基数表示数的进制，常见的有二进制、八进制、十进制和十六进制。
位数表示一个数所占用的二进制位数或十进制位数，比如一个字节有8位。
数的基数和位数直接影响了计算机中数值的表示和运算。
不同的基数对应不同的数字符号，而位数决定了一个数能表示的范围大小。
基数越大，表示一个数所需的位数越少；位数越多，能表示的范围越大。
因此，基数和位数会影响计算机运算中数值的溢出、精度和运算速度等方面。
2. 请解释二进制补码表示法，并说明它在计算机中的应用。
答案：二进制补码是计算机中表示有符号数的一种形式。
数值分析整理版试题和答案
例1、 已知函数表求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。
解：（1）插值基函数分别为()()()()()()()()()()1200102121()1211126x x x x x x l x x x x x x x ----===--------()()()()()()()()()()021*******()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-===-+---+-()()()()()()()()()()0122021111()1121213x x x x x x l x x x x x x x --+-===-+--+-故所求二次拉格朗日插值多项式为()()()()()()()()()()()2202()11131201241162314121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==⎡⎤=-⨯--+⨯-+-+⨯+-⎢⎥⎣⎦=---++-=+-∑（2）一阶均差、二阶均差分别为[]()()[]()()[][][]010*********011201202303,11204,41234,,52,,126f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----===----===---均差表为故所求Newton 二次插值多项式为()()[]()[]()()()()()20010012012,,,35311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-++++-=+-例2、 设2()32f x xx =++.[0,1]x ∈.试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=.{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。
数值分析试题
数值分析试题一、选择题1.数值分析的目的是：– A. 提供数值计算的方法和技巧– B. 解决数值计算中的实际问题– C. 研究数值计算的理论基础– D. 分析和验证已有的数值计算方法2.数值分析中的舍入误差是由以下哪个原因引起的？– A. 人为输入错误– B. 计算机运算精度限制– C. 近似计算方法的局限性– D. 数值计算方法的选择问题3.在数值分析中，下面哪个方法适用于求解非线性方程的根？– A. 二分法– B. 直接法– C. 迭代法– D. 插值法4.数值逼近的基本思想是：– A. 将数值计算转化为代数运算– B. 通过逼近函数来计算数值– C. 求解数值问题的方法– D. 对数值计算进行近似处理5.下列哪个方法不属于数值微分的计算方法？– A. 差商法– B. 导数法– C. 插值法– D. 积分法二、判断题1.数值方法与符号计算方法是相互独立的。
–正确 / 错误2.数值计算方法可以得到精确的数值解。
–正确 / 错误3.数值分析只研究数值计算的精确性，不关注计算效率。
–正确 / 错误4.数值积分是求解定积分近似值的方法。
–正确 / 错误5.数值微分是求解函数导数的近似值的方法。
–正确 / 错误三、简答题1.解释数值分析的基本原理及其应用。
2.什么是舍入误差？其产生的原因有哪些？3.简述求解非线性方程根的迭代法的基本思想。
4.数值逼近的方法有哪些？各自的优缺点是什么？5.分析数值微分方法的优缺点，并举例说明其应用场景。
四、计算题1.使用二分法求方程 f(x) = x^3 - x^2 - 1 的一个实根，给出计算过程和结果。
2.使用差分法求函数 f(x) = x^2 在点 x = 1 处的一阶导数近似值，给出计算过程和结果。
3.使用拉格朗日插值法在已知数据点 (0, 0), (1, 1), (2, 4) 的基础上，求出 f(x) = x^2 的一个三次插值多项式，并计算插值多项式在 x = 1.5 处的近似值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数值计算方法试题一、填空（共20分，每题2分）1、设，取5位有效数字，则所得的近似值x=_____.2、设一阶差商，则二阶差商3、数值微分中，已知等距节点的函数值则由三点的求导公式，有4、求方程的近似根，用迭代公式，取初始值，那么5、解初始值问题近似解的梯形公式是6、，则A的谱半径＝，A的＝7、设，则＝和=8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都_____9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_____10、设，当时，必有分解式，其中L为下三角阵，当其对角线元素足条件时，这种分解是唯一的。
二、计算题（共60 分，每题15分）1、设（1）试求在上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足H（x）以升幂形式给出。
（2）写出余项的表达式2、已知的满足，试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？3、试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。
试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？4、推导常微分方程的初值问题的数值解公式：三、证明题1、设（1）写出解的Newton迭代格式（2）证明此迭代格式是线性收敛的2、设R=I－CA，如果，证明：（1）A、C都是非奇异的矩阵（2）参考答案：一、填空题1、2.31502、3、4、1.55、6、7、8、收敛9、O（h）10、二、计算题1、1、（1）（2）2、由，可得因故故，k=0,1,…收敛。
3、，该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程在区间上积分，得，记步长为h,对积分用Simpson求积公式得所以得数值解公式：三、证明题1、证明：（1）因，故，由Newton迭代公式：n=0,1,…得，n=0,1,…（2）因迭代函数，而，又，则故此迭代格式是线性收敛的。
2、证明：（1）因，所以I–R非奇异，因I–R=CA，所以C，A都是非奇异矩阵(2)故则有（2.1）因CA=I–R，所以C=（I–R）A-1，即A-1=（I–R）-1C又RA-1=A-1–C，故由（这里用到了教材98页引理的结论）移项得 (2.2)结合（2.1）、(2.2)两式，得模拟试题一、填空题（每空2分，共20分）1、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有＿＿＿＿＿＿＿收敛2、迭代过程（k=1,2,…）收敛的充要条件是＿＿＿3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有效数字是＿＿＿4、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组的迭代格式中求＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足＿＿＿＿＿＿＿，则p(x)是不超过二次的多项式6、对于n+1个节点的插值求积公式至少具有＿＿＿次代数精度.7、插值型求积公式的求积系数之和＿＿＿8、 ,为使A可分解为A=LL T, 其中L为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围＿9、若则矩阵A的谱半径(A)=＿＿＿10、解常微分方程初值问题的梯形格式是＿＿＿阶方法二、计算题（每小题15分，共60分）1、用列主元消去法解线性方程组2、已知y=f（x）的数据如下x 0 2 3f（x） 1 3 2求二次插值多项式及f（2.5）3、用牛顿法导出计算的公式，并计算，要求迭代误差不超过。
