第四章线性系统的可控性和可观性1
线性系统的可控性.ppt
例2-3：令
F(t )
sin1000t sin 2000t
F(t)
F(1)
(t)
sin1000t sin 2000t
103 cos1000t
2
103
cos
2000t
定理2-1 f1, f2 , …, fn在[t1，t2]上线性无关的充分必要条 件是W(t1，t2)非奇异。 证明：充分性：反证法。
事实上，若 fi 线性相关，则存在非零 1×n行向 量，使得
αF(t) 0 t [t1,t2]
因此有
t2
W(t1,t2 ) F(t)F *(t)dt 0 t1
A(t)为n n, B(t)为n p, C(t)为q n, D(t)为q p阵。
注1：一个函数 f 称为在 [t0, ) 上分段连续， 系指对任意给定的闭区间 [t1, t2] [t0, ) , 其不 连续点的个数有限。
注2：也存在其它类型的控制信号， 但容许控 制是工程中最容易实现，因而也是应用最为广 泛的一类控制信号。
容易看出，当 t 0, ,
1000 <2。
时，rnak[F(t) F(1)(t)]
但却有如下结论：
定理：设 fi (i=1,2,n) 在[t1，t2]上解析，则 fi 在
[t1，t2]上线性无关的充分必要条件是在[t1，t2]上几 乎处处有
rank[F(t) F(1) (t) F(Байду номын сангаас1) (t)] n 证明：略。
维复值向量函数，F是由 fi 构成的n×p矩阵。则 称
t2
9.2 线性系统的可控性和可观测性
n 1
n 1 k 0
t1
0
k ( )u( )d f k
f0 f An 1 B 1 f n 1
若图1所示的电桥系统是不平衡的, 两电容的电 压x1(t)和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统 是可控的。
由状态空间模型来看, 当选择两电容器两端电压为状态变量 x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程: 1 1 x1 x1 u RC1 RC1
+ x1 + C1 R u R + x2 R C2 R
阀门O均匀地输入等量液体,即其流量QO相同。
O QO 1 Q1 h1 h2 QO 2 Q2
图2 并联双水槽系统
当阀门1和2的开度不变时, 设它们在平衡工作点邻域 阀门阻力相等并可视为常 数,记为R。
O QO 1 Q1 h1 h2 QO 2 Q2
图中h1(t)和h2(t)分别为水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分 别为流量。 该双水槽系统的状态可控性可分析如下: 对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的 水流体已处于平衡。 下面仅考虑流量QO的变化量QO所引起的水槽水位 的变化。
t / AR
x1 (t ) x2 (t ) e t / AR x1 (0) x2 (0)
x1 (t ) x2 (t ) e t / AR x1 (0) x2 (0)
由上述解可知,当初始状态x1(0)和x2(0)不等时,则x1(t)和 x2(t)的状态轨迹完全不相同,即在有限时间内两条状态 轨线不相交。 因此,对该系统,无论如何控制流入的流量QO(t),都不能 使两水槽的液面高度的变化量h1(t)和h2(t)在有限时 间内同时为零,即液面高度不完全能进行任意控制。 上面用实际系统初步说明了可控性的基本含义,可控性在系 统状态空间模型上的反映可由如下两个例子说明。
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性第四章线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。
能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能⼒。
能控性严格上说有两种，⼀种是系统控制输⼊u(t)对系统内部状态x(t)的控制能⼒，另⼀种是控制输⼊u(t)对系统输出y(t)的控制能⼒。
但是⼀般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。
所以，系统的能控性和能观性研究⼀般都是基于系统的状态空间表达式的。
4-1 线性连续定常系统的能控性定义对于单输⼊n 阶线性定常连续系统bu Ax x+= 若存在⼀个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 []f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每⼀个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。
反之，只要有⼀个状态不可控，我们就称系统不可控。
对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。
4-2线性连续定常系统的能控性判别4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输⼊系统具有约旦标准型系统bu x x+Λ==Λn λλλλ0000000000000321n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根或bu Jx x+==++n m m J λλλλλλ000000000000000100000000121111m 个重根1λn-m 个互异根n m m λλλ≠≠≠++ 21 例：分析下列系统的能控性（1）u b x x+??=221000λλ[]x c c y 21=解：?=111x xλ 1x 与u ⽆关，即不受u 控制 ?+=u b x x2222λ 2x 为能控状态该系统为状态不完全能控，因⽽为不能控系统。
《自动控制原理》线性系统的可控性与可观测性
将状态 x(t0 ) = 0 转移到 x(t f ) =x f 的控制作用，则称状态 x f 是 t0 时刻 可达的。若x f 对所有时刻都是可达的，则称状态x f 为完全可达或 一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 t0 可达的， 则称该系统是 t0 时刻状态完全可达的，或简称该系统是 t0 时刻可达
可观测性问题: 相应地，如果系统所有状态变量的任意形式 的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，简称为系 统可观测。反之，则称系统是不完全可观测的，或简称为系统不可 观测。
可控性与可观测性概念，是卡尔曼于20世纪60年代首先提出 来的，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论 中起着重要的作用。它不仅是研究线性系统控制问题必不可少的重 要概念，而且对于许多最优控制、最优估计和自适应控制问题，也 是常用到的概念之一。
