第一章第一节随机事件和样本空间

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概率论与数理统计第一章1.1随机事件

事件的关系与运算
注：(1) 事件的关系与运算可用维恩图形象表之
(2) 事件的和与积的运算可推广到有限个事件或可数无限个事件的情形.
A B A B, (3) 事件的和与积的另一记法：
A B AB.
事件的关系与运算
８. 完备事件组设 A1 , A2 ,, An , 是有限或可数个事件，若其满足：
完
随机事件
在随机试验中，人们除了关心试验的结果本身外，
往往还关心试验的结果是否具备某一指定的可观
察的特征，概率论中将这一可观察的特征称为一个事件，它分三类：
随机事件
1. 随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的事件； 2. 必然事件：在每次试验中都必然发生的事件； 3. 不可能事件：在任何一次试验中都不可能发生的事件. 例如，在抛掷一枚骰子的试验中，我们也许会关
A : “点数为奇数”，B : “点数小于5”.
则 A B {1，2，3，4，5}； A B {1，3}；
A - B {5}.
6. 若 A B , 则称事件 A 与 B 是互不相容的(或互斥的).
7. 若 A B S 且 A B ,
事件的关系与运算
由于随机现象的结果事先不能预知，初看似乎毫无规律. 然而人们发现同一随机现象大量重其每种可能的结果出现的频率具有复出现时，
稳定性，从而表明随机现象也有其固有的规律
性. 人们把随机现象在大量重复出现时所表现出的量的规律性称为随机现象的统计规律性.
随机现象的统计规律性
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科. 为了对随机现象的统计规律性进行研究，就需对随机现象进行重复观察，我们把对随机现象

概率论第1章(第一节)

本学期的研究内容
教材中的第一章---第四章教材中的第一章---第四章 ---
第一章随机事件与概率
随机事件及其运算事件的概率条件概率事件的独立性
1.1 随机事件及其运算
一、基本概念：随机试验、样本空间、随机事件基本概念：随机试验、样本空间、概念 1、随机试验（简称“试验”）、随机试验（简称“试验” 如果试验（或观察）具有下面三个特点：如果试验（或观察）具有下面三个特点： (1)重复性：试验可以在相同条件下重复进行；重复性：试验可以在相同条件下重复进行；预知性：试验的全部可能结果不止一个， (2)预知性：试验的全部可能结果不止一个，但都是可以预知的；可以预知的；随机性：每次试验前, (3)随机性：每次试验前 ,不能确定会出现哪一种结果。这样的试验（或观察）称为随机试验，一般记为。这样的试验（或观察）称为随机试验，一般记为E。
二、事件的关系事件的包含与相等事件的和（并）事件的积（交）事件的差互斥事件（互件的包含与相等事件的包含与相等
若事件A发生必导致事件B发生称事件A包若事件发生必导致事件发生，称事件包发生必导致事件发生，含于事件B，包含A，记为A⊂ ，也称A是的含于事件，或B包含，记为 ⊂B，也称是B的包含子事件。子事件。
记作B = A ，称为A的对立事件易见A − B = AB ;
A与B对立：对立：
事件A 与B 既不能同时发生，时发生，又不能同时不发生。不发生。即在每次试验中，验中，A 与B 有且仅有一个发生。有一个发生。
注：对立事件必为互斥事件，但互斥事件对立事件必为互斥事件，未必是对立事件。未必是对立事件。
概率论的发展
1657年，荷兰的数学家惠根斯年荷兰的数学家惠根斯(1629-1695)亦用自己的方法惠根斯亦用自己的方法解决了上述问题，更写成了《论赌博中的计算》一书，解决了上述问题，更写成了《论赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的论著。并由此奠定了古典概率论的基础。就是概率论最早的论著。并由此奠定了古典概率论的基础。世纪到19 世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、从 17 世纪到世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、泊松、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰泊松、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰出的贡献。出的贡献。 1933 年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫发表了著名的《概率论苏联数学家柯尔莫哥洛夫发表了著名的《柯尔莫哥洛夫发表了著名的的基本概念》，用公理化结构，》，用公理化结构的基本概念》，用公理化结构，为概率论确定严密的理论是概率论发展史上的一个里程碑，基础，是概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。到了近代，出现了理论概率及应用概率的分支，到了近代，出现了理论概率及应用概率的分支，将概率论应用到不同范畴，开展了不同学科。因此，应用到不同范畴，开展了不同学科。因此，现代概率论已经成为一个非常庞大的数学分支。经成为一个非常庞大的数学分支。

高中数学完整讲义——概率_随机事件的概率1.事件及样本空间

B ，简记为AB ； 2．一般地，对于两个事件A B ，，如果有()()()P AB P A P B =，就称事件A 与B 相互独立，简称A 与B 独立．当事件A 与B 独立时，事件A 与B ，A 与B ，A =．若C A B =，则若C 发生，则A 、B 中至少有一个发生，事件A +若事件12n A A A ，，，两两互斥（彼此互斥），有1212()()()()n nP A A A P A P A P A =+++．事件“12n A A A ”发生是指事件12n A A A ，，，中至少有一个发生．中至少有一个发生．6．互为对立事件高中数学讲义版块一：事件及样本空间 1．必然现象与．必然现象与随机现象随机现象必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果．为试验的结果．一次试验是指事件的条件实现一次．一次试验是指事件的条件实现一次．在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件；在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件；在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件随机事件．通常用大写通常用大写英文英文字母A B C ，，，来表示随机事件，简称为事件．来表示随机事件，简称为事件．3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果．件．它包含所有可能发生的基本结果．所有基本事件构成的集合称为所有基本事件构成的集合称为基本事件空间基本事件空间，常用W 表示．表示．版块二：随机事件的版块二：随机事件的概率概率计算1．如果事件A B ，同时发生，我们记作A 与B 都是相互独立的．都是相互独立的．3．概率的．概率的统计统计定义定义一般地，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率m n，当n 很大时，总是在某个很大时，总是在某个常数常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记为()P A ．从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()P A 满足：0()1P A ≤≤．当A 是必然事件时，()1P A =，当A 是不可能事件时，()0P A =．4．互斥事件与事件的并．互斥事件与事件的并互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．由事件A 和事件B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或A B ，都发生）所构成的事件C ，称为事件A 与B 的并（或和），记作C A B B 是由事件A 或B 所包含的基本事件组成的集合．件组成的集合．5．互斥事件的概率．互斥事件的概率加法加法公式：公式：若A 、B 是互斥事件，有()()()P A B P A P B =知识内容板块一.事件及样本空间不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件记作A ．第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B n P k C p p -ì=ïïï+=+íï×=×ï=-ïî等可能事件等可能事件: : 互斥事件：独立事件：次独立重复试验次独立重复试验::求解求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复．第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复．解决此类问题的关键是会正确求解以下六种事件的概率（尤其是其中的（4）、（5）两种概率）： ⑴ 随机事件的概率，等可能性事件的概率；随机事件的概率，等可能性事件的概率；⑵ 互斥事件有一个发生的概率；互斥事件有一个发生的概率；⑶ 相互独立事件同时发生的概率；相互独立事件同时发生的概率；⑷ n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率；次的概率；⑸ n 次独立重复试验中在第k 次才首次发生的概率；次才首次发生的概率；⑹ 对立事件的概率．对立事件的概率．另外：要注意区分这样的语句：“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰好有一个发生”，“都发生”，“不都发生”，“都不发生”，“第k 次才发生”等．等．题型一事件及样本空间【例1】 (2010安徽) 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球．乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A ，表示由甲罐取出的球是红球．白球和黑球的典例分析高中数学讲义有()1()P A P A =-．<教师教师备案备案> 1．概率中的“事件”是指“随机试验的结果”，与通常所说的事件不同．，与通常所说的事件不同．基本事件空间基本事件空间是指一次试验中所有可能发生的基本结果．有可能发生的基本结果．有时我们提到事件或有时我们提到事件或有时我们提到事件或随机事件随机事件，也包含不可能事件和必然事件，也包含不可能事件和必然事件，将其作为随机将其作为随机事件的事件的特例特例，需要根据情况作出判断．，需要根据情况作出判断．2．概率可以通过频率来“测量”，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的统计统计定义．在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率．实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率．随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的它具有一定的稳定性稳定性，总是在某个总是在某个常数常数附近摆，且随着试验次数的增加，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，摆动的幅度越来越小，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件的概率．这个常数叫做这个随机事件的概率．这个常数叫做这个随机事件的概率．概率可以看成概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率．下可近似地看作这个事件的概率．3．基本事件一定是两两．基本事件一定是两两互斥互斥的，它是互斥事件的特殊情形．的，它是互斥事件的特殊情形．主要方法：主要方法：解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质ìïïíïïî等可能事件等可能事件互斥事件互斥事件独立事件独立事件 n 次独立重复试验，即所给的问题归结为四类事件中的某一种．，即所给的问题归结为四类事件中的某一种．第二步，判断事件的运算ìíî和事件积事件，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件．事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是确的是 __ __（写出所有正确结论的编号）． ① ()25P B =； ②(高中数学讲义)15|11P B A =； ③事件B 与事件1A 相互独立；相互独立；④1A ，2A ，3A 两两互斥的事件；两两互斥的事件；⑤()P B 的值不能确定，因为它与1A ，2A ，3A 中究竟哪一个发生有关．中究竟哪一个发生有关．【例2】下列事件：①同学甲竞选同学甲竞选班长班长成功；②两队球赛，强队胜利了；③一所学校共有998名学生，至少有三名学生的生日相同；④若集合A B C ，，，满足A B B C ÍÍ，，则A C Í； ⑤古代有一个国王想处死一位画师，背地里在2张签上都写上“死”字，再让画师抽“生死签”，画师抽到死签；⑥从1359，，，中任选两数相加，其和为偶数；其中属于其中属于随机事件随机事件的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【例3】指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：⑴六月天下雪；⑵同时掷两颗骰子，事件“点数之和不超过12”；⑶太阳从西边升起；⑷当100x ≥时，事件“lg 2x ≥”；⑸数列{}n a 是单调递增数列时，事件“20082009a a >”； ⑹骑车通过10个十字路口，均遇红灯．【例4】指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：⑴在标准大气压下且温度低于0C 时，冰融化；⑵今天晚上下雨；⑶没有水分，种子发芽；⑷技术充分发达后，不需要任何技术充分发达后，不需要任何能量能量的“永动机”将会出现；⑸买彩票中一等奖；⑹若平面a 平面m b =，n b ∥，n a ∥，则m n ∥．【例5】将一颗骰子连续投掷两次，观察落地后的点数．⑴写出这个试验的写出这个试验的基本事件空间基本事件空间和基本事件总数；⑵“两次点数相同”这一事件包含了几个基本事件； ⑶“两次点数之和为6”这一事件包含了几个基本事件； ⑷“两次点数之差为1”这一事件包含了几个基本事件．【例6】一个口袋中有完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中任取2球，观察球的球，观察球的颜色颜色．⑴写出这个试验的基本事件空间；事件，点数之和为的事件是事件，点数之差为点的事件是事43214321高中数学讲义点间的事件是。