4、欧拉预报--校正公式求解初值问题取步长k=0.1,计算y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位.三、证明题（20分每题 10分）1、明定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度2、若，证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明这个结论的几何意义。
参考答案：一、填空题1、局部平方收敛2、< 13、 44、5、三阶均差为06、n7、b-a8、9、 1 10、二阶方法二、计算题1、2、3、≈1.25992 (精确到,即保留小数点后5位)4、y(0.2)≈0.01903三、证明题1、证明：当=1时，公式左边：公式右边：左边==右边当=x时左边：右边：左边==右边当时左边：右边：左边==右边当时左边：右边：左边==右边当 时 左边：右边：故 具有三次代数精度2、证明：略数值计算方法试题一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则 a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n Λ是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/Λ==k k x k 则=],,,[10n x x x f Λ 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k k x ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A = 其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
二、 二、选择题（每题2分）1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+)()1(收敛的充要条件是（ ）。
（1）1)(<A ρ, (2) 1)(<B ρ, (3) 1)(>A ρ, (4) 1)(>B ρ2、在牛顿-柯特斯求积公式：⎰∑=-≈bani i n i x f C a b dx x f 0)()()()(中，当系数)(n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
（1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ，（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次4、若用二阶中点公式)),(4,2(1n n n n n n y x f hy h x hf y y +++=+求解初值问题1)0(,2=-='y y y ，试问为保证该公式绝对稳定，步长h 的取值范围为（ ）。
(1)20≤<h , (2)20≤≤h , (3)20<<h , (4)20<≤h三、1、2bx a y +=2、（15分）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算dxe x ⎰-10时， (1) (1) 试用余项估计其误差。
（2）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。
四、1、（15分）方程013=--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）31+=x x 对应迭代格式311+=+n n x x ；(2)xx 11+=对应迭代格式n n x x 111+=+；（3）13-=x x 对应迭代格式131-=+n n x x 。
判断迭代格式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根，精确到小数点后第三位。
选一种迭代格式建立Steffensen 迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。
2、（8分）已知方程组f AX =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=4114334A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243024f（1） （1） 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。
（2） （2） 求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。
五、1、（15分）取步长1.0=h ，求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1)0(1y y dxdy用改进的欧拉法求)1.0(y 的值；用经典的四阶龙格—库塔法求)1.0(y 的值。
2、（8分）求一次数不高于4次的多项式)(x p 使它满足)()(00x f x p =,)()(11x f x p =,)()(00x f x p '=',)()(11x f x p '=',)()(22x f x p =六、（下列2题任选一题，4分） 1、 1、 数值积分公式形如⎰'+'++=≈1)1()0()1()0()()(f D f C Bf Af x S dx x xf（1） （1） 试确定参数D C B A ,,,使公式代数精度尽量高；（2）设]1,0[)(4C x f ∈，推导余项公式⎰-=10)()()(x S dx x xf x R ，并估计误差。
2、 2、 用二步法)],()1(),([111101---+-+++=n n n n n n n y x f y x f h y y y θθαα求解常微分方程的初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y 时，如何选择参数θαα,,10使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。
数值计算方法试题一、判断题：（共16分，每小题２分）１、若A 是n n ⨯阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L 和上三角阵U ，使LU A =唯一成立。
（ ） ２、当8≥n 时，Newton －cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。
（ ）3、形如)()(1i ni i ba x f A dx x f ∑⎰=≈的高斯（Gauss ）型求积公式具有最高代数精确度的次数为12+n 。
（ ）４、矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210111012A 的２－范数2A ＝９。
（ ）5、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a A 000002，则对任意实数0≠a ，方程组b Ax =都是病态的。