在研究可观测性问题时，输出 y 和输入 u 均假定为已知，只有初始
状态 x0 是未知的。因此，若定义
t
y(t) = y(t) − C(t) (t, )B( )u( )d − D(t)u(t) t0
则式（9-79）可写为
y(t) = C(t)(t,t0 )x0
（9-80）
这表明可观测性即x0 可由 y 完全估计的性能，由于 y 和 x0 可任意取
y = −6x2
这表明状态变量 x1 和 x2 都可通过选择控制量 u 而由始点达到原
点，因而系统完全可控。 如何判别？
但是，输出 y 只能反映状态变量 x2 ，而与状态变量 x1 既无直
接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。如何判别？
变化：（1）b1=0 ? （2）a12≠0 ？ (3) a21≠0 ?
值，所
线性系统的能控性与能观性 习题与解答
第4章“线性系统的能控性与能观性”习题与解答4.1 判断下列系统的能控性。
1) u x x x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10 01112121 2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321111001 342100010u u x x x x x x3) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321020011 100030013u u x x x x x x解：1) 由于该系统控制矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01b ，系统矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0111A ，所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1101 0111Ab从而系统的能控性矩阵为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1011Ab bU C显然有[]n Ab bU C ===2rank rank满足能控性的充要条件，所以该系统能控。
2)由于该系统控制矩阵为100111B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦系统矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=342100010A则有，010******* 01112431117AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦20100111001 111724317115A B -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦从而系统的能控性矩阵为21001110111171117115C U BABA B -⎡⎤⎢⎥⎡⎤==--⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦有n U C ==3rank满足能控性的充要条件，所以该系统能控。
3)由于该系统控制矩阵为110020B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦系统矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=100030013A则有，3101133030 00000012020AB ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦23103399030 00000012020A B ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦于是，系统的能控性矩阵为2113399000000202020C U BABA B ---⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可知n U C <=2rank不满足能控性的充要条件，所以该系统不完全能控。
名词解释线性系统的可控性
名词解释线性系统的可控性在现代控制理论中，线性系统的可控性是一个重要的概念。
可控性指的是对于一个给定的线性系统，是否存在一种控制方法，可以将系统从任意初始状态控制到任意目标状态。
在本文中，我们将对线性系统的可控性进行解释。
1. 线性系统首先，我们需要了解什么是线性系统。
线性系统是指满足线性等式的系统，其输出仅依赖于输入和系统本身的性质。
线性系统具有许多重要的特性，例如可以通过叠加原理来分析系统的行为，使得控制设计变得相对简单。
2. 可控性的定义可控性是指在给定时间范围内，系统的状态可以从任意初始状态控制到任意目标状态的性质。
换句话说，如果一个线性系统是可控的，那么存在一种控制方法，可以使得系统从任何初始状态到达任何目标状态。
这种控制方法可能需要对系统施加一系列的输入信号，以实现对系统状态的精确调节。
3. 可控性矩阵要判断一个线性系统是否是可控的，我们需要引入可控性矩阵的概念。
可控性矩阵是由系统的状态方程和控制输入组成的矩阵，用于描述系统的可控性。
该矩阵的秩可以告诉我们系统的可控性。
4. 可控性判据通过可控性矩阵的秩的计算，我们可以得到一个重要的结论：当且仅当可控性矩阵的秩等于系统状态的维数时，系统才是可控的。
要注意的是，当系统的可控性矩阵的秩小于系统状态的维数时，系统是不可控的。
5. 可控性的意义为什么可控性是一个重要的概念呢？可控性是控制系统设计的基础，它决定了我们是否能够通过适当的输入信号实现对系统状态的控制。
如果一个系统是不可控的，那么无论我们采取怎样的控制策略，都无法将系统从某个初始状态控制到目标状态，这是控制系统设计中的一个致命缺陷。
6. 提高可控性的方法对于一个不可控的系统，我们需要采取措施来提高其可控性。
一种常用的方法是增加系统的输入维度。
通过引入更多的控制输入，我们可以扩展控制空间，从而增加系统可控性矩阵的秩。
另一种方法是通过设计适当的反馈控制策略，利用系统动态特性来增强系统的可控性。
线性定常系统的可控性和可测性
• 结论： 结论： 状态完全可控和可观的必要条件是： 状态完全可控和可观的必要条件是： 系统的传递函数或传递函数矩阵中不出现 相约现象。 相约现象。 或： 系统的传递函数或传递函数矩阵是不可约 的
六.线性系统可控性和可观性的对偶关系 1.对偶关系 对偶关系 • 设 • 设 • 称
S1 为系统∑（A,B,C,D 为系统∑ S2 为系统 S1 和 S2对偶 对偶.