概率论第一章

例如：在检查某些圆柱形产品时，例如：在检查某些圆柱形产品时，如果规定只有它的长度及直径都合格时才算产品合格，那么“产品合格” 直径合格” 都合格时才算产品合格，那么“产品合格”与“直径合格”、长度合格”等事件有着密切联系。 “长度合格”等事件有着密切联系。
下面我们讨论事件之间的关系与运算
1、包含关系
⑶ 两个特殊事件
必然事件U ★ 必然事件U ★ 不可能事φ 不可能事φ
3、随机试验
如果一个试验可能的结果不止一个，如果一个试验可能的结果不止一个，且事先不能肯定会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。
例如, 掷硬币试验例如, 寿命试验测试在同一工艺条件下生产掷骰子试验掷一枚硬币，观察出正还是反. 掷一枚硬币，观察出正还是反出的灯泡的寿命. 出的灯泡的寿命掷一颗骰子，掷一颗骰子，观察出现的点数
第一章随机事件及其概率
随机事件及样本空间频率与概率条件概率及贝努利概型
§1 随机事件及样本空间
一、随机事件及其有关概念
1、随机事件的定义
试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件” 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件” 记作A 简称“事件”。记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素。的元素。
例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 10个大小将球编号为1 10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。将球编号为1－10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。
因为抽取时这些球是完全平等的，因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为10个球中的某一个会我们没有理由认为10个球中的某一个会 10 比另一个更容易取得。也就是说，10个比另一个更容易取得。也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10 1/10。均为1/10。

概率论与数理统计教程

第一章事件与概率
1.1 随机事件和样本空间
一、随机现象二、随机试验三、样本空间样本点四、随机事件的概念五、随机事件的关系
一、随机试验
1.必然现象（确定） 2.偶然现象（不确定）随机
说明： 1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 ,
其数量关系无法用函数加以描述. 2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,
1、包含关系若事件 A 出现, 必然导致 B 出现则称事件 B 包含事件 A,记作B A 或 A B.
特别地若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A, 则称事件A与事件B相等,记作 A=B.
2.两事件的和与并
“二事件 A, B至少发生一个”也是一个事件, 称为事件 A 与事件B的和事件.记作A B，显然 A B {e | e A或e B}.
若事件 A 、B 满足 A B 且 AB .
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记
作 A.
事件间的运算规律
设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律 A B B A, AB BA. ( AB)C A(BC).
(2) 结合律 ( A B) C A (B C),
实例抛掷一枚骰子, 观察出现的点数。试验中,骰子“出现1点”, “出现2 点”, … ,“出现6点”, “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
五、随机事件的关系及运算
（1）、随机事件间的关系
设试验 E 的样本空间为 , 而 A, B, Ak (k 1,2,)是的子集.
推广：
N元情形
n
推广称 Ak 为n个事件 A1, A2 ,, An 的积事件,
k 1
即A1, A2 ,, An同时发生;

样本空间、随机事件

(7) ，至少有一个发生而C 不发生： C 。
(8) ，，C 都不发生： C 或 C 。
例1.3 设事件A 表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，求其对立事件A。
解设B =“甲种产品畅销”，C=“乙种产品滞销”
则
C
故 C C = “甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
概率学与数理统计
4.差事件
“事件A 发生而B 不发生”的事件称为A 与B 的差
事件，简称差，记为 B ，如图1-4。
由事件差的定义，立即得到：对任一事件A，有
，，
图1-4
5.互不相容
如果两个事件A 与B 不可能同时发生，则称事件A
与B 为互不相容(互斥)，记作 B ，如图1-5。
温度，并设这一地区温度不会小于T0 也不会大于T1。
6 :Y,N ，其中Y 表示合格，N 表示不合格；
7 : q q 0
随机事件：随机试验E 的样本空间Ω 的子集称为E 的随机事件，简称事件，一般用大写字母 A，B，C 表示。
事件发生：在每次试验中，当且仅当一个事件A 中的一个样本点出现时，称这一(亦即基本结果)，称为基
本事件。例如，试验E1 有两个基本事件H 、T；试验E2 有36个
基本事件 1，1、1，2 、…、6，6。
每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件。样本空间 Ω 包含所有的样本点，它是Ω 自身的子集，每次试验中都必然发生，故它就是一个必然事件。因而必然事件我们也用Ω 表示。在每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件。空集不包含任何样本点，它作为样本空间的子集，在每次试验中都不可能发生，故它就是一个不可能事件。因而不可能事件我们也用表示。
为对立事件。
与集合运算的规律一样，一般事件的运算满足如下关系：

概率论与数理统计总结

第一章随机事件与概率第一节随机事件及其运算1、随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象2、3、4、样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω},其中ω 表示基本结果，又称为样本点。

5、随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A 、B 、C 等表示，Ω表示必然事件，∅表示不可能事件。

6、随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X 、Y 、Z 等表示。

7、时间的表示有多种：（1）用集合表示，这是最基本形式（2）用准确的语言表示（3）用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示6、事件的关系（1）包含关系：如果属于A 的样本点必属于事件B ，即事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称A 被包含于B ，记为A ⊂B;（2）相等关系：若A ⊂B 且B ⊃ A ，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。

（3）互不相容：如果A ∩B=∅，即A 与B 不能同时发生，则称A 与B 互不相容7、事件运算（1）事件A 与B 的并：事件A 与事件B 至少有一个发生，记为 A ∪B 。

