计算机数值方法试题

数值计算方法试题

一、填空（共20分，每题2分）

1、设，取5位有效数字，则所得的近似值x=_____.

2、设一阶差商，

则二阶差商

3、数值微分中，已知等距节点的函数值

则由三点的求导公式，有

4、求方程的近似根，用迭代公式，取初始值，

那么

5、解初始值问题近似解的梯形公式是

6、，则A的谱半径＝，A的＝

7、设，则＝和

=

8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔

迭代都_____

9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_____

10、设，当时，必有分解式，其中L为下三角阵，当其对角线元素足条件时，这种分解是唯一的。

二、计算题（共60 分，每题15分）

1、设

（1）试求在上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足

H（x）以升幂形式给出。

（2）写出余项的表达式

2、已知的满足，试问如何利用构造一个

收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？

3、试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式

有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？

4、推导常微分方程的初值问题的数值解公式：

三、证明题

1、设

（1）写出解的Newton迭代格式

（2）证明此迭代格式是线性收敛的

2、设R=I－CA，如果，证明：

（1）A、C都是非奇异的矩阵

（2）

参考答案：

一、填空题

1、2.3150

2、

3、

4、1.5

5、

6、

7、

8、收敛

9、O（h）

10、

二、计算题

1、1、（1）

（2）

2、由，可得

因故

故，k=0,1,…收敛。

3、，该数值

求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的

4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程在区间上积分，得

，记步长为h,对积分

用Simpson求积公式得

所以得数值解公式：

三、证明题

1、证明：（1）因，故，由Newton迭代公式：

n=0,1,…

得，n=0,1,…

（2）因迭代函数，而，

又，则

故此迭代格式是线性收敛的。

2、证明：（1）因，所以I–R非奇异，因I–R=CA，所以C，A都是非奇异矩

阵(2)故则有

（2.1）因CA=I–R，所以C=（I–R）A-1，即A-1=（I–R）-1C

又RA-1=A-1–C，故

由（这里用到了教材98页引理的结论）

移项得 (2.2)

结合（2.1）、(2.2)两式，得

模拟试题

一、填空题（每空2分，共20分）

1、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有＿＿＿＿＿＿＿收敛

2、迭代过程（k=1,2,…）收敛的充要条件是＿＿＿

3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有效数字是＿＿＿

4、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组

的迭代格式中求＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足＿＿＿＿＿＿＿，则p(x)是不超过二次的多项式

6、对于n+1个节点的插值求积公式至少具有＿＿＿次代数精度.

7、插值型求积公式的求积系数之和＿＿＿

8、 ,为使A可分解为A=LL T, 其中L为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围＿

9、若则矩阵A的谱半径(A)=＿＿＿

10、解常微分方程初值问题的梯形格式

是＿＿＿阶方法

二、计算题（每小题15分，共60分）

1、用列主元消去法解线性方程组

2、已知y=f（x）的数据如下

x 0 2 3

f（x） 1 3 2

求二次插值多项式及f（2.5）

3、用牛顿法导出计算的公式，并计算，要求迭代误差不超过。

4、欧拉预报--校正公式求解初值问题

取步长k=0.1,计算y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位.

三、证明题（20分每题 10分）

1、明定积分近似计算的抛物线公式

具有三次代数精度

2、若，证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明这个结论的几何意义。

参考答案：

一、填空题

1、局部平方收敛

2、< 1

3、 4

4、

5、三阶均差为0

6、n

7、b-a

8、

9、 1 10、二阶方法

二、计算题

1、

2、

3、≈1.25992 (精确到,即保留小数点后5位)

4、y(0.2)≈0.01903

三、证明题

1、证明：当=1时，公式左边：

公式右边：

左边==右边

当=x时左边：

右边：左边==右边当时左边：

右边：左边==右边

当时左边：

右边：左边==右边

当 时 左边：

右边：

故 具有三次代数精度

2、证明：略

数值计算方法试题

一、 填空题（每空1分，共17分）

1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。

2、迭代格式)2(2

1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。

3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211

0)(2

33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则 a =( )，b =（ ），c =（ ）。

4、)(,),(),(10x l x l x l n Λ是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数，则

∑==

n

k k

x l

)(( )，∑==

n

k k j

k x l

x 0

)(( )，当2≥n 时=

++∑=)()3(20

4x l x x

k k n

k k ( )。

5、设1326)(2

47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/Λ==k k x k 则=],,,[10n x x x f Λ 和=∆07

f

。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。

7、{}∞

=0)(k k x ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其

中1)(0=x ϕ，则⎰=

1

4)(dx x x ϕ 。

8、给定方程组⎩⎨

⎧=+-=-2211

21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，

SOR 迭代法收敛。

9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]

0[111]

0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是

阶方法。