• 对定义的说明 对定义的说明: 1). t0 时刻的状态应是任意的 也即x(t)的各 时刻的状态应是任意的,也即x(t)的各 也即x(t) 时的值无论如何给定,都存在容许 分量在 t0 时的值无论如何给定 都存在容许 控制,在 时刻将初始状态转移到零,系统方 控制,在 t1 时刻将初始状态转移到零,系统方 为可控,否则系统不可控 否则系统不可控. 为可控 否则系统不可控 2). t1 应为有限的时间 t1 的选取与 t0 有关 应为有限的时间, 有关, 趋于无穷则可控失去意义. 若 t1 趋于无穷则可控失去意义
y = [ β0
ˆ β1 ⋯ βn−1] x + du
• 其中
1 a 1 O n−1 p = An−1b ⋯ Ab b ⋮ ⋮ ⋱ a2 a3 ⋯ 1 a1 a2 ⋯ an−1 1
• 由于{A,b}对可控,故p一定是非奇异的 由于{A,b}对可控, {A,b}对可控 一定是非奇异的
0 0 ɺ = ⋮ ˆ x 0 −− −a0 1 0 ⋮ 0 0 1 ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ 0 0 0 0 ⋮ ⋮ ˆ x + u 1 ⋮ ⋮ −− −an−1 1
−− −− −− −a1 −a2 ⋯
__ __ __ __ | __ ɺ = 1 0 ⋯ 0 | −a1 x + β1 u ˆ x ˆ 0 1 ⋯ 0 | −a2 β2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ | ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 | −an−1 βn−1
线性系统理论(第四章)线性系统的能控性和能观测性
An1B] T S 0
rankS n 系统状态不能控，与已知矛盾。
同理可证充分性。
例 线性定常连续系统的状态方程如下，判断其能控性。
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0
x
x u0 0 0 1 Nhomakorabea0
1
0 0 5 0 2 0
系统的特征值： 1 2 0 ,3 5 ,4 5
当 1 2 0 时：
② 系统能控：如果状态空间中的所有非零状态都是在 t0 时 刻可控的，则称系统在 t0 时刻是完全可控，简称系统在 时刻 t0 可控。如果系统对任意初始时刻 t0 完全可控， 则称系统一致可控。
③系统不完全能控：如果对给定得初始时刻 t0 Tt ，如果状
态空间中存在一个或一些非零状态在 t0 时刻是不可控的，则 称系统在 t0 时刻是不完全可控的，也称系统是不可控的。
x0TWC (0, t1)x0
t1 0
x0T
eAt
BBT
eAT t
x0
dt
t1 0
BT
eAT t
x0
2
dt
0,
BT eATt x0 0
x(t1) eAt1 x0
t1 eA(t1t) Bu(t) d t 0
0
x0
et1 -At1
0
Bu(t) d t
x0
2
x0T x0
[
et1 -At1
An1B] T S 0
T Ai B 0； i 0，1，2， ，n 1 应用凯-哈定理 An , An1 均可表示为A 的 n-1 阶多项式
T Ai B 0； i 0，1，2，3,
对 t1 0
(1)i T
Ai t i i!