（2）事件A 与B 的交：事件A 与事件B 同时发生，记为A ∩ B 或AB 。

（3）事件A 对B 的差：事件A 发生而事件B 不发生,记为 A －B 。

用交并补可以表示为B A B A =-。

（4）对立事件：事件A 的对立事件（逆事件），即 “A 不发生”，记为A 。

对立事件的性质：Ω=⋃Φ=⋂B A B A ,。

8、事件运算性质：设A ，B ，C 为事件，则有（1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA（2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A ∪(B ∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C)、 A(B ∪C)＝(A ∩B)∪(A ∩C)= AB ∪AC（4）棣莫弗公式（对偶法则）：B A B A ⋂=⋃ B A B A ⋃=⋂9、事件域：含有必然事件Ω ，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ称为事件域，又称为σ代数。

概率论与数理统计基础知识

从集合的角度看

B
A

事件是由某些样本点所构成的一个集合．一个事件发生，当且仅当属于该事件的样本点之一出现．由此可见，样本空间Ω作为一个事件是必然事件，空集Ø作为一个事件是不可能事件，仅含一个样本点的事件称为基本事件．
2. 几点说明
⑴ 随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母
A, B, C,
基本事件实例
由一个样本点组成的单点集.
“出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”.
必然事件随机试验中必然会出现的结果. 实例上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件. 不可能事件随机试验中不可能出现的结果. 实例上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件. 必然事件的对立面是不可能事件,不可能事件的对立面是必然事件,它们互称为对立事件.
说明 1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行的 “调查”、“观察”或 “测量” 等. 2. 随机试验通常用 E 来表示. 实例 “抛掷一枚硬币,观察正面,反面出现的情况”.
分析 (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行; (2) 试验的所有可能结果: 字面、花面; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 故为随机试验.
将下列事件均表示为样本空间的子集. (1) 试验 E2 中(将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况),随机事件: A＝“至少出现一个正面” B=“三次出现同一面” C=“恰好出现一次正面” (2) 试验 E6 中(在一批灯泡中任取一只，测试其寿命),D＝“灯泡寿命不超过1000小时”
(1)由S2= {HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT， TTH,TTT}；故: A＝{HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT， TTH}； B={HHH,TTT} C={HTT，THT，TTH} (2) D＝{x: x<1000(小时）}。