4.系统的可控可观性
和不可控状态空间。
因此，系统的可控性是刻画系统的结构性质，与系 统的具体输入u无关。
说明2： 可控性分为状态可控性和输出可控性，若 不特别指明，一般指状态可控性。状态可控性只与 状态方程有关，与输出方程无关。 说明3：等价定义于若给定系统的一个初始状态可为
x(t0 )
t0可以为 0 ，如果在的有限时间区间 t0 , t1内，
若输入矩阵中B3≠0,则 输入u (t)对状态变量x3 有直接的控制作用。此 时，即使中其他行的元 素全为0，即B1=0和B2=0，源自uB1
x1
B2
x2
输入u (t)对状态变量x1和
x2也可以通过状态变量x3 产生间接的控制作用。
B3
x3
因此，只要B3≠0 ，输入
u (t)对各状态变量都有 控制作用。
解：
4.1.4 系统的可观性概念 如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由 有限时间的输出测量完全确定出来，则称系统是可观
测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全
可观测的，简称为系统不可观测。
提示：号脉
在下面讨论能观测性条件时，我们将只考虑零输
入系统。这是因为，状态能否被观测，与有没有输入
At o
由于矩阵A、B、C和D均为已知，u(t)也已知，所 以上式右端的最后两项为已知，因而它们可以从被量
测值y(t)中消去。因此，为研究能观测性的充要条件，
只考虑式零输入系统就可以了。
4.1.5 系统的可观性判据 判据一：考虑下式所描述的线性定常系统。
Ax x y Cx
其输出向量为
y(t ) Ce At x(0)
第四章可控与可观
若系统可控，则
x P 1 x
Ax bu , 使其状态方程化为可控标准型x
a i ( i 0, , n 1)为 I A n a n 1 n 1 a1 a0 各项系数
Modern Control Theory
现 代 控 制 理 论
（3 ）
4 1 0 0 0 4 0 x x 0 3 1 0 0 3 2
4 1 0 0 0 4 0 x x 2 3 1 0 0 3 0
Page: 1
4-1 问题的提出
现 代 经典控制理论以传递函数描述系统的输入—输出特性，输出量即被控量， 控 制 只要系统是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不 理 需要提出可控性和可观性的概念。 论
现代控制理论建立在状态空间表达式描述系统的基础上。状态方程描述
输入 u(t ) 引起状态
0 1 u 0 0
1 0 u 0 1
（4 ）
解：
（1）系统是可控的。 （2）系统是不可控的。 （3）系统是可控的。 （4）系统是不可控的。
Modern Control Theory
Page: 14
4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件
现 代 控 制 理 论
二、 可控标准型
Page: 2
4-1 问题的提出
现 代 控 制 理 论
【例】RLC网络
取x1 i L , x 2 uc , y uc
当
x1，x2所有变量，称系统可控。
R1R4 R2 R3 ，即电桥不平衡时，u能控制
u
控制量对状态变量的控制能力－称状态可控性 输出量对状态变量的反映能力－称状态可观测性
线性系统的可控性和可观测性
8.4 线性系统的可控性和可观测性8.4.1 可控性和可观测性的概念第三节介绍了系统的稳定性，本节接着介绍系统另外两个重要特性，即系统的可控性和可观测性，这两个特性是经典控制理论所没有的。
在用传递函数描述的经典控制系统中，输出量一般是可控的和可以被测量的，因而不需要特别地提及可控性及可观测性的概念。
现代控制理论用状态方程和输出方程描述系统，输出和输入构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，系统就好比是一块集成电路芯片，内部结构可能十分复杂，物理量很多，而外部只有少数几个引脚，对电路内部物理量的控制和观测都只能通过这为数不多的几个引脚进行。
这就存在着系统内的所有状态是否都受输入控制和所有状态是否都可以从输出反映出来的问题，这就是可控性和可观测性问题。
如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限的控制点的输入来使其由任意的初态达到任意设定的终态，则称系统是可控的，更确切的说是状态可控的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统不可控。
相应地，如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由有限测量点的输出完全确定出来，则称系统是可观测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全可观测的，简称为系统不可观测。
可控性与可观测性的概念，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论中起着重要的作用。
可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。
下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。
（a ） (b) (c)图8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别 对图8-20所示的结构图，其中图（a ）显见1x 受u 的控制，但2x 与u 无关，故系统不可控。
系统输出量y =1x ，但1x 是受2x 影响的，y 能间接获得2x 的信息，故系统是可观测的。
图（b ）中的1x 、,2x 均受u 的控制，故系统可控，但y 与2x 无关，故系统不可观测。
图（c ）中的1x 、2x 均受u 的控制，且在y 中均能观测到1x 、2x ，故系统是可控可观测的。
9-2线性系统的可控性与可观测性
1 6 4 1 4 6 1 3 2 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0 1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0 20r1 r4 r2 r4 2
2
5
6 11
16 0.
23
454页例9-12：已知线性定常系统状态方程为
0 0 x 0 0 1 0 0 1 0 0 0 5 0 0 1 0 x 0 1 0 2 1 0 u 1 0
判断系统的可控性。 解：根据状态方程可写出
3
9.2.1． 可控性定义
1．状态可控
考虑n维线性时变系统的状态方程
x A(t ) x B(t )u
x(t0 ) x0
t Tt
如果对取定初始时刻 t 0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1 Tt , t1 t 0 和一个无约 束的容许控制u(t)， t [t 0 , t1 ] ，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
25
2）当 s 3 5 时，有
rank sI A B =rank 5 0 0 0 1 1 5 1 0 4 0 0 1 0 2 0 0 1 0 4 1 0
A 2A I
2
A AA 2 A A 2(2 A I ) A 3A 2I
3 2 2
A AA 3A 2 A 3(2 A I ) 2 A 4 A 3I
3 2
根据数学归纳法有
A kA (k 1) I
k
所以：
A
第四章 线性定常系统的可控性和可测性
• 若系统哪怕只有一个状态变量在任意初始
时刻 t0 时的值不能由系统输出唯一地确定, 则称系统状态不完全可观.
2.可观性判据
• 判据定理1.
• 线性定常系统
x Ax Bu y Cx Du
• 或简称为∑(A,B,C,D) • 状态可观的充要条件是可观性矩阵 必须满秩,即 rank (QO ) n
2.单变量系统的可观标准形
• 定理2.设系统∑(A,b,c,d)可观,则可通过等价变 ˆ换 x p 1 x 将其化成如下可观标准形式. 0 0 | a 0
__ 1 ˆ x 0 0 __ 0 1 0 __ __ 0 0 1 | __ 1 | a1 ˆ x u | a2 2 | | an 1 n 1
y 0
ˆ 1 n1 x du
• 其中
1 a 1 O n 1 p An 1b Ab b a2 a3 1 a1 a2 an 1 1
• 由于{A,b}对可控,故p一定是非奇异的
改变B阵为 2 0T时,则 x1 可控,而 x2 是控制u通过 x1
而达到间接控制 x2 的目的.
• 显然,由于状态之间的关联性以及状态对系
统特性的不同影响作用,所以可控性是十分
重要的.
(2)可观性
• 可观性指的是,从系统的输出中能否观测到
系统的内部信息,或者说能否量测到状态信 息的一种特性,这无论对于了解系统的运行 情形还是取得状态信息用作控制都是完全 必要的.
• 可控性判据定理二(对角形) • 线性定常系统∑(A,B)具有互不相同的特征
线性系统的可控性和可观性
线性系统的可控性和可观性摘要：线性系统的可控性和可控性是线性系统最基本的概念。
本文从这个基本概念着手，介绍了线性系统的可控标准形和可观标准形，并且对系统可控性和可观性的判据做了详细的介绍。
本文的研究有利于对线性系统可控性和可观性的知识体系有一个比较好的了解，对进一步学习现代控制理论提供一个扎实的基础，同时通过对相关知识的归纳总结，为以后的学习研究提供了一个好的方法。
通过对其中大量高等数学的学习与应用，可以提高应用高等数学解决相关问题的意识与能力。
关键词:线性系统；可控性；可观性Linear system controllability and observabilityHou Shibo Liu Yingrui Wang linlin Lin HuanAbstact: Controllability of linear systems and control is the most basic concepts of linear systems. This paper started from this basic concept, introduced the form of linear system controllability and observability of the standard normal form, and the system controllability and observability criterion for a detailed description. This study is beneficial to the linear system controllability and observability of knowledge have a better understanding of the further study of modern control theory provides a solid foundation, through