概率论必备知识点

概率论与数理统计知识点：第一章随机事件及其概率1、随机试验、样本空间与随机事件（1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为E .1）试验可在相同的条件下重复进行；2）每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果； 3）每次试验前不能确定哪一个结果会出现.（2）样本空间：随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间，记为Ω；试验的每一个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为e .（3）随机事件：在一次试验中可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件，常用A 、B 、C 等大写字母表示；可表述为样本空间中样本点的某个集合，分为复合事件和简单事件，还有必然事件（记为Ω）和不可能事件（记为Φ）. 2、事件的关系与运算（1）包含关系与相等：“事件A 发生必导致B 发生”，记为B A ⊂或A B ⊃；B A B A ⊂⇔=且A B ⊂.（2）和事件（并）：“事件A 与B 至少有一个发生”，记为B A ⋃. （3）积事件（交）：“ 事件A 与B 同时发生”，记为B A ⋂或AB .（4）差事件、对立事件(余事件)：“事件A 发生而B 不发生”，记为A －B 称为A 与B 的差事件；B B =-Ω称为B 的对立事件；易知：B A B A =-.（5）互不相容性：φ=AB ；B A 、互为对立事件Ω=⋃⇔B A 且Φ=AB . （6）事件的运算法则：1) 交换律：A B B A ⋃=⋃，BA AB = ； 2) 结合律：C B A C B A ⋃⋃=⋃⋃)()(，)()(BC A C AB =； 3) 分配律：BC AC C B A ⋃=⋃)(，))(()(C B C A C AB ⋃⋃=⋃；4) 对偶(De Morgan)律：B A B A =⋃，B A AB ⋃=，可推广kkkkkkkkAA A A ==,.3、频率与概率（1）频率的定义：事件A 在n 次重复试验中出现A n 次，则比值nn A称为事件A 在n 次重复试验中出现的频率，记为)(A f n ，即n n A f An =)(. （2）统计概率：当∞→n 时，频率)()(A P nnA f A n →=.当n 很大时，)()(A f P A P n ≈=称为事件A 的统计概率.（3）古典概率：若试验的基本事件数为有限个，且每个事件发生的可能性相等，则试验对应古典概型（等可能概型），事件A 发生的概率为：nA k n k A A P )()(＝＝中样本点总数中所含样本点数Ω=.（4）几何概率：若试验基本事件数无限，随机点落在某区域g 的概率与区域g 的测度(长度、面积、体积等)成正比，而与其位置及形状无关，则试验对应几何概型，“在区域Ω中随机地取一点落在区域g 中”这一事件g A 发生的概率为：的测度的测度＝Ωg A P g )(.（5）概率的公理化定义：设(F ,Ω)为可测空间，在事件域F 上定义一个实值函数),(A P F A ∈，满足：1) 非负性：0)(≥A P ，对任意F A ∈；2) 规范性：1)(=ΩP ；3) 可列可加性：若有一列,,2,1, =∈i F A i i Φ=j i A A ，使得∑∞=∞==11)()(j jj jA P A P ，则称),(A P F A ∈为σ域F 上的概率测度，简称“概率”． 4、概率的基本性质（1）不可能事件概率零：)(ΦP ＝0.（2）有限可加性：设n A A A ,,,21 是n 个两两互不相容的事件，即j i A A ＝Φ，（j i ≠）n j i ,2,1,,=，则有)(21n A A A P ⋃⋃⋃ ＝)(1A P ＋)()(2n A P A P ++ .（3）单调不减性：若事件B ⊃A ，则P (B )≥P (A )，且P (B －A )＝P (B )－P (A ).（4）互补性：P (A )＝1－P (A )，且P (A )≤1.（5）加法公式：对任意两事件B A 、，有=⋃)(B A P )()(B P A P +－)(AB P ；此性质可推广到任意n 个事件n A A A ,,,21 的情形.（6）可分性：对任意两事件B A 、，有)()()(B A P AB P A P +=. 5、条件概率与乘法公式（1）条件概率：设B A 、是Ω中的两个事件，即F B A ∈、，则)()()|(A P AB P A B P =称为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率．（2）乘法公式：设F B A ⊂、，则)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 称为事件A 、B 的概率乘法公式.6、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式（1）全概率公式：设n A A A ,,,21 是Ω的一个划分，且0)(>i A P ，),,2,1(n i =，则对任何事件F B ∈，有∑=ni iiA B P A P B P 1)|()()(＝，称为全概率公式.（2）贝叶斯(Bayes)公式：设n A A A ,,,21 是Ω的一个划分，且0)(>i A P ),,2,1(n i =，则对任何事件F B ∈，有),,1(,)|()()|()()|(1n j A B P A P A B P A P B A P ni iij j j ==∑=，称为贝叶斯公式或逆概率公式. 7、事件的独立性（1）两事件的独立：设),,(P F Ω为一概率空间，事件F B A ∈、，且0)(>A P ，若)|()(A B P B P =，则称事件A 与B 相互独立；等价于：)()()(B P A P AB P =.（2）多个事件的独立：设n A A A ,,,21 是n 个事件，如果对任意的)1(n k k ≤<，任意的n i i i k ≤<<<≤ 211，具有等式)()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P =，称n 个事件n A A A ,,,21 相互独立． 8、贝努里(Bernoulli)概型（1）只有两个可能结果的试验称为贝努里试验，常记为E ．E 也叫做“成功—失败”试验,“成功”的概率常用)(A P p =表示，其中A ＝“成功”.（2）把E 重复独立地进行n 次，所得的试验称为n 重贝努里试验，记为nE ．（3）把E 重复独立地进行可列多次，所得的试验称为可列重贝努里试验，记为∞E ．以上三种贝努里试验统称为贝努里概型．（4）nE 中成功k 次的概率是：)0(,)1(n k q p C p p C k n k k n k n k k n ≤≤=---其中1=+q p .第二章随机变量及其分布1、随机变量设Ω是随机试验的样本空间，如果对于试验的每一个可能结果Ω∈ω，都有唯一的实数)(ωX 与之对应，则称)(ωX 为定义在Ω上的随机变量，简记为X .随机变量通常用大写字母Z Y X 、、等表示. 2、分布函数及其性质设X 为随机变量，x 为任意实数，函数)}({)(+∞<<-∞≤=x x X P x F 称为随机变量X 的分布函数.分布函数完整地描述了随机变量取值的统计规律性，具有以下性质：（1）)(1)(0+∞<<-∞≤≤x x F ；（2）如果21x x <，则)()(21x F x F ≤；（3）)(x F 为右连续，即)()0(x F x F =+；（4）1)(lim ,0)(lim ==+∞→-∞→x F x F x x ；（5）)()(}{}{}{121221x F x F x X P x X P x X x P -=≤-≤=≤<. 3、离散型随机变量及其概率分布如果随机变量X 只能取有限个或可列个可能值，则称X 为离散型随机变量.如果X 的一切可能值为 ,,21x x ，并且X 取k x 的概率为k p ，则称),3,2,1}({ ===k x X P p k k 为离散型随机变量X 的概率函数（概率分布或分布律）.列成表格形式，也称为分布列(表2-1)：表2-1其中1,0=≥∑iii pp .常见的离散型随机变量的分布有：（1）0-1分布，记为)10(~-X ，概率函数10,1,0,)1(}{1<<=-==-p k p p k X P k k ；（2）二项分布，记为),(~p n B X ，概率函数10,,,1,0,)1(}{<<=-==-p n k p p C k X P k n kk n ；（3）泊松分布，记为)(~λP X ，概率函数0,,1,0,!}{>===-λλλ k k e k X P k ；泊松定理设0>λ是一常数，n 是任意正整数，设λ=n np ，则对于任一固定的非负整数k ，有!)1(lim k e p p C k kn n k nkn n λλ--∞→=-.当n 很大且p 很小时，二项分布可以用泊松分布近似代替，即!)1(k e p p C k kn k k nλλ--≈-，其中np =λ.（4）超几何分布，记为),,(~N M n H X ，概率函数),min(,,1,0,}{M n k C C C k X P nNk n MN k M ===--，其中M N n 、、为正整数，且N n N M ≤≤,.当N 很大，且Nn p =较小时，有k n k k n nN k n MN k M p p C C C C ----≈)1(.] （5）几何分布，记为)(~p G X ，概率函数10,,1,0,)1(}{1<<=-==-p k p p k X P k .4、连续型随机变量及其概率分布如果对于随机变量X 的分布函数)(x F ，存在非负函数)(x f ，使对于任一实数x ，有⎰∞-=xdt t f x F )()(，则称X 为连续型随机变量.函数)(x f称为X 的概率密度函数.概率密度函数具有以下性质：（1）0)(≥x f ；（2）1)(=⎰+∞∞-dt t f ；（3）⎰=≤<21)(}{21x x dt t f x X x P ；（4）0}{1==x X P ；（5）如果)(x f 在x 处连续，则)()(x f x F ='. 常见的连续型随机变量的分布有：（1）均匀分布，记为),(~b a U X ，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,0,,1)(b x a a b x f .相应的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(；（2）指数分布，记为)(~λE X ，概率密度为⎩⎨⎧≥=-其它,0,0,)(x e x f λλ.相应的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-0,00,1)(x x e x F x λ；（3）正态分布，记为),(~2σμN X ，概率密度为+∞<<-∞=--X ex f x ,21)(222)(σμπ，相应的分布函数为⎰∞---=xx dt ex F 222)(21)(σμπ；当1,0==σμ时，即)1,0(~N X 时，称X 服从标准正态分布.这时分别用)(x ϕ和)(x Φ表示X 的密度函数和分布函数，即⎰∞---=Φ=x t x dt e x ex 222221)(,21)(ππϕ.具有性质：)(1)(x x Φ-=-Φ.一般正态分布),(~2σμN X 的分布函数)(x F 与标准正态分布的分布函数)(x Φ有关系：)()(σμ-Φ=x x F .5、随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数的分布设X 为离散型随机变量，其分布列为(表2-2)：表2-2则)(X g Y =任为离散型随机变量，其分布列为(表2-3)：表2-3i y 有相同值时，要合并为一项，对应的概率相加.（2）连续型随机变量函数的分布设X 为离散型随机变量，概率密度为)(x f X ，则)(X g Y =的概率密度有两种方法可求.1）定理法：若)(x g y =在X 的取值区间内有连续导数)(x g '，且)(x g 单调时，)(X g Y =是连续型随机变量，其概率密度为⎩⎨⎧<<'=其它,0,)()]([)(βαy y h y h f y f X Y . 其中)()}.(),(max{)},(),(min{y h g g g g +∞-∞=+∞-∞=βα是)(x g 的反函数.2）分布函数法：先求)(X g Y =的分布函数∑⎰∆=≤=≤=k y xY k dx x fy X g P y Y P y F )()(})({}{)(，然后求])([)('=y F y f Y Y .第三章多维随机变量及其分布1、二维随机变量及其联合分布函数设X ，Y 为随机变量，则称它们的有序数组（Y X ,）为二维随机变量. 设（Y X ,）为二维随机变量，对于任意实数x 、y ，称二元函数},{),(y Y x X P y x F ≤≤=为（Y X ,）的联合分布函数.联合分布函数具有以下基本性质：（1）),(y x F 是变量x 或y 的非减函数；（2）1),(0≤≤y x F 且1),(0),(0),(0),(=+∞+∞=-∞-∞=-∞=-∞F F x F y F ，　，　，；（3）),(y x F 关于x 右连续，关于y 也右连续；（4）对任意点),(),,(2211y x y x ，若2121,y y x x <<，则0),(),(),(),(11211222≥+--y x F y x F y x F y x F .上式表示随机点),(Y X 落在区域],[2121y Y y x X x ≤<≤<内的概率为：},{2121y Y y x X x P ≤<≤<.2、二维离散型随机变量及其联合分布律如果二维随机变量),(Y X 所有可能取值是有限对或可列对，则称),(Y X 为二维离散型随机变量.设),(Y X 为二维离散型随机变量,它的所有可能取值为 ,2,1,),,(=j i y x j i 将),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ij j i 或表3.1称为),(Y X 的联合分布律.表3.1联合分布律具有下列性质：（1）0≥ij p ；（2）111=∑∑∞=∞=i j ijp.3、二维连续型随机变量及其概率密度函数如果存在一个非负函数),(y x p ,使得二维随机变量),(Y X 的分布函数),(y x F 对任意实数y x ,有 ⎰⎰∞-∞-=x ydy dx y x p y x F ),(),(，则称),(Y X 是二维连续型随机变量，称),(y x p 为),(Y X 的联合密度函数（或概率密度函数）.联合密度函数具有下列性质：（1）对一切实数y x ,，有0),(≥y x p ；（2）1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dy dx y x p ；（3）在任意平面域D 上，),(Y X 取值的概率⎰⎰=∈Ddxdy y x p D Y X P ),(}),{(；（4）如果),(y x p 在),(y x 处连续，则),(),(2y x p yx y x F =∂∂∂. 4、二维随机变量的边缘分布设),(Y X 为二维随机变量，则称},{)(+∞<<-∞≤=Y x X P x F X ，},{)(y Y X P y F Y ≤+∞<<-∞=分别为),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘分布函数.当),(Y X 为离散型随机变量，则称),2,1(),2,1(1.1. ====∑∑∞=∞=j p p i p p i ij j j ij i 分别为),(Y X 关于X 和关于Y的边缘分布律.当),(Y X 为连续型随机变量，则称⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dx y x p y p dy y x p x p Y X ),()(,),()( 分别为),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘密度函数.5、二维随机变量的条件分布（1）离散型随机变量的条件分布设),(Y X 为二维离散型随机变量，其联合分布律和边缘分布律分别为),2,1,(}{,}{,},{.. ========j i p y Y P p x X P p y Y x X P j j i i ij j i ，则当j 固定，且0}{.>==j j p y Y P 时，称,2,1,}{},{}|{.========i p p y Y P y Y x X P y Y x X P jij j j i j i 为j y Y =条件下随机变量X的条件分布律.同理，有 ,2,1,}|{.====j p p x X y Y P i ij i j（2）连续型随机变量的条件分布设),(Y X 为二维连续型随机变量，其联合密度函数和边缘密度函数分别为：)(),(),,(y p x p y x p Y X .则当0)(>y p Y 时，在),(y x p 和)(x p X 的连续点处，),(Y X 在条件y Y =下，X 的条件概率密度函数为：)(),()|(|y p y x p y x p Y Y X =.同理，有)(),()|(|x p y x p y x p X X Y =.6、随机变量的独立性设),(y x F 及)()(y F x F Y X 、分别是),(Y X 的联合分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数y x ,有)()(),(y F x F y x F Y X ⋅=则称随机变量X 与Y 相互独立.设),(Y X 为二维离散型随机变量，X 与Y 相互独立的充要条件是),2,1,(.. ==j i p p p j i ij .设),(Y X 为二维连续型随机变量，X 与Y 相互独立的充要条件是对任何实数y x ,，有)()(),(y p x p y x p Y X =.7、两个随机变量函数的分布设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为),(y x p ，),(Y X Z ϕ=是Y X ,的函数，则Z 的分布函数为dxdy y x p z F zy x Z ⎰⎰≤=),(),()(ϕ.（1）Y X Z +=的分布若),(Y X 为离散型随机变量，联合分布律为ij p ，则Z 的概率函数为：∑-=ii k i k Z x z x p z P ),()(或∑-=jj k j k Z y z y p z P ),()(.若),(Y X 为连续型随机变量，概率密度函数为),(y x p ，则Z 的概率函数为：dy y y z p dx x z x p z p Z ⎰⎰+∞∞-+∞∞--=-=),(),()(.（2）YXZ =的分布若),(Y X 为连续型随机变量，概率密度函数为),(y x p ，则Z 的概率函数为：⎰+∞∞-=dy y yz p y z p Z ),()(.第四章随机变量的数字特征1、随机变量的数学期望设离散型随机变量X 的分布律为 ,2,1,}{===k p x X P k k ，如果级数∑∞=1k k kp x绝对收敛，则称级数的和为随机变量X 的数学期望.设连续型随机变量X 的密度函数为)(x p ，如果广义积分⎰+∞∞-dx x xp )(绝对收敛，则称此积分值⎰+∞∞-=dx x xp X E )()(为随机变量X 的数学期望.数学期望有如下性质：（1）设C 是常数，则C C E =)(；（2）设C 是常数，则)()(X CE CX E =；（3）若21X X 、是随机变量，则)()()(2121X E X E X X E +=+；对任意n 个随机变量n X X X ,,,21 ，有)()()()(2121n n X E X E X E X X X E +++=+++ ；（4）若21X X 、相互独立，则)()()(2121X E X E X X E =；对任意n 个相互独立的随机变量n X X X ,,,21 ，有)()()()(2121n n X E X E X E X X X E =.2、随机变量函数的数学期望设离散型随机变量X 的分布律为 ,2,1,}{===k p x X P k k ，则X 的函数)(X g Y =的数学期望为 2,1,)()]([1==∑∞=k p x g x g E k k k ，式中级数绝对收敛.设连续型随机变量X 的密度函数为)(x p ，则X 的函数)(X g Y =的数学期望为⎰+∞∞-=dx x p x g x g E )()()]([，式中积分绝对收敛.3、随机变量的方差设X 是一个随机变量，则})]({[)()(2X E X E X Var X D -==称为X 的方差.)()(X X D σ=称为X 的标准差或均方差.计算方差也常用公式22)]([)()(X E X E X D -=. 方差具有如下性质：（1）设C 是常数，则0)(=C D ；（2）设C 是常数，则)()(2X D C CX D =；（3）若21X X 、相互独立，则)()()(2121X D X D X X D +=+；对任意n 个相互独立的随机变量n X X X ,,,21 ，有)()()()(2121n n X D X D X D X X X D +++=+++ ；（4）0)(=X D 的充要条件是：存在常数C ，使))((1}{X E C C X P ===. 4、几种常见分布的数学期望与方差（1）)1()(,)().10(~p p X D p X E X -==-；（2）)1()(,)().,(~p np X D np X E p n B X -==；（3）)1())(()(,)().,,(~2---==N N n N M N nM X D N nM X E N M n H X ；（4）λλλπ==)(,)().(~X D X E X ；（5）2/)1()(,/1)().(~p p X D p X E p G X -==；（6）12/)()(,2/)()().,(~2a b X D b a X E b a U X -=+=；（7）2/1)(,/1)().(~λλλ==X D X E e X ；（8）22)(,)().,(~σμσμ==X D X E N X . 5、矩设X 是随机变量，则 ,2,1),(==k X E k k α称为X 的k 阶原点矩.如果)(X E 存在，则 ,2,1},)]({[=-=k X E X E k k μ称为X 的k 阶中心矩. 设),(Y X 是二维随机变量，则 ,2,1,),(==l k Y X E l k kl α称为),(Y X 的l k +阶混合原点矩； ,2,1,},)]([)]({[=-⋅-=l k Y E Y X E X E l k kl μ称为),(Y X 的l k +阶混合中心矩.5、二维随机变量的数字特征(1) ),(Y X 的数学期望)](),([),(Y E X E Y X E =；若),(Y X 是离散型随机变量，则∑∑∞=∞==11)(i j ijipx X E ，∑∑∞=∞==11)(i j ijipy Y E .若),(Y X 是连续型随机变量，则⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xp X E ),()(，⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x yp Y E ),()(.这里，级数与积分都是绝对收敛的.（2）),(Y X 的方差)](),([),(Y D X D Y X D =若),(Y X 是离散型随机变量，则∑∑∞=∞=-=112)]([)(i j ij ip X E xX D ，∑∑∞=∞=-=112)]([)(i j ij i p Y E y Y D .若),(Y X 是连续型随机变量，则⎰⎰+∞∞-+∞∞--=dxdy y x p X E x X D ),()]([)(2，⎰⎰+∞∞-+∞∞--=dxdy y x p Y E y Y D ),()]([)(2.这里，级数与积分都是绝对收敛的.6、协方差与相关系数随机变量),(Y X 的协方差为)]}()][({[),cov(Y E Y X E X E Y X --=.它是1+1阶混合中心矩，有计算公式：)()()(),cov(Y E X E XY E Y X -=.随机变量),(Y X 的相关系数为DYDX Y X XY ),cov(=ρ.相关系数具有如下性质：（1）1≤XY ρ；（2）⇔=1XY ρ存在常数b a ,，使}{b aX Y P +==1，即X 与Y 以概率1线性相关；（3）若Y X ,独立，则0=XY ρ，即Y X ,不相关.反之，不一定成立.第五章大数定律和中心极限定理1、切贝雪夫不等式设随机变量X 的数学期望μ=)(X E ，方差2)(σ=X D ，则对任意正数ε，有不等式22}{εσεμ≤≥-X P 或221}{εσεμ-><-X P 成立.2、大数定律（1）切贝雪夫大数定理:设 ,,,,21n X X X 是相互独立的随机变量序列，数学期望)(i X E 和方差)(i X D 都存在，且C X D i <)(),2,1( =i ，则对任意给定的0>ε，有1}|)]([1{|lim 1=<-∑=∞→εni i i n X E X n P . （2）贝努利大数定理:设A n 是n 次重复独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在一次试验中发生的概率，则对于任意给定的0>ε，有1}|{|lim =<-∞→εp nn P An . 贝努利大数定理给出了当n 很大时，A 发生的频率A n A /依概率收敛于A 的概率，证明了频率的稳定性. 3、中心极限定律（1）独立同分布中心极限定理:设 ,,,,21n X X X 是独立同分布的随机变量序列，有有限的数学期望和方差，μ=)(i X E ，),2,1(0)(2 =≠=i X D i σ.则对任意实数x ，随机变量σμσμn n Xn XY ni ini in ∑∑==-=-=11)(的分布函数)(x F n 满足⎰∞--∞→∞→=≤=xtn n n n dt e x Y P x F 2/221}{lim )(lim π.（2）李雅普诺夫定理:设 ,,,,21n X X X 是不同分布且相互独立的随机变量，它们分别有数学期望和方差：i i X E μ=)(,),2,1(0)(2=≠=i X D i i σ .记 ∑==ni inB 122σ,若存在正数δ，，使得当∞→n 时，有0}{1122→-∑=++ni ii nX E Bδδμ, 则随机变量nni ini ini i ni i ni in B X X D X E XZ ∑∑∑∑∑=====-=-=11111)()(μ的分布函数)(x F n 对于任意的x ，满足⎰∑∑∞--==∞→∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=x t n ni i n i i n n n dt e x B X x F 2/11221lim )(lim πμ.当n 很大时,),(~),1,0(~12.1.∑∑==ni n i ni in B N XN Z μ.（3）德莫佛—拉普拉斯定理:设随机变量),2,1( =n n η服从参数为)10(,<<p p n 的二项分布，则对于任意的x ，恒有⎰∞--∞→=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--x t n n dt e x p np np P 2/221)1(lim πη.第六章数理统计的基本概念1、总体与样本在数理统计中，将研究对象的全体称为总体；组成总体的每个元素称为个体.从总体中抽取的一部分个体，称为总体的一个样本；样本中个体的个数称为样本的容量. 从分布函数为)(x F 的随机变量X 中随机地抽取的相互独立的n 个随机变量，具有与总体相同的分布，则n X X X ,,,21 称为从总体X 得到的容量为n 的随机样本.一次具体的抽取记录n x x x ,,,21 是随机变量n X X X ,,,21 的一个观察值，也用来表示这些随机变量. 2、统计量设n X X X ,,,21 是总体X 的一个样本，则不含未知参数的样本的连续函数),,,(21n X X X f 称为统计量.统计量也是一个随机变量，常见的统计量有（1）样本均值 ∑==ni i X n X 11；（2）样本方差 ][11)(11122122∑∑==--=--=ni in i i X n X n X X n S ；（3）样本标准差 2S S =；（4）样本k 阶原点矩 ,2,1,11==∑=k X n A n i ki k ；（5）样本k 阶中心矩 ,2,1,)(11=-=∑=k X X n B k ni i k .2、经验分布函数设n x x x ,,,21 是总体X 的一组观察值将它们按大小顺序排列为：**2*1n x x x ≤≤≤ ，称它为顺序统计量.则称⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=+**1**2*1*1,1,,1,0)(nk k n x x x x x nkx x x n x x x F 为经验分布函数（或样本分布函数）. 3、一些常用统计量的分布（1）2χ分布设)1,0(~N X ，n X X X ,,,21 是X 的一个样本，则统计量∑==ni i X 122χ服从自由度为n 的2χ分布，记作)(~22n χχ.（2）t 分布设)1,0(~N X ，)(~2n Y χ，且Y X ,相互独立，则随机变量nY X t /=服从自由度为n 的t 分布，记作)(~n t t .t 分布又称为学生分布.（3）F 分布设)(~12n X χ，)(~22n Y χ，且Y X ,相互独立，则随机变量21//n Y n X F =服从自由度为),(21n n 的F 分布，记作),(~21n n F F . 4、正态总体统计量的分布设),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是X 的一个样本，则（1）样本均值X 服从正态分布，有),(~2nN X σμ或)1,0(~/2N nX U σμ-=；（2）样本方差)1(~)1(222--n S n χσ；（3）统计量)1(~/--n t nS X μ.设),(~),,(~222211σμσμN Y N X ，1,,,21n X X X 是X 的一个样本，2,,,21n Y Y Y 是Y 的一个样本，两者相互独立.则（1）统计量)1,0(~//)()(22212121N n n Y X σσμμ+---；（2）当21σσ=时，统计量)2(~/2/1)()(212121-+⋅+---n n t S n n Y X wμμ，其中2)1()1(21222211-+-+-=n n S n S n S w ；（3）统计量 )1,1(~//2122222121--n n F S S σσ；（4）统计量),(~/)(/)(2112221222112121n n F n n yx n j jn i i⋅--∑∑==σμσμ.第七章参数估计1、参数的点估计及其求法根据总体X 的一个样本来估计参数的真值称为参数的点估计. （1）估计量根据总体X 的一个样本n X X X ,,,21 构造的用其观察值来估计参数θ真值的统计量),,,(ˆ21n X X X θ称为估计量，),,,(ˆ21nx x x θ称为估计值. (2)矩估计法用样本矩作为相应的总体矩估计来求出估计量的方法.其思想是：如果总体中有k 个未知参数，可以用前k 阶样本矩估计相应的前k 阶总体矩，然后利用未知参数与总体矩的函数关系，求出参数的估计量.（3）极大似然估计法设总体X 的密度函数为),(θx p ，其中θ为未知参数， n X X X ,,,21 是取自总体X 的样本，n x x x ,,,21 为一组样本观测值，则总体X 的联合密度函数称为似然函数，记作∏==n i i x p L 1),(θ，取对数 ∑==ni i x p L 1),(ln ln θ，由0ln =θd Ld ，求得似然函数L 的极大值θˆ，即为未知参数θ的极大似然估计.其思想是：在已知总体X 概率分布时，对总体进行n 次观测，得到一个样本，选取概率最大的θ值θˆ作为未知参数θ的真值的估计是最合理的. （4）估计量的优劣标准1）无偏性.设)ˆ(),,,,(ˆˆ21θθθE X X X n=存在，且θθ=)ˆ(E ，则称值θˆ是θ的无偏估计量.否则称为有偏估计量.2）有效性.设1ˆθ和2ˆθ均为参数θ的无偏估计量，如果)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称估计量1ˆθ比2ˆθ有效. 3）一致性（相合性）.设θˆ为θ的估计量，θˆ与样本容量n 有关，记为nθθˆˆ=，对于任意给定的0>ε，都有 1}ˆ{lim =<-∞→εθθnn P ，则称θˆ为参数θ的一致估计量.2、参数的区间估计设总体X 的分布);(θx F 中含有未知参数θ，若存在样本的两个函数),,,(21n X X X θ和),,,(21n X X X θ，使对于给定的)10(<<αα，有αθθθ-=<<1}{P ，则随机区间（θθ,）称为参数θ的置信度为α-1的双侧置信区间.若有αθθ-=<1}{P 或αθθ-=<1}{P ，则定义),(∞θ或),(θ-∞为θ的置信度为α-1的单侧置信区间.（1）单个正态总体均值与方差的置信区间（见表7-1）表7-1（2）两个正态总体均值差与方差比的置信区间（见表7-2）表7-2第八章假设检验1、假设检验的基本概念（1）假设检验对总体的分布提出某种假设，然后利用样本所提供的信息，根据概率论的原理对假设作出“接受”还是“拒绝”的判断，这一类统计推断问题统称为假设检验. 假设检验所依据的原则是：小概率事件在一次试验中是不该发生的. （2）两类错误在根据样本作推断时，由于样本的随机性，难免会作出错误的决定.当原假设0H 为真时，而作出拒绝0H 的判断，称为犯第一类错误；当原假设0H 不真时，而作出接受0H 的判断，称为犯第二类错误.控制犯第一类错误的概率不大于一个较小的数)10(<<αα称为检验的显著性水平. （3）假设检验的基本步骤 1）建立原假设0H ；2）根据检验对象，构造合适的统计量；3）求出在假设0H 成立的条件下，该统计量服从的概率分布； 4）选择显著性水平α，确定临界值；5）根据样本值计算统计量的观察值，由此作出接受或拒绝0H 的结论. 2、单个正态总体的假设检验设总体),(~2σμN X .关于均值μ的检验（见表8-1）表8-1（2）关于方差2σ的检验（见表8-2）表8-13、两个正态总体的假设检验设总体),(~211σμN X ，样本容量为1n ；),(~222σμN Y ，样本容量为2n . （1）两个正态总体均值的检验（见表8-3）表8-3（2）两个正态总体方差的检验（见表8-4）。