summarized the relevant knowledge for the future of learning Study provides a good method. Through which a large number of learning and application of advanced mathematics, applied mathematics can improve awareness of the problem solving and capacity-related.Key words: Linear system ；Controllable ；Observability0 引言在控制工程中，有两个问题经常引起设计者的关心。
第四章线性系统的可控性和可观性1
第四章 线性系统的可控性和可观性§4-1 问题的提出经典控制理论中用传递函数描述系统的输入—输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要提出可控性和可观性的概念。
现代控制理论是建立在用状态空间法描述系统的基础上的。
状态方程描述输入)(t u 引起状态)(t x 的变化过程；输出方程描述由状态变化所引起的输出)(t y 的变化。
可控性和可观性正是定性地分别描述输入)(t u 对状态)(t x 的控制能力，输出)(t y 对状态)(t x 的反映能力。
它们分别回答：“输入能否控制状态的变化”——可控性“状态的变化能否由输出反映出来”——可观性可控性和可观性是卡尔曼（Kalman ）在1960年首先提出来的。
可控性和可观性的概念在现代控制理论中无论是理论上还是实践上都是非常重要的。
例如：在最优控制问题中，其任务是寻找输入)(t u ，使状态达到预期的轨线。
就定常系统而言，如果系统的状态不受控于输入)(t u ，当然就无法实现最优控制。
另外，为了改善系统的品质，在工程上常用状态变量作为反馈信息。
可是状态)(t x 的值通常是难以测取的，往往需要从测量到的)(t y 中估计出状态)(t x ；如果输出)(t y 不能完全反映系统的状态)(t x ，那么就无法实现对状态的估计。
状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。
判别系统的可控性和可观性的主要依据就是状态空间表达式。
【例如】（1）u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=202001& []x y 01=分析：上述动态方程写成方程组形式：⎪⎩⎪⎨⎧=+==1221122xy u x x x x && 从状态方程来看，输入u 不能控制状态变量1x ，所以状态变量1x 是不可控的；从输出方程看，输出y 不能反映状态变量2x ，所以状态变量2x 是不能观测的。
即状态变量1x 不可控、可观测；状态变量2x 可控、不可观测。
4.系统的可控可观性解析
提示：说明3+说明4=任意位置 到任意位置
4.1.2 系统状态的可控性判据 判据一：若线性定常系统状态方程 x(t ) Ax(t ) Bu
能控，则能控性矩阵
满秩。即
U B
AB
A2 B
...
An1B
rank(U） n
判据一的证明从略，结合具体例子介绍其方法。 能控性矩阵的秩称为系统的能控性指数，表示 系统的能控状态变量的个数。
例4-1 考虑由下式确定的系统：
1 1 1 x1 0 x u x 2 0 1 x2 1
由于：
1 1 det U det [ B AB] 0 0 0
即U为奇异，所以该系统是状态不能控的。
例4-2 考虑由下式确定的系统：
1 1 1 x1 0 x u x 2 2 1 x2 1
由于：
det U det [ B AB]
0
1
1 1
0
即U为非奇异，所以该系统是状态能控的。
判据二：如果A的特征向量互不相同，则经过线性变 换将A阵转换为对角阵后，系统可控的充要条件是转 换后的状态方程：
和不可控状态空间。
因此，系统的可控性是刻画系统的结构性质，与系 统的具体输入u无关。
说明2： 可控性分为状态可控性和输出可控性，若 不特别指明，一般指状态可控性。状态可控性只与 状态方程有关，与输出方程无关。 说明3：等价定义于若给定系统的一个初始状态可为
x(t0 )
t0可以为 0 ，如果在的有限时间区间 t0 , t1内，
例4-3 下列系统是状态能控的：
1 1 x x 2 0
线性系统的能控性和能观性
3.约当规范型矩阵
若A是约当阵，且B阵中与每个约当块最后一行相对应 的行的元素不全为零，则系统可控。反之为零一行所 对应的状态不可控。
例.判断能控性
• 4 1. x 0
0 5
x1 x2
12u
7 0 0 2
•
2. x
0
5
0
x
0
0 0 3 7
1 1 0 4 2
3.