一概率论的基本概念

2）将一枚硬币抛掷二次，观察出现正面的次数。
3）在一批电视中任抽取一次，测试它的寿命。
注：样本空间是一个有限或无限的点集。样本空间的元素是由试验的目的所确定。
随机事件（简称事件）：
随机试验E的样本空间的子集称为E的随机事件。
通常用大写字母A，B,…表示。当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一
20 同色球无区别。 k
例4 两封信任意地向标号为1,2,3,4的四个邮筒投寄，求 1）第3个邮筒恰好投入1封信的概率； 2）有两个邮筒各有一封信的概率。解 1)设事件A表示“第三个邮筒只投入1封信” 两封信任意投入4个邮筒，共有 42 种而事件A的不同投法有
2)设事件B表示“有两个邮筒各有1封信”
P(A )
r P365 r
例6 设有n个球每个球都以同样的概率格子（N≥ n）的每个格子中，试求 1）某指定的n个格子中各有一球的概率。
落到N个
2）任何n个格子中各有1球的概率。解设 A =｛某指定的n个格子中各有一球｝
B =｛任何n个格子中各有一球｝ 1 2 3 n
N
例7：从0,1,2, …,9共10个数字中随机地有放回地接连取4 个数字,并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概率
例(5) 有r 个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率.
解：令 A={至少有两人同生日} 则 A ={ r 个人的生日都不同} 为求P(A), 先求P( A )
(365) r P365 P(A ) 1 P(A ) 1 r (365)
于是 P ( A) 1 P ( A ) 1 1 1 2! 3! 3
1 1 n1 1 1 (1 ( 1) ) 2! 3! n! 1 1 n 1 ( 1) 2! 3! n!

概率论样本空间、随机事件

S4 ={1,2,3,4,5,6}； S5 ={0,1,2…}； S6 ={t | t≥0} t为灯泡寿命； S7 ={(x,y)|T0≤x≤y≤T1},这里x表示最低温度，y 表示最高温度，并设这一地区的温度不会小于T0，也不会大于T1。 S8 ={(x,y)|x2+y2≤100}, 注意：样本空间的元素是由试验的目的所确定的。例如，在E2和E3种同是将一枚硬币连抛三次，由于试验的目的不一样，其样本空间也不一样。
反之，当且仅当“接点a未闭合”与“接点 b、c都未闭合”二事件中至少有一事件发生时，指示灯不亮；所以有
．
这个等式也可以由等式 D= A（B∪C）利用De Morgan对偶律得到．事实上，我们有
例7 设A，B，C，D是四个事件，用A，B，C， D的运算关系表示下列事件。（1）A1：“A，B，C，D中仅有A发生” （2）A2：“A，B，C，D中恰有一个发生” （3）A3：“A，B，C，D中至少有一个发生” （4）A4：“A，B，C，D中至少有两个发生” （5）A5：“A，B，C，D中至多有一个发生” （6）A6：“A，B，C，D中至多有两个发生” （7）A7：“A，B，C，D都不发生” （8）A8：“A，B，C，D不都发生” （9）A9：“A，B，C，D中至多一个发生，但D 不发生” （10）A10：“A，B，C，D中至多一个不发生”
7. 事件的对立
AB , A B
— A 与B 互相对立 A 每次试验 A、 B中有且只有一个发生称B 为A的对立事件 (or 逆事件)，记为 B A
注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
B A
运算律
事件运算对应集合运算
吸收律

中国海洋大学《概率论》第一章-随机试验和随机事件

事件 C {出现的点数大于4} 5,6 .
概率论
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. (相对于观察目的不可再分解的事件)
如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
事件 Ai ={掷出i点}, i =1,2,3,4,5,6 基本事件
事件 B={掷出奇数点}
概率论
称在一次试验事件中 A发生当且仅当在这次试验中属于事件A中的一个样本点出现.
如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
样本空间为: S 1,2,3,4,5,6.
事件 B={掷出奇数点} 1,3,5
B发生当且仅当 B中的样本点1, 3,5中的某一个出现.
概率论
两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用或 S 表示;
即在一次试验中不可能发生的事件，常用表示 . 例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于7”是必然事件而; “掷出点数8”则是不可能事件.
概率论
第一节随机试验和随机事件
随机试验样本空间与随机事件事件间的关系与事件的运算
概率论
上一讲中，我们了解到，随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性.而概率论正是研究随机现象统计规律性的一门学科.
现在，就让我们一起，步入这充满随机性的世界，开始第一步的探索和研究.
这就是
概率论
随机事件
随机试验的结果称为随机事件。试验E的样本空间 S的子集称为E的随机事件. 随机事件简称事件 ,常用 A, B,C 等表示 .
如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
概率论
样本空间为: S 1,2,3,4,5,6.
事件 A={掷出1点} 1.

概率论与数理统计复习提纲

第一章随机事件及其概率一、随机事件及其运算1. 样本空间、随机事件①样本点：随机试验的每一个可能结果，用ω表示； ②样本空间：样本点的全集，用Ω表示；注：样本空间不唯一.③随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C,…表示； ④必然事件就等于样本空间；不可能事件()∅是不包含任何样本点的空集； ⑤基本事件就是仅包含单个样本点的子集。

2. 事件的四种关系①包含关系：A B ⊂，事件A 发生必有事件B 发生；②等价关系：A B =，事件A 发生必有事件B 发生，且事件B 发生必有事件A 发生； ③互不相容（互斥）： AB =∅ ，事件A 与事件B 一定不会同时发生。

④对立关系（互逆）：A ，事件A 发生事件A 必不发生，反之也成立；互逆满足A A AA ⎧⋃=Ω⎨=∅⎩注：互不相容和对立的关系（对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。

） 3. 事件的三大运算①事件的并：A B ⋃，事件A 与事件B 至少有一个发生。

若AB =∅，则A B A B ⋃=+； ②事件的交：A B AB ⋂或，事件A 与事件B 都发生； ③事件的差：-A B ，事件A 发生且事件B 不发生。

4. 事件的运算规律①交换律：,A B B A AB BA ⋃=⋃=②结合律：()(),()()A B C A B C A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃⋂⋂=⋂⋂③分配律：()()(),()()()A B C A B A C A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃⋂⋃=⋂⋃⋂④德摩根（De Morgan ）定律：,A B AB AB A B⋃==⋃ 对于n 个事件，有1111,nni i i i nni ii i A A A A ======二、随机事件的概率定义和性质1．公理化定义：设试验的样本空间为Ω，对于任一随机事件),(Ω⊂A A 都有确定的实值P(A)，满足下列性质：(1) 非负性：;0)(≥A P (2) 规范性：;1)(=ΩP(3)有限可加性(概率加法公式)：对于k 个互不相容事件k A A A ,,21 ，有∑∑===ki ik i iA P A P 11)()(.则称P(A)为随机事件A 的概率. 2．概率的性质①()1,()0P P Ω=∅= ②()1()P A P A =- ③若A B ⊂，则()(),()()()P A P B P B A P B P A ≤-=-且④()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ⋃⋃=++---+注：性质的逆命题不一定成立的. 如若),()(B P A P ≤则B A ⊂。

1.1随机试验、样本空间、随机事件

随机试验E
例如：抛一颗骰子，观察其出现的点数.
样本点
可能的结果：1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点.
所有可能结果的集合：{1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点}.
样本空间
随机试验、样本空间、随机事件
定义随机试验 E 的所有可能结果组成的集合，称为 E 的样本空间，记为 S. 样本空间的元素，即 E 的每个结果，称为样本点，记为ei .
结合律： AU( BUC) = ( AUB) UC ， ( AI B) I C = AI ( BI C) .
分配律： AU( BI C) = ( AUB) I ( AUC) ， AI ( BUC) = ( AI B) U( AI C) .
德摩根律： A U B = A I B ， A I B = A U B .
随机现象概率论与数理统计
——研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科！
随机试验、样本空间、随机事件
二、随机试验 E1：抛一枚硬币，观察其出现正面 H 、反面T 的情况； E2 ：抛一颗骰子，观察其出现的点数； E3：抛一颗骰子，观察点数 2 是否出现； E4 ：记录车站售票处一天内售出的车票数； E5 ：任取同一生产线上生产的一只灯泡，测试其寿命； E6 ：在[0,1]之间随机地投一点，记录该点的坐标.
随机试验、样本空间、随机事件
例 1 设 A、B、C 为三个事件，试用其运算关系表示下列事件：
（1）A、B、C 同时发生；
ABC
（2）A、B、C 至少有一个发生；
AU B UC
（3）A、B、C 至少有两个发生；
AB U BC U AC
（4）A、B、C 都不发生；
ABC
（5）A、B、C 不都发生.