•
x
0
e3t
0
te3t
e3t
t
x(t) e At x(0) e A(t )Bu( )d
0
x1(t)
x2
(t
)
e3t
0
te3t e3t
x1(0)
x2
(0)
t 0
e 3(t
0
)
(t
)e3(t e3(t )
)
10u(
)d
t
x1(t) e3t x1(0) te3t x2 (0) (t )e3(t )u( )d
0
t
x2 (t) e3t x2 (0) e3(t )u( )d
0
t
y(t) x1(t) e3t x1(0) te3t x2 (0) (t )e3(t )u( )d
可见：1.两个状态变量中均有输入的作用，可0 控
2.输出中有两个状态变量的出现，输出可以反映初始状态，可测
例.如图所示，1、2表示蓄水池，u1、u2表示输入流量，R1、 R2液阻，H1、H2液面高度A1、A2截面积，问 （1）仅用一个调节阀，应放在何处？ （2）仅用一个液位计，应放在何处？
Z (S ) U (S )
S
2.5 1
S2
1 1.5S
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第四章 线性系统的可控性和可观性§4-1 问题的提出经典控制理论中用传递函数描述系统的输入—输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要提出可控性和可观性的概念。
现代控制理论是建立在用状态空间法描述系统的基础上的。
状态方程描述输入)(t u 引起状态)(t x 的变化过程；输出方程描述由状态变化所引起的输出)(t y 的变化。
可控性和可观性正是定性地分别描述输入)(t u 对状态)(t x 的控制能力，输出)(t y 对状态)(t x 的反映能力。
它们分别回答：“输入能否控制状态的变化”——可控性“状态的变化能否由输出反映出来”——可观性可控性和可观性是卡尔曼（Kalman ）在1960年首先提出来的。
可控性和可观性的概念在现代控制理论中无论是理论上还是实践上都是非常重要的。
例如：在最优控制问题中，其任务是寻找输入)(t u ，使状态达到预期的轨线。
就定常系统而言，如果系统的状态不受控于输入)(t u ，当然就无法实现最优控制。
另外，为了改善系统的品质，在工程上常用状态变量作为反馈信息。
可是状态)(t x 的值通常是难以测取的，往往需要从测量到的)(t y 中估计出状态)(t x ；如果输出)(t y 不能完全反映系统的状态)(t x ，那么就无法实现对状态的估计。
状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。
判别系统的可控性和可观性的主要依据就是状态空间表达式。
【例如】（1）u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=202001[]x y 01=分析：上述动态方程写成方程组形式：⎪⎩⎪⎨⎧=+==1221122xy u x x x x从状态方程来看，输入u 不能控制状态变量1x ，所以状态变量1x 是不可控的；从输出方程看，输出y 不能反映状态变量2x ，所以状态变量2x 是不能观测的。
即状态变量1x 不可控、可观测；状态变量2x 可控、不可观测。
（2）u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=112001[]x y 11=分析：上述动态方程写成方程组形式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=2122112xx y u x x u x x由于状态变量1x 、2x 都受控于输入u ，所以系统是可控的；输出y 能反映状态变量1x ，又能反映状态变量2x 的变化，所以系统是可观测的。
即状态变量1x 可控、可观测；状态变量2x 可控、可观测。
（3）u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111001 []x y 11=分析：上述动态方程写成方程组形式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=212211xx y u x xu x x从状态方程看，输入u 能对状态变量1x 、2x 施加影响，似乎该系统的所有状态变量都是可控的；从输出方程看，输出y 能反映状态变量1x ，2x 的变化，似乎系统是可观测的。
实际上，这个系统的两个状态变量既不是完全可控的，也不是完全可观测的。
要解释和说明这一情况，就必须首先弄清楚可控性和可观性的严格定义及判别方法。
§4-2 线性定常连续系统的可控性一、线性定常连续系统状态可控性的定义定义4.1（状态可控性定义）：对于线性定常系统Bu Ax x+= ，如果存在一个分段连续的输入)(t u ，能在],[0f t t 有限时间间隔内，使得系统从某一初始状态)(0t x 转移到指定的任一终端状态)(f t x ，则称此状态是可控的。
若系统的所有状态都是可控的，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的。
关于可控性定义的说明：（1）上述定义可以在二阶系统的相平面上来说明。
假如相平面中的P 点能在输入的作用下转移到任一指定状态n P P P ,,,21 ，那么相平面上的P 点是可控状态。
假如可控状态“充满”整个状态空间，即对于任意初始状态都能找到相应的控制输入)(t u ，使得在有限时间间隔内，将此状态转移到状态空间中的任一指定状态，则该系统称为状态完全可控。
（2）在可控性定义中，把系统的初始状态取为状态空间中的任意有限点)(0t x ，而终端状态也规定为状态空间中的任意点)(f t x ，这种定义方式不便于写成解析形式。
为了便于数学处理，而又不失一般性，我们把上面的可控性定义分两种情况叙述：①把系统的初始状态规定为状态空间中的任意非零点，而终端目标规定为状态空间中的原点。
于是原可控性定义可表述为：对于给定的线性定常系统Bu Ax x+= ，如果存在一个分段连续的输入)(t u ，能在1可控状态的图形说明],[0f t t 有限时间间隔内，将系统由任意非零初始状态)(0t x 转移到零状态)(f t x ，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的。
②把系统的初始状态规定为状态空间的原点，即0)(0=t x ，终端状态规定为任意非零有限点，则可达定义表述如下：对于给定的线性定常系统Bu Ax x+= ，如果存在一个分段连续的输入)(t u ，能在],[0f t t 有限时间间隔内，将系统由零初始状态)(0t x 转移到任一指定的非零终端状态)(f t x ，则称此系统是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）。
二、可控性的判别准则定理4.1：（可控性秩判据）对于n 阶线性定常系统Bu Ax x+= ，其系统状态完全可控的充分必要条件是：由A 、B 构成的可控性判别矩阵][12B A B A AB B Q n c-= 满秩，即n rankQ c =其中，n 为该系统的维数。