1.1(随机试验与样本空间)

概率论与数理统计
第1章概率论基础章
1.1 随机试验与样本空间 2.2 随机事件及其概率 3.3 古典概型与几何概型 3.4 条件概率与乘法公式 3.5 全概率公式和贝叶斯公式 3.6 独立性 3.7 Excel数据分析功能简介数据分析功能简介
第1章概率论基础章
1.1 随机试验与样本空间
1.1.2 样本空间
在具体问题的研究中 , 描述随机现象的第一步就是建立样本空间. 建立样本空间
☺课堂练习
写出下列随机试验的样本空间. 写出下列随机试验的样本空间 1. 同时掷三颗骰子记录三颗骰子之和. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和记录三颗骰子之和 2. 生产产品直到得到件正品,记录生产产品生产产品直到得到10件正品记录生产产品件正品的总件数. 的总件数答案
1.1.1 随机试验
实例4 实例
出生的婴儿可
能是男也可能是也可能是女能是男,也可能是女. 实例5 实例明天的天气可能是晴 , 也可能是多云能是晴也可能是多云或雨. 随机现象的特征条件不能完全决定结果
1.1.1 随机试验
说明 (1) 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性其数量关系无法用函数加以描述. 联系 , 其数量关系无法用函数加以描述 (2) 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量试验或观察中, 然性但在大量试验或观察中这种结果的出现具有一定的统计规律性有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科. 规律性的一门数学学科如何来研究随机现象? 如何来研究随机现象随机现象是通过随机试验来研究的. 随机现象是通过随机试验来研究的什么是随机试验? 问题什么是随机试验

§1.1 随机事件与样本空间

§1.1 随机事件与样本空间随机事件与样本空间是概率论中的两个最基本的概念。

一、基本事件与样本空间对于随机试验来说，我们感兴趣的往往是随机试验的所有可能结果。

例如掷一枚硬币，我们关心的是出现正面还是出现反面这两个可能结果。

若我们观察的是掷两枚硬币的试验，则可能出现的结果有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）四种，如果掷三枚硬币，其结果还要复杂，但还是可以将它们描述出来的，总之为了研究随机试验，必须知道随机试验的所有可能结果。

1、基本事件通常，据我们研究的目的，将随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件。

因为随机事件的所有可能结果是明确的，从而所有的基本事件也是明确的，例如：在抛掷硬币的试验中“出现反面”，“出现正面”是两个基本事件，又如在掷骰子试验中“出现一点”，“出现两点”，“出现三点”，……，“出现六点”这些都是基本事件。

2、样本空间基本事件的全体，称为样本空间。

也就是试验所有可能结果的全体是样本空间，样本空间通常用大写的希腊字母Ω表示，Ω中的点即是基本事件，也称为样本点，常用ω表示，有时也用A,B,C 等表示。

在具体问题中，给定样本空间是研究随机现象的第一步。

例1、一盒中有十个完全相同的球，分别有号码1、2、3……10，从中任取一球，观察其标号，令=i {取得球的标号为i }，=i 1,2,3,…,10. 则Ω={1,2,3,…,10},=i ω{标号为i },=i 1,2,3,…,10 1ω,2ω,…, 10ω为基本事件（样本点）例2 在研究英文字母使用状况时，通常选用这样的样本空间： Ω={空格，A,B,C,…,X,Y,Z}例 1，例 2讨论的样本空间只有有限个样本点，是比较简单的样本空间。

例3讨论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数，可能结果一定是非负整数而且很难制定一个数为它的上界，这样，可以把样本空间取为Ω={0,1,2,3,…}这样的样本空间含有无穷个样本点，但这些样本点可以依照某种顺序排列起来，称它为可列样本空间。

随机事件和样本空间

由此可知，事件 A B 的含意与集合论中的意义是一致的。因为不可能事件不含有任何，所以对任一事件 A，我们约定 A
图中的阴影部分是事件“AB”如在例 1.2 中，若 A={球的标号为偶数} B={球的标号≤3}
则 A B={球的标号为 1，2，3，4，，6，8，10} 4．事件 A 与 B 同时发生“，这样的事件称作事件 A 与 B 的交（或积），记作 A B（或ＡＢ），它对应图１．３种的阴影部分：如在例１．２中，若Ａ、Ｂ同上，则

，也就是说 A 与 B 互不
A
B

Байду номын сангаас图 1.5

7 . 若 A 是一个事件,令 A =

A 是 A 的对立事件或逆事 — A，称

件。容易知道在一次试验中，若 A 发生，则 A 必不发生（反之亦然）即A与有 A A =

A
二者只能发生其中之一，并且也必然发生其中之一。因而
A

A

=

（A B） C=（A C）（ B C）（1.5）
（4）德摩根定理（对偶原则）： ________
n
A =
i
_______ n i 1
Ai A = i 1
i i 1
n
__
（1.6）
A
i 1
n
__ i
（1.7）
证明：（略）.
n
Ai
An ；若“ A1 ，A2 ，…，
同时发生” ，这样的事件称作A1 ， A2 ，…，An 的交，记作
A 1
A2 …
An
或 i 1
n
Ai

第二版工程数学-概率统计简明教程-第一章-随机事件

(10) A, B, C 中恰好有两个出现. 解 (10) ABC ABC ABC.
四、小结
1. 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验
样本空间子集随机事件
随机

基本事件复合事件
事件

必然事件
不可能事件
2. 概率论与集合论之间的对应关系
记号
概率论
集合论
样本空间，必然事件
{ NNN , NND, NDN , DNN , NDD, DDN , DND, DDD }.
实例3 从一批灯泡中任取一只, 测试其寿命.
{t t 0}.
其中 t 为灯泡的寿命 .
实例4
记录某城市120 急救电话台一昼夜接到的呼唤次数.
{0, 1, 2, }.
试验可以在相同的条件下重复地进行
k 1
A A A, A , A A A, A A,
A A, A .
AA B
B
Ω
7. 事件 A 与 B 的差
B A AB Ω
例10 用事件的交和并区别对立事件与互斥事件
A、B 互斥
A、B 对立
A
B
Ω
AB
A Ω
A B S 且 AB
互斥
对立
例7 有两门火炮同时向一架飞机射击,考察事件 A= ｛击落飞机｝, B i= ｛击中第i个发动机｝, i=1,2 , C = ｛击中驾驶员｝. 根据常识 “击落飞机”等价于“击中驾驶员”或者 “同时击中2个发动机”.试描述事件A,Bi ,C之间的关系.
A= C发生或 B1和B2同时发生, A= C ∪ (B1∩B2)= C∪B1B2

1.1 样本空间与随机事件解析

可能结果为：“正面，反面”.
H→正面，T→反面
S1 { H , T }.
(2)抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
可能结果为: “1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.
S2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
(3)4件产品，2正，2次，从中任取3件，观察正次品出现情况.
“点数不大于4”, “点数为偶数” 等均为随机事件
例2：将一枚硬币抛两次，事件A表示“第一次出现正面”，事件B表示“两次出现同一面”，事件C表示“至少出现一次正面”。试写出该试验的样本空间、随机事件A,B,C。练习：同时投掷两枚骰子，试写出该试验的样本空间、随机事件A,B,C。事件A表示“出现的点数之和大于 10”, 事件B表示“出现的点数均为奇数”，事件C表示“出现的点数之差的绝对值小于2”。
习题3：袋中装有6个球，4白(a,b,c,d)，2红 (x,y)，试用列举法写出下列试验的样本空间。
E1( 放回抽样)：取一个，放回后，再取一个。
{(i1 , i2 ) 1 i1 , i2 6} 1 i1 i2 6}
n 6 6 n 65
65 n 15 1 2
练习4：观察某时间段内某交通路口的机动车流量情况。
综合习题：
试用列举法写出下列试验的样本空间、随机事件。习题1：同时掷两枚硬币，观察正反面出现情况，事件A表示掷出同一面，事件B表示其中一枚掷出正面。
习题2：将一枚骰子连续掷两次，记录骰子点数出现情况，事件A表示点数之和等于7，事件B表示两枚骰子点数之差等于1。
S5 {t t 0}. 其中t表示灯泡的使用寿命
注 1. 试验不同, 对应的样本空间一般不同. eg S={H,T} 可以作为抛掷硬币试验的样本空间