【例4.2.1】判别下列状态方程的可控性。
（1）u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=011012 （2）u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111001 （3）u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=100110 （4）u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100110110010011 对于线性定常系统，可控性和可达性是等价的；在以后对可控性的讨论中，均规定目标状态为状态空间中的原点，并且我们所关心的，只是是否存在某个分段连续的输入)(t u ，能否把任意初始状态转移到零状态，并不要求算出具体的输入和状态轨线。
解：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==0021][AB BQ c ，n rankQ c <=1，∴系统不可控。
（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1111][AB BQ c ，n rankQ c <=1，∴系统不可控。
（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡==0110][AB BQ c ，n rankQ c ==2，∴系统可控。
（4）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==121110010101121110][2B A ABBQ c ，n rankQ c <=2，∴系统不可控。
定理4.2：设线性定常系统Bu Ax x+= ，具有互不相同的实特征值，则其状态完全可控的充分必要条件是：系统经非奇异变换后的对角标准型u B x x n +⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλ001中，B 阵不存在全零行。
【例4.2.2】判别下列系统的状态可控性。
（1）u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=752100050007 （2）u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=750100050007 （3）u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=570410100050007 （4）u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=570010100050007 解：（1）状态方程为对角标准型，B 阵中不含有元素全为零的行，故系统是可控的。
（2）状态方程为对角标准型，B 阵中含有元素全为零的行，故系统是不可控的。
（3）系统可控。
（4）系统不可控。
【例4.2.3】判别下列系统的状态可控性。
u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111200020002 解：在应用定理4.2这个判别准则时，应注意到“特征值互不相同”这个条件，如果特征值不是互不相同的，即对角阵A 中含有相同元素时，上述判据不适用。
应根据定理4.1的秩判据来判断。
对于本题： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==421421421][2B A ABBQ c ，31<=c rankQ ，即系统是不可控的。
定理4.3：若线性定常系统Bu Ax x+= ，具有重实特征值，且每一个重特征值只对应一个独立特征向量，则系统状态完全可控的充分必要条件是：系统经非奇异变换后的约当标准型u B x J J x k +⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001中，每个约当小块i J （k i ,,2,1 =）最后一行所对应的B 阵中的各行元素不全为零。
【例4.2.4】判别下列系统的状态可控性。
（1）u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=204014 （2）u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=024014 （3）u x x⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=020010003013004014 （4）u x x⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=10020********04014 （5）u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010********* （6）u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110200020012解：（1）系统是可控的。
（2）系统是不可控的。
（3）系统是可控的。
（4）系统是不可控的。
（5）系统是不可控的。
（6）系统不可控（注意定理4 .3中“且每一个重特征值只对应一个独立特征向量”这一关键点）。
当不满足定理4.3中的条件时，应使用秩判据。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==421421410][2B A ABBQ c ，32<=c rankQ ，即系统是不可控的。
§4-3 线性定常离散系统的可控性定义4.2（离散系统的可控性定义）：对于n 阶线性定常离散系统)()()1(k Hu k Gx k x +=+，若存在控制作用序列{})1(,),1(),0(-n u u u ，在有限时间间隔],0[nT t ∈内，能使系统从任意非零初始状态)0(x 经有限步转移到零状态，即0)(=nT x ，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的。
【例4.3.1】设离散系统的状态方程为)(100)(101201111)1(k u k x k x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+ 试分析能否找到控制作用 ),1(),0(u u ，将初始状态Tx ]112[)0(=转移到零状态。
解：利用递推法：0=k )0()0()1(hu Gx x +=)0(100300)0(100112101201111u u ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--= 为检验该系统能否在第一步由)0(x 转移到零状态，对上式令0)1(=x ，若能够解出)0(u ，则表示在第一步上就可以把给定初始状态转移到零状态，且控制作用为)0